У чому суть теореми Пуанкаре
- Е довела РАЖА Софія ось а також РУДА.
- Суть у тому, що Всесвіт має не форму сфери, а бублик
- Cмисл гіпотези Пуанкаре в її початковому формулюванні полягає в тому, що для будь-якого тривимірного тіла без отворів знайдеться таке перетворення, яке дозволить його без розрізання і склеювання перетворити на кулю. Якщо це здається очевидним, то якщо простір не тривимірний, а містить десять або одинадцять вимірів (тобто йдеться про узагальнене формулювання гіпотези Пуанкаре, яку і довів Перельман)
- у 2-х словах не розкажеш
- У 1900 році Пуанкаре припустив, що тривимірне різноманіття з усіма групами гомологій як у сфери гомеоморфної сфері. У 1904 році він знайшов контр-приклад, званий тепер сферою Пуанкаре, і сформулював остаточний варіант своєї гіпотези. Спроби довести гіпотезу Пуанкаре призвели до численних поступів у топології різноманітностей.
Докази узагальненої гіпотези Пуанкаре для n #10878; 5 отримані на початку 1960-1970-х майже одночасно Смейлом, незалежно та іншими методами Столінгсом (англ.) (для n # 10878; 7, його доказ був поширений на випадки n = 5 і 6 Зееманом (англ.)) . Доказ значно складнішого випадку n = 4 було отримано лише 1982 року Фрідманом. З теореми Новікова про топологічну інваріантність характеристичних класів Понтрягіна випливає, що існують гомотопічно еквівалентні, але не гомеоморфні різноманіття у високих розмірностях.
Доказ вихідної гіпотези Пуанкаре (і більш загальної гіпотези Трстона) було знайдено лише 2002 року Григорієм Перельманом. Згодом доказ Перельмана було перевірено та подано у розгорнутому вигляді як мінімум трьома групами вчених. 1 Доказ використовує потік Річчі з хірургією і багато в чому слідує плану, наміченому Гамільтоном, який також першим застосував потік Річчі.
- хто це такий
- Теорема Пуанкаре:
Теорема Пуанкаре про векторне поле
Теорема Пуанкаре Бендіксона
Теорема Пуанкаре про класифікацію гомеоморфізмів кола
Гіпотеза Пуанкаре про гомотопічну сферу
Теорема Пуанкаре про поверненняВи про яку питаєте?
- У теорії динамічних систем, теорема Пуанкаре про класифікацію гомеоморфізмів кола описує можливі типи оборотної динаміки на колі, в залежності від числа обертання p(f) відображення f, що ітерується. Грубо кажучи, виявляється, що динаміка ітерацій відображення певною мірою схожа на динаміку повороту на відповідний кут.
Зокрема, нехай заданий гомеоморфізм кола f. Тоді:
1) Число обертання раціонально тоді і лише тоді, коли f є періодичні точки. При цьому знаменник числа обертання це період будь-якої періодичної точки, а циклічний порядок на колі точок будь-якої періодичної орбіти такий самий, як і у точок орбіти повороту на p(f). Далі, будь-яка траєкторія прагне деякої періодичної як у прямому, і у зворотному часі (a- і -w граничні траєкторії у своїй можуть бути різними) .
2) Якщо число обертання f ірраціонально, то можливі два варіанти:
i) або f є щільна орбіта, і тоді гомеоморфізм f пов'язаний повороту на p(f). У цьому випадку всі орбіти f щільні (оскільки це правильно для ірраціонального повороту);
ii) або f є канторово інваріантна безліч C, що є єдиним мінімальним безліччю системи. У цьому випадку всі траєкторії прагнуть C як у прямому, так і в зворотному часі. Крім того, відображення f напівсполучене повороту на p(f): для деякого відображення h ступеня 1, p o f =R p (f) o hПри цьому безліч C точності є безліччю точок зростання h іншими словами, з топологічної точки зору, h сплескує інтервали доповнення до C.
- суть питання – 1 млн доларів
- У тому що її не хто не розуміє крім 1 людини
- У зовнішній політиці Франції.
- Ось тут Лка найкраще відповіла http://otvet.mail.ru/question/24963208/
- Геніальний математик, паризький професор Анрі Пуанкаре займався різними областями цієї науки. Самостійно і незалежно від робіт Ейнштейна в 1905 він висунув основні положення Спеціальної теорії відносності. А свою знамениту гіпотезу він сформулював ще 1904 року, тож на її вирішення знадобилося близько сторіччя.
Пуанкаре був одним із родоначальників топології науки про властивості геометричних фігур, які не змінюються при деформаціях, що відбуваються без розривів. Наприклад, повітряну кульку можна з легкістю деформувати в різні фігури як це роблять для дітей у парку. Але потрібно буде розрізати кульку, щоб скрутити з неї бублик (або, кажучи геометричною мовою, тор) іншого способу не існує. І навпаки: візьміть гумовий бублик і спробуйте перетворити його на сферу. Втім, все одно не вийде. За своїми топологічними властивостями поверхні сфери і тора несумісні, або негомеоморфні. Зате будь-які поверхні без дірок (замкнуті поверхні), навпаки, гомеоморфні та здатні, деформуючись, переходити у сферу.
Якщо щодо двовимірних поверхонь сфери і тора все було вирішено ще в XIX столітті, для багатовимірніших випадків знадобилося набагато більше часу. У цьому й полягає суть гіпотези Пуанкаре, яка розширює закономірність на багатовимірні випадки. Трохи спрощуючи, гіпотеза Пуанкаре говорить: Будь-яке однозв'язне замкнуте n-вимірне різноманіття гомеоморфно n-вимірної сфері. Забавно, що варіант із тривимірними поверхнями виявився непростим. У 1960 році гіпотеза була доведена для розмірностей 5 і вище, 1981 для n=4. Каменем спотикання стала саме тривимірність.
Розвиваючи ідеї Вільяма Трстена та Річарда Гамільтона, запропоновані ними у 1980-х роках, Григорій Перельман застосував до тривимірних поверхонь особливе рівняння плавної еволюції. І зумів показати, що вихідна тривимірна поверхня (якщо в ній немає розривів) обов'язково еволюціонуватиме в тривимірну сферу (це поверхня чотиривимірної кулі, і існує вона в 4-мірному просторі). За словами низки фахівців, це була ідея нового покоління, рішення якої відкриває нові обрії для математичної науки.
Цікаво, що сам Перельман чомусь не потрудився довести своє рішення до остаточного блиску. Описавши рішення загалом у препринті The entropy formula for Ricci flow and its geometric applications у листопаді 2002 року, він у березні 2003 року доповнив доказ і виклав його у препринті Ricci flow with surgery on three-manifolds, а також повідомив про метод у сірці лекцій, які прочитав у 2003 році на запрошення низки університетів. Жоден з рецензентів не зміг виявити в запропонованому ним варіанті помилок, але й публікації в науковому виданні, що реферується, Перельман не випустив (а саме таким, зокрема була необхідна умова отримання премії Математичного інституту Клея). Натомість у 2006 році на основі його методу вийшов цілий набір доказів, у яких американські та китайські математики докладно та повністю розглядають проблему, доповнюють моменти, опущені Перельманом, та видають остаточний доказ гіпотези Пуанкаре.
- Узагальнена гіпотеза Пуанкаре стверджує, що:
Для будь-якого n всяке різноманіття розмірності n гомотопічно еквівалентно сфері розмірності n і тоді, коли воно гомеоморфно їй.
Вихідна гіпотеза Пуанкаре є окремим випадком узагальненої гіпотези при n = 3.
За роз'ясненнями - у ліс за грибами, там ходить Григорій Перельман) - Теорема Пуанкаре про повернення одна з базових теорем ергодичної теорії. Її суть у тому, що при відображенні простору, що зберігає міру, на себе майже кожна точка повернеться у свою початкову околицю. Повне формулювання теореми наступне:
Нехай перетворення простору, що зберігає міру, з кінцевою мірою і нехай вимірна безліч. Тоді для будь-якого натурального
.
У цій теореми є несподіване слідство: виявляється, якщо в посудині, розділеній перегородкою на два відсіки, один з яких заповнений газом, а інший порожній, видалити перегородку, то через деякий час всі молекули газу знову зберуться у вихідній частині судини. Розгадка цього феномена в тому, що якийсь час має лад мільярдів років. - у нього теорем як собак у кореї різаних.
всесвіт має сферичну форму. http://ua.wikipedia.org/wiki/Пуанкаре, _Анрі
ось учора вчені оголосили - що всесвіт заморожена субстанція... і попросили багато грошей для доказу цього... знову мерикоси верстат включать друкований... для втіхи яйцеголових...
- Спробуй довести де верх і низ у невагомості.
- Вчора був чудовий фільм з КУЛЬТУРИ, в якому на пальцях пояснювалася ця проблема. Може, він ще в них є?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР СР Р РРСРР СРРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Заходьте в Яндекс і пишете Фільм про Перельмана та виходьте на фільм
Григорій Перельман. Відмовник
Василь Максимов
У серпні 2006 року були оголошені імена кращих математиків планети, які отримали найпрестижнішу Медаль Філдса – своєрідний аналог Нобелівської премії, якої математики, за забаганням Альфреда Нобеля, були позбавлені. Премія Fields Medal – окрім почесного знака, лауреатам вручається чек на п'ятнадцять тисяч канадських доларів – присуджується Міжнародним конгресом математиків раз на чотири роки. Вона заснована канадським ученим Джоном Чарльзом Філдсом і вперше вручена у 1936 році. З 1950 Fields Medal вручається регулярно особисто королем Іспанії за внесок у розвиток математичної науки. Лауреатами премії можуть стати від одного до чотирьох вчених віком до сорока років. Премію вже отримали сорок чотири математики, серед яких вісім росіян.
Григорій Перельман. Анрі Пуанкаре.
У 2006 році лауреатами стали француз Венделін Вернер, австралієць Теренс Тао та двоє росіян – працюючий у США Андрій Окуньков та вчений із Петербурга Григорій Перельман. Проте в останній момент стало відомо, що Перельман відмовився від цієї престижної нагороди – як оголосили організатори, «з принципових міркувань».
Такий екстравагантний вчинок російського математика не став несподіванкою для людей, які його знають. Він уже не вперше відмовляється від математичних нагород, пояснюючи своє рішення тим, що не любить урочистих заходів і зайвого галасу навколо свого імені. Ще десять років тому, у 1996 році, Перельман відмовився від премії Європейського математичного конгресу, пославшись на те, що не закінчив роботу над номінованою науковою проблемою, і це був не останній випадок. Російський математик наче зробив метою свого життя дивувати людей, йдучи всупереч громадській думці та науковій громадськості.
Григорій Якович Перельман народився 13 червня 1966 року у Ленінграді. З юних років захоплювався точними науками, блискуче закінчив знамениту 239-ю середню школу з поглибленим вивченням математики, перемагав на численних математичних олімпіадах: так, у 1982 році у складі команди радянських школярів брав участь у Міжнародній математичній олімпіаді, проході. Перельман без іспитів був зарахований до мехмату Ленінградського університету, де навчався на «відмінно», продовжуючи перемагати в математичних змаганнях усіх рівнів. Закінчивши університет із червоним дипломом, він вступив до аспірантури при Петербурзькому відділенні Математичного інституту імені В. А. Стеклова. Його науковий керівник був відомий математик академік Александров. Захистивши кандидатську дисертацію, Григорій Перельман залишився в інституті, у лабораторії геометрії та топології. Відомі його роботи з теорії просторів Александрова, він зумів знайти докази до ряду важливих гіпотез. Незважаючи на численні пропозиції від провідних західних університетів, Перельман вважає за краще працювати в Росії.
Найгучнішим його успіхом стало рішення в 2002 році знаменитої гіпотези Пуанкаре, опублікованої в 1904 році і з тих пір не доведеною. Перельман працював над нею вісім років. Гіпотеза Пуанкаре вважалася однією з найбільших математичних загадок, а її рішення - найважливішим досягненням у математичній науці: воно миттєво просуне вперед дослідження проблем фізико-математичних основ світобудови. Видатні уми планети прогнозували її рішення лише через кілька десятиліть, а Інститут математики Клея в Кембриджі, штат Массачусетс, вніс проблему Пуанкаре до семи найцікавіших невирішених математичних проблем тисячоліття, за вирішення кожної з яких була обіцяна премія в мільйон доларів (Millennium Prize Problems) .
Гіпотеза (іноді звана завданням) французького математика Анрі Пуанкаре (1854–1912) формулюється так: будь-який замкнутий однозв'язний тривимірний простір гомеоморфно тривимірній сфері. Для пояснення використовують наочний приклад: якщо обмотати яблуко гумовою стрічкою, то в принципі стягуючи стрічку, можна стиснути яблуко в крапку. Якщо ж обмотати такою ж стрічкою бублик, то в його точку стиснути не можна без розриву або бублика, або гуми. У такому контексті яблуко називають «однозв'язною» фігурою, а бублик не однозв'язний. Майже сто років тому Пуанкаре встановив, що двовимірна сфера є однозв'язковою, і припустив, що тривимірна сфера теж однозв'язна. Довести цю гіпотезу не могли найкращі математики світу.
Щоб претендувати на приз Інституту Клею, Перельману потрібно було лише опублікувати своє рішення в одному з наукових журналів, і якщо протягом двох років ніхто не зможе знайти помилку в його обчисленнях, то рішення вважатимуть вірним. Однак Перельман від початку відступив від правил, опублікувавши своє рішення на сайті препринтів Лос-Аламоської наукової лабораторії. Можливо, він побоювався, що в його розрахунки вкралася помилка – подібна історія вже відбувалася в математиці. У 1994 році англійський математик Ендрю Уайлз запропонував рішення знаменитої теореми Ферма, а через кілька місяців з'ясувалося, що в його розрахунки вкралася помилка (щоправда, згодом вона була виправлена, і сенсація все ж таки відбулася). Офіційної публікації доказу гіпотези Пуанкаре немає досі – натомість є авторитетна думка найкращих математиків планети, які б підтверджували вірність розрахунків Перельмана.
Медаль Філдса Григорія Перельмана була присуджена саме за вирішення проблеми Пуанкаре. Але російський учений відмовився від премії, якої він, без сумніву, гідний. «Григорій сказав мені, що почувається ізольованим від міжнародного математичного співтовариства поза цією спільнотою, тому не хоче отримувати нагороду», – заявив на прес-конференції в Мадриді президент Всесвітньої спілки математиків (ВСМ) англієць Джон Болл.
Ходять чутки, що Григорій Перельман взагалі збирається піти з науки: ще півроку тому він звільнився з рідного Математичного інституту імені Стеклова, і кажуть, ніби він більше не займатиметься математикою. Можливо, російський учений вважає, що, довівши знамениту гіпотезу, зробив для науки все, що міг. А втім, хто візьметься розмірковувати про хід думок такої яскравої вченої та неординарної людини?.. Від будь-яких коментарів Перельман відмовляється, а газеті The Daily Telegraph він заявив: «Ніщо з того, що я можу сказати, не становить жодного суспільного інтересу». Однак провідні наукові видання були одностайні у своїх оцінках, коли повідомили, що «Григорій Перельман, дозволивши теорему Пуанкаре, став одним рядом із найбільшими геніями минулого і сьогодення».
Щомісячний літературно-публіцистичний журнал та видавництво.
Вчені вважають, що 38-річний російський математик Григорій Перельман запропонував правильне вирішення проблеми Пуанкаре. Про це на науковому фестивалі в Ексетері (Велика Британія) заявив професор математики Стенфордського університету Кіт Девлін.
Проблема (її також називають завданням або гіпотезою) Пуанкаре належить до семи найважливіших математичних проблем, за вирішення кожної з яких призначив премію в один мільйон доларів. Саме це й привернула таку широку увагу до результатів, отриманих Григорієм Перельманом, співробітником лабораторії математичної фізики.
Вчені всього світу дізналися про досягнення Перельмана з двох препринтів (статей, що передують повноцінній науковій публікації), розміщених автором у листопаді 2002-го та березні 2003 року на сайті архіву попередніх робіт Лос-Аламоської наукової лабораторії.
Згідно з правилами, прийнятими Науковою консультативною радою інституту Клея, нова гіпотеза має бути опублікована у спеціалізованому журналі, який має "міжнародну репутацію". Крім того, за правилами Інституту, рішення про виплату призу приймає, зрештою, "математичну спільноту": доказ не повинен бути спростований протягом двох років після публікації. Перевіркою кожного доказу займаються математики у різних країнах світу.
Проблема Пуанкаре
Народився 13 червня 1966 року в Ленінграді, у сім'ї службовців. Закінчив знамениту середню школу №239 із поглибленим вивченням математики. У 1982 році у складі команди радянських школярів брав участь у Міжнародній математичній олімпіаді, що проходила у Будапешті. Був без іспитів зарахований на Матвій Ленінградського державного університету. Перемагав на факультетських, міських та всесоюзних студентських математичних олімпіадах. Отримував Ленінську стипендію. Закінчивши університет, Перельман вступив до аспірантури при Санкт-Петербурзькому відділенні Математичного інституту ім.В.А.Стеклова. Кандидат фізико-математичних наук. Працює у лабораторії математичної фізики.
Проблема Пуанкаре належить до області так званої топології різноманіття - особливо влаштованих просторів, що мають різну розмірність. Двовимірні різноманіття можна наочно уявити, наприклад, з прикладу поверхні тривимірних тіл - сфери (поверхні кулі) чи тора (поверхні бублика).
Легко уявити, що станеться з повітряною кулькою, якщо її деформувати (вигинати, скручувати, тягнути, стискати, перетискати, здувати чи надувати). Зрозуміло, що при всіх перерахованих вище деформаціях кулька змінюватиме свою форму в широких межах. Однак ми ніколи не зможемо перетворити кульку на бублик (або навпаки) без порушення безперервності його поверхні, тобто не розриваючи. У цьому випадку топологи кажуть, що сфера (кулька) негомеоморфна тору (бублику). Це означає, що дані поверхні неможливо відобразити одну на іншу. Говорячи простою мовою, сфера і тор різні за своїми топологічними властивостями. А поверхня повітряної кульки при всіляких її деформаціях гомеоморфна у сфері, так само як поверхня рятувального кола - тору. Іншими словами, будь-яка замкнута двовимірна поверхня, що не має наскрізних отворів, має ті ж топологічні властивості, що і двомірна сфера.
ТОПОЛОГІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються при безперервних деформаціях, таких, як розтягування, стиснення або згинання. Безперервна деформація - це деформація фігури, коли не відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) чи склеювань (тобто ототожнення її точок).
ТОПОЛОГІЧНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ однієї геометричної фігури на іншу - є відображення довільної точки Р першої фігури на точку Р інший фігури, яке задовольняє наступним умовам: 1) кожній точці Р першої фігури повинна відповідати одна і тільки одна точка Р другої фігури, і навпаки; 2) Відображення має бути взаємно безперервним. Наприклад, є дві точки Р і N, що належать одній фігурі. Якщо під час руху точки Р до точки N відстань з-поміж них прагне нулю, то відстань між точками Р` і N` інший постаті теж має прагнути нулю, і навпаки.
ГОМЕОМОРФІЗМ. Геометричні фігури, що переходять одна в одну при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Окружність і межа квадрата гомеоморфні, тому що їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто. Область, у якій будь-яку замкнуту просту (тобто. гомеоморфну кола) криву можна стягнути в крапку, залишаючись весь час у цій галузі, називається однозв'язною, а відповідна властивість області - однозв'язністю. Якщо ж деяку замкнуту просту криву цієї області не можна стягнути в крапку, залишаючись весь час у цій галузі, то область називається багатозв'язковою, а відповідна властивість області – багатозв'язковістю.
Проблема Пуанкаре стверджує те саме для тривимірних різноманіття (для двовимірних різноманіття, таких як сфера, це положення було доведено ще в XIX столітті). Як зазначив французький математик, одна з найважливіших властивостей двовимірної сфери полягає в тому, що будь-яка замкнута петля (наприклад, ласо), що лежить на ній, може бути стягнута в одну точку, не залишаючи при цьому поверхні. Для тора це справедливо не завжди: петля, що проходить через його отвір, стягнеться в крапку або при розломі тора, або при розриві петлі. В 1904 Пуанкаре висловив припущення, що якщо петля може стягуватися в точку на замкнутій тривимірній поверхні, то така поверхня гомеоморфна тривимірній сфері. Доказ цієї гіпотези виявився надзвичайно складним завданням.
Відразу уточнимо: згадане нами формулювання проблеми Пуанкаре говорить зовсім не про тривимірну кулю, яку ми можемо уявити без особливих труднощів, а про тривимірну сферу, тобто про поверхню чотиривимірної кулі, яка уявити собі вже набагато важче. Але наприкінці 1950-х років несподівано з'ясувалося, що з різноманіттями високих розмірностей працювати набагато легше, ніж із три- та чотиривимірними. Очевидно, відсутність наочності - далеко не головна трудноща, з якою стикаються математики у своїх дослідженнях.
Завдання, подібне до проблеми Пуанкаре, для розмірностей 5 і вище було вирішено в 1960 році Стівеном Смейлом (Stephen Smale), Джоном Стеллінгсом (John Stallings) та Ендрю Уоллесом (Andrew Wallace). Підходи, використані цими вченими, виявилися, проте, незастосовні до чотиривимірних різноманіттям. Їх проблема Пуанкаре було доведено лише 1981 року Майклом Фрідманом (Michael Freedman). Тривимірний випадок виявився найскладнішим; його рішення пропонує Григорій Перельман.
Слід зазначити, що у Перельмана є суперник. У квітні 2002 року професор математики британського університету Саутгемптон Мартін Данвуді запропонував свій метод вирішення проблеми Пуанкаре і тепер чекає на вердикт від інституту Клея.
Фахівці вважають, що вирішення проблеми Пуанкаре дозволить зробити серйозний крок у математичному описі фізичних процесів у складних тривимірних об'єктах та надасть нового імпульсу розвитку комп'ютерної топології. Метод, який пропонує Григорій Перельман, призведе до відкриття нового напряму у геометрії та топології. Петербурзький математик може претендувати на премію Філдса (аналог Нобелівської премії, яку з математики не присуджують).
Тим часом деякі знаходять поведінку Григорія Перельмана дивною. Ось що пише британська газета "Гардіан": "Швидше за все, підхід Перельмана до розгадки проблеми Пуанкаре вірний. Але не все так просто. Перельман не надає доказів того, що робота видана як повноцінна наукова публікація (препринти такою не вважаються). А це необхідно, якщо людина хоче отримати нагороду від інституту Клея. Крім того, вона взагалі не виявляє інтересу до грошей».
Мабуть, для Григорія Перельмана як для справжнього вченого гроші - не головне. За вирішення будь-якого з так званих "завдань тисячоліття" справжній математик продасть душу дияволові.
Список тисячоліття
8 серпня 1900 року на міжнародному математичному конгресі в Парижі математик Девід Гілберт (David Hilbert) виклав список проблем, які, як він вважав, треба було вирішити у ХХ столітті. У списку було 23 пункти. Двадцять один із них на даний момент вирішено. Останньою вирішеною проблемою зі списку Гілберта була знаменита теорема Ферма, з якою вчені було неможливо впоратися протягом 358 років. 1994 року своє рішення запропонував британець Ендрю Уайлз. Воно й виявилося вірним.
За прикладом Гілберта наприкінці минулого століття багато математиків намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на ХХI століття. Один із таких списків набув широкої популярності завдяки бостонському мільярдеру Лендону Клею (Landon T. Clay). У 1998 році на його кошти в Кембриджі (Массачусетс, США) було засновано та встановлено премії за вирішення низки найважливіших проблем сучасної математики. 24 травня 2000 року експерти інституту обрали сім проблем – за кількістю мільйонів доларів, виділених на премії. Список отримав назву Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформульована 1971 року)
Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете переконатися, що там знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. Без цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що вирішення будь-якої задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності розв'язання.
Стівен Кук сформулював проблему: чи може перевірка правильності розв'язання задачі бути тривалішою, ніж отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки. Ця проблема також є одним із невирішених завдань з галузі логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, що використовується під час передачі та зберігання даних.
2. Гіпотеза Рімана (сформульована 1859 року)
Деякі цілі числа не можуть бути виражені як добуток двох менших цілих чисел, наприклад, 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими та відіграють важливу роль у чистій математиці та її додатках. Розподіл простих чисел серед низки всіх натуральних чисел не підпорядковується жодної закономірності. Проте німецький математик Ріман висловив припущення щодо властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотезу Рімана буде доведено, то це призведе до революційної зміни наших знань у галузі шифрування та до небаченого прориву в галузі безпеки Інтернету.
3. Гіпотеза Берча та Свіннертон-Дайєра (сформульована у 1960 році)
Пов'язана з описом безлічі рішень деяких рівнянь алгебри від декількох змінних з цілими коефіцієнтами. Прикладом такого рівняння є вираз x 2 + y 2 = z 2 . Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для складніших рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.
4. Гіпотеза Ходжа (сформульована 1941 року)
У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об'єкта просту "цеглу", яка склеюється між собою і утворює її подобу. Гіпотеза Ходжа пов'язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких "цеглинок" та об'єктів.
5. Рівняння Навье - Стокса (сформульовані 1822 року)
 |
Якщо плисти в човні озером, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, у повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що це та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Навье - Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що рішення існує і досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро- та аеродинамічних розрахунків.
6. Проблема Пуанкаре (сформульована 1904 року)
Якщо натягнути гумову стрічку на яблуко, можна, повільно переміщуючи стрічку без відриву від поверхні, стиснути її до точки. З іншого боку, якщо ту ж гумову стрічку відповідним чином натягнути навколо бублика, то ніяким способом неможливо стиснути стрічку в крапку, не розриваючи стрічку або не ламаючи бублик. Кажуть, що поверхня яблука однозв'язкова, а поверхня бублика – ні. Довести, що однозв'язкова тільки сфера, виявилося настільки важко, що математики шукають правильну відповідь досі.
7. Рівняння Янга - Міллса (сформульовані 1954 року)
Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг та Міллс, виявивши зв'язок між геометрією та фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об'єднання теорій електромагнітної, слабкої та сильної взаємодій. З рівнянь Янга - Міллса випливало існування частинок, які справді спостерігалися в лабораторіях у всьому світі, тому теорія Янга - Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається пророкувати безліч елементарних частинок.
Михайло Вітебський
«Проблема, яку вирішив Перельман,полягає у вимогі довести гіпотезу, висунуту 1904 року великим французьким математиком Анрі Пуанкаре(1854-1912) і носить його ім'я. Про роль Пуанкаре в математиці важко сказати краще, ніж це зроблено в енциклопедії: «Праці Пуанкаре в галузі математики, з одного боку, завершують класичний напрямок, а з іншого - відкривають шляхи розвитку нової математики, де поряд з кількісними співвідношеннями встановлюються факти, що мають якісний характер» (БСЕ, вид. 3-тє, т. 2). Гіпотеза Пуанкаре якраз і має якісний характер - як і вся та область математики (а саме топологія), до якої вона належить і у створенні якої Пуанкаре взяв вирішальну участь.
Сучасною мовою гіпотеза Пуанкаре звучить так: всяке однозв'язне компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфно тривимірної сфері.
У наступних абзацах ми намагатимемося хоча б частково і дуже приблизно роз'яснити зміст цієї жахливої словесної формули. Для початку зауважимо, що звичайна сфера, яка є поверхня звичайної кулі, двомірна (а сама куля - та тривимірна). Двовимірна сфера складається з усіх точок тривимірного простору, рівновіддалених від певної виділеної точки, яка називається центром і сфері, що не належить. Тривимірна сфера складається з усіх точок чотиривимірного простору, рівновіддалених від свого центру (сфера, що не належить). На відміну від двовимірних сфер тривимірні сфери недоступнінашому безпосередньому спостереженню, і нам уявити їх так само важко, як Василю Івановичу з відомого анекдоту квадратний тричлен. Не виключено, однак, що всі ми якраз у тривимірній сфері і знаходимося, тобто, що наш Всесвіт є тривимірною сферою.
У цьому полягає значення результату Перельманадля фізики та астрономії. Термін «однозв'язне компактне тривимірне різноманіття без краю» містить вказівки на передбачувані властивості нашого Всесвіту. Термін «гомеоморфно» означає певну високу ступінь подібності, у сенсі неотличимость. Формулювання в цілому означає, отже, якщо наш Всесвіт має всі властивості однозв'язкового компактного тривимірного різноманіття без краю, то воно - в тому ж самому «відомому сенсі» - і є тривимірна сфера.
Поняття однозв'язку - досить просте поняття. Уявімо канцелярську гумку (тобто гумову нитку зі склеєними кінцями) настільки пружну, що вона, якщо її не утримувати, стягнеться в крапку. Від нашої гумки ми вимагатимемо ще, щоб при стягуванні в крапку вона не виходила за межі тієї поверхні, на якій ми її розташували. Якщо ми розтягнемо таку гумку на площині і відпустимо, вона негайно стягнеться до крапки. Те саме станеться, якщо ми розташуємо гумку на поверхні глобуса, тобто на сфері. Для поверхні рятувального кола ситуація виявиться зовсім іншою: люб'язний читач легко знайде такі розташування гумки на цій поверхні, при якій стягнути гумку в крапку, не виходячи за межі поверхні, що розглядається, неможливо. Геометрична фігура називається однозв'язковою, якщо будь-який замкнутий контур, розташований у межах цієї фігури, можна стягнути в крапку, не виходячи за названі межі. Ми тільки-но переконалися, що площина і сфера однозв'язні, а поверхня рятувального кола не однозв'язна. Не однозв'язкова і площина з вирізаною в ній діркою. Поняття однозв'язку можна застосувати і до тривимірних фігур. Так, куб і куля однозв'язні: всякий замкнутий контур, що знаходиться в їх товщі, можна стягнути в точку, причому в процесі стягування контур буде весь час залишатися в цій товщі. А ось бублик не однозв'язковий: в ньому можна знайти такий контур, який не можна стягнути в точку так, щоб у процесі стягування контур весь час знаходився в тесті бублика. Не однозв'язний і крендель. Можна довести, що тривимірна сфера є однозв'язковою.
Сподіваємося, що читач не забув, ще різницю між відрізком та інтервалом, якій навчають у школі. Відрізок має два кінці, він складається з цих кінців та всіх точок, розташованих між ними. Інтервал складається тільки з усіх точок, розташованих між його кінцями, самі ж кінці до складу інтервалу не входять: можна сказати, що інтервал - це відрізок з віддаленими з нього кінцями, а відрізок - це інтервал з доданими до нього кінцями. Інтервал і відрізок є найпростішими прикладами одновимірних різноманіття, причому інтервал є різноманіттям без краю, а відрізок - різноманіття з краєм; край у разі відрізка складається із двох кінців. Головна властивість різноманіття, що лежить в основі їх визначення, полягає в тому, що в різноманітті околиці всіх точок, за винятком точок краю (якого може і не бути), влаштовані абсолютно однаково.
При цьому околицею якої-небудь точки А називається сукупність всіх точок, розташованих поблизу цієї точки А. Мікроскопічна істота, що живе в різноманітті без краю і здатна бачити тільки найближчі до себе точки цього різноманіття, не в змозі визначити, в якій точці воно, істота, знаходиться: навколо себе вона завжди бачить те саме. Ще приклади одновимірних різноманітностей без краю: вся пряма лінія цілком, коло. Прикладом одномірної постаті, яка є різноманіттям, може бути лінія у формі букви Т: тут є особлива точка, околиця якої не схожа на околиці інших точок - це точка, де сходяться три відрізки. Інший приклад одновимірного різноманіття – лінія у формі вісімки; в особливій точці тут сходяться чотири лінії. Площина, сфера, поверхня рятувального кола служать прикладами двовимірного різноманіття без краю. Площина з вирізаною в ній діркою також буде різноманіттям - а ось із краєм або без краю, залежить від того, куди ми відносимо контур дірки. Якщо ми відносимо його до дірки, отримуємо різноманіття без краю; якщо залишаємо контур на площині, отримуємо різноманіття з краєм, яким буде цей контур. Зрозуміло, ми мали на увазі ідеальне математичне вирізання, а при реальному фізичному вирізанні ножицями питання, куди відноситься контур, не має сенсу.
Декілька слів про тривимірні різноманіття. Куля разом зі сферою, що служить його поверхнею, є різноманіттям з краєм; зазначена сфера якраз і є цим краєм. Якщо ми видалимо цю кулю з навколишнього простору, отримаємо різноманітність без краю. Якщо ми здеремо з кулі його поверхню, вийде те, що на математичному жаргоні називається «обкурена куля», а в більш науковій мові – відкрита куля. Якщо видалити відкритий шар з навколишнього простору, вийде різноманіття з краєм, і краєм слугуватиме та сама сфера, яку ми здерли з кулі. Баранка разом зі своєю скоринкою є тривимірне різноманіття з краєм, а якщо віддерти скоринку (яку ми трактуємо як нескінченно тонку, тобто як поверхню), отримаємо різноманіття без краю у вигляді «обкуреної бублика». Весь простір у цілому, якщо розуміти його так, як він розуміється в середній школі, є тривимірне різноманіття без краю.
Математичне поняття компактність частково відбиває сенс, який слово «компактний» має у повсякденному російській: «тісний», «стислий». Геометрична фігура називається компактною, якщо при будь-якому розташуванні нескінченного числа її точок вони накопичуються до однієї з точок або до багатьох точок цієї фігури. Відрізок компактний: для будь-якої нескінченної множини його точок у відрізку знайдеться хоча б одна так звана гранична точка, будь-яка околиця якої містить нескінченно багато елементів множини, що розглядається. Інтервал не компактний: можна вказати таку множину його точок, що накопичується до його кінця, і тільки до нього, - але ж кінець не належить інтервалу!
За нестачею місця ми обмежимося цим коментарем. Скажімо лише, що з розглянутих нами прикладів компактними є відрізок, коло, сфера, поверхні бублика і кренделя, куля (разом зі своєю сферою), бублик і крендель (разом зі своїми скоринками). Навпаки, інтервал, площина, ошкурені куля, бублик і крендель не є компактними. Серед тривимірних компактних геометричних фігур без краю найпростішою є тривимірна сфера, але в нашому звичному «шкільному» просторі такі фігури не вміщаються. Найбільше, мабуть, глибоке з тих понять, що пов'язує між собою гіпотеза Пуанкаре, - Це поняття гомеоморфії. Гомеоморфія - це найвищий ступінь геометричної однаковості . Зараз ми спробуємо дати приблизне роз'яснення цього поняття шляхом поступового наближення.
Вже в шкільній геометрії ми зустрічаємося з двома видами однаковості - з конгруентністю фігур та їх подобою. Нагадаємо, що фігури називаються конгруентними, якщо вони збігаються одна з одною при накладенні. У школі конгруентні постаті хіба що не розрізняють, і тому конгруентність називають рівністю. Конгруентні фігури мають однакові розміри у всіх деталях. Подібність, не вимагаючи однаковості розмірів, означає однаковість пропорцій цих розмірів; тому подоба відбиває більш сутнісне подібність фігур, ніж конгруентність.Геометрія загалом - вища ступінь абстракції, ніж фізика, а фізика - ніж матеріалознавство.
Візьмемо, наприклад, кульку підшипника, більярдну кулю, крокетну кулю та м'яч. Фізика не вникає в такі деталі, як матеріал, з якого вони виготовлені, а цікавиться лише такими якостями, як обсяг, вага, електропровідність і т. п. Для математики - всі вони кулі, що відрізняються тільки розмірами. Якщо кулі мають різні розміри, то вони відрізняються для метричної геометрії, але вони однакові для геометрії подібності. З точки зору геометрії подібності однакові і всі кулі, і всі куби, а ось куля та куб – не однакові.
А тепер подивимося на тор. Top - ця та геометрична фігура, форму якої мають бублик і рятувальний круг. Енциклопедія визначає тор як фігуру, отриману обертанням кола навколо осі, розташованої поза цим кругом. Закликаємо прихильного читача усвідомити, що куля і куб «однакові» між собою, ніж кожен з них з тором. Наповнити це інтуїтивне усвідомлення точним змістом дозволяє наступний уявний експеримент. Уявімо кулю зробленою з матеріалу настільки піддатливого, що його можна згинати, розтягувати, стискати і, взагалі, деформувати як завгодно, - не можна тільки ні розривати, ні склеювати. Очевидно, що кулю тоді можна перетворити на куб, але от на тор перетворити неможливо. Тлумачний словник Ушакова визначає кренделі як випічку (буквально: як здобну кручену булку) у формі літери В. При всій повазі до цього чудового словника, слова «у формі цифри 8» здаються мені більш точними; втім, з тієї точки зору, яка виражена в понятті гомеоморфії, і випічка у формі цифри 8, і випічка у формі літери, і випічка у формі фіти мають одну і ту ж форму. Навіть якщо припустити, що хлібопеки зуміли отримати тісто, що має вищезгадані властивості податливості, колобок неможливо - без розривів і склеювань! - перетворити ні на бублик, ні на крендель, як і останні дві випічки один на одного. А ось перетворити кулястий колобок на куб або на піраміду - можна. Люб'язний читач, безсумнівно, зможе знайти і таку можливу форму випічки, на яку не можна перетворити ні колобок, ні крендель, ні бублик.
Не назвавши цього поняття ми вже познайомилися з гомеоморфією. Дві фігури називаються гомеоморфними, якщо одну можна перетворити на іншу шляхом безперервної (тобто без розривів та склеювання) деформації; самі такі деформації називаються гомеоморфізм.Ми щойно з'ясували, що кулю гомеоморфен кубу і піраміді, але з гомеоморфен ні тору, ні кренделю, а останні два тіла не гомеоморфні між собою. Просимо читача розуміти, що ми навели лише приблизний опис поняття гомеоморфії, дане у термінах механічного перетворення.
Торкнемося філософського аспекту поняття гомеоморфії. Уявімо мислячу істоту, яка живе всередині будь-якої геометричної фігури і нещо має можливість подивитися на цю фігуру ззовні, «з боку». Він постать, у якій живе, утворює Всесвіт. Уявімо також, що коли охоплююча фігура піддається безперервної деформації, істота деформується разом з нею. Якщо фігура, про яку йдеться, є кулею, то істота ніяким способом не може розрізнити, чи вона перебуває в кулі, в кубі або в піраміді. Однак для нього не виключена можливість переконатися, що його Всесвіт не має форми тора або кренделя. Взагалі, істота може встановити форму навколишнього простору лише з точністю до гомеоморфії, тобто вона не в змозі відрізнити одну форму від іншої, якщо ці форми гомеоморфні.
Для математики значення гіпотези Пуанкаре, що перетворилася тепер з гіпотези на теорему Пуанкаре - Перельмана, величезно (адже не дарма за вирішення проблеми було запропоновано мільйон доларів), так само як величезне і значення знайденого Перельманом способу її доказу, але пояснити це значення тут - поза нашим умінням. Що ж до космологічної сторони справи, то, можливо, значимість цього аспекту була дещо перебільшена журналістами.
Втім, деякі авторитетні фахівці заявляють, що здійснений Перельманом науковий прорив може допомогти у дослідженні процесів формування чорних дірок. Чорні дірки, до речі, служать прямим спростуванням положення про пізнання світу - одного з центральних положень того самого передового, єдино вірного і всесильного вчення, яке 70 років насильно втовкмачувалося в наші бідні голови. Адже, як вчить фізика, жодні сигнали з цих дірок не можуть до нас надходити в принципі, тож дізнатися, що там відбувається, неможливо. Про те, як влаштований наш Всесвіт загалом, ми взагалі знаємо дуже мало, і сумнівно, що колись дізнаємося. Та й сам сенс питання про її влаштування не зовсім зрозумілий. Не виключено, що це питання належить до тих, на які, згідно з вченням Будди, неІснує відповіді. Фізика пропонує лише моделі пристрою, які більш-менш узгоджуються з відомими фактами. У цьому фізика, зазвичай, користується вже розробленими заготовками, наданими їй математикою.
Математика не претендує, зрозуміло, на те, щоб встановити будь-які геометричні властивості Всесвіту. Але вона дозволяє осмислити властивості, відкриті іншими науками. Більш того. Вона дозволяє зробити більш зрозумілими деякі такі властивості, які важко уявити, вона пояснює, як таке може бути. До таких можливих (підкреслимо: лише можливих!) властивостей ставляться кінцівка Всесвіту та її неориентируемость.
Довгий час єдиною мислимою моделлю геометричної будови Всесвіту служив тривимірний евклідовий простір, тобто той простір, який відомий усім і кожному із середньої школи. Цей простір нескінченний; здавалося, що інші уявлення і неможливі; подумати про кінцівку Всесвіту здавалося безумством. Однак нині уявлення про кінцівку Всесвіту не менш законне, ніж уявлення про її нескінченність. Зокрема, кінцева тривимірна сфера. Від спілкування з фізиками в мене залишилося враження, що одні відповідають «швидше за все. Всесвіт нескінченний», інші ж - «швидше за все, Всесвіт кінцевий».
Успенський В.А. , Апологія математики, або про математику як частини духовної культури, журнал «Новий світ», 2007, N 12, с. 141-145.
Практично кожна людина, навіть та, хто не має жодного відношення до математики, чула слова «гіпотеза Пуанкаре», але не всі можуть пояснити, в чому її суть. Для багатьох вища математика здається чимось складним і недоступним для розуміння. Тому спробуємо розібратися, що означає гіпотеза Пуанкаре простими словами.
Зміст:
Що таке гіпотеза Пуанкаре?
Формулювання гіпотези в оригіналі звучить так: « Будь-яке компактне однозв'язне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфно тривимірної сфері».
Куля - це геометричне тривимірне тіло, його поверхня називається сферою, вона двовимірна і складається з точок тривимірного простору, які рівновіддалені від однієї точки, що не належить цій сфері, - центру кулі. Крім двовимірних сфер, існують ще тривимірні сфери, що складаються з безлічі точок чотиривимірного простору, які так само рівновіддалені від однієї, що не належить сфері, точки її центру. Якщо двомірні сфери ми можемо побачити на власні очі, то тривимірні не підвладні нашому зоровому сприйняттю.
Оскільки ми не маємо можливості побачити Всесвіт, то можна припустити, що він і є тривимірною сферою, в якій живе все людство. У цьому полягає сутність гіпотези Пуанкаре. А саме те, що Всесвіт має такі властивості: тривимірність, безмежність, однозв'язність, компактність. Поняття «гомеоморфність» у гіпотезі означає високу ступінь схожості, подоби, випадку з Всесвіту – невідмінність.
Хто такий Пуанкаре?
Жуль Анрі Пуанкаре– найбільший математик, який народився 1854 року у Франції. Його інтереси не обмежувалися лише математичною наукою, він вивчав фізику, механіку, астрономію, філософію. Був членом понад 30 наукових академій світу, зокрема Петербурзької академії наук. Історики всіх часів і народів зараховують до найбільших математиків світу Давида Гільберта та Анрі Пуанкаре. У 1904 році вчений видав знамениту роботу, яка містила припущення, відоме на сьогоднішній день як «гіпотеза Пуанкаре». Саме тривимірне простір для математиків виявилося дуже складним для дослідження, знайти докази інших випадків не склало труднощів. Протягом близько століття доводилася істинність цієї теореми.
На початку ХХІ століття у Кембриджі було засновано премію в один мільйон дол. США за вирішення цього наукового завдання, яке входило до списку проблем тисячоліття. Лише російський математик із Санкт-Петербурга Григорій Перельман зміг це зробити для тривимірної сфери. У 2006 році за це досягнення йому було надано медаль Філдса, але він відмовився від її отримання.
До заслуг у науковій діяльності Пуанкареможна віднести такі досягнення:
- основа топології (розробка теоретичних основ різних явищ та процесів);
- створення якісної теорії диференціальних рівнянь;
- розробка теорії аморфних функцій, що стала основою спеціальної теорії відносності;
- висування теореми про повернення;
- розробка нових, ефективніших способів небесної механіки.
Доказ гіпотези
Однозв'язковому тривимірному простору присвоюються геометричні властивості, воно поділяється на метричні елементи, які мають відстані між собою з утворенням кутів. Для спрощення береться як зразок одновимірне різноманіття, в якому на евклідовій площині до гладкої замкнутої кривої проводяться в кожній точці дотичні вектора, рівні 1. При обході кривої вектор повертається з певною кутовою швидкістю, що дорівнює кривизні. Чим сильніше вигин лінії, тим більша кривизна. Кривизна має позитивний нахил, якщо вектор швидкості повернутий у бік внутрішньої частини площини, яку ділить лінія, і негативний, якщо повернутий зовні. У місцях перегину кривизна дорівнює 0. Тепер кожній точці кривої призначається вектор, перпендикулярний вектору кутової швидкості, а довжиною дорівнює величині кривизни. Він повернутий усередину, коли кривизна має позитивний нахил, і зовні – колись негативний. Відповідний вектор визначає напрямок та швидкість, з якою рухається кожна точка на площині. Якщо провести будь-де замкнуту криву, то за такої еволюції вона перетвориться на окружність. Це справедливо для тривимірного простору, що потрібно було довести.
Приклад:з повітряної кулі при деформації без розривів можна зробити різні фігури. Але бублик зробити не вийде, для цього його потрібно лише розрізати. І навпаки, маючи бублик, ніяк не зробиш цілісну кулю. Хоча з будь-якої іншої поверхні без розривів під час деформації можна отримати сферу. Це свідчить про те, що ця поверхня гомеоморфна кулі. Будь-яку кулю можна обв'язати ниткою з одним вузлом, з бубликом це зробити неможливо.
Куля – це найпростіша тривимірна площина, яку можна деформувати та згорнути у крапку і навпаки.
Важливо!Гіпотеза Пуанкаре стверджує еквівалентність замкнутого n-вимірного різноманіття n-вимірної сфері у разі його гомеоморфності їй. Вона стала відправною точкою у розвитку теорії про багатовимірні площини.
