Однією з ознак паралелограма є те, що якщо у чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом . Тобто, якщо у чотирикутника дві сторони рівні та паралельні, то дві інші сторони також виявляються рівними між собою та паралельними одна одній, тому що цей факт є визначенням та властивістю паралелограма.
Таким чином, паралелограм можна визначити лише з двох сторін, які рівні та паралельні один одному.
Даний ознака паралелограма можна сформулювати як теорему та довести. У такому разі нам дано чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні одна одній. Потрібно довести, що такий чотирикутник є паралелограмом (тобто дві його інші сторони рівні та паралельні одна одній).
Нехай цей чотирикутник ABCD, і у ньому сторони AB || CD та AB = CD.
За умовою нам дано чотирикутник. Нічого не сказано про те, опуклий він чи ні (хоча паралелограмами можуть бути лише опуклі чотирикутники). Однак навіть у неопуклому чотирикутнику завжди є одна діагональ, яка ділить його на два трикутники. Якщо це буде діагональ AC, то отримаємо два трикутники ABC та ADC. Якщо це діагональ BD, то будуть ∆ABD та ∆BCD.
Допустимо, ми отримали трикутники ABC та ADC. У них одна сторона загальна (діагональ AC), сторона AB одного трикутника дорівнює стороні CD іншого (за умовою), кут BAC дорівнює куту ACD (як навхрест лежать між січною та паралельними прямими). Значить ∆ABC = ∆ADC по обидва боки та кут між ними.
З рівності трикутників випливає, що й інші сторони і кути відповідно рівні. Але стороні BC трикутника ABC відповідає стороні AD трикутника ADC, отже, BC = AD. Куту B відповідає кут D, отже, ∠B = ∠D. Ці кути можуть дорівнювати один одному, якщо BC || AD (оскільки AB || CD, ці прямі можна поєднати паралельним переносом, тоді ∠B стануть навхрест лежать ∠D, які рівність може лише при BC || AD).
За визначенням паралелограма ним є чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні та паралельні одна одній.
Таким чином було доведено, що якщо у чотирикутника ABCD сторони AB і CD рівні та паралельні і діагональ AC ділить його на два трикутники, то у нього інша пара сторін виявляється рівною один одному і паралельна.
Якщо чотирикутник ABCD був розділений на два трикутники іншою діагоналлю (BD), то розглядалися б трикутники ABD і BCD. Їхня рівність доводилася б аналогічно попередньому. Виявилося б, що BC = AD та ∠A = ∠C, звідки випливало, що BC || AD.
При-зна-ки парал-ле-ло-грам-ма
1. Визначення та основні властивості паралелограма
Почнемо з того, що згадаємо опре-де-ле-ня пара-ле-ло-ло-грам-ма.
Визначення. Па-рал-ле-ло-грам- Чо-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го каж-диє дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни парал-лель-ни (див. Рис . 1).
Мал. 1. Па-рал-ле-ло-грам
Згадай-нім ос-нов-ні влас-ства па-рал-ле-ло-грам-ма:
Для того, щоб мати можливість користуватися всіма цими властивостями, необхідно бути упевненим, що фі-гу-ра, про ко-то -Рой йде мова, - парал-ле-ло-грам. Для цього необхідне знати такі факти, як ознаки пара-ле-ло-ло-грам-ма. Перші два з них ми сьогодні і роздивляємося.
2. Перша ознака паралелограма
Теорема. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-вугілля-ні дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні і парал-лель-ни, то це че-ти-рех-вугілля- нік - пара-ра-ле-ло-грам. 
.
Мал. 2. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма
Доведення. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. мал. 2), вона роз-би-ла його на два три-кут-ні-ка. Запи-шемо, що ми знаємо про ці трикутники:
за першим при-зна-ку ра-вен-ства трикутників.
З рівності вказаних трикутників слідує, що за ознакою паралельності пря-мих при пе-ре-се- че-нии їх се-ку-щої. Маємо, що:
До-ка-за-але.
3. Друга ознака паралелограма
Теорема. Другий ознака пара-ле-ло-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-вуг-ні-ці кож-ні дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні, то цей че-ти-рех-кутник- пара-ра-ле-ло-грам. 
.
Мал. 3. Другий ознака пара-ле-ло-ло-грам-ма
Доведення. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. мал. 3), вона розбиває його на два трикутники. За-пи-шем, що ми знаємо про цих трикутники, виходячи з фор-му-лі-рів-ки тео-ре-ми:
по третій-му ознаку ра-вен-ства трикутників.
З ра-вен-ства трикутників стежить, що і за ознакою паралельності пря-мих при пересіченні їх се-ку-щої. По-лу-ча-єм:
парал-ле-ло-грам по визна-де-ленню. Що й потрібно було довести.
До-ка-за-але.
4. Приклад застосування першої ознаки паралелограмма
Роз-смот-рим приклад на при-ме-не-ня при-зна-ків парал-ле-ло-ло-грам-ма.
Приклад 1. У випук-лому чо-ти-рех-вуг-ні-ці Знайти: а) кути че-ти-рех-вуг-ні-ка; б) сто-ро-ну.
Рішення. Із-ра-зим Мал. 4.
пара-ле-ло-ло-грам за першим-го-при-зна-ку пара-ле-ло-ло-грам-ма.
А. 
за власністю па-рал-ле-ло-грам-ма про про-ти-во-по-лож-них кутах, за влас-ством па-рал-ле-ло-грам-ма про суму кутів, при- лежать до однієї сторони.
Б. 
за власністю ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-них сторін.
ре-тій ознака парал-ле-ло-грам-ма
5. Повторення: визначення та властивості паралелограма
Пам'ятаю, що пара-ра-ле-ло-грам- це че-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни по-пар-но па-рал-лель-ни. Тобто, якщо - пара-ле-ло-грам, то 
(див. рис. 1).
Па-рал-ле-ло-грам об-ла-да-є цілим рядом властивостей: проти-по-лож-ні кути рівні (), проти-по-лож-ні сто-ро -Ни рівні ( 
). Крім того, діа-го-на-лі парал-ле-ло-грам-ма в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам, сума кутів, при-ле- жа-щих до будь-якої сторони парал-ле-ло-грам-ма, дорівнює і т.д.
Але для того, щоб користуватися всіма цими влас-ства-ми, необ-хо-ди-мо бути аб-со-лют-но уве-рен-ни-ми в тому, що роз-смат- ри-ва-е-мий че-ти-рех-кутник - парал-ле-ло-грам. Для цього і існують ознаки пара-ле-ло-грам-ма: тобто ті факти, з яких можна зробити од-но-знач-ний висновок , Що че-ти-рех-кутник яв-ля-є-ся пара-ле-ло-ло-грам-мом. На попередньому уроці ми вже розглянули два ознаки. Зараз роздивлявся третій.
6. Третя ознака паралелограма та його доказ
Якщо в чо-ти-рех-вуг-ні-ці діа-го-на-ли в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам, то дан-ний че-ти- рох-кутник яв-ля-є-ся пара-ле-ло-ло-грам-мом.
Дано:
Че-ти-рех-кутник; ; .
Доказати:
Па-рал-ле-ло-грам.
Доведення:
Для того щоб довести цей факт, необхідне довести параллельність сто-рон паралле-ло-грам-ма. А параллельність пря-мих найчастіше до-ка-зи-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-хрест лежа-щих кутів при цих пря-мих. Таким об-разом, на-пра-ши-ва-є-ся сл-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-ть-го при-зна-ка пара-рал -ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство трикутника-ків 
.
До-кажем рівність цих трикутників. Дей-стви-тель-но, з умови слід-ду-ет: . Крім того, по-скільки кути - вер-ти-каль-ние, то вони рівні. Тобто:
(перший ознака рівностітрикутники- по двох сторонах і кутку між ними).
З рівності трикутника: (так як рівні внут-рен-ня на хрест лежать кути при цих прямих і сік-кущої). Крім того, з ра-вен-ства трикут-ників слід, що . Значить, ми лу-чи-ли, що в че-ти-рьох-кут-ні-ці дві сто-ро-ни рівні і парал-лель-ни. За першим ознакою пара-ле-ло-грам-ма: - пара-ра-ле-ло-грам.
До-ка-за-але.
7. Приклад завдання на третю ознаку паралелограма та узагальнення
Роз-смот-рим приклад на при-ме-не-ня тре-ть-го при-зна-ка пара-ле-ло-ло-грам-ма.
Приклад 1
Дано:
- парал-ле-ло-грам; . - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на (див. рис. 2).
Доказати:- Парал-ле-ло-грам.
Доведення:
Значить, у че-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-на-ли в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам. По третій-му ознаку па-рал-ле-ло-грам-ма з цього слід-ду-ет, що - пара-ра-ле-ло-грам.
До-ка-за-але.
Якщо про-ве-сти аналіз тре-ть-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можна заме-тить, що цей при-знак зі-від-віт- ству-є свій-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. Тобто, те, що діа-го-на-чи ді-лят-ся по-по-лам, яв-ля-є-ся не про-сто власністю па-рал-ле-ло-грам-ма, а його від-ли-чи-тель-ним, ха-рак-те-ри-сти-че-ським власністю, по ко-то-ро-му його можна ви-ділити з множини че-ти-рех-вугілля-ників.
ДЖЕРЕЛО
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельно паралельні.
1 . Будь-яка діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
Доведення . За II ознакою (навхрест кути, що лежать, і загальна сторона).
Теорему доведено.
2 . У паралелограмі протилежні сторонирівні, протилежні кути рівні.
Доведення .
Аналогічно,
Теорему доведено.
Властивість 3. У паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Доведення .
Теорему доведено.
Властивість 4 . Бісектриса кута паралелограма, перетинаючи протилежну сторону, ділить його на рівнобедрений трикутник і трапецію. (Ч. сл. - вершину - два рівнобедрених?-ка).
Доведення .
Теорему доведено.
5 . У паралелограмі відрізок з кінцями на протилежних сторонах, що проходить через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл.
Доведення .
Теорему доведено.
Властивість 6 . Кут між висотами, опущеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює гострому куту паралелограма.
Доведення .
Теорему доведено.
Властивість 7 . Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 °.
Доведення .
Теорему доведено.
Побудова бісектриси кута. Властивості бісектриси кута трикутника.
1) Побудувати довільний промінь DE.
2) На даному промені побудувати довільне коло з центром у вершині і таке саме
з центром на початку збудованого променя.
3) F і G - точки перетину кола зі сторонами даного кута, H - точка перетину кола з побудованим променем
Побудувати коло з центром у точці H та радіусом, рівним FG.
5) I - точка перетину кіл побудованого променя.
6) Провести пряму через вершину та I.
IDH – необхідний кут.
)
1 . Бісектриса кута трикутника розбиває протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам.
Доведення . Нехай x, y відрізки сторони c. Продовжимо промінь BC. На промені BC відкладемо від C відрізок CK, що дорівнює AC.
