Дослідницькі вміння можна поділити на загальні та спеціальні. До загальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення завдань з параметрами, відносяться: вміння побачити за цим рівнянням з параметром різні класи рівнянь, що характеризуються спільністю наявності кількості та виду коренів; вміння володіти аналітичним та графоаналітичним методами.
Рівняння та нерівності з параметром як засіб формування дослідницьких умінь учнів у 7-9 класах (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Дипломна робота
ппро тему: Рівняння та нерівності з параметром як засіб формування дослідних умінь учнів у 7 - 9 класах
Розвиток творчих розумових здібностей неможливий поза проблемними ситуаціями, тому особливе значення в навчанні мають нестандартні завдання. До них відносяться і завдання, що містять параметр. Математичний зміст цих завдань не виходить за межі програми, проте їх вирішення, як правило, викликає у учнів утруднення.
До реформи шкільної математичної освіти у 60-х роках у шкільній програмі та підручниках були спеціальні розділи: дослідження лінійних та квадратних рівнянь, дослідження систем лінійних рівнянь. Де ставилося завдання дослідження рівнянь, нерівностей та систем залежно від будь-яких умов чи параметрів.
В даний час програма не містить спеціальних згадок про дослідження або параметри в рівняннях чи нерівностях. Адже саме вони і є одним із ефективних засобів математики, які допомагають вирішити завдання формування інтелектуальної особистості, що ставиться програмою. Для усунення цієї суперечності виникла потреба створення елективного курсу на тему «Рівняння та нерівності з параметрами». Саме цим визначається актуальність даної роботи.
Рівняння та нерівності з параметрами – чудовий матеріал для справжньої дослідницької роботи, але шкільною програмою завдання з параметрами не передбачені як окрема тема.
Вирішення більшості завдань шкільного курсу математики спрямоване формування у школярів таких якостей як володіння правилами і алгоритмами дій відповідно до діючими програмами, вміння проводити елементарні дослідження.
Під дослідженням у науці розуміється вивчення будь-якого об'єкта з виявлення закономірностей його виникнення, розвитку, перетворення. У процесі дослідження застосовується накопичений досвід, наявні знання, а також методи та способи вивчення об'єктів. Підсумком дослідження має стати здобуття нових знань. У процесі навчального дослідження синтезуються накопичені учнем знання та досвід у вивченні математичних об'єктів.
У застосуванні до параметричних рівнянь та нерівностей можна виділити такі дослідницькі вміння:
1) Вміння виражати через параметр умови належності даного параметричного рівняння до того чи іншого класу рівнянь;
2) Вміння визначати вид рівняння та вказувати вид коефіцієнтів залежно від параметрів;
3) Вміння виражати через параметри, умови наявності розв'язків параметричного рівняння;
4) У разі наявності коренів (рішень) вміти виражати умови наявності тієї чи іншої кількості коренів (рішень);
5) Вміння виражати через параметри самі корені параметричні рівняння (вирішення нерівності).
Розвиваючий характер рівнянь і нерівностей з параметрами визначається їхньою здатністю реалізовувати багато видів мисленнєвої діяльності учнів:
Вироблення певних алгоритмів мислення, Вміння визначити наявність та кількість коренів (у рівнянні, системі);
Рішення сімейств рівнянь, що є наслідком цього;
Вираз однієї змінної через іншу;
Знаходження області визначення рівняння;
Повторення великого обсягу формул під час вирішення;
Знання відповідних методів розв'язання;
Широке застосування словесної та графічної аргументації;
Розвиток графічної культури учнів;
Все сказане вище дозволяє говорити про необхідність вивчення рівнянь і нерівностей з параметрами в шкільному курсі математики.
Нині клас завдань із параметрами поки що чітко методично не відпрацьовано. Актуальність вибору теми елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» визначається значимістю теми «Квадратний тричлен та його властивості» у шкільному курсі математики та, водночас, браком часу на розгляд завдань, пов'язаних із дослідженням квадратного тричлена, що містить параметр.
У своїй роботі ми хочемо показати, що завдання з параметра не повинні бути важким доповненням до основного матеріалу, що вивчається, яким можуть опанувати тільки здібні діти, а можуть і повинні використовуватися в загальноосвітній школі, що збагатить навчання новими методами та ідеями, допоможе учням розвивати мислення.
Мета роботи полягає у вивченні місця рівнянь та нерівностей з параметрами в курсі алгебри 7-9 класів, розробленні елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» та методичних рекомендацій щодо його проведення.
Об'єкт дослідження – процес навчання математики у 7-9 класах загальноосвітньої школи.
Предмет дослідження – зміст, форми, методи та засоби розв'язання рівнянь та нерівностей із параметрами у середній загальноосвітній школі, забезпечення розробки ективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром».
Гіпотеза дослідження полягає в тому, що даний елективний курс допоможе забезпечити більш поглиблене вивчення змістовної лінії розділу математики «Рівняння та нерівності з параметрами», усунути розбіжності у вимогах з математики, пред'явлених до підготовки випускників у школі та абітурієнтів у вузі, розширити можливості розвитку мисленнєвої діяльності учнів, якщо у процесі вивчення будуть використані:
· Розгляд графічних прийомів розв'язання квадратних рівнянь і нерівностей з параметром за допомогою роботи школярів з навчальною літературою;
· Розв'язання завдань на дослідження квадратного тричлена, що містить параметр, з використанням самоконтролю школярів та взаємоконтролю;
· таблиці для узагальнення матеріалу на теми «Знак коренів квадратного тричлена», «розташування параболи щодо осі абсцис»;
· Використання різноманітних способів оцінювання результатів навчання та накопичувальної системи балів;
· Вивчення всіх тем курсу з наданням учневі можливості самостійно знаходити шлях вирішення завдання.
Відповідно до метою, об'єктом, предметом та гіпотезою дослідження висуваються такі завдання дослідження:
· Розглянути загальні положення щодо вивчення рівнянь і нерівностей з параметрами в 7-9 класах;
· Розробити елективний курс з алгебри «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» та методику його проведення.
У ході дослідження було використано такі методи:
· Аналіз літератури;
· Аналіз досвіду розробки елективних курсів.
Глава 1. Психолого-педагогічні особливості вивчення теми « Рівняння та нерівності з параметрами» в курсі алгебри 7-9 класу
§ 1. Вікові, фізіологічні та психологічні особенності школярів 7-9 класів
Середній шкільний вік (підлітковий) характеризується бурхливим зростанням та розвитком всього організму. Спостерігається інтенсивне зростання тіла завдовжки (у хлопчиків протягом року спостерігається приріст на 6 — 10 сантиметрів, а й у дівчаток до 6 — 8 сантиметрів). Продовжується окостеніння скелета, кістки набувають пружності та твердості, зростає сила м'язів. Однак розвиток внутрішніх органів відбувається нерівномірно, зростання кровоносних судин відстає від зростання серця, що може спричинити порушення ритму його діяльності, почастішання серцебиття. Розвивається легеневий апарат, дихання у віці прискорене. Об'єм мозку наближається до обсягу мозку дорослої людини. Поліпшується контроль кори головного мозку над інстинктами та емоціями. Однак процеси збудження все ще переважають процеси гальмування. Починається посилена діяльність асоціативних волокон.
У цьому віці відбувається статеве дозрівання. Посилюється діяльність залоз внутрішньої секреції, зокрема статевих залоз. З'являються вторинні статеві ознаки. Організм підлітка виявляє велику стомлюваність, зумовлену кардинальними змінами у ньому. Сприйняття підлітка цілеспрямованіше, організовано і планомірно, ніж молодшого школяра. Визначальне значення має відношення підлітка до об'єкта, що спостерігається. Увага довільно, вибірково. Підліток може довго зосереджуватись на цікавому матеріалі. Запам'ятовування понять, безпосередньо з осмисленням, аналізом і систематизацією інформації, висувається першому плані. Для підліткового віку характерна критичність мислення. Для учнів цього віку властива велика вимогливість до інформації. Поліпшується здатність до абстрактного мислення. Прояв емоцій у підлітків часто буває досить бурхливим. Особливо виявляється гнів. Для цього віку досить характерні впертість, егоїзм, відхід у себе, гострота переживань, конфлікти з оточуючими. Дані прояви дозволили педагогам та психологам говорити про кризу підліткового віку. Формування ідентичності вимагає від людини переосмислення своїх зв'язків із оточуючими, свого місця серед інших людей. У підлітковому віці відбувається інтенсивне моральне та соціальне формування особистості. Йде процес формування моральних ідеалів та моральних переконань. Часто вони мають хисткий, суперечливий характер.
Спілкування підлітків із дорослими суттєво відрізняється від спілкування молодших школярів. Підлітки часто не розглядають дорослих як можливих партнерів із вільного спілкування, вони сприймають дорослих як джерело організації та забезпечення їхнього життя, причому організаторська функція дорослих сприймається підлітками найчастіше лише як обмежувально-регулююча.
Скорочується кількість питань, звернених до вчителів. Запитання стосуються, в першу чергу, організації та змісту життєдіяльності підлітків у тих випадках, у яких вони не можуть обійтися без відповідних відомостей та інструкцій дорослих. Зменшується кількість питань етичного характеру. Порівняно з попереднім віком авторитет педагога як носія соціальних норм та можливого помічника у вирішенні складних життєвих проблем суттєво знижується.
§ 2. Вікові особливості навчальної діяльності
Вчення для підлітка є основним видом діяльності. У навчальної діяльності підлітка є свої труднощі та протиріччя, але й свої переваги, куди може і має спиратися педагог. Великим достоїнством підлітка є його готовність до всіх видів навчальної діяльності, які роблять його дорослим у власних очах. Його залучають самостійні форми організації занять під час уроку, складний навчальний матеріал, можливість самому будувати свою пізнавальну діяльність поза школи. Однак підліток цю готовність не вміє реалізувати, оскільки він не має способів виконання нових форм навчальної діяльності.
Підліток емоційно реагує новий навчальний предмет, а в деяких ця реакція зникає досить швидко. Нерідко у них знижується і загальний інтерес до вчення, школи. Як свідчить психологічні дослідження, основна причина полягає у несформованості у учнів навичок навчальної діяльності, що дає можливості задовольнити актуальну потреба віку — потреба у самоствердженні.
Одним із способів підвищення ефективності навчання є цілеспрямоване формування мотивів вчення. Це безпосередньо з задоволенням переважаючих потреб віку. Одна з таких потреб – пізнавальна. При її задоволенні у нього формується стійкі пізнавальні інтереси, які визначають його позитивне ставлення до навчальних предметів. Підлітків дуже приваблює можливість розширити, збагатити свої знання, проникнути в сутність явищ, що вивчаються, встановити причинно-наслідкові зв'язки. Вони відчувають велике емоційне задоволення від дослідницької діяльності. Незадоволення пізнавальної потреби та пізнавальних інтересів викликає як стан нудьги, байдужості, а часом і різко негативне ставлення до «нецікавим предметам». При цьому однаково має значення як зміст, так і процес, способи, прийоми оволодіння знаннями.
Інтереси підлітків різняться за спрямованістю їх пізнавальної діяльності. Одні учні воліють описовий матеріал, їх залучають окремі факти, інші прагнуть розібратися в сутності явищ, що вивчаються, пояснити їх з точки зору теорії, треті виявляють більшу активність при використанні знань у практичній діяльності, інші — до творчої, дослідницької діяльності. 15]
Поряд із пізнавальними інтересами важливе значення при позитивному відношенні підлітків до вчення має розуміння значущості знань. Для них дуже важливо усвідомити, осмислити життєве значення знань і, перш за все, їхнє значення для розвитку особистості. Багато навчальних предметів подобаються підлітку тому, що вони відповідають його потребам всебічно розвиненої людини. Переконання та інтереси, зливаючись воєдино, створюють у підлітків підвищений емоційний тонус і визначають їхнє активне ставлення до вчення.
Якщо ж підліток не бачить життєвого значення знань, то він може сформувати негативні переконання та негативне ставлення до існуючих навчальних предметів. Істотно значення при негативному відношенні підлітків до вчення має усвідомлення та переживання ними неуспіху в оволодінні тими чи іншими навчальними предметами. Страх перед неуспіхом, страх поразки часом призводить підлітків до пошуку пристойних причин, щоб не піти до школи або піти з уроку. Емоційне благополуччя підлітка багато в чому залежить від оцінки його навчальної діяльності дорослими. Нерідко сенс оцінки для підлітка виступає у прагненні досягти успіху в навчальному процесі і тим самим отримати впевненість у своїх здібностях та можливостях. Це з такою домінуючою потребою віку, як потреба усвідомити, оцінити себе як особистість, свої сильні та слабкі сторони. Як свідчать дослідження, саме у підлітковому віці домінуючу роль грає самооцінка. Для емоційного благополуччя підлітка дуже важливо, щоб оцінка та самооцінка збігалися. Інакше виникає внутрішній, котрий іноді зовнішній конфлікт.
У середніх класах учні приступають до вивчення та освоєння основ наук. Учні мають опанувати великий обсяг знань. Матеріал, що підлягає засвоєнню, з одного боку вимагає вищого, ніж раніше рівня навчально-пізнавальної та розумової діяльності, а з іншого боку спрямовано їх розвиток. Учні повинні опанувати систему наукових понять і термінів, тому нові навчальні предмети висувають нові вимоги до способів засвоєння знань і спрямовані на розвиток інтелекту вищого рівня — теоретичного, формального, рефлексивного мислення. Таке мислення притаманно юнацького віку, але починає воно розвиватися в молодших підлітків.
Нове у розвитку мислення підлітка полягає у його ставленні до інтелектуальних завдань як до таких, які вимагають їхнього попереднього уявного рішення. Вміння оперувати гіпотезами у вирішенні інтелектуальних завдань – найважливіше придбання підлітка у аналізі дійсності. Мислення припущеннями є відмінним інструментом наукової міркування, тому таке мислення називається рефлексивним. Хоча засвоєння наукових понять у школі вже саме собою створює низку об'єктивних умов на формування у школярів теоретичного мислення, проте, воно формується в усіх: в різних учнів може бути різний рівень і якість його реальної сформованості.
Теоретичне мислення може формуватися як при оволодінні шкільними знаннями. Контрольованою та керованою стає мова, причому в деяких особисто значущих ситуаціях підлітки особливо прагнуть говорити красиво, правильно. У процесі та в результаті засвоєння наукових понять створюється новий зміст мислення, нові форми інтелектуальної діяльності. Істотним показником неповноцінного засвоєння теоретичних знань є невміння підлітка вирішувати завдання, які потребують використання цих знань.
Центральне місце починає займати аналіз змісту матеріалу, його своєрідності та внутрішньої логіки. Для одних підлітків характерна гнучкість у виборі шляхів заучування, інші вважають за краще якийсь один спосіб, а деякі намагаються впорядкувати і логічно обробити будь-який матеріал. Вміння логічно обробляти матеріал часто розвивається у підлітків стихійно. Від цього залежить не лише успішність, глибина та міцність знань, а й можливість подальшого розвитку інтелекту та здібностей підлітка.
§ 3. Організація навчальної діяльностіності школярів 7-9 класів
Організація навчальної діяльності підлітків - найважливіше та найскладніше завдання. Учень середнього шкільного віку цілком здатний зрозуміти аргументацію педагога, батька, погодитися з розумними аргументами. Однак через особливості мислення, характерних для даного віку, підлітка вже не задовольнить процес повідомлення відомостей у готовому, закінченому вигляді. Йому захочеться перевірити їх достовірність, переконатися у правильності суджень. Суперечки з учителями, батьками, приятелями - характерна риса цього віку. Їх важлива роль полягає в тому, що вони дозволяють обмінятися думками на тему, перевірити істинність своїх поглядів і загальноприйнятих поглядів, проявити себе. Зокрема, у навчанні великий ефект дає запровадження проблемних завдань. Основи даного підходу в навчанні були розроблені ще в 60-70-ті роки XX століття вітчизняними педагогами. В основі всіх дій при проблемному підході лежить усвідомлення відсутності знань на вирішення конкретних завдань, вирішення протиріч. У сучасних умовах цей підхід має реалізовуватися в контексті рівня досягнень сучасної науки, завдань соціалізації учнів.
Важливо заохочувати самостійність мислення, висловлювання школярем власної точки зору, вміння порівнювати, знаходити спільні та відмінні риси, виділяти головне, встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, робити висновки.
Для підлітка велике значення матиме інформація цікава, цікава, яка стимулює його уяву, змушує задуматися. Хороший ефект дає періодична зміна видів діяльності — як на уроці, а й під час підготовки домашніх завдань. Різноманітність видів роботи здатна стати вельми результативним засобом підвищення уваги і важливим способом запобігання загальної фізичної стомлюваності, пов'язаної як з навчальним навантаженням, так і з загальним процесом кардинальної перебудови організму в період статевого дозрівання. 20]
Учні до вивчення відповідних розділів шкільної програми часто вже мають певні життєві уявлення і поняття, які дозволяють їм досить добре орієнтуватися в повсякденній практиці. Ця обставина в тих випадках, коли їх увага спеціально не звернена на зв'язок одержуваних знань із практичним життям, позбавляє багатьох учнів потреби у придбанні та засвоєнні нових знань, оскільки останні не мають для них практичного сенсу.
Моральні ідеали та моральні переконання підлітків складаються під впливом численних факторів, зокрема посилення виховного потенціалу навчання. У вирішенні складних життєвих проблем більше уваги слід приділяти непрямим методам на свідомість підлітків: не підносити готову моральну істину, а підводити до неї, не висловлювати категоричних суджень, які підлітки можуть сприйняти в «штики».
§ 4. Навчальне дослідження в системі основних вимог до змісту математичної освіти та рівня підготовки учнів
Рівняння та нерівності з параметрами – це чудовий матеріал для справжньої дослідницької роботи. Але шкільною програмою завдання з параметрами не передбачено як окрему тему.
Проаналізуємо різні розділи навчального стандарту шкіл Росії з погляду виявлення питань, що з навчанням розв'язання завдань із параметрами.
Вивчення програмного матеріалу дає можливість учням основної школи «отримати початкові ставлення до завдання з параметрами, що зводиться до лінійним і квадратним» і навчитися будувати графіки функцій, досліджувати розташування цих графіків у координатної площині залежно від значень параметрів, які входять у формулу.
У лінії «функція» не згадується слово «параметр», але говориться, що учні мають можливість «систематизувати та розвинути знання про функцію; розвинути графічну культуру, навчитися вільно „читати“ графіки, відбивати властивості функції на графіці».
Проаналізувавши шкільні підручники з алгебри таких колективів авторів як: Алімов Ш. А. та ін., Макарічев Ю. Н. та ін., Мордкович А. Г. та ін., приходимо до висновку, що завданням з параметрами у цих навчальних посібниках приділяється мало уваги. У підручниках для 7-х класів є кілька прикладів на дослідження питання про кількість коренів лінійного рівняння, на дослідження залежності розташування графіка лінійної функції у = kх та у = kх + b залежно від значень k. У підручниках для 8-9 класів у розділах типу "Завдання для позакласної роботи" або "Вправи на повторення" дано по 2-3 завдання на дослідження коренів у квадратних та біквадратних рівняннях з параметрами, розташування графіка квадратичної функції залежно від значень параметрів.
У програмі з математики для шкіл та класів з поглибленим вивченням у пояснювальній записці написано «розділ «Вимоги до математичної підготовки учнів» задає приблизний обсяг знань, умінь та навичок, які мають опанувати школярі. У цьому обсязі, безумовно, входять ті знання, уміння та навички, обов'язкове набуття яких усіма учнями передбачено вимогами програми загальноосвітньої школи; проте пропонується інша, більш висока якість їх сформованості. Учні мають набути вміння вирішувати завдання вищої проти обов'язковим рівнем складності, точно і грамотно формулювати вивчені теоретичні становища і викладати власні міркування під час вирішення завдань…"
Проаналізуємо деякі навчальні посібники для учнів із поглибленим вивченням математики.
Формулювання таких завдань та їх вирішення не виходять за рамки шкільної програми, але складності, з якими стикаються учні, пояснюються, по-перше, наявністю параметра, по-друге, розгалуженням рішення та відповідей. Однак, практика вирішення завдань з параметрами корисна для розвитку та зміцнення здатності до самостійного логічного мислення, для збагачення математичної культури.
У школі в загальноосвітніх класах таким завданням приділяється, як правило, дуже мало уваги. Оскільки розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами є, мабуть, найважчим розділом курсу елементарної математики, навряд чи доцільно навчати вирішення таких завдань з параметрами масового школяра, але сильних учнів, які виявляють інтерес, схильність і здібності до математики, прагнуть діяти самостійно, вчити Вирішувати такі завдання, безумовно, необхідно. Тому поряд із такими традиційними змістовно-методичними лініями шкільного курсу математики, як функціональна, числова, геометрична, лінія рівнянь та лінія тотожних перетворень, має зайняти певне положення та лінія параметрів. Зміст матеріалу та вимоги до учнів на тему «завдання з параметрами» повинні визначатися, звичайно, рівнем математичної підготовки всього класу в цілому та кожного окремо.
Вчитель повинен сприяти задоволенню потреб та запитів школярів, які виявляють інтерес, схильність та здатність до предмета. З питань, що цікавлять учнів, можна організувати консультації, гуртки, додаткові заняття та факультативи. Повною мірою це стосується питання про завдання з параметрами.
§ 5. Навчальне дослідження у структурі пізнавальної діяльності школярів
На даний момент особливо гостро постає питання підготовки учня, який прагне діяти самостійно, за рамками вимог вчителя, що не обмежує сферу своїх інтересів та активного дослідження пропонованим йому навчальним матеріалом, що вміє представляти та аргументовано відстоювати своє вирішення тієї чи іншої проблеми, що вміє конкретизувати або, навпаки, узагальнювати аналізований результат, виявляти причинно-наслідкові зв'язки тощо. У зв'язку з цим велике значення набувають дослідження, в яких аналізуються основи психології математичної творчості дітей шкільного віку, розглядається проблема управління процесом мисленнєвої діяльності учнів, формування та розвиток у них умінь самостійно набувати знання, застосовувати знання, поповнювати та систематизувати їх, проблема підвищення активності пізнавальної діяльності школярів (Л.С. Виготський, П. Я. Крутецький, Н. А. Менчинська, С. Л. Рубінштейн, Л.М. Фрідман та ін).
До дослідницького методу навчання можна віднести два дослідницькі методи: навчальний та науковий.
Вирішення суттєвої частини завдань шкільного курсу математики передбачає сформованими у учнів такі якості, як володіння правилами та алгоритмами дій відповідно до чинних програм, уміння проводити елементарні дослідження. Під дослідженням у науці розуміється вивчення будь-якого об'єкта з виявлення закономірностей його виникнення, розвитку перетворення. У процесі дослідження застосовується накопичений попередній досвід, наявні знання, а також методи та способи (прийоми) вивчення об'єктів. Підсумком досліджень має стати здобуття нових наукових знань.
У застосуванні до процесу навчання математики в середній школі важливо відзначити наступне: до основних компонентів навчального дослідження відносять постановку проблеми дослідження, усвідомлення його цілей, попередній аналіз наявної інформації з питання, що розглядаються, умови та методи вирішення завдань, близьких до проблеми дослідження, висування та формулювання вихідної гіпотези, аналіз та узагальнення отриманих у ході дослідження результатів, перевірка вихідної гіпотези на основі отриманих фактів, остаточне формулювання нових результатів, закономірностей, властивостей, визначення місця знайденого вирішення поставленої проблеми у системі наявних знань. Основне місце серед об'єктів навчального дослідження займають ті поняття та відносини шкільного курсу математики, у процесі вивчення яких виявляються закономірності їх зміни та перетворення, умов їх здійснення, єдиності тощо.
Серйозним потенціалом у формуванні таких дослідницьких умінь, як уміння цілеспрямовано спостерігати, порівнювати, висувати, доводити або спростовувати гіпотезу, уміння узагальнювати та ін., мають завдання на побудову в курсі геометрії, рівняння та нерівності з параметрами в курсі алгебри, так звані динамічні у процесі вирішення яких учні освоюють основні прийоми мисленнєвої діяльності: аналіз, синтез (аналіз через синтез, синтез через аналіз), узагальнення, конкретизація та ін., цілеспрямовано спостерігає об'єкти, що змінюються, висуває і формулює гіпотезу щодо властивостей аналізованих об'єктів, перевіряє висунуту гіпотезу, визначає місце підвченого результату у системі отриманих раніше знань, його практичну значимість. Вирішальне значення має організація навчального дослідження учителем. Навчання прийомів мисленнєвої діяльності, вміння здійснювати елементи дослідження — ці цілі постійно привертають увагу вчителя, спонукаючи його шукати відповіді багато методичні питання, пов'язані з вирішенням проблеми.
Вивчення багатьох питань програми надає чудові можливості для створення більш цілісної та повної картини, пов'язаної з розглядом того чи іншого завдання.
У процесі навчального дослідження синтезуються набуті учнем знання, досвід у вивченні математичних об'єктів. Вирішальне значення організації навчального дослідження школяра має залучення його уваги (спочатку мимовільного, та був і довільного), створення умов спостереження: забезпечення глибокого усвідомлення, необхідного ставлення учня до роботи, об'єкту вивчення ( " https://сайт " , 9).
У шкільному навчанні математики мають місце тісно пов'язані між собою два рівні навчального дослідження: емпіричний та теоретичний. Перший характеризується спостереженням за окремими фактами, їх класифікації, встановленню закономірного зв'язку між ними, що перевіряється на досвіді. Теоретичний рівень навчального дослідження відрізняється тим, що в результаті учень формулює загальні математичні закономірності, на основі яких глибше інтерпретуються як нові факти, а й отримані на емпіричному рівні.
Проведення навчального дослідження вимагає від учня застосування як приватних методів, характерних лише з математики, і загальних; аналіз, синтез, індукція, дедукція та ін, що застосовуються щодо об'єктів і явищ різних шкільних дисциплін.
Вирішальне значення має організація навчального дослідження учителем. У застосуванні до процесу навчання математики в середній школі важливо зазначити таке: до основних компонентів навчального дослідження ми відносимо постановку проблеми дослідження, усвідомлення його цілей, попередній аналіз наявної інформації з питання, що розглядаються, умови та методи вирішення завдань, близьких до проблеми дослідження, висування та формулювання вихідної гіпотези, аналіз та узагальнення отриманих у ході дослідження результатів, перевірка вихідної гіпотези на основі отриманих фактів, остаточне формулювання нових результатів, закономірностей, властивостей, визначення місця знайденого вирішення поставленої проблеми у системі наявних знань. Основне місце серед об'єктів навчального дослідження займають ті поняття та відносини шкільного курсу математики, у процесі вивчення яких виявляються закономірності їх зміни та перетворення, умови їх здійснення, єдиності тощо.
Придатним для проведення навчального дослідження є матеріал, що відноситься до дослідження функцій, що вивчаються в курсі алгебри. Як приклад розглянемо лінійну функцію.
Завдання: Досліджуйте лінійну функцію на парність та непарність. Вказівка: розгляньте випадки:
2) a = 0 та b? 0;
3) a? 0 та b = 0;
4) a? 0 та b? 0.
В результаті дослідження заповніть таблицю, вказавши на перетині відповідного рядка та стовпця отриманий результат.
В результаті рішення школярі мають отримати таку таблицю:
парна та непарна | ||
непарна | ні парна, ні непарна |
Її симетричність викликає почуття задоволення, впевненість у правильності заповнення.
Формування прийомів мисленнєвої діяльності грає істотну роль як у загальному розвитку школярів, і з метою прищеплення їм навичок проведення навчального дослідження (загалом чи фрагментарно).
Підсумком навчального дослідження служать суб'єктивно нові знання про властивості об'єкта (відносини), що розглядається, про їх практичні додатки. Ці властивості можуть бути включені до програми з математики для середньої школи, а можуть і не входити до неї. Важливо відзначити, що новизна результату діяльності школяра визначається як характером пошуку способу провадження діяльності, самим способом діяльності, так і місцем отриманого результату в системі знання того учня.
Метод навчання математики з використанням навчального дослідження носить назву дослідницького, незалежно від того, чи реалізується схема навчального дослідження в повному обсязі чи фрагментарно.
За реалізації кожного етапу навчального дослідження обов'язково присутні елементи як виконавської, і творчої діяльності. Найбільш чітко це спостерігається у разі самостійного проведення учнем того чи іншого дослідження. Також при навчальному дослідженні одні етапи можуть бути реалізовані вчителем, інші самим учнем. Рівень самостійності залежить від багатьох факторів, зокрема, від рівня сформованості, уміння спостерігати той чи інший об'єкт (процес), від уміння зосередити свою увагу на тому самому предметі іноді протягом досить тривалого часу, уміння побачити проблему, чітко та недвозначно її сформулювати, вміння знаходити та використовувати відповідні (іноді несподівані) асоціації, вміння зосереджено аналізувати наявні знання з метою відбору потрібної інформації тощо.
Також неможливо переоцінити вплив уяви, інтуїції, натхнення, здібності (а можливо і талановитості чи геніальності) учня на успішність його дослідницької діяльності.
§ 6 . Дослідження у системі методів навчання
Методам навчання, яких залежить чималий успіх роботи вчителя і школи загалом, присвячено не один десяток фундаментальних досліджень. І, попри це проблема методів навчання, як і теорії навчання, і у педагогічної практиці залишається дуже актуальною. Поняття методу навчання дуже складним. Це обумовлюється винятковою складністю того процесу, який покликана відображати цю категорію. Багато авторів вважають метод навчання способом організації навчально-пізнавальної діяльності учнів.
Слово «метод» грецького походження й у перекладі російською мовою означає дослідження, спосіб. «Метод — у найзагальнішому значенні — спосіб досягнення мети, певним чином упорядкована діяльність». Очевидно, що в процесі навчання метод постає як зв'язок діяльності вчителя та учнів щодо досягнення певних навчально-виховних цілей. З цієї точки зору кожен метод навчання органічно включає в себе навчальну роботу вчителя (виклад, пояснення матеріалу, що вивчається) і організацію активної навчально-пізнавальної діяльності учнів. Таким чином, поняття методу навчання відображає:
1. Способи навчальної роботи вчителя та способи навчальної роботи учнів у їх взаємозв'язку.
2. Специфіку їх роботи щодо досягнення різних цілей навчання. Таким чином, методи навчання - це способи спільної діяльності вчителя та учнів, спрямовані на вирішення завдань навчання, тобто дидактичних завдань.
Тобто під методами навчання слід розуміти способи навчальної роботи вчителя та організації навчально-пізнавальної діяльності учнів за рішенням різних дидактичних завдань, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається. Однією із гострих проблем сучасної дидактики є проблема класифікації методів навчання. Нині немає єдиної погляду з цього питання. У зв'язку з тим, що різні автори в основу підрозділу методів навчання на групи та підгрупи кладуть різні ознаки, існує низка класифікацій. Але в 20-ті роки в радянській педагогіці велася боротьба проти методів схоластичного навчання та механічного зубріння, що процвітали у старій школі та робилися пошуки таких методів, які б забезпечували свідоме, активне та творче оволодіння знаннями учнями. Саме в ті роки педагог Б. В. Вієвятський розвивав положення про те, що в навчанні може бути лише два методи: метод дослідницький та метод готових знань. Метод готових знань, природно, критикувався. Як найважливіший метод навчання і раніше і зараз визнавався дослідницький метод, суть якого зводилася до того, що учні нібито всі повинні пізнавати на основі спостереження та аналізу явищ, що вивчаються, самостійно підходячи до необхідних висновків. Той самий дослідницький метод на заняттях може застосовуватися далеко не за всіма темами.
Так само суть цього методу полягає в тому, що вчитель розчленовує проблемне завдання на підпроблеми, а учні здійснюють окремі кроки пошуку її вирішення. Кожен крок передбачає творчу діяльність, але цілісне вирішення проблеми поки що відсутнє. При дослідженні учні опановують методи наукового пізнання, формується досвід дослідницької діяльності. Діяльність учнів, які навчаються з використанням цього методу, полягає в освоєнні ними прийомів самостійної постановки проблем, знаходження способів їх вирішення, дослідницькі завдання, постановки та розробки проблем, які висувають їм вчителі.
Можна також відзначити, що психологія встановлює деякі закономірності із віковою психологією. Перш ніж з учнями починати роботу з використанням методів, треба добре вивчити методи дослідження його вікової психології. Знайомство з цими методами може надати практичну користь безпосередньо організаторам цього процесу, оскільки ці методи придатні як власного наукового дослідження, але й організації поглибленого вивчення дітей у практичних навчально-виховних цілях. Індивідуальний підхід у навчанні та вихованні припускаємо гарне знання та розуміння індивідуально-психологічних особливостей учнів, своєрідності їх особистості. Отже, вчителю необхідно опанувати вміння вивчати учнів, бачити не сіру, однорідну учнівську масу, а колектив, у якому кожен є щось особливе, індивідуальне, своєрідне. Таке вивчення входить у завдання кожного вчителя, але його потрібно правильно організувати.
Один із основних методів організації – метод спостереження. Зрозуміло, психіку безпосередньо спостерігати не можна. Цей метод передбачає опосередковане пізнання індивідуальних особливостей психіки людини вивчення його поведінки. Тобто, тут потрібно судити учня за індивідуальними особливостями (діям, вчинкам, мовленням, зовнішнім виглядом тощо), психічним станом учня (процесами сприйняття, пам'яті, мислення, уяви тощо), і за рисами його особистості , Темперамент, характер. Все це необхідно для учня, з яким працює вчитель із застосуванням дослідницького методу навчання під час виконання якихось завдань.
Вирішення суттєвої частини завдань шкільного курсу математики передбачає сформованими у учнів такі якості як володіння правилами та алгоритмами дій відповідно до чинних програм, уміння проводити елементарне дослідження. Під дослідженням у науці розуміється вивчення будь-якого об'єкта виявлення закономірностей його виникнення, розвитку, перетворення. У процесі дослідження застосовується накопичений попередній досвід, наявні знання, а також методи та способи (прийоми) вивчення об'єктів. Підсумком дослідження має стати здобуття нових наукових знань. Навчання прийомам мисленнєвої діяльності, вміння здійснювати елементи дослідження — ці цілі постійно привертають увагу вчителя, спонукаючи його шукати відповіді багато методичні питання, пов'язані з розв'язанням проблеми. Вивчення багатьох питань програми надає чудові можливості для створення більш цілісної та повної картини, пов'язаної з розглядом того чи іншого завдання. Дослідницький метод навчання математики природно вписується в класифікацію методу навчання залежно від характеру діяльності школярів, ступеня їх пізнавальної самостійності. Для успішної організації дослідницької діяльності школяра вчитель повинен розуміти та враховувати як його особисті якості, так і процесуальні особливості цього виду діяльності, а також рівень володіння школярем вивченим матеріалом курсу. Неможливо переоцінити вплив уяви, інтуїції, натхнення, здібності учня успішність його дослідницької діяльності.
Форми завдань при методі дослідження можуть бути різні. Це можуть бути завдання, що піддаються швидкому вирішенню в класі та вдома або завдання, які потребують цілого уроку. Більшість дослідницьких завдань повинні бути невеликими пошуковими завданнями, що вимагають проходження всіх або більшості етапів процесу дослідження. Цілісне їхнє рішення забезпечить виконання дослідницьким методом його функцій. Етапами процесу дослідження є такі:
1 Цілеспрямоване спостереження та порівняння фактів та явищ.
Виявлення незрозумілих явищ, які підлягають дослідженню.
Попередній аналіз наявної інформації з питання, що розглядається.
4. Висунення та формулювання гіпотези.
5. Побудова плану дослідження.
Здійснення плану, з'ясування зв'язків досліджуваного явища коїться з іншими.
Формулювання нових результатів, закономірностей, властивостей, визначення місця знайденого рішення поставлених досліджень у системі наявних знань.
Перевірка знайденого рішення.
Практичні висновки щодо можливого застосування нових знань.
§ 7 . Вміння досліджувати в системе спеціальних знань
Уміння - це свідоме застосування наявних у учня знань і навичок до виконання складних дій у різних умовах, т. е. на вирішення відповідних завдань, бо виконання кожного складного дії виступає учня як розв'язання задачі.
Дослідницькі вміння можна поділити на загальні та спеціальні. До загальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення завдань з параметрами, відносяться: вміння побачити за цим рівнянням з параметром різні класи рівнянь, що характеризуються спільністю наявності кількості та виду коренів; вміння володіти аналітичним та графоаналітичним методами.
До спеціальних дослідницьких умінь можна віднести уміння, формування та розвитку яких відбувається у процесі рішення конкретного класу завдань.
При розв'язанні лінійних рівнянь, що містять параметр, формуються такі спеціальні вміння:
§ Уміння виявляти особливі значення параметра, при яких дане лінійне рівняння має:
Єдиний корінь;
Нескінченна безліч коренів;
3) Не має коріння;
Вміння інтерпретувати відповідь мовою вихідного завдання. До спеціальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення лінійних нерівностей, що містять параметр відносяться:
§ Уміння побачити коефіцієнт при невідомому та вільний член як функцію параметра;
§ Уміння виявляти особливі значення параметра, при яких ця лінійна нерівність має як рішення:
1) Проміжок;
2) Немає рішень;
§ Уміння інтерпретувати відповідь мовою вихідного завдання До спеціальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення квадратних рівнянь, що містять параметр, належать:
§ Уміння виявляти особливе значення параметра, при якому старший коефіцієнт перетворюється на нуль, тобто рівняння ставати лінійним і знаходити рішення отриманого рівняння при виявлених особливих значеннях параметра;
§ Уміння вирішувати питання про наявність та кількість коренів даного квадратного рівняння залежно від знака дискримінанта;
§ Уміння виражати через параметр коріння квадратного рівняння (у разі їх наявності);
До спеціальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення дробово-раціональних рівнянь, що містять параметр, що зводяться до квадратних, відносяться:
§ Уміння приводити дробово-раціональне рівняння, що містить параметр, до квадратного рівняння, що містить параметр.
До спеціальних дослідницьких умінь, формування та розвиток яких відбувається в процесі вирішення квадратних нерівностей, що містять параметр відносяться:
§ Уміння виявляти особливе значення параметра, при якому старший коефіцієнт перетворюється на нуль, тобто нерівність стає лінійним і знаходити безліч рішень отриманої нерівності при особливих значеннях параметра;
§ Уміння виражати через параметр безліч розв'язків квадратної нерівності.
Нижче наведено навчальні вміння, що переходять у навчально-дослідні, а також дослідницькі вміння.
6-7 клас:
— оперативно використовувати старі знання щодо придбання нових;
— вільно переносити комплекс розумових дій з одного матеріалу на інший, з одного предмета на інший;
поширювати отримані знання велику сукупність об'єктів;
поєднувати процес «згортання» та «розгортання» знань;
цілеспрямовано узагальнювати ідеї тексту з допомогою виділення основних думок у його відрізках, частинах;
систематизувати та класифікувати інформацію;
— зіставляти інформацію з системам ознак із рис подібності і відмінності;
— вміти пов'язати символічну мову з письмовою та усною мовою;
— аналізувати та планувати методи майбутньої роботи;
"зчеплювати" швидко, вільно компоненти нових знань;
вміти лаконічно викладати основні думки, факти тексту;
— отримувати нові знання шляхом руху від системоутворювальних знань до конкретного за допомогою схем, таблиць, конспектів тощо;
використовувати різні форми записів у процесі тривалого слухання;
вибирати оптимальні шляхи розв'язання;
доводити чи спростовувати з допомогою взаємозалежних прийомів;
- користуватися різними видами аналізу та синтезу;
- Розглядати проблему з різних точок зору;
- Висловлювати судження у вигляді алгоритму думок.
Математичному освіті у процесах формування мислення чи розумового розвитку учнів має відводитися і відводиться особливе місце, оскільки засоби навчання математиці найефективніше впливають багато основні компоненти цілісної особистості і насамперед мислення.
Таким чином, приділяється особлива увага розвитку мислення учня, оскільки саме воно пов'язане з усіма іншими мисленнєвими функціями: уявою, гнучкістю розуму, широтою та глибиною думки тощо. , що необхідною умовою реалізації такого розвитку є індивідуалізація навчання. Саме воно забезпечує врахування особливостей мисленнєвої діяльності учнів різних категорій.
Шлях до творчості індивідуальний. Разом про те, всі учні у процесі вивчення математики повинні відчути її творчий характер, познайомитися у процесі навчання математики з деякими вміннями та навичками творчої діяльності, які їм будуть потрібні у подальшому житті і діяльності. Для вирішення цього складного завдання викладання математики має бути побудоване так, щоб учень частіше шукав нові комбінації, перетворюючи речі, явища, процеси дійсності, шукав невідомі зв'язки між об'єктами.
Прекрасним способом залучення учнів до творчої діяльності під час навчання математики є самостійна робота у всіх її видах та проявах. Дуже важливим у цьому плані є висловлювання академіка П. Л. Капіци у тому, що самостійність одна із найголовніших якостей творчої особистості, оскільки виховання творчих здібностей у людині полягає в розвитку самостійного мислення.
Рівень підготовленості учнів та навчальних груп до самостійної творчої діяльності можна визначити, відповівши на такі питання:
Наскільки ефективно школярі можуть користуватися конспектами, опорним конспектом, а також читати схеми та різні види таблиць?
Чи вміють учні об'єктивно оцінювати запропоновані ідеї при вирішенні проблемного завдання вчителем, враховувати можливість їх застосування? 3) Наскільки школярі швидко переходять від одного способу вирішення проблеми до іншого? 4) Проаналізувати ефективність орієнтування учнів під час уроку самоорганізацію самостійної роботи; 5) Дослідити здатність учнів до моделювання та гнучкого вирішення проблем.
Глава 2. Методологічний аналіз теми «Рівняння та нерівності з параметрами» та розробка елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметрами»
§ 1. Роль і місце параметричних рівнянь і нерівностей у формуванні дослідницьких вмійй учнів
Незважаючи на те, що програма з математики середньої загальноосвітньої школи не згадує в явному вигляді про завдання з параметрами, було б помилкою стверджувати, що питання вирішення завдань з параметрами жодним чином не торкається в рамках шкільного курсу математики. Досить шкільні рівняння: ax2+bx+c=0, у=kх, у=kх+b, ax=b, у яких а, b, з, k не що інше, як параметри. Але в рамках шкільного курсу не загострюється увага на такому понятті, параметр, у чому його відмінність від невідомого.
Досвід показує, що завдання з параметрами є найбільш складним у логічному та технічному планах розділом елементарної математики, хоча з формальної точки зору математичний зміст таких завдань не виходить за межі програм. Це викликано різними точками зору параметр. З одного боку, параметр можна розглядати як змінну, яка при вирішенні рівнянь і нерівностей вважається постійною величиною, з іншого - параметр - це величина, чисельне значення якої не задано, але має вважатися відомим, причому параметр може набувати довільних значень, тобто параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має подвійну природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє поводитися з параметром як із числом, а по-друге, ступінь свободи обмежується його невідомістю.
У кожному з описів природи параметрів є невизначеність - на яких етапах рішення параметр може розглядатися як константа і коли відіграє роль змінної величини. Всі ці суперечливі властивості параметра можуть на початку знайомства викликати в учнів певний психологічний бар'єр.
У зв'язку з цим на початковому етапі знайомства з параметром дуже корисно якнайчастіше вдаватися до наочно-графічної інтерпретації отриманих результатів. Не лише дозволяє подолати природну невпевненість учнів перед параметром, а й дає вчителю можливість паралельно, як пропедевтики, привчати учнів під час вирішення завдань використовувати графічні прийоми докази. Не слід також забувати, що використання хоча б схематичних графічних ілюстрацій у деяких випадках допомагає визначити напрямок досліджень, а іноді й дозволяє відразу підібрати ключ до вирішення задачі. Адже для певних типів завдань навіть примітивний малюнок, далекий від справжнього графіка, дає можливість уникнути різноманітних помилок і більш простим способом отримати відповідь до рівняння чи нерівності.
Рішення математичних завдань взагалі є найважчою частиною діяльності школярів щодо математики і пояснюється це тим, що для вирішення завдань потрібно досить високий рівень розвитку інтелекту вищого рівня, тобто теоретичного, формального і рефлексивного мислення, а таке мислення, як уже зазначалося, ще тільки розвивається у підлітковому віці.
Державна бюджетна загальноосвітня установа
Самарської області середня загальноосвітня
школа №2 ім. В. Маскіна ж.-д. ст. Клявліне
муніципального району Клявлинський
Самарської області
« Рівняння
і
нерівності
з параметрами»
навчальний посібник
Клявліне
Навчальний посібник
«Рівняння та нерівності з параметрами»для учнів 10-11 класів
цей посібник є додатком до програми елективного курсу «Рівняння та нерівності з параметрами», яка пройшла зовнішню експертизу (науково-методичною експертною радою міністерства освіти та науки Самарської області від 19 грудня 2008 року балу рекомендована до використання в освітніх установах Самарської області)
Автори
Ромаданова Ірина Володимирівна
вчитель математики МОУ Клявлінської середньої загальноосвітньої
школи №2 ім. В.Маскіна Клявлинського району Самарської області
Сербаєва Ірина Олексіївна
Вступ……………………………………………………………3-4
Лінійні рівняння та нерівності з параметрами……………..4-7
Квадратні рівняння та нерівності з параметрами……………7-9
Дробно-раціональні рівняння з параметрами……………..10-11
Ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами……11-13
Тригонометричні рівняння та нерівності з параметрами.14-15
Показові рівняння та нерівності з параметрами………16-17
Логарифмічні рівняння та нерівності з параметрами…...16-18
Завдання ЄДІ………………………………………………………...18-20
Завдання для самостійної роботи…………………………...21-28
Вступ.
Рівняння та нерівності з параметрами.
Якщо у рівнянні чи нерівності деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, вони називаються параметрами,а саме рівняння чи нерівність параметричним.
Для того, щоб вирішити рівняння або нерівність із параметрами необхідно:
Виділити особливе значення- це значення параметра, в якому або при переході через яке змінюється рішення рівняння або нерівності.
Визначити допустимі значення– це значення параметра, у яких рівняння чи нерівність має сенс.
Вирішити рівняння або нерівність з параметрами означає:
1) визначити, за яких значеннях параметрів існують рішення;
2) кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідне безліч рішень.
Вирішити рівняння з параметром можна такими методами: аналітичним чи графічним.
Аналітичний метод передбачає завдання дослідження рівняння розглядом кількох випадків, жоден з яких не можна упустити.
Рішення рівняння та нерівності з параметрами кожного виду аналітичним методом передбачає докладний аналіз ситуації та послідовне дослідження, в ході якого виникає необхідність «акуратного звернення»із параметром.
Графічний метод передбачає побудову графіка рівняння, яким можна визначити, як впливає відповідно, рішення рівняння зміна параметра. Графік часом дозволяє аналітично сформулювати необхідні та достатні умови для вирішення поставлених завдань. Графічний метод рішення особливо ефективний тоді, коли потрібно встановити, скільки коренів має рівняння в залежності від параметра і має безперечну перевагу побачити це наочно.
§ 1. Лінійні рівняння та нерівності.
Лінійне рівняння а x = b , записане у загальному вигляді, можна розглядати як рівняння з параметрами, де x – невідоме , a , b - Параметри. Для цього рівняння особливим або контрольним значенням параметра є те, при якому перетворюється на нуль коефіцієнт при невідомому.
При розв'язанні лінійного рівняння з параметром розглядаються випадки, коли параметр дорівнює своєму особливому значенню і відрізняється від нього.
Особливим значенням параметра a є значення а = 0.
b = 0 є особливим значенням параметра b .
При b ¹ 0 рівняння рішень немає.
При b = 0 рівняння набуде вигляду: 0х = 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке дійсне число.
Нерівності виду ах > b і ax < b (а ≠ 0)називаються лінійними нерівностями. Безліч рішень нерівності ах >b- Проміжок
(; +
),
якщо a
> 0
, і (-;)
, якщо а< 0
. Аналогічно для нерівності
ах<
b
безліч рішень – проміжок(-;),
якщо a
> 0,
і (; +),
якщо а< 0.
приклад 1. Вирішити рівняння ах = 5
Рішення: Це лінійне рівняння
Якщо а = 0, то рівняння 0 × х = 5рішення немає.
Якщо а¹ 0, х =- вирішення рівняння.
Відповідь: при а¹ 0, х =
при а = 0 рішення немає.
приклад 2. Вирішити рівняння ах - 6 = 2а - 3х.
Рішення:Це лінійне рівняння, ах - 6 = 2а - 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписавши рівняння у вигляді (а+3)х = 2(а+3), розглянемо два випадки:
а=-3і а¹ -3.
Якщо а=-3, то будь-яке дійсне число хє коренем рівняння (1). Якщо ж а¹ -3 , рівняння (1) має єдиний корінь х = 2.
Відповідь:При а = -3, х 
R
;
при а
¹
-3 Х = 2.
приклад 3. При яких значеннях параметра асеред коренів рівняння
2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0є коріння більше 1 ?
Рішення: Розв'яжемо рівняння 2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0- Лінійне рівняння
2(а - 2) х = а 2 - 4а +4
2(а - 2) х = (а - 2) 2
При а = 2рішенням рівняння 0х = 0буде будь-яке число, у тому числі й більше 1.
При а¹
2 х = 
.
За умовою х > 1, тобто >1, а > 4.
Відповідь:При а (2) U (4;∞).
Приклад 4 . Для кожного значення параметра азнайти кількість коренів рівняння ах = 8.
Рішення. ах = 8- Лінійне рівняння.
y = a- Сімейство горизонтальних прямих;
y = - графіком є гіпербола. Збудуємо графіки цих функцій.
Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння рішень немає. Якщо а ≠ 0то рівняння має одне рішення.
Приклад 5 . За допомогою графіків з'ясувати, скільки коренів має рівняння:
|х| = ах - 1.
y =| х | ,
y = ах - 1- Графіком є пряма, що проходить через точку (0;-1).
Збудуємо графіки цих функцій.
Відповідь:Прі |а|>1- один корінь
при | а|≤1 - Рівняння коренів не має.
приклад 6 . Розв'язати нерівність ах + 4 > 2х + а 2
Рішення
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >а
2
- 4. Розглянемо три випадки.
Відповідь. х > а + 2при а > 2; х<а + 2, при а< 2; при а=2рішень немає.
§ 2. Квадратні рівняння та нерівності
Квадратне рівняння– це рівняння виду ах ² + b х + с = 0 , де а≠ 0,
а, b , з - Параметри.
Для вирішення квадратних рівнянь з параметром можна використовувати стандартні способи розв'язання застосування таких формул:
1
)
дискримінанта квадратного рівняння:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул коренів квадратного рівняння:х
1
=
х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратними називаються нерівності виду
a х 2 + b х + с > 0,a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + з ≥ 0,a х 2 + b х + с ≤ 0,(3), (4)
Безліч рішень нерівності (3) виходить об'єднанням множин рішень нерівності (1) і рівняння , a х 2 + b х + з = 0.Аналогічно є безліч рішень нерівності (4).
Якщо дискримінант квадратного тричлена
a
х
2
+
b
х + с
менше нуля, то при а >0 тричлен позитивний при всіх х R.
Якщо квадратний тричлен має коріння (х 1
< х
2
), то при а > 0 він позитивний на множині(-;
х 2 )
(х 2;
+)
і негативний на інтервалі
(х 1; х 2 ). Якщо а< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1; х 2 ) і від'ємний при всіх х (-;
х 1 )(х 2;
+).
приклад 1. Вирішити рівняння ах² - 2 (а - 1)х - 4 = 0.
Це квадратне рівняння
Рішення: Особливе значення а = 0.
При а = 0отримаємо лінійне рівняння 2х - 4 = 0. Воно має єдиний корінь х = 2.
При а ≠ 0.Знайдемо дискримінант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Якщо а = -1,то D = 0 - Один корінь.
Знайдемо корінь, підставивши замість а = -1.
-х ² + 4х - 4 = 0,тобто х² -4х + 4 = 0,знаходимо, що х = 2.
Якщо а ≠ - 1, то D
>0
. За формулою коріння отримаємо:х= 
;
х 1 =2, х 2 = -.
Відповідь:При а = 0 і а = -1рівняння має один корінь х = 2;при а ≠ 0 та
а ≠ - 1 рівняння має два кореніх 1 =2, х 2 =-.
приклад 2. Знайдіть кількість коренів цього рівняння х²-2х-8-а = 0залежно від значень параметра а.
Рішення. Перепишемо це рівняння у вигляді х²-2х-8=а
y = х²-2х-8- графіком є парабола;
y =а- Сімейство горизонтальних прямих.
Побудуємо графіки функцій.
Відповідь: При а<-9 , Рівняння рішень не має; при а=-9 рівняння має одне рішення; при а>-9, Рівняння має два рішення.
приклад 3. При яких анерівність (а - 3) х 2 - 2ах + 3а - 6 >0виконується всім значень х?
Рішення.Квадратний тричлен позитивний при всіх значеннях, якщо
а-3 > 0 та D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
звідки випливає, щоa
> 6
.
Відповідь.a > 6
§ 3. Дробно-раціональні рівняння з параметром,
що зводяться до лінійних
Процес розв'язання дробових рівнянь виконується за звичайною схемою: дробове замінюється цілим шляхом множення обох частин рівняння на загальний знаменник лівої та правої його частин. Після чого вирішується ціле рівняння, виключаючи стороннє коріння, тобто числа, які перетворюють знаменник на нуль.
У разі рівнянь із параметром це завдання складніше. Тут, щоб «виключити» стороннє коріння, потрібно знайти значення параметра, що обертає загальний знаменник на нуль, тобто вирішити відповідні рівняння щодо параметра.
приклад 1.
Вирішити рівняння 
= 0
Рішення: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Відповідь:При а ≠ - 2, х = а
При а = -2коріння немає.
Приклад 2
.
Вирішити рівняння 
- 
= 
(1)
Це дробораціональне рівняння
Рішення:Значення а = 0є особливим. При а = 0рівняння втрачає сенс і, отже, немає коріння. Якщо а ≠ 0,то після перетворень рівняння набуде вигляду: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2)- квадратне рівняння.
Знайдемо дискримінант 
= (1 - а) ² - (а ² - 2а - 3) = 4,
знаходимо коріння рівняннях
1
= а + 1, х
2
= а – 3.
При переході від рівняння (1) до рівняння (2) розширилася сфера визначення рівняння (1), що могло призвести до появи сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка.
Провірка.Виключимо зі знайдених значень хтакі, за яких
х 1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Якщо х 1 +1=0, тобто (а+1) + 1=0, то а = -2.Таким чином,
при а=-2 , х 1 -
Якщо х 1 +2=0, тобто (а+1)+2=0,то а = - 3. Таким чином, при а = - 3, х 1 - сторонній корінь рівняння. (1).
Якщо х 2 +1=0, тобто (а - 3) + 1 = 0, то а = 2. Таким чином, при а = 2 х 2 - сторонній корінь рівняння (1).
Якщо х 2 +2=0, тобто ( а - 3) + 2 = 0,то а=1. Таким чином, при а = 1,
х 2 - сторонній корінь рівняння (1).
Відповідно до цього при а = - 3отримуємо х = - 3 - 3 = -6;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х = 1 + 1 = 2;
при а = 2 х = 2 +1 = 3.
Можна записати відповідь.
Відповідь: 1) якщо а = -3,то х = -6; 2) якщо а=-2, то х = -5; 3) якщо а = 0, то коріння немає; 4) якщо а = 1, то х = 2; 5) якщо а=2, то х = 3; 6) якщо а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а ≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
§4. Ірраціональні рівняння та нерівності
Рівняння та нерівності, в яких змінна міститься під знаком кореня, називається ірраціональним.
Рішення ірраціональних рівнянь зводиться до переходу від ірраціонального рівняння до раціонального шляхом зведення в ступінь обох частин рівняння або заміни змінної. При зведенні обох частин рівняння на парний ступінь можлива поява сторонніх коренів. Тому при використанні зазначеного методу слід перевірити все знайдене коріння підстановкою у вихідне рівняння, враховуючи при цьому зміни значень параметра.
Рівняння виду 
= g (x) рівносильно системі 
Нерівність f(x) ≥ 0 випливає з рівняння f(x) = g2(x).
При вирішенні ірраціональних нерівностей будемо використовувати наступні рівносильні перетворення:
≤ g(x) 
≥g(x) 
приклад 1.
Розв'яжіть рівняння 
= х + 1 (3)
Це ірраціональне рівняння
Рішення:
За визначенням арифметичного кореня рівняння (3) рівносильне системі 
.
При а = 2перше рівняння системи має вигляд 0 х = 5, тобто немає рішень.
При а≠ 2 х= 
.
З'ясуємо, за яких значеньа
знайдене значеннях
задовольняє нерівностіх ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
звідки а ≤або а > 2.
Відповідь:При а?, а > 2 х= ,
при < а ≤ 2
рівняння рішень немає.
приклад 2.
Вирішити рівняння 
= а
(Додаток 4)
Рішення. y
=
y = а- Сімейство горизонтальних прямих.
Побудуємо графіки функцій.
Відповідь: при а<0 -Рішень немає;
при а≥ 0 – одне рішення.
Приклад 3
. Вирішимо нерівність(а+1) 
<1.
Рішення.О.Д.З. х ≤ 2. Якщо а+1 ≤0, то нерівність виконується за всіх допустимих значеннях х. Якщо ж а+1>0, то
(а+1) <1.<
звідки х (2- 
2
Відповідь.
х (- ;2при а (-;-1,
х (2- 2
при а
(-1;+).
§ 5. Тригонометричні рівняння та нерівності.
Наведемо формули розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь:
Sinx = a x=(-1) n arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Якщо
>1, то рівняння (1) і (2) рішень немає.
tg x = a x = arctg a + πn, n Z, a R
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, a R
Для кожної стандартної нерівності вкажемо безліч рішень:
1.
sin x > a arcsin a + 2 πn
Z,
при a
<-1,
x R
;
при a
≥ 1,
рішень немає.
2. . sin x< a π - arcsin a + 2 πnZ,
при а?-1, рішень немає; при а >1,x R
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при а<-1,
x R
; при a
≥ 1
, рішень немає.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при а≤-1
, рішень немає; приa
> 1,
x
R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x< a, -π/2 + πn Z
Приклад1. Знайти а, При яких дане рівняння має рішення:
Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 = 0.
Рішення.Запишемо рівняння у вигляді
зos 2 x + (2 a -4) cosx +(a - 5) (а +1) = 0,вирішуючи його як квадратне, отримуємо cosx = 5-аі cosx = -а-1.
Рівняння cosx
= 5-
а
має рішення за умови -1≤ 5-а
≤1
4≤
а≤ 6, а рівняння cosx
= -
а-1
за умови -1≤-1-а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Відповідь.
а
-2; 0 4; 6
приклад 2.
При яких bзнайдеться таке, що нерівність 
+
b> 0 виконується за всіх х ≠πn
,
n
Z
.
Рішення.Покладемо а= 0. Нерівність виконується за b >0. Покажемо тепер, що жодне b ≤0 не задовольняє умови завдання. Дійсно, достатньо покласти х = π /2, якщо а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Відповідь.b> 0
§ 6. Показові рівняння та нерівності
1. Рівняння h(x)
f ( x )
=
h(x)
g ( x) при h(x) > 0 рівносильно сукупності двох систем 
і 
2. У окремому випадку (h (x )= a ) рівняння а f(x) = а g (x ) при а> 0, рівносильно сукупності двох систем
і 
3. Рівняння а f(x) = b , де а > 0, a ≠1, b>0, рівносильно рівнянню
f (x) = log a b. Випадок а=1 розглядаємо окремо.
Вирішення найпростіших показових нерівностей засноване на властивості ступеня. Нерівність видуf(a
x ) > 0 за допомогою заміни змінноїt=
a
x зводиться до розв'язання системи нерівностей 
а потім до розв'язання відповідних найпростіших показових нерівностей.
При розв'язанні нестрогої нерівності необхідно до безлічі рішень суворої нерівності приєднати коріння відповідного рівняння. Як і при вирішенні рівнянь у всіх прикладах, що містять вираз а f (x), припускаємо а> 0. Випадок а= 1 розглядаємо окремо.
Приклад 1
.
При яких арівняння 8 х = 
має тільки позитивне коріння?
Рішення.
За властивістю показової функції з основою, великою одиниці, маємо х>0 8
х >1 >1
>0, звідкиa
(1,5;4).
Відповідь.
a
(1,5;4).
приклад 2. Розв'язати нерівність a 2 ∙2 x > a
Рішення. Розглянемо три випадки:
1.
а< 0
. Оскільки ліва частина нерівності позитивна, а права негативна, то нерівність виконується для будь-яких х R.
2. a=0. Рішень немає.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log 2
a
Відповідь.
х Rпри а
> 0; рішень немає при
a
=0; х (-
log 2
a; +) приа> 0
.
§ 7. Логарифмічні рівняння та нерівності
Наведемо деякі еквівалентності, які використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь та нерівностей.
1. Рівняння log f (x) g (x) = log f (x) h (x) рівносильне системі
Зокрема, якщо а >0, а≠1, то
log a
g (x) = log a
h(x) 
2.
Рівняння log a
g (x) = b g(x)=a
b (
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Нерівність log f ( x )
g (x) ≤
log f ( x )
h(x) рівносильно сукупності двох систем: 
і 
Якщо а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log a
f(x) ≤ b 
log a
f(x) > b 
приклад 1.
Розв'яжіть рівняння 
Рішення. Знайдемо ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а≠ 1. Перетворимо рівняння
log 
х – 2 = 4 – log a
x log х + log a
x- 6 = 0, звідки log a
x = - 3
х = а-3 та log a
x = 2
х = а 2 . Умова х = а
4
а
– 3
=
а 4 або а
2
=
а
4
не виконується на ОДЗ.
Відповідь:х = а-3 х = а 2 при а
(0; 1) 
(1; ).
Приклад 2 . Знайдіть найбільше значення а, при якому рівняння
2
log 
-
+
a
= 0 має рішення.
Рішення.
Виконаємо заміну =
tі отримаємо квадратне рівняння 2t 2
–
t +
a
= 0. Вирішуючи, знайдемоD = 1-8
a
. Розглянемо D≥0, 1-8
а
≥0 
а
≤.
При а = квадратне рівняння має коріньt= >0.
Відповідь. а =
Приклад 3 . Розв'язати нерівністьlog(x 2 – 2 x + a ) > - 3
Рішення.
Розв'яжемо систему нерівностей 
Коріння квадратних тричленів х 1,2
= 1 ± 
і х 3,4
= 1 ± 
.
Критичні значення параметра: а= 1 і а= 9.
Нехай Х 1 і Х 2 – безліч рішень першої та другої нерівностей, тоді
Х 1 
Х 2
= Х - Вирішення вихідної нерівності.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), приа> 1 Х 1 = (-;+).
При 0<
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), приа≥9 Х 2 – рішень немає.
Розглянемо три випадки:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a≥ 9 Х – рішень немає.
Завдання ЄДІ
Високий рівень С1, С2
приклад 1. Знайдіть усі значення р, при яких рівняння
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p= 3 має хоча б один корінь.
Рішення.Перетворимо рівняння
р ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx = t, t 
, t 
0.
-
p+ 2 t + p
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 - 2t 3 = p
.
Нехай f(y) = 3
t 2
– 2
t 3
. Знайдемо безліч значень функціїf(x) на 
. у /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
При t ,
E(f) =
,
При t ,
E(f) =
, тобто при t ,
E(f) =
.
Щоб рівняння 3t 2
– 2
t 3
=
p
(Отже, і це) мало хоча б один корінь необхідно і достатньоp
E(f), тобто p
.
Відповідь.
.
приклад 2.
При яких значеннях параметраарівняння log 
(4
x 2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 має рівно один корінь?
Рішення.Перетворимо рівняння на рівносильне даному:
4x 2 – 4 a + a 2+7 = (х 2+2) 2 .
Зазначимо, що й деяке число х є коренем отриманого рівняння, то число – х також є коренем цього рівняння. За умовою це неможливо, тому єдиним коренем є число 0.
Знайдемо а.
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Перевірка.
1)
a
1
= 1. Тоді рівняння має вигляд:log (4
x 2
+4) =2. Вирішуємо його
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 - єдиний корінь.
2)
a
2
= 3. Рівняння має вигляд:log (4
x 2
+4) =2 х = 0 – єдиний корінь.
Відповідь. 1; 3
Високий рівень С4, С5
приклад 3. Знайдіть усі значення р,при яких рівняння
х 2 – ( р+ 3)х + 1= 0 має цілі коріння і це коріння є рішеннями нерівності: х 3 – 7 рх 2 + 2х 2 – 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.
Рішення.
Нехай х 1,
х 2
- Цілі корені рівняння х 2
– (р
+ 3) х + 1 = 0. Тоді за формулою Вієта справедливі рівності х 1
+ х 2
=
р
+ 3, х 1
∙ х 2
= 1. Добуток двох цілих чисел х 1
х 2
може дорівнювати одиниці тільки у двох випадках: х 1
= х 2
= 1 або х 1
= х 2
= - 1. Якщо х 1
= х 2
= 1, тор
+ 3 = 1+1 = 2р
= - 1; якщо х 1
= х 2
= - 1, тор
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 р
= - 5. Перевіримо чи є коріння рівняння х 2
– (р
+ 3) х + 1 = 0 в описаних випадках рішеннями даної нерівності. Для випадкур
= - 1, х 1
= х 2
= 1 маємо
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – вірно; для випадку р= - 5, х 1 = х 2 = - 1 маємо (-1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – вірно. Отже, умові завдання задовольняють лише р= - 1 і р = - 5.
Відповідь.р 1 = - 1 і р 2 = - 5.
приклад 4. Знайдіть усі позитивні значення параметра а, при яких число 1 належить області визначення функції
у
= (а 
-
а 
).
Клас: 11
Цілі:
Освітня:
- систематизувати та узагальнити знання про рішення рівняння з параметром;
- показати основні прийоми розв'язання таких рівнянь.
Розвиваюча: розширити та поглибити вивчення різних прийомів розв'язання рівнянь із параметром.
Виховна: показати значущість залежності відповіді у завданні з параметром від вибраного значення параметра.
Методи навчання, що використовуються, – їх застосування.
- Пояснювально-ілюстративний.
- Узагальнення, аналогії та порівняння.
- УДЕ – створення ключових завдань, аналогія зображень на площині.
- Інтегрований – зіставлення алгебри та геометричні інтерпретації, слайди.
Формування загальнонавчальних умінь та навичок:
- Виділення суттєвих ознак досліджуваних об'єктів;
- Вироблення практичних навичок;
- Методи роботи з аудиторією, що використовуються: робота в діалоговому режимі;
- Психологічні аспекти уроку;
- створення комфортної робочої атмосфери;
- Заохочування до активної діалогової діяльності.
Хід уроку
Вступ. Вступне слово вчителя.
Рівняння стали звичною частиною варіантів вступних іспитів ЄДІ.
Рівняння з параметром викликають серйозні проблеми логічного характеру.
Кожне таке рівняння – це по суті короткий запис сімейства рівнянь. Зрозуміло, що виписати кожне рівняння з нескінченного сімейства неможливо, проте кожне з них має бути вирішене. Тому виникає необхідність у розгляді системи понять та пошуку методів розв'язання рівнянь із параметрами (лінійних, раціональних і т.д.)
Нехай дано рівняння F(х;а) = 0. Якщо надати параметру а якесь фіксоване значення, то дане рівняння можна розглядати як «звичайне» рівняння з однією змінною.
Поставимо завдання: З'ясувати, якою може бути ситуація при вибраному значенні параметра?
Робота з учнями у діалоговому режимі.
Визначимо основні проблеми:
- Встановити основні поняття рівнянь із параметрами.
- Для кожного виду рівнянь шкільного курсу математики встановити загальний метод розв'язання відповідних рівнянь з параметрами – єдиний як одного, так двох параметрів.
- Розглянути приклади завдань дослідження рівнянь.
- Яким є встановлення числа коренів рівнянь.
- Знаходження загального кореня двох рівнянь – у чому суть?
- Геометричні інтерпретації.
Iетап – вирішення першої проблеми.
Робота з учнями у діалоговому режимі.
Які питання ви визначите собі для встановлення основних понять?
|
З'являється слайд та конспект
У задачах II типу потрібно знайти всі значення параметра, у яких виконані ті чи інші задані умови. |
Наприклад.
1) Розв'язати рівняння а (а – 1) = а – 1.
Рішення. Перед нами лінійне рівняння, що має сенс за всіх допустимих значень а. Вирішуватимемо його «як зазвичай»: ділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому. Але чи завжди можливий поділ?
Ділити на нуль не можна. Прийде розглянути окремо випадок, коли коефіцієнт при невідомому дорівнює о. Отримаємо:
Відповідь: 1) якщо а 0, а 1, то х =;
2) якщо а = 1, то х – будь-яке число;
3) якщо а = 0, то коріння немає.
2) Розв'язати рівняння (а - 1) х 2 + 2 (2а - 1) х + 4 а + 3 = 0.
Рішення. Розглянемо два випадки:
Розглянемо дискримінант: D = (2а - 1) 2 - (А - 1) (4а + 3) = - 3а + 4.
Якщо ж а, то х 1,2 = 
.
Відповідь: 1) якщо а > , то коріння немає;
2) якщо а = 1, то х = – 3,5;
3) якщо а та а1, то х 1,2 = 
.
IIетап – вирішення другої проблеми.
Розглянемо метод класифікації приватних рівнянь з допомогою моделі загальних рішень.
З'являється слайд.
Наприклад. У раціональному рівнянні 
функція f 1 (а) = є загальним рішенням для тих значень параметра, для яких 
. Оскільки
загальне рішення рівняння А f1 = ).
Функція f 2 (а) = є загальне рішення рівняння на множині А f2 = .
Побудуємо модель загальних рішень у такому вигляді
На моделі виділяємо всі типи приватних рівнянь: 
; 
; 
.
Отже, на прикладах розглянуто основні поняття рівнянь із параметрами: область допустимих значень; область визначення; загальні рішення; контрольні значення параметрів; типи часткових рівнянь.
На базі введених параметрів визначимо загальну схему розв'язання будь-якого рівняння F(а;х) = 0 з параметром а (для двох параметрів схема аналогічна):
- встановлюється область допустимих значень параметра та область визначення;
- визначаються контрольні значення параметра, що розбивають область допустимих значень параметра області однотипності приватних рівнянь;
- для контрольних значень параметра відповідні окремі рівняння досліджуються окремо;
- знаходяться загальні рішення х = f 1 (а), …, f k (а) рівняння F (а; х) = 0 на відповідних множинах А f1 , ……, А fk значень параметра;
- складається модель загальних рішень, контрольних значень параметра у вигляді (на слайді);
- на моделі виділяються проміжки значень параметра з однаковими рішеннями (області однотипності);
- для контрольних значень параметра та виділених областей однотипності записуються характеристики всіх типів приватних рішень.
ІІІ етап – приклади завдань на дослідження рівнянь.
Розглянемо приклади розв'язання задач із параметрами 2 типу.
Особливо часто зустрічаються завдання розташування коренів квадратного рівняння. За їх вирішення добре «працюють» графічні ілюстрації. Розташування коріння щодо заданих точок площиною визначається напрямом гілок відповідної параболи, координатами вершини, а також значеннями в заданих точках.
Наприклад.
1) При яких значеннях параметра а рівняння (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 має два корені, один з яких більший за 1, а інший менший за 1?
Рішення. Нехай f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Оскільки а 2 + а + 1 >0, то для квадратичної функції f(х) умова задачі може виконуватися лише за умови f(х)< 1.
Вирішуючи нерівність f(1) = а 2 + 4а - 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Відповідь: -2 - < а < - 2 + .
2) При яких значеннях параметраm коріння рівняння (m - 1) х 2 - 2mх +m + 3 = 0 позитивні?
Рішення. Нехай f(х) = (m-1)х 2 - 2 mх + m + 3 тоді:
1) якщо, m = 1, то -2х + 4 = 0, х = 2 - корінь позитивний;
2) якщо m 1, то за допомогою малюнка можна отримати такі співвідношення: 
Розглянемо 2 випадки:
1) якщо 1,5 m > 0, тоді з 2 і 3 нерівностей останньої системи отримаємо, що m > 1, тобто. остаточно 1,5 м > 1;
2) якщо m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 отримаємо, що m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Відповідь: m (-; -3)
IVетап - розглянемо завдання встановлення числа коренів рівняння.
приклад 1. За яких значень параметра, а рівняння 2 cos 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не має коріння.
Рішення.Нехай у = cosх, тоді вихідне рівняння набуде вигляду 2у 2 – (2а + 9)у + 9а = 0, коріння якого у 1 = а, у 2 = 4,5. Рівняння cosх = 4,5 коренів немає, а рівняння cosх = а немає коренів, якщо > 1.
Відповідь: (- ; -1) (1; ).
Приклад 2.
Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння 
не має коріння.
Рішення. Дане рівняння рівносильне системі: 
.
Рівняння не має рішення у двох випадках: а = і
Приклад 3
. При яких значеннях параметра а рівняння 
має єдине рішення?
Рішення. Рішення рівняння може бути єдиним, якщо х = 0. Якщо х = 0, то а 2 -1 = 0, і а = 1.
Розглянемо 2 випадки:
1) якщо а = 1, то х 2 - = 0 - коріння три;
2). Якщо а = -1, то х 2 + = 0, х = 0 - єдиний корінь.
приклад 4. При яких значеннях параметра рівняння має 2 корені?
Рішення.Це рівняння рівносильне системі: . З'ясуємо, коли квадратне рівняння х 2 – х – а = 0 має 2 невід'ємні корені.
Отримане рівняння має два корені, якщо 1+4а > 0; вони невід'ємні, якщо
0 > а > - .
Відповідь: (- ; 0] .
У багатьох випадках при встановленні числа коренів рівняння має значення симетрії.
VЕтап - знаходження загального кореня двох рівнянь.
приклад 1. За яких значень параметра а рівняння х 2 + 3х + 7а -21 =0 і х 2 +6х +5а -6 =0 мають загальний корінь?
Рішення.Виключимо параметр з отриманої системи. І тому перше рівняння помножимо на -5, друге - на7, а результати складемо. Отримаємо: 2х 2 + 27х +63 = 0, коріння якого х1 = -3, х2 = -10,5. Підставимо коріння в одне із рівнянь і знайдемо значення параметра а.
Відповідь: 3 та - 8,25.
приклад 2. За яких значень параметра а рівняння х 2 – ах + 2 = 0 і 3х 2 + (а - 9)х+ 3=0 рівносильні?
Рішення. Як відомо рівняння рівносильні, якщо безліч їх коренів збігаються. Розглянемо 2 випадки.
1) Рівняння немає коренів (множина коренів порожньо). Тоді їх дискримінанти негативні:
Система нерівностей рішень немає.
2) Рівняння мають загальне коріння. Тоді 
Отже, дані рівняння можуть мати загальне коріння тільки за а = 3 або а = .
Перевірити самостійно!
VIетап – геометричні інтерпретації.
Розв'язання задач із параметрами може суттєво полегшити використання графіків.
Приклад 1
. Розв'яжіть рівняння залежно від параметра а: 
.
Рішення. Зрозуміло, що при а 0:
Чи все коріння підходить. Щоб це з'ясувати, збудуємо графік функції а =.
Кількість коренів можна побачити на малюнку:
- якщо а< 0, то корней нет;
- якщо а = 0 та а > 0, то 2 корені.
Знайдемо це коріння.
При а = 0 отримаємо х 2 – 2х – 3 = 0 та х 1 = -1, х 2 = 3; при а > 4 це коріння рівняння х 2 - 2х - 3 - а = 0.
Якщо 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Якщо а = 4 – три корені:
Відповідь: 1) якщо а< 0, то корней нет;
2) якщо а = 0, то х 1 = -1, х 2 = 3;
3) якщо 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) якщо а = 4, то х1 = 1; х 2,3 = 1;
5) якщо а> 4, то х 1,2 = 1 .
Приклад 2 . При яких значеннях рівняння має більше двох коренів?
Рішення. Якщо підставити х = 0 у вихідне рівняння, то отримаємо 6 = 6, це означає, що х = 0 є рішенням рівняння за будь-якого а.
Нехай тепер х 0, тоді можна записати 
. З'ясуємо знаки виразів 2х + 3 та 2х – 3.
Розкриємо модулі: а = 
(1)
У площині х0а побудуємо безліч точок (х; а), координати яких задовольняють співвідношення (1).
Якщо а = 0, то рівняння має безліч рішень на проміжку , при інших значеннях а число рішень рівняння не перевищує двох.
Відповідь: а = 0.
Тестовий контроль
1 варіант |
2 варіант |
1) Розв'яжіть рівняння: 0 · х = а Відповіді |
1) Розв'язати рівняння: а х = а. Відповіді: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 коріння немає в) при а = 0 немає коріння, при а ≠ х = |
2) Вирішить рівняння: (в - 2) · х = 5 + ст. Відповіді: |
2) Розв'яжіть рівняння (в + 1) х = 3 – в. Відповіді: а) при в = 2 немає коріння; при ≠2, х = ; б) при в = -2 немає коріння, при в ≠-2 х = в) при в = -1 немає коріння, при а ≠ - 1 |
3) При яких значеннях параметра з рівняння має безліч рішень? с · (з + 1) · х = з 2 - 1. Відповідь: а) при = -1, х R, ; |
Урок з елективного курсу
по темі: «Розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами»
(Урок узагальнення та повторення)
Ціль: 1.Повторити та узагальнити знання учнів методів розв'язання рівнянь та нерівностей з параметрами; закріпити вміння застосовувати знання під час вирішення конкретних завдань; 2. Розвивати логічне мислення; 3. Виховувати увагу та акуратність.
План урок: I. Організаційний момент_________________________2 хв.
ІІ. Актуалізація опорних знань:
- Повторення__________________________________3 хв.
- Усна робота________________________________3 хв.
- Робота за картками (під час 1 та 2)
ІІІ. Рішення вправ 22 хв.
IY. Виконання тесту______________________________8 хв.
Y. Підбиття підсумків, постановка домашнього завдання__2 хв.
Хід уроку:
I. Організаційний момент.
Вчитель: - Здрастуйте, хлопці. Приємно вас усіх бачити, ми розпочинаємо наш урок. Сьогодні на уроці наша мета – повторити та відпрацювати знання, вміння та навички, отримані на минулих уроках при вивченні цієї теми.
II . Актуалізація опорних знань:
1) Повторення.
Вчитель: - Отже, повторимо.
Що називається лінійним рівнянням із параметрами?
Які випадки ми розглядали під час вирішення таких рівнянь?
Наведіть приклади лінійних рівнянь із параметрами.
Наведіть приклади лінійних нерівностей із параметрами.
2) Усна робота.
Завдання: Наведіть дане рівняння до лінійного вигляду.
На дошці:
а) 3а х - 1 = 2 х;
б) 2+5 х = 5а х;
в) 2 х - 4 = а х + 1.
3) Робота за картками.
III . Розв'язання вправ.
Завдання 1. Вирішити рівняння з параметрома.
3(ах + 1) + 1 = 2(а - х) + 1.
Завдання виконується на дошці та у зошитах.
Завдання 2. При якому значенніа, пряма у = 7ах + 9, проходить через
т. А (-3; 2)?
Завдання виконується самостійно біля дошки одним учнем. Інші працюють у зошитах, потім звіряються з дошкою.
Фізкульт. хвилинка.
Завдання 3. При якому значенніа, рівняння 3(ах – а) = х – 1 має
Безкінечно багато рішень?
Дане завдання пропонується вирішити самостійно учням у зошитах. Потім перевірити відповіді.
Завдання 4. При якому значенні параметраа сума коренів рівняння
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0дорівнює 1?
Завдання виконується коментування з місця.
Завдання 5. Розв'яжіть нерівність з параметромр:
р(5х - 2)
Дане завдання виконується біля дошки та у зошитах.
IY. Виконання тесту.
Учням видаються індивідуальні листи із завданнями:
1) Чи є рівняння6(ах + 1) + а = 3(а - х) + 7лінійним?
а) так; б) ні; в) можна призвести до лінійного
2) Рівняння (2ах + 1)а = 5а - 1 наведено до виду лінійного рівняння
А ні; б) так;
3) При якому значенні параметраа пряма у = ах - 3 проходить через
Т. А (-2; 9)?
А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.
4) При якому рівняння 2ах + 1 = х має корінь, що дорівнює -1?
а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.
5) Якщо у квадратного рівнянняах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 залежить від
А) значення ; б) значення а; в) значення -в/а;
г) немає рішень.
Відповідь:в; а; в; в; б.
YII. Підбиття підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.
Вчитель: - Сьогодні на уроці ми повторили та закріпили знання, отримані на минулих уроках, відпрацювали необхідні вміння під час виконання різних завдань. Я думаю, що ви добре попрацювали, молодці.
Крім поставлених за урок оцінок, можна оцінити роботу на уроці ряду учнів.
Вчитель : - Запишіть домашнє завдання:
На дошці:
Вирішити нерівність:х² – 2ах + 4 > 0.
Урок завершено.
Департамент освіти Володимирської області
Управління освіти Судогодського району
Муніципальний загальноосвітній заклад
«Мошокська середня загальноосвітня школа»
«
Рішення рівнянь і нерівностей з параметром»
Розробила: Гаврилова Г.В.
вчитель математики
моу «Мошокська середня
загальноосвітня школа"
2009 рік
Розв'язання рівнянь та нерівностей із параметрами
Пояснювальна записка
Поняття параметра є математичним поняттям, яке часто використовується у шкільному курсі математики та у суміжних дисциплінах.
7 клас - при вивченні лінійної функції та лінійного рівняння з однією змінною.
8 клас – щодо квадратних рівнянь.
Загальноосвітня програма шкільного курсу математики не передбачає вирішення завдань з параметрами, а на вступних іспитах до вузів та на ЄДІ з математики задачі з параметрами присутні, вирішення яких викликає великі труднощі учнів. Завдання з параметрами мають діагностичну та прогностичну цінність, які дозволяють перевірити знання основних розділів шкільного курсу математики, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності.
Основне завдання курсу – познайомити учнів із загальними підходами вирішення завдань із параметрами, підготувати учнів таким чином, щоб вони змогли в атмосфері конкурсного іспиту успішно впоратися із завданнями, що містять параметри.
Вирішити рівняння, визначити кількість рішень, дослідити рівняння, знайти позитивне коріння, довести, що нерівність не має рішень і т.д. - все це варіанти параметричних прикладів. Тому неможливо дати універсальних вказівок щодо рішення прикладів, у цьому курсі розглядаються різні приклади з рішеннями. Матеріал курсу подано за схемою: довідкові відомості, приклади з рішеннями, приклади для самостійної роботи, приклади визначення успішності засвоєння матеріалу.
Розв'язання завдань із параметрами сприяють формуванню навичок дослідницької діяльності, інтелектуальному розвитку.
Цілі курсу:
Систематизувати знання учнів, отримані у 7 та 8 класах, при вирішенні лінійних та квадратних рівнянь та нерівностей;
Виявити та розвинути їх математичні здібності;
Створити цілісне уявлення про розв'язання лінійних рівнянь та нерівностей, що містять параметри;
Створити цілісне уявлення про розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей, що містять параметри;
Поглибити знання з математики, які передбачають формування в учнів сталого інтересу до предмета;
забезпечити підготовку до професійної діяльності, яка потребує високої математичної культури.
Навчально-тематичний план
|
№ п/п
|
Тема |
Кількість годин
|
Види діяльності |
|
1. |
|
|
Практикум |
|
2. |
Початкова інформація про завдання з параметром. |
Семінар |
|
|
3. |
Вирішення лінійних рівнянь, що містять параметри. |
|
|
|
4. |
Вирішення лінійних нерівностей, що містять параметри. |
Дослідницька робота; відпрацювання навичок; самостійна робота. |
|
|
5. |
Квадратні рівняння. Теорема Вієта. |
3 |
Дослідницька робота; відпрацювання навичок; самостійна робота. |
|
6. |
Успішність засвоєння курсу |
1 |
Підсумкова контрольна робота |
Тема 1.Розв'язання лінійних рівнянь та нерівностей, квадратних рівнянь та нерівностей, розв'язання задач на застосування теореми Вієта.
Тема 2. Початкові відомості про завдання параметра.
Концепція параметра. Що означає «вирішити завдання з параметром»? Основні типи завдань із параметром. Основні способи вирішення завдань із параметром.
Приклади розв'язування лінійних рівнянь із параметром.
Тема 4. Вирішення лінійних нерівностей, що містять параметри.
Приклади розв'язання лінійних нерівностей із параметром.
Тема 5. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.
Приклади розв'язання квадратних рівнянь із параметром.
Дидактичний матеріал до елективного курсу
«Рішення рівнянь та
нерівностей із параметром»
Тема 1.Приклади цієї теми.
Тема 2.Приклади, де учні зустрічалися з параметрами:
Функція пряма пропорційність: у = kx (х і у – змінні; k – параметр, k ≠ 0);
Функція зворотної пропорційності: у = k / х (х і у – змінні, k – параметр, k ≠ 0)
Лінійна функція: у = kх + b (х і у – змінні; k та b – параметри);
Лінійне рівняння: ах + b = 0 (х – змінна; а та b – параметри);
Квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 (х – змінна; а, b та c – параметри,
Що таке параметр?
Якщо рівняння чи нерівність деякі коефіцієнти замінені не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, вони називаються параметрами, а рівняння чи нерівність параметрическим.
Параметри зазвичай позначаються першими літерами латинського алфавіту: а, в, с, … або а 1, а 2, а 3, …, а невідомі останніми літерами латинського алфавіту х, у, z, … Ці позначення не є обов'язковими, але якщо в умові не вказано, які літери є параметрами, а які невідомі.
ми, то використовуються такі позначення.
Наприклад, розв'язати рівняння (4х - ах) а = 6х - 10 . Тут х – невідоме, а – параметр.
Що означає «вирішити завдання з параметром»?
Вирішити завдання з параметром – отже, кожному за значення параметра знайти значення х, задовольняють цієї задачі, тобто. це залежить від питання у завданні.
Вирішити рівняння або нерівність з параметрами означає:
Визначити, за яких значеннях параметрів існує рішення;
Для кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідну множину рішень.
Які основні типи завдань із параметром?
Тип 1.Рівняння, нерівності, які необхідно вирішити або для будь-якого значення параметра, або для значень параметра, що належать до обумовленої множини. Цей тип завдань є базовим під час оволодіння темою «Завдання з параметрами».
Тип 2.Рівняння, нерівності, котрим потрібно визначити кількість рішень залежно від значення параметра.
Тип 3.Рівняння, нерівності, для яких потрібно знайти всі значення параметра, при яких зазначені рівняння і нерівності мають задане число рішень (зокрема, не мають або мають безліч рішень). Завдання типу 3 у сенсі зворотні завданням типу 2.
Тип 4.Рівняння, нерівності, котрим за шуканих значеннях параметра безліч рішень задовольняє заданим умовам області визначення.
Наприклад, знайти значення параметра, за яких:
1) рівняння виконується для будь-якого значення змінної із заданого проміжку;
2) множина рішень першого рівняння є підмножиною множини рішення другого рівняння і т.д.
Основні способи вирішення завдань із параметром.
Спосіб 1. (Аналітичний) Цей спосіб так званого прямого рішення, що повторює стандартні способи знаходження відповіді в задачах без параметра.
Спосіб 2. (графічний) Залежно від завдання розглядаються графіки в координатній площині (х; у), або в координатній площині (х; а).
Спосіб 3. (рішення щодо параметра) При вирішенні цим способом змінні х і а приймаються рівноправними, і вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення визнається більш простим. Після природних спрощень повертаємося до вихідного змісту змінних х і а і закінчуємо рішення.
Зауваження. Істотним етапом вирішення завдань із параметрами є запис відповіді. Особливо це стосується тих прикладів, де рішення як би «розгалужується» в залежності від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді – це збирання раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відобразити у відповіді всі етапи рішення.
Розглянемо приклади. 2.1. Порівняти -а та 5а.
Рішення. Треба розглянути три випадки: а 5а;
якщо а = 0, то -а = 5а;
якщо а > 0, то -а
Відповідь. При а 5а; при а = 0, -а = 5а; при а > 0, -а
Розв'язати рівняння ах = 1.
Якщо а ≠ 0, то х = 1/а.
Відповідь. При а = 0 немає рішень; при а ≠ 0, х = 1/а.
Порівняти з – 7с.
Розв'язати рівняння сх = 10
Тема 3
Лінійні рівняння
Рівняння виду
де а, в - належать безлічі дійсних чисел, а х - невідоме, називається лінійним рівнянням щодо х.
Схема вивчення лінійного рівняння (1).
1. Якщо а ≠ 0, в – будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення x = в/а.
2. Якщо а=0, в=0, то рівняння набуде вигляду 0 ∙ х = 0, розв'язком рівняння буде безліч усіх дійсних чисел.
3. Якщо а=0, в ≠ 0, то рівняння 0 ∙ х = не має розв'язків.
Зауваження. Якщо лінійне рівняння не представлено у вигляді (1), то спочатку потрібно привести його до виду (1) і лише після цього проводити дослідження.
приклади. 3.1 Розв'язати рівняння (а -3)х = в+2а
Рівняння записано у вигляді (1).
Рішення: Якщо а≠ 3, то рівняння має розв'язок х = в+2а/ а-3 за будь-якого ст.
Значить єдине значення а, у якому можуть бути рішення рівняння, це а=3. У цьому випадку рівняння (а -3)х = в+2а набуває вигляду
0 ∙ х = в+6. (2)
Якщо в≠ - 6, то рівняння (2) немає рішень.
Якщо = - 6, то будь-яке х є рішенням (2).
Отже, в = - 6 єдине значення параметра, при якому рівняння (1) має рішення за будь-якого а (х=2 при а ≠3 і х належить безлічі дійсних чисел при а=3).
Відповідь: в = -6.
3.2. Розв'язати рівняння 3(х-2а) = 4(1-х).
3.3. Розв'язати рівняння 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Розв'язати рівняння (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Розв'язати рівняння х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостійна робота.
Варіант 1. Розв'язати рівняння: а) вх + 2 = - 1;
б) (а - 1) х = а - 2;
в) (а 2 - 1) х - а 2 + 2а - 1 = 0.
Варіант 2. Розв'язати рівняння: а) – 8 = вх + 1;
б) (а + 1) х = а - 1;
в) (9а 2 - 4) х - 9а 2 + 12а - 4 = 0.
Тема 4.
Лінійні нерівності з параметром
Нерівності
ах > в, ах
де а, в - вирази, що залежать від параметрів, а х - невідоме,називаються лінійними нерівностями з параметрами.
Вирішити нерівність з параметрами – отже всім значень параметрів знайти безліч рішень нерівності.
Схема розв'язання нерівності ах > в.
Якщо а > 0, то х > в/а.
Якщо а
Якщо а = 0, то нерівність набуде вигляду 0 ∙ х > ст. При ≥ 0 нерівність не має рішень; при в
приклади. 4.1. Вирішити нерівність а(3х-1)> 3х - 2.
Рішення: а(3х-1)>3х - 2, значить 3х(а-1)> а-2.
Розглянемо три випадки.
а=1, розв'язком 0 ∙ х > -1 є будь-яке дійсне число.
а>1, 3х(а-1)> а-2, отже х > а-2/3 (а-1).
а а-2, отже х
2ах +5 > a+10x.
(а + 1)х - 3а + 1 ≤ 0.
Х2+ах+1>0.
Самостійна робота.
Варіант 1.Розв'язати нерівності: а) ( а- 1) х ≤ а 2 – 1;
б) 3х-а > ах - 2.
Варіант 2.Вирішити нерівності: а) (а – 1)х - 2а +3 ≥ 0;
б) ах-2в
Тема 5.
Квадратні рівняння, що містять параметри. Теорема Вієта.
Рівняння виду
ах 2 + вх + с = 0, (1)
де а,в,с - вирази, що залежать від параметрів, а ≠ 0, х - невідоме, називається квадратним рівнянням з параметрами.
Схема дослідження квадратного рівняння (1).
Якщо а = 0, маємо лінійне рівняння вх +с = 0.
Якщо а ≠ 0 і дискримінант рівняння D = 2 – 4ас
Якщо а ≠ 0 і D = 0, то рівняння має єдине рішення х = - в/ 2а або як ще кажуть, коріння х 1 = х 2 = - В / 2а.
Якщо а ≠ 0 і D > 0, то рівняння має два різні корені х 1,2 = (- В ± √D) / 2а
приклади. 5.1. Для всіх значень параметра а розв'язати рівняння
(а - 1) х 2 - 2ах + а + 2 = 0.
Рішення. 1. а – 1 = 0, тобто. а = 1. Тоді рівняння набуде вигляду -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .
2. а ≠ 1. Знайдемо дискримінант рівняння D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.
Можливі випадки: а) D 8 а > 2. Рівняння не має
б) D = 0, тобто. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Рівняння має один
корінь х = а/(а – 1) = 2/(2 – 1) = 2.
в) D> 0, тобто. -4а + 8> 0, 4а
кореня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)
Відповідь. При а = 1 х = 3/2;
при а = 2 х = 2;
при а> 2 немає коріння;
Для всіх значень параметра розв'язати рівняння:
ах 2 + 3ах - а - 2 = 0;
ах 2+6х - 6 = 0;
вх 2 - (в + 1) х +1 = 0;
(в + 1) х 2 - 2х + 1 - в = 0.
Самостійна робота.
Варіант 1. Розв'язати рівняння ах 2 – (а+3)х + 3 = 0.
Варіант 2. Розв'язати рівняння а2+(а+1)х+2а-4 = 0.
Завдання.
. Знайдіть усі значення параметра а, для яких квадратне рівняння
Рішення. Це рівняння за умовою є квадратним, отже,
а - 1 ≠ 0, тобто. а ≠ 1. Знайдемо дискримінант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =
4 (4а 2 + 4а + 1 - 4а 2 + а + 3) = 4 (5а + 4).
Маємо: 1) За а ≠ 1 і D > 0, тобто. 4(5а + 4) > 0, а > - 4/5 рівняння має два
різних корінь.
2) При а ≠ 1 та D
3) При а ≠ 1 та D = 0, тобто. а = - 4/5 рівняння має один корінь.
Відповідь. Якщо а > - 4 / 5 і а ≠ 1, то рівняння має два різні корені;
якщо а = - 4/5, то рівняння має один корінь.
.При яких значеннях параметра рівняння (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 має єдине рішення?
.При яких значеннях параметра а рівняння (а 2 - а - 2) х 2 + (а +1) х + 1 = 0 не має рішень?
.При яких значеннях параметра а рівняння ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 має два різні корені?
Самостійна робота.
Варіант 1.Знайдіть усі значення параметра а, для яких квадратне рівняння (2 а – 1)х 2 +2х– 1 = 0 має два різні корені; не має коріння; має один корінь.
Варіант 2.. Знайдіть усі значення параметра а, для яких квадратне рівняння (1 – а)х 2 +4х– 3 = 0 має два різні корені; не має коріння; має один корінь.
Теорема Вієта.
При вирішенні багатьох завдань, пов'язаних із квадратними рівняннями, що містять параметри, використовуються такі теореми.
Теорема Вієта.Якщо х 1 , х 2 – коріння квадратного рівняння ах 2 + вх +с = 0, а ≠0, то х 1 + х 2 = - В / а та х 1 х 2 = С / а.
Теорема 1.Для того, щоб коріння квадратного тричлену ах 2 +вх +с було дійсним і мало однакові знаки, необхідно і достатньо виконання наступних умов: D = 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.
При цьому обидва корені будуть позитивні, якщо х 1 + х 2 = - В / а > 0, і обидва корені будуть негативні, якщо х 1 + х 2 = - В / а
Теорема 2.Для того, щоб корені квадратного тричлену ах 2 + вх + с були дійсними і обидва невід'ємними або обидві непозитивними, необхідно і достатньо виконання наступних умов: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.
При цьому обидва корені будуть невід'ємними, якщо х 1 + х 2 = - В / а ≥ 0, і обидва корені будуть непозитивні, якщо х 1 + х 2 = - В / а ≤ 0.
Теорема 3.Для того, щоб корені квадратного тричлену ах 2 + вх + с були дійсними і мали різні знаки, необхідно і достатньо виконання наступних умов: х 1 ∙ х 2 = С /аПри цьому умова D = у 2 – 4ас > 0 виконується автоматично.
Примітка.Ці теореми відіграють важливу роль при вирішенні завдань, пов'язаних із дослідженням знаків коренів рівняння ах 2 + вх + с = 0.
Корисні рівності:х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 - 2х 1 х 2 (1)
х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)
(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 - 4х 1 х 2, (3)
(5)
5.10.
(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 має: а) два позитивні корені; б) два негативні корені; в) коріння різних знаків?
Рішення. Рівняння квадратне, отже, а ≠ 1. За теоремою Вієта маємо
х 1 + х 2 = 2а / (а - 1), х 1 х 2 = (а + 1) / (а - 1).
Обчислимо дискримінант D = 4а 2 - 4 (а - 1) (а + 1) = 4.
а) Відповідно до теореми 1 рівняння має позитивне коріння, якщо
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, тобто. (а + 1) / (а - 1)> 0, 2а / (а - 1)> 0.
Звідси є (-1; 0).
б) Відповідно до теореми 1 рівняння має негативне коріння, якщо
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)
Звідси є (0; 1).
в) Відповідно до теореми 3 рівняння має коріння різних знаків, якщо х 1 х 2
(а + 1) / (а - 1) Відповідь. а) при а є (-1; 0) рівняння має позитивне коріння;
б) при а є (0; 1) рівняння має негативне коріння;
в) при а є (-1; 1) рівняння має коріння різних знаків.
5.11.
При яких значеннях параметра квадратне рівняння
(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 має: а) два позитивні корені; б) два негативні корені; в) коріння різних знаків?
5. 12. Не розв'язуючи рівняння 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, знайдіть х 1 -1 + х 2 -1 , де х 1, х 2 – коріння рівняння.
5.13. За яких значень параметра а рівняння х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 має коріння, сума квадратів яких дорівнює 4.
Контрольна робота.
Варіант 1. 1. Розв'язати рівняння (а2+4а)х = 2а+8.
2. Вирішити нерівність (в + 1)х ≥ (у 2 – 1).
3. При яких значеннях параметра а рівняння
х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 має: а) два позитивні корені; б) два негативні корені; в) коріння різних знаків?
Варіант 2. 1. Розв'язати рівняння (а 2 - 2а) х = 3а.
2. Вирішити нерівність (а + 2)х ≤ а 2 – 4.
3. При яких значеннях параметра рівняння
х 2 – (2в – 1)х + у 2 – т – 2 = 0 має: а) два позитивні корені; б) два негативні корені; в) коріння різних знаків?
Література
В.В. Мочалов, В.В. Сільвестрів. Рівняння та нерівності з параметрами. Ч.: Вид-во ЧДУ, 2004. - 175с.
Ястребінський Г.А. Завдання із параметрами. М.: Просвітництво, 1986 - 128 с.
Башмаков М.І. Алгебра та початку аналізу. Підручник для 10 – 11 класів середньої школи. М.: Просвітництво, 1991. - 351 с.
Т. Пєскова. Перше знайомство з параметрами у рівняннях. Навчально-методична газета "Математика". №36, 1999.
Т. Косякова. Вирішення лінійних та квадратних нерівностей, що містять параметри. 9 кл. Навчально-методична газета "Математика". № 25 - 26, № 27 - 28. 2004.
Т. Горшеніна. Завдання із параметром. 8 кл. Навчально-методична газета "Математика". №16. 2004.
Ш. Циганів. Квадратні тричлени та параметри. Навчально-методична газета "Математика". №5. 1999.
С. Неделяєва. Особливості розв'язання задач із параметром. Навчально-методична газета "Математика". №34. 1999.
