Решете уравнението на Бернули. Линейни диференциални уравнения от първи ред и уравнението на Бернули

Диференциалното уравнение на Бернули е уравнение от вида

където n≠0,n≠1.

Това уравнение може да бъде пренаредено чрез заместване

V линейно уравнение

На практика диференциално уравнениеБернули обикновено не води до линейно уравнение, но веднага се решава, като се използват същите методи като линейното уравнение - или методът на Бернули, или методът на вариация на произволна константа.

Нека да разгледаме как да решим диференциалното уравнение на Бернули, като използваме заместването y=uv (метод на Бернули). Схемата на решение е същата като за .

Примери. Решете уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Това е диференциалното уравнение на Бернули. Нека го доведем до стандартна форма. За да направите това, разделете двете части на x: y’+y/x=-y². Тук p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но ние не се нуждаем от него за решаване стандартен изглед. Ще работим с формата за запис, дадена в условието.

1) Замяна y=uv, където u=u(x) и v=v(x) са някои нови функции на x. Тогава y’=(uv)’=u’v+v’u. Заместваме получените изрази в условието: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Нека отворим скобите: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Сега нека групираме членовете с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (не докосваме члена със степен v, който е от дясната страна на уравнението). Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула: u’x+u=0. И това е уравнение с разделими променливи u и x. След като го решим, ще ви намерим. Заменяме u=du/dx и разделяме променливите: x·du/dx=-u. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на xu≠0:

(когато намираме u C го приемаме равно на нула).

3) В уравнение (I) заместваме =0 и намерената функция u=1/x. Имаме уравнението: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². След опростяване: v’=-(1/x)·v². Това е уравнение с разделими променливи v и x. Заменяме v’=dv/dx и разделяме променливите: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаваме двете страни на уравнението по dx и разделяме на v²≠0:

(взехме -C, за да се отървем от минуса, като умножим двете страни по -1). И така, умножете по (-1):

(може да се вземе не C, а ln│C│ и в този случай ще бъде v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Нека се уверим, че това е уравнението на Бернули. Разделяйки двете части на 2, получаваме y’+y=(x/2) y². Тук p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаваме уравнението по метода на Бернули.

1) Замяна y=uv, y’=u’v+v’u. Заменяме тези изрази в първоначалното условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Отворете скобите: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Сега нека групираме термините, съдържащи v: +2v’u=xu²v² (II). Изискваме изразът в скоби да е равен на нула: 2u’+2u=0, следователно u’+u=0. Това е разделимо уравнение за u и x. Нека го решим и да те намерим. Заменяме u’=du/dx, от където du/dx=-u. Като умножим двете страни на уравнението по dx и разделим на u≠0, получаваме: du/u=-dx. Нека интегрираме:

3) Заместете в (II) =0 и

Сега заместваме v’=dv/dx и разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Лявата страна на равенството е табличен интеграл, интегралът от дясната страна се намира с помощта на формулата за интегриране по части:

Замествайки намерените v и du с помощта на формулата за интегриране по части, имаме:

И тъй като

Нека направим C=-C:

4) Тъй като y=uv, заместваме намерените функции u и v:

3) Интегрирайте уравнението x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Нека разделим двете страни на уравнението на x²(x-1)≠0 и преместим члена с y² в дясната страна:

Това е уравнението на Бернули

1) Замяна y=uv, y’=u’v+v’u. Както обикновено, заместваме тези изрази в първоначалното условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Следователно x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Групираме термините, съдържащи v (v² - не пипайте):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, следователно x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнението разделяме променливите u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на x²(x-1)u≠0:

От лявата страна на уравнението е табличен интеграл. Рационална дробот дясната страна трябва да разложите на прости дроби:

Когато x=1: 1-2=A·0+B·1, откъдето B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откъдето A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Според свойствата на логаритмите: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откъдето u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) заместваме =0 и u=x²/(x-1). Получаваме: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, заместител:

вместо C вземаме - C, така че, като умножим двете части по (-1), се отърваваме от минусите:

Сега нека намалим изразите от дясната страна до общ знаменател и намерим v:

4) Тъй като y=uv, замествайки намерените функции u и v, получаваме:

Примери за самотест:

1) Нека се уверим, че това е уравнението на Бернули. Разделяйки двете страни на x, имаме:

1) Замяна y=uv, откъдето y’=u’v+v’u. Заменяме тези y и y’ в първоначалното условие:

2) Групирайте термините с v:

Сега изискваме изразът в скоби да е равен на нула и намираме u от това условие:

Нека интегрираме двете страни на уравнението:

3) В уравнение (*) заместваме =0 и u=1/x²:

Нека интегрираме двете страни на полученото уравнение.

Уравнение от вида y' + P(x)y = Q(x), където P(x) и Q(x) са известни функции на x, линейни по отношение на функцията y и нейната производна y', се нарича линейно диференциално уравнение от първи ред.

Ако q(x)=0, уравнението се нарича линейно хомогенно уравнение. q(x)=0 – линейно нехомогенно уравнение.

Едно линейно уравнение се свежда до две уравнения с разделими променливи, като се използва заместването y = u*v, където u = u(x) и v = v(x) са някои спомагателни непрекъснати функции.

И така, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

след това пренаписваме оригиналното уравнение във формата: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Тъй като неизвестната функция y се търси като произведение на две функции, едната от тях може да бъде избрана произволно, другата може да бъде определена чрез уравнение (2).

Нека изберем така, че v’ + P(x)*v = 0 (3). За това е достатъчно v(x) да бъде частично решение на уравнение (3) (при C = 0). Нека намерим това решение:

V*P(x); = -;ln |v| = -;v = (4)

Замествайки функция (4) в уравнение (2), получаваме второ уравнение с разделими променливи, от което намираме функцията u(x):

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u = +C (5)

Накрая получаваме:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Уравнение на Бернули:г’ + г = х* г 3

Това уравнение има формата: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), където P(x) и Q(x) са непрекъснати функции.

Ако n = 0, тогава уравнението на Бернули става линейно диференциално уравнение. Ако n = 1, уравнението става разделимо уравнение.

Като цяло, когато n ≠ 0, 1, екв. Бернули се свежда до линейно диференциално уравнение чрез заместване: z = y 1- n

Новото диференциално уравнение за функцията z(x) има формата: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и може да бъде решено по същите начини като линейните диференциали. Уравнения от 1-ви ред.

20. Диференциални уравнения от по-високи редове.

Нека разгледаме уравнението, което не съдържа изрично функцията:

Редът на това уравнение се намалява с единица чрез заместване:

Наистина, тогава:

И получаваме уравнение, в което редът е намален с единица:

разл. уравнения с порядък по-висок от втория имат формата и , където са реални числа и функцията f(x)непрекъснат на интервала на интегриране х.

Не винаги е възможно такива уравнения да се решат аналитично и обикновено се използват приблизителни методи. Въпреки това, в някои случаи е възможно да се намери общо решение.

Теорема.

Общо решение г 0 линейно хомогенно диференциално уравнение на интервала хс включени непрекъснати коефициенти хе линейна комбинация нлинейно независими частични решения на LODE с произволно постоянни коефициенти , това е .

Теорема.

Общо решение глинеен нееднороден диференциал

уравнения на интервала хс непрекъснати на същото

между хкоефициенти и функция f(x)представлява сумата

Където г 0 е общото решение на съответния LODE и е някакво конкретно решение на оригиналния LODE.

По този начин общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение с константи

търси коефициенти във формата , където - някои

неговото лично решение и – общо решение на съответния хомогенен диференциал

уравнения

21. Тестове и събития. Видове събития. Примери.

Тестването е създаването на определен набор от условия за възникване на събития. Пример: хвърляне на зарове

Събитие – настъпване/ненастъпване на един или друг резултат от теста; резултат от тест. Пример: хвърляне на числото 2

Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи по време на даден тест. Пример: хвърляне на число, по-голямо от 5

Надеждно - събитие, което неизбежно се случва по време на даден тест. Пример: хвърляне на число, по-голямо или равно на 1

Възможно - събитие, което може да се случи по време на даден тест. Пример: хвърляне на числото 6

Невъзможно - събитие, което не може да се случи по време на даден тест. Пример: хвърляне на числото 7

Нека А е някакво събитие. Под противоположно на него събитие ще разбираме събитие, състоящо се в ненастъпване на събитие А. Обозначение: Ᾱ. Пример: A – хвърля се число 2, Ᾱ – хвърля се всяко друго число

Събития A и B са несъвместими, ако появата на едно от тях изключва появата на другото в същия опит. Пример: получаване на числата 1 и 3 в едно хвърляне.

Събития А и Б се наричат ​​съвместни, ако могат да се появят в един опит. Пример: получаване на число, по-голямо от 2, и число 4 при едно и също хвърляне.

22. Пълна група от събития. Примери.

Пълна група от събития - събития A, B, C, D, ..., L, които се считат за единствено възможни, ако в резултат на всеки тест поне едно от тях определено ще се случи. Пример: число 1, число 2, 3, 4, 5, 6 се появяват на зара.

23. Честота на събитията. Статистическа дефиниция на вероятността.

Нека се извършат n теста и събитие А се появи m пъти. Това съотношение m:n е честотата на възникване на събитие А.

Деф. Вероятността за случайно събитие е постоянно число, свързано с дадено събитие, около което честотата на възникване на това събитие варира в дълги серии от тестове.

Вероятността се изчислява преди експеримента, а честотата след него.

24. Класическа дефиниция на вероятността. Свойства на вероятността за събитие.

Вероятността за събитие x е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитие А, към общия брой на всички еднакво възможни по двойки несъвместими и уникално възможни резултати от експеримента. P(A) =

Свойства на вероятността на събитието:

За всяко събитие A 0<=m<=n

Разделяйки всеки член на n, получаваме за вероятността за всяко събитие A: 0<=Р(А) <=1

Ако m=0, тогава събитието е невъзможно: P(A)=0

Ако m=n, тогава събитието е надеждно: P(A)=1

Ако m

25. Геометрична дефиниция на вероятността. Примери.

Класическата дефиниция на вероятността изисква разглеждане на краен брой елементарни резултати и еднакво възможни. Но на практика често има тестове, при които броят на възможните резултати е безкраен.

ОПР. Ако точка случайно се появи в едномерна, двумерна или триизмерна област с мярка S (мярка е нейната дължина, площ или обем), тогава вероятността тя да се появи в част от тази област с мярка S е равна да се

където S е геометрична мярка, изразяваща общото число всички възможни и еднакво възможнирезултатите от този процес и S аз– мярка, изразяваща броя на резултатите, благоприятни за събитие А.

Пример 1.Окръжност с радиус R е поставена в по-малка окръжност с радиус r. Намерете вероятността точка, хвърлена произволно в по-голямата окръжност, също да попадне в малката окръжност.

Пример 2.Нека сегмент с дължина l бъде включен в сегмент с дължина L. Намерете вероятността за събитие А „произволно хвърлена точка пада върху сегмент с дължина l“.

Пример 3. В кръга произволно се избира точка. Каква е вероятността разстоянието му до центъра на кръга да е по-голямо от половината?

Пример 4.Двамата се уговорили да се видят на определено място между два и три часа следобед. Първият пристигнал изчаква другия 10 минути и след това си тръгва. Каква е вероятността тези лица да се срещнат, ако всеки от тях може да пристигне по всяко време на посочения час, независимо от другия?

26. Елементи на комбинаториката: Поставяне, пермутация, комбинации.

1) Пермутациясе нарича редът, установен в крайно множество.

Броят на всички различни пермутации се изчислява по формулата

2) Поставянеот нелементи от мнаречено каквото и да било подреден подмножество на основното множество, съдържащо m елемента.

3) Комбинацияот нелементи от мнаречено каквото и да било безпорядък подмножество на основното множество, съдържащо елементи.

Диференциалното уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n се нарича Уравнение на Бернули.
Тъй като при n=0 се получава линейно уравнение, а при n=1 - с разделими променливи, приемаме, че n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделяме двете страни на (1) на y n. Тогава, поставяйки , имаме . Замествайки този израз, получаваме , или, което е същото, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Това е линейно уравнение, което знаем как да решим.

Цел на услугата. За проверка на решението може да се използва онлайн калкулатор Диференциални уравнения на Бернули.

=

Пример 1. Намерете общото решение на уравнението y" + 2xy = 2xy 3. Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете страни на уравнението на y 3, получаваме. Направете промяна. Тогава и следователно уравнението се пренаписва като -z " + 4xz = 4x. Решавайки това уравнение чрез метода на вариация на произволна константа, получаваме където или, което е същото, .

Пример 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Разделете на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Правим замяна:
z=1/y n-1, т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Получаваме: -z" + z = -1 или z" - z = 1

Пример 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение чрез уравнението на Бернули.
Нека го представим във формата: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Това е уравнението на Бернули за n=3. Разделяйки двете страни на уравнението на y 3, получаваме: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Правим замяната: z=1/y 2. Тогава z"=-2/y 3 и следователно уравнението се пренаписва във формата: -xz"/2+2z=-x 5 e x. Това е нехомогенно уравнение. Разгледайте съответното хомогенно уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решавайки го, получаваме: z"=4z/x

Интегрирайки, получаваме:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Сега търсим решение на първоначалното уравнение във формата: y(x) = C(x)x 4, y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрирайки, получаваме: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
От условието y(x)=C(x)y, получаваме: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x. Тъй като z=1/y 2, получаваме: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Уравнение на Бернулие един от най-известните нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Написано е във формата

Където а(х) И b(х) са непрекъснати функции. Ако м= 0, тогава уравнението на Бернули става линейно диференциално уравнение. В случай, когато м= 1, уравнението става разделимо уравнение. Като цяло, когато м≠ 0,1, уравнението на Бернули се свежда до линейно диференциално уравнение с помощта на заместването

Ново диференциално уравнение за функцията z(х) има формата

и може да се реши с помощта на методите, описани на страницата Линейни диференциални уравнения от първи ред.

МЕТОД НА БЕРНУЛИ.

Разглежданото уравнение може да се реши по метода на Бернули. За да направим това, ние търсим решение на първоначалното уравнение под формата на произведение на две функции: където u, v- функции от х. Диференцирайте: Заместете в оригиналното уравнение (1): (2) Като vНека вземем всяко ненулево решение на уравнението: (3) Уравнение (3) е уравнение с разделими променливи. След като намерихме конкретното му решение v = v(x), заместете го в (2). Тъй като удовлетворява уравнение (3), изразът в скоби става нула. Получаваме: Това също е разделимо уравнение. Намираме неговото общо решение, а с него и решението на първоначалното уравнение y = uv.

64. Уравнение в общи диференциали. Интегриращ фактор. Методи за решаване

Диференциално уравнение от първи ред на формата

Наречен уравнение в общи диференциали, ако лявата му страна представлява общия диференциал на някаква функция, т.е.

Теорема.За да бъде уравнение (1) уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно в някаква просто свързана област на промяна на променливите да е изпълнено условието

Общият интеграл на уравнение (1) има формата или

Пример 1. Решете диференциално уравнение.

Решение. Нека проверим дали това уравнение е общо диференциално уравнение:

така че условие (2) е изпълнено. По този начин това уравнение е уравнение в общите диференциали и

следователно, където все още е недефинирана функция.

Интегрирайки, получаваме. Частната производна на намерената функция трябва да бъде равна на, което дава от къде, така че Така,.

Общ интеграл на първоначалното диференциално уравнение.

При интегрирането на някои диференциални уравнения членовете могат да бъдат групирани по такъв начин, че да се получат лесно интегрируеми комбинации.

65. Обикновени диференциални линейни уравнения от по-високи редове: хомогенни и нехомогенни. Линеен диференциален оператор, неговите свойства (с доказателство).

Линеен диференциален оператор и неговите свойства.Наборът от функции, имащи на интервала ( а , b ) не по-малко н производни, образува линейно пространство. Помислете за оператора Л н (г ), който показва функцията г (х ), имащи производни, във функция, имаща к - н производни.

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение, което е линейно по отношение на неизвестна функция и нейната производна. Изглежда като

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

където p(x) и q(x) са дадени функции на x, непрекъснати в областта, в която уравнение (1) трябва да бъде интегрирано.

Ако q(x)\equiv0 , тогава се извиква уравнение (1). линеен хомогенен. Това е разделимо уравнение и има общо решение

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Може да се намери общото решение на нехомогенното уравнение метод на вариация на произволна константа, което се състои в това, че решението на уравнение (1) се търси във вида

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), където C(x) е нова неизвестна функция на x.

Пример 1.Решете уравнението y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Решение.Нека използваме метода на постоянната вариация. Разгледайте хомогенното уравнение y"+2xy=0, съответстващо на това нехомогенно уравнение. Това е уравнение с разделими променливи. Общото му решение има формата y=Ce^(-x^2) .

Търсим общо решение на нехомогенното уравнение във формата y=C(x)e^(-x^2), където C(x) е неизвестна функция на x. Замествайки, получаваме C"(x)=2x, откъдето C(x)=x^2+C. Така че общото решение на нехомогенното уравнение ще бъде y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , където C - константа на интегриране.

Коментирайте.Може да се окаже, че диференциалното уравнение е линейно по x като функция на y. Нормалната форма на такова уравнение е

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Пример 2.Решете уравнението \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Решение.Това уравнение е линейно, ако разгледаме x като функция на y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Използваме метода на вариация на произволна константа. Първо решаваме съответното хомогенно уравнение

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

което е уравнение с разделими променливи. Общото му решение има формата x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Търсим общо решение на уравнението във формата x=C(y)e^(\sin(y)), където C(y) е неизвестна функция на y. Замествайки, получаваме

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yили C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

От тук, интегрирайки по части, имаме

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(подравнено)

Така,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Като заместим това уравнение в x=C(y)e^(\sin(y)) , получаваме общо решение на първоначалното уравнение и следователно на това уравнение:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Оригиналното уравнение може също да се интегрира както следва. Ние вярваме

Y=u(x)v(x),

където u(x) и v(x) са неизвестни функции на x, една от които, например v(x), може да бъде избрана произволно.

Замествайки y=u(x)v(x) в , след трансформация получаваме

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Определяйки v(x) от условието v"+pv=0, след това намираме от vu"+(pv+v")u=q(x) функцията u(x) и, следователно, решението y=uv на уравнението \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Като v(x) можем да вземем всяко често решение на уравнението v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Пример 3.Решете проблема на Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Решение.Търсим общо решение на уравнението във формата y=u(x)v(x) ; имаме y"=u"v+uv". Като заместим израза за y и y" в оригиналното уравнение, ще имаме

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Намираме функцията v=v(x) от условието x(x-1)v"+v=0. Вземаме всяко конкретно решение на последното уравнение, например v=\frac(x)(x-1) и замествайки го, получаваме уравнението u"=2x-1, от което намираме функцията u(x)=x^2-x+C. Следователно общото решение на уравнението x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ще

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),или y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Използвайки началното условие y|_(x=2)=4, получаваме уравнението за намиране на C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, от където C=0 ; така че решението на поставената задача на Коши ще бъде функцията y=x^2.

Пример 4.Известно е, че има връзка между тока i и електродвижещата сила E във верига със съпротивление R и самоиндуктивност L E=Ri+L\frac(di)(dt), където R и L са константи. Ако разгледаме E като функция на времето t, получаваме линейно нехомогенно уравнение за силата на тока i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Намерете силата на тока i(t) за случая, когато E=E_0=\текст(конст)и i(0)=I_0.

Решение.Ние имаме \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Общото решение на това уравнение има формата i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Използвайки началното условие (13), получаваме от C=I_0-\frac(E_0)(R), така че желаното решение ще бъде

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Това показва, че при t\to+\infty силата на тока i(t) клони към постоянна стойност \frac(E_0)(R) .

Пример 5.Дадено е семейство C_\alpha от интегрални криви на линейното нехомогенно уравнение y"+p(x)y=q(x).

Покажете, че допирателните в съответните точки към кривите C_\alpha, определени от линейното уравнение, се пресичат в една точка (фиг. 13).

Решение.Разгледайте допирателната към всяка крива C_\alpha в точката M(x,y). Уравнението на допирателната в точката M(x,y) има формата

\eta-q(x)(\xi-x)=y, където \xi,\eta са текущите координати на допирателната точка.

По дефиниция в съответните точки x е константа, а y е променлива. Вземайки произволни две допирателни към правите C_\alpha в съответните точки, за координатите на точката S на тяхното пресичане, получаваме

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Това показва, че всички допирателни към кривите C_\alpha в съответните точки (x е фиксирано) се пресичат в една и съща точка

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Елиминирайки аргумента x в системата, получаваме уравнението на геометричното място на точките S\колон f(\xi,\eta)=0.

Пример 6.Намерете решението на уравнението y"-y=\cos(x)-\sin(x), отговарящи на условието: y е ограничено при y\to+\infty .

Решение.Общото решение на това уравнение е y=Ce^x+\sin(x) . Всяко решение на уравнението, получено от общото решение за C\ne0, ще бъде неограничено, тъй като за x\to+\infty функцията \sin(x) е ограничена и e^x\to+\infty . От това следва, че това уравнение има уникално решение y=\sin(x) , ограничено при x\to+\infty , което се получава от общото решение при C=0 .

Уравнение на Бернули

Диференциалното уравнение на Бернулиизглежда като

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, където n\ne0;1 (за n=0 и n=1 това уравнение е линейно).

Използване на замяна на променливи z=\frac(1)(y^(n-1))Уравнението на Бернули се свежда до линейно уравнение и се интегрира като линейно.

Пример 7.Решете уравнението на Бернули y"-xy=-xy^3.

Решение.Разделете двете страни на уравнението на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Извършване на промяна на променлива \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", където \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). След заместване последното уравнение се превръща в линейно уравнение

-\frac(z")(2)-xz=-xили z"+2xz=2x, общото решение на което е z=1+Ce^(-x^2).

От тук получаваме общия интеграл на това уравнение

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)или y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Коментирайте.Уравнението на Бернули може също да бъде интегрирано чрез метода на вариация на константа, като линейно уравнение, и като се използва заместването y(x)=u(x)v(x) .

Пример 8.Решете уравнението на Бернули xy"+y=y^2\ln(x). .

Решение.Нека приложим метода на вариация на произволна константа. Общото решение на съответното хомогенно уравнение xy"+y=0 има формата y=\frac(C)(x). Търсим общото решение на уравнението във формата y=\frac(C(x)) (x) , където C(x) - нова неизвестна функция.Замествайки в оригиналното уравнение, ще имаме

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

За да намерим функцията C(x), получаваме уравнение с разделими променливи, от което чрез разделяне на променливите и интегриране намираме

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

И така, общото решение на първоначалното уравнение y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Някои нелинейни уравнения от първи ред могат да бъдат редуцирани до линейни уравнения или уравнения на Бернули, като се използва успешно намерена промяна на променливи.

Пример 9.Решете уравнението y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Решение.Нека запишем това уравнение във формата y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Разделяйки двете страни на уравнението на 2\cos^2\frac(y)(2), получаваме \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\име на оператор(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Замяна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))намалява това уравнение до линейно \frac(dz)(dx)+z=-x, общото решение на което е z=1-x+Ce^(-x) .

Заменяйки z с израза му чрез y, получаваме общия интеграл на това уравнение \име на оператора(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

В някои уравнения желаната функция y(x) може да бъде под знака на интеграла. В тези случаи понякога е възможно да се намали това уравнение до диференциално уравнение чрез диференциране.

Пример 10.Решете уравнението x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Решение.Диференцирайки двете страни на това уравнение по отношение на х, получаваме

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (х)или Източник на информация