У дома Устна кухина Намерете общото решение и го напишете по отношение на fsr. Намерете общото решение на системата и fsr

Устна кухина

Намерете общото решение и го напишете по отношение на fsr. Намерете общото решение на системата и fsr

Хомогенна система линейни уравнениянад полето

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментална система от решения на система от уравнения (1) е непразна линейно независима система от нейните решения, чийто линеен обхват съвпада с множеството от всички решения на система (1).

Имайте предвид, че хомогенна система от линейни уравнения, която има само нулево решение, няма фундаментална система от решения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Всякакви две фундаментални системи от решения на хомогенна система от линейни уравнения се състоят от еднакъв брой решения.

Доказателство. Всъщност, всеки две основни системи от решения на хомогенната система от уравнения (1) са еквивалентни и линейно независими. Следователно, съгласно предложение 1.12, техните рангове са равни. Следователно броят на решенията, включени в едно фундаментална система, е равен на броя на решенията, включени във всяка друга фундаментална система от решения.

Ако основната матрица A на хомогенната система от уравнения (1) е нула, тогава всеки вектор от е решение на система (1); в този случай всяка колекция е линейна независими векторина е фундаментална система от решения. Ако колонният ранг на матрица A е равен на , то системата (1) има само едно решение – нула; следователно в този случай системата от уравнения (1) няма фундаментална система от решения.

ТЕОРЕМА 3.12. Ако рангът на основната матрица на хомогенна система от линейни уравнения (1) е по-малък от броя на променливите, тогава системата (1) има фундаментална система от решения, състояща се от решения.

Доказателство. Ако рангът на главната матрица A на хомогенната система (1) е равен на нула или , тогава беше показано по-горе, че теоремата е вярна. Следователно по-долу се приема, че Приемайки , ще приемем, че първите колони на матрица A са линейно независими. В този случай матрица A е редово еквивалентна на редуцирана стъпаловидна матрица, а система (1) е еквивалентна на следната редуцирана стъпаловидна система от уравнения:

Лесно е да се провери, че всяка система от свободни стойности системни променливи(2) съответства на едно и само едно решение на система (2) и следователно на система (1). По-специално, само нулевото решение на система (2) и система (1) съответства на система от нулеви стойности.

В система (2) ще присвоим един от свободните стойност на променливите, равно на 1, а останалите променливи имат нулеви стойности. В резултат на това получаваме решения на системата от уравнения (2), които записваме под формата на редове от следната матрица C:

Системата от редове на тази матрица е линейно независима. Наистина, за всякакви скалари от равенството

следва равенството

и следователно равенство

Нека докажем, че линейният обхват на системата от редове на матрицата C съвпада с множеството от всички решения на система (1).

Произволно решение на система (1). След това векторът

също е решение на система (1) и

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!

За да разбере какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урок за същия пример, като щракнете. Сега да преминем към описанието на цялото необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по-подробно същността на този въпрос.

Как да намерим основната система от решения на линейно уравнение?

Да вземем за пример следната система от линейни уравнения:

Нека намерим решението на тази линейна система от уравнения. Да започнем с това, ние трябва да напишете матрицата на коефициента на системата.

Нека трансформираме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(11)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(21)$, трябва да извадите първия от втория ред и да напишете разликата във втория ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първия от третия ред и да напишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(41)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(22)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(32)$, трябва да извадите второто умножено по 2 от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(42)$, трябва да извадите второто, умножено по 2, от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(52)$, трябва да извадите секундата, умножена по 3, от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третото от четвъртото и петото, те ще станат нула.

Според тази матрица записвам нова системауравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние трябва да преместим последните две неизвестни надясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, чрез тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $x_3$, след това заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $x_2$, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $x_1$. Така изразихме всички неизвестни, които са от лявата страна, чрез неизвестните, които са от дясната страна.

Тогава, вместо $x_4$ и $x_5$, можем да заместим произволни числа и да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Всеки пет от тези числа ще бъдат корените на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите векторите, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $x_4$ и да заменим 0 вместо $x_5$, да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и след това обратното $x_4=0$ и $x_5=1$.

Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техническите техники, ще има много нова информация, затова се опитайте да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и, прилагане обратен ходМетодът на Гаус е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има просто тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(В в такъв случай 3) равна на броя на променливите (в случая – 3 броя).

Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:

– основни променливи;
– свободни променливи.

Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

– заместване в 1-вото уравнение:

По този начин, общо решение:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тримата получаваме третия вектор:

Отговор: , Където

Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да разгледат триплетите и да получат отговора в еквивалентна форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.

Второ решение:

Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:

Нарича се система от линейни уравнения, в която всички свободни членове са равни на нула хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица е по-малък от броя на нейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, при които системата има нетривиални решения, и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аИ z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки второстепенната като основа:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Вярвайки z=4а, получаваме

Наборът от всички решения на една хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако колони X 1 и Х 2 - решения на хомогенна система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха х 1 + б х 2 също ще бъде решение на тази система. Наистина, тъй като БРАВИЛА 1 = 0 И БРАВИЛА 2 = 0 , Че А(а х 1 + б х 2) = а БРАВИЛА 1 + б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкраен брой от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , E k, които са решения на хомогенна система, се наричат фундаментална система от решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, Че к = н-р.

Пример 5.7.Намерете основната система от решения следваща системалинейни уравнения:

Решение. Нека намерим ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение н-р= 5 - 2 = 3. Нека изберем минор като основа

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (преместваме останалите, така наречените свободни променливи вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Вярвайки х 3 = а, х 4 = b, х 5 = ° С, намираме

, .

Вярвайки а= 1, b = c= 0, получаваме първото основно решение; вярвайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; вярвайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат на това нормалната фундаментална система от решения ще приеме формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенна система може да бъде написано като

х = аЕ 1 + бъда 2 + cE 3. а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенна система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = б, И Y- общо решение на разнородна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. следователно Y-Y 0 = х, или Y=Y 0 + х. Q.E.D.

Нека нееднородната система има формата AX = B 1 + б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = б 1 и AX 2 = б 2. Това свойство изразява универсалното свойство на всяко линейни системи(алгебрични, диференциални, функционални и др.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на суперпозиция. Например, в теорията на линейните електрически вериги, токът във всяка верига може да се получи като алгебрична сума на токовете, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от броя на неизвестните:

Фундаментална система от решения хомогенна система
наричаме система от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

Където
- произволни константи. С други думи, цялостното решение е линейна комбинация от основната система от решения.

По този начин основни решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни се даде стойност на единица на свой ред, като всички останали се определят като нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Нека приемем, тогава получаваме решение във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

Общото решение ще бъде написано като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения интересува математиците от няколко века. Първите резултати са получени през 18 век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът за последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпкова (или триъгълна) форма. Такива системи позволяват последователното намиране на всички неизвестни в определен ред.

Да приемем, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение едно по едно по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която във всички уравнения с изключение на първото няма да има неизвестни х 1

(2)

Нека сега умножим второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемем, че

и добавяйки го с по-ниските, елиминираме променливата от всички уравнения, започвайки от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпка, която получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е противоречиво и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо повече от ранга на матрицата на системата (1).