Penyelesaian.
Kebarangkalian tiada lambang dilukis: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Kebarangkalian mendapat tiga lapisan senjata: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
Hukum taburan pembolehubah rawak X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Contoh No. 2. Kebarangkalian seorang penembak mengenai sasaran dengan satu pukulan untuk penembak pertama ialah 0.8, untuk penembak kedua – 0.85. Penembak melepaskan satu tembakan ke arah sasaran. Memandangkan mencapai sasaran sebagai acara bebas untuk penembak individu, cari kebarangkalian acara A – tepat satu pukulan pada sasaran.
Penyelesaian.
Pertimbangkan peristiwa A - satu pukulan pada sasaran. Pilihan yang mungkin Kejadian peristiwa ini adalah seperti berikut:
- Penembak pertama terkena, penembak kedua terlepas: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Penembak pertama tersasar, penembak kedua mencapai sasaran: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Anak panah pertama dan kedua mengenai sasaran secara berasingan antara satu sama lain: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Pembolehubah rawak adalah pembolehubah yang boleh mengambil nilai tertentu bergantung pada pelbagai keadaan, dan seterusnya, nilai rawak dipanggil diskret , jika set nilainya adalah terhingga atau boleh dikira.
Selain pembolehubah rawak diskret, terdapat juga pembolehubah rawak berterusan.
Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci konsep pembolehubah rawak. Dalam amalan, selalunya terdapat kuantiti yang boleh mengambil nilai tertentu, tetapi adalah mustahil untuk meramalkan dengan pasti nilai yang akan diambil oleh setiap daripada mereka dalam pengalaman, fenomena atau pemerhatian yang sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, bilangan kanak-kanak lelaki yang akan dilahirkan di Moscow pada hari berikutnya mungkin berbeza-beza. Ia boleh sama dengan sifar (tiada seorang lelaki yang akan dilahirkan: semua kanak-kanak perempuan akan dilahirkan atau tidak akan ada bayi yang baru lahir sama sekali), satu, dua, dan seterusnya sehingga beberapa nombor terhingga n. Nilai tersebut termasuk: jisim akar bit gula di tapak, jarak penerbangan peluru artileri, bilangan bahagian yang rosak dalam satu kelompok, dan sebagainya. Kami akan memanggil kuantiti sedemikian secara rawak. Mereka mencirikan segala-galanya keputusan yang mungkin pengalaman atau pemerhatian dari segi kuantitatif.
Contoh pembolehubah rawak diskret dengan bilangan nilai yang terhad boleh menjadi bilangan anak yang dilahirkan pada siang hari dalam lokaliti, bilangan penumpang bas, bilangan penumpang yang diangkut oleh metro Moscow setiap hari, dsb.
Bilangan nilai pembolehubah rawak diskret boleh menjadi set tak terhingga, tetapi boleh dikira. Tetapi dalam apa jua keadaan, mereka boleh dinomborkan dalam beberapa susunan, atau, lebih tepat lagi, surat-menyurat satu-dengan-satu boleh diwujudkan antara nilai pembolehubah rawak dan nombor asli 1, 2, 3, ..., n.
Perhatian: konsep baru yang sangat penting dalam teori kebarangkalian - undang-undang pengedaran
. biarlah X boleh terima n nilai: . Kami akan menganggap bahawa semuanya berbeza (jika tidak, yang sama harus digabungkan) dan disusun dalam tertib menaik. Untuk ciri penuh pembolehubah rawak diskret bukan sahaja semua nilainya mesti ditentukan, tetapi juga kebarangkalian
, yang mana pembolehubah rawak mengambil setiap nilai, i.e. 
.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret sebarang peraturan (fungsi, jadual) dipanggil hlm(x), yang membolehkan anda mencari kebarangkalian semua jenis peristiwa yang dikaitkan dengan pembolehubah rawak (contohnya, kebarangkalian bahawa ia adalah contoh beberapa nilai atau jatuh ke dalam beberapa selang).
Adalah paling mudah dan mudah untuk menetapkan hukum taburan pembolehubah rawak diskret dalam bentuk jadual berikut:
| Maknanya | ... | |||
| Kebarangkalian | ... |
Jadual ini dipanggil berhampiran taburan pembolehubah rawak diskret. Baris teratas siri pengedaran menyenaraikan dalam tertib menaik semua nilai yang mungkin pembolehubah rawak diskret (x), dan di bahagian bawah - kebarangkalian nilai ini ( hlm).
Peristiwa 
adalah tidak serasi dan satu-satunya yang mungkin: mereka membentuk sistem peristiwa yang lengkap. Oleh itu, jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan satu:
.
Contoh 1. Loteri telah dianjurkan dalam kumpulan pelajar. Dua item bernilai RUB 1,000 tersedia untuk dimenangi. dan satu berharga 3,000 rubel. Buat undang-undang pengedaran untuk jumlah kemenangan bersih bagi pelajar yang membeli satu tiket untuk 100 rubel. Sebanyak 50 tiket telah dijual.
Penyelesaian. Pembolehubah rawak yang kita minati ialah X boleh mengambil tiga nilai: - 100 gosok. (jika pelajar tidak menang, tetapi sebenarnya kehilangan 100 rubel yang dibayar untuk tiket), 900 rubel. dan 2900 gosok. (kemenangan sebenar dikurangkan sebanyak 100 rubel - dengan kos tiket). Keputusan pertama digemari 47 kali daripada 50, yang kedua - 2, dan yang ketiga - satu. Oleh itu kebarangkalian mereka adalah: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X kelihatan seperti
| Jumlah kemenangan | -100 | 900 | 2900 |
| Kebarangkalian | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret: pembinaan
Siri taburan hanya boleh dibina untuk pembolehubah rawak diskret (untuk pembolehubah rawak bukan diskret ia tidak boleh dibina, jika hanya kerana set kemungkinan nilai pembolehubah rawak tersebut tidak boleh dikira, mereka tidak boleh disenaraikan di bahagian atas barisan meja).
Paling bentuk umum hukum taburan, sesuai untuk semua pembolehubah rawak (kedua-dua diskret dan bukan diskret), ialah fungsi taburan.
Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret atau fungsi integral dipanggil fungsi 
, yang menentukan kebarangkalian bahawa nilai pembolehubah rawak X kurang daripada atau sama dengan nilai had X.
Fungsi taburan mana-mana pembolehubah rawak diskret ialah fungsi langkah terputus, lompatannya berlaku pada titik yang sepadan dengan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan sama dengan kebarangkalian nilai ini.
Contoh 2. Pembolehubah rawak diskret X- bilangan mata yang diperoleh semasa melontar dadu. Kira fungsi taburannya.
Penyelesaian. Siri taburan pembolehubah rawak diskret X mempunyai bentuk:
| Maknanya | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Kebarangkalian | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Fungsi pengedaran F(x) mempunyai 6 lompatan yang sama dengan magnitud 1/6 (dalam rajah di bawah).
Contoh 3. Terdapat 6 bola putih dan 4 bola hitam di dalam urn. 3 biji bola dikeluarkan dari urn. Bilangan bola putih di antara bola yang ditarik ialah pembolehubah rawak diskret X. Buat undang-undang pengedaran yang sepadan dengannya.
X boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Kebarangkalian yang sepadan boleh dikira dengan mudah menggunakan peraturan pendaraban kebarangkalian. Kami memperoleh hukum taburan pembolehubah rawak diskret berikut:
| Maknanya | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Kebarangkalian | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Contoh 4. Wujudkan undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak diskret - bilangan pukulan pada sasaran dengan empat pukulan, jika kebarangkalian pukulan dengan satu pukulan ialah 0.1.
Penyelesaian. Pembolehubah rawak diskret X boleh mengambil lima nilai yang berbeza: 1, 2, 3, 4, 5. Kami mencari kebarangkalian yang sepadan menggunakan Formula Bernoulli
. Pada
n = 4 ,
hlm = 1,1 ,
q = 1 - hlm = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
kita mendapatkan
Akibatnya, hukum taburan pembolehubah rawak diskret X kelihatan seperti
Jika kebarangkalian nilai pembolehubah rawak diskret boleh ditentukan menggunakan formula Bernoulli, maka pembolehubah rawak mempunyai taburan binomial .
Jika bilangan percubaan adalah cukup besar, maka kebarangkalian bahawa dalam percubaan ini peristiwa yang menarik akan berlaku ialah m kali, mematuhi undang-undang Pengagihan Poisson .
Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret: pengiraan
Untuk mengira fungsi taburan pembolehubah rawak diskret F(X), ia diperlukan untuk menambah kebarangkalian semua nilai yang kurang daripada atau sama dengan nilai sempadan X.
Contoh 5. Jadual menunjukkan pergantungan bilangan perkahwinan yang dibubarkan sepanjang tahun pada tempoh perkahwinan. Cari kebarangkalian bahawa perkahwinan bercerai seterusnya bertahan kurang daripada atau sama dengan 5 tahun.
| Tempoh perkahwinan (tahun) | Nombor | Kebarangkalian | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 atau lebih | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Jumlah | 6010 | 1 |
Penyelesaian. Kebarangkalian dikira dengan membahagikan bilangan perkahwinan terbubar yang sepadan dengan jumlah bilangan 6010. Kebarangkalian bahawa perkahwinan terbubar berikutnya berlangsung selama 5 tahun ialah 0.056. Kebarangkalian bahawa tempoh perkahwinan bercerai seterusnya adalah kurang daripada atau sama dengan 5 tahun ialah 0.186. Kami mendapatnya dengan menambah nilai F(x) untuk perkahwinan dengan tempoh 4 tahun termasuk, kebarangkalian untuk perkahwinan dengan tempoh 5 tahun.
Hubungan antara hukum taburan pembolehubah rawak diskret dan jangkaan dan serakan matematik
Selalunya tidak semua nilai pembolehubah rawak diskret diketahui, tetapi beberapa nilai atau kebarangkalian daripada siri itu diketahui, serta jangkaan matematik dan (atau) varians pembolehubah rawak, yang mana pelajaran yang berasingan ditumpukan.
Mari kita kemukakan di sini beberapa formula daripada pelajaran ini yang boleh membantu semasa merangka hukum taburan pembolehubah rawak diskret dan lihat contoh penyelesaian masalah tersebut.
Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian nilai ini:
(1)
Formula untuk varians pembolehubah rawak diskret mengikut takrifan ialah:
Selalunya formula penyebaran berikut lebih mudah untuk pengiraan:
, (2)
di mana 
.
Contoh 6. Pembolehubah rawak diskret X hanya boleh mengambil dua nilai. Ia memerlukan nilai yang lebih kecil dengan kebarangkalian hlm= 0.6. Cari hukum taburan pembolehubah rawak diskret X, jika diketahui bahawa jangkaan dan varians matematiknya ialah .
Penyelesaian. Kebarangkalian pembolehubah rawak akan mengambil nilai yang lebih besar x2 , adalah sama dengan 1 − 0.6 = 4. Menggunakan formula (1) jangkaan matematik, kami mencipta persamaan di mana yang tidak diketahui ialah nilai pembolehubah rawak diskret kami:
Menggunakan formula penyebaran (2), kami mencipta persamaan lain di mana yang tidak diketahui juga merupakan nilai pembolehubah rawak diskret:
Sistem dua persamaan yang diperolehi
selesaikan dengan kaedah penggantian. Daripada persamaan pertama kita dapat
Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua, selepas transformasi mudah yang kita dapat persamaan kuadratik
,
yang mempunyai dua punca: 7/5 dan −1. Akar pertama tidak memenuhi syarat masalah, kerana x2 < x 1 . Oleh itu, nilai yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak diskret X mengikut syarat contoh kita, adalah sama x1 = −1 Dan x2 = 2 .
Pada halaman ini kami telah mengumpulkan contoh penyelesaian pendidikan masalah tentang pembolehubah rawak diskret. Ini adalah bahagian yang agak luas: pelbagai undang-undang pengedaran (binomial, geometri, hipergeometrik, Poisson dan lain-lain), sifat dan ciri berangka dikaji; untuk setiap siri pengedaran, perwakilan grafik boleh dibina: poligon (poligon) kebarangkalian, fungsi pengedaran.
Di bawah anda akan menemui contoh keputusan tentang pembolehubah rawak diskret, di mana anda perlu menggunakan pengetahuan daripada bahagian sebelumnya teori kebarangkalian untuk merangka undang-undang taburan, dan kemudian mengira jangkaan matematik, serakan, sisihan piawai, membina fungsi taburan, menjawab soalan tentang DSV, dsb. P.
Contoh untuk undang-undang taburan kebarangkalian popular:
Kalkulator untuk ciri DSV
- Pengiraan jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai DSV.
Menyelesaikan masalah tentang DSV
Taburan yang hampir dengan geometri
Tugasan 1. Terdapat 4 lampu isyarat di sepanjang laluan kenderaan, setiap satunya melarang pergerakan kenderaan selanjutnya dengan kebarangkalian 0.5. Cari siri pengedaran bilangan lampu isyarat yang dilalui oleh kereta sebelum perhentian pertama. Apakah jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini?
Tugasan 2. Pemburu menembak pada permainan sehingga pukulan pertama, tetapi berjaya melepaskan tidak lebih daripada empat tembakan. Wujudkan undang-undang pengedaran untuk bilangan bolos jika kebarangkalian mengenai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.7. Cari varians pembolehubah rawak ini.
Tugasan 3. Penembak, yang mempunyai 3 kartrij, menembak sasaran sehingga pukulan pertama. Kebarangkalian pukulan untuk pukulan pertama, kedua dan ketiga ialah 0.6, 0.5, 0.4, masing-masing. S.V. $\xi$ - bilangan baki kartrij. Susun siri taburan pembolehubah rawak, cari jangkaan matematik, varians, min sisihan piawai r.v., bina fungsi taburan r.v., cari $P(|\xi-m| \le \sigma$.
Tugasan 4. Kotak itu mengandungi 7 bahagian standard dan 3 bahagian yang rosak. Mereka mengeluarkan bahagian secara berurutan sehingga yang standard muncul, tanpa mengembalikannya kembali. $\xi$ ialah bilangan bahagian yang rosak yang diambil semula.
Lukiskan undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak diskret $\xi$, kira jangkaan matematiknya, varians, sisihan piawai, lukis poligon taburan dan graf bagi fungsi taburan.
Tugasan dengan acara bebas
Tugasan 5. 3 pelajar hadir untuk peperiksaan semula dalam teori kebarangkalian. Kebarangkalian bahawa orang pertama akan lulus peperiksaan ialah 0.8, yang kedua - 0.7, dan yang ketiga - 0.9. Cari siri taburan pembolehubah rawak $\xi$ bilangan pelajar yang lulus peperiksaan, plotkan fungsi taburan, cari $M(\xi), D(\xi)$.
Tugasan 6. Kebarangkalian mengenai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.8 dan berkurangan dengan setiap pukulan sebanyak 0.1. Wujudkan undang-undang pengedaran untuk bilangan pukulan pada sasaran jika tiga pukulan dilepaskan. Cari nilai jangkaan, varians dan S.K.O. pembolehubah rawak ini. Lukiskan graf bagi fungsi taburan.
Tugasan 7. 4 das tembakan dilepaskan ke sasaran. Kebarangkalian pukulan meningkat seperti berikut: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Cari hukum taburan pembolehubah rawak $X$ - bilangan hits. Cari kebarangkalian bahawa $X \ge 1$.
Tugasan 8. Dua syiling simetri dilambung dan bilangan jata di kedua-dua bahagian atas syiling dikira. Kami menganggap pembolehubah rawak diskret $X$ - bilangan lambang pada kedua-dua syiling. Tuliskan hukum taburan pembolehubah rawak $X$, cari jangkaan matematiknya.
Masalah lain dan undang-undang pengedaran DSV
Tugasan 9. Dua pemain bola keranjang membuat tiga pukulan ke dalam bakul. Kebarangkalian untuk memukul untuk pemain bola keranjang pertama ialah 0.6, untuk yang kedua - 0.7. Biarkan $X$ menjadi perbezaan antara bilangan pukulan yang berjaya bagi pemain bola keranjang pertama dan kedua. Cari siri taburan, mod dan fungsi taburan bagi pembolehubah rawak $X$. Bina poligon taburan dan graf bagi fungsi taburan. Kira nilai jangkaan, varians dan sisihan piawai. Cari kebarangkalian kejadian $(-2 \lt X \le 1)$.
Masalah 10. Bilangan kapal bukan pemastautin yang tiba setiap hari untuk dimuatkan di pelabuhan tertentu ialah pembolehubah rawak $X$, diberikan seperti berikut:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) pastikan siri pengedaran ditentukan,
B) cari fungsi taburan pembolehubah rawak $X$,
C) jika lebih daripada tiga kapal tiba pada hari tertentu, pelabuhan bertanggungjawab ke atas kos kerana keperluan untuk mengupah pemandu dan pemuat tambahan. Apakah kebarangkalian bahawa pelabuhan akan menanggung kos tambahan?
D) cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak $X$.
Masalah 11. Lempar 4 dadu. Cari jangkaan matematik hasil tambah bilangan mata yang akan muncul pada semua sisi.
Masalah 12. Kedua-duanya bergilir-gilir melambung syiling sehingga jata pertama kali muncul. Pemain yang mendapat jata menerima 1 rubel daripada pemain lain. Cari jangkaan matematik untuk menang bagi setiap pemain.
Seperti yang diketahui, pembolehubah rawak dipanggil kuantiti berubah-ubah yang boleh mengambil nilai tertentu bergantung pada kes itu. Pembolehubah rawak menandakan dalam huruf besar abjad Latin(X, Y, Z), dan nilainya ditunjukkan dalam huruf kecil yang sepadan (x, y, z). Pembolehubah rawak dibahagikan kepada tak selanjar (discrete) dan selanjar.
Pembolehubah rawak diskret ialah pembolehubah rawak yang hanya mengambil set nilai terhingga atau tak terhingga (boleh dikira) dengan kebarangkalian bukan sifar tertentu.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret ialah fungsi yang menghubungkan nilai pembolehubah rawak dengan kebarangkalian sepadannya. Undang-undang pengedaran boleh dinyatakan dalam salah satu cara berikut.
1 . Undang-undang pengedaran boleh diberikan oleh jadual:
di mana λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) dengan menggunakan fungsi taburan F(x) , yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada x, i.e. F(x) = P(X< x).
Sifat fungsi F(x)
3 . Undang-undang pengedaran boleh dinyatakan secara grafik – poligon taburan (poligon) (lihat masalah 3).
Ambil perhatian bahawa untuk menyelesaikan beberapa masalah adalah tidak perlu mengetahui undang-undang pengedaran. Dalam sesetengah kes, cukup untuk mengetahui satu atau lebih nombor yang paling mencerminkan ciri penting undang-undang pengedaran. Ini mungkin nombor yang mempunyai maksud "purata" pembolehubah rawak, atau nombor yang menunjukkan saiz purata sisihan pembolehubah rawak daripada nilai minnya. Nombor jenis ini dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak.
Ciri berangka asas pembolehubah rawak diskret :
- Jangkaan matematik
(nilai purata) pembolehubah rawak diskret M(X)=Σ x i p i.
Untuk taburan binomial M(X)=np, untuk taburan Poisson M(X)=λ - Penyerakan
pembolehubah rawak diskret D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Perbezaan X–M(X) dipanggil sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya.
Untuk taburan binomial D(X)=npq, untuk taburan Poisson D(X)=λ - Sisihan piawai (sisihan piawai) σ(X)=√D(X).
Contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Hukum taburan pembolehubah rawak diskret"
Tugasan 1.
1000 tiket loteri telah dikeluarkan: 5 daripadanya akan memenangi 500 rubel, 10 akan memenangi 100 rubel, 20 akan memenangi 50 rubel, 50 akan memenangi 10 rubel. Tentukan hukum taburan kebarangkalian pembolehubah rawak X - kemenangan setiap tiket.
Penyelesaian. Mengikut keadaan masalah, nilai berikut pembolehubah rawak X adalah mungkin: 0, 10, 50, 100 dan 500.
Bilangan tiket tanpa menang ialah 1000 – (5+10+20+50) = 915, kemudian P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Begitu juga, kita dapati semua kebarangkalian lain: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Mari kita bentangkan hukum yang terhasil dalam bentuk jadual:
Mari cari jangkaan matematik bagi nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Tugasan 3.
Peranti ini terdiri daripada tiga elemen operasi bebas. Kebarangkalian kegagalan setiap elemen dalam satu eksperimen ialah 0.1. Buat satu undang-undang taburan untuk bilangan elemen yang gagal dalam satu eksperimen, bina poligon taburan. Cari fungsi taburan F(x) dan plotkannya. Cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak diskret.
Penyelesaian. 1. Pembolehubah rawak diskret X = (bilangan unsur yang gagal dalam satu eksperimen) mempunyai nilai yang mungkin berikut: x 1 = 0 (tiada elemen peranti gagal), x 2 = 1 (satu elemen gagal), x 3 = 2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal).
Kegagalan elemen adalah bebas antara satu sama lain, kebarangkalian kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh itu ia terpakai Formula Bernoulli
. Memandangkan, mengikut keadaan, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kami menentukan kebarangkalian nilai:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Semak: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Oleh itu, hukum taburan binomial yang dikehendaki bagi X mempunyai bentuk:
Kami memplot nilai kemungkinan x i sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian yang sepadan p i sepanjang paksi ordinat. Mari bina mata M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Dengan menyambungkan titik-titik ini dengan segmen garis lurus, kami memperoleh poligon pengedaran yang dikehendaki.
3. Mari cari fungsi taburan F(x) = Р(Х
Untuk x ≤ 0 kita ada F(x) = Р(Х<0) = 0;untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 akan ada F(x) = 1, kerana acara itu boleh dipercayai.
 |
Graf fungsi F(x)
4.
Untuk taburan binomial X:
- jangkaan matematik M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- varians D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- sisihan piawai σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Pada halaman ini kami telah mengumpulkan teori ringkas dan contoh penyelesaian masalah pendidikan di mana pembolehubah rawak diskret sudah ditentukan oleh siri taburannya (bentuk jadual) dan ia diperlukan untuk mengkajinya: mencari ciri berangka, membina graf, dsb. Contoh jenis pengedaran yang diketahui boleh didapati di pautan berikut:
Teori ringkas tentang DSV
Pembolehubah rawak diskret ditentukan oleh siri pengedarannya: senarai nilai $x_i$ yang boleh diambil dan kebarangkalian yang sepadan $p_i=P(X=x_i)$. Bilangan nilai pembolehubah rawak boleh terhingga atau boleh dikira. Untuk kepastian, kami akan mempertimbangkan kes $i=\overline(1,n)$. Kemudian perwakilan jadual bagi pembolehubah rawak diskret mempunyai bentuk:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $
Dalam kes ini, syarat normalisasi dipenuhi: jumlah semua kebarangkalian mestilah sama dengan satu
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Secara grafik, siri pengedaran boleh diwakili poligon pengedaran(atau poligon pengedaran). Untuk melakukan ini, titik dengan koordinat $(x_i,p_i)$ diplot pada satah dan disambungkan mengikut urutan dengan garis putus. Anda akan dapati contoh terperinci.
Ciri berangka DSV
Nilai yang dijangkakan:
$$M(X) = \jumlah_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Penyerakan:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Sisihan piawai:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Pekali variasi:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Mod: nilai $Mo=x_k$ dengan kebarangkalian tertinggi $p_k=\max_i(p_i)$.
Anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian untuk mengira nilai dijangka, varians dan sisihan piawai DSV.
Fungsi pengedaran DSV
Dari siri pengedaran seseorang boleh menyusun fungsi pengagihan pembolehubah rawak diskret $F(x)=P(X\lt x)$. Fungsi ini menentukan kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak $X$ akan mengambil nilai kurang daripada nombor tertentu $x$. Anda akan menemui contoh pembinaan dengan pengiraan dan graf terperinci dalam contoh di bawah.
Contoh masalah yang diselesaikan
Tugasan 1. Pembolehubah rawak diskret ditentukan oleh siri taburan:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Bina poligon taburan dan fungsi taburan $F(x)$. Kira: $M[X], D[X], \sigma[X]$, serta pekali variasi, kecondongan, kurtosis, mod dan median.
Tugasan 2. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X diberikan. Diperlukan:
a) tentukan jangkaan matematik M(x), varians D(x) dan sisihan piawai (x) bagi pembolehubah rawak X; b) bina graf bagi taburan ini.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02
Tugasan 3. Untuk pembolehubah rawak X dengan siri taburan yang diberikan
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
A) cari $p_1$ dan $p_2$ supaya $M(X)=0.5$
B) selepas ini, hitung jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak $X$ dan plotkan fungsi taburannya
Tugasan 4. SV diskret $X$ boleh mengambil hanya dua nilai: $x_1$ dan $x_2$, dan $x_1 \lt x_2$. Kebarangkalian $P$ nilai yang mungkin, jangkaan matematik $M(x)$ dan varians $D(x)$ diketahui. Cari: 1) Hukum taburan pembolehubah rawak ini; 2) Fungsi pengedaran SV $X$; 3) Bina graf $F(x)$.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$
Tugasan 5. Pembolehubah rawak X mengambil tiga nilai: 2, 4 dan 6. Cari kebarangkalian nilai-nilai ini jika $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.
Tugasan 6. Satu siri taburan r.v diskret diberikan. $X$. Cari ciri berangka bagi kedudukan dan serakan r.v. $X$. Cari m.o. dan serakan r.v. $Y=X/2-2$, tanpa menulis siri pengedaran r.v. $Y$, semak keputusan menggunakan fungsi penjanaan.
Bina fungsi taburan r.v. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
Tugasan 7. Taburan pembolehubah rawak diskret $X$ diberikan oleh jadual berikut (baris taburan):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Tentukan nilai yang hilang dalam jadual taburan. Kira ciri berangka utama taburan: $M_x, D_x, \sigma_x$. Cari dan bina fungsi taburan $F(x)$. Tentukan kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak $X$ akan mengambil nilai berikut:
A) lebih daripada 6,
B) kurang daripada 12,
C) tidak lebih daripada 9.
Tugasan 8. Masalahnya memerlukan pencarian: a) jangkaan matematik; b) penyebaran; c) sisihan piawai pembolehubah rawak diskret X mengikut undang-undang yang diberikan bagi taburannya, diberikan dalam jadual (baris pertama jadual menunjukkan nilai yang mungkin, baris kedua menunjukkan kebarangkalian nilai yang mungkin).
Tugasan 9. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret $X$ diberikan (baris pertama menunjukkan nilai yang mungkin $x_i$, baris kedua menunjukkan kebarangkalian nilai yang mungkin $p_i$).
Cari:
A) jangkaan matematik $M(X)$, varians $D(X)$ dan sisihan piawai $\sigma(X)$;
B) gubah fungsi taburan pembolehubah rawak $F(x)$ dan bina grafnya;
C) hitung kebarangkalian pembolehubah rawak $X$ jatuh ke dalam selang $x_2 \lt X \lt x_4$, menggunakan fungsi taburan terkumpul $F(x)$;
D) buat undang-undang pengagihan untuk nilai $Y=100-2X$;
D) hitung jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak terkumpul $Y$ dalam dua cara, i.e. mengambil kesempatan
sifat jangkaan dan serakan matematik, serta secara langsung mengikut hukum taburan pembolehubah rawak $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Masalah 10. Pembolehubah rawak diskret diberikan kepada jadual. Kira detik awal dan tengahnya sehingga termasuk urutan ke-4. Cari kebarangkalian bagi peristiwa $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0.3 0.6 0.9 1.2
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
