Skalarna veličina T, jednaka zbiru kinetičkih energija svih tačaka sistema, naziva se kinetička energija sistema.
Kinetička energija je karakteristika translacionog i rotacionog kretanja sistema. Na njegovu promjenu utiče djelovanje vanjskih sila i budući da je skalar, ne ovisi o smjeru kretanja dijelova sistema.
Nađimo kinetičku energiju za različite slučajeve kretanja:
1.Kretanje naprijed
Brzine svih tačaka sistema jednake su brzini centra mase. Onda
Kinetička energija sistema tokom translatornog kretanja jednaka je polovini proizvoda mase sistema i kvadrata brzine centra mase.
2. Rotacijski pokret (Sl. 77)
Brzina bilo koje tačke na tijelu: . Onda
ili koristeći formulu (15.3.1):
Kinetička energija tijela tokom rotacije jednaka je polovini proizvoda momenta inercije tijela u odnosu na osu rotacije i kvadrata njegove ugaone brzine.
3. Ravnoparalelno kretanje
Za dato kretanje, kinetička energija se sastoji od energije translacijskih i rotacijskih pokreta
Opšti slučaj kretanja daje formulu za izračunavanje kinetičke energije sličnu prethodnoj.
Definiciju rada i snage napravili smo u paragrafu 3 poglavlja 14. Ovdje ćemo pogledati primjere izračunavanja rada i snage sila koje djeluju na mehanički sistem.
1.Rad sila gravitacije. Neka , koordinate početnog i konačnog položaja tačke k tijela. Rad koji izvrši sila gravitacije koja djeluje na ovu česticu težine bit će 
. Onda puno radno vrijeme:
gde je P težina sistema materijalnih tačaka, vertikalno pomeranje centra gravitacije C.
2. Rad sila primijenjenih na tijelo koje se rotira.
Prema relaciji (14.3.1), možemo napisati , ali ds prema slici 74, zbog svoje beskonačne malenosti, može se predstaviti u obliku 
- beskonačno mali ugao rotacije tela. Onda
Magnituda 
koji se zove obrtni moment.
Prepisujemo formulu (19.1.6) kao
Elementarni rad jednak je proizvodu momenta i elementarne rotacije.
Prilikom rotacije kroz konačni ugao imamo:
Ako obrtni moment je tada konstantan
a snagu određujemo iz relacije (14.3.5)
kao proizvod vremena momenta ugaona brzina tijela.
Teorema o promjeni kinetičke energije dokazane za tačku (§ 14.4) vrijedi za bilo koju tačku u sistemu
Sastavljanjem takvih jednadžbi za sve tačke sistema i njihovim sabiranjem član po član, dobijamo:
ili, prema (19.1.1):
što je izraz teoreme o kinetičkoj energiji sistema u diferencijalni oblik.
Integracijom (19.2.2) dobijamo:
Teorema o promeni kinetičke energije u njenom konačnom obliku: promena kinetičke energije sistema tokom nekog konačnog pomeranja jednaka je zbiru rada obavljenog na ovom pomeranju svih spoljašnjih i unutrašnjih sila primenjenih na sistem.
Naglasimo to unutrašnje sile nisu isključeni. Za nepromenljivi sistem, zbir rada svih unutrašnjih sila je nula i
Ako se ograničenja nametnuta sistemu ne mijenjaju tokom vremena, tada se sile, i vanjske i unutrašnje, mogu podijeliti na aktivna i reakciona ograničenja, a jednačina (19.2.2) se sada može napisati:
U dinamici se uvodi koncept “idealnog” mehaničkog sistema. Ovo je sistem u kome prisustvo veza ne utiče na promenu kinetičke energije, tj
Takve veze, koje se ne mijenjaju s vremenom i čiji je zbir rada na elementarnom pomaku nula, nazivaju se idealnim, a jednačina (19.2.5) će se napisati:
Potencijalna energija materijalne tačke u datom položaju M je skalarna veličina P, jednaka radu koji će sile polja proizvesti prilikom pomeranja tačke iz položaja M u nulu
P = A (mj.) (19.3.1)
Potencijalna energija zavisi od položaja tačke M, odnosno od njenih koordinata
P = P(x,y,z) (19.3.2)
Objasnimo ovdje da je polje sila dio prostornog volumena, u čijoj svakoj tački na česticu djeluje sila određene veličine i smjera, ovisno o položaju čestice, odnosno na koordinatama x, y, z. Na primjer, Zemljino gravitacijsko polje.
Poziva se funkcija U koordinata čiji je diferencijal jednak radu funkcija snage. Polje sile za koje postoji funkcija sile, zvao potencijalno polje sile, a sile koje djeluju u ovom polju su potencijalne sile.
Neka nula bodova za dvije funkcije sile P(x,y,z) i U(x,y,z) se poklapaju.
Koristeći formulu (14.3.5) dobijamo, tj. dA = dU(x,y,z) i
gdje je U vrijednost funkcije sile u tački M. Dakle
P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Potencijalna energija u bilo kojoj tački polja sila jednaka je vrijednosti funkcije sile u ovoj tački, uzete sa suprotnim predznakom.
To jest, kada se razmatraju svojstva polja sila, umjesto funkcije sile, možemo uzeti u obzir potencijalnu energiju, a posebno će se jednadžba (19.3.3) prepisati kao
Rad potencijalne sile jednak je razlici između vrijednosti potencijalne energije pokretne tačke u početnoj i krajnjoj poziciji.
Konkretno, rad gravitacije:
Neka sve sile koje djeluju na sistem budu potencijalne. Tada je za svaku tačku k sistema rad jednak
Tada će postojati za sve sile, i vanjske i unutrašnje
gdje je potencijalna energija cijelog sistema.
Ove sume zamjenjujemo u izraz za kinetičku energiju (19.2.3):
ili konačno:
Kada se kreće pod uticajem potencijalnih sila, zbir kinetičke i potencijalne energije sistema u svakom njegovom položaju ostaje konstantan. Ovo je zakon održanja mehaničke energije.
Teret mase 1 kg slobodno oscilira prema zakonu x = 0,1 sinl0t. Koeficijent krutosti opruge c = 100 N/m. Odrediti ukupnu mehaničku energiju tereta na x = 0,05 m, ako je pri x = 0 potencijalna energija nula 
. (0,5)
Teret mase m = 4 kg, padajući, izaziva rotaciju cilindra poluprečnika R = 0,4 m uz pomoć navoja.Moment inercije cilindra u odnosu na os rotacije je I = 0,2. Odrediti kinetičku energiju sistema tijela u trenutku kada je brzina tereta v = 2m/s 
. (10,5)
Postavite vrijednosti tjelesne težine pomoću klizačam, ugao nagiba ravnia, spoljna sila F ext , koeficijent trenjami ubrzanje A navedeno u tabeli 1 za vaš tim.
Istovremeno uključite štopericu i pritisnite dugme "Start". Isključite štopericu kada se vaše tijelo zaustavi na kraju kosoj ravni.
Uradite ovaj eksperiment 10 puta i zabilježite rezultate mjerenja vremena kada tijelo klizi iz nagnute ravni u tabelu. 2.
TABELA 1. Početni parametri eksperimenta
|
Brig br. |
||||||
|
m, kg |
||||||
|
m |
0,10 |
|||||
|
a, deg |
||||||
|
F in, N |
||||||
|
a, m/s 2 |
TABELA 2. Rezultati mjerenja i proračuna
|
Bez promjene |
Prosjek značenje |
Pogr. |
||||||||||
|
t, s |
||||||||||||
|
v , m/s |
||||||||||||
|
S, m |
||||||||||||
|
W k, J |
||||||||||||
|
W p, J |
||||||||||||
|
A tr, J |
||||||||||||
|
A in, J |
||||||||||||
|
W pun, J |
W p = - potencijalna energija tijela u gornjoj tački nagnute ravni; |
- rad vanjske sile na dionici spuštanjaTeorema o kinetičkoj energiji tačke u diferencijalnom obliku
Množenjem skalarno obje strane jednačine kretanja materijalne tačke elementarnim pomakom tačke dobijamo
ili, od , tada
Skalarna veličina ili polovina proizvoda mase tačke i kvadrata njene brzine naziva se kinetička energija tačke ili živa sila tačke.
Posljednja jednakost čini sadržaj teoreme o kinetičkoj energiji tačke u diferencijalnom obliku, koja glasi: diferencijal kinetičke energije tačke jednak je elementarnom radu koji djeluje na tačku sile.
Fizičko značenje teoreme o kinetičkoj energiji je da se rad koji izvrši sila koja djeluje na tačku akumulira u njoj kao kinetička energija kretanja.
Teorema o kinetičkoj energiji tačke u integralnom obliku
Neka se tačka pomeri iz pozicije A u poziciju B, prolazeći duž svoje putanje konačnim lukom AB (Sl. 113). Integriranje jednakosti od A do B:
gdje su brzine tačke u pozicijama A i B, respektivno.
Posljednja jednakost sačinjava sadržaj teoreme o kinetičkoj energiji tačke u integralnom obliku, koja glasi: promjena kinetičke energije tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je radu koji je za to isto vrijeme izvršio sila koja na njega deluje.
Rezultirajuća teorema vrijedi kada se tačka kreće pod utjecajem bilo koje sile. Međutim, kako je naznačeno, da bi se izračunao ukupan rad koji je izvršila sila, potrebno je opšti slučaj znati jednačine kretanja tačke.
Stoga, teorema o kinetičkoj energiji, općenito govoreći, ne daje prvi integral jednadžbi kretanja.
Energetski integral
Teorema kinetičke energije daje prvi integral jednadžbi kretanja tačke ako se ukupan rad koji izvrši sila može odrediti bez pribjegavanja jednadžbi kretanja. Potonje je moguće, kao što je prethodno navedeno, ako sila koja djeluje na tačku pripada polju sile. U ovom slučaju dovoljno je znati samo putanju tačke. Neka je putanja tačke neka vrsta krivulje, tada se koordinate njenih tačaka mogu izraziti kroz luk putanje, pa se, prema tome, sila koja zavisi od koordinata tačke može izraziti kroz
a teorema kinetičke energije daje prvi integral oblika
gdje su lukovi putanje koji odgovaraju tačkama A i projekcija sile na tangentu putanje (slika 113).
Potencijalna energija i zakon održanja mehaničke energije tačke
Posebno je zanimljivo kretanje tačke u potencijalnom polju, jer teorema o kinetičkoj energiji daje vrlo važan integral jednadžbi kretanja.
U potencijalnom polju, ukupan rad koji izvrši sila jednak je razlici između vrijednosti funkcije sile na kraju i na početku puta:
Stoga se teorema kinetičke energije u ovom slučaju piše kao:
Funkcija sile uzeta sa suprotnim predznakom naziva se potencijalna energija tačke i označava se slovom P:
Potencijalna energija, kao i funkcija sile, specificira se do proizvoljne konstante, čija je vrijednost određena izborom površine nultog nivoa. Zbir kinetičke i potencijalne energije tačke naziva se ukupna mehanička energija tačke.
Teorema o kinetičkoj energiji tačke, ako sila pripada potencijalnom polju, zapisuje se kao:
gdje su vrijednosti potencijalne energije koje odgovaraju tačkama A i B. Rezultirajuća jednačina čini sadržaj zakona održanja mehaničke energije za tačku, koji glasi: kada se kreće u potencijalnom polju, zbir kinetičkih i potencijalna energija tačke ostaje konstantna.
Budući da zakon održanja mehaničke energije vrijedi samo za sile koje pripadaju potencijalnim poljima, sile takvog polja nazivaju se konzervativnim (od latinskog glagola conservare - sačuvati), što naglašava ispunjenost formulisanog zakona u ovom slučaju. Imajte na umu da ako koncept kinetičke energije ima poznate fizičke osnove u svojoj definiciji, onda koncept potencijalne energije to nema. Koncept potencijalne energije u u određenom smislu je fiktivna veličina koja je definirana tako da promjene njene vrijednosti tačno odgovaraju promjenama kinetičke energije. Uvođenje ove veličine povezane s kretanjem pomaže u opisu kretanja i zbog toga igra značajnu ulogu u tzv. energetski opis pokret, razvijen od strane analitičke mehanike. Ovo posljednje je smisao uvođenja ove vrijednosti.
Rezultantni rad svih sila primijenjenih na tijelo jednak je promjeni kinetičke energije tijela.
Ova teorema vrijedi ne samo za translacijsko kretanje krutog tijela, već i za slučaj njegovog proizvoljnog kretanja.
Samo pokretna tijela imaju kinetičku energiju, zbog čega se naziva energija kretanja.
§ 8. Konzervativne (potencijalne) sile.
Polje konzervativnih snaga
Def.
Sile čiji rad ne zavisi od putanje kojom se tijelo kretalo, već je određen samo početnim i konačnim položajem tijela, nazivaju se konzervativne (potencijalne) sile.
Def.
Polje sile je područje prostora, u čijoj se tački primjenjuje sila na tijelo koje se tamo nalazi, mijenjajući se prirodno od tačke do tačke u prostoru.
Def.
Polje koje se ne mijenja tokom vremena naziva se stacionarno.
Sljedeće 3 tvrdnje se mogu dokazati
1) Rad koji obavljaju konzervativne sile duž bilo koje zatvorene putanje jednak je 0.
dokaz:
2) Homogeno polje sila je konzervativno.
Def.
Polje se naziva homogenim ako su u svim tačkama polja sile koje djeluju na tijelo koje se tamo nalazi identične po veličini i smjeru.
dokaz:
3) Polje centralnih sila, u kojem veličina sile zavisi samo od udaljenosti do centra, je konzervativno.
Def.
Polje centralnih sila je polje sila, u čijoj tački na tačkasto tijelo koje se kreće u njoj djeluje sila usmjerena duž linije koja prolazi kroz istu fiksnu tačku - centar polja.
U opštem slučaju, takvo polje centralnih sila nije konzervativno. Ako u polju centralnih sila veličina sile zavisi samo od udaljenosti do centra polja sila (O), tj. , onda je takvo polje konzervativno (potencijalno).
dokaz:
gdje je antiderivat .
§ 9. Potencijalna energija.
Odnos između sile i potencijalne energije
u polju konzervativnih snaga
Odaberimo ishodište koordinata kao polje konzervativnih sila, tj.
Potencijalna energija tijela u polju konzervativnih sila. Ova funkcija je određena jedinstveno (zavisi samo od koordinata), jer rad konzervativnih sila ne zavisi od vrste puta.
Nađimo vezu u polju konzervativnih sila pri kretanju tijela od tačke 1 do tačke 2.
Rad konzervativnih sila jednak je promjeni potencijalne energije suprotnog predznaka.
Potencijalna energija tijela polja konzervativnih sila je energija zbog prisustva polja sila koje je rezultat određene interakcije dato telo sa vanjskim tijelom (tijelima), za koje se kaže da stvara polje sile.
Potencijalna energija polja konzervativnih sila karakterizira sposobnost tijela da izvrši rad i numerički je jednaka radu konzervativnih sila da pomjere tijelo do početka koordinata (ili do tačke sa nultom energijom). Zavisi od izbora nultog nivoa i može biti negativan. U svakom slučaju, a samim tim važi i za elementarni rad, tj. ili , gdje je projekcija sile na smjer kretanja ili elementarnog pomaka. Dakle, . Jer možemo pomicati tijelo u bilo kojem smjeru, onda je za bilo koji smjer to istina. Projekcija konzervativne sile na proizvoljan pravac jednaka je derivaciji potencijalne energije u tom pravcu sa suprotnim predznakom.
Uzimajući u obzir proširenje vektora iu smislu baze , , dobijamo da
S druge strane od matematička analiza poznato je da puni diferencijal funkcije nekoliko varijabli jednak zbiru proizvodi parcijalnih izvoda u odnosu na argumente i diferencijale argumenata, tj. , što znači iz relacije koju dobijamo
Da biste kompaktnije zapisali ove relacije, možete koristiti koncept gradijenta funkcije.
Def.
Gradijent neke skalarne koordinatne funkcije je vektor sa koordinatama jednakim odgovarajućim parcijalnim izvodima ove funkcije.
U našem slučaju
Def.
Ekvipotencijalna površina je geometrijsko mjesto tačaka u polju konzervativnih sila čije su vrijednosti potencijalne energije iste, tj. .
Jer iz definicije ekvipotencijalne površine slijedi da je za točke na ovoj površini, onda , kao derivacija konstante, dakle .
Dakle, konzervativna sila je uvijek okomita na ekvipotencijalnu površinu i usmjerena je u smjeru smanjenja potencijalne energije. (P 1 > P 2 > P 3).
§ 10. Potencijalna energija interakcije.
Konzervativni mehanički sistemi
Razmotrimo sistem od dvije čestice koje međusobno djeluju. Neka su sile njihove interakcije centralne, a veličina sile ovisi o udaljenosti između čestica (takve sile su gravitacijske i električne Kulonove sile). Jasno je da su sile interakcije između dvije čestice unutrašnje.
Uzimajući u obzir treći Newtonov zakon (), dobijamo, tj. rad unutrašnjih sila interakcije između dvije čestice određen je promjenom udaljenosti između njih.
Isti rad bi se obavio da je prva čestica mirovala u početku, a druga dobila pomak jednak prirastu njenog radijus vektora, tj. rad unutarnjih sila može se izračunati uzimanjem u obzir jedne čestice stacionarne, a drugo kretanje u polju centralnih sila, čija je veličina jedinstveno određena rastojanjem između čestica. U §8 smo dokazali da je polje takvih sila (tj. polje centralnih sila, u kojem veličina sile zavisi samo od udaljenosti do centra) konzervativno, što znači da se njihov rad može smatrati smanjenjem potencijalna energija (definisana, prema §9, za polje konzervativnih sila).
U slučaju koji se razmatra, ova energija je posljedica interakcije dvije čestice koje čine zatvoreni sistem. Zove se potencijalna energija interakcije (ili uzajamna potencijalna energija). Takođe zavisi od izbora nultog nivoa i može biti negativan.
Def.
Mehanički sistem krutih tijela, među kojima su unutrašnje sile konzervativne, naziva se konzervativni mehanički sistem.
Može se pokazati da je potencijalna energija interakcije konzervativnog sistema od N čestica sastavljena od potencijalnih interakcijskih energija čestica uzetih u parovima, što se može zamisliti.
Gdje je potencijalna energija interakcije između dvije čestice i-te i j-te. Indeksi i i j u zbiru poprimaju nezavisne vrijednosti od 1,2,3, ..., N. S obzirom da je ista potencijalna energija interakcije i-te i j-te čestice jedna s drugom, onda kada se zbroje , energija će se pomnožiti sa 2, zbog čega se ispred količine pojavljuje koeficijent. Generalno, potencijalna energija interakcije sistema od N čestica zavisiće od položaja ili koordinata svih čestica. Lako je vidjeti da je potencijalna energija čestice u polju konzervativnih sila vrsta potencijalne energije interakcije sistema čestica, jer polje sile je rezultat neke interakcije tijela jedno s drugim.
§ 11. Zakon održanja energije u mehanici.
Neka solidan kreće napred pod uticajem konzervativnih i nekonzervativnih snaga, tj. opšti slučaj. Tada je rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo . Rad rezultante svih sila u ovom slučaju.
Teoremom o kinetičkoj energiji, a takođe i uzimajući to u obzir, dobijamo
Ukupna mehanička energija tijela
Ako onda. To je ono što je matematička notacija zakon održanja energije u mehanici za pojedinačno tijelo.
Formulacija zakona održanja energije:
Ukupna mehanička energija tijela se ne mijenja u odsustvu rada nekonzervativnih sila.
Za mehanički sistem od N čestica lako je pokazati da se (*) odvija.
Gde
Prvi zbroj ovdje je ukupna kinetička energija sistema čestica.
Druga je ukupna potencijalna energija čestica u vanjskom polju konzervativnih sila
Treća je potencijalna energija interakcije čestica sistema jedna s drugom.
Drugi i treći zbir predstavljaju ukupnu potencijalnu energiju sistema.
Rad nekonzervativnih snaga sastoji se od dva pojma, koji predstavljaju rad unutrašnjih i eksternih nekonzervativnih snaga.
Baš kao iu slučaju kretanja pojedinačnog tijela, za mehanički sistem od N tijela, ako , onda , i zakon održanja energije u opštem slučaju za mehanički sistem glasi:
Ukupna mehanička energija sistema čestica koje su samo pod uticajem konzervativnih sila je očuvana.
Dakle, u prisustvu nekonzervativnih sila, ukupna mehanička energija se ne održava.
Nekonzervativne sile su, na primjer, sila trenja, sila otpora i druge sile čije djelovanje uzrokuje dezinizaciju energije (prijelaz mehaničke energije u toplinu).
Sile koje vode do dezinizacije nazivaju se desinativne. Neke sile nisu nužno odredišne.
Zakon održanja energije je univerzalan i primjenjuje se ne samo na mehaničke pojave, već i na sve procese u prirodi. Ukupna količina energije u izolovanom sistemu tela i polja uvek ostaje konstantna. Energija se može kretati samo iz jednog oblika u drugi.
Uzimajući u obzir ovu jednakost
Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
rad rezultantnih sila primijenjenih na tijelo jednak je promjeni kinetičke energije tijela.
Kako je promjena kinetičke energije jednaka radu sile (3), kinetička energija tijela izražava se u istim jedinicama kao i rad, odnosno u džulima.
Ako je početna brzina kretanja tijela mase m je nula i tijelo povećava svoju brzinu do vrijednosti υ , tada je rad sile jednak konačnoj vrijednosti kinetičke energije tijela:
A=Ek 2−Ek 1=m⋅υ 22−0=m⋅υ 22 .
42) Potencijalna polja
Potencijalno polje
konzervativno polje, vektorsko polje čija je cirkulacija duž bilo koje zatvorene putanje nula. Ako je polje sila polje sila, to znači da je rad sila polja duž zatvorene putanje jednak nuli. Za P. p. A(M) postoji takva jedinstvena funkcija u(M)(Potencijal polja) to A= grad u(vidi Gradijent). Ako je polje polja dato u jednostavno povezanoj domeni Ω, tada se potencijal ovog polja može naći pomoću formule
pri čemu AM- bilo koja glatka kriva koja povezuje fiksnu tačku A iz Ω sa tačkom M, t - jedinični vektor tangentne krive A.M. i / - dužina luka A.M. baziran na tačkama A. Ako A(M) - P. p., zatim truleži a= 0 (vidi Vektorski vrtlog polja). Obrnuto, ako trune A= 0 i polje je definirano u jednostavno povezanoj domeni i onda je diferencijabilno A(M) - P.p. Potencijal su, na primjer, elektrostatičko polje, gravitacijsko polje i polje brzine tokom nerotacionog kretanja.
43) Potencijalna energija
Potencijalna energija- skalar fizička količina, karakterizirajući sposobnost određenog tijela (ili materijalne tačke) da obavlja rad zbog njegovog položaja u polju djelovanja sila. Druga definicija: potencijalna energija je funkcija koordinata, što je pojam u Lagranžovom sistemu i opisuje interakciju elemenata sistema. Termin "potencijalna energija" skovao je u 19. veku škotski inženjer i fizičar William Rankine.
SI jedinica za energiju je džul.
Pretpostavlja se da je potencijalna energija nula za određenu konfiguraciju tijela u prostoru, čiji je izbor određen pogodnošću daljih proračuna. Proces odabira ove konfiguracije se zove normalizacija potencijalne energije.
Ispravna definicija potencijalne energije može se dati samo u polju sila čiji rad ovisi samo o početnom i konačnom položaju tijela, ali ne i o putanji njegovog kretanja. Takve sile se nazivaju konzervativne.
Također, potencijalna energija je karakteristika interakcije više tijela ili tijela i polja.
Bilo koji fizički sistem teži stanju sa najnižom potencijalnom energijom.
Potencijalna energija elastična deformacija karakteriše interakciju između delova tela.
Potencijalna energija u gravitacionom polju Zemlje blizu površine približno je izražena formulom:
Gdje E str- potencijalna energija tela, m- tjelesna masa, g- ubrzanje gravitacije, h- visina centra mase tijela iznad proizvoljno odabranog nultog nivoa.
44) Odnos između sile i potencijalne energije
Svaka tačka potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, određenoj vrijednosti vektora sile koja djeluje na tijelo, as druge strane određenoj vrijednosti potencijalne energije. Stoga mora postojati određeni odnos između sile i potencijalne energije.
Da bismo uspostavili ovu vezu, izračunajmo elementarni rad koji obavljaju sile polja pri malom pomaku tijela koji se odvija duž proizvoljno odabranog smjera u prostoru, koji označavamo slovom . Ovaj rad je jednak
gdje je projekcija sile na smjer.
Od u u ovom slučaju rad se obavlja zbog rezerve potencijalne energije, jednak je gubitku potencijalne energije na segmentu ose:
Iz zadnja dva izraza dobijamo
Posljednji izraz daje prosječnu vrijednost na intervalu. To
da biste dobili vrijednost u tački morate ići do granice:
u vektoru matematike,
gdje je a skalarna funkcija od x, y, z, nazvana gradijent ovog skalara i označena simbolom . Dakle, sila je jednaka gradijentu potencijalne energije uzetim sa suprotnim predznakom
45) Zakon održanja mehaničke energije
