বাড়ি প্রস্থেটিক্স এবং ইমপ্লান্টেশন অনলাইনে সরলরেখার সাপেক্ষে একটি বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক। একটি সমতলে একটি সরল রেখা সঙ্গে সহজ সমস্যা

প্রস্থেটিক্স এবং ইমপ্লান্টেশন

অনলাইনে সরলরেখার সাপেক্ষে একটি বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক। একটি সমতলে একটি সরল রেখা সঙ্গে সহজ সমস্যা

সমস্যা প্রণয়ন. একটি বিন্দুর সাথে প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন সমতল আপেক্ষিক।

সমাধান পরিকল্পনা।

1. একটি সরলরেখার সমীকরণ খুঁজুন যা একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব এবং বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় . যেহেতু একটি সরলরেখা একটি প্রদত্ত সমতলে লম্ব, তাই সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরটিকে তার দিক ভেক্টর হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, যেমন

তাই সরলরেখার সমীকরণ হবে

2. বিন্দু খুঁজুন একটি সরল রেখার ছেদ এবং প্লেন (সমস্যা 13 দেখুন)।

3. পয়েন্ট সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু যেখানে বিন্দু একটি বিন্দু বিন্দু প্রতিসম , এই জন্য

সমস্যা 14. সমতলের সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিসম বিন্দু খুঁজুন।

একটি সরলরেখার সমীকরণ যা একটি প্রদত্ত সমতলের লম্ব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়:

চলুন রেখা এবং সমতলের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা যাক।

কোথায় - একটি রেখা এবং একটি সমতলের ছেদ বিন্দু। তাই সেগমেন্টের মাঝখানে

সেগুলো. .

সমতল সমতল স্থানাঙ্ক। সমতলে Affine রূপান্তর.

দিন এম এক্সএবং এ

এম(এক্স, এমা (এক্স, এ, 1) মহাকাশে (চিত্র 8)।

মা (এক্স, এ

মা (এক্স, এ hu

(hx, hy, h), h  0,

মন্তব্য করুন

জ(উদাহরণ স্বরূপ, জ

আসলে, বিবেচনা জ

মন্তব্য করুন

উদাহরণ 1.

খ) একটি কোণে (চিত্র 9)।

১ম ধাপ।

২য় ধাপ।কোণ দ্বারা ঘোরান 

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

৩য় ধাপ।ভেক্টর A(a, খ)

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ 3

 x-অক্ষ বরাবর এবং

১ম ধাপ।

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

২য় ধাপ।

৩য় ধাপ।

আমরা অবশেষে এটি পেতে হবে

মন্তব্য করুন

[আর], [ডি], [এম], [টি],

দিন এম- স্থানাঙ্ক সহ সমতলের নির্বিচারে বিন্দু এক্সএবং এ, একটি প্রদত্ত রেকটিলিনিয়ার কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের সাথে সম্পর্কিত গণনা করা হয়। এই বিন্দুর সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি হল একই সাথে অ-শূন্য সংখ্যার যেকোনো ত্রিগুণ x 1, x 2, x 3, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলির দ্বারা প্রদত্ত x এবং y সংখ্যাগুলির সাথে সম্পর্কিত:

কম্পিউটার গ্রাফিক্স সমস্যা সমাধান করার সময়, একজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি সাধারণত নিম্নরূপ প্রবেশ করা হয়: একটি নির্বিচারে বিন্দুতে এম(এক্স, এ) সমতল একটি বিন্দু বরাদ্দ করা হয় মা (এক্স, এ, 1) মহাকাশে (চিত্র 8)।

উল্লেখ্য যে লাইনের একটি নির্বিচারে বিন্দু মূল বিন্দু 0(0, 0, 0) এর সাথে সংযোগ করে মা (এক্স, এ, 1), ফর্মের (hx, hy, h) সংখ্যার তিনগুণ দ্বারা দেওয়া যেতে পারে।

hx, hy, স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর হল সরলরেখার সংযোগকারী বিন্দু 0 (0, 0, 0) এবং এর দিক ভেক্টর মা (এক্স, এ, 1)। এই রেখাটি z = 1 সমতলকে বিন্দুতে (x, y, 1) ছেদ করে, যা স্থানাঙ্ক সমতলের বিন্দু (x, y) কে স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করে hu

এইভাবে, স্থানাঙ্ক (x, y) সহ একটি নির্বিচারে বিন্দু এবং ফর্মের সংখ্যার ত্রিগুণের একটি সেটের মধ্যে

(hx, hy, h), h  0,

একটি (এক-এক) চিঠিপত্র প্রতিষ্ঠিত হয় যা আমাদের এই বিন্দুর নতুন স্থানাঙ্ক হিসাবে hx, hy, h সংখ্যাগুলি বিবেচনা করতে দেয়।

মন্তব্য করুন

প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত, সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলি তথাকথিত অনুপযুক্ত উপাদানগুলিকে কার্যকরভাবে বর্ণনা করা সম্ভব করে (মূলত যেগুলির মধ্যে প্রজেক্টিভ প্লেনটি পরিচিত ইউক্লিডীয় সমতল থেকে আলাদা)। প্রবর্তিত সমজাতীয় স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত নতুন সম্ভাবনা সম্পর্কে আরও বিশদ এই অধ্যায়ের চতুর্থ বিভাগে আলোচনা করা হয়েছে।

সমজাতীয় স্থানাঙ্কের জন্য প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে, নিম্নলিখিত স্বরলিপি গৃহীত হয়:

x:y:1, বা, আরো সাধারণভাবে, x1:x2:x3

(মনে রাখবেন যে এখানে এটি একেবারে প্রয়োজনীয় যে সংখ্যাগুলি x 1, x 2, x 3 একই সময়ে শূন্যে পরিণত হবে না)।

সমজাতীয় স্থানাঙ্কগুলির ব্যবহার সহজতম সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়ও সুবিধাজনক বলে প্রমাণিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, স্কেলের পরিবর্তন সম্পর্কিত সমস্যাগুলি বিবেচনা করুন। যদি ডিসপ্লে ডিভাইস শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার সাথে কাজ করে (অথবা যদি আপনাকে শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার সাথে কাজ করতে হয়), তাহলে একটি নির্বিচারে মানের জন্য জ(উদাহরণ স্বরূপ, জ= 1) সমজাতীয় স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দু

কল্পনা করা অসম্ভব। যাইহোক, h এর একটি যুক্তিসঙ্গত পছন্দের সাথে, এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যা কিনা তা নিশ্চিত করা সম্ভব। বিশেষ করে, h = 10 এর জন্য আমাদের বিবেচনাধীন উদাহরণের জন্য

আসুন আরেকটি কেস বিবেচনা করা যাক। রূপান্তরের ফলাফলগুলিকে গাণিতিক ওভারফ্লো হতে বাধা দিতে, স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুর জন্য (80000 40000 1000) আপনি নিতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, h=0.001। ফলস্বরূপ আমরা (80 40 1) পাই।

প্রদত্ত উদাহরণগুলি গণনা করার সময় সমজাতীয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার উপযোগিতা দেখায়। যাইহোক, কম্পিউটার গ্রাফিক্সে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক প্রবর্তনের মূল উদ্দেশ্য হল জ্যামিতিক রূপান্তরের প্রয়োগে তাদের নিঃসন্দেহে সুবিধা।

একজাতীয় স্থানাঙ্ক এবং তৃতীয় ক্রম ম্যাট্রিক্সের তিনগুণ ব্যবহার করে, একটি সমতলের যেকোন অ্যাফাইন রূপান্তর বর্ণনা করা যেতে পারে।

আসলে, বিবেচনা জ= 1, দুটি এন্ট্রি তুলনা করুন: চিহ্ন দিয়ে চিহ্নিত * এবং নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স:

এটা দেখা সহজ যে শেষ সম্পর্কের ডান দিকের রাশিগুলিকে গুণ করার পরে, আমরা উভয় সূত্র (*) এবং সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা 1=1 পাই।

মন্তব্য করুন

কখনও কখনও সাহিত্যে অন্য স্বরলিপি ব্যবহার করা হয় - কলামার স্বরলিপি:

এই স্বরলিপিটি উপরের লাইন-বাই-লাইন নোটেশনের সমতুল্য (এবং স্থানান্তর করে এটি থেকে প্রাপ্ত করা হয়)।

একটি নির্বিচারে affine রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি একটি সুস্পষ্ট জ্যামিতিক অর্থ বহন করে না। অতএব, এই বা সেই ম্যাপিং বাস্তবায়নের জন্য, অর্থাৎ, একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক বর্ণনা অনুসারে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি খুঁজে বের করার জন্য, বিশেষ কৌশলগুলির প্রয়োজন। সাধারণত, এই ম্যাট্রিক্সের নির্মাণ, বিবেচনাধীন সমস্যার জটিলতা এবং উপরে বর্ণিত বিশেষ কেস অনুসারে, বিভিন্ন পর্যায়ে বিভক্ত।

প্রতিটি পর্যায়ে, একটি ম্যাট্রিক্স অনুসন্ধান করা হয় যা উপরের একটি বা অন্য একটি ক্ষেত্রে A, B, C বা D এর সাথে মিলে যায়, যার ভালভাবে সংজ্ঞায়িত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

আসুন সংশ্লিষ্ট তৃতীয়-ক্রম ম্যাট্রিক্সগুলি লিখি।

উঃ ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স

B. প্রসারণ ম্যাট্রিক্স

B. প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স

D. স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (অনুবাদ)

প্লেনের affine রূপান্তরের উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1.

A বিন্দুর চারপাশে একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন (aখ) একটি কোণে (চিত্র 9)।

১ম ধাপ।স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে ঘূর্ণনের কেন্দ্র সারিবদ্ধ করতে ভেক্টর – A (-a, -b) এ স্থানান্তর করুন;

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

২য় ধাপ।কোণ দ্বারা ঘোরান 

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

৩য় ধাপ।ভেক্টর A(a, খ)ঘূর্ণনের কেন্দ্রটিকে পূর্ববর্তী অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে;

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

আসুন ম্যাট্রিক্সগুলিকে একই ক্রমে গুন করি যেভাবে লেখা আছে:

ফলস্বরূপ, আমরা দেখতে পাই যে কাঙ্ক্ষিত রূপান্তর (ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিতে) এইরকম দেখাবে:

ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি (বিশেষত শেষ সারিতে) মনে রাখা এত সহজ নয়। একই সময়ে, সংশ্লিষ্ট ম্যাপিংয়ের জ্যামিতিক বিবরণ থেকে তিনটি গুণিত ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সহজেই তৈরি করা যেতে পারে।

উদাহরণ 3

প্রসারিত সহগ সহ একটি প্রসারিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন x-অক্ষ বরাবর এবং অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর এবং কেন্দ্রের সাথে A(a, b) বিন্দুতে।

১ম ধাপ।স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে প্রসারিত কেন্দ্রকে সারিবদ্ধ করতে ভেক্টর -A(-a, -b) এ স্থানান্তর করুন;

সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স।

২য় ধাপ।সহগ  এবং  সহ স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর প্রসারিত করা, যথাক্রমে; রূপান্তর ম্যাট্রিক্স ফর্ম আছে

৩য় ধাপ।উত্তেজনার কেন্দ্রকে আগের অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে ভেক্টর A(a, b) এ স্থানান্তর করুন; সংশ্লিষ্ট রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স -

ম্যাট্রিক্সকে একই ক্রমে গুণ করা

আমরা অবশেষে এটি পেতে হবে

মন্তব্য করুন

একইভাবে যুক্তি, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমর্থিত পর্যায়ে প্রস্তাবিত রূপান্তরকে ভেঙে ফেলা[আর], [ডি], [এম], [টি], জ্যামিতিক বর্ণনা থেকে যেকোন affine রূপান্তরের একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যায়।

শিফট যোগ দ্বারা বাস্তবায়িত হয়, এবং স্কেলিং এবং ঘূর্ণন গুণ দ্বারা বাস্তবায়িত হয়।

স্কেলিং ট্রান্সফর্ম (প্রসারণ) উত্সের সাথে সম্পর্কিত ফর্ম রয়েছে:

অথবা ম্যাট্রিক্স আকারে:

কোথায় ডিএক্স,ডিyঅক্ষ বরাবর স্কেলিং ফ্যাক্টর, এবং

- স্কেলিং ম্যাট্রিক্স।

যখন D > 1, সম্প্রসারণ ঘটে, যখন 0<=D<1- сжатие

ঘূর্ণন রূপান্তর উত্সের সাথে সম্পর্কিত ফর্ম রয়েছে:

অথবা ম্যাট্রিক্স আকারে:

যেখানে φ হল ঘূর্ণনের কোণ, এবং

- ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স।

মন্তব্য:ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের কলাম এবং সারিগুলি পারস্পরিক অর্থোগোনাল একক ভেক্টর। প্রকৃতপক্ষে, সারি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গগুলি একের সমান:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 এবং (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

এবং সারি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল হল

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0।

যেহেতু ভেক্টরের স্কেলার গুণফল ক · খ = |ক| ·| খ| · cosψ, কোথায় | ক| - ভেক্টর দৈর্ঘ্য ক, |খ| - ভেক্টর দৈর্ঘ্য খ, এবং ψ তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক কোণ, তারপর দৈর্ঘ্য 1 এর দুটি সারি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সমতা 0 থেকে এটি অনুসরণ করে যে তাদের মধ্যে কোণটি 90 °।

আমাদের একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা দেওয়া যাক, একটি রৈখিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং একটি বিন্দু, এর স্থানাঙ্ক (x0, y0) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং এই রেখায় পড়ে নেই। এটি এমন একটি বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে যা একটি প্রদত্ত সরলরেখা সম্পর্কে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে প্রতিসম হবে, অর্থাৎ, যদি প্লেনটি মানসিকভাবে এই সরলরেখা বরাবর অর্ধেক বাঁকানো থাকে তবে এটির সাথে মিলে যাবে।

নির্দেশনা

1. এটা স্পষ্ট যে উভয় বিন্দু - প্রদত্ত এবং পছন্দসই - একই লাইনে থাকা আবশ্যক, এবং এই লাইনটি অবশ্যই প্রদত্ত একটির সাথে লম্ব হওয়া উচিত। এইভাবে, সমস্যার প্রথম অংশটি হল একটি রেখার সমীকরণ আবিষ্কার করা যা কিছু নির্দিষ্ট রেখার সাথে লম্ব হবে এবং একই সাথে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে।

2. একটি সরল রেখা দুটি উপায়ে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণটি এইরকম দেখায়: Ax + By + C = 0, যেখানে A, B এবং C ধ্রুবক। আপনি একটি রৈখিক ফাংশন ব্যবহার করে একটি সরল রেখাও নির্ধারণ করতে পারেন: y = kx + b, যেখানে k হল কৌণিক সূচক, b হল স্থানচ্যুতি। এই দুটি পদ্ধতি বিনিময়যোগ্য, এবং আপনি একে অপর থেকে অন্যটিতে যেতে পারেন। যদি Ax + By + C = 0, তাহলে y = – (Ax + C)/B। অন্য কথায়, একটি রৈখিক ফাংশনে y = kx + b, কৌণিক সূচক k = -A/B এবং স্থানচ্যুতি b = -C/B। হাতের কাজটির জন্য, সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণের উপর ভিত্তি করে যুক্তি করা আরও আরামদায়ক।

3. যদি দুটি লাইন একে অপরের সাথে লম্ব হয়, এবং প্রথম লাইনের সমীকরণটি Ax + By + C = 0 হয়, তাহলে 2য় লাইনের সমীকরণটি Bx – Ay + D = 0 এর মত হওয়া উচিত, যেখানে D একটি ধ্রুবক। ডি এর একটি নির্দিষ্ট মান সনাক্ত করার জন্য, লম্ব রেখাটি কোন বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তা অতিরিক্তভাবে জানা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, এটি বিন্দু (x0, y0)। ফলস্বরূপ, D-কে অবশ্যই সমতা পূরণ করতে হবে: Bx0 – Ay0 + D = 0, অর্থাৎ, D = Ay0 – Bx0।

4. লম্ব রেখাটি আবিষ্কৃত হওয়ার পরে, প্রদত্তটির সাথে এর ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, আপনাকে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0। এর সমাধানটি সংখ্যা দেবে (x1, y1), যা এর স্থানাঙ্ক হিসাবে কাজ করে লাইনের ছেদ বিন্দু।

5. কাঙ্খিত বিন্দুটি সনাক্ত করা লাইনের উপর থাকা আবশ্যক এবং ছেদ বিন্দু থেকে এর দূরত্ব অবশ্যই ছেদ বিন্দু থেকে বিন্দু (x0, y0) পর্যন্ত দূরত্বের সমান হতে হবে। বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x0, y0) এইভাবে সমীকরণের পদ্ধতি সমাধান করে পাওয়া যেতে পারে: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2)।

6. কিন্তু আপনি এটা সহজ করতে পারেন. যদি বিন্দু (x0, y0) এবং (x, y) বিন্দু (x1, y1) থেকে সমান দূরত্বে থাকে এবং তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকে, তাহলে: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0। ফলস্বরূপ, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0। এই মানগুলিকে প্রথম সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করে এবং অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করে, এটি নিশ্চিত করা সহজ যে এর ডান দিকটি বাম দিকের মতো হয়ে যায়। উপরন্তু, প্রথম সমীকরণটিকে আর বিবেচনা করার কোন মানে নেই, যেহেতু এটি জানা যায় যে বিন্দু (x0, y0) এবং (x1, y1) এটিকে সন্তুষ্ট করে এবং বিন্দু (x, y) স্পষ্টতই একই লাইনে অবস্থিত .

কাজটি হল সরলরেখার সাপেক্ষে বিন্দুর সাথে প্রতিসম একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা . আমি নিজেই পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করার পরামর্শ দিই, তবে আমি মধ্যবর্তী ফলাফলের সাথে সমাধান অ্যালগরিদমের রূপরেখা দেব:

1) রেখার সাথে লম্ব একটি রেখা খুঁজুন।

2) লাইনের ছেদ বিন্দু খুঁজুন: .

এই পাঠে উভয় কর্মই বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

3) বিন্দুটি রেখাংশের মধ্যবিন্দু। আমরা মধ্যম এবং এক প্রান্তের স্থানাঙ্ক জানি। দ্বারা একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কের সূত্রআমরা খুঁজি .

দূরত্বটিও 2.2 ইউনিট তা পরীক্ষা করা একটি ভাল ধারণা হবে।

এখানে গণনার ক্ষেত্রে অসুবিধা হতে পারে, তবে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর টাওয়ারে একটি দুর্দান্ত সাহায্য, যা আপনাকে সাধারণ ভগ্নাংশগুলি গণনা করতে দেয়। আমি আপনাকে অনেকবার পরামর্শ দিয়েছি এবং আপনাকে আবার সুপারিশ করব।

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব কিভাবে বের করা যায়?

উদাহরণ 9

দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর

এটি আপনার নিজের সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য আরেকটি উদাহরণ। আমি আপনাকে একটি ছোট ইঙ্গিত দেব: এটি সমাধান করার জন্য অসীম অনেক উপায় আছে। পাঠের শেষে ডিব্রিফিং, তবে নিজের জন্য অনুমান করার চেষ্টা করা ভাল, আমি মনে করি আপনার চাতুর্য ভালভাবে বিকশিত হয়েছিল।

দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ

প্রতিটি কোণ একটি জ্যাম:

জ্যামিতিতে, দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটিকে ছোট কোণ হিসাবে নেওয়া হয়, যেখান থেকে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে যে এটি স্থূল হতে পারে না। চিত্রে, লাল চাপ দ্বারা নির্দেশিত কোণটি ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণ হিসাবে বিবেচিত হয় না। এবং তার "সবুজ" প্রতিবেশী বা বিপরীতমুখী"রাস্পবেরি" কোণ।

যদি রেখাগুলি লম্ব হয়, তাহলে 4টি কোণের যেকোন একটিকে তাদের মধ্যবর্তী কোণ হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।

কিভাবে কোণ ভিন্ন হয়? ওরিয়েন্টেশন। প্রথমত, যে দিকে কোণটি "স্ক্রোল করা হয়েছে" তা মৌলিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ। দ্বিতীয়ত, একটি নেতিবাচক ভিত্তিক কোণ একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ যদি।

আমি তোমাকে এই কথা কেন বললাম? মনে হচ্ছে আমরা একটি কোণের স্বাভাবিক ধারণা দিয়ে পেতে পারি। আসল বিষয়টি হল যে সূত্রগুলি দ্বারা আমরা কোণগুলি খুঁজে পাব সহজেই একটি নেতিবাচক ফলাফল হতে পারে এবং এটি আপনাকে অবাক করে দেবে না। একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি কোণ খারাপ নয় এবং এর একটি খুব নির্দিষ্ট জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। অঙ্কনে, একটি নেতিবাচক কোণের জন্য, একটি তীর (ঘড়ির কাঁটার দিকে) দিয়ে তার অভিযোজন নির্দেশ করতে ভুলবেন না।

কিভাবে দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ বের করবেন?দুটি কার্যকরী সূত্র আছে:

উদাহরণ 10

লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজুন

সমাধানএবং পদ্ধতি এক

সাধারণ আকারে সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুটি সরল রেখা বিবেচনা করা যাক:

সোজা হলে লম্ব নয়, যে ভিত্তিকতাদের মধ্যে কোণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

আসুন আমরা হরকে ঘনিষ্ঠভাবে মনোযোগ দিই - এটি ঠিক স্কালে পণ্যসরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর:

যদি , তাহলে সূত্রটির হর শূন্য হয়ে যায় এবং ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল হবে এবং রেখাগুলি লম্ব হবে। এই কারণেই ফর্মুলেশনে সরলরেখার অ-লম্বতা সম্পর্কে একটি সংরক্ষণ করা হয়েছিল।

উপরের উপর ভিত্তি করে, দুটি ধাপে সমাধানটি আনুষ্ঠানিক করা সুবিধাজনক:

1) রেখার দিক ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনা করা যাক:

2) সূত্র ব্যবহার করে সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজুন:

বিপরীত ফাংশন ব্যবহার করে কোণ নিজেই খুঁজে পাওয়া সহজ। এই ক্ষেত্রে, আমরা arctangent এর অদ্ভুততা ব্যবহার করি (দেখুন। প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ এবং বৈশিষ্ট্য):

উত্তর:

আপনার উত্তরে, আমরা সঠিক মান নির্দেশ করি, সেইসাথে একটি আনুমানিক মান (বিশেষত উভয় ডিগ্রী এবং রেডিয়ানে), একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

ভাল, বিয়োগ, বিয়োগ, কোন বড় ব্যাপার. এখানে একটি জ্যামিতিক চিত্র রয়েছে:

এটি আশ্চর্যজনক নয় যে কোণটি একটি নেতিবাচক অভিযোজনে পরিণত হয়েছিল, কারণ সমস্যা বিবৃতিতে প্রথম সংখ্যাটি একটি সরল রেখা এবং কোণের "আনস্ক্রুইং" এটির সাথে অবিকল শুরু হয়েছিল।

আপনি যদি সত্যিই একটি ইতিবাচক কোণ পেতে চান তবে আপনাকে লাইনগুলি অদলবদল করতে হবে, অর্থাৎ, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে সহগগুলি নিন , এবং প্রথম সমীকরণ থেকে সহগ নিন। সংক্ষেপে, আপনাকে একটি সরাসরি দিয়ে শুরু করতে হবে .

আমি এটি আড়াল করব না, আমি নিজেই ক্রম অনুসারে সরল রেখাগুলি নির্বাচন করি যাতে কোণটি ইতিবাচক হয়। এটা আরো সুন্দর, কিন্তু কিছু না.

আপনার সমাধান পরীক্ষা করতে, আপনি একটি প্রটেক্টর নিতে পারেন এবং কোণ পরিমাপ করতে পারেন।

পদ্ধতি দুই

যদি সরলরেখা ঢাল সহ সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় এবং লম্ব নয়, যে ভিত্তিকতাদের মধ্যে কোণ সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

রেখাগুলির লম্বতার শর্তটি সমতা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা থেকে, লম্ব রেখাগুলির কৌণিক সহগগুলির মধ্যে একটি খুব দরকারী সম্পর্ক অনুসরণ করে: , যা কিছু সমস্যায় ব্যবহৃত হয়।

সমাধান অ্যালগরিদম পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ অনুরূপ. তবে প্রথমে, আসুন প্রয়োজনীয় আকারে আমাদের সরল রেখাগুলি পুনরায় লিখি:

সুতরাং, ঢালগুলি হল:

1) রেখাগুলি লম্ব কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:
, যার মানে রেখাগুলি লম্ব নয়।

2) সূত্র ব্যবহার করুন:

উত্তর:

দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য উপযুক্ত যখন সরলরেখার সমীকরণগুলি প্রাথমিকভাবে একটি কৌণিক সহগ দিয়ে নির্দিষ্ট করা হয়। এটি লক্ষ করা উচিত যে যদি অন্তত একটি সরল রেখা অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে সূত্রটি মোটেই প্রযোজ্য নয়, কারণ এই ধরনের সরল রেখার জন্য ঢাল সংজ্ঞায়িত করা হয় না (নিবন্ধ দেখুন সমতলে সরলরেখার সমীকরণ).

একটি তৃতীয় সমাধান আছে। ধারণাটি পাঠে আলোচিত সূত্রটি ব্যবহার করে রেখাগুলির দিকনির্দেশের ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ গণনা করা। ভেক্টরের ডট পণ্য:

এখানে আমরা আর একটি ভিত্তিক কোণ সম্পর্কে কথা বলছি না, তবে "শুধু একটি কোণ সম্পর্কে", অর্থাৎ ফলাফল অবশ্যই ইতিবাচক হবে। ধরা হল যে আপনি একটি স্থূল কোণ দিয়ে শেষ করতে পারেন (আপনার যা প্রয়োজন তা নয়)। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে একটি রিজার্ভেশন করতে হবে যে সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটি একটি ছোট কোণ, এবং "pi" রেডিয়ান (180 ডিগ্রি) থেকে ফলস্বরূপ আর্ক কোসাইন বিয়োগ করুন।

যারা ইচ্ছুক তারা তৃতীয় উপায়ে সমস্যার সমাধান করতে পারেন। কিন্তু আমি এখনও একটি ওরিয়েন্টেড অ্যাঙ্গেলের সাথে প্রথম পদ্ধতিতে লেগে থাকার পরামর্শ দিই, কারণ এটি ব্যাপক।

উদাহরণ 11

লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। দুটি উপায়ে সমাধান করার চেষ্টা করুন।

কোনভাবে রূপকথার গল্পটি পথে মারা গেল ... কারণ অমর কাশছেই নেই। আমি আছি, এবং আমি বিশেষভাবে বাষ্পী নই। সত্যি কথা বলতে, আমি ভেবেছিলাম নিবন্ধটি আরও দীর্ঘ হবে। কিন্তু আমি এখনও আমার সম্প্রতি অর্জিত টুপি এবং চশমা নিয়ে সেপ্টেম্বরের লেকের জলে সাঁতার কাটতে যাব। পুরোপুরি ক্লান্তি এবং নেতিবাচক শক্তি উপশম করে।

শীঘ্রই আবার দেখা হবে!

এবং মনে রাখবেন, বাবা ইয়াগা বাতিল করা হয়নি =)

সমাধান এবং উত্তর:

উদাহরণ 3:সমাধান : চলুন রেখার দিক ভেক্টর বের করি :

বিন্দু ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত লাইনের সমীকরণ রচনা করি এবং দিক ভেক্টর . যেহেতু দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটি হল শূন্য, Eq. ফর্মে আবার লিখি:

উত্তর :

উদাহরণ 5:সমাধান :
1) একটি লাইনের সমীকরণ এর দুটি পয়েন্ট আপ করা যাক :

2) একটি রেখার সমীকরণ এর দুটি পয়েন্ট আপ করা যাক :

3) ভেরিয়েবলের জন্য সংশ্লিষ্ট সহগ সমানুপাতিক নয়: , যার মানে লাইনগুলো ছেদ করে।
4) একটি পয়েন্ট খুঁজুন :

বিঃদ্রঃ : এখানে সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি 5 দ্বারা গুণ করা হয়, তারপর 2য়টি 1ম সমীকরণ থেকে পদ দ্বারা বিয়োগ করা হয়।
উত্তর :

মহাকাশে একটি সরল রেখা সর্বদা দুটি অ-সমান্তরাল সমতলের ছেদ রেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি একটি সমতলের সমীকরণটি দ্বিতীয় সমতলের সমীকরণ হয়, তবে রেখাটির সমীকরণটি দেওয়া হবে

এখানে নন-কোলিনিয়ার
. এই সমীকরণ বলা হয় সাধারণ সমীকরণ সরাসরি মহাকাশে।

লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ

কোন অ-শূন্য ভেক্টর একটি প্রদত্ত রেখার উপর অবস্থিত বা এর সমান্তরাল এই লাইনের দিক ভেক্টর বলা হয়।

বিন্দু যদি জানা যায়
সরলরেখা এবং এর দিক ভেক্টর
, তাহলে রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণের ফর্ম আছে:

. (9)

একটি রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণ

লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ দেওয়া যাক

এখান থেকে, আমরা লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি পাই:

(10)

এই সমীকরণগুলি একটি রেখা এবং একটি সমতলের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করার জন্য দরকারী।

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ
এবং
ফর্ম আছে:

সরল রেখার মধ্যে কোণ

সরল রেখার মধ্যে কোণ

এবং

তাদের দিক ভেক্টরের মধ্যে কোণের সমান। অতএব, এটি সূত্র (4) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

সমান্তরাল রেখার জন্য শর্ত:

প্লেনগুলির লম্ব হওয়ার শর্ত:

একটি রেখা থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব

পৃ ধরা যাক পয়েন্ট দেওয়া হয়েছে
এবং সোজা

লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে আমরা বিন্দুটি জানি
, একটি রেখার অন্তর্গত, এবং এর দিক ভেক্টর
. তারপর বিন্দুর দূরত্ব
একটি সরলরেখা থেকে ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের উচ্চতার সমান এবং
. তাই,

লাইন ছেদ জন্য শর্ত

দুটি অ-সমান্তরাল রেখা

যদি এবং শুধুমাত্র যদি ছেদ করে

একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের আপেক্ষিক অবস্থান।

সরলরেখা দেওয়া হোক
এবং সমতল কোণ তাদের মধ্যে সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে

সমস্যা 73.লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ লিখ

(11)

সমাধান. রেখা (9) এর ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলি লেখার জন্য, রেখার সাথে সম্পর্কিত যেকোন বিন্দু এবং রেখার দিক ভেক্টর জানা প্রয়োজন।

আসুন ভেক্টর খুঁজে বের করা যাক , এই লাইনের সমান্তরাল। যেহেতু এটি অবশ্যই এই প্লেনের স্বাভাবিক ভেক্টরের সাথে লম্ব হওয়া উচিত, যেমন

,
, যে

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ থেকে আমরা তা পেয়েছি
,
. তারপর

বিন্দু থেকে
একটি রেখার যেকোন বিন্দু, তারপর তার স্থানাঙ্কগুলিকে অবশ্যই লাইনের সমীকরণগুলি পূরণ করতে হবে এবং তাদের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ,
, আমরা সিস্টেম থেকে অন্য দুটি স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই (11):

এখান থেকে,
.

সুতরাং, পছন্দসই লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলির ফর্ম রয়েছে:

বা
.

সমস্যা 74.

এবং
.

সমাধান।প্রথম লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা যায়
রেখার অন্তর্গত, এবং দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক
. দ্বিতীয় লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিও জানা যায়
এবং দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক
.

সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব বিন্দুর দূরত্বের সমান
দ্বিতীয় সরল রেখা থেকে। এই দূরত্ব সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

আসুন ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করি
.

আসুন ভেক্টর পণ্য গণনা করা যাক
:

সমস্যা 75.একটি বিন্দু খুঁজুন প্রতিসম বিন্দু
তুলনামূলকভাবে সোজা

সমাধান. একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণটি লিখি . এর স্বাভাবিক ভেক্টর হিসাবে আপনি একটি সরল রেখার নির্দেশক ভেক্টর নিতে পারেন। তারপর
. তাই,

আসুন একটি বিন্দু খুঁজে বের করা যাক
এই রেখা এবং সমতল P এর ছেদ বিন্দু। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণ (10) ব্যবহার করে লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণ লিখি, আমরা পাই

তাই,
.

দিন
পয়েন্ট থেকে বিন্দু প্রতিসম
এই লাইন আপেক্ষিক। তারপর পয়েন্ট
মধ্যবিন্দু
. একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে আমরা সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করি:

,
,
.

তাই,
.

সমস্যা 76.একটি লাইনের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ লিখ
এবং

ক) একটি বিন্দুর মাধ্যমে
;

খ) সমতলে লম্ব।

সমাধান।আসুন এই লাইনের সাধারণ সমীকরণগুলি লিখি। এটি করার জন্য, দুটি সমতা বিবেচনা করুন:

এর মানে হল যে কাঙ্খিত সমতল জেনারেটর সহ সমতলগুলির একটি বান্ডিলের অন্তর্গত এবং এর সমীকরণটি (8) আকারে লেখা যেতে পারে:

ক) এর সন্ধান করা যাক
এবং সেই অবস্থা থেকে যে প্লেনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়
, অতএব, এর স্থানাঙ্কগুলিকে সমতলের সমীকরণটি পূরণ করতে হবে। বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করা যাক
একগুচ্ছ প্লেনের সমীকরণে:

পাওয়া মান
আসুন এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি (12)। আমরা পছন্দসই সমতলের সমীকরণ পাই:

খ) এর সন্ধান করা যাক
এবং এই অবস্থা থেকে যে পছন্দসই সমতলটি সমতলে লম্ব। প্রদত্ত সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টর
, কাঙ্ক্ষিত সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টর (একগুচ্ছ সমতলের সমীকরণ দেখুন (12)।