نظرية عمليات ماركوف العشوائية. عمليات ماركوف العشوائية

نظرية الطابور هي أحد فروع نظرية الاحتمالات. تعتبر هذه النظرية احتماليةالمهام و النماذج الرياضية(قبل ذلك نظرنا في النماذج الرياضية الحتمية). دعونا نذكركم بأن:

النموذج الرياضي الحتمييعكس سلوك كائن (نظام، عملية) من المنظور اليقين الكاملفي الحاضر والمستقبل.

النموذج الرياضي الاحتمالييأخذ في الاعتبار تأثير العوامل العشوائية على سلوك الكائن (النظام، العملية)، وبالتالي يقيم المستقبل من وجهة نظر احتمالية أحداث معينة.

أولئك. هنا، على سبيل المثال، في مشاكل نظرية اللعبة تعتبر في الظروفريبة.

دعونا أولا ننظر في بعض المفاهيم التي تميز "عدم اليقين العشوائي"، عندما تكون العوامل غير المؤكدة المتضمنة في المشكلة عبارة عن متغيرات عشوائية (أو وظائف عشوائية)، تكون خصائصها الاحتمالية معروفة أو يمكن الحصول عليها من التجربة. يُطلق على حالة عدم اليقين هذه أيضًا اسم "مواتية" و "حميدة".

مفهوم العملية العشوائية

بالمعنى الدقيق للكلمة، الاضطرابات العشوائية متأصلة في أي عملية. من الأسهل إعطاء أمثلة على عملية عشوائية بدلاً من إعطاء أمثلة على عملية "غير عشوائية". حتى، على سبيل المثال، فإن عملية تشغيل الساعة (يبدو أنها عمل معايرة بدقة - "يعمل مثل الساعة") تخضع للتغييرات العشوائية (المضي قدما، متخلفة، توقف). ولكن ما دامت هذه الاضطرابات ضئيلة ولها تأثير ضئيل على المعايير التي تهمنا، فيمكننا إهمالها واعتبار العملية حتمية وغير عشوائية.

يجب أن يكون هناك بعض النظام س(جهاز تقني، مجموعة من هذه الأجهزة، النظام التكنولوجي - آلة، موقع، ورشة عمل، مؤسسة، صناعة، إلخ). في النظام سالتسريبات عملية عشوائية، إذا غيرت حالتها مع مرور الوقت (انتقل من حالة إلى أخرى)، علاوة على ذلك، بطريقة عشوائية غير معروفة من قبل.

أمثلة: 1. النظام س– النظام التكنولوجي (قسم الآلة). تتعطل الآلات من وقت لآخر ويتم إصلاحها. العملية التي تجري في هذا النظام عشوائية.

2. النظام س- طائرة تحلق على ارتفاع معين على طول طريق محدد. العوامل المزعجة - الظروف الجوية، وأخطاء الطاقم، وما إلى ذلك، والعواقب - المطبات، وانتهاك جدول الرحلة، وما إلى ذلك.

عملية ماركوف العشوائية

تسمى العملية العشوائية التي تحدث في النظام ماركوفسكي، إذا كان في أي لحظة من الزمن ر 0 الخصائص الاحتمالية لعملية ما في المستقبل تعتمد فقط على حالتها في الوقت الحالي ر 0 ولا تعتمد على متى وكيف وصل النظام إلى هذه الحالة.

دع النظام يكون في حالة معينة في الوقت الحالي t 0 س 0 . نحن نعرف خصائص حالة النظام في الوقت الحاضر، كل ما حدث ومتى ر<ر 0 (تاريخ العملية). هل يمكننا التنبؤ (التنبؤ) بالمستقبل، أي؟ ماذا سيحدث متى ر>ر 0 ؟ ليس بالضبط، ولكن يمكن العثور على بعض الخصائص الاحتمالية للعملية في المستقبل. على سبيل المثال، احتمال أنه بعد مرور بعض الوقت على النظام سسيكون قادر س 1 أو سيبقى على حاله س 0، الخ.

مثال. نظام س- مجموعة من الطائرات المشاركة في القتال الجوي. يترك س- عدد الطائرات "الحمراء"، ذ- عدد الطائرات "الزرقاء". بحلول الوقت ر 0 عدد الطائرات الباقية (التي لم يتم إسقاطها) على التوالي - س 0 ,ذ 0 . نحن مهتمون باحتمال أن يكون التفوق العددي في ذلك الوقت على جانب "الحمر". يعتمد هذا الاحتمال على الحالة التي كان عليها النظام في ذلك الوقت ر 0، وليس متى وبأي تسلسل مات هؤلاء الذين أسقطوا حتى هذه اللحظة ر 0 طائرات.

في الممارسة العملية، يقوم ماركوف بمعالجة شكل نقيعادة لم يتم العثور عليها. ولكن هناك عمليات يمكن إهمال تأثير "ما قبل التاريخ" فيها. وعند دراسة مثل هذه العمليات يمكن استخدام نماذج ماركوف (نظرية الطابور لا تأخذ في الاعتبار أنظمة الطابور ماركوف، ولكن الجهاز الرياضي الذي يصفها أكثر تعقيدا بكثير).

في بحوث العمليات أهمية عظيمةلديك عمليات ماركوف العشوائية ذات الحالات المنفصلة والوقت المستمر.

تسمى العملية عملية الدولة المنفصلة، إذا كانت حالاتها ممكنة س 1 ,س 2، ... يمكن تحديده مسبقًا، ويحدث انتقال النظام من حالة إلى حالة "في قفزة" على الفور تقريبًا.

تسمى العملية عملية زمنية مستمرةإذا لم يتم تحديد لحظات التحولات المحتملة من حالة إلى أخرى مسبقًا، ولكنها غير مؤكدة وعشوائية ويمكن أن تحدث في أي لحظة.

مثال. النظام التكنولوجي (القسم) سيتكون من جهازين، كل منهما لحظة عشوائيةقد يفشل الوقت (يفشل)، وبعد ذلك يبدأ إصلاح الوحدة على الفور، ويستمر أيضًا لفترة عشوائية غير معروفة. حالات النظام التالية ممكنة:

س 0 - كلا الجهازين يعملان؛

س 1 - يتم إصلاح الجهاز الأول، والثاني يعمل؛

س 2 - يتم إصلاح الجهاز الثاني، الأول يعمل؛

س 3- جاري تصليح الجهازين .

انتقالات النظام سمن حالة إلى أخرى تحدث على الفور تقريبًا، في لحظات عشوائية عندما يتعطل جهاز معين أو يتم الانتهاء من الإصلاح.

عند تحليل العمليات العشوائية ذات الحالات المنفصلة، ​​من الملائم استخدام مخطط هندسي - الرسم البياني للدولة. رؤوس الرسم البياني هي حالات النظام. أقواس الرسم البياني - التحولات المحتملة من الحالة إلى

رسم بياني 1. الرسم البياني لحالة النظام

ولاية. على سبيل المثال، يظهر الرسم البياني للحالة في الشكل 1.

ملحوظة. التحول من الدولة س 0 بوصة س 3 لم يتم الإشارة إليها في الشكل، لأن من المفترض أن الآلات تفشل بشكل مستقل عن بعضها البعض. نحن نهمل إمكانية الفشل المتزامن لكلا الجهازين.

تطورها بعد أي قيمة معينة لمعلمة الوقت ر (\displaystyle t)لا يعتمد على التطور الذي سبقه ر (\displaystyle t)بشرط أن تكون قيمة العملية في هذه اللحظة ثابتة («مستقبل» العملية لا يعتمد على «الماضي» بـ«حاضر» معروف؛ تفسير آخر (وينتزل): «مستقبل» العملية يعتمد على "الماضي" فقط من خلال "الحاضر").

يوتيوب الموسوعي

1 / 3

المحاضرة 15: عمليات ماركوف العشوائية

أصل سلاسل ماركوف

نموذج عملية ماركوف المعمم

ترجمات

قصة

الخاصية التي تحدد عملية ماركوف تسمى عادة ماركوفيان؛ تمت صياغته لأول مرة من قبل أ. أ. ماركوف، الذي بدأ في أعمال عام 1907 بدراسة تسلسل الاختبارات التابعة والمبالغ المرتبطة بها المتغيرات العشوائية. يُعرف هذا الخط من البحث بنظرية سلسلة ماركوف.

تم وضع أسس النظرية العامة لعمليات ماركوف المستمرة بواسطة كولموجوروف.

ملكية ماركوف

الحالة العامة

يترك (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- المساحة الاحتمالية مع التصفية (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))على بعض (أمرت جزئيا) مجموعة ت (\displaystyle T); دعها تذهب (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- مساحة قابلة للقياس. عملية عشوائية X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T))، المحددة في مساحة الاحتمالية التي تمت تصفيتها، تعتبر مرضية ملكية ماركوف، إذا لكل ا ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))و الصورة , ر ∈ تي: الصورة< t {\displaystyle s,t\in T:s,

P (X t ∈ A | F s) = P (X t ∈ A | X s) . (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s))=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )

عملية ماركوفهي عملية عشوائية ترضي ملكية ماركوفمع الترشيح الطبيعي.

لسلاسل ماركوف المنفصلة

لو س (\displaystyle S)هي مجموعة منفصلة و T = N (\displaystyle T=\mathbb (N))ويمكن إعادة صياغة التعريف:

P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\dots , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).

مثال على عملية ماركوف

لنفكر في مثال بسيط لعملية ماركوف العشوائية. تتحرك النقطة بشكل عشوائي على طول محور الإحداثي السيني. عند الزمن صفر، تكون النقطة عند نقطة الأصل وتبقى هناك لمدة ثانية واحدة. بعد ثانية، يتم إلقاء عملة معدنية - إذا تم إسقاط شعار النبالة، فإن النقطة X تحرك وحدة طول واحدة إلى اليمين، إذا كان الرقم - إلى اليسار. وبعد ثانية، يتم رمي العملة مرة أخرى ويتم إجراء نفس الحركة العشوائية، وهكذا. إن عملية تغيير موضع نقطة ما ("المشي") هي عملية عشوائية ذات وقت منفصل (t=0، 1، 2، ...) ومجموعة قابلة للعد من الحالات. تسمى هذه العملية العشوائية ماركوف، نظرًا لأن الحالة التالية للنقطة تعتمد فقط على الحالة الحالية (الحالية) ولا تعتمد على الحالات السابقة (لا يهم بأي طريقة وفي أي وقت وصلت النقطة إلى الإحداثي الحالي) .

عملية ماركوف

عملية بدون تأثير لاحق - عملية عشوائية,تطوره بعد أي قيمة معينة للمعلمة الزمنية t لا يعتمد على التطور الذي سبقه ر،بشرط أن تكون قيمة العملية في ذلك ثابتة (باختصار: "مستقبل" و"ماضي" العملية لا يعتمد كل منهما على الآخر بـ "حاضر" معروف).

عادة ما تسمى الخاصية التي تحدد المجال المغناطيسي ماركوفيان. تمت صياغته لأول مرة بواسطة A. A. Markov. ومع ذلك، بالفعل في عمل L. Bachelier، يمكنك رؤية محاولة لتفسير البراوني كمجال مغناطيسي، وهي محاولة تم تبريرها بعد بحث N. Wiener (N. Wiener، 1923). تم وضع أسس النظرية العامة للعمليات المغناطيسية المستمرة بواسطة A. N. Kolmogorov.

ملكية ماركوف. هناك تعريفات لـ M. تختلف اختلافًا كبيرًا عن بعضها البعض، ومن أكثر التعريفات شيوعًا ما يلي. دع عملية عشوائية ذات قيم من مساحة قابلة للقياس تعطى على مساحة احتمالية حيث ت -مجموعة فرعية من المحور الحقيقي Let الإقليم الشمالي(على التوالى الإقليم الشمالي).هناك جبر في الناتجة عن الكميات X(s).at أين بعبارة أخرى، الإقليم الشمالي(على التوالى الإقليم الشمالي) هي مجموعة من الأحداث المرتبطة بتطور العملية حتى اللحظة t (تبدأ من t) . تسمى العملية X(t). عملية ماركوف إذا (من شبه المؤكد) أن خاصية ماركوف تنطبق على الجميع:

أو ما هو نفسه، إذا كان لأي شيء

M. p.، والتي يوجد لها T في مجموعة الأعداد الطبيعية، تسمى. سلسلة ماركوف(ومع ذلك، غالبًا ما يرتبط المصطلح الأخير بحالة E المعدودة على الأكثر) . إذا كانت الفترة أكثر من معدودة، يتم استدعاء M. سلسلة ماركوف الزمنية المستمرة. يتم توفير أمثلة على العمليات المغناطيسية المستمرة من خلال عمليات الانتشار والعمليات ذات الزيادات المستقلة، بما في ذلك عمليات بواسون ووينر.

وفيما يلي، للتأكيد، سنتحدث فقط عن هذه القضية توفر الصيغتان (1) و (2) تفسيرًا واضحًا لمبدأ استقلال "الماضي" و"المستقبل" في ضوء "الحاضر" المعروف، ولكن تبين أن تعريف M. بناءً عليهما ليس مرنًا بدرجة كافية في تلك المواقف العديدة عندما يكون من الضروري النظر ليس في شرط واحد، بل في مجموعة من الشروط من النوع (1) أو (2)، المقابلة لتدابير مختلفة، على الرغم من الاتفاق عليها بطريقة معينة. وقد أدت الاعتبارات من هذا النوع إلى اعتماد التعريف التالي (انظر).

دع ما يلي:

أ) حيث يحتوي جبر الصورة على جميع مجموعات النقطة الواحدة في E؛

ب) قابلة للقياس ومجهزة بعائلة من الجبر بحيث إذا

الخامس) (" ") س ر = سر(ث) , تحديد أي رسم خرائط قابل للقياس

د) لكل وقياس الاحتمال على الجبر مثل هذه الوظيفة قابلة للقياس بالنسبة إلى إذا و

مجموعة من الأسماء (غير منتهية) تم تحديد عملية ماركوف في حالة -بالتأكيد تقريبًا

مهما كان هنا - فضاء الأحداث الأولية - فضاء الطور أو فضاء الحالة، P( ق، س، ر، V)- وظيفة الانتقالأو احتمالية انتقال العملية X(t) . إذا تم منح E طوبولوجيا، وهو عبارة عن مجموعة من مجموعات بوريل ه،فمن المعتاد أن نقول أن M. p. مذكور في ه.عادة، يتضمن تعريف M. p. شرط ذلك ثم يتم تفسيره على أنه احتمال، بشرط ذلك س س = س.

السؤال الذي يطرح نفسه: هل كل دالة انتقال ماركوف P( س، س;تلفزيون), يمكن اعتبارها دالة انتقالية معينة في مساحة قابلة للقياس كدالة انتقالية لفضاء M. تكون الإجابة إيجابية إذا، على سبيل المثال، E عبارة عن مساحة مضغوطة محليًا قابلة للفصل، وهي عبارة عن مجموعة من مجموعات بوريل في ه.علاوة على ذلك، دعونا ه -متري كامل الفضاء والسماح

لأي شخص حيث
a هو مكمل الحي الإلكتروني لنقطة ما X.ومن ثم يمكن اعتبار المجال المغناطيسي المقابل مستمرًا على اليمين وله حدود على اليسار (أي يمكن اختيار مساراته على هذا النحو). يتم ضمان وجود مجال مغناطيسي مستمر من خلال الحالة عند (انظر، ). في نظرية العمليات الميكانيكية، يتم إيلاء الاهتمام الرئيسي للعمليات المتجانسة (في الوقت المناسب). يفترض التعريف المقابل نظامًا معينًا أشياءأ) - د) مع اختلاف المعلمات s و u التي ظهرت في وصفها، يُسمح الآن فقط بالقيمة 0. كما تم تبسيط التدوين:

علاوة على ذلك، يُفترض تجانس الفضاء W، أي أنه مطلوب لأي شيء كان هناك شيء من هذا القبيل (ث) بسبب ذلك، على جبر الصورة ن،أصغر جبر في W يحتوي على أي حدث من النموذج تم تحديد مشغلي التحول الزمني q روالتي تحافظ على عمليات الاتحاد والتقاطع والطرح للمجموعات والتي

مجموعة من الأسماء (غير منتهية) عملية ماركوف المتجانسة المحددة في حالة -من المؤكد تقريبًا

لوظيفة الانتقال للعملية X(t).يعتبر P( ر، س، الخامس)، وما لم تكن هناك تحفظات خاصة، فإنها تتطلب بالإضافة إلى ذلك أنه من المفيد أن نضع في الاعتبار أنه عند التحقق من (4) يكفي النظر فقط في مجموعات النموذج حيث وذلك في (٤) دائمًا قدميمكن استبداله بجبر s يساوي تقاطع الإكمالات قدملجميع القياسات الممكنة، وفي كثير من الأحيان، يتم تثبيت مقياس الاحتمال m ("الأولي") ويتم أخذ دالة ماركوف العشوائية بعين الاعتبار أين هو المقياس الذي تعطى به المساواة

م.ص دعا. قابلة للقياس تدريجيًا إذا كانت الدالة لكل t > 0 تؤدي إلى قياس قابل للقياس حيث يوجد جبر s

مجموعات بوريل الفرعية في . يمكن قياس النواب المستمرين بشكل تدريجي. هناك طريقة لاختزال الحالة غير المتجانسة إلى حالة متجانسة (انظر)، وفيما يلي سنتحدث عن النواب المتجانسين.

بشكل صارم.دع مساحة قابلة للقياس تعطى بواسطة م.

يتم استدعاء الدالة لحظة ماركوف,لو للجميع في هذه الحالة، ينتمون إلى عائلة F t إذا كان في (غالبًا ما يتم تفسير F t على أنها مجموعة من الأحداث المرتبطة بتطور X(t) حتى اللحظة t). للاعتقاد

قابلة للقياس تدريجيا M. p.Xnaz. بدقة عملية ماركوف (s.m.p.)، إذا كان لأي لحظة ماركوف م وجميع والنسبة

(خاصية ماركوف بدقة) تحمل بشكل شبه مؤكد على مجموعة W t . عند التحقق (5)، يكفي النظر فقط في مجموعات النموذج حيث في هذه الحالة، مساحة S. m هي، على سبيل المثال، أي مساحة Feller M. متصلة قائمة في طوبولوجية. فضاء ه.م.ص دعا. عملية فيلر ماركوف إذا كانت الوظيفة

يكون مستمرًا عندما يكون f مستمرًا ومحدودًا.

في الصف مع. النائب يتم تمييز بعض الفئات الفرعية. دع ماركوفيان P( ر، س، الخامس), محددة في مساحة مترية مدمجة محليا ه،المستمر عشوائيا:

لأي حي U من كل نقطة. ثم إذا أخذ المشغلون في أنفسهم وظائف مستمرة وتختفي عند اللانهاية، فإن الوظائف P( ر، س، الخامس) يفي بمعيار M. p. X،أي: مستمرة على اليمين مع. النائب، والتي

و - على الأرجح على الكثيرين a هي لحظات بماركوف التي لا تتناقص مع النمو.

إنهاء عملية ماركوف.في كثير من الأحيان جسدية من المستحسن وصف الأنظمة التي تستخدم مجالًا مغناطيسيًا غير منتهٍ، ولكن فقط على فترة زمنية ذات طول عشوائي. بالإضافة إلى ذلك، حتى التحولات البسيطة للعمليات المغناطيسية يمكن أن تؤدي إلى عملية ذات مسارات محددة على فترات عشوائية (انظر. وظيفيمن عملية ماركوف). واسترشادًا بهذه الاعتبارات، تم تقديم مفهوم النائب المعطل.

اسمحوا أن يكون MP متجانسًا في مساحة الطور وله وظيفة انتقالية وليكن هناك نقطة ووظيفة بحيث إذا وخلاف ذلك (إذا لم تكن هناك شروط خاصة، فكر في ). مسار جديد xt(ث) محدد فقط لـ) عن طريق المساواة أ قدمالمحددة كما في المجموعة

تعيين أين مُسَمًّى عن طريق عملية ماركوف الإنهاء (o.m.p.)، والتي تم الحصول عليها عن طريق الإنهاء (أو القتل) في الوقت z. تسمى القيمة z لحظة الاستراحة، أو زمن الحياة، o. mp مساحة الطور للعملية الجديدة هي المكان الذي يوجد فيه أثر لجبر s ه.وظيفة الانتقال س. النائب هو تقييد لمجموعة تسمى العملية X(t). عملية ماركوف الصارمة، أو عملية ماركوف القياسية، إذا كانت تحتوي على الخاصية المقابلة.يمكن اعتبار MP غير المنتهي بمثابة o. النائب مع لحظة الاستراحة غير المتجانسة o. يتم تحديد النائب بطريقة مماثلة. م.

عمليات ماركوف و.ترتبط النواب من نوع الحركة البراونية ارتباطًا وثيقًا بالمعادلات التفاضلية المكافئة. يكتب. الانتقال ص (ق، س، ر، ص) من عملية الانتشار يرضي، في ظل بعض الافتراضات الإضافية، المعادلات التفاضلية العكسية والمباشرة لكولموغوروف:

الدالة ع( ق، س، ر، ص.هي دالة جرين للمعادلات (6) - (7)، واعتمدت أولى الطرق المعروفة لبناء عمليات الانتشار على نظريات حول وجود هذه الدالة للمعادلات التفاضلية (6) - (7). لعملية موحدة الوقت L( س، س)= ل(خ). على وظائف سلسة يتزامن مع الخاصية. المشغل M. ص (انظر مشغل الانتقال شبه المجموعة).

الرياضيات. تعمل توقعات الوظائف المختلفة من عمليات الانتشار كحلول لمشاكل القيمة الحدودية المقابلة المعادلة التفاضلية(1). دع - رياضي. التوقع عند القياس ثم تفي الوظيفة عند س المعادلة (6) والشرط

وكذلك الدالة

يرضي مع س معادلة

والحالة و2( ت، س) = 0.

دع tt تكون لحظة الوصول إلى الحدود لأول مرة دمنطقة مسار العملية ثم، في ظل ظروف معينة، الوظيفة

يفي بالمعادلة

ويأخذ القيم cp على المجموعة

حل مسألة القيمة الحدية الأولى للقطع المكافئ الخطي العام. معادلات من الدرجة الثانية

في ظل افتراضات عامة إلى حد ما يمكن كتابتها في النموذج

في حالة وجود L ووظائف ق، فلا تعتمد على س،تمثيل مشابه للرقم (9) ممكن أيضًا لحل الشكل الإهليلجي الخطي. المعادلات بتعبير أدق، الوظيفة

في ظل افتراضات معينة هناك مشاكل

في الحالة التي يتدهور فيها العامل L (del b( س، س) = 0 ).أو دليست "جيدة" بما فيه الكفاية؛ قد لا يتم قبول قيم الحدود بواسطة الوظائف (9)، (10) عند نقاط فردية أو في مجموعات كاملة. مفهوم نقطة الحدود العادية للمشغل لله تفسير احتمالي. عند النقاط المنتظمة للحدود، يتم تحقيق القيم الحدودية بواسطة الدوال (9)، (10). يتيح لنا حل المشكلات (8)، (11) دراسة خصائص عمليات الانتشار المقابلة ووظائفها.

هناك طرق لبناء النواب لا تعتمد على بناء حلول للمعادلتين (6)، (7) على سبيل المثال. طريقة المعادلات التفاضلية العشوائية,تغيير مستمر تمامًا في القياس، وما إلى ذلك. هذا الظرف، جنبًا إلى جنب مع الصيغ (9)، (10)، يسمح لنا ببناء ودراسة خصائص مشاكل القيمة الحدودية للمعادلة (8)، وكذلك خصائص حل الاهليلجيه المقابلة. المعادلات

نظرًا لأن حل المعادلة التفاضلية العشوائية غير حساس لانحطاط المصفوفة b( س، س)، الذي - التيتم استخدام الطرق الاحتمالية لبناء حلول لتدهور المعادلات التفاضلية الإهليلجية والقطع المكافئ. إن توسيع مبدأ المتوسط ​​لـ N. M. Krylov و N. N. Bogolyubov إلى المعادلات التفاضلية العشوائية جعل من الممكن، باستخدام (9)، الحصول على النتائج المقابلة للمعادلات التفاضلية الإهليلجية والمكافئة. اتضح أنه من الممكن حل بعض المشاكل الصعبة لدراسة خصائص حلول المعادلات من هذا النوع بمعلمة صغيرة عند المشتق الأعلى باستخدام الاعتبارات الاحتمالية. إن حل مشكلة القيمة الحدية الثانية للمعادلة (6) له أيضًا معنى احتمالي. ترتبط صياغة مشاكل القيمة الحدودية للمجال غير المحدود ارتباطًا وثيقًا بتكرار عملية الانتشار المقابلة.

في حالة العملية المتجانسة زمنيا (L لا تعتمد على s)، فإن الحل الإيجابي للمعادلة، حتى ثابت مضاعف، يتزامن في ظل افتراضات معينة مع كثافة التوزيع الثابتة لـ MP. كما تتحول الاعتبارات الاحتمالية إلى تكون مفيدة عند النظر في مشاكل القيمة الحدودية للقطع المكافئ غير الخطي. المعادلات. ر.3. قاسمينسكي.

أشعل.: ماركوف أ.أ.، "إزفستيا. جمعية الفيزياء-الرياضيات بجامعة كازان"، 1906، المجلد 15، العدد 4، ص. 135-56؛ V asheli e r L.، "Ann. scient. Ecolenorm، super."، 1900، v. 17، ص. 21-86؛ Kolmogorov A.N.، "Math. Ann."، 1931، Bd 104، S. 415-458؛ روس. ترجمة - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk"، 1938، القرن. 5، ص. 5-41؛ جون كاي لاي، سلاسل ماركوف المتجانسة، العابرة. من الإنجليزية، م.، 1964؛ R e 1 1 e r W.، "Ann. Math."، 1954، v. 60، ص. 417-36؛ Dynkin E.B., Yushkevich A.A.، "نظرية الاحتمالية وتطبيقاتها"، 1956، المجلد الأول، القرن. 1، ص. 149-55؛ Xant J.-A.، عمليات وإمكانات ماركوف، عبر. من الإنجليزية، م.، 1962؛ D e l la sher i K.، القدرات والعمليات العشوائية، العابرة. من الفرنسية، م.، 1975؛ Dynk وE.V.، أسس نظرية عمليات ماركوف، M.، 1959؛ له، عمليات ماركوف، م.، 1963؛ G and h man I. I., S k o r o x o d A. V.، نظرية العمليات العشوائية، المجلد 2، م، 1973؛ فريدلين إم آي، في كتاب: نتائج العلوم. نظرية الاحتمالات، . - نظري. 1966، م.، 1967، ص. 7-58؛ X a sminskiy R. 3.، "نظرية الاحتمالية وتطبيقاتها،" 1963، المجلد 8، في

عملية ماركوف- عملية عشوائية منفصلة أو مستمرة X(t)، والتي يمكن تحديدها بالكامل باستخدام كميتين: الاحتمال P(x,t) أن المتغير العشوائي x(t) في الوقت t يساوي x والاحتمال P(x2, t2½x1t1) أن ... ... القاموس الاقتصادي الرياضي

عملية ماركوف- عملية عشوائية منفصلة أو مستمرة X(t)، والتي يمكن تحديدها بالكامل باستخدام كميتين: الاحتمال P(x,t) أن المتغير العشوائي x(t) في الوقت t يساوي x والاحتمال P(x2) ، t2؟x1t1) أنه إذا كان x عند t = t1... ... دليل المترجم الفني

نوع خاص مهم من العمليات العشوائية. مثال على عملية ماركوف هو اضمحلال مادة مشعة، حيث أن احتمال اضمحلال ذرة معينة خلال فترة زمنية قصيرة لا يعتمد على مسار العملية في الفترة السابقة.... ... قاموس موسوعي كبير - حالة عملية ماركوفو T sritis automatika atitikmenys: engl. عملية ماركوف vok. ماركوبروزيس، م روس. عملية ماركوف، م؛ عملية ماركوف، م برانك. عملية ماركوفيان، م … Automatikos terminų žodynas

عملية ماركوف- حالة ماركوفو فيكسماس T sritis fizika atitikmenys: engl. عملية ماركوف عملية ماركوفيان VOK. ماركو بروزيس، م؛ ماركوشر بروزيس، م روس. عملية ماركوف، م؛ عملية ماركوف، م برانك. عملية ماركوف، م؛ Processus Marcovien، m؛… … Fizikos terminų žodynas

نوع خاص مهم من العمليات العشوائية. مثال على عملية ماركوف هو اضمحلال مادة مشعة، حيث أن احتمال اضمحلال ذرة معينة خلال فترة زمنية قصيرة لا يعتمد على مسار العملية في الفترة السابقة.... ... القاموس الموسوعي

نوع خاص مهم من العمليات العشوائية (انظر العملية العشوائية)، والتي لها أهمية كبيرة في تطبيقات نظرية الاحتمالات لمختلف فروع العلوم الطبيعية والتكنولوجيا. مثال على العملية المغناطيسية هو اضمحلال مادة مشعة. ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

اكتشاف رائع في مجال الرياضيات تم إجراؤه عام 1906 على يد العالم الروسي أ.أ. ماركوف.

تعتبر الافتراضات حول طبيعة بواسون لتدفق الطلبات وحول التوزيع الأسي لوقت الخدمة ذات قيمة لأنها تسمح لنا بتطبيق جهاز ما يسمى بعمليات ماركوف العشوائية في نظرية الطابور.

تسمى العملية التي تحدث في نظام فيزيائي بعملية ماركوف (أو عملية بدون تأثير لاحق) إذا كان احتمال حدوث أي حالة من حالات النظام في المستقبل يعتمد فقط على حالة النظام في الوقت الحالي ولا يحدث في كل لحظة من الزمن. لا تعتمد على كيفية وصول النظام إلى هذه الحالة.

لنفكر في مثال أولي لعملية ماركوف العشوائية. تتحرك النقطة بشكل عشوائي على طول محور الإحداثي السيني. وفي اللحظة الزمنية تكون النقطة عند نقطة الأصل وتبقى هناك لمدة ثانية واحدة. وبعد ثانية، تم رمي قطعة نقود؛ إذا سقط شعار النبالة، تتحرك النقطة بوحدة طول واحدة إلى اليمين، إذا تحرك الرقم إلى اليسار. وبعد ثانية، يتم رمي العملة مرة أخرى ويتم إجراء نفس الحركة العشوائية، وما إلى ذلك. إن عملية تغيير موضع نقطة ما (أو كما يقولون، "المشي") هي عملية عشوائية ذات وقت منفصل ومجموعة قابلة للعد من الدول

يظهر الشكل رسمًا تخطيطيًا للتحولات المحتملة لهذه العملية. 19.7.1.

دعونا نبين أن هذه العملية هي ماركوفيان. في الواقع، دعونا نتخيل أنه في وقت ما، يكون النظام، على سبيل المثال، في حالة - وحدة واحدة على يمين نقطة الأصل. المواضع المحتملة للنقطة بعد وحدة زمنية ستكون باحتمالات 1/2 و1/2؛ من خلال وحدتين - ، ، باحتمالات 1/4، ½، 1/4 وهكذا. من الواضح أن كل هذه الاحتمالات تعتمد فقط على مكان تواجد النقطة في لحظة معينة، وهي مستقلة تمامًا عن كيفية وصولها إلى هناك.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. يوجد جهاز تقني يتكون من عناصر (أجزاء) من أنواع ولها متانة مختلفة. يمكن أن تفشل هذه العناصر في أوقات عشوائية وبشكل مستقل عن بعضها البعض. يعد التشغيل السليم لكل عنصر ضروريًا للغاية لتشغيل الجهاز ككل. إن زمن التشغيل الخالي من الأخطاء لعنصر ما هو متغير عشوائي يتم توزيعه وفقًا لقانون أسي؛ لأن عناصر النوع ومعلمات هذا القانون مختلفة ومتساوية على التوالي. في حالة فشل الجهاز، يتم اتخاذ الإجراءات على الفور لتحديد الأسباب ويتم استبدال العنصر المعيب المكتشف على الفور بعنصر جديد. يتم توزيع الوقت اللازم لاستعادة (إصلاح) الجهاز وفقًا لقانون أسي مع المعلمة (في حالة فشل عنصر من النوع) و (في حالة فشل عنصر من النوع).

في هذا المثال، العملية العشوائية التي تحدث في النظام هي عملية ماركوف ذات زمن مستمر ومجموعة محدودة من الحالات:

جميع العناصر في حالة جيدة، والنظام يعمل،

عنصر الكتابة معيب، ويجري إصلاح النظام،

عنصر الكتابة معيب، ويجري إصلاح النظام.

يظهر الرسم التخطيطي للتحولات المحتملة في الشكل. 19.7.2.

في الواقع، العملية لديها خاصية ماركوف. لنفترض، على سبيل المثال، أن النظام في حالة (وظيفية) في الوقت الحالي. نظرًا لأن وقت التشغيل الخالي من الفشل لكل عنصر يعد مؤشرًا، فإن لحظة فشل كل عنصر في المستقبل لا تعتمد على مدة عمله بالفعل (عند تسليمه). لذلك، فإن احتمال بقاء النظام في حالة ما في المستقبل أو تركه لا يعتمد على "ما قبل التاريخ" للعملية. لنفترض الآن أنه في الوقت الحالي يكون النظام في الحالة (عنصر النوع معيب). نظرًا لأن وقت الإصلاح يعد أيضًا مؤشرًا، فإن احتمال إكمال الإصلاح في أي وقت بعد ذلك لا يعتمد على وقت بدء الإصلاح وموعد تسليم العناصر المتبقية (الصالحة للخدمة). وبالتالي، فإن العملية ماركوفيان.

لاحظ أن التوزيع الأسي لوقت تشغيل العنصر والتوزيع الأسي لوقت الإصلاح هما شرطان أساسيان، وبدونهما لن تكون العملية ماركوفية. في الواقع، لنفترض أن وقت التشغيل السليم للعنصر لا يتم توزيعه وفقًا لقانون أسي، ولكن وفقًا لقانون آخر - على سبيل المثال، وفقًا لقانون الكثافة الموحدة في المنطقة. وهذا يعني أن كل عنصر مضمون للعمل لفترة من الزمن، وفي القسم من إليه يمكن أن يفشل في أي لحظة بنفس كثافة الاحتمالية. لنفترض أن العنصر يعمل بشكل صحيح في وقت ما. من الواضح أن احتمال فشل عنصر ما في وقت ما في المستقبل يعتمد على المدة التي مضت منذ تثبيت العنصر، أي أنه يعتمد على التاريخ السابق، ولن تكون العملية ماركوفية.

الوضع مشابه مع وقت الإصلاح؛ إذا لم يكن ذلك إرشاديًا ويتم إصلاح العنصر في الوقت الحالي، فإن وقت الإصلاح المتبقي يعتمد على وقت البدء؛ العملية لن تكون ماركوفيان مرة أخرى.

بشكل عام، يلعب التوزيع الأسي دورًا خاصًا في نظرية عمليات ماركوف العشوائية ذات الزمن المستمر. من السهل التحقق من أنه في عملية ماركوف الثابتة، يتم دائمًا توزيع الوقت الذي يبقى فيه النظام في أي حالة وفقًا للقانون الأسي (مع معلمة تعتمد، بشكل عام، على هذه الحالة). في الواقع، لنفترض أن النظام في هذه اللحظة هو في حالة وكان عليه منذ بعض الوقت من قبل. وفقا لتعريف عملية ماركوف، فإن احتمال وقوع أي حدث في المستقبل لا يعتمد على التاريخ السابق؛ على وجه الخصوص، لا ينبغي أن يعتمد احتمال مغادرة النظام لحالة ما خلال فترة زمنية على مقدار الوقت الذي قضاه النظام بالفعل في تلك الحالة. وبالتالي فإن الزمن الذي يبقى فيه النظام في الدولة يجب أن يتم توزيعه وفق قانون أسي.

في الحالة التي تكون فيها العملية التي تحدث في نظام فيزيائي مع مجموعة معدودة من الحالات والوقت المستمر ماركوفيان، يمكن وصف هذه العملية باستخدام المعادلات التفاضلية العادية التي تكون فيها الوظائف غير المعروفة هي احتمالات الحالة. سنوضح تجميع هذه المعادلات وحلها فيما يلي باستخدام مثال نظام الطابور البسيط.

العملية العشوائية هي مجموعة أو عائلة من المتغيرات العشوائية التي يتم فهرسة قيمها بواسطة معلمة زمنية. على سبيل المثال، عدد الطلاب في الفصل الدراسي، أو الضغط الجوي، أو درجة الحرارة في ذلك الفصل الدراسي كدالة للوقت هي عمليات عشوائية.

تُستخدم العمليات العشوائية على نطاق واسع في دراسة الأنظمة العشوائية المعقدة كنماذج رياضية مناسبة لعمل هذه الأنظمة.

المفاهيم الأساسية للعمليات العشوائية هي المفاهيم حالة العمليةو انتقالعليه من دولة إلى أخرى.

يتم استدعاء قيم المتغيرات التي تصف العملية العشوائية في وقت معين حالةعشوائيعملية. تقوم العملية العشوائية بالانتقال من حالة إلى أخرى إذا تغيرت قيم المتغيرات التي تحدد حالة واحدة إلى قيم تحدد حالة أخرى.

يمكن أن يكون عدد الحالات المحتملة (مساحة الحالة) لعملية عشوائية محدودًا أو لا نهائيًا. إذا كان عدد الحالات المحتملة محدودًا أو قابلاً للعد (يمكن تعيين أرقام تسلسلية لجميع الحالات المحتملة)، فسيتم استدعاء العملية العشوائية عملية مع حالات منفصلة. على سبيل المثال، يتم وصف عدد العملاء في المتجر، وعدد العملاء في البنك خلال اليوم من خلال عمليات عشوائية ذات حالات منفصلة.

إذا كانت المتغيرات التي تصف عملية عشوائية يمكن أن تأخذ أي قيم من فترة مستمرة منتهية أو لا نهائية، وبالتالي فإن عدد الحالات غير قابل للعد، ثم تسمى العملية العشوائية عملية مع الدول المستمرة. على سبيل المثال، درجة حرارة الهواء أثناء النهار هي عملية عشوائية ذات حالات مستمرة.

تتميز العمليات العشوائية ذات الحالات المنفصلة بالانتقالات المفاجئة من حالة إلى أخرى، بينما في العمليات ذات الحالات المستمرة تكون التحولات سلسة. علاوة على ذلك، سننظر فقط في العمليات ذات الحالات المنفصلة، ​​والتي يتم استدعاؤها غالبًا السلاسل.

دعونا نشير بواسطة ز(ر) هي عملية عشوائية ذات حالات منفصلة وقيم محتملة ز(ر)، أي. الحالات المحتملة للدائرة - من خلال الرموز ه 0 , ه 1 , ه 2 , … . في بعض الأحيان يتم استخدام الأرقام 0، 1، 2،... من السلسلة الطبيعية للإشارة إلى الحالات المنفصلة.

عملية عشوائية ز(ر) يسمى عمليةمعمنفصلةوقت، إذا كانت عمليات انتقال العملية من حالة إلى أخرى ممكنة فقط في لحظات زمنية محددة بدقة ومحددة مسبقًا ر 0 , ر 1 , ر 2 , … . إذا كان انتقال العملية من حالة إلى حالة ممكنًا في أي نقطة زمنية غير معروفة مسبقًا، فسيتم استدعاء عملية عشوائية عمليةمع المستمروقت. في الحالة الأولى، من الواضح أن الفترات الزمنية بين التحولات حتمية، وفي الثانية هي متغيرات عشوائية.

تحدث عملية الوقت المنفصل إما عندما يكون هيكل النظام الموصوف في هذه العملية بحيث لا يمكن أن تتغير حالاته إلا في نقاط زمنية محددة مسبقًا، أو عندما يُفترض أنه يكفي لوصف العملية (النظام) معرفة الدول في نقاط معينة من الزمن. ثم يمكن ترقيم هذه اللحظات والحديث عن الدولة ه أنافي وقت معين ر أنا .

يمكن تصوير العمليات العشوائية ذات الحالات المنفصلة على أنها رسم بياني للانتقالات (أو الحالات)، حيث تتوافق القمم مع الحالات، وتتوافق الأقواس الموجهة مع التحولات من حالة إلى أخرى. إذا من الدولة ه أناالانتقال إلى دولة واحدة فقط ممكن ه ي، فإن هذه الحقيقة تنعكس على الرسم البياني الانتقالي بواسطة قوس موجه من الرأس ه أناإلى الأعلى ه ي(الشكل 1، أ). تنعكس التحولات من حالة واحدة إلى عدة حالات أخرى ومن عدة حالات إلى حالة واحدة في الرسم البياني للانتقال، كما هو مبين في الشكل 1، ب و1، ج.