كيفية العثور على مميز المعادلة التربيعية. ما هي المعادلات التي سنتحدث عنها؟ طرق حل المعادلات التربيعية

معادلة تربيعية سهلة الحل! *يشار إليها فيما بعد باسم "KU".أيها الأصدقاء، يبدو أنه لا يوجد شيء أسهل في الرياضيات من حل مثل هذه المعادلة. لكن شيئًا ما أخبرني أن الكثير من الناس لديهم مشاكل معه. قررت معرفة عدد مرات الظهور التي تقدمها Yandex شهريًا عند الطلب. إليك ما حدث، انظر:

ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أن حوالي 70.000 شخص يبحثون عنه شهريًا هذه المعلومة، ما علاقة هذا الصيف به، وماذا سيحدث فيما بينها العام الدراسي- سيكون هناك ضعف عدد الطلبات. هذا ليس مفاجئا، لأن هؤلاء الرجال والفتيات الذين تخرجوا من المدرسة لفترة طويلة ويستعدون لامتحان الدولة الموحدة يبحثون عن هذه المعلومات، ويسعى تلاميذ المدارس أيضا إلى تحديث ذاكرتهم.

وعلى الرغم من وجود الكثير من المواقع التي تخبرك بكيفية حل هذه المعادلة، فقد قررت أيضًا المساهمة ونشر المادة. أولاً، أريد أن يأتي الزوار إلى موقعي بناءً على هذا الطلب؛ ثانيًا، في مقالات أخرى، عندما يأتي موضوع "KU"، سأقدم رابطًا لهذه المقالة؛ ثالثًا، سأخبرك بالمزيد عن حله أكثر مما يُذكر عادةً في المواقع الأخرى. هيا بنا نبدأ!محتوى المقال:

المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

حيث المعاملات أ،بو c أرقام عشوائية، مع a≠0.

في دورة المدرسةيتم تقديم المادة بالشكل التالي - يتم تقسيم المعادلات بشكل مشروط إلى ثلاث فئات:

1. لديهم جذرين.

2. * لديك جذر واحد فقط.

3. ليس لها جذور. ومن الجدير بالذكر بشكل خاص هنا أنه ليس لديهم جذور حقيقية

كيف يتم حساب الجذور؟ فقط!

نحن نحسب المميز. تحت هذه الكلمة "الرهيبة" تكمن صيغة بسيطة للغاية:

صيغ الجذر هي كما يلي:

*عليك أن تحفظ هذه الصيغ عن ظهر قلب.

يمكنك الكتابة على الفور وحلها:

مثال:

1. إذا كانت D > 0، فإن المعادلة لها جذرين.

2. إذا كانت D = 0، فإن المعادلة لها جذر واحد.

3. إذا كان د< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

لننظر إلى المعادلة:

بواسطة في هذه المناسبة، عندما يكون المميز صفرًا، تقول المقررات المدرسية أن النتيجة هي جذر واحد، وهنا يساوي تسعة. كل شيء صحيح، إنه كذلك، ولكن...

هذه الفكرة غير صحيحة إلى حد ما. في الواقع، هناك جذوران. نعم، نعم، لا تتفاجأ، تحصل على جذرين متساويين، ولكي نكون دقيقين رياضيا، فالإجابة يجب أن تكتب جذرين:

× 1 = 3 × 2 = 3

ولكن هذا هو الحال - استطرادا صغيرا. في المدرسة، يمكنك كتابتها والقول أن هناك جذرًا واحدًا.

والآن المثال التالي:

كما نعلم، جذر عدد السلبيلم يتم استخراجها، وبالتالي فإن الحلول في في هذه الحالةلا.

هذه هي عملية اتخاذ القرار برمتها.

وظيفة من الدرجة الثانية.

وهذا يوضح كيف يبدو الحل هندسيًا. من المهم للغاية فهم هذا (في المستقبل، في إحدى المقالات، سنحلل بالتفصيل حل عدم المساواة التربيعية).

هذه وظيفة النموذج:

حيث x و y متغيران

أ، ب، ج - أرقام معينة، مع ≠ 0

الرسم البياني هو القطع المكافئ:

أي أنه يتبين أنه من خلال حل معادلة تربيعية حيث "y" تساوي صفر، نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يمكن أن يكون هناك نقطتان (المميز إيجابي)، واحدة (المميز صفر) ولا شيء (المميز سلبي). تفاصيل حول وظيفة من الدرجة الثانية يمكنك عرضمقال بقلم إينا فيلدمان.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1: حل 2x 2 +8 س–192=0

أ=2 ب=8 ج= –192

د = ب 2 -4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

الإجابة: × 1 = 8 × 2 = -12

* كان من الممكن أن يغادر على الفور و الجانب الأيمنقسّم المعادلة على 2، أي قم بتبسيطها. الحسابات ستكون أسهل.

مثال 2: يقرر × 2–22 س+121 = 0

أ=1 ب=–22 ج=121

د = ب 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

لقد وجدنا أن x 1 = 11 و x 2 = 11

ويجوز كتابة x = 11 في الجواب.

الجواب: س = 11

مثال 3: يقرر س 2 –8س+72 = 0

أ=1 ب= –8 ج=72

د = ب 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

المميز سالب، لا يوجد حل في الأعداد الحقيقية.

الجواب: لا يوجد حل

التمييز سلبي. هل هناك حل!

سنتحدث هنا عن حل المعادلة في حالة الحصول على مميز سلبي. هل تعلم اي شيء عن ارقام مركبة؟ لن أخوض في التفاصيل هنا حول سبب وأين نشأت وما هو دورها المحدد وضرورتها في الرياضيات؛ فهذا موضوع لمقالة منفصلة كبيرة.

مفهوم العدد المركب.

القليل من النظرية.

الرقم المركب z هو رقم من النموذج

ض = أ + ثنائية

حيث a وb عددان حقيقيان، i هو ما يسمى بالوحدة التخيلية.

أ+ثنائية – هذا رقم فردي وليس إضافة.

الوحدة التخيلية تساوي جذر ناقص واحد:

الآن فكر في المعادلة:

نحصل على جذرين مترافقين.

معادلة تربيعية غير مكتملة.

لنفكر في حالات خاصة، وذلك عندما يكون المعامل "b" أو "c" مساويًا للصفر (أو كلاهما يساوي الصفر). ويمكن حلها بسهولة دون أي تمييز.

الحالة 1. المعامل ب = 0.

تصبح المعادلة:

دعونا تحويل:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => × 2 = 4 => × 1 = 2 × 2 = –2

الحالة 2. المعامل ج = 0.

تصبح المعادلة:

لنقم بالتحويل والتحليل:

* يكون حاصل الضرب صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 أو x–5 =0

× 1 = 0 × 2 = 5

الحالة 3. المعاملات ب = 0 و ج = 0.

من الواضح هنا أن حل المعادلة سيكون دائمًا x = 0.

خصائص وأنماط مفيدة من المعاملات.

هناك خصائص تسمح لك بحل المعادلات ذات المعاملات الكبيرة.

أس 2 + bx+ ج=0 المساواة تحمل

أ + ب+ ج = 0،الذي - التي

- إذا لمعاملات المعادلة أس 2 + bx+ ج=0 المساواة تحمل

أ+ س =ب, الذي - التي

تساعد هذه الخصائص في حل نوع معين من المعادلات.

مثال 1: 5001 س 2 –4995 س – 6=0

مجموع الاحتمالات هو 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 يعني

مثال 2: 2501 س 2 +2507 س+6=0

المساواة تحمل أ+ س =ب, وسائل

انتظام المعاملات.

1. إذا كان في المعادلة ax 2 + bx + c = 0 فإن المعامل "b" يساوي (a 2 +1)، والمعامل "c" يساوي عددياً المعامل "a" فإن جذوره متساوية

الفأس 2 + (أ 2 +1)∙س+ أ= 0 = > × 1 = –أ × 2 = –1/أ.

مثال. خذ المعادلة 6x 2 + 37x + 6 = 0.

× 1 = -6 × 2 = -1/6.

2. إذا كان في المعادلة ax 2 - bx + c = 0 فإن المعامل "b" يساوي (a 2 +1)، والمعامل "c" يساوي عددياً المعامل "a" فإن جذوره متساوية

الفأس 2 – (أ 2 +1)∙س+ أ= 0 = > × 1 = أ × 2 = 1/أ.

مثال. خذ بعين الاعتبار المعادلة 15x2 –226x +15 = 0.

× 1 = 15 × 2 = 1/15.

3. إذا كان في معادل.الفأس 2 + ب س - ج = 0 معامل "ب" يساوي (2 - 1)، والمعامل "ج" يساوي عدديا المعامل "أ", فإن جذورها متساوية

الفأس 2 + (أ 2 –1)∙س – أ= 0 = > × 1 = – أ × 2 = 1/أ.

مثال. خذ المعادلة 17x2 +288x – 17 = 0.

× 1 = – 17 × 2 = 1/17.

4. إذا كان في المعادلة ax 2 – bx – c = 0 فإن المعامل “b” يساوي (a 2 – 1)، والمعامل c يساوي عددياً المعامل “a” فإن جذوره متساوية

الفأس 2 – (أ 2 –1)∙س – أ= 0 = > × 1 = أ × 2 = – 1/أ.

مثال. خذ بعين الاعتبار المعادلة 10x2 – 99x –10 = 0.

× 1 = 10 × 2 = – 1/10

نظرية فييتا.

تم تسمية نظرية فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي الشهير فرانسوا فييتا. باستخدام نظرية فييتا، يمكننا التعبير عن مجموع ومنتج جذور KU التعسفية من حيث معاملاتها.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

في المجمل، الرقم 14 يعطي فقط 5 و 9. هذه جذور. بمهارة معينة، وباستخدام النظرية المقدمة، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا على الفور.

بالإضافة إلى ذلك، نظرية فييتا. مريحة لأنه بعد حل معادلة من الدرجة الثانيةويمكن التحقق من الجذور الناتجة بالطريقة المعتادة (من خلال التمييز). أوصي بفعل هذا دائمًا.

طريقة النقل

وبهذه الطريقة يتم ضرب المعامل "أ" بالحد الحر، كما لو "ألقيت" عليه، ولهذا سمي طريقة "النقل".يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

لو أ± ب+ج≠ 0، ثم يتم استخدام تقنية النقل، على سبيل المثال:

2X 2 – 11س+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11س+ 10 = 0 (2)

باستخدام نظرية فييتا في المعادلة (2)، من السهل تحديد أن x 1 = 10 x 2 = 1

يجب قسمة جذور المعادلة الناتجة على 2 (حيث تم "طرح" الاثنين من x 2)، نحصل على

× 1 = 5 × 2 = 0.5.

ما هو الأساس المنطقي؟ انظر ماذا يحدث.

مميزات المعادلتين (1) و (2) متساوية:

إذا نظرت إلى جذور المعادلات، فلن تحصل إلا على مقامات مختلفة، وتعتمد النتيجة بدقة على معامل x 2:

والثاني (المعدل) له جذور أكبر مرتين.

لذلك، نقسم النتيجة على 2.

*إذا قمنا بإعادة الثلاثة، فسنقسم النتيجة على 3، وهكذا.

الجواب: × 1 = 5 × 2 = 0.5

مربع. ur-ie وامتحان الدولة الموحدة.

سأخبرك بإيجاز عن أهميتها - يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار بسرعة ودون تفكير، فأنت بحاجة إلى حفظ صيغ الجذور والمتميزات عن ظهر قلب. تتلخص العديد من المشكلات المدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة في حل معادلة تربيعية (بما في ذلك المعادلات الهندسية).

شيء جدير بالملاحظة!

1. يمكن أن تكون صيغة كتابة المعادلة “ضمنية”. على سبيل المثال، الإدخال التالي ممكن:

15+ 9x 2 - 45x = 0 أو 15x+42+9x 2 - 45x=0 أو 15 -5x+10x 2 = 0.

تحتاج إلى إحضاره إلى طريقة العرض القياسية(حتى لا تحتار عند اتخاذ القرار).

2. تذكر أن x كمية مجهولة ويمكن الإشارة إليها بأي حرف آخر - t، q، p، h وغيرها.

سنتناول في هذه المقالة حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

لكن أولًا، دعونا نكرر ما يسمى بالمعادلات التربيعية. معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث x متغير، والمعاملات a وb وc هي بعض الأرقام، وa ≠ 0 تسمى مربع. وكما نرى فإن معامل x 2 لا يساوي صفراً، وبالتالي يمكن أن تكون معاملات x أو الحد الحر مساوية للصفر، وفي هذه الحالة نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1) إذا كان ب = 0، ج ≠ 0، ثم الفأس 2 + ج = 0؛

2) إذا كان ب ≠ 0، ج = 0، ثم الفأس 2 + ب س = 0؛

3) إذا كان ب = 0، ج = 0، فإن الفأس 2 = 0.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات الشكل الفأس 2 + ج = 0.

لحل المعادلة، ننقل الحد الحر c إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فنحصل على

الفأس 2 = -s. بما أن ≠ 0، نقسم طرفي المعادلة على a، ثم x 2 = ‒c/a.

إذا كانت ‒с/а > 0، فإن المعادلة لها جذرين

س = ±√(–ج/أ) .

إذا -ج/أ< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

دعونا نحاول أن نفهم بالأمثلة كيفية حل مثل هذه المعادلات.

مثال 1. حل المعادلة 2س 2 - 32 = 0.

الإجابة: × 1 = - 4، × 2 = 4.

مثال 2. حل المعادلة 2س 2 + 8 = 0.

الجواب: المعادلة ليس لها حلول.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات من الشكل ax 2 + bx = 0.

لحل المعادلة ax 2 + bx = 0، دعونا نحولها إلى عوامل، أي نخرج x من الأقواس، نحصل على x(ax + b) = 0. الناتج يساوي صفر إذا كان أحد العوامل على الأقل متساويًا إلى الصفر. ثم إما x = 0، أو ax + b = 0. وبحل المعادلة ax + b = 0، نحصل على ax = - b، حيث x = - b/a. المعادلة ذات الصيغة ax 2 + bx = 0 لها دائمًا جذرين x 1 = 0 وx 2 = ‒ b/a. انظر كيف يبدو حل المعادلات من هذا النوع في الرسم التخطيطي.

دعونا نعزز معرفتنا بمثال محدد.

مثال 3. حل المعادلة 3س 2 - 12س = 0.

س(3س - 12) = 0

س= 0 أو 3س – 12 = 0

الإجابة: × 1 = 0، × 2 = 4.

• معادلات النوع الثالث الفأس 2 = 0يتم حلها بكل بساطة.

إذا كان الفأس 2 = 0، فإن x 2 = 0. المعادلة لها جذرين متساويين x 1 = 0، x 2 = 0.

من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني.

عند حل المثال رقم 4، دعونا نتأكد من إمكانية حل المعادلات من هذا النوع بكل بساطة.

مثال 4.حل المعادلة 7×2 = 0.

الجواب: × 1، 2 = 0.

ليس من الواضح دائمًا على الفور نوع المعادلة التربيعية غير الكاملة التي يتعين علينا حلها. النظر في المثال التالي.

مثال 5.حل المعادلة

دعونا نضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك، وهو 30

دعونا نقطعها

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

دعونا نفتح الأقواس

25س 2 + 45 – 24س 2 + 54 = 90.

دعونا نعطي مماثلة

لننقل 99 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة إلى العكس

الجواب: لا جذور.

لقد نظرنا في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. آمل ألا تواجه الآن أي صعوبات في مثل هذه المهام. كن حذرا عند تحديد نوع المعادلة التربيعية غير المكتملة، فسوف تنجح.

إذا كانت لديك أسئلة حول هذا الموضوع، قم بالتسجيل في دروسي، وسنحل المشكلات التي تنشأ معًا.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى ثلاثي الحدود \(3x^2+2x-7\)، فإن المميز سيكون مساويًا لـ \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). وبالنسبة لثلاثية الحدود \(x^2-5x+11\)، فستكون مساوية \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

يُشار إلى المُميز بالرمز \(D\) وغالبًا ما يستخدم في الحل. أيضًا، من خلال قيمة المميز، يمكنك فهم الشكل التقريبي للرسم البياني (انظر أدناه).

المميز وجذور المعادلة التربيعية

توضح القيمة المميزة عدد المعادلات التربيعية:
- إذا كانت \(D\) موجبة، فإن المعادلة سيكون لها جذرين؛
- إذا كان \(D\) يساوي صفرًا - فهناك جذر واحد فقط؛
- إذا كانت \(D\) سالبة، فلا توجد جذور.

لا يلزم تدريس هذا، فليس من الصعب التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج، ببساطة معرفة أنه من المميز (أي، \(\sqrt(D)\) يتم تضمينه في صيغة حساب جذور المعادلة التربيعية المعادلة: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) دعونا نلقي نظرة على كل حالة بمزيد من التفاصيل.

إذا كان المميز موجباً

في هذه الحالة، جذره هو رقم موجب، مما يعني أن \(x_(1)\) و \(x_(2)\) سيكون لهما معاني مختلفة، لأنه في الصيغة الأولى \(\sqrt(D)\ ) مضاف، وفي الثانية مطروح. ولدينا جذرين مختلفين.

مثال : أوجد جذور المعادلة \(x^2+2x-3=0\)
حل :

إجابة : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

إذا كان المميز صفراً

ما عدد الجذور إذا كان المميز صفرًا؟ دعونا السبب.

تبدو صيغ الجذر كما يلي: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(- ب- \sqrt(D))(2a)\) . وإذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن جذره يساوي صفرًا أيضًا. ثم يتبين:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

أي أن قيم جذور المعادلة ستكون هي نفسها، لأن إضافة الصفر أو طرحه لا يغير شيئاً.

مثال : أوجد جذور المعادلة \(x^2-4x+4=0\)
حل :

\(س^2-4x+4=0\)		نكتب المعاملات:
\(أ=1;\) \(ب=-4;\) \(ج=4;\)		نحسب المميز باستخدام الصيغة \(D=b^2-4ac\)
\(د=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		العثور على جذور المعادلة
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		لقد حصلنا على جذرين متطابقين، لذلك لا فائدة من كتابتهما بشكل منفصل - فنحن نكتبهما كواحد.

إجابة : \(س=2\)

تتم أيضًا دراسة مشاكل المعادلات التربيعية المنهج المدرسيوفي الجامعات. وهي تعني معادلات من الشكل a*x^2 + b*x + c = 0، حيث س-المتغير أ، ب، ج - الثوابت؛ أ<>0 . المهمة هي العثور على جذور المعادلة.

المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية

الرسم البياني للدالة الممثلة بمعادلة تربيعية هو القطع المكافئ. حلول (جذور) المعادلة التربيعية هي نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني (x). ويترتب على ذلك أن هناك ثلاث حالات محتملة:
1) لا يحتوي القطع المكافئ على نقاط تقاطع مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أنه في المستوى العلوي مع فروع لأعلى أو في الأسفل مع فروع لأسفل. في مثل هذه الحالات، المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية (لها جذرين معقدان).

2) القطع المكافئ له نقطة تقاطع مع محور الثور. تسمى هذه النقطة قمة القطع المكافئ، وتكتسب المعادلة التربيعية عندها الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمتها. في هذه الحالة، المعادلة التربيعية لها جذر حقيقي واحد (أو جذرين متطابقين).

3) الحالة الأخيرة أكثر إثارة للاهتمام من الناحية العملية - هناك نقطتان لتقاطع القطع المكافئ مع محور الإحداثي السيني. وهذا يعني أن هناك جذرين حقيقيين للمعادلة.

استنادا إلى تحليل معاملات قوى المتغيرات، يمكن استخلاص استنتاجات مثيرة للاهتمام حول موضع القطع المكافئ.

1) إذا كان المعامل a أكبر من الصفر، فإن فروع القطع المكافئ تتجه نحو الأعلى؛ وإذا كان سالباً، فإن فروع القطع المكافئ تتجه نحو الأسفل.

2) إذا كان المعامل b أكبر من الصفر، فإن قمة القطع المكافئ تقع في نصف المستوى الأيسر، وإذا كانت قيمة سالبة، ففي اليمين.

اشتقاق الصيغة لحل المعادلة التربيعية

دعنا ننقل الثابت من المعادلة التربيعية

للحصول على علامة المساواة، نحصل على التعبير

اضرب كلا الجانبين بـ 4 أ

للحصول على اليسار مربع ممتازأضف b^2 إلى كلا الجانبين وقم بإجراء التحويل

من هنا نجد

صيغة المميز وجذور المعادلة التربيعية

المميز هو قيمة التعبير الجذري إذا كان موجبًا، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين، يتم حسابهما بالصيغة عندما يكون المميز صفرًا، يكون للمعادلة التربيعية حل واحد (جذران متطابقان)، والذي يمكن الحصول عليه بسهولة من الصيغة أعلاه لـ D=0. التمييز السلبيلا توجد معادلات الجذر الحقيقي. ومع ذلك، توجد حلول للمعادلة التربيعية في المستوى المركب، ويتم حساب قيمتها باستخدام الصيغة

نظرية فييتا

دعونا نفكر في جذرين لمعادلة تربيعية ونبني على أساسهما معادلة تربيعية تتبع نظرية فييتا نفسها بسهولة من الترميز: إذا كان لدينا معادلة تربيعية من الشكل فإن مجموع جذوره يساوي المعامل p المأخوذ منه علامة المعاكسوحاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر q. سيبدو التمثيل الصيغةي لما سبق كما لو كان الثابت a في المعادلة الكلاسيكية غير صفر، فأنت بحاجة إلى قسمة المعادلة بأكملها عليه، ثم تطبيق نظرية فييتا.

تحليل جدول المعادلات التربيعية

دع المهمة يتم تحديدها: تحليل المعادلة التربيعية. للقيام بذلك، نقوم أولاً بحل المعادلة (العثور على الجذور). بعد ذلك، نعوض بالجذور الموجودة في صيغة مفكوك المعادلة التربيعية، وهذا سيحل المشكلة.

مشاكل المعادلات التربيعية

مهمة 1. أوجد جذور المعادلة التربيعية

x^2-26x+120=0 .

الحل: اكتب المعاملات وعوض بها في صيغة التمييز

جذر هذه القيمة هو 14، ومن السهل العثور عليه باستخدام الآلة الحاسبة، أو تذكر متى الاستخدام المتكررومع ذلك، من أجل الراحة، سأقدم لك في نهاية المقالة قائمة بمربعات الأرقام التي يمكن مواجهتها غالبًا في مثل هذه المشكلات.
نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر

ونحصل

المهمة 2. حل المعادلة

2س2 +س-3=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة، اكتب معاملاتها وأوجد المميز


بواسطة الصيغ المعروفةإيجاد جذور المعادلة التربيعية

المهمة 3. حل المعادلة

9س2 -12س+4=0.

الحل: لدينا معادلة تربيعية كاملة. تحديد التمييز

لدينا حالة حيث تتطابق الجذور. أوجد قيم الجذور باستخدام الصيغة

المهمة 4. حل المعادلة

س^2+س-6=0 .

الحل: في الحالات التي تكون فيها معاملات x صغيرة، فمن المستحسن تطبيق نظرية فييتا. من خلال حالتها نحصل على معادلتين

ومن الشرط الثاني نجد أن حاصل الضرب يجب أن يساوي -6. وهذا يعني أن أحد الجذور سلبي. لدينا زوج الحلول الممكن التالي (-3;2), (3;-2) . ومع مراعاة الشرط الأول، نرفض الزوج الثاني من الحلول.
جذور المعادلة متساوية

المسألة 5. أوجد أطوال أضلاع المستطيل إذا كان محيطه 18 سم ومساحته 77 سم2.

الحل: نصف محيط المستطيل يساوي مجموع أضلاعه المجاورة. لنشير إلى أن x هو الضلع الأكبر، ثم 18x هو الضلع الأصغر. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب هذه الأطوال:
س(18-س)=77;
أو
× 2 -18س+77=0.
دعونا نجد مميز المعادلة

حساب جذور المعادلة

لو س = 11،الذي - التي 18 = 7 ,والعكس صحيح أيضًا (إذا كانت x = 7، فإن 21 = 9).

المشكلة 6. تحليل المعادلة التربيعية 10x 2 -11x+3=0.

الحل: لنحسب جذور المعادلة، وللقيام بذلك نجد المميز

نستبدل القيمة التي تم العثور عليها في صيغة الجذر ونحسبها

نحن نطبق صيغة تحليل المعادلة التربيعية حسب الجذور

بفتح الأقواس نحصل على هوية.

المعادلة التربيعية مع المعلمة

مثال 1. في أي قيم المعلمة أ ،هل المعادلة (a-3)x2 + (3-a)x-1/4=0 لها جذر واحد؟

الحل: بالتعويض المباشر بالقيمة a=3 نجد أنه ليس لها حل. بعد ذلك، سوف نستخدم حقيقة أنه في حالة وجود تمييز صفري، فإن المعادلة لها جذر واحد للتعدد 2. دعونا نكتب المميز

دعونا نبسطها ونساويها بالصفر

لقد حصلنا على معادلة تربيعية فيما يتعلق بالمعلمة a، والتي يمكن الحصول على حلها بسهولة باستخدام نظرية فييتا. مجموع الجذور هو 7 وحاصل ضربها هو 12. من خلال البحث البسيط نثبت أن الأرقام 3،4 ستكون جذور المعادلة. وبما أننا رفضنا الحل a=3 بالفعل في بداية الحسابات، فإن الحل الصحيح الوحيد هو - أ=4.وبالتالي، عندما يكون a=4 للمعادلة جذر واحد.

مثال 2. في أي قيم المعلمة أ ،المعادلة أ(أ+3)س^2+(2أ+6)س-3أ-9=0لديه أكثر من جذر واحد؟

الحل: لنأخذ أولاً النقاط المفردة بعين الاعتبار، ستكون القيمتين a=0 وa=-3. عندما يكون a=0، سيتم تبسيط المعادلة إلى الشكل 6x-9=0؛ x=3/2 وسيكون هناك جذر واحد. بالنسبة لـ a= -3 نحصل على الهوية 0=0.
دعونا نحسب المميز

وأوجد قيمة a التي تكون عندها موجبة

من الشرط الأول نحصل على> 3. وفي الحالة الثانية، نجد مميز المعادلة وجذورها


دعونا نحدد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمًا موجبة. وبالتعويض بالنقطة a=0 نحصل على ذلك 3>0 . لذا، خارج الفترة (-3؛1/3) تكون الدالة سالبة. لا تنسى هذه النقطة أ = 0،والتي ينبغي استبعادها لأنه المعادلة الأصليةله جذر واحد.
ونتيجة لذلك، نحصل على فترتين تحققان شروط المشكلة

سيكون هناك العديد من المهام المشابهة في الممارسة العملية، حاول اكتشاف المهام بنفسك ولا تنس أن تأخذ في الاعتبار الشروط التي يستبعد بعضها بعضًا. ادرس جيداً صيغ حل المعادلات التربيعية؛ فهي غالباً ما تكون مطلوبة في العمليات الحسابية في مختلف المسائل والعلوم.

يبدأ التمييز، مثل المعادلات التربيعية، في الدراسة في دورة الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال التمييز واستخدام نظرية فييتا. إن طريقة دراسة المعادلات التربيعية، وكذلك الصيغ التمييزية، يتم تدريسها لأطفال المدارس دون جدوى، مثل أشياء كثيرة في التعليم الحقيقي. ولذلك يمرون سنوات الدراسة، التعليم في الصفوف 9-11 يحل محل " تعليم عالى"والجميع ينظر مرة أخرى - "كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟"، "كيف تجد جذور المعادلة؟"، "كيف تجد المميز؟" و...

صيغة التمييز

المميز D للمعادلة التربيعية a*x^2+bx+c=0 يساوي D=b^2–4*a*c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على إشارة المميز (D):
D>0 – للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛
D=0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
معادلة حساب المُميِّز بسيطة للغاية، لذلك توفر العديد من مواقع الويب آلة حاسبة للمميز عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من النصوص البرمجية بعد، لذا إذا كان أي شخص يعرف كيفية تنفيذ ذلك، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب عليك تفعيل جافا سكريبت لمشاهدته. .

الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغة
إذا تم إقران معامل المتغير المربع، فمن المستحسن حساب ليس المميز، ولكن الجزء الرابع منه
في مثل هذه الحالات، يتم العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة

الطريقة الثانية لإيجاد الجذور هي نظرية فييتا.

تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن أيضًا لمتعددات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو الموارد الإلكترونية الأخرى. ومع ذلك، للتبسيط، دعونا نفكر في الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية أعلاه، أي المعادلات من الصيغة (a=1)
جوهر صيغ فييتا هو أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر. يمكن كتابة نظرية فييتا في الصيغ.
إن اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية من خلال عوامل بسيطة
كما ترون، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من المفيد استخدام صيغة فييتا عندما يكون الفرق في معامل الجذور أو الفرق في معاملي الجذور هو 1، 2. على سبيل المثال، المعادلات التالية، وفقًا لنظرية فيتا، لها جذور




حتى المعادلة 4، يجب أن يبدو التحليل هكذا. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6، وبالتالي يمكن أن تكون الجذور القيمتين (1، 6) و (2، 3) أو أزواج ذات إشارات متضادة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير ذو الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية هي x=2؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة من بين مقسومات الحد الحر، وضبط علامتها من أجل تحقيق صيغ فييتا. في البداية، قد يبدو هذا الأمر صعبًا، ولكن مع التدريب على عدد من المعادلات التربيعية، ستكون هذه التقنية أكثر فعالية من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
وكما ترى فإن النظرية المدرسية في دراسة المتمايز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة تربيعية؟"، "ما هو المعنى المادي للمتميز؟"

دعونا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف التمييز؟

في دورة الجبر يدرسون الوظائف، وخطط لدراسة الوظائف وإنشاء رسم بياني للوظائف. من بين جميع الدوال، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا، حيث يمكن كتابة معادلته على الصورة
لذا فإن المعنى الفيزيائي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني Ox
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيأتي الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو اختبارات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق إشارة المتغير المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a>0)،

أو قطع مكافئ بفروع للأسفل (أ<0) .

تقع قمة القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور

المعنى المادي للتمييز:

إذا كان المميز أكبر من الصفر (D> 0)، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور.
إذا كان المميز صفرًا (D=0)، فإن القطع المكافئ عند الرأس يلامس المحور السيني.
والحالة الأخيرة، عندما يكون المميز أقل من الصفر (د<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

المعادلات التربيعية غير الكاملة