معادلة المماس للرسم البياني للدالة

ب. رومانوف، ت. رومانوفا،
ماجنيتوجورسك,
منطقة تشيليابينسك

معادلة المماس للرسم البياني للدالة

تم نشر المقال بدعم من مجمع فنادق ITAKA+. عند الإقامة في مدينة سيفيرودفينسك لبناء السفن، لن تواجه مشكلة العثور على سكن مؤقت. ، على الموقع الإلكتروني للمجمع الفندقي "ITHAKA+" http://itakaplus.ru، يمكنك بسهولة وسرعة استئجار شقة في المدينة لأي فترة مع الدفع اليومي.

على المرحلة الحديثةتطوير التعليم، ومن مهامه الأساسية تكوين شخصية ذات تفكير إبداعي. لا يمكن تطوير القدرة على الإبداع لدى الطلاب إلا إذا شاركوا بشكل منهجي في أساسيات الأنشطة البحثية. الأساس الذي يستخدمه الطلاب لقدراتهم وقدراتهم ومواهبهم الإبداعية هو المعرفة والمهارات الكاملة. وفي هذا الصدد، فإن مشكلة تشكيل نظام من المعرفة والمهارات الأساسية لكل موضوع من دورة الرياضيات المدرسية ليست ذات أهمية كبيرة. في الوقت نفسه، يجب أن تكون المهارات الكاملة هدفا تعليميا المهام الفردية، ولكن نظامهم مدروس بعناية. بالمعنى الأوسع، يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المتفاعلة المترابطة التي تتمتع بالتكامل والبنية المستقرة.

دعونا نفكر في أسلوب لتعليم الطلاب كيفية كتابة معادلة مماس للرسم البياني للدالة. في الأساس، تتلخص جميع مشاكل العثور على معادلة الظل في الحاجة إلى الاختيار من بين مجموعة (حزمة، عائلة) من الخطوط التي تلبي متطلبات معينة - فهي مماسة للرسم البياني لوظيفة معينة. وفي هذه الحالة يمكن تحديد مجموعة الخطوط التي يتم الاختيار منها بطريقتين:

أ) نقطة تقع على المستوى xOy (قلم الرصاص المركزي للخطوط)؛
ب) المعامل الزاوي (شعاع متوازي من الخطوط المستقيمة).

وفي هذا الصدد، عند دراسة موضوع "المماس للرسم البياني للدالة" لعزل عناصر النظام، حددنا نوعين من المشاكل:

1) مسائل على المماس المعطاة بالنقطة التي يمر عبرها؛
2) مسائل على المماس الناتج عن ميله.

تم إجراء التدريب على حل المشكلات الظلية باستخدام الخوارزمية التي اقترحها A.G. موردكوفيتش. الفرق الأساسي بينها وبين تلك المعروفة بالفعل هو أن حدود نقطة الظل يُشار إليها بالحرف a (بدلاً من x0)، وبالتالي تأخذ معادلة الظل الشكل

ص = و(أ) + و "(أ)(س – أ)

(قارن مع y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). هذا تقنية منهجية، في رأينا، يتيح للطلاب أن يفهموا بسرعة وسهولة مكان كتابة إحداثيات النقطة الحالية في معادلة الظل العامة، وأين توجد نقاط الظل.

خوارزمية لتكوين معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f(x)

1. قم بتعيين حدود نقطة المماس بالحرف أ.
2. ابحث عن f(أ).
3. ابحث عن f "(x) وf"(a).
4. استبدل الأرقام الموجودة a، f(a)، f "(a) في المعادلة العامةالظل ص = و(أ) = و "(أ)(س - أ).

يمكن تجميع هذه الخوارزمية على أساس التحديد المستقل للطلاب للعمليات وتسلسل تنفيذها.

لقد أظهرت الممارسة أن الحل المتسلسل لكل مشكلة رئيسية باستخدام الخوارزمية يسمح لك بتطوير مهارات كتابة معادلة المماس للرسم البياني للدالة على مراحل، وتكون خطوات الخوارزمية بمثابة نقاط مرجعية للإجراءات . يتوافق هذا النهج مع نظرية التكوين التدريجي للإجراءات العقلية التي طورها P.Ya. جالبيرين ون.ف. تاليزينا.

في النوع الأول من المهام، تم تحديد مهمتين رئيسيتين:

• يمر المماس عبر نقطة تقع على المنحنى (المسألة 1)؛
• يمر المماس عبر نقطة لا تقع على المنحنى (المسألة 2).

المهمة 1. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة م(3؛ - 2).

حل. النقطة M(3; - 2) هي نقطة مماس، منذ ذلك الحين

1. أ = 3 – الإحداثي المحوري لنقطة المماس.
2. و(3) = – 2.
3. و "(س) = س 2 – 4، و"(3) = 5.
ص = – 2 + 5(س – 3)، ص = 5س – 17 – معادلة الظل.

المشكلة 2. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y = – x 2 – 4x + 2 مروراً بالنقطة M(- 3; 6).

حل. النقطة M(– 3; 6) ليست نقطة مماس، لأن f(– 3) 6 (الشكل 2).

2. و(أ) = – أ 2 – 4أ + 2.
3. و "(س) = - 2س - 4، و "(أ) = - 2أ - 4.
4. ص = – أ 2 – 4أ + 2 – 2(أ + 2)(س – أ) – معادلة الظل.

يمر المماس عبر النقطة M(- 3; 6)، وبالتالي فإن إحداثياته ​​تحقق معادلة الظل.

6 = – أ 2 – 4أ + 2 – 2(أ + 2)(- 3 – أ)،
أ 2 + 6 أ + 8 = 0^ أ 1 = – 4، أ 2 = – 2.

إذا كانت a = – 4، فإن معادلة الظل هي y = 4x + 18.

إذا كانت a = - 2، فإن معادلة الظل لها الصيغة y = 6.

وفي النوع الثاني ستكون المهام الرئيسية كما يلي:

• المماس يوازي خطًا ما (المسألة 3)؛
• يمر المماس بزاوية معينة للخط المحدد (المسألة 4).

المسألة 3. اكتب معادلات جميع مماسات الرسم البياني للدالة y = x 3 – 3x 2 + 3، بالتوازي مع الخط y = 9x + 1.

حل.

1. أ – الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل.
2. و(أ) = أ 3 - 3أ 2 + 3.
3. و "(س) = 3س 2 - 6س، و "(أ) = 3أ 2 - 6أ.

لكن من ناحية أخرى، f "(a) = 9 (شرط التوازي). وهذا يعني أننا بحاجة إلى حل المعادلة 3a 2 – 6a = 9. جذورها هي a = – 1، a = 3 (الشكل 3) ).

4. 1) أ = - 1؛
2) و(- 1) = – 1;
3) و "(- 1) = 9؛
4) ص = - 1 + 9(س + 1)؛

ص = 9س + 8 - معادلة الظل؛

1) أ = 3؛
2) و(3) = 3؛
3) و "(3) = 9؛
4) ص = 3 + 9(س - 3)؛

ص = 9س – 24 – معادلة الظل.

المشكلة 4. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = 0.5x 2 - 3x + 1، مروراً بزاوية 45 درجة للخط المستقيم y = 0 (الشكل 4).

حل. من الشرط f "(a) = tan 45° نجد أ: a – 3 = 1^ أ = 4.

1. أ = 4 – الإحداثي المحوري لنقطة الظل.
2. و(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. و "(4) = 4 - 3 = 1.
4. ص = – 3 + 1(س – 4).

ص = س – 7 – معادلة الظل.

من السهل أن نبين أن حل أي مشكلة أخرى يأتي من خلال حل مشكلة رئيسية واحدة أو أكثر. خذ بعين الاعتبار المشكلتين التاليتين كمثال.

1. اكتب معادلات مماسات القطع المكافئ y = 2x 2 - 5x - 2، إذا تقاطعت المماسات بزوايا قائمة ولمس أحدها القطع المكافئ عند النقطة ذات الإحداثي المحوري 3 (الشكل 5).

حل. نظرًا لإعطاء حدود نقطة الظل، يتم تقليل الجزء الأول من الحل إلى المشكلة الرئيسية 1.

1. أ = 3 – إبهام نقطة تماس أحد أضلاع الزاوية القائمة.
2. و(3) = 1.
3. و "(س) = 4س – 5، و"(3) = 7.
4. ص = 1 + 7(س – 3)، ص = 7س – 20 – معادلة المماس الأول.

دع أ – زاوية ميل المماس الأول . بما أن المماسين متعامدان، إذن هي زاوية ميل المماس الثاني. من المعادلة y = 7x – 20 للظل الأول لدينا tgأ = 7. دعونا نجد

وهذا يعني أن ميل المماس الثاني يساوي .

الحل الإضافي يأتي في المهمة الرئيسية 3.

دع B(c; f(c)) تكون نقطة التماس للخط الثاني، إذن

1. – الإحداثي المحوري لنقطة التماس الثانية.
2.
3.
4.
- معادلة المماس الثاني.

ملحوظة. يمكن العثور على المعامل الزاوي للظل بسهولة أكبر إذا عرف الطلاب نسبة معاملات الخطوط المتعامدة k 1 k 2 = - 1.

2. اكتب معادلات جميع المماسات المشتركة للتمثيلات البيانية للدوال

حل. تتلخص المهمة في العثور على حدود نقاط الظل للظلال المشتركة، أي حل المشكلة الرئيسية 1 بشكل عام، ووضع نظام من المعادلات ثم حله (الشكل 6).

1. دع a يكون حدود نقطة الظل الواقعة على الرسم البياني للدالة y = x 2 + x + 1.
2. و(أ) = أ 2 + أ + 1.
3. و "(أ) = 2أ + 1.
4. ص = أ 2 + أ + 1 + (2أ + 1)(x – أ) = (2أ + 1)x + 1 – أ 2 .

1. دع c يكون حدود نقطة الظل الموجودة على الرسم البياني للدالة
2.
3. و "(ج) = ج.
4.

وبما أن الظلال عامة إذن

إذن y = x + 1 و y = - 3x - 3 مماسات مشتركة.

الهدف الرئيسي من المهام المدروسة هو إعداد الطلاب للتعرف بشكل مستقل على نوع المشكلة الرئيسية عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا التي تتطلب مهارات بحثية معينة (القدرة على التحليل والمقارنة والتعميم وطرح الفرضية وما إلى ذلك). تتضمن هذه المهام أي مهمة يتم فيها تضمين المهمة الرئيسية كمكون. دعونا نفكر كمثال في المشكلة (عكس المشكلة 1) المتمثلة في إيجاد دالة من عائلة مماساتها.

3. ما هو b و c الخطان y = x و y = - 2x المماسان للرسم البياني للدالة y = x 2 + bx + c؟

حل.

اجعل t هو الإحداثي المحوري لنقطة التماس للخط المستقيم y = x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c؛ p هو الإحداثي المحوري لنقطة تماس الخط المستقيم y = – 2x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c. ثم معادلة الظل y = x ستأخذ الشكل y = (2t + b)x + c – t 2 ومعادلة الظل y = – 2x ستأخذ الشكل y = (2p + b)x + c – p 2 .

دعونا نؤلف ونحل نظام المعادلات

إجابة:

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. اكتب معادلات المماس المرسومة على الرسم البياني للدالة y = 2x 2 – 4x + 3 عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع الخط y = x + 3.

الإجابة: ص = - 4س + 3، ص = 6س - 9.5.

2. ما هي قيم a التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y = x 2 – ax عند نقطة الرسم البياني مع الإحداثي السيني x 0 = 1 عبر النقطة M(2; 3)؟

الجواب: أ = 0.5.

3. ما هي قيم p التي يلمس فيها الخط المستقيم y = px – 5 المنحنى y = 3x 2 – 4x – 2؟

الجواب: ع 1 = – 10، ص 2 = 2.

4. أوجد جميع النقاط المشتركة في الرسم البياني للدالة y = 3x – x 3 والمماس المرسوم على هذا الرسم البياني من خلال النقطة P(0; 16).

الإجابة: أ(2؛ – 2)، ب(– 4؛ 52).

5. أوجد أقصر مسافة بين القطع المكافئ y = x 2 + 6x + 10 والخط المستقيم

إجابة:

6. على المنحنى y = x 2 – x + 1، أوجد النقطة التي يكون عندها مماس الرسم البياني موازيًا للخط المستقيم y – 3x + 1 = 0.

الجواب: م(2؛ 3).

7. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = x 2 + 2x - | 4x | الذي يمسها عند نقطتين. قم بعمل رسم.

الإجابة: ص = 2س - 4.

8. أثبت أن الخط y = 2x – 1 لا يتقاطع مع المنحنى y = x 4 + 3x 2 + 2x. أوجد المسافة بين أقرب نقاطهم.

إجابة:

9. على القطع المكافئ y = x 2، يتم أخذ نقطتين بواسطة الإحداثيات x 1 = 1، x 2 = 3. يتم رسم القاطع من خلال هذه النقاط. عند أي نقطة من القطع المكافئ سيكون مماسه موازيًا للقاطع؟ اكتب معادلات القاطع والظل.

الإجابة: ص = 4س – 3 – معادلة قاطعة؛ ص = 4س – 4 – معادلة الظل.

10. أوجد الزاوية ف بين مماسات الرسم البياني للدالة y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1، مرسومة عند النقاط ذات الإحداثيات 0 و1.

الجواب: ف = 45 درجة.

11. في أي النقاط يشكل مماس الرسم البياني للدالة زاوية مقدارها 135 درجة مع محور الثور؟

الإجابة: أ(0؛ - 1)، ب(4؛ 3).

12. عند النقطة أ(1؛ 8) إلى المنحنى يتم رسم المماس. أوجد طول قطعة المماس بين محوري الإحداثيات.

إجابة:

13. اكتب معادلة جميع المماسات المشتركة للتمثيلات البيانية للدوال y = x 2 – x + 1 و y = 2x 2 – x + 0.5.

الإجابة: ص = – 3س و ص = س.

14. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني للدالة بالتوازي مع المحور x.

إجابة:

15. حدد الزوايا التي يتقاطع فيها القطع المكافئ y = x 2 + 2x – 8 مع المحور x.

الجواب: س 1 = القطب الشمالي 6، س 2 = القطب الشمالي (- 6).

16. الرسم البياني الوظيفي ابحث عن جميع النقاط التي يتقاطع ظل كل منها في هذا الرسم البياني مع أنصاف المحاور الموجبة للإحداثيات، مما يؤدي إلى قطع الأجزاء المتساوية منها.

الجواب: أ(- 3؛ 11).

17. يتقاطع الخط y = 2x + 7 والقطع المكافئ y = x 2 – 1 عند النقطتين M وN. أوجد نقطة K لتقاطع الخطوط المماسّة للقطع المكافئ عند النقطتين M وN.

الجواب: ك(1؛ – 9).

18. ما هي قيم b التي يكون فيها الخط y = 9x + b مماسًا للرسم البياني للدالة y = x 3 – 3x + 15؟

الجواب: – 1؛ 31.

19. ما هي قيم k التي يحتوي فيها الخط المستقيم y = kx – 10 على نقطة مشتركة واحدة فقط مع الرسم البياني للدالة y = 2x 2 + 3x – 2؟ بالنسبة للقيم التي تم العثور عليها لـ k، حدد إحداثيات النقطة.

الإجابة: ك 1 = - 5، أ(- 2؛ 0)؛ ك 2 = 11، ب(2؛ 12).

20. ما هي قيم b التي يمر بها المماس على الرسم البياني للدالة y = bx 3 – 2x 2 – 4 عند النقطة مع الإحداثي المحوري x 0 = 2 عبر النقطة M(1; 8)؟

الجواب: ب = – 3.

21. القطع المكافئ الذي رأسه على محور الثور يمس الخط الذي يمر بالنقطتين A(1; 2) و B(2; 4) عند النقطة B. أوجد معادلة القطع المكافئ.

إجابة:

22. عند أي قيمة للمعامل k يلمس القطع المكافئ y = x 2 + kx + 1 محور الثور؟

الجواب: ك = د2.

23. أوجد الزوايا المحصورة بين الخط المستقيم y = x + 2 والمنحنى y = 2x 2 + 4x – 3.

29. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني للدالة والمولدات مع الاتجاه الموجب لمحور الثور بزاوية 45 درجة.

إجابة:

30. أوجد موضع رؤوس جميع القطع المكافئة من الصورة y = x 2 + ax + b مماس للخط y = 4x – 1.

الجواب: الخط المستقيم ص = 4س + 3.

الأدب

1. زفافيتش إل.آي.، شليابوتشنيك إل.يا.، تشينكينا إم.في. الجبر وبدايات التحليل: 3600 مشكلة لأطفال المدارس والمقبلين على الجامعات. – م.، حبارى، 1999.
2. موردكوفيتش أ. الندوة الرابعة للمعلمين الشباب. الموضوع: تطبيقات المشتقات. – م . “الرياضيات” عدد 21/94.
3. تكوين المعرفة والمهارات على أساس نظرية الاستيعاب التدريجي للإجراءات العقلية.

/ إد. P.Ya. جالبرينا، إن.إف. تاليزينا.

- م. جامعة موسكو الحكومية 1968.

تقدم المقالة شرحًا تفصيليًا للتعريفات والمعنى الهندسي للمشتق مع الرموز الرسومية. سيتم النظر في معادلة خط المماس مع الأمثلة، وسيتم العثور على معادلات المماس لمنحنيات الدرجة الثانية.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b تسمى الزاوية α، والتي تقاس من الاتجاه الموجب للمحور x إلى الخط المستقيم y = k x + b في الاتجاه الموجب.

في الشكل، يُشار إلى اتجاه x بسهم أخضر وقوس أخضر، وزاوية الميل بقوس أحمر. يشير الخط الأزرق إلى الخط المستقيم.

التعريف 2

• يسمى ميل الخط المستقيم y = k x + b بالمعامل العددي k.
• المعامل الزاوي يساوي ظل الخط المستقيم، بمعنى آخر k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >زاوية ميل الخط المستقيم تساوي 0 فقط إذا كان موازياً لـ x وكان ميله يساوي صفراً، لأن ظل الصفر يساوي 0. وهذا يعني أن شكل المعادلة سيكون y = b.
• إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b حادة، فإن الشروط 0 تتحقق
• 0، وهناك زيادة في الرسم البياني.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

إذا كانت α = π 2، فإن موقع الخط يكون عموديًا على x. يتم تحديد المساواة بواسطة x = c حيث تكون القيمة c رقمًا حقيقيًا.

إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b منفرجة، فإنها تتوافق مع الشروط π 2

التعريف 3

القاطع هو الخط الذي يمر عبر نقطتين من الدالة f (x). بمعنى آخر، القاطع هو خط مستقيم يتم رسمه عبر أي نقطتين على الرسم البياني لدالة معينة.

يوضح الشكل أن A B هو قاطع، وf (x) هو منحنى أسود، و α هو قوس أحمر، مما يشير إلى زاوية ميل القاطع.

عندما يكون معامل الزاوي لخط مستقيم يساوي ظل زاوية الميل، فمن الواضح أنه يمكن إيجاد ظل المثلث القائم أ ب ج بنسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، حيث تكون حدود النقطتين A و B هي القيم x A وx B وf (x A) وf (x) ب) هي وظائف القيم في هذه النقاط.

من الواضح أن المعامل الزاوي للقاطع يتم تحديده باستخدام المساواة k = f (x B) - f (x A) x B - x A أو k = f (x A) - f (x B) x A - x B ، ويجب كتابة المعادلة بالشكل y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) أو
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

يقسم القاطع الرسم البياني بصريًا إلى 3 أجزاء: على يسار النقطة A، من A إلى B، وإلى يمين B. يوضح الشكل أدناه أن هناك ثلاثة قطاعات تعتبر متطابقة، أي أنه تم ضبطها باستخدام معادلة مماثلة.

ومن الواضح من التعريف أن الخط المستقيم وقاطعه فيه في هذه الحالةمباراة.

يمكن للقاطع أن يتقاطع مع الرسم البياني لدالة معينة عدة مرات. إذا كانت هناك معادلة بالصيغة y = 0 للقاطع، فإن عدد نقاط التقاطع مع الجيوب الأنفية لا نهائي.

التعريف 5

مماس للرسم البياني للدالة f (x) عند النقطة x 0 ; f (x 0) هو خط مستقيم يمر بنقطة معينة x 0؛ f (x 0)، مع وجود مقطع يحتوي على العديد من قيم x القريبة من x 0.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال أدناه. ومن ثم يتضح أن الخط المحدد بالدالة y = x + 1 يعتبر مماسا لـ y = 2 x عند النقطة ذات الإحداثيات (1؛ 2). وللتوضيح، من الضروري النظر في الرسوم البيانية ذات القيم القريبة من (1؛ 2). تظهر الدالة y = 2 x باللون الأسود، والخط الأزرق هو خط المماس، والنقطة الحمراء هي نقطة التقاطع.

من الواضح أن y = 2 x تندمج مع السطر y = x + 1.

لتحديد المماس، يجب أن نأخذ في الاعتبار سلوك المماس A B عندما تقترب النقطة B من النقطة A إلى ما لا نهاية، من أجل الوضوح، نقدم رسمًا.

يميل القاطع A B، المشار إليه بالخط الأزرق، إلى موضع الظل نفسه، وستبدأ زاوية ميل القاطع α في الميل إلى زاوية ميل الظل نفسه α x.

التعريف 6

يعتبر ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A هو الموضع المحدود للقاطع A B حيث يميل B إلى A، أي B → A.

الآن دعنا ننتقل إلى النظر في المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما.

دعنا ننتقل إلى النظر في القاطع A B للدالة f (x)، حيث A وB بإحداثيات x 0 وf (x 0) وx 0 + ∆ x وf (x 0 + ∆ x) و∆ x هي يشار إليها على أنها زيادة الوسيطة. الآن ستأخذ الدالة الشكل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . من أجل الوضوح، دعونا نعطي مثالا على الرسم.

دعونا نفكر في النتيجة المثلث الأيمن A B C. نستخدم تعريف الظل للحل، أي أننا نحصل على العلاقة ∆ y ∆ x = t g α . من تعريف المماس يتبع ذلك lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . وفقًا لقاعدة المشتقة عند نقطة ما، لدينا أن المشتقة f (x) عند النقطة x 0 تسمى نهاية نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، حيث ∆ x → 0 ، ثم نشير إليها بالشكل f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

ويترتب على ذلك أن f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، حيث يُشار إلى k x على أنه ميل المماس.

وهذا يعني أننا حصلنا على أن f '(x) يمكن أن توجد عند النقطة x 0 ومثل المماس الجدول الزمني المحدددالة عند نقطة التماس تساوي x 0, f 0 (x 0)، حيث تكون قيمة ميل المماس عند النقطة تساوي المشتقة عند النقطة x 0. ثم نحصل على k x = f " (x 0) .

معنى هندسيمشتق دالة عند نقطة ما هو أن مفهوم وجود مماس للرسم البياني عند نفس النقطة معطى.

لكتابة معادلة أي خط مستقيم على مستوى، من الضروري أن يكون معامل الزاوية مع النقطة التي يمر بها. يؤخذ تدوينه ليكون x 0 عند التقاطع.

معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة x 0، f 0 (x 0) تأخذ الشكل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

هذا يعني أن القيمة النهائية للمشتقة f "(x 0) يمكنها تحديد موضع المماس، أي عموديًا، بشرط lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ أو الغياب على الإطلاق بشرط lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

يعتمد موقع المماس على قيمة معامله الزاوي k x = f "(x 0). عند التوازي مع المحور o x، نحصل على ذلك k k = 0، عند التوازي مع o y - k x = ∞، وشكل المماس معادلة الظل x = x 0 تزداد مع k x > 0، وتتناقص عندما k x< 0 .

مثال 2

قم بتجميع معادلة مماس الرسم البياني للدالة y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 عند النقطة ذات الإحداثيات (1; 3) وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن الدالة محددة لجميع الأعداد الحقيقية. نجد أن النقطة ذات الإحداثيات المحددة بالشرط (1؛ 3) هي نقطة تماس، إذن x 0 = - 1، f (x 0) = - 3.

من الضروري العثور على المشتق عند النقطة ذات القيمة - 1. لقد حصلنا على ذلك

y " = ه x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = ه x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = ه x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

قيمة f' (x) عند نقطة التماس هي ميل الظل، وهو يساوي ظل الميل.

ثم k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

ويترتب على ذلك أن α x = a r c t g 3 3 = π 6

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

من أجل الوضوح، نعطي مثالا في الرسم التوضيحي.

يتم استخدام اللون الأسود للرسم البياني للوظيفة الأصلية، أزرق– صورة المماس، النقطة الحمراء – نقطة التماس. يوضح الشكل الموجود على اليمين منظرًا موسعًا.

مثال 3

تحديد وجود مماس للرسم البياني لوظيفة معينة
y = 3 · x - 1 5 + 1 عند النقطة ذات الإحداثيات (1 ; 1) . اكتب معادلة وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن مجال تعريف دالة معينة يعتبر مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

دعنا ننتقل إلى إيجاد المشتق

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

إذا كانت x 0 = 1، فإن f' (x) غير معرفة، ولكن النهايات مكتوبة بالشكل lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞، مما يعني وجود مماس رأسي عند النقطة (1؛ 1).

إجابة:المعادلة سوف تأخذ الشكل x = 1، حيث زاوية الميل ستكون π 2.

من أجل الوضوح، دعونا تصوير ذلك بيانيا.

مثال 4

أوجد النقاط على الرسم البياني للدالة y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 حيث

1. لا يوجد ظل.
2. الظل موازي لـ x؛
3. المماس يوازي الخط y = 8 5 x + 4.

حل

من الضروري الانتباه إلى نطاق التعريف. بالشرط، لدينا أن الدالة معرفة على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. نقوم بتوسيع الوحدة وحل النظام بفواصل زمنية x ∈ - ∞ ؛ 2 و [ - 2 ; + ∞) . لقد حصلنا على ذلك

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

من الضروري التمييز بين الوظيفة. لدينا ذلك

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

عندما تكون x = - 2، فإن المشتقة غير موجودة لأن النهايتين من جانب واحد غير متساويتين عند تلك النقطة:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 الحد x → - 2 + 0 y " (x) = الحد x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

نحسب قيمة الدالة عند النقطة x = - 2 حيث نحصل على ذلك

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، أي المماس عند النقطة ( - 2؛ - 2) لن يكون موجودا.
2. يكون المماس موازيًا لـ x عندما يكون الميل صفرًا. ثم k x = t g α x = f "(x 0). أي أنه من الضروري العثور على قيم x عندما يحولها مشتق الدالة إلى الصفر. أي قيم f ' (x) ستكون نقاط التماس، حيث يكون الظل موازيا لـ x .

عندما س ∈ - ∞ ; - 2، إذن - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، وبالنسبة لـ x ∈ (- 2; + ∞) نحصل على 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 د = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 × 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (س 2 - 4 س + 3) = 0 د = 4 2 - 4 · 3 = 4 × 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

احسب قيم الوظائف المقابلة

ص 1 = ص - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 ص 2 = ص (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ص 3 = ص (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ص 4 = ص (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

وبالتالي - 5؛ 8 5، - 4؛ 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 تعتبر النقاط المطلوبة للرسم البياني للوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على تمثيل رسومي للحل.

الخط الأسود هو الرسم البياني للوظيفة، والنقاط الحمراء هي نقاط التماس.

1. عندما يكون المستقيمان متوازيين، تكون معاملات الزوايا متساوية. ثم تحتاج إلى البحث عن نقاط على الرسم البياني للوظيفة حيث يكون الميل مساويًا للقيمة 8 5. للقيام بذلك، عليك حل معادلة من الصورة y "(x) = 8 5. فإذا كانت x ∈ - ∞; - 2، نحصل على - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، وإذا كان x ∈ ( - 2 ; + ∞)، فإن 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

المعادلة الأولى ليس لها جذور لأن المميز أقل من الصفر. دعونا نكتب ذلك

1 5 × 2 + 12 × + 35 = 8 5 × 2 + 12 × + 43 = 0 د = 12 4 - 2 43 = - 28< 0

إذن، هناك معادلة أخرى لها جذرين حقيقيين

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 د = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

دعنا ننتقل إلى إيجاد قيم الوظيفة. لقد حصلنا على ذلك

ص 1 = ص (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 ص 2 = ص (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

النقاط ذات القيم - 1؛ 4 15, 5; 8 3 هي النقاط التي تكون مماساتها موازية للمستقيم y = 8 5 x + 4.

إجابة:الخط الأسود - الرسم البياني للدالة، الخط الأحمر - الرسم البياني لـ y = 8 5 x + 4، الخط الأزرق - مماسات عند النقاط - 1؛ 4 15, 5; 8 3.

قد يكون هناك عدد لا حصر له من الظلال لوظائف معينة.

مثال 5

اكتب معادلات جميع مماسات الدالة y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 المتعامدة على الخط المستقيم y = - 2 x + 1 2.

حل

لتجميع معادلة الظل، من الضروري إيجاد معامل وإحداثيات نقطة الظل، بناءً على حالة عمودي الخطوط. التعريف هو كما يلي: حاصل ضرب المعاملات الزاوية المتعامدة مع الخطوط المستقيمة يساوي - 1، أي مكتوبًا بالشكل k x · k ⊥ = - 1. من الشرط لدينا أن المعامل الزاوي يقع عموديًا على الخط ويساوي k ⊥ = - 2، ثم k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

أنت الآن بحاجة إلى العثور على إحداثيات نقاط اللمس. تحتاج إلى العثور على x ثم قيمته لوظيفة معينة. لاحظ أنه من المعنى الهندسي للمشتق عند النقطة
x 0 نحصل على أن k x = y "(x 0). ومن هذه المساواة نجد قيم x لنقاط الاتصال.

لقد حصلنا على ذلك

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 ⇒ ك x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

سيتم استخدام هذه المعادلة المثلثية لحساب إحداثيات نقاط الظل.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk أو x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z هي مجموعة من الأعداد الصحيحة.

تم العثور على نقاط اتصال x. أنت الآن بحاجة إلى الانتقال إلى البحث عن قيم y:

ص 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 أو y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

ص 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 أو ص 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

ص 0 = 4 5 - 1 3 أو ص 0 = - 4 5 + 1 3

من هذا نحصل على أن 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 هي نقاط التماس.

إجابة:سيتم كتابة المعادلات اللازمة كما

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، ك ∈ ض

للحصول على تمثيل مرئي، فكر في دالة وظل على خط الإحداثيات.

ويوضح الشكل أن الموقع وظائف قادمةعلى الفاصل الزمني [ - 10 ; 10 ]، حيث الخط الأسود هو الرسم البياني للدالة، والخطوط الزرقاء هي الظلال التي تقع عموديًا على الخط المعطى من الصورة y = - 2 x + 1 2. النقاط الحمراء هي نقاط اللمس.

المعادلات الأساسية لمنحنيات الرتبة الثانية ليست دالات ذات قيمة واحدة. يتم تجميع معادلات الظل الخاصة بهم وفقًا للمخططات المعروفة.

مماس لدائرة

لتحديد دائرة مركزها النقطة x c e n t e r ; y c e n t e r ونصف القطر R، طبّق الصيغة x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

يمكن كتابة هذه المساواة كاتحاد بين وظيفتين:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

الوظيفة الأولى تقع في الأعلى، والثانية في الأسفل، كما هو موضح في الشكل.

لتجميع معادلة الدائرة عند النقطة x 0؛ y 0 ، الموجود في نصف الدائرة العلوي أو السفلي، يجب أن تجد معادلة الرسم البياني لدالة من النموذج y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r أو y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r عند النقطة المشار إليها.

عندما تكون عند النقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; y c e n t e r - R يمكن الحصول على الظل من المعادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R، وعند النقاط x c e n t e r + R ; y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r سيكون موازيا لـ o y، ثم نحصل على معادلات من الصيغة x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R .

الظل إلى القطع الناقص

عندما يكون للقطع الناقص مركز عند x c e n t e r ; y c e n t e r مع أنصاف المحاور a و b، فيمكن تحديدها باستخدام المعادلة x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

يمكن الإشارة إلى القطع الناقص والدائرة من خلال الجمع بين وظيفتين، وهما نصف القطع الناقص العلوي والسفلي. ثم حصلنا على ذلك

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

إذا كانت المماسات تقع عند رؤوس القطع الناقص، فهي متوازية حول x أو حول y. أدناه، من أجل الوضوح، النظر في الشكل.

مثال 6

اكتب معادلة المماس للقطع الناقص x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 عند نقاط قيم x تساوي x = 2.

حل

من الضروري العثور على نقاط الظل التي تتوافق مع القيمة x = 2. نعوض في معادلة القطع الناقص الموجودة ونجد ذلك

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

ثم 2 ; 5 3 2 + 5 و 2؛ - 5 3 2 + 5 هي نقاط الظل التي تنتمي إلى نصف القطع الناقص العلوي والسفلي.

دعنا ننتقل إلى إيجاد وحل معادلة القطع الناقص بالنسبة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 + ص - 5 2 25 = 1 ص - 5 2 25 = 1 - س - 3 2 4 (ص - 5) 2 = 25 1 - س - 3 2 4 ص - 5 = ± 5 1 - س - 3 2 4 ص = 5 ± 5 2 4 - س - 3 2

من الواضح أنه يتم تحديد النصف العلوي من القطع الناقص باستخدام دالة بالشكل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2، والنصف السفلي من القطع الناقص y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

دعونا نطبق خوارزمية قياسية لإنشاء معادلة مماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما. دعونا نكتب أن معادلة المماس الأول عند النقطة 2؛ 5 3 2 + 5 سيبدو هكذا

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3) ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ ص = 5 2 3 (س - 2) + 5 3 2 + 5

نجد أن معادلة المماس الثاني بقيمة عند النقطة
2 ; - 5 3 2 + 5 يأخذ الشكل

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + ص 0 ⇔ ص = - 5 2 3 (س - 2) - 5 3 2 + 5

بيانياً، يتم تحديد الظلال على النحو التالي:

الظل إلى المبالغة

عندما يكون للقطع الزائد مركز عند النقطة x c e n t e r ; y c e n t e r والقمم x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r , تحدث المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 إذا كانت ذات رؤوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , ثم يتم تحديده باستخدام المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

يمكن تمثيل القطع الزائد كوظيفتين مدمجتين للنموذج

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r أو y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + أ 2 + y c e n t e r

في الحالة الأولى لدينا أن المماسات موازية لـ y، وفي الحالة الثانية موازية لـ x.

ويترتب على ذلك أنه من أجل العثور على معادلة المماس للقطع الزائد، من الضروري معرفة الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التماس. لتحديد ذلك، من الضروري التعويض في المعادلات والتحقق من الهوية.

مثال 7

اكتب معادلة مماس القطع الزائد x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 عند النقطة 7؛ - 3 3 - 3 .

حل

من الضروري تحويل سجل الحل للعثور على القطع الزائد باستخدام وظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 - ص + 3 2 9 = 1 ⇒ ص + 3 2 9 = س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 2 = 9 س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 = 3 2 س - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

من الضروري تحديد الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التحديدبإحداثيات 7؛ - 3 3 - 3 .

من الواضح أنه للتحقق من الوظيفة الأولى فمن الضروري y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، إذن النقطة لا تنتمي إلى الرسم البياني، لأن المساواة لا تقام.

بالنسبة للدالة الثانية، لدينا y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, مما يعني أن النقطة تنتمي إلى الرسم البياني المعطى. من هنا يجب أن تجد المنحدر.

لقد حصلنا على ذلك

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 × 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

إجابة:يمكن تمثيل معادلة الظل على النحو التالي

ص = - 3 س - 7 - 3 3 - 3 = - 3 س + 4 3 - 3

تم تصويره بوضوح على النحو التالي:

الظل إلى القطع المكافئ

لإنشاء معادلة مماس القطع المكافئ y = a x 2 + b x + c عند النقطة x 0, y (x 0)، يجب عليك استخدام خوارزمية قياسية، ثم ستأخذ المعادلة الشكل y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0). هذا المماس عند الرأس موازي لـ x.

يجب عليك تعريف القطع المكافئ x = a y 2 + b y + c باعتباره اتحاد وظيفتين. ولذلك، علينا حل المعادلة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

x = أ y 2 + ب y + ج ⇔ أ y 2 + ب y + ج - x = 0 د = ب 2 - 4 أ (ج - س) ذ = - ب + ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ y = - ب - ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ

تم تصويره بيانياً على النحو التالي:

لمعرفة ما إذا كانت النقطة x 0, y (x 0) تنتمي إلى دالة، تابع بلطف وفقًا للخوارزمية القياسية. سيكون مثل هذا المماس موازيًا لـ o y بالنسبة إلى القطع المكافئ.

مثال 8

اكتب معادلة المماس للتمثيل البياني x - 2 y 2 - 5 y + 3 عندما يكون لدينا زاوية ظل قدرها 150 درجة.

حل

نبدأ الحل بتمثيل القطع المكافئ كوظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

2 ص 2 - 5 ص + 3 - س = 0 د = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - س) = 49 - 8 س ص = 5 + 49 - 8 س - 4 ص = 5 - 49 - 8 س - 4

قيمة الميل تساوي قيمة المشتق عند النقطة x 0 من هذه الدالة وتساوي ظل زاوية الميل.

نحصل على:

ك س = ص "(س 0) = ر ز α س = ر ز 150 درجة = - 1 3

ومن هنا نحدد قيمة x لنقاط الاتصال.

سيتم كتابة الوظيفة الأولى كـ

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

من الواضح أنه لا توجد جذور حقيقية، لأننا حصلنا على قيمة سالبة. نستنتج أنه لا يوجد مماس بزاوية 150° لمثل هذه الدالة.

سيتم كتابة الوظيفة الثانية كـ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ ص (س 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

لدينا أن نقاط الاتصال هي 23 4 ; - 5 + 3 4 .

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

ص = - 1 3 س - 23 4 + - 5 + 3 4

دعونا نصورها بيانيا بهذه الطريقة:

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

هل تعرف بالفعل ما هو المشتق؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فاقرأ الموضوع أولاً. إذن أنت تقول أنك تعرف المشتق. دعونا التحقق من ذلك الآن. أوجد زيادة الدالة عندما تكون زيادة الوسيطة مساوية لـ. هل تمكنت؟ يجب أن تعمل. الآن أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما. إجابة: . هل نجحت؟ إذا واجهت أي صعوبات مع أي من هذه الأمثلة، أنصحك بشدة بالعودة إلى الموضوع ودراسته مرة أخرى. أعلم أن الموضوع كبير جدًا، لكن بخلاف ذلك لا فائدة من المضي قدمًا. النظر في الرسم البياني لبعض الوظائف:

دعونا نختار نقطة معينة على خط الرسم البياني. دع الإحداثي الإحداثي متساوي. ثم نختار النقطة التي يكون فيها الإحداثي المحوري قريبًا من النقطة؛ إحداثيته هي:

لنرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقاط. يطلق عليه القاطع (تمامًا كما هو الحال في الهندسة). دعونا نشير إلى زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور. وكما هو الحال في علم المثلثات، يتم قياس هذه الزاوية من الاتجاه الموجب للمحور السيني عكس اتجاه عقارب الساعة. ما هي القيم التي يمكن أن تأخذها الزاوية؟ بغض النظر عن كيفية إمالة هذا الخط المستقيم، سيظل نصفه ملتصقًا بالأعلى. وبالتالي فإن أقصى زاوية ممكنة هي , وأقل زاوية ممكنة هي . وسائل، . لم يتم تضمين الزاوية، لأن موضع الخط المستقيم في هذه الحالة يتزامن تمامًا، ومن المنطقي أكثر اختيار زاوية أصغر. لنأخذ نقطة في الشكل بحيث يكون الخط المستقيم موازيًا لمحور الإحداثي المحوري وa هو المحور الإحداثي:

ومن الشكل يتبين أن أ. ثم تكون نسبة الزيادة:

(لأنها مستطيلة).

دعونا تقليله الآن. ثم ستقترب النقطة من النقطة. وعندما تصبح متناهية الصغر، تصبح النسبة مساوية لمشتقة الدالة عند النقطة. ماذا سيحدث للقاطع؟ ستكون النقطة قريبة بشكل لا نهائي من النقطة، بحيث يمكن اعتبارهما نفس النقطة. لكن الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة واحدة فقط مع المنحنى ليس أكثر من الظل(في هذه الحالة، يتم استيفاء هذا الشرط فقط في منطقة صغيرة - بالقرب من النقطة، ولكن هذا يكفي). يقولون أنه في هذه الحالة يأخذ القاطع موقف الحد.

دعنا نسمي زاوية ميل القاطع إلى المحور. ثم اتضح أن المشتق

إنه المشتق يساوي ظل زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

بما أن المماس هو خط، فلنتذكر الآن معادلة الخط:

ما هو المعامل المسؤول عن؟ بالنسبة لمنحدر الخط المستقيم . وهذا ما يطلق عليه: المنحدر. ماذا يعني ذلك؟ والحقيقة أنها تساوي ظل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمحور! إذن هذا ما يحدث:

لكننا حصلنا على هذه القاعدة بالنظر إلى دالة تزايدية. ما الذي سيتغير إذا كانت الدالة تتناقص؟ دعونا نرى:
الآن الزوايا منفرجة. وزيادة الدالة سالبة. لنتأمل مرة أخرى : . وعلى الجانب الآخر،. نحصل على: أي أن كل شيء هو نفس المرة السابقة. دعونا نوجه النقطة مرة أخرى إلى النقطة، وسيتخذ القاطع موضعًا مقيدًا، أي أنه سيتحول إلى مماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. لذلك، دعونا صياغة القاعدة النهائية:
مشتق دالة عند نقطة معينة يساوي ظل زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة، أو (وهو نفسه) ميل هذا المماس:

هذا كل شيء المعنى الهندسي للمشتق.حسنًا، كل هذا مثير للاهتمام، لكن لماذا نحتاجه؟ هنا مثال:
يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة ومماسها عند نقطة الإحداثي المحوري. أوجد قيمة مشتقة الدالة عند نقطة ما.
حل.
وكما تبين لنا مؤخراً، فإن قيمة المشتقة عند نقطة التماس تساوي ميل المماس، والذي بدوره يساوي ظل زاوية ميل هذا المماس لمحور الإحداثي السيني: . هذا يعني أنه لإيجاد قيمة المشتقة، علينا إيجاد ظل الزاوية المماسية. في الشكل، حددنا نقطتين تقعان على المماس، وإحداثياتهما معروفة لنا. لذلك دعونا نكمل بناء مثلث قائم الزاوية يمر بهذه النقاط ونجد ظل الزاوية المماس!

زاوية ميل المماس للمحور هي . لنجد ظل هذه الزاوية : . وبالتالي، فإن مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي.
إجابة:. الآن جرب ذلك بنفسك:

الإجابات:

معرفة المعنى الهندسي للمشتقيمكننا بكل بساطة أن نفسر قاعدة المشتق عند النقطة الحد الأقصى المحليأو الحد الأدنى هو صفر في الواقع، يكون مماس الرسم البياني عند هذه النقاط "أفقيًا"، أي موازيًا للمحور السيني:

ما هي الزاوية بين الخطوط المتوازية؟ بالطبع صفر! وظل الزاوية صفر هو صفر أيضًا. إذن المشتقة تساوي صفرًا:

اقرأ المزيد عن هذا في موضوع "رتابة الوظائف. النقاط القصوى."

الآن دعونا نركز على الظلال التعسفية. لنفترض أن لدينا بعض الوظائف، على سبيل المثال، . لقد رسمنا تمثيله البياني ونريد رسم مماس له عند نقطة ما. على سبيل المثال، عند نقطة ما. نأخذ مسطرة ونعلقها على الرسم البياني ونرسم:

ماذا نعرف عن هذا الخط؟ ما هو أهم شيء يجب معرفته عن الخط الموجود على المستوى الإحداثي؟ لأن الخط المستقيم هو صورة وظيفة خطيةسيكون من السهل جدًا معرفة معادلتها. أي المعاملات في المعادلة

لكننا نعرف بالفعل! هذا هو ميل المماس، وهو يساوي مشتقة الدالة عند تلك النقطة:

في مثالنا سيكون هكذا:

الآن كل ما تبقى هو العثور عليه. إنه أمر سهل مثل قصف الكمثرى: بعد كل شيء - قيمة. بيانياً، هذا هو إحداثي تقاطع الخط المستقيم مع المحور الإحداثي (بعد كل شيء، عند جميع نقاط المحور):

لنرسمه (بحيث يكون مستطيلًا). ثم (إلى نفس الزاوية بين المماس والمحور السيني). ما هي وتساوي؟ ويبين الشكل بوضوح أن أ. ثم نحصل على:

نقوم بدمج جميع الصيغ التي تم الحصول عليها في معادلة الخط المستقيم:

الآن قرر بنفسك:

1. يجد معادلة الظلإلى وظيفة عند نقطة ما.
2. مماس القطع المكافئ يتقاطع مع المحور بزاوية. أوجد معادلة هذا المماس.
3. الخط يوازي مماس الرسم البياني للدالة. أوجد حدود نقطة المماس.
4. الخط يوازي مماس الرسم البياني للدالة. أوجد حدود نقطة المماس.

الحلول والأجوبة:

معادلة المماس للرسم البياني للدالة. وصف موجز والصيغ الأساسية

مشتق الدالة عند نقطة محددة يساوي ظل المماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة، أو ميل هذا المماس:

معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما:

خوارزمية لإيجاد معادلة الظل:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الناس الذين تلقوا التعليم الجيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل مفصل وتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

و في الختام...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!