Решете система от линейни уравнения с матрица. Как да решим система от уравнения с помощта на матричния метод

Нека помислим система от линейни алгебрични уравнения(SLAU) относително ннеизвестен х 1 , х 2 , ..., х н :

Тази система в „свита“ форма може да бъде написана по следния начин:

С н i=1 а ij х й = б i , i=1,2, ..., n.

В съответствие с правилото за умножение на матрицата, разглежданата система линейни уравненияможе да се пише в матрична форма Ax=b, Където

, ,.

Матрица А, чиито колони са коефициентите за съответните неизвестни, а редовете са коефициентите за неизвестните в съответното уравнение се нарича матрица на системата. Матрица на колони b, чиито елементи са десните части на уравненията на системата, се нарича дясна матрица или просто дясната страна на системата. Матрица на колони х , чиито елементи са неизвестните неизвестни, се нарича системно решение.

Система от линейни алгебрични уравнения, записани във формата Ax=b, е матрично уравнение.

Ако системната матрица неизродени, тогава тя има обратна матрицаи след това решението на системата Ax=bсе дава по формулата:

х=А -1 b.

ПримерРешете системата матричен метод.

Решениенека намерим обратната матрица за матрицата на коефициента на системата

Нека изчислим детерминантата, като разширим първия ред:

Тъй като Δ ≠ 0 , Че А -1 съществува.

Обратната матрица е намерена правилно.

Нека намерим решение на системата

следователно х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3 .

Преглед:

7. Теоремата на Кронекер-Капели за съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения.

Система от линейни уравненияима формата:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тук са дадени a i j и b i (i = ; j = ), а x j са неизвестни реални числа. Използвайки концепцията за произведение на матрици, можем да пренапишем системата (5.1) във формата:

където A = (a i j) е матрица, състояща се от коефициенти за неизвестните на системата (5.1), която се нарича матрица на системата, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T са колонни вектори, съставени съответно от неизвестни x j и свободни членове b i .

Поръчана колекция нреални числа (c 1, c 2,..., c n) се нарича системно решение(5.1), ако в резултат на заместване на тези числа вместо съответните променливи x 1, x 2,..., x n, всяко уравнение на системата се превръща в аритметично тъждество; с други думи, ако има вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такъв, че AC  B.

Извиква се система (5.1). става,или разрешим,ако има поне едно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразрешим, ако няма решения.

,

образувана чрез присвояване на колона от свободни членове към дясната страна на матрицата A се нарича разширена матрица на системата.

Въпросът за съвместимостта на системата (5.1) се решава със следната теорема.

Теорема на Кронекер-Капели . Една система от линейни уравнения е непротиворечива тогава и само тогава, когато ранговете на матриците A иA съвпадат, т.е. r(A) = r(A) = r.

За множеството M от решения на система (5.1) има три възможности:

1) M =  (в този случай системата е непоследователна);

2) M се състои от един елемент, т.е. системата има уникално решение (в този случай системата се нарича определени);

3) M се състои от повече от един елемент (тогава системата се нарича несигурен). В третия случай системата (5.1) има безкраен брой решения.

Системата има единствено решение само ако r(A) = n. В този случай броят на уравненията не е по-малък от броя на неизвестните (mn); ако m>n, тогава m-n уравненияса следствие от другите. Ако 0

За да решите произволна система от линейни уравнения, трябва да можете да решавате системи, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните - т.нар. Системи тип Крамер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системите (5.3) се решават по един от следните начини: 1) методът на Гаус или методът на елиминиране на неизвестни; 2) по формулите на Крамер; 3) матричен метод.

Пример 2.12. Разгледайте системата от уравнения и я решете дали е последователна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение.Изписваме разширената матрица на системата:

 .

Нека изчислим ранга на основната матрица на системата. Очевидно е, че например минорът от втори ред в горния ляв ъгъл = 7  0; съдържащите го минори от трети ред са равни на нула:

Следователно рангът на основната матрица на системата е 2, т.е. r(A) = 2. За да изчислите ранга на разширената матрица A, помислете за граничния минор

това означава, че рангът на разширената матрица r(A) = 3. Тъй като r(A)  r(A), системата е непоследователна.

В първата част разгледахме теоретичен материал, метода на заместване, както и метода на почленно събиране на системни уравнения. Препоръчвам на всички, които са влезли в сайта през тази страница, да прочетат първата част. Може би някои посетители ще намерят материала за твърде прост, но в процеса на решаване на системи от линейни уравнения направих редица много важни коментари и заключения относно решаването на математическите задачи като цяло.

Сега ще анализираме правилото на Крамър, както и решаването на система от линейни уравнения с помощта на обратна матрица (матричен метод). Всички материали са представени просто, подробно и ясно; почти всички читатели ще могат да се научат как да решават системи, използвайки горните методи.

Първо, ще разгледаме по-отблизо правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. За какво? – В края на краищата най-простата система може да бъде решена с помощта на училищния метод, метода на добавяне на член по член!

Факт е, че макар и понякога се случва такава задача - да се реши система от две линейни уравнения с две неизвестни по формулите на Крамър. Второ, един по-прост пример ще ви помогне да разберете как да използвате правилото на Крамър за по-сложен случай - система от три уравнения с три неизвестни.

Освен това има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.

Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти:
И

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинска буква.

Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:
,

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Решение: Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Как да решим такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

;

;

Отговор: ,

И двата корена имат безкрайни опашки и се намират приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за иконометрични проблеми.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Когато използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: „Това означава, че системата има уникално решение“. В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.

Пример 8

Представете отговора в обикновени неправилни дроби. Направете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами (пример за окончателния дизайн и отговора в края на урока).

Нека преминем към разглеждане на правилото на Крамър за система от три уравнения с три неизвестни:

Намираме основната детерминанта на системата:

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамер няма да помогне; трябва да използвате метода на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още три детерминанти:
, ,

И накрая, отговорът се изчислява по формулите:

Както можете да видите, случаят "три по три" не се различава по същество от случая "два по два"; колоната от свободни термини последователно "ходи" отляво надясно по колоните на основната детерминанта.

Пример 9

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Решение: Нека решим системата с помощта на формулите на Крамер.

, което означава, че системата има уникално решение.

Отговор: .

Всъщност и тук няма какво специално да коментираме, поради факта, че решението следва готови формули. Но има няколко коментара.

Случва се в резултат на изчисления да се получат „лоши“ нередуцируеми дроби, например: .
Препоръчвам следния алгоритъм за „лечение“. Ако нямате компютър под ръка, направете следното:

1) Възможно е да има грешка в изчисленията. Веднага щом срещнете „лоша“ фракция, незабавно трябва да проверите Правилно ли е пренаписано условието?. Ако условието е пренаписано без грешки, тогава трябва да преизчислите детерминантите, като използвате разширение в друг ред (колона).

2) Ако в резултат на проверката не са идентифицирани грешки, най-вероятно е имало печатна грешка в условията на задачата. В този случай спокойно и ВНИМАТЕЛНО изпълнете задачата до края и след това не забравяйте да проверитеи го съставяме на чист лист след решението. Разбира се, проверката на дробен отговор е неприятна задача, но ще бъде обезоръжаващ аргумент за учителя, който много обича да дава минус за всякакви глупости като . Как да работим с дроби е описано подробно в отговора на пример 8.

Ако имате компютър под ръка, използвайте автоматизирана програма за проверка, която можете да изтеглите безплатно в самото начало на урока. Между другото, най-изгодно е да използвате програмата веднага (дори преди да започнете решението); веднага ще видите междинната стъпка, в която сте направили грешка! Същият калкулатор автоматично изчислява решението на системата, като използва матричния метод.

Втора забележка. От време на време има системи, в уравненията на които липсват някои променливи, например:

Тук в първото уравнение няма променлива, във второто няма променлива. В такива случаи е много важно правилно и ВНИМАТЕЛНО да запишете основната детерминанта:
– на мястото на липсващите променливи се поставят нули.
Между другото, рационално е да се отварят детерминанти с нули според реда (колоната), в който се намира нулата, тъй като има значително по-малко изчисления.

Пример 10

Решете системата с помощта на формулите на Крамер.

Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).

За случай на система от 4 уравнения с 4 неизвестни, формулите на Крамър са написани съгласно подобни принципи. Можете да видите пример на живо в урока Свойства на детерминантите. Намаляване на реда на детерминантата - пет детерминанта от 4-ти ред са доста разрешими. Въпреки че задачата вече много напомня на обувката на професор върху гърдите на щастлив студент.

Решаване на системата с помощта на обратна матрица

Методът на обратната матрица е по същество специален случай матрично уравнение(Виж Пример № 3 от посочения урок).

За да изучавате този раздел, трябва да можете да разширявате детерминанти, да намирате обратната на матрица и да извършвате умножение на матрица. С напредването на обясненията ще бъдат предоставени подходящи връзки.

Пример 11

Решете системата с помощта на матричния метод

Решение: Нека напишем системата в матрична форма:
, Където

Моля, разгледайте системата от уравнения и матрици. Мисля, че всеки разбира принципа, по който записваме елементи в матрици. Единственият коментар: ако някои променливи липсват в уравненията, тогава нулите трябва да бъдат поставени на съответните места в матрицата.

Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Първо, нека да разгледаме детерминантата:

Тук детерминантата е разширена на първия ред.

внимание! Ако , тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава по метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).

Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите

Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът:

Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, в които броят на редовете и колоните съвпада.

Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е сингулярна.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродени, ако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и й присвоете матрица E отдясно (на мястото на десните части на уравненията).
2. Използвайки трансформации на Йордан, редуцирайте матрица A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получите матрицата на идентичност E.
4. Запишете обратната матрица A -1, която се намира в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрица A и присвояваме матрицата на идентичност E вдясно. Използвайки трансформации на Йордан, редуцираме матрица A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са дадени в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са извършени правилно.

Отговор:

Решаване на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, HA = B, AXB = C,

където A, B, C са посочените матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнението, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратната матрица е равна на (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други се използват и те матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на методите на матричния анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе формира система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която в отделните й редове са показани номерата на системата (i = 1,2,....,n), а във вертикални колони - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапЗа всяка вертикална колона се идентифицира най-голямата от наличните стойности на индикатора, която се приема за една.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако имат различно значение, тогава на всеки матричен показател се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експертиза.

На последния, четвърти етапнамерени рейтингови стойности Rjса групирани по ред на нарастване или намаляване.

Посочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели за дейността на организациите.

(понякога този метод се нарича още матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с такава концепция като матричната форма на нотация на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, в които детерминантата на системната матрица е различна от нула. Естествено, това предполага, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:

1. Запишете три матрици: системната матрица $A$, матрицата на неизвестните $X$, матрицата на свободните членове $B$.
2. Намерете обратната матрица $A^(-1)$.
3. Използвайки равенството $X=A^(-1)\cdot B$, получете решение на дадения SLAE.

Всяка SLAE може да бъде записана в матрична форма като $A\cdot X=B$, където $A$ е матрицата на системата, $B$ е матрицата на свободните членове, $X$ е матрицата на неизвестните. Нека матрицата $A^(-1)$ съществува. Нека умножим двете страни на равенството $A\cdot X=B$ по матрицата $A^(-1)$ отляво:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Тъй като $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ е матрицата на идентичност), горното равенство става:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Тъй като $E\cdot X=X$, тогава:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Пример №1

Решете SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ с помощта на обратната матрица.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Нека намерим обратната матрица към системната матрица, т.е. Нека изчислим $A^(-1)$. В пример №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Сега нека заместим и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в равенството $X=A^(-1)\cdot B$. След това извършваме матрично умножение

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(масив) (c) -3\\ 2\end(масив)\right). $$

И така, получихме равенството $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( масив )\right)$. От това равенство имаме: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Отговор: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Пример №2

Решаване на SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ с помощта на метода на обратната матрица.

Нека запишем матрицата на системата $A$, матрицата на свободните членове $B$ и матрицата на неизвестните $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Сега е ред да намерим обратната матрица на системната матрица, т.е. намерете $A^(-1)$. В пример № 3 на страницата, посветена на намирането на обратни матрици, обратната матрица вече е намерена. Нека използваме крайния резултат и напишем $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\край (масив)\вдясно). $$

Сега нека заместим и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в равенството $X=A^(-1)\cdot B$ и след това да извършим умножение на матрици от дясната страна на това равенство.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(масив) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

И така, получихме равенството $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\край (масив)\десен)$. От това равенство имаме: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Това е концепция, която обобщава всички възможни операции, извършвани с матрици. Математическа матрица - таблица на елементите. За маса, където млинии и нколони, се казва, че тази матрица има измерението мНа н.

Общ изглед на матрицата:

За матрични решениянеобходимо е да се разбере какво е матрица и да се знаят нейните основни параметри. Основни елементи на матрицата:

• Основният диагонал, състоящ се от елементи a 11, a 22…..a мн.
• Страничен диагонал, състоящ се от елементи a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Основни видове матрици:

• Квадратът е матрица, където броят на редовете = броят на колоните ( m=n).
• Нула - където всички матрични елементи = 0.
• Транспонирана матрица - матрица IN, който е получен от оригиналната матрица Ачрез замяна на редове с колони.
• Единство - всички елементи на главния диагонал = 1, всички останали = 0.
• Обратната матрица е матрица, която, когато се умножи по оригиналната матрица, води до матрица на идентичност.

Матрицата може да бъде симетрична по отношение на главния и второстепенния диагонал. Тоест, ако а 12 = а 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, тогава матрицата е симетрична спрямо главния диагонал. Само квадратните матрици могат да бъдат симетрични.

Методи за решаване на матрици.

Почти всички методи за матрично решаванесе състои в намирането на неговата детерминанта н-ти ред и повечето от тях са доста тромави. За намиране на детерминанта от 2-ри и 3-ти ред има други, по-рационални методи.

Намиране на детерминанти от 2-ри ред.

Да се ​​изчисли детерминантата на матрица А 2-ри ред е необходимо да се извади произведението на елементите на вторичния диагонал от произведението на елементите на главния диагонал:

Методи за намиране на детерминанти от 3-ти ред.

По-долу са правилата за намиране на детерминанта от 3-ти ред.

Опростено правило на триъгълника като един от методи за матрично решаване, може да се изобрази по следния начин:

С други думи, произведението на елементите в първата детерминанта, които са свързани с прави линии, се взема със знак "+"; Също така за втория детерминант съответните продукти се вземат със знака „-“, т.е. съгласно следната схема:

При решаване на матрици с помощта на правилото на Сарус, вдясно от детерминантата, добавете първите 2 колони и продуктите на съответните елементи на главния диагонал и на диагоналите, които са успоредни на него, се вземат със знак „+“; и продуктите на съответните елементи на вторичния диагонал и диагоналите, които са успоредни на него, със знака "-":

Разлагане на детерминантата в ред или колона при решаване на матрици.

Детерминантата е равна на сбора от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено се избира редът/колоната, който съдържа нули. Редът или колоната, по които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Редуциране на детерминантата до триъгълна форма при решаване на матрици.

При решаване на матрициметод за редуциране на детерминантата до триъгълна форма, те работят по следния начин: използвайки най-простите трансформации на редове или колони, детерминантата става триъгълна по форма и тогава нейната стойност, в съответствие със свойствата на детерминантата, ще бъде равна на произведението от елементите, които са на главния диагонал.

Теорема на Лаплас за решаване на матрици.

Когато решавате матрици с помощта на теоремата на Лаплас, трябва да знаете самата теорема. Теорема на Лаплас: Нека Δ - това е определящо н-та поръчка. Избираме всякакви кпредоставени редове (или колони). к≤ n - 1. В този случай сумата от продуктите на всички непълнолетни к-та поръчка, съдържаща се в избрания кредове (колони), чрез своите алгебрични допълнения ще бъдат равни на детерминанта.

Решаване на обратната матрица.

Последователност от действия за обратни матрични решения:

1. Определете дали дадена матрица е квадратна. Ако отговорът е отрицателен, става ясно, че за него не може да има обратна матрица.
2. Изчисляваме алгебрични допълнения.
3. Съставяме обединителна (взаимна, присъединена) матрица ° С.
4. Ние съставяме обратната матрица от алгебрични добавки: всички елементи на присъединената матрица ° Сразделете на детерминантата на началната матрица. Крайната матрица ще бъде търсената обратна матрица спрямо дадената.
5. Проверяваме свършената работа: умножете първоначалната матрица и получената матрица, резултатът трябва да бъде матрица за идентичност.

Решаване на матрични системи.

За решения на матрични системиНай-често се използва методът на Гаус.

Методът на Гаус е стандартен метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и се състои в това, че променливите се елиминират последователно, т.е. с помощта на елементарни промени системата от уравнения се довежда до еквивалентна система от триъгълници. форма и от нея последователно, започвайки от последната (по номер), намерете всеки елемент от системата.

Метод на Гаусе най-универсалният и най-добър инструмент за намиране на матрични решения. Ако една система има безкраен брой решения или системата е несъвместима, тогава тя не може да бъде решена с помощта на правилото на Крамър и матричния метод.

Методът на Гаус също предполага преки (намаляване на разширената матрица до стъпаловидна форма, т.е. получаване на нули под главния диагонал) и обратни (получаване на нули над главния диагонал на разширената матрица) движения. Предният ход е методът на Гаус, обратният ход е методът на Гаус-Джордан. Методът на Гаус-Джордан се различава от метода на Гаус само по последователността на елиминиране на променливите.