يتم إجراء تجارب N وفقًا لمخطط برنولي مع احتمالية النجاح p. دع X يكون عدد النجاحات. المتغير العشوائي X له مدى من القيم (0,1,2,...,n). يمكن العثور على احتمالات هذه القيم باستخدام الصيغة: حيث C m n هو عدد مجموعات n إلى m. 
تبدو سلسلة التوزيع كما يلي:
| س | 0 | 1 | ... | م | ن |
| ص | (1-ع)ن | نب (1-ع) ن-1 | ... | ج م ن ص م (1-ع) ن-م | ص ن |
الغرض من الخدمة. يتم استخدام آلة حاسبة على الانترنت لرسم توزيع سلسلة ذات الحدينوحساب جميع خصائص المتسلسلة: التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري. يتم إعداد التقرير بالقرار بتنسيق Word (مثال).
تعليمات الفيديو
دائرة اختبار برنولي
الخصائص العددية للمتغير العشوائي الموزعة وفق قانون ذات الحدين
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X الموزع وفق قانون ذات الحدين.M[X]=np
تباين المتغير العشوائي X موزع حسب قانون ذات الحدين.
D[X]=npq
المثال رقم 1. قد يكون المنتج معيبًا باحتمال p = 0.3 لكل منهما. يتم اختيار ثلاثة منتجات من الدفعة. X هو عدد الأجزاء المعيبة بين تلك المختارة. ابحث عن (أدخل جميع الإجابات في النموذج الكسور العشرية): أ) سلسلة التوزيع X؛ ب) دالة التوزيع F(x) .
حل. المتغير العشوائي X له مدى من القيم (0,1,2,3).
دعونا نجد سلسلة توزيع X.
ف 3 (0) = (1-ع) ن = (1-0.3) 3 = 0.34
ف 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44
ف 3 (3) = ع ن = 0.3 3 = 0.027
| × ط | 0 | 1 | 2 | 3 |
| باي | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
نجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
فحص:م = ∑x i ص i .
التوقع M[X].
م[س] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
نجد التباين باستخدام الصيغة D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
فحص:د = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
التباين د[X].
د[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
الانحراف المعياري σ(x).
دالة التوزيع F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة هو 0.6. يتم إجراء 5 اختبارات. ضع قانون توزيع المتغير العشوائي X – عدد تكرارات الحدث.
- ضع قانون توزيع للمتغير العشوائي X عدد الضربات بأربع طلقات، إذا كان احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو 0.8.
- تم رمي العملة 7 مرات . يجد القيمة المتوقعةوالتباين في عدد مرات ظهور شعار النبالة. ملحوظة: هنا احتمال ظهور شعار النبالة هو p = 1/2 (نظرًا لأن العملة لها وجهان).
المثال رقم 2. احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة هو 0.6. وبتطبيق نظرية برنولي، حدد عدد التجارب المستقلة التي يبدأ منها احتمال انحراف تواتر حدث ما عن احتماله حسب قيمه مطلقهأقل من 0.1، أكثر من 0.97. (الجواب: 801)
المثال رقم 3. يقوم الطلاب بإجراء اختبار في فصل علوم الكمبيوتر. يتكون العمل من ثلاث مهام. للحصول على درجة جيدة، تحتاج إلى العثور على الإجابات الصحيحة لمسألتين على الأقل. لكل مسألة، يتم إعطاء 5 إجابات، منها واحدة فقط صحيحة. يختار الطالب الإجابة بشكل عشوائي. ما هو احتمال حصوله على تقدير جيد؟
حل. احتمال الإجابة على السؤال بشكل صحيح: p=1/5=0.2؛ ن = 3.
ويجب إدخال هذه البيانات في الآلة الحاسبة. ردًا على ذلك، انظر P(2)+P(3).
المثال رقم 4. احتمال إصابة مطلق النار بالهدف بطلقة واحدة هو (m+n)/(m+n+2) . تم إطلاق n+4 طلقات. أوجد احتمال ألا يخطئ أكثر من مرتين.
ملحوظة. يتضمن احتمال ألا يخطئ أكثر من مرتين الأحداث التالية: لا يخطئ مطلقًا P(4)، ويخطئ مرة واحدة P(3)، ويخطئ مرتين P(2).
المثال رقم 5. حدد التوزيع الاحتمالي لعدد الطائرات الفاشلة إذا أقلعت 4 طائرات. احتمالية التشغيل الخالي من الأعطال للطائرة P = 0.99. يتم توزيع عدد الطائرات التي فشلت في كل رحلة وفقًا لقانون ذي الحدين.
نظرية مختصرة
تتعامل نظرية الاحتمالية مع التجارب التي يمكن تكرارها (نظريًا على الأقل) لعدد غير محدود من المرات. دع بعض التجارب تتكرر مرة واحدة، ولا تعتمد نتائج كل تكرار على نتائج التكرارات السابقة. تسمى هذه السلسلة من التكرارات بالمحاكمات المستقلة. وهناك حالة خاصة من هذه الاختبارات اختبارات برنولي المستقلة، والتي تتميز بشرطين:
1) نتيجة كل اختبار هي إحدى نتيجتين محتملتين، تسمى "النجاح" أو "الفشل" على التوالي.
2) احتمالية "النجاح" في كل اختبار لاحق لا تعتمد على نتائج الاختبارات السابقة وتظل ثابتة.
نظرية برنولي
إذا تم إجراء سلسلة من تجارب برنولي المستقلة، في كل منها يظهر "النجاح" مع احتمال، فإن احتمال ظهور "النجاح" مرة واحدة بالضبط في التجارب يتم التعبير عنه بالصيغة:
أين هو احتمال "الفشل".
- عدد مجموعات العناصر بواسطة (انظر الصيغ التوافقية الأساسية)
هذه الصيغة تسمى صيغة برنولي.
تسمح لك صيغة برنولي بالتخلص من عدد كبير من الحسابات - جمع الاحتمالات وضربها - من خلال عدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات.
يُطلق على مخطط اختبار برنولي أيضًا اسم مخطط ذي الحدين، وتسمى الاحتمالات المقابلة ذات الحدين، والتي ترتبط باستخدام المعاملات ذات الحدين.
يسمح التوزيع وفقًا لمخطط برنولي، على وجه الخصوص، بـ .
إذا كان عدد الاختبارات نكبيرة، ثم استخدم:
مثال على حل المشكلة
المهمة
تصل نسبة إنبات بعض بذور النباتات إلى 70%. ما هو احتمال زرع بذور من أصل 10: 8، على الأقل 8؛ على الأقل 8؟
حل المشكلة
دعونا نستخدم صيغة برنولي:
في حالتنا هذه
وليكن الحدث أن من 10 بذور تنبت 8:
ليكن الحدث على الأقل 8 (وهذا يعني 8 أو 9 أو 10)
ليرتفع الحدث على الأقل 8 (وهذا يعني 8,9 أو 10)
إجابة
متوسطتكلفة الحل عمل اختباري 700 - 1200 روبل (ولكن ليس أقل من 300 روبل للطلب بأكمله). يتأثر السعر بشكل كبير بمدى إلحاح القرار (من يوم إلى عدة ساعات). تكلفة المساعدة عبر الإنترنت للامتحان/الاختبار تبدأ من 1000 روبل. لحل التذكرة.
يمكنك ترك طلب مباشرة في الدردشة، بعد أن قمت مسبقًا بإرسال شروط المهمة وإبلاغك بالإطار الزمني للحل الذي تحتاجه. وقت الاستجابة هو بضع دقائق.
تعريف الاختبارات المستقلة المتكررة. صيغ برنولي لحساب الاحتمال والعدد الأكثر احتمالا. الصيغ المقاربة لصيغة برنولي (محلية ومتكاملة، نظرية لابلاس). باستخدام نظرية التكامل. صيغة بواسون للأحداث العشوائية غير المحتملة.
الاختبارات المستقلة المتكررة
من الناحية العملية، يتعين علينا التعامل مع المهام التي يمكن تمثيلها في شكل اختبارات متكررة، ونتيجة لكل منها قد يظهر أو لا يظهر الحدث A. في هذه الحالة، فإن نتيجة الاهتمام ليست نتيجة كل اختبار على حدة، ولكن المجموعوقوع الحدث A نتيجة لعدد معين من المحاولات. في مثل هذه المسائل، يجب أن تكون قادرًا على تحديد احتمالية أي عدد m من تكرارات الحدث A نتيجة لعدد n من المحاولات. خذ بعين الاعتبار الحالة التي تكون فيها التجارب مستقلة ويكون احتمال وقوع الحدث A في كل تجربة ثابتًا. تسمى مثل هذه الاختبارات المستقلة المتكررة.
أحد الأمثلة على الاختبارات المستقلة هو التحقق من مدى ملاءمة المنتجات المأخوذة من عدد من الدفعات. إذا كانت النسبة المئوية للعيوب في هذه الدفعات هي نفسها، فإن احتمال أن يكون المنتج المحدد معيبًا هو رقم ثابت في كل حالة.
صيغة برنولي
دعونا نستخدم هذا المفهوم حدث معقد، وهو ما يعني مجموعة من الأحداث الأولية التي تتكون من ظهور أو عدم حدوث الحدث A في التجربة الأولى. دعونا نجري تجارب مستقلة، في كل منها يمكن أن يظهر الحدث A مع الاحتمال p أو لا يظهر مع الاحتمال q=1-p. خذ بعين الاعتبار الحدث B_m، وهو أن الحدث A سوف يحدث بالضبط m مرات في هذه التجارب n، وبالتالي، لن يحدث بالضبط (n-m) مرات. دعونا نشير A_i~(i=1,2,\ldots,(n))وقوع الحدث A، \overline(A)_i - عدم وقوع الحدث A في التجربة i. نظرا لثبات شروط الاختبار، لدينا
قد يظهر الحدث A عدة مرات في تسلسلات أو مجموعات مختلفة، بالتناوب مع الحدث المعاكس\الخط(أ) . عدد المجموعات الممكنة من هذا النوع يساوي عدد مجموعات العناصر n بواسطة m، أي C_n^m. وبالتالي، يمكن تمثيل الحدث B_m كمجموع أحداث معقدة غير متسقة مع بعضها البعض، وعدد المصطلحات يساوي C_n^m:
B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( ن-م)A_(ن-م+1)\cdots(A_n)،
حيث يحتوي كل منتج على الحدث A m مرات، و\overline(A) - (n-m) مرات.
احتمال كل حدث مركب مدرج في الصيغة (3.1) ، وفقًا لنظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة ، يساوي p^(m)q^(n-m) . نظرًا لأن العدد الإجمالي لهذه الأحداث يساوي C_n^m، إذن باستخدام نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة، نحصل على احتمال الحدث B_m (نشير إليه P_(m,n))
P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}
تسمى الصيغة (3.2). صيغة برنولي، وتسمى التجارب المتكررة التي تحقق شرط الاستقلال والثبات لاحتمالات وقوع الحدث أ في كل منها اختبارات برنوليأو مخطط برنولي.
مثال 1. احتمال تجاوز منطقة التسامح عند معالجة الأجزاء على المخرطة هو 0.07. حدد احتمال أن يكون من بين الأجزاء الخمسة التي تم اختيارها عشوائيًا أثناء التحول، أبعاد قطر لا تتوافق مع التفاوت المحدد.
حل. حالة المشكلة تفي بمتطلبات مخطط برنولي. لذلك، على افتراض ن=5,\,م=1,\,ع=0,\!07باستخدام الصيغة (3.2) نحصل عليها
P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\approx0,\!262.
مثال 2. أثبتت الملاحظات أنه يوجد في منطقة معينة 12 يومًا ممطرًا في شهر سبتمبر. ما هو احتمال أن يكون هناك 3 أيام ممطرة من بين 8 أيام تم اختيارها عشوائيًا هذا الشهر؟
حل.
P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}
العدد الأكثر احتمالا لتكرار الحدث
تاريخ حدوثه على الأرجحيُطلق على الحدث A في n من التجارب المستقلة هذا الرقم m_0 الذي يتجاوز فيه الاحتمال المقابل لهذا الرقم، أو على الأقل، لا يقل عن احتمال كل من الأعداد المحتملة الأخرى لحدوث الحدث A. لتحديد العدد الأكثر احتمالا، ليس من الضروري حساب احتمالات العدد المحتمل لحدث ما؛ يكفي معرفة عدد المحاولات n واحتمال وقوع الحدث A في تجربة منفصلة. دعونا نشير إلى P_(m_0,n) الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالا m_0. باستخدام الصيغة (3.2)، نكتب
P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}
وفقًا لتعريف الرقم الأكثر احتمالًا، فإن احتمالات وقوع الحدث A، على التوالي m_0+1 وm_0-1 مرات، يجب ألا تتجاوز على الأقل الاحتمال P_(m_0,n)، أي.
P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))
باستبدال القيمة P_(m_0,n) والتعبيرات الاحتمالية P_(m_0+1,n) وP_(m_0-1,n) في المتباينات، نحصل على
بحل هذه المتباينات لـ m_0، نحصل على
M_0\geqslant(np-q)،\quad m_0\leqslant(np+p)
بجمع المتباينات الأخيرة، نحصل على متباينة مزدوجة، تُستخدم لتحديد العدد الأكثر احتمالاً:
نب-ف\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).
وبما أن طول الفترة المحددة بالمتباينة (3.4) يساوي واحدًا، أي.
(np+p)-(np-q)=p+q=1,
ولا يمكن أن يحدث الحدث إلا في عدد n من المحاولات لعدد صحيح من المرات، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار ما يلي:
1) إذا كان np-q عددًا صحيحًا، فهناك قيمتان للرقم الأكثر احتمالاً، وهما: m_0=np-q و m"_0=np-q+1=np+p ;
2) إذا كان np-q عدداً كسرياً، فهناك رقم واحد أكثر احتمالاً، وهو: العدد الصحيح الوحيد الموجود بين أرقام كسريةتم الحصول عليها من عدم المساواة (3.4) ؛
3) إذا كان np عددًا صحيحًا، فهناك رقم واحد أكثر احتمالًا، وهو: m_0=np.
بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n، فمن غير المناسب استخدام الصيغة (3.3) لحساب الاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالا. إذا استبدلنا صيغة ستيرلينغ بالمساواة (3.3)
N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n)))،
صالحة لـ n كبير بما فيه الكفاية، ونأخذ الرقم الأكثر احتمالاً m_0=np، ثم نحصل على صيغة لحساب تقريبي للاحتمال المقابل للرقم الأكثر احتمالاً:
P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).
مثال 2. من المعروف أن \frac(1)(15) جزء من المنتجات التي يوردها المصنع إلى القاعدة التجارية لا يفي بجميع متطلبات المعيار. تم تسليم دفعة مكونة من 250 منتجًا إلى القاعدة. ابحث عن العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات التي تفي بمتطلبات المعيار واحسب احتمال أن تحتوي هذه الدفعة على العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات.
حل. بالشرط n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). وفقا لعدم المساواة (3.4) لدينا
250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)
أين 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. وبالتالي، فإن العدد الأكثر احتمالا من المنتجات التي تلبي متطلبات المعيار هو في دفعة من 250 جهاز كمبيوتر شخصى. يساوي 234. باستبدال البيانات في الصيغة (3.5)، نحسب احتمال وجود العدد الأكثر احتمالاً من المنتجات في الدفعة:
P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101
نظرية لابلاس المحلية
من الصعب جدًا استخدام صيغة برنولي للقيم الكبيرة لـ n. على سبيل المثال، إذا ن=50,\,م=30,\,ع=0,\!1، ثم للعثور على الاحتمال P_(30.50) من الضروري حساب قيمة التعبير
P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}
وبطبيعة الحال، يطرح السؤال: هل من الممكن حساب احتمالية الفائدة دون استخدام صيغة برنولي؟ اتضح أن هذا ممكن. تعطي نظرية لابلاس المحلية صيغة مقاربة تسمح لنا بإيجاد احتمال وقوع أحداث بالضبط m مرات في n من المحاولات، إذا كان عدد المحاولات كبيرًا بدرجة كافية.
نظرية 3.1. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن الصفر والواحد، فإن الاحتمال P_(m,n) الذي سيظهر الحدث A بالضبط m مرات في n من المحاولات يكون متساويًا تقريبًا (بتعبير أدق، الأكبر n) لقيمة الدالة
Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (نبك))في .
هناك جداول تحتوي على قيم الوظائف \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2))، المقابلة للقيم الإيجابية للوسيطة x. بالنسبة للقيم السالبة للوسيطة، يتم استخدام نفس الجداول، لأن الدالة \varphi(x) زوجية، أي. \varphi(-x)=\varphi(x).
لذا، فإن الاحتمال التقريبي لظهور الحدث A بالضبط m مرات في n من المحاولات هو
P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),أين x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).
مثال 3. أوجد احتمال وقوع الحدث A 80 مرة بالضبط في 400 تجربة إذا كان احتمال وقوع الحدث A في كل تجربة هو 0.2.
حل. بالشرط ن=400,\,م=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. دعونا نستخدم صيغة لابلاس المقاربة:
P_(80,400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (خ).
لنحسب القيمة x التي تحددها بيانات المهمة:
X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.
وفقا للجدول 1 نجد \varphi(0)=0,\!3989. الاحتمالية المطلوبة
P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.
تؤدي صيغة برنولي إلى نفس النتيجة تقريبًا (تم حذف الحسابات بسبب صعوبتها):
P_(80,100)=0,\!0498.
نظرية لابلاس التكاملية
لنفترض أنه تم إجراء n تجارب مستقلة، في كل منها يكون احتمال حدوث الحدث A ثابتًا ويساوي p. من الضروري حساب الاحتمال P_((m_1,m_2),n) أن يظهر الحدث A في تجارب n على الأقل m_1 وعلى الأكثر m_2 مرات (للإيجاز سنقول "من m_1 إلى m_2 مرات"). ويمكن القيام بذلك باستخدام نظرية لابلاس التكاملية.
نظرية 3.2. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ومختلفًا عن صفر وواحد، فإن الاحتمال التقريبي P_((m_1,m_2),n) سيظهر هذا الحدث A في التجارب من m_1 إلى m_2 مرات،
P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,دي إكس,أين .
عند حل المسائل التي تتطلب تطبيق نظرية لابلاس التكاملية، يتم استخدام جداول خاصة تكامل غير محدد \int(e^(-x^2/2)\,dx)لم يتم التعبير عنها من خلال وظائف أولية. جدول للتكامل \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzالواردة في الملحق. 2، حيث يتم إعطاء قيم الدالة \Phi(x) للقيم الموجبة لـ x، لـ x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 يمكننا أن نأخذ \Phi(x)=0,\!5 .
لذا، فإن الاحتمال التقريبي لظهور الحدث A في عدد n من التجارب المستقلة من m_1 إلى m_2 مرة هو
P_((m_1,m_2),n)\تقريبا\Phi(x"")-\Phi(x"),أين x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).
مثال 4. احتمال تصنيع جزء ما بطريقة مخالفة للمعايير هو p=0,\!2. أوجد احتمال أنه من بين 400 جزء غير قياسي تم اختياره عشوائيًا سيكون هناك من 70 إلى 100 جزء.
حل. بالشرط ع=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. دعونا نستخدم نظرية لابلاس التكاملية:
P_((70,100),400)\تقريبًا\Phi(x"")-\Phi(x").
دعونا نحسب حدود التكامل:
أدنى
X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,
العلوي
X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,
هكذا
P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .
وفقا للجدول adj. 2 نجد
\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.
الاحتمالية المطلوبة
P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.
تطبيق نظرية لابلاس التكاملية
إذا تغير الرقم m (عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة) من m_1 إلى m_2، فإن الكسر \frac(m-np)(\sqrt(npq))سوف تختلف من \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"قبل \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". لذلك، يمكن أيضًا كتابة نظرية لابلاس التكاملية على النحو التالي:
P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.
دعونا نحدد مهمة إيجاد احتمال أن لا يتجاوز انحراف التردد النسبي \frac(m)(n) عن الاحتمال الثابت p في القيمة المطلقة رقمًا معينًا \varepsilon>0. بمعنى آخر، نوجد احتمال المتباينة \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilonوهو نفس الشيء -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. وسوف نشير إلى هذا الاحتمال على النحو التالي: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). وبأخذ الصيغة (3.6) لهذا الاحتمال نحصل عليه
P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\يمين).
مثال 5. احتمال أن يكون الجزء غير قياسي هو p=0,\!1. أوجد احتمال أن ينحرف التكرار النسبي لحدوث الأجزاء غير القياسية من بين 400 جزء تم اختيارها عشوائيًا عن الاحتمال p=0,\!1 في القيمة المطلقة بما لا يزيد عن 0.03.
حل. بالشرط n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. علينا إيجاد الاحتمال P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). وباستخدام الصيغة (3.7) نحصل على
P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)
وفقا للجدول adj. 2 نجد \Phi(2)=0,\!4772 ، وبالتالي 2\Phi(2)=0,\!9544 . وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب هو 0.9544 تقريبًا. معنى النتيجة هو كما يلي: إذا أخذت عددًا كبيرًا بما فيه الكفاية من العينات المكونة من 400 جزء لكل منها، ففي حوالي 95.44% من هذه العينات يكون انحراف التردد النسبي عن الاحتمال الثابت p=0.\!1 بالمطلق لن تتجاوز القيمة 0.03.
صيغة بواسون للأحداث غير المتوقعة
إذا كان الاحتمال p لحدوث حدث ما في تجربة واحدة قريبًا من الصفر، فحتى مع وجود عدد كبير من المحاولات n، ولكن مع قيمة صغيرةللمنتج np، تبين أن قيم الاحتمالية P_(m,n) التي تم الحصول عليها بواسطة صيغة لابلاس ليست دقيقة بما فيه الكفاية وهناك حاجة إلى صيغة تقريبية أخرى.
نظرية 3.3. إذا كان الاحتمال p لحدوث الحدث A في كل تجربة ثابتًا ولكنه صغير، وكان عدد التجارب المستقلة n كبيرًا بما فيه الكفاية، ولكن قيمة المنتج np=\lambda تظل صغيرة (لا تزيد عن عشرة)، فإن الاحتمال هذا الحدث A سوف يحدث م مرات في هذه التجارب
P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}
لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام صيغة بواسون، تم تجميع جدول قيم دالة بواسون \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(انظر الملحق 3).
مثال 6. دع احتمال إنتاج جزء غير قياسي هو 0.004. أوجد احتمال وجود 5 أجزاء غير قياسية من بين 1000 جزء.
حل. هنا n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. جميع الأرقام الثلاثة تلبي متطلبات النظرية 3.3، لذلك لإيجاد احتمال الحدث المطلوب P_(5,1000)، نستخدم صيغة بواسون. من جدول قيم دالة بواسون (الملحق 3) مع \lambda=4;m=5 نحصل على P_(5,1000)\approx0,\!1563.
دعونا نوجد احتمال وقوع نفس الحدث باستخدام صيغة لابلاس. للقيام بذلك، نحسب أولاً قيمة x المقابلة لـ m=5:
X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.
ولذلك، وفقا لصيغة لابلاس، الاحتمال المطلوب
P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ 1763
ووفقًا لصيغة برنولي، فإن قيمتها الدقيقة هي
P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.
هكذا، خطأ نسبيحساب الاحتمالات P_(5,1000) باستخدام صيغة لابلاس التقريبية
\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196أو 13.\!6\%
ووفقا لصيغة بواسون -
\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007أو 0.\!7\%
وهذا هو، عدة مرات أقل.
انتقل إلى القسم التالي
أحادي البعد المتغيرات العشوائية
تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!
الوكالة الفيدرالية للتعليم
مؤسسة تعليمية حكومية
التعليم المهني العالي
"ماتي" - الجامعة التكنولوجية الحكومية الروسية التي سميت بهذا الاسم ك. تسيولكوفسكي
قسم “نمذجة النظم وتكنولوجيا المعلومات”
تكرار الاختبارات. دائرة برنولي
إرشادات للتمارين العملية
في تخصص "الرياضيات العليا"
تم تجميعها بواسطة: Egorova Yu.B.
مامونوف آي إم.
موسكو 2006 مقدمة
الإرشادات مخصصة للطلاب المتفرغين والمسائيين في الكلية رقم 14 تخصصات 150601، 160301، 230102. تسلط الإرشادات الضوء على المفاهيم الأساسية للموضوع وتحدد تسلسل دراسة المادة. يساعد عدد كبير من الأمثلة التي تمت مناقشتها في التطوير العملي للموضوع. المبادئ التوجيهية بمثابة الأساس المنهجي ل دروس عمليةواستكمال المهام الفردية.
مخطط برنولي. صيغة برنولي
مخطط برنولي- مخطط للاختبارات المستقلة المتكررة التي يحدث فيها بعض الأحداث أيمكن تكرارها عدة مرات مع احتمال ثابت ر (أ)= ر .
أمثلة على الاختبارات التي تم إجراؤها باستخدام مخطط برنولي: الرمي المتكرر لعملة معدنية أو حجر نرد، تصنيع مجموعة من الأجزاء، إطلاق النار على هدف، وما إلى ذلك.
نظرية.إذا كان احتمال وقوع حدث ما أفي كل اختبار ثابت ومتساوي ر، ثم احتمال وقوع الحدث أتأتي ممرة كل نيمكن تحديد الاختبارات (بغض النظر عن التسلسل) من خلال صيغة برنولي:
أين س = 1 – ص.
مثال 1.احتمال ألا يتجاوز استهلاك الكهرباء خلال يوم واحد المعيار المحدد يساوي ع = 0,75. أوجد احتمال ألا يتجاوز استهلاك الكهرباء خلال الأيام الستة القادمة المعدل الطبيعي لمدة 4 أيام.
حل. احتمال استهلاك الطاقة الطبيعي لكل 6 أيام ثابت ويساوي ر= 0.75. وبالتالي، فإن احتمال الاستهلاك المفرط للطاقة كل يوم ثابت أيضًا ويساوي س = 1ر = 1 0,75 = 0,25.
الاحتمال المطلوب حسب صيغة برنولي يساوي:
مثال 2.يطلق مطلق النار ثلاث طلقات على الهدف. احتمال إصابة الهدف بكل طلقة يساوي ع = 0,3. أوجد احتمال: أ) إصابة هدف واحد؛ ب) جميع الأهداف الثلاثة؛ ج) لا يوجد هدف واحد؛ د) هدف واحد على الأقل؛ ه) أقل من هدفين.
حل. احتمال إصابة الهدف بكل طلقة ثابت ويساوي ر=0.75. وبالتالي فإن احتمال الخطأ يساوي س = 1 ر= 1 0.3= 0.7. العدد الإجمالي للتجارب التي أجريت ن=3.
أ) احتمال إصابة هدف واحد بثلاث طلقات يساوي:
ب) احتمال إصابة الأهداف الثلاثة بثلاث طلقات يساوي:
ج) احتمال حدوث ثلاث أخطاء بثلاث تسديدات يساوي:
د) احتمال إصابة هدف واحد على الأقل بثلاث طلقات يساوي:
هـ) احتمال إصابة أقل من هدفين، أي إما هدف واحد أو لا شيء:
النظريات المحلية والتكاملية لموافر لابلاس
إذا تم إجراء عدد كبير من الاختبارات، فإن حساب الاحتمالات باستخدام صيغة برنولي يصبح صعبًا من الناحية الفنية، لأن الصيغة تتطلب عمليات بأعداد كبيرة. ولذلك، هناك صيغ تقريبية أبسط لحساب الاحتمالات بشكل عام ن. تسمى هذه الصيغ مقاربة ويتم تحديدها بواسطة نظرية بواسون، ونظرية لابلاس المحلية والتكاملية.
نظرية موافر لابلاس المحلية. أ أسوف يحدث ممرة كل ن ن (ن →∞ ) ، يساوي تقريبًا:
أين هي الوظيفة 
والحجة 
الاكثر نكلما كان حساب الاحتمالات أكثر دقة. ولذلك، فمن المستحسن تطبيق نظرية موافر لابلاس عندما npq 20.
F ( س ) تم تجميع جداول خاصة (انظر الملحق 1). عند استخدام الجدول عليك أن تأخذ في الاعتبار خصائص الوظيفة و (خ) :
وظيفة و (خ)هو حتى F( س)=و(خ) .
في X ∞ وظيفة و (خ) 0. من الناحية العملية، يمكننا أن نفترض أنه بالفعل في X> 4 وظيفة و (خ) ≈0.
مثال 3.أوجد احتمال وقوع الحدث أسيحدث 80 مرة في 400 تجربة إذا كان احتمال وقوع الحدث أفي كل تجربة متساوية ع = 0,2.
حل. بالشرط ن=400, م=80, ص=0,2, س=0.8. لذلك:
باستخدام الجدول، نحدد قيمة الدالة F (0)=0,3989.
نظرية تكامل موافر لابلاس.إذا كان احتمال وقوع حدث ما أفي كل تجربة ثابت ويختلف عن 0 و 1، ثم احتمال وقوع هذا الحدث أيأتي من م 1 قبل م 2 مرة كل ن اختبارات بعدد كبير بما فيه الكفاية ن (ن →∞ ) ، يساوي تقريبًا:
أين 
- وظيفة متكاملة أو لابلاس، 
للعثور على قيم الوظيفة F( س ) وقد تم تجميع جداول خاصة (على سبيل المثال، انظر الملحق 2). عند استخدام الجدول عليك أن تأخذ في الاعتبار خصائص دالة لابلاس ه(خ) :
وظيفة ه(خ)أمر غريب F( س)= ه(خ) .
في X ∞ وظيفة ه(خ) 0.5. في الممارسة العملية، يمكننا أن نفترض أنه بالفعل في X> 5 وظيفة ه(خ) ≈0,5.
F (0)=0.
مثال 4.احتمال عدم اجتياز الجزء فحص مراقبة الجودة هو 0.2. أوجد احتمال أنه من بين 400 جزء سيكون هناك من 70 إلى 100 جزء لم يتم اختباره.
حل. بالشرط ن=400, م 1 =70, م 2 =100, ص=0,2, س=0.8. لذلك:
باستخدام الجدول الذي يوضح قيم دالة لابلاس نحدد:
ف(خ 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; ف(خ 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
