قم بتوسيع الوظيفة في صلاحيات x. توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة

"ابحث عن مفكوك متسلسلة ماكلورين للدالة f(x)"- هذا هو بالضبط ما تبدو عليه المهمة في الرياضيات العليا، والتي يمكن لبعض الطلاب القيام بها، والبعض الآخر لا يستطيع التعامل مع الأمثلة. هناك عدة طرق لتوسيع المتسلسلة في القوى، وسنقدم هنا تقنية لتوسيع الدوال إلى متسلسلة ماكلورين. عند تطوير دالة في سلسلة، يجب أن تكون جيدًا في حساب المشتقات.

مثال 4.7 قم بتوسيع دالة في قوى x

الحسابات: نقوم بتوسيع الدالة باستخدام صيغة ماكلورين. أولاً، دعونا نوسع مقام الدالة إلى سلسلة

وأخيرًا، اضرب التوسع في البسط.
الحد الأول هو قيمة الدالة عند صفر f (0) = 1/3.
لنجد مشتقات دالة الرتبة الأولى والأعلى f (x) وقيمة هذه المشتقات عند النقطة x=0




بعد ذلك، استنادًا إلى نمط التغيرات في قيمة المشتقات عند 0، نكتب صيغة المشتقة n

لذا، فإننا نمثل المقام في صورة مفكوك في متسلسلة ماكلورين

نضرب في البسط ونحصل على التوسيع المطلوب للدالة في سلسلة من قوى x

كما ترون، لا يوجد شيء معقد هنا.
تعتمد جميع النقاط الأساسية على القدرة على حساب المشتقات وتعميم قيمة المشتقة ذات الترتيب الأعلى بسرعة عند الصفر. ستساعدك الأمثلة التالية على تعلم كيفية ترتيب دالة في سلسلة بسرعة.

مثال 4.10 أوجد مفكوك سلسلة ماكلورين للدالة

الحسابات: كما كنت قد خمنت، سنضع جيب التمام في البسط في سلسلة. للقيام بذلك، يمكنك استخدام صيغ للكميات المتناهية الصغر، أو اشتقاق توسع جيب التمام من خلال المشتقات. ونتيجة لذلك، نصل إلى السلسلة التالية في قوى x

كما ترون، لدينا الحد الأدنى من الحسابات وتمثيل مدمج لتوسيع السلسلة.

مثال 4.16 قم بتوسيع دالة في قوى x:
7/(12-س-س^2)
الحسابات: في هذا النوع من الأمثلة، من الضروري توسيع الكسر من خلال مجموع الكسور البسيطة.
لن نوضح لك كيفية القيام بذلك الآن، ولكن بمساعدة معاملات غير مؤكدةدعونا نصل إلى مجموع الكسور.
بعد ذلك نكتب المقامات بالشكل الأسي

يبقى توسيع المصطلحات باستخدام صيغة Maclaurin. بتلخيص الحدود بنفس قوى "x" نقوم بتكوين صيغة للحد العام لموسع دالة في سلسلة



من الصعب تنفيذ الجزء الأخير من الانتقال إلى السلسلة في البداية، حيث أنه من الصعب الجمع بين الصيغ الخاصة بالمؤشرات المقترنة وغير المقترنة (الدرجات)، ولكن مع الممارسة سوف تتحسن في ذلك.

مثال 4.18 أوجد مفكوك سلسلة ماكلورين للدالة

العمليات الحسابية: هيا نوجد مشتقة هذه الدالة:

لنوسّع الدالة إلى سلسلة باستخدام إحدى صيغ ماكلارين:

نحن نجمع حدًا تلو الآخر بناءً على حقيقة أن كلاهما متطابقان تمامًا. بعد دمج السلسلة بأكملها حدًا تلو الآخر، نحصل على توسيع الدالة إلى سلسلة في قوى x

هناك انتقال بين السطرين الأخيرين من التوسيع والذي سيستغرق الكثير من وقتك في البداية. إن تعميم صيغة متسلسلة ليس بالأمر السهل على الجميع، لذا لا تقلق بشأن عدم قدرتك على الحصول على صيغة مدمجة لطيفة.

مثال 4.28 أوجد مفكوك سلسلة ماكلورين للدالة:

لنكتب اللوغاريتم على النحو التالي

باستخدام صيغة ماكلورين، نقوم بتوسيع دالة اللوغاريتم في سلسلة في قوى x

يبدو الإلتواء النهائي معقدًا للوهلة الأولى، ولكن عند تبديل العلامات، ستحصل دائمًا على شيء مشابه. تم الانتهاء من درس الإدخال حول موضوع جدولة الوظائف على التوالي. سيتم مناقشة مخططات التحلل الأخرى المثيرة للاهتمام بنفس القدر بالتفصيل في المواد التالية.

إذا كانت الدالة f(x) تحتوي على مشتقات لجميع الطلبات في فترة معينة تحتوي على النقطة أ، فيمكن تطبيق صيغة تايلور عليها:
,
أين ص ن- ما يسمى بالحد المتبقي أو بقية السلسلة، ويمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:
حيث يقع الرقم x بين x و a.

و(خ)=

عند النقطة × 0 = عدد عناصر الصف 3 4 5 6 7

استخدم التحلل وظائف أولية e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

قواعد لإدخال الوظائف:

إذا كان لبعض القيمة X ص ن→0 في ن→∞، ثم في النهاية تتحول صيغة تايلور إلى صيغة متقاربة لهذه القيمة سلسلة تايلور:
,
وبالتالي، يمكن توسيع الدالة f(x) إلى سلسلة تايلور عند النقطة x قيد النظر إذا:
1) لديها مشتقات من جميع الطلبات؛
2) تتقارب السلسلة المبنية عند هذه النقطة.

عندما يكون a = 0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من ماكلورين:
,
توسيع أبسط الدوال (الابتدائية) في سلسلة ماكلورين:
الدوال الأسية
، ص=∞
الدوال المثلثية
، ص=∞
، ص=∞
، (-π/2< x < π/2), R=π/2
الدالة actgx لا تتوسع في صلاحيات x، لأن ctg0=∞
الدوال الزائدية


الدوال اللوغاريتمية
, -1
سلسلة ذات الحدين
.

المثال رقم 1. قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة و(خ)= 2س.
حل. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها في X=0
و (خ) = 2س, F( 0) = 2 0 =1;
و"(خ) = 2س ln2, F"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
و""(خ) = 2سرقم 2 2, F""( 0) = 2 0 قانون الجنسية 2 2= قانون الجنسية 2 2;
…
و(ن)(خ) = 2س ln ن 2, و (ن)( 0) = 2 0 ln ن 2=ln ن 2.
باستبدال قيم المشتقات التي تم الحصول عليها في صيغة سلسلة تايلور، نحصل على:

نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة يساوي ما لا نهاية، وبالتالي فإن هذا التوسع صالح لـ -∞<س<+∞.

المثال رقم 2. اكتب متسلسلة تايلور بالقوى ( X+4) للوظيفة و(خ)=ه س.
حل. إيجاد مشتقات الدالة ه سوقيمها عند هذه النقطة X=-4.
و (خ)= ه س, F(-4) = ه -4 ;
و"(خ)= ه س, F"(-4) = ه -4 ;
و""(خ)= ه س, F""(-4) = ه -4 ;
…
و(ن)(خ)= ه س, و (ن)( -4) = ه -4 .
لذلك، فإن سلسلة تايلور المطلوبة للدالة لها الشكل:

هذا التوسيع صالح أيضًا لـ -∞<س<+∞.

المثال رقم 3. قم بتوسيع وظيفة و (خ)=ln سفي سلسلة في القوى ( X- 1),
(أي في سلسلة تايلور في محيط النقطة X=1).
حل. أوجد مشتقات هذه الدالة.
و (س) = lnx،،،،،،

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) ن-1 (ن-1)!
باستبدال هذه القيم في الصيغة، نحصل على سلسلة تايلور المطلوبة:

باستخدام اختبار دالمبرت، يمكنك التحقق من أن المتسلسلة تتقارب عند ½x-1½<1 . Действительно,

تتقارب المتسلسلة إذا كانت ½ X- 1½<1, т.е. при 0<س<2. При X=2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط معيار لايبنيز. عندما x=0 لم يتم تعريف الوظيفة. وبالتالي، فإن منطقة التقارب لمتسلسلة تايلور هي الفترة نصف المفتوحة (0;2).

المثال رقم 4. قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة.
حل. في التوسعة (1) نستبدل x بـ -x2 فنحصل على:
, -∞

المثال رقم 5. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة Maclaurin.
حل. لدينا
باستخدام الصيغة (4) يمكننا أن نكتب:

بالتعويض -x بدلاً من x في الصيغة نحصل على:

من هنا نجد: ln(1+x)-ln(1-x) = -
بفتح الأقواس، وإعادة ترتيب حدود المتسلسلة وإحضار مصطلحات متشابهة، نحصل على
. وتتقارب هذه المتسلسلة في الفترة (-1;1) حيث أنها تتحصل من سلسلتين تتقارب كل منهما في هذه الفترة.

تعليق .
يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة تايلور، أي. لتوسيع الوظائف في القوى الصحيحة الإيجابية ( ها). للقيام بذلك، من الضروري إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5)، والتي بدلا من ذلك Xالتكاليف ك( ها) m ، حيث k هو رقم ثابت، وm هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب إجراء تغيير للمتغير ر=هاوقم بتوسيع الدالة الناتجة فيما يتعلق بـ t في سلسلة Maclaurin.

تعتمد هذه الطريقة على نظرية تفرد توسيع دالة في سلسلة القوى. جوهر هذه النظرية هو أنه في جوار نفس النقطة لا يمكن الحصول على سلسلتين قوى مختلفتين تتقاربان في نفس الوظيفة، بغض النظر عن كيفية تنفيذ توسعها.

المثال رقم 5أ. قم بتوسيع الدالة في متسلسلة ماكلورين وحدد منطقة التقارب.
حل. أولاً نجد 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
إلى الابتدائية:

يمكن اعتبار الكسر 3/(1-3x) بمثابة مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع مقام 3x، إذا |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

بمنطقة التقارب |x|< 1/3.

المثال رقم 6. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة تايلور بالقرب من النقطة x = 3.
حل. يمكن حل هذه المشكلة كما في السابق باستخدام تعريف متسلسلة تايلور والتي نحتاج من أجلها إلى إيجاد مشتقات الدالة وقيمها عند X=3. ومع ذلك، سيكون من الأسهل استخدام التوسعة الحالية (5):
=
تتقارب السلسلة الناتجة عند أو -3

المثال رقم 7. اكتب متسلسلة تايلور بالقوى (x -1) للدالة ln(x+2) .
حل.


تتقارب المتسلسلة عند , أو -2< x < 5.

المثال رقم 8. قم بتوسيع الدالة f(x)=sin(πx/4) إلى سلسلة تايلور بالقرب من النقطة x =2.
حل. لنجعل الاستبدال t=x-2:

باستخدام التوسع (3)، الذي نستبدل فيه π / 4 t بدلاً من x، نحصل على:

تتقارب السلسلة الناتجة إلى الدالة المعطاة عند -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞هكذا،
, (-∞

الحسابات التقريبية باستخدام سلسلة الطاقة

تُستخدم متسلسلات القوى على نطاق واسع في الحسابات التقريبية. بمساعدتهم، يمكنك حساب قيم الجذور والدوال المثلثية ولوغاريتمات الأرقام والتكاملات المحددة بدقة معينة. تُستخدم السلسلة أيضًا عند دمج المعادلات التفاضلية.
النظر في توسيع وظيفة في سلسلة الطاقة:

من أجل حساب القيمة التقريبية للدالة عند نقطة معينة X، التي تنتمي إلى منطقة التقاء السلسلة المشار إليها، بقيت الأوائل في توسعتها نأعضاء ( ن– عدد منتهٍ)، ويتم تجاهل الشروط المتبقية:

لتقدير خطأ القيمة التقريبية التي تم الحصول عليها، من الضروري تقدير الباقي المهمل rn (x) . للقيام بذلك، استخدم التقنيات التالية:

• إذا كانت السلسلة الناتجة متناوبة، فسيتم استخدام الخاصية التالية: بالنسبة للمتسلسلة المتناوبة التي تحقق شروط لايبنتز، فإن باقي السلسلة بالقيمة المطلقة لا يتجاوز الحد الأول المهمل.
• إذا كانت سلسلة معينة ذات إشارة ثابتة، فسيتم مقارنة السلسلة المكونة من حدود مهملة بمتتالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي.
• في الحالة العامة، لتقدير باقي متسلسلة تايلور، يمكنك استخدام صيغة لاغرانج: أ س ).

المثال رقم 1. احسب ln(3) لأقرب 0.01.
حل. لنستخدم التوسيع حيث x=1/2 (انظر المثال 5 في الموضوع السابق):

دعونا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا تجاهل الباقي بعد الحدود الثلاثة الأولى للمفكوك؛ وللقيام بذلك، سنقيمه باستخدام مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي:

حتى نتمكن من التخلص من هذا الباقي والحصول على

المثال رقم 2. احسب لأقرب 0.0001.
حل. دعونا نستخدم سلسلة ذات الحدين. بما أن 5 3 هو مكعب العدد الصحيح الأقرب إلى 130، فمن المستحسن تمثيل الرقم 130 بالشكل 130 = 5 3 +5.



نظرًا لأن الفصل الرابع من السلسلة المتناوبة الناتجة التي تفي بمعيار لايبنيز أقل من الدقة المطلوبة:
، لذلك يمكن التخلص منه والمصطلحات التالية له.
لا يمكن حساب العديد من التكاملات المحددة أو غير الصحيحة الضرورية عمليًا باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، لأن تطبيقها يرتبط بإيجاد مشتق عكسي، والذي غالبًا لا يكون له تعبير في الدوال الأولية. ويحدث أيضًا أن العثور على مشتق عكسي أمر ممكن، لكنه يتطلب عمالة كثيفة دون داع. ومع ذلك، إذا تم توسيع الدالة التكاملية إلى سلسلة قوى، وكانت حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه السلسلة، فمن الممكن إجراء حساب تقريبي للتكامل بدقة محددة مسبقًا.

المثال رقم 3. احسب التكامل ∫ 0 1 4 sin (x) x بدقة 10 -5.
حل. لا يمكن التعبير عن التكامل غير المحدد المقابل في وظائف أولية، أي. يمثل "تكاملاً غير دائم". لا يمكن تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز هنا. دعونا نحسب التكامل تقريبًا.
تقسيم مصطلح على المدى سلسلة للخطيئة سعلى س، نحن نحصل:

وبتكامل هذه المتسلسلة حداً تلو الآخر (وهذا ممكن لأن حدود التكامل تنتمي إلى فترة تقارب هذه المتسلسلة)، نحصل على:

وبما أن السلسلة الناتجة تلبي شروط لايبنتز ويكفي أخذ مجموع الحدين الأولين للحصول على القيمة المطلوبة بدقة معينة.
وهكذا نجد
.

المثال رقم 4. احسب التكامل ∫ 0 1 4 e x 2 بدقة 0.001.
حل.
. دعونا نتحقق مما إذا كان بإمكاننا التخلص من الباقي بعد الحد الثاني من السلسلة الناتجة.
0.0001<0.001. Следовательно, .

يجب أن يعلم طلاب الرياضيات العليا أن مجموع سلسلة قوى معينة تنتمي إلى فترة تقارب السلسلة المعطاة لنا تبين أنه عدد مستمر وغير محدود من المرات المتمايزة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن القول أن دالة اعتباطية معينة f(x) هي مجموع سلسلة قوى معينة؟ بمعنى، تحت أي ظروف يمكن تمثيل الدالة f(x) بسلسلة قوى؟ تكمن أهمية هذا السؤال في حقيقة أنه من الممكن استبدال الدالة f(x) تقريبًا بمجموع الحدود القليلة الأولى لسلسلة القوى، أي متعددة الحدود. يعد استبدال الوظيفة بتعبير بسيط إلى حد ما - متعدد الحدود - مناسبًا أيضًا عند حل مشكلات معينة، وهي: عند حل التكاملات، عند الحساب، وما إلى ذلك.

لقد ثبت أنه بالنسبة لدالة معينة f(x)، يمكن من خلالها حساب المشتقات حتى الترتيب (n+1)، بما في ذلك الأخير، في محيط (α - R; x 0 + R ) بعض النقطة x = α، صحيح أن الصيغة:

سميت هذه الصيغة على اسم العالم الشهير بروك تايلور. السلسلة التي تم الحصول عليها من السلسلة السابقة تسمى متسلسلة ماكلورين:

القاعدة التي تجعل من الممكن إجراء توسيع في سلسلة Maclaurin:

1. تحديد مشتقات الأوامر الأولى والثانية والثالثة.
2. احسب ما تساويه المشتقات عند x=0.
3. اكتب متسلسلة ماكلورين لهذه الدالة، ثم حدد فترة تقاربها.
4. تحديد الفاصل الزمني (-R;R)، حيث بقية صيغة ماكلورين

R n (x) -> 0 عند n -> ما لا نهاية. إذا كان موجودًا، فإن الدالة f(x) فيه يجب أن تتطابق مع مجموع متسلسلة ماكلورين.

دعونا الآن نتناول متسلسلة ماكلورين للدوال الفردية.

1. إذن، الأول سيكون f(x) = e x. بالطبع، من خلال خصائصها، تحتوي هذه الدالة على مشتقات ذات ترتيبات مختلفة جدًا، و f (k) (x) = e x ، حيث k يساوي الكل x = 0. نحصل على f (k) (0) = e 0 =1، k = 1,2... وبناءً على ما سبق، فإن المتسلسلة e x ستبدو بالشكل التالي:

2. متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = sin x. دعونا نوضح على الفور أن الدالة لجميع المجهولات سيكون لها مشتقات، بالإضافة إلى ذلك، f "(x) = cos x = sin(x+n/2)، f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2)، حيث k يساوي أي عدد طبيعي، أي أنه بعد إجراء حسابات بسيطة، يمكننا التوصل إلى ذلك الاستنتاج هو أن المتسلسلة الخاصة بـ f(x) = sin x ستبدو كما يلي:

3. الآن دعونا نحاول النظر في الدالة f(x) = cos x. لجميع المجهولات لديها مشتقات ترتيب تعسفي، و |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

لذلك قمنا بإدراج أهم الدوال التي يمكن توسيعها في متسلسلة ماكلورين، إلا أنها تكملها متسلسلة تايلور لبعض الدوال. الآن سوف نقوم بإدراجهم. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن متسلسلة تايلور وماكلورين تعد جزءًا مهمًا من العمل العملي على حل المتسلسلة في الرياضيات العليا. لذلك، سلسلة تايلور.

1. الأول سيكون سلسلة الدالة f(x) = ln(1+x). كما في الأمثلة السابقة، بالنسبة إلى f(x) = ln(1+x) يمكننا جمع المتسلسلة باستخدام الصيغة العامة لمتسلسلة ماكلورين. ومع ذلك، لهذه الوظيفة يمكن الحصول على سلسلة ماكلورين بشكل أكثر بساطة. بعد دمج سلسلة هندسية معينة، نحصل على متسلسلة f(x) = ln(1+x) لهذه العينة:

2. والثانية، والتي ستكون نهائية في مقالتنا، ستكون المتسلسلة f(x) = arctan x. بالنسبة لـ x التي تنتمي إلى الفاصل الزمني [-1;1] يكون التوسيع صالحًا:

هذا كل شئ. تتناول هذه المقالة سلسلة تايلور وماكلورين الأكثر استخدامًا في الرياضيات العليا، خاصة في جامعات الاقتصاد والتقنية.

إذا كانت الوظيفة و (خ)لديه على بعض الفاصل الزمني الذي يحتوي على هذه النقطة أ، مشتقات جميع الرتب، فيمكن تطبيق صيغة تايلور عليها:

أين ص ن- ما يسمى بالحد المتبقي أو بقية السلسلة، ويمكن تقديره باستخدام صيغة لاغرانج:

حيث يقع الرقم x بين Xو أ.

إذا كان لبعض القيمة س ص ن®0 في ن®¥، ففي النهاية تتحول صيغة تايلور إلى صيغة متقاربة لهذه القيمة سلسلة تايلور:

وبالتالي فإن الوظيفة و (خ)يمكن توسيعها إلى سلسلة تايلور عند النقطة المعنية X، لو:

1) لديها مشتقات من جميع الطلبات؛

2) تتقارب السلسلة المبنية عند هذه النقطة.

في أ=0 نحصل على سلسلة تسمى بالقرب من ماكلورين:

مثال 1 و(خ)= 2س.

حل. دعونا نجد قيم الدالة ومشتقاتها في X=0

و (خ) = 2س, F( 0) = 2 0 =1;

و ™ (خ) = 2س ln2, و ™ ( 0) = 2 0 ln2=ln2;

و ™ ™ (خ) = 2سرقم 2 2, و ™ ™ ( 0) = 2 0 قانون الجنسية 2 2= قانون الجنسية 2 2;

و(ن)(خ) = 2س ln ن 2, و (ن)( 0) = 2 0 ln ن 2=ln ن 2.

باستبدال قيم المشتقات التي تم الحصول عليها في صيغة سلسلة تايلور، نحصل على:

نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة يساوي ما لا نهاية، وبالتالي فإن هذا التوسع صالح لـ -¥<س<+¥.

مثال 2 X+4) للوظيفة و(خ)=ه س.

حل. إيجاد مشتقات الدالة ه سوقيمها عند هذه النقطة X=-4.

و (خ)= ه س, F(-4) = ه -4 ;

و ™ (خ)= ه س, و ™ (-4) = ه -4 ;

و ™ ™ (خ)= ه س, و ™ ™ (-4) = ه -4 ;

و(ن)(خ)= ه س, و (ن)( -4) = ه -4 .

لذلك، فإن سلسلة تايلور المطلوبة للدالة لها الشكل:

هذا التوسع صالح أيضًا لـ -¥<س<+¥.

مثال 3 . قم بتوسيع وظيفة و (خ)=ln سفي سلسلة في القوى ( X- 1),

(أي في سلسلة تايلور في محيط النقطة X=1).

حل. أوجد مشتقات هذه الدالة.

باستبدال هذه القيم في الصيغة، نحصل على سلسلة تايلور المطلوبة:

باستخدام اختبار دالمبيرت، يمكنك التحقق من أن المتسلسلة تتقارب عندما

½ X- 1½<1. Действительно,

تتقارب المتسلسلة إذا كانت ½ X- 1½<1, т.е. при 0<س<2. При X=2 نحصل على سلسلة متناوبة تفي بشروط معيار لايبنيز. في Xلم يتم تعريف الدالة =0. وبالتالي، فإن منطقة التقارب لمتسلسلة تايلور هي الفترة نصف المفتوحة (0;2).

دعونا نقدم التوسعات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة في سلسلة ماكلورين (أي في محيط النقطة X=0) لبعض الوظائف الأولية:

(2) ,

(3) ,

(يسمى التحلل الأخير سلسلة ذات الحدين)

مثال 4 . قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة

حل. وفي التوسعة (١) نستبدل Xعلى - X 2 نحصل على:

مثال 5 . قم بتوسيع الدالة في سلسلة Maclaurin

حل. لدينا

باستخدام الصيغة (4) يمكننا أن نكتب:

استبدال بدلا من ذلك Xفي الصيغة -X، نحن نحصل:

ومن هنا نجد:

بفتح الأقواس، وإعادة ترتيب حدود المتسلسلة وإحضار مصطلحات متشابهة، نحصل على

هذه السلسلة تتقارب في الفترة

(-1;1) حيث يتم الحصول عليها من سلسلتين تتقارب كل منهما في هذه الفترة.

تعليق .

يمكن أيضًا استخدام الصيغ (1) - (5) لتوسيع الوظائف المقابلة في سلسلة تايلور، أي. لتوسيع الوظائف في القوى الصحيحة الإيجابية ( ها). للقيام بذلك، من الضروري إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة على وظيفة معينة من أجل الحصول على إحدى الوظائف (1) - (5)، والتي بدلا من ذلك Xالتكاليف ك( ها) m ، حيث k هو رقم ثابت، وm هو عدد صحيح موجب. غالبًا ما يكون من المناسب إجراء تغيير للمتغير ر=هاوقم بتوسيع الدالة الناتجة فيما يتعلق بـ t في سلسلة Maclaurin.

توضح هذه الطريقة النظرية الخاصة بتمديد سلسلة القوى للدالة. جوهر هذه النظرية هو أنه في جوار نفس النقطة لا يمكن الحصول على سلسلتين قوى مختلفتين تتقاربان في نفس الوظيفة، بغض النظر عن كيفية تنفيذ توسعها.

مثال 6 . قم بتوسيع الدالة في سلسلة تايلور في جوار نقطة ما X=3.

حل. يمكن حل هذه المشكلة كما في السابق باستخدام تعريف متسلسلة تايلور والتي نحتاج من أجلها إلى إيجاد مشتقات الدالة وقيمها عند X=3. ومع ذلك، سيكون من الأسهل استخدام التوسعة الحالية (5):

تتقارب السلسلة الناتجة عند أو -3<س- 3<3, 0<س< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

مثال 7 . اكتب متسلسلة تايلور بالقوى ( X-1) الوظائف .

حل.

تتقارب السلسلة عند ، أو 2< س 5 جنيهات إسترلينية.