Nilai rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil eksperimen, mengambil nilai yang tidak diketahui sebelumnya.

Bilangan pelajar yang hadir pada kuliah.

Bilangan rumah yang beroperasi pada bulan semasa.

Suhu ambien.

Berat serpihan cangkang yang meletup.

Pembolehubah rawak dibahagikan kepada diskret dan berterusan.

Diskret (tidak berterusan) dipanggil pembolehubah rawak yang mengambil nilai berasingan, diasingkan antara satu sama lain, dengan kebarangkalian tertentu.

Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh terhingga atau boleh dikira.

Berterusan dipanggil pembolehubah rawak yang boleh mengambil apa-apa nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga.

Jelas sekali, bilangan kemungkinan nilai pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.

Dalam contoh yang diberikan: 1 dan 2 ialah pembolehubah rawak diskret, 3 dan 4 ialah pembolehubah rawak selanjar.

Pada masa hadapan, bukannya perkataan "pembolehubah rawak" kita akan sering menggunakan singkatan c. V.

Sebagai peraturan, pembolehubah rawak akan dilambangkan dengan huruf besar, dan mereka nilai yang mungkin- kecil.

Dalam tafsiran set-teoretik konsep asas teori kebarangkalian, pembolehubah rawak X ialah fungsi bagi peristiwa asas: X =φ(ω), di mana ω ialah peristiwa asas kepunyaan ruang Ω (ω  Ω). Dalam kes ini, set Ξ nilai yang mungkin bagi c. V. X terdiri daripada semua nilai yang digunakan oleh fungsi φ(ω).

Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang peraturan (jadual, fungsi) yang membolehkan anda mencari kebarangkalian semua jenis peristiwa yang dikaitkan dengan pembolehubah rawak (contohnya, kebarangkalian bahawa ia akan mengambil nilai tertentu atau jatuh dalam selang waktu tertentu).

Borang untuk menentukan hukum taburan pembolehubah rawak. Siri pengedaran.

Ini ialah jadual di baris atas yang mana semua kemungkinan nilai pembolehubah rawak X disenaraikan dalam tertib menaik: x 1, x 2, ..., x n, dan di baris bawah - kebarangkalian nilai ini: p 1, p 2, ..., p n, dengan p i = Р(Х = x i ).

Oleh kerana peristiwa (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... adalah tidak konsisten dan membentuk kumpulan yang lengkap, jumlah semua kebarangkalian dalam garis bawah siri taburan adalah sama dengan satu

Siri taburan digunakan untuk menentukan hukum taburan bagi pembolehubah rawak diskret sahaja.

Poligon pengedaran

Perwakilan grafik bagi siri pengedaran dipanggil poligon pengedaran. Ia dibina seperti ini: untuk setiap nilai yang mungkin bagi c. V. satu berserenjang dengan paksi-x dipulihkan, di mana kebarangkalian nilai yang diberikan c diplotkan. V. Untuk kejelasan (dan hanya untuk kejelasan!), titik yang terhasil disambungkan oleh segmen lurus.

Fungsi pengedaran kumulatif (atau ringkasnya fungsi pengedaran).

Ini ialah fungsi yang, bagi setiap nilai hujah x, secara numerik sama dengan kebarangkalian pembolehubah rawak  akan kurang daripada nilai hujah x.

Fungsi taburan dilambangkan dengan F(x): F(x) = P (X  x).

Sekarang anda boleh memberi lebih banyak lagi definisi yang tepat pembolehubah rawak selanjar: pembolehubah rawak dipanggil selanjar jika fungsi taburannya ialah fungsi boleh dibezakan sekeping-keping secara berterusan dengan terbitan berterusan.

Fungsi pengedaran ialah bentuk penetapan c yang paling universal. v., yang boleh digunakan untuk menentukan undang-undang pengedaran untuk kedua-dua diskret dan berterusan. V.

Masalah 14. Dalam loteri tunai, 1 kemenangan 1,000,000 rubel, 10 kemenangan 100,000 rubel dimainkan. dan 100 kemenangan sebanyak 1000 rubel setiap satu. dengan jumlah tiket sebanyak 10,000 Cari hukum pengagihan kemenangan rawak X untuk pemilik satu tiket loteri.

Penyelesaian. Nilai yang mungkin untuk X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Kebarangkalian mereka masing-masing adalah sama: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Oleh itu, undang-undang pembahagian kemenangan X boleh diberikan melalui jadual berikut:

Bina poligon taburan.

Penyelesaian. Mari kita bina sistem koordinat segi empat tepat, dan kita akan plot nilai yang mungkin di sepanjang paksi abscissa x i, dan sepanjang paksi ordinat - kebarangkalian yang sepadan p i. Mari kita plot mata M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0.4) dan M 4 (8;0.3). Dengan menyambungkan titik-titik ini dengan segmen garis lurus, kami memperoleh poligon pengedaran yang dikehendaki.

§2. Ciri berangka pembolehubah rawak

Pembolehubah rawak dicirikan sepenuhnya oleh undang-undang taburannya. Penerangan purata bagi pembolehubah rawak boleh diperoleh dengan menggunakan ciri berangkanya

2.1. Nilai yang dijangkakan. Penyerakan.

Biarkan pembolehubah rawak mengambil nilai dengan kebarangkalian sewajarnya.

Definisi. Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian yang sepadan:

.

Sifat jangkaan matematik.

Serakan pembolehubah rawak di sekeliling nilai min dicirikan oleh serakan dan sisihan piawai.

Varians pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya:

Formula berikut digunakan untuk pengiraan

Sifat serakan.

2. , di manakah pembolehubah rawak saling bebas.

3. Sisihan piawai .

Masalah 16. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z = X+ 2Y, jika jangkaan matematik pembolehubah rawak diketahui X Dan Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Penyelesaian. Kami menggunakan sifat jangkaan matematik. Kemudian kita dapat:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Masalah 17. Varians pembolehubah rawak X adalah sama dengan 3. Cari varians pembolehubah rawak: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Penyelesaian. Mari gunakan sifat 3, 4 dan 2 serakan. Kami ada:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Masalah 18. Diberi pembolehubah rawak bebas Y– bilangan mata yang digugurkan semasa membaling dadu. Cari hukum taburan, jangkaan matematik, serakan dan min sisihan piawai pembolehubah rawak Y.

Penyelesaian. Jadual pengedaran pembolehubah rawak Y mempunyai bentuk:

Y
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Kemudian M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 – 3.5) 2. 1/6 = 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Jawapan: Pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar X dengan nilai yang mungkin. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilainya X boleh menerima setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, iaitu salah satu daripada kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku:

Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf R dengan indeks yang sepadan:

Iaitu, taburan kebarangkalian pelbagai nilai boleh ditentukan oleh jadual taburan, di mana semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak diskret yang diberikan ditunjukkan dalam baris atas, dan kebarangkalian nilai yang sepadan ditunjukkan di baris bawah. Oleh kerana peristiwa tidak serasi (3.1) membentuk kumpulan lengkap, maka, iaitu, jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan satu. Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan tidak boleh dibentangkan dalam bentuk jadual, kerana bilangan nilai pembolehubah rawak tersebut adalah tidak terhingga walaupun dalam selang masa yang terhad. Selain itu, kebarangkalian mendapat sebarang nilai tertentu adalah sifar. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita menentukan taburan ini, iaitu, kita menunjukkan dengan tepat kebarangkalian yang ada pada setiap peristiwa. Dengan ini kita akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan. Mari kita wujudkan bentuk di mana hukum taburan pembolehubah rawak tak selanjar boleh ditentukan X. Bentuk yang paling mudah Takrifan undang-undang ini ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	hlm 1	hlm 2	× × ×	p n

Kami akan memanggil jadual sedemikian satu siri taburan pembolehubah rawak X.

nasi. 3.1

Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka sering menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen garis lurus. Angka sedemikian dipanggil poligon pengedaran (Rajah 3.1). Poligon taburan, serta siri taburan, mencirikan pembolehubah rawak sepenuhnya. ia merupakan salah satu bentuk hukum agihan. Kadang-kadang apa yang dipanggil "mekanikal" tafsiran siri pengedaran adalah mudah. Mari kita bayangkan bahawa jisim tertentu sama dengan perpaduan diagihkan di sepanjang paksi absis supaya masuk n jisim tertumpu pada titik individu, masing-masing . Kemudian siri pengedaran ditafsirkan sebagai sistem titik bahan dengan beberapa jisim terletak pada paksi absis.

Pengalaman ialah sebarang pelaksanaan syarat dan tindakan tertentu di mana fenomena rawak yang sedang dikaji diperhatikan. Eksperimen boleh dicirikan secara kualitatif dan kuantitatif. Kuantiti rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu.

Pembolehubah rawak biasanya dilambangkan (X,Y,Z), dan nilai yang sepadan (x,y,z)

Diskret ialah pembolehubah rawak yang mengambil nilai individu yang diasingkan antara satu sama lain yang boleh dianggarkan terlalu tinggi. Kuantiti berterusan nilai yang mungkin secara berterusan mengisi julat tertentu. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Baris pengedaran dan poligon. Bentuk termudah bagi hukum taburan kuantiti diskret ialah siri taburan. Tafsiran grafik bagi siri pengedaran ialah poligon pengedaran.

Anda juga boleh mendapatkan maklumat yang anda minati dalam enjin carian saintifik Otvety.Online. Gunakan borang carian:

Lebih lanjut mengenai topik 13. Pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak, contoh:

1. 13. Pembolehubah rawak diskret dan hukum taburannya. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak. Contoh.
2. Konsep "pembolehubah rawak" dan penerangannya. Pembolehubah rawak diskret dan hukumnya (siri) taburan. Pembolehubah rawak bebas. Contoh.
3. 14. Pembolehubah rawak, jenisnya. Hukum taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret (DRV). Kaedah untuk membina pembolehubah rawak (SV).
4. 16. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret: jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai.
5. Operasi matematik ke atas pembolehubah rawak diskret dan contoh membina hukum taburan untuk KX, X"1, X + K, XV berdasarkan taburan pembolehubah rawak bebas X dan Y yang diberi.
6. Konsep pembolehubah rawak. Undang-undang pengagihan kes diskret. kuantiti. Operasi matematik secara rawak. kuantiti.

2.1. Frekuensi relatif. Kestabilan frekuensi relatif

2.2. Had takrif klasik kebarangkalian. Kebarangkalian statistik

2.3. Kebarangkalian geometri

2.4. Teorem penambahan kebarangkalian

2.5. Kumpulan acara lengkap

2.6. Peristiwa bertentangan

2.7. Prinsip kemustahilan praktikal kejadian yang tidak mungkin

2.8. Menghasilkan acara. Kebarangkalian bersyarat

2.9. Teorem pendaraban kebarangkalian

2.10. Acara bebas. Teorem pendaraban untuk peristiwa bebas

2.10. Kebarangkalian sekurang-kurangnya satu peristiwa berlaku

Kuliah No. 3 Korolari teorem tambah dan darab

3.1. Teorem untuk menambah kebarangkalian kejadian bersama

3.2. Formula Kebarangkalian Jumlah

3.3. Kebarangkalian hipotesis. Formula Bayes

4. Pengulangan ujian

4.1. Formula Bernoulli

4.2. Hadkan teorem dalam skema Bernoulli

4.3. Teorem tempatan dan integral bagi Moivre-Laplace

4.3. Kebarangkalian sisihan frekuensi relatif daripada kebarangkalian malar dalam percubaan bebas

5. Pembolehubah rawak

5.1. Konsep pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak

5.2. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran

5.3. Taburan binomial

5.4. Pengagihan Poisson

5.5. Taburan geometri

5.6. Taburan hipergeometrik

6. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

6.1. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret

6.2. Jangkaan pembolehubah rawak diskret

6.3. Makna probabilistik jangkaan matematik

6.4. Sifat jangkaan matematik

6.5. Jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam percubaan bebas

7. Serakan pembolehubah rawak diskret

7.1. Kebolehlaksanaan untuk memperkenalkan ciri berangka penyerakan pembolehubah rawak

7.2. Sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya

7.3. Varians pembolehubah rawak diskret

7.4. Formula untuk mengira varians

7.5. Sifat serakan

7.6. Varians bilangan kejadian peristiwa dalam percubaan bebas

7.7. Sisihan piawai

7.8. Sisihan piawai hasil tambah pembolehubah rawak saling bebas

7.9. Pembolehubah rawak saling bebas teragih sama

7.10. Titik teori awal dan pusat

8. Hukum Nombor Besar

8.1. Ucapan awal

8.2. Ketaksamaan Chebyshev

8.3. Teorem Chebyshev

8.4. Intipati teorem Chebyshev

8.5. Kepentingan teorem Chebyshev untuk amalan

8.6. Teorem Bernoulli

Fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak

9.1. Definisi fungsi pengagihan

9.2. Sifat fungsi pengedaran

9.3. Graf fungsi taburan

10. Ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar

10.1. Penentuan ketumpatan agihan

10.2. Kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan jatuh ke dalam selang tertentu

10.3. Hukum taburan kebarangkalian seragam

11. Taburan normal

11.1. Ciri berangka pembolehubah rawak selanjar

11.2. Taburan normal

11.3. Keluk biasa

11.4. Pengaruh parameter taburan normal pada bentuk lengkung normal

11.5. Kebarangkalian jatuh ke dalam selang tertentu pembolehubah rawak normal

11.6. Mengira kebarangkalian bagi sisihan yang diberikan

11.7. Peraturan tiga sigma

11.8. Konsep teorem Lyapunov. Pernyataan teorem had pusat

11.9. Anggaran sisihan taburan teori daripada yang normal. Kecondongan dan kurtosis

11.10. Fungsi satu hujah rawak dan taburannya

11.11. Jangkaan matematik bagi fungsi satu hujah rawak

11.12. Fungsi dua hujah rawak. Pengagihan jumlah sebutan bebas. Kestabilan taburan normal

11.13. Taburan Chi kuasa dua

11.14. Pengagihan pelajar

11.15. Pengedaran Fischer–Snedecor f

12. Taburan eksponen

12.1. Definisi taburan eksponen

12.2. Kebarangkalian jatuh ke dalam selang tertentu bagi pembolehubah rawak teragih eksponen

§ 3. Ciri berangka taburan eksponen

12.4. Fungsi kebolehpercayaan

12.5. Undang-undang Kebolehpercayaan Eksponen

12.6. Ciri ciri undang-undang kebolehpercayaan eksponen

5.2. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran

Pada pandangan pertama, nampaknya untuk mentakrifkan pembolehubah rawak diskret sudah cukup untuk menyenaraikan semua nilai yang mungkin. Sebenarnya, ini tidak begitu: pembolehubah rawak boleh mempunyai senarai nilai yang mungkin sama, tetapi kebarangkaliannya mungkin berbeza. Oleh itu, untuk menentukan pembolehubah rawak diskret, tidak cukup untuk menyenaraikan semua nilai yang mungkin; anda juga perlu menunjukkan kebarangkalian mereka.

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret panggil surat-menyurat antara nilai yang mungkin dan kebarangkalian mereka; ia boleh ditentukan secara jadual, analitikal (dalam bentuk formula) dan grafik.

Definisi. Mana-mana peraturan (jadual, fungsi, graf) yang membolehkan anda mencari kebarangkalian peristiwa sewenang-wenangnya A S (S– -algebra peristiwa dalam ruang ), khususnya, menunjukkan kebarangkalian nilai individu bagi pembolehubah rawak atau satu set nilai ini, dipanggil undang-undang taburan pembolehubah rawak(atau ringkasnya: pengedaran). Mengenai s.v. mereka mengatakan bahawa "ia mematuhi undang-undang pengedaran yang diberikan."

biarlah X– d.s.v., yang mengambil nilai X 1 , X 2 , …, x n,... (set nilai ini adalah terhingga atau boleh dikira) dengan beberapa kebarangkalian hlm i, Di mana i = 1,2,…, n,… Undang-undang pengedaran d.s.v. mudah untuk ditetapkan menggunakan formula hlm i = P{X = x i)Di mana i = 1,2,…, n,..., yang menentukan kebarangkalian bahawa akibat daripada eksperimen r.v. X akan mengambil nilai x i. Untuk d.s.v. X undang-undang pengagihan boleh diberikan dalam bentuk jadual pengedaran:

				x n
				R n

Apabila menentukan hukum taburan pembolehubah rawak diskret dalam jadual, baris pertama jadual mengandungi nilai yang mungkin, dan yang kedua - kebarangkalian mereka. jadual sedemikian dipanggil berhampiran pengedaran.

Mengambil kira bahawa dalam satu percubaan pembolehubah rawak mengambil satu dan hanya satu nilai yang mungkin, kami membuat kesimpulan bahawa peristiwa X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n membentuk kumpulan yang lengkap; oleh itu, jumlah kebarangkalian kejadian ini, i.e. jumlah kebarangkalian baris kedua jadual adalah sama dengan satu, iaitu .

Jika set nilai yang mungkin X tak terhingga (dikira), kemudian siri R 1 + R 2 + ... menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan satu.

Contoh. Terdapat 100 tiket yang dikeluarkan untuk loteri tunai. Satu kemenangan sebanyak 50 rubel diundi. dan sepuluh kemenangan 1 gosok. Cari hukum taburan pembolehubah rawak X– kos kemungkinan kemenangan bagi pemilik satu tiket loteri.

Penyelesaian. Mari kita tulis nilai yang mungkin X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Kebarangkalian nilai yang mungkin ini ialah: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Mari kita tulis undang-undang pengedaran yang diperlukan:

Kawalan: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.

Contoh. Terdapat 8 bola dalam urn, 5 daripadanya berwarna putih, selebihnya berwarna hitam. 3 bola diambil secara rawak daripadanya. Cari hukum taburan bilangan bola putih dalam sampel.

Penyelesaian. Kemungkinan nilai r.v. X– terdapat bilangan bola putih dalam sampel X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Kebarangkalian mereka adalah sewajarnya

;
;
.

Marilah kita menulis hukum taburan dalam bentuk jadual.

Kawalan:
.

Undang-undang pengagihan d.s.v. boleh ditentukan secara grafik jika nilai kemungkinan r.v diplot pada paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot pada paksi ordinat. garis putus yang menghubungkan titik berturut-turut ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... dipanggil poligon(atau poligon) pengedaran(lihat Rajah 5.1).

nasi. 5.1. Poligon pengedaran

Sekarang kita boleh memberikan definisi d.s.v yang lebih tepat.

Definisi. Nilai rawak X adalah diskret, jika terdapat set nombor terhingga atau boleh dikira X 1 , X 2 , ... seperti itu P{X = x i } = hlm i > 0 (i= 1,2,…) dan hlm 1 + hlm 2 + R 3 +… = 1.

Mari kita takrifkan operasi matematik pada r.v diskret.

Definisi.Jumlah (beza, kerja) d.s.v. X, mengambil nilai x i dengan kebarangkalian hlm i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, dan d.s.v. Y, mengambil nilai y j dengan kebarangkalian hlm j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, dipanggil d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), mengambil nilai z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j) dengan kebarangkalian hlm ij = P{X = x i , Y = y j) untuk semua nilai yang ditentukan i Dan j. Jika beberapa jumlah bertepatan x i + y j (perbezaan x i – y j, berfungsi x i  y j) kebarangkalian yang sepadan ditambah.

Definisi.Kerja d.s.v. pada nombor s dipanggil d.s.v. cX, mengambil nilai Denganx i dengan kebarangkalian hlm i = P{X = x i }.

Definisi. Dua d.s.v. X Dan Y dipanggil bebas, jika peristiwa ( X = x i } = A i Dan ( Y = y j } = B j bebas untuk mana-mana i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, itu dia

Jika tidak r.v. dipanggil bergantung. Beberapa r.v. dipanggil saling bebas jika undang-undang pengedaran mana-mana daripada mereka tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh kuantiti lain.

Mari kita pertimbangkan beberapa undang-undang pengedaran yang paling biasa digunakan.