Razni načini dokaz Pitagorine teoreme
učenik 9. "A" razreda
Opštinska obrazovna ustanova Srednja škola br.8
naučni savjetnik:
nastavnik matematike,
Opštinska obrazovna ustanova Srednja škola br.8
Art. Novorozhdestvenskaya
Krasnodar region.
Art. Novorozhdestvenskaya
ANOTATION.
Pitagorina teorema se s pravom smatra najvažnijom u kursu geometrije i zaslužuje veliku pažnju. To je osnova za rješavanje mnogih geometrijskih problema, osnova za izučavanje teorijskih i praktičnih predmeta geometrije u budućnosti. Teorema je okružena obiljem istorijskog materijala koji se odnosi na njen izgled i metode dokazivanja. Proučavanje istorije razvoja geometrije usađuje ljubav prema ovoj temi, podstiče razvoj kognitivnog interesovanja, opšte kulture i kreativnosti, a takođe razvija istraživačke veštine.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja, postignut je cilj rada, a to je dopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorine teoreme. Bilo je moguće pronaći i razmotriti različite metode dokazivanja i produbljivanja znanja o ovoj temi, nadilazeći stranice školskog udžbenika.
Prikupljeni materijal nas dodatno uvjerava da je Pitagorina teorema velika teorema geometrije i da ima ogroman teorijski i praktični značaj.
Uvod. Istorijska referenca 5 Glavni dio 8
3. Zaključak 19
4. Korištena literatura 20
1. UVOD. ISTORIJSKA REFERENCA.
Suština istine je da je za nas zauvek,
Kada bar jednom u njenom uvidu ugledamo svetlost,
I Pitagorina teorema nakon toliko godina
Za nas, kao i za njega, to je neosporno, besprekorno.
Da se raduje, Pitagora se zavetovao bogovima:
Za dodir beskrajne mudrosti,
Zaklao je stotinu bikova, zahvaljujući vječnim;
On je klanjao molitve i hvale nakon žrtve.
Od tada, kada bikovi to pomirišu, guraju se,
Da trag opet vodi ljude do nove istine,
Besno urlaju, tako da nema smisla slušati,
Takav Pitagora im je zauvek usadio teror.
Bikovi, nemoćni da se odupru novoj istini,
Šta ostaje? - Samo zatvaraš oči, urlaš, drhtiš.
Nije poznato kako je Pitagora dokazao svoju teoremu. Ono što je sigurno jeste da ga je otkrio pod snažnim uticajem egipatske nauke. Poseban slučaj Pitagorine teoreme - svojstva trokuta sa stranicama 3, 4 i 5 - bio je poznat graditeljima piramida mnogo prije Pitagorinog rođenja, a i sam je učio kod egipatskih svećenika više od 20 godina. Sačuvana je legenda koja kaže da je Pitagora, dokazavši svoju čuvenu teoremu, bogovima žrtvovao bika, a prema drugim izvorima čak 100 bikova. Ovo je, međutim, u suprotnosti sa informacijama o Pitagorinim moralnim i religioznim stavovima. U literarnim izvorima možete pročitati da je “zabranio čak i ubijanje životinja, a još manje hranjenje njima, jer životinje imaju dušu, kao i mi”. Pitagora je jeo samo med, hljeb, povrće i povremeno ribu. U vezi sa svim ovim, vjerojatnijim se može smatrati sljedeći zapis: “...pa čak i kada je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara katetama, žrtvovao je bika od pšeničnog tijesta.”
Popularnost Pitagorine teoreme je toliko velika da se njeni dokazi nalaze čak i u fikciji, na primjer, u priči "Mladi Arhimed" poznatog engleskog pisca Hakslija. Isti dokaz, ali za poseban slučaj jednakokračnog pravouglog trougla, dat je u Platonovom dijalogu “Meno”.
Bajka "Dom".
„Daleko, daleko, gde ni avioni ne lete, je zemlja geometrije. U ovoj neobičnoj zemlji postojao je jedan neverovatan grad - grad Teorem. Jednog dana sam došao u ovaj grad lijepa djevojka nazvana hipotenuza. Pokušala je iznajmiti sobu, ali bez obzira gdje se prijavila, odbijena je. Konačno je prišla klimavoj kući i pokucala. Čovek koji je sebe nazvao Pravi ugao otvorio joj je vrata i pozvao je Hipotenuzu da živi sa njim. Hipotenuza je ostala u kući u kojoj su živjeli Pravougao i njegova dva mlada sina po imenu Katetes. Od tada se život u kući Pravog ugla promijenio na novi način. Hipotenuza je zasadila cvijeće na prozoru i zasadila crvene ruže u prednjem vrtu. Kuća je dobila oblik pravokutnog trougla. Obe noge su zaista volele hipotenuzu i zamolile su je da zauvek ostane u njihovoj kući. Uveče se ova prijateljska porodica okuplja za porodičnim stolom. Ponekad se Pravi ugao igra žmurke sa svojom decom. Najčešće mora tražiti, a Hipotenuza se tako vješto skriva da je može biti vrlo teško pronaći. Jednog dana, dok je igrao, Pravi ugao je primetio zanimljivu osobinu: ako uspe da pronađe noge, onda nije teško pronaći hipotenuzu. Tako da Pravi ugao koristi ovaj obrazac, moram reći, vrlo uspješno. Pitagorina teorema zasniva se na svojstvu ovog pravouglog trougla.”
(Iz knjige A. Okuneva „Hvala vam na lekciji, djeco”).
Šaljiva formulacija teoreme:
Ako nam je dat trougao
I pod pravim uglom,
To je kvadrat hipotenuze
Uvek možemo lako pronaći:
Mi kvadriramo noge,
Nalazimo zbir snaga -
I to na tako jednostavan način
Doći ćemo do rezultata.
Učeći algebru i početke analize i geometrije u 10. razredu, uvjerio sam se da pored metode dokazivanja Pitagorine teoreme o kojoj se govori u 8. razredu, postoje i druge metode dokazivanja. Predstavljam vam ih na razmatranje.
2. GLAVNI DIO.
Teorema. U pravokutnom trokutu nalazi se kvadrat
Hipotenuza je jednaka zbroju kvadrata kateta.
1 METODA.
Koristeći svojstva površina poligona, uspostavit ćemo izuzetan odnos između hipotenuze i krakova pravokutnog trokuta.
Dokaz.
a, c i hipotenuzu With(Sl. 1, a).
Dokažimo to c²=a²+b².
Dokaz.
Završimo trokut do kvadrata sa stranicom a + b kao što je prikazano na sl. 1, b. Površina S ovog kvadrata je (a + b)². S druge strane, ovaj kvadrat se sastoji od četiri jednaka pravokutna trokuta, od kojih svaki ima površinu od ½ aw, i kvadrat sa stranom sa, dakle S = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².
dakle,
(a + b)² = 2 aw + s²,
c²=a²+b².
Teorema je dokazana.
2 METODA.
Nakon proučavanja teme “Slični trouglovi”, otkrio sam da sličnost trokuta možete primijeniti na dokaz Pitagorine teoreme. Naime, koristio sam tvrdnju da je krak pravokutnog trokuta srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji je zatvoren između kateta i visine povučene iz vrha pravi ugao.
Posmatrajmo pravougli trougao sa pravim uglom C, CD – visina (sl. 2). Dokažimo to AC² +NE² = AB²
.
Dokaz.
Na osnovu tvrdnje o kraku pravouglog trougla:
AC = , SV = .
Kvadirajmo i dodajmo rezultirajuće jednakosti:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), gdje je AD+DB=AB, dakle
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Dokaz je potpun.
3 METODA.
Da biste dokazali Pitagorinu teoremu, možete primijeniti definiciju kosinusa oštrog ugla pravokutnog trokuta. Pogledajmo sl. 3.
dokaz:
Neka je ABC dat pravougli trougao sa pravim uglom C. Nacrtajmo visinu CD iz vrha pravog ugla C.
Po definiciji kosinusa ugla:
cos A = AD/AC = AC/AB. Stoga AB * AD = AC²
Isto tako,
cos B = VD/VS = VS/AV.
Stoga AB * BD = BC².
Sabiranjem rezultirajućih jednakosti pojam po član i napomenom da je AD + DB = AB, dobijamo:
AC² + sunce² = AB (AD + DB) = AB²
Dokaz je potpun.
4 METODA.
Proučivši temu „Odnosi između stranica i uglova pravouglog trougla“, mislim da se Pitagorina teorema može dokazati i na drugi način.
Zamislite pravougaoni trougao sa nogama a, c i hipotenuzu With. (Sl. 4).
Dokažimo to c²=a²+b².
Dokaz.
grijeh B= visoka kvaliteta ; cos B= a/c , tada, kvadrirajući rezultirajuće jednakosti, dobijamo:
sin² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².
Ako ih saberemo, dobijamo:
sin² IN+cos² B= v²/s²+ a²/s², gdje je sin² IN+cos² B=1,
1= (v²+ a²) / s², dakle,
c²= a² + b².
Dokaz je potpun.
5 METODA.
Ovaj dokaz se zasniva na rezanju kvadrata izgrađenih na katetama (slika 5) i postavljanju rezultirajućih dijelova na kvadrat izgrađen na hipotenuzi.
6 METODA.
Za dokaz sa strane Ned gradimo BCD ABC(Sl. 6). Znamo da su površine sličnih figura povezane kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija:
Oduzimanjem druge od prve jednakosti, dobijamo
c2 = a2 + b2.
Dokaz je potpun.
7 METODA.
Dato(slika 7):
ABC,= 90° , sunce= a, AC=b, AB = c.
dokazati:c2 = a2 +b2.
Dokaz.
Pusti nogu b A. Nastavimo segment NE po bodu IN i izgradi trougao BMD tako da tačke M I A leži na jednoj strani ravne linije CD a osim toga, BD =b, BDM= 90°, DM= a, onda BMD= ABC na dvije strane i ugao između njih. Tačke A i M povezati sa segmentima AM. Imamo M.D. CD I A.C. CD, to znači da je ravna AC paralelno sa linijom M.D. Jer M.D.< АС, onda pravo CD I A.M. ne paralelno. stoga, AMDC- pravougaoni trapez.
U pravokutnim trokutima ABC i BMD 1 + 2 = 90° i 3 + 4 = 90°, ali pošto je = =, onda je 3 + 2 = 90°; Onda AVM=180° - 90° = 90°. Ispostavilo se da je trapez AMDC je podijeljen na tri pravokutna trougla koja se ne preklapaju, a zatim aksiomima površine
(a+b)(a+b)
Dijelimo sve pojmove nejednakosti sa , Dobijamo
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Dokaz je potpun.
8 METODA.
Ova metoda se zasniva na hipotenuzi i katetama pravokutnog trokuta ABC. On konstruiše odgovarajuće kvadrate i dokazuje da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak zbiru kvadrata izgrađenih na katetama (slika 8).
Dokaz.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, znači, FBC = DBA.
dakle, FBC=ABD(na dvije strane i ugao između njih).
2) 
,
gdje je AL DE, pošto je BD zajednička baza, DL- ukupna visina.
3) 
, pošto je FB fondacija, AB- ukupna visina.
4) 
5) Slično, može se dokazati da 
6) Zbrajajući pojam po termin, dobijamo:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Dokaz je potpun.
9 METODA.
Dokaz.
1) Neka ABDE- kvadrat (slika 9) čija je stranica jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Neka DK B.C. I DK = sunce, budući da je 1 + 2 = 90° (kao oštri uglovi pravouglog trokuta), 3 + 2 = 90° (kao ugao kvadrata), AB= BD(strane kvadrata).
znači, ABC= BDK(po hipotenuzi i oštrom uglu).
3) Neka EL D.K., A.M. E.L. Lako se može dokazati da je ABC = BDK = DEL = EAM (sa nogama A I b). Onda KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),With2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Dokaz je potpun.
10 METODA.
Dokaz se može izvesti na figuri koja se u šali naziva “pitagorine pantalone” (slika 10). Njegova ideja je transformirati kvadrate izgrađene na stranama u jednake trokute koji zajedno čine kvadrat hipotenuze.
ABC pomerite ga kao što je prikazano strelicom i on zauzima poziciju KDN. Ostatak figure AKDCB jednaka površina kvadrata AKDC ovo je paralelogram AKNB.
Napravljen je model paralelograma AKNB. Preuređujemo paralelogram kako je skicirano u sadržaju rada. Da bismo prikazali transformaciju paralelograma u trougao jednake površine, pred učenicima odsiječemo trokut na modelu i pomjeramo ga prema dolje. Dakle, površina kvadrata AKDC pokazalo se da je jednako površini pravokutnika. Slično, pretvaramo površinu kvadrata u površinu pravokutnika.
Napravimo transformaciju za kvadrat izgrađen na strani A(Sl. 11,a):
a) kvadrat se transformiše u jednak paralelogram (slika 11.6):
b) paralelogram se okreće za četvrtinu okreta (slika 12):
c) paralelogram se transformiše u jednak pravougaonik (slika 13): 11 METODA.
dokaz:
PCL - ravno (sl. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Dokaz je gotov .
12 METODA.
Rice. Slika 15 ilustruje još jedan originalni dokaz Pitagorine teoreme.
Ovdje: trougao ABC sa pravim uglom C; linijski segment B.F. okomito NE i jednak njemu, segment BE okomito AB i jednak njemu, segment AD okomito AC i jednaka tome; bodova F, C,D pripadaju istoj liniji; četvorouglovi ADFB I ASVE jednake veličine, pošto ABF = ECB; trouglovi ADF I ACE jednake veličine; oduzmite od oba jednaka četverougla trougao koji dijele ABC, dobijamo
, c2 = a2 +
b2.
Dokaz je potpun.
13 METODA.
Površina datog pravokutnog trougla, na jednoj strani, jednaka je ,
sa drugim, ,
3. ZAKLJUČAK.
Kao rezultat aktivnosti pretraživanja postignut je cilj rada, a to je dopuna i generalizacija znanja o dokazu Pitagorine teoreme. Bilo je moguće pronaći i razmotriti različite načine dokazivanja i produbljivanja znanja o temi, nadilazeći stranice školskog udžbenika.
Materijal koji sam prikupio još više me uvjerava da je Pitagorina teorema velika teorema geometrije i da ima ogroman teorijski i praktični značaj. U zaključku, želio bih reći: razlog popularnosti Pitagorine teoreme o trojstvu je njena ljepota, jednostavnost i značaj!
4. KORIŠTENA LITERATURA.
1. Zabavna algebra. . Moskva "Nauka", 1978.
2. Sedmični nastavno-metodički dodatak listu “Prvi septembar”, 24/2001.
3. Geometrija 7-9. i sl.
4. Geometrija 7-9. i sl.
(prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili „vlagači užeta“, gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.
Vrlo je lako reproducirati njihov način izgradnje. Uzmimo uže dužine 12 m i za njega vežemo traku u boji na udaljenosti od 3 m od jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat, koji koriste svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolariju.
Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, odnosno 2000. godine prije Krista. e. , dat je približan proračun hipotenuze pravokutnog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i babilonskoj matematici, as druge strane, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) je zaključio da postoji velika vjerovatnoća da će teorema o kvadratu hipotenuze bila je poznata u Indiji već oko 18. vijeka prije nove ere. e.
Oko 400. pne. pne, prema Proklu, Platon je dao metodu za pronalaženje Pitagorinih trojki, kombinujući algebru i geometriju. Oko 300. pne. e. Najstariji aksiomatski dokaz Pitagorine teoreme pojavio se u Euklidovim elementima.
Formulacije
Geometrijska formulacija:
Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:
Algebarska formulacija:
To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta sa , i dužine nogu sa i :
Obje formulacije teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija i ne zahtijeva koncept površine. To jest, drugi iskaz se može provjeriti bez poznavanja površine i mjerenjem samo dužina stranica pravouglog trougla.
Obratna Pitagorina teorema:
Dokaz
On ovog trenutka U naučnoj literaturi je zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema s tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost se može objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.
Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (npr. diferencijalne jednadžbe).
Kroz slične trouglove
Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji dokaz, konstruiran direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.
Neka ABC postoji pravougaoni trougao sa pravim uglom C. Nacrtajmo visinu iz C i označimo njegovu bazu sa H. Trougao ACH slično trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC. Uvođenjem notacije
dobijamo
Šta je ekvivalentno
Zbrajajući, dobijamo
, što je trebalo dokazatiDokaz korištenjem metode površine
Dokazi u nastavku, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopšte nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.
Dokaz putem ekvikomplementacije
- Rasporedimo četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici 1.
- Četvorougao sa stranicama c je kvadrat, jer je zbir dva oštra ugla 90°, a pravi ugao 180°.
- Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), as druge strane zbiru površina četiri trokuta i površina unutrašnjeg kvadrata.
Q.E.D.
Euklidov dokaz
Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katovima, a zatim površina veliki i dva mala kvadrata su jednaki.
Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo konstruisali kvadrate na stranicama pravouglog trougla i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ, respektivno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima.
Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK Da bismo to učinili, koristit ćemo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom. dati pravougaonik jednak je polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano na slici), što je zauzvrat jednako polovini površine pravokutnika AHJK.
Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gornjoj osobini). Ova jednakost je očigledna: trokuti su jednaki na obje strane i ugao između njih. Naime - AB=AK, AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD lako je dokazati metodom kretanja: trougao CAK rotiramo za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očigledno da su odgovarajuće stranice dva trokuta u pitanje će se poklopiti (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°).
Obrazloženje za jednakost površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI je potpuno slično.
Tako smo dokazali da se površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastoji od površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja koja stoji iza ovog dokaza dodatno je ilustrovana gornjom animacijom.
Dokaz o Leonardu da Vinčiju
Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje.
Razmotrimo crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment siječe kvadrat na dva identična dijela (pošto su trokuti jednaki u konstrukciji).
Koristeći 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko tačke, vidimo jednakost osjenčanih figura i.
Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovice površina malih kvadrata (sagrađenih na nogama) i površine originalnog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine velikog kvadrata (sagrađenog na hipotenuzi) plus površina originalnog trokuta. Dakle, polovina zbira površina malih kvadrata jednaka je polovini površine velikog kvadrata, pa je stoga zbir površina kvadrata izgrađenih na nogama jednak površini kvadrata izgrađenog na hipotenuza.
Dokaz infinitezimalnom metodom
Sljedeći dokaz korištenjem diferencijalnih jednačina često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardiju, koji je živio u prvoj polovini 20. stoljeća.
Gledajući crtež prikazan na slici i promatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za beskonačno male bočne priraštaje With I a(koristeći sličnost trokuta):
Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo
Više opšti izraz promijeniti hipotenuzu u slučaju povećanja oba kraka
Integracijom ove jednačine i korištenjem početnih uslova dobijamo
Tako dolazimo do željenog odgovora
Kao što je lako vidjeti, kvadratna zavisnost u konačnoj formuli se pojavljuje zbog linearne proporcionalnosti između stranica trougla i prirasta, dok je zbir povezan sa nezavisnim doprinosima prirasta različitih kateta.
Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživi povećanje (in u ovom slučaju nogu). Tada za integracijsku konstantu dobijamo
Varijacije i generalizacije
Slični geometrijski oblici na tri strane
Generalizacija za slične trokute, površina zelenih oblika A + B = površina plavog C
Pitagorina teorema koja koristi slične pravokutne trokute
Euklid je u svom radu generalizovao Pitagorinu teoremu Počeci, proširujući površine kvadrata na stranama na površine sličnih geometrijskih figura:
Ako gradite slično geometrijske figure(vidi Euklidsku geometriju) na stranicama pravokutnog trokuta, tada će zbir dvije manje figure biti jednak površini veće figure.
Glavna ideja ove generalizacije je da je površina takve geometrijske figure proporcionalna kvadratu bilo koje od njegovih linearnih dimenzija i, posebno, kvadratu dužine bilo koje stranice. Stoga, za slične brojke s površinama A, B I C izgrađen na stranama sa dužinom a, b I c, imamo:
Ali, prema Pitagorinoj teoremi, a 2 + b 2 = c 2 onda A + B = C.
Suprotno tome, ako to možemo dokazati A + B = C za tri slične geometrijske figure bez upotrebe Pitagorine teoreme, onda možemo dokazati samu teoremu, krećući se u suprotnom smjeru. Na primjer, početni središnji trokut može se ponovo koristiti kao trokut C na hipotenuzi i dva slična pravokutna trokuta ( A I B), izgrađene na druge dvije strane, koje nastaju dijeljenjem središnjeg trougla njegovom visinom. Dakle, zbir površina dva manja trokuta je očito jednak površini trećeg A + B = C i, ispunjavajući prethodni dokaz u obrnutim redosledom, dobijamo Pitagorinu teoremu a 2 + b 2 = c 2 .
Kosinus teorema
Pitagorina teorema je poseban slučaj opštija teorema kosinusa, koja povezuje dužine stranica u proizvoljnom trokutu:
gdje je θ ugao između stranica a I b.
Ako je θ 90 stepeni onda cos θ = 0 i formula se pojednostavljuje na uobičajenu Pitagorinu teoremu.
Free Triangle
U bilo koji odabrani kut proizvoljnog trokuta sa stranicama a, b, c Upišimo jednakokraki trokut na način da su jednaki uglovi u njegovoj osnovi θ jednaki odabranom kutu. Pretpostavimo da se odabrani ugao θ nalazi nasuprot označenoj strani c. Kao rezultat, dobili smo trokut ABD sa uglom θ, koji se nalazi nasuprot stranice a i zabave r. Drugi trokut formira ugao θ koji se nalazi nasuprot stranice b i zabave With dužina s, kao što je prikazano na slici. Thabit Ibn Qurra je tvrdio da su stranice u ova tri trokuta povezane na sljedeći način:
Kako se ugao θ približava π/2, osnova jednakokračnog trougla postaje manja i dvije stranice r i s se sve manje preklapaju. Kada je θ = π/2, ADB postaje pravougli trokut, r + s = c i dobijamo početnu Pitagorinu teoremu.
Hajde da razmotrimo jedan od argumenata. Trougao ABC ima iste uglove kao i trougao ABD, ali obrnutim redosledom. (Dva trougla imaju zajednički ugao u vrhu B, oba imaju ugao θ i takođe imaju isti treći ugao, zbirom uglova trougla) Prema tome, ABC je sličan refleksiji ABD trougla DBA, kao što je prikazano na donjoj slici. Zapišimo odnos između suprotnih strana i onih koji su susjedni kutu θ,
Takođe odraz drugog trougla,
Pomnožimo razlomke i dodajmo ova dva omjera:
Q.E.D.
Generalizacija za proizvoljne trouglove preko paralelograma
Generalizacija za proizvoljne trouglove,
zelena površina parcela = površina plava
Dokaz teze da je na gornjoj slici
Napravimo daljnju generalizaciju za nepravokutne trougle korištenjem paralelograma na tri strane umjesto kvadrata. (kvadrati su poseban slučaj.) Gornja slika pokazuje da je za oštar trokut površina paralelograma na dužoj strani jednaka zbroju paralelograma na druge dvije strane, pod uslovom da je paralelogram na dugačkoj strani strana je konstruisana kako je prikazano na slici (dimenzije označene strelicama su iste i određuju stranice donjeg paralelograma). Ova zamjena kvadrata paralelogramima ima jasnu sličnost sa početnom Pitagorinom teoremom, za koju se smatra da ju je formulirao Papus iz Aleksandrije 4. nove ere. e.
Donja slika pokazuje napredak dokaza. Pogledajmo lijevu stranu trougla. Lijevi zeleni paralelogram ima istu površinu kao lijeva strana plavi paralelogram jer imaju istu osnovu b i visina h. Također, lijevi zeleni paralelogram ima istu površinu kao i lijevi zeleni paralelogram na gornjoj slici jer dijele zajedničku osnovu (gornji lijevoj strani trokut) i ukupna visina okomita na tu stranu trokuta. Koristeći slično razmišljanje za desnu stranu trokuta, dokazat ćemo da donji paralelogram ima istu površinu kao dva zelena paralelograma.
Kompleksni brojevi
Pitagorina teorema se koristi za pronalaženje udaljenosti između dvije tačke u kartezijanskom koordinatnom sistemu, a ova teorema vrijedi za sve prave koordinate: udaljenost s između dve tačke ( a, b) I ( c,d) jednako
Nema problema sa formulom ako se kompleksni brojevi tretiraju kao vektori sa realnim komponentama x + i y = (x, y). . Na primjer, udaljenost s između 0 + 1 i i 1 + 0 i izračunato kao modul vektora (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), ili
Međutim, za operacije sa vektorima sa složenim koordinatama potrebno je napraviti određena poboljšanja Pitagorine formule. Udaljenost između tačaka sa kompleksni brojevi (a, b) I ( c, d); a, b, c, And d sve složene, hajde da formulišemo koristeći apsolutne vrijednosti. Razdaljina s na osnovu vektorske razlike (a − c, b − d) u sljedećem obliku: neka razlika a − c = str+ i q, Gdje str- pravi dio razlike, q je imaginarni dio, a i = √(−1). Isto tako, neka b − d = r+ i s. onda:
gdje je kompleksni konjugirani broj za . Na primjer, udaljenost između tačaka (a, b) = (0, 1) I (c, d) = (i, 0) , izračunajmo razliku (a − c, b − d) = (−i, 1) a rezultat bi bio 0 ako se ne koriste kompleksni konjugati. Dakle, koristeći poboljšanu formulu, dobijamo
Modul je definisan na sledeći način:
Stereometrija
Značajna generalizacija Pitagorine teoreme za trodimenzionalni prostor je de Gojeva teorema, nazvana po J.-P. de Gois: ako tetraedar ima pravi ugao (kao u kocki), tada je kvadrat površine lica nasuprot pravog kuta jednak zbroju kvadrata površina druga tri lica. Ovaj zaključak se može sažeti kao " n-dimenzionalna Pitagorina teorema":
Pitagorina teorema trodimenzionalni prostor povezuje dijagonalu AD sa tri strane.
Još jedna generalizacija: Pitagorina teorema se može primijeniti na stereometriju u sljedećem obliku. Zamislite pravougaoni paralelepiped kao što je prikazano na slici. Nađimo dužinu dijagonale BD koristeći Pitagorinu teoremu:
gde tri strane čine pravougaoni trougao. Koristimo horizontalnu dijagonalu BD i vertikalnu ivicu AB da pronađemo dužinu dijagonale AD, za ovo ponovo koristimo Pitagorinu teoremu:
ili, ako sve zapišemo u jednu jednačinu:
Ovaj rezultat je trodimenzionalni izraz za određivanje veličine vektora v(dijagonala AD), izražena u smislu njenih okomitih komponenti ( v k ) (tri međusobno okomite stranice):
Ova jednačina se može smatrati generalizacijom Pitagorine teoreme za višedimenzionalni prostor. Međutim, rezultat zapravo nije ništa drugo do ponovljena primjena Pitagorine teoreme na niz pravokutnih trouglova u uzastopnim okomitim ravnima.
Vektorski prostor
U slučaju ortogonalnog sistema vektora, postoji jednakost, koja se još naziva i Pitagorina teorema:
Ako su - ovo projekcije vektora na koordinatne ose, onda se ova formula poklapa s euklidskom udaljenosti - i znači da je dužina vektora jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih komponenti.
Analog ove jednakosti u slučaju beskonačnog sistema vektora naziva se Parsevalova jednakost.
Neeuklidska geometrija
Pitagorina teorema je izvedena iz aksioma euklidske geometrije i, u stvari, ne vrijedi za neeuklidsku geometriju, u obliku u kojem je gore napisano. (To jest, Pitagorina teorema se ispostavlja kao neka vrsta ekvivalenta Euklidovom postulatu paralelizma) Drugim riječima, u neeuklidskoj geometriji odnos između stranica trokuta će nužno biti u obliku različitom od Pitagorine teoreme. Na primjer, u sfernoj geometriji, sve tri strane pravokutnog trokuta (npr a, b I c), koji ograničavaju oktant (osmi dio) jedinične sfere, imaju dužinu π/2, što je u suprotnosti s Pitagorinom teoremom, jer a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Razmotrimo ovdje dva slučaja neeuklidske geometrije – sfernu i hiperboličku geometriju; u oba slučaja, što se tiče euklidskog prostora za pravokutne trougle, rezultat, koji zamjenjuje Pitagorinu teoremu, slijedi iz kosinusne teoreme.
Međutim, Pitagorina teorema ostaje važeća za hiperboličku i eliptičku geometriju ako se zahtjev da je trokut pravougaonik zamijenjen uvjetom da zbir dva ugla trokuta mora biti jednak trećem, npr. A+B = C. Tada odnos između stranica izgleda ovako: zbir površina krugova s prečnicima a I b jednaka površini kruga prečnika c.
Sferna geometrija
Za bilo koji pravokutni trokut na sferi polumjera R(na primjer, ako je ugao γ u trokutu pravi) sa stranicama a, b, c Odnos između strana će izgledati ovako:
Ova jednakost se može izvesti kao poseban slučaj sferni kosinus teorem, koji vrijedi za sve sferne trokute:
gdje je cosh hiperbolički kosinus. Ova formula je poseban slučaj hiperboličke kosinus teoreme, koja vrijedi za sve trokute:
gdje je γ ugao čiji je vrh suprotan strani c.
Gdje g ij naziva se metrički tenzor. To može biti funkcija položaja. Takvi krivolinijski prostori uključuju Rimanovu geometriju kao opšti primjer. Ova formulacija je također pogodna za euklidski prostor kada se koriste krivolinijske koordinate. Na primjer, za polarne koordinate:
Vector artwork
Pitagorina teorema povezuje dva izraza za veličinu vektorskog proizvoda. Jedan pristup definiranju unakrsnog proizvoda zahtijeva da on zadovolji jednadžbu:
Ova formula koristi tačkasti proizvod. Desna strana jednačina se naziva Gramova determinanta za a I b, što je jednako površini paralelograma koji formiraju ova dva vektora. Na osnovu ovog zahtjeva, kao i zahtjeva da vektorski proizvod bude okomit na svoje komponente a I b slijedi da je, osim za trivijalne slučajeve iz 0- i 1-dimenzionalnog prostora, unakrsni proizvod definiran samo u tri i sedam dimenzija. Koristimo definiciju ugla u n-dimenzionalni prostor:
Ovo svojstvo unakrsnog proizvoda daje njegovu veličinu na sljedeći način:
Kroz temeljni trigonometrijski identitet Pitagore dobijamo još jedan oblik pisanja njegove vrijednosti:
Alternativni pristup definiranju unakrsnog proizvoda je korištenje izraza za njegovu veličinu. Zatim, razmišljajući obrnutim redoslijedom, dobijamo vezu sa skalarnim proizvodom:
vidi takođe
Bilješke
- Tema istorije: Pitagorina teorema u vavilonskoj matematici
- ( , str. 351) str
- ( , tom I, str. 144)
- Diskusija istorijske činjenice dato u (, str. 351) str
- Kurt Von Fritz (apr., 1945). "Otkriće nesumjerljivosti od strane Hipaza iz Metaponta". Anali matematike, druga serija(Anali matematike) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, “Priča s čvorovima”, M., Mir, 1985, str. 7
- Asger Aaboe Epizode iz rane istorije matematike. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Python Proposition autora Elisha Scott Loomis
- Euklidov Elementi: Knjiga VI, Propozicija VI 31: “U pravokutnim trouglovima figura na strani koja spaja pravi ugao jednaka je sličnim i slično opisanim figurama na stranicama koje sadrže pravi ugao.”
- Lawrence S. Leff citirano djelo. - Barron's Educational Series - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalizacija Pitagorine teoreme // Veliki trenuci u matematici (prije 1650.). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (puno ime Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901. n.e.) je bio liječnik koji je živio u Bagdadu i koji je opširno pisao o Euklidovim elementima i drugim matematičkim predmetima.
- Aydin Sayili (mar. 1960). "Thâbit ibn Qurra generalizacija Pitagorine teoreme." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Vježba 2.10 (ii) // Citirano djelo. - P. 62. - ISBN 0821844032
- Za detalje o takvoj konstrukciji, pogledajte George Jennings Slika 1.32: Generalizirana Pitagorina teorema // Moderna geometrija s primjenama: sa 150 figura. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Stavka C: Norma za proizvoljno n-torka ... // Uvod u analizu . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vidi također stranice 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderna diferencijalna geometrija krivulja i površina sa Mathematicom. - 3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matrična analiza. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking citirano djelo. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC sažeta enciklopedija matematike. - 2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Kada ste prvi put počeli učiti o kvadratnim korijenima i rješavanju iracionalnih jednačina (jednakosti koje uključuju nepoznatu pod predznakom korijena), vjerojatno ste prvi put osjetili njihovu praktičnu upotrebu. Sposobnost ekstrakcije Kvadratni korijen od brojeva je također potrebno za rješavanje problema korištenjem Pitagorine teoreme. Ova teorema povezuje dužine stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta.
Neka su dužine kateta pravokutnog trokuta (one dvije stranice koje se sastaju pod pravim uglom) označene slovima i, a dužina hipotenuze (najduže stranice trokuta koja se nalazi nasuprot pravog ugla) označit će se sa pismo. Tada su odgovarajuće dužine povezane sljedećom relacijom:
Ova jednadžba vam omogućava da pronađete dužinu stranice pravokutnog trokuta kada je poznata dužina njegove druge dvije strane. Osim toga, omogućava vam da odredite je li dotični trokut pravokutni trokut, pod uslovom da su dužine sve tri strane unaprijed poznate.
Rješavanje problema pomoću Pitagorine teoreme
Da bismo konsolidirali gradivo, riješit ćemo sljedeće probleme koristeći Pitagorinu teoremu.
Dakle, s obzirom na:
- Dužina jednog od kateta je 48, hipotenuza je 80.
- Dužina kateta je 84, hipotenuza je 91.
Idemo do rješenja:
a) Zamjena podataka u gornju jednačinu daje sljedeće rezultate:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 ili b = -64
Pošto se dužina stranice trougla ne može izraziti negativan broj, druga opcija se automatski odbacuje.
Odgovor na prvu sliku: b = 64.
b) Dužina kraka drugog trougla nalazi se na isti način:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 ili b = -35
Kao iu prethodnom slučaju, negativna odluka se odbacuje.
Odgovor na drugu sliku: b = 35
dato nam je:
- Dužine manjih stranica trougla su 45 odnosno 55, a veće 75.
- Dužine manjih stranica trougla su 28 odnosno 45, a veće 53.
Rešimo problem:
a) Potrebno je provjeriti da li je zbir kvadrata dužina kraćih stranica datog trougla jednak kvadratu dužine većeg:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Dakle, prvi trougao nije pravougaoni trougao.
b) Ista operacija se izvodi:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Dakle, drugi trougao je pravougaoni trougao.
Prvo, pronađimo dužinu najvećeg segmenta formiranog od tačaka sa koordinatama (-2, -3) i (5, -2). Za ovo koristimo dobro poznata formula da biste pronašli rastojanje između tačaka u pravougaonom koordinatnom sistemu:
Slično, nalazimo dužinu segmenta zatvorenog između tačaka sa koordinatama (-2, -3) i (2, 1):
Konačno, određujemo dužinu segmenta između tačaka sa koordinatama (2, 1) i (5, -2):
Pošto važi jednakost:
tada je odgovarajući trougao pravougao.
Dakle, možemo formulirati odgovor na problem: budući da je zbir kvadrata stranica s najkraćom dužinom jednak kvadratu stranice sa najdužom dužinom, tačke su vrhovi pravokutnog trokuta.
Baza (nalazi se striktno vodoravno), dovratnik (nalazi se striktno okomito) i kabel (rastegnut dijagonalno) formiraju pravokutni trokut, respektivno, da bi se pronašla dužina kabela može se koristiti Pitagorina teorema:
Dakle, dužina kabla će biti približno 3,6 metara.
Dato je: udaljenost od tačke R do tačke P (kraka trougla) je 24, od tačke R do tačke Q (hipotenuza) je 26.
Dakle, pomozimo Viti da riješi problem. Budući da bi stranice trokuta prikazanog na slici trebalo da tvore pravougao trokut, možete koristiti Pitagorinu teoremu da pronađete dužinu treće stranice:
Dakle, širina ribnjaka je 10 metara.
Sergey Valerievich
Pitagorina teorema- jedna od temeljnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja relaciju
između stranica pravokutnog trougla.
Vjeruje se da je to dokazao grčki matematičar Pitagora, po kome je i dobio ime.
Geometrijska formulacija Pitagorine teoreme.
Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:
U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,
izgrađen na nogama.
Algebarska formulacija Pitagorine teoreme.
U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata dužina kateta.
To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta sa c, i dužine nogu kroz a I b:
Obe formulacije Pitagorina teorema su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, nije
zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga tvrdnja se može provjeriti bez znanja o tom području i
mjerenjem samo dužina stranica pravokutnog trougla.
Obratna Pitagorina teorema.
Ako je kvadrat jedne strane trokuta jednak zbiru kvadrata druge dvije stranice, tada
pravougaonog trougla.
Ili, drugim riječima:
Za svaku trojku pozitivnih brojeva a, b I c, takav da
postoji pravougli trougao sa katetama a I b i hipotenuzu c.
Pitagorina teorema za jednakokraki trougao.
Pitagorina teorema za jednakostranični trougao.
Dokazi Pitagorine teoreme.
Trenutno je u naučnoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno teorema
Pitagora je jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost
može se objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.
Naravno, konceptualno se svi oni mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatije od njih:
dokaz metoda područja, aksiomatski I egzotični dokazi(Na primjer,
korišćenjem diferencijalne jednadžbe).
1. Dokaz Pitagorine teoreme korištenjem sličnih trokuta.
Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza
direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.
Neka ABC postoji pravougaoni trougao sa pravim uglom C. Nacrtajmo visinu iz C i označiti
njegov temelj kroz H.
Trougao ACH slično trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC.
Uvođenjem notacije:
dobijamo:
,
što odgovara -
Preklopljeno a 2 i b 2, dobijamo:
ili , što je trebalo dokazati.
2. Dokaz Pitagorine teoreme korištenjem metode površine.
Dokazi u nastavku, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopšte nisu tako jednostavni. Svi oni
koristiti svojstva površine, čiji su dokazi složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.
- Dokaz kroz ekvikomplementarnost.
Složimo četiri jednaka pravougaonika
trougao kao što je prikazano na slici
desno.
Četvorougao sa stranicama c- kvadrat,
pošto je zbir dva oštra ugla 90°, i
rasklopljeni ugao - 180°.
S jedne strane, površina cijele figure je jednaka
površina kvadrata sa stranom ( a+b), a s druge strane, zbir površina četiri trougla i
Q.E.D.
3. Dokaz Pitagorine teoreme infinitezimalnom metodom.
Gledajući crtež prikazan na slici i
gledajući kako se strana mijenjaa, možemo
napišite sljedeću relaciju za beskonačno
mala bočni prirastWith I a(koristeći sličnost
trokuti):
Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo:
Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju priraštaja na obje strane:
Integracijom ove jednačine i upotrebom početnih uslova dobijamo:
Tako dolazimo do željenog odgovora:
Kao što je lako vidjeti, kvadratna ovisnost u konačnoj formuli se pojavljuje zbog linearne
proporcionalnost između stranica trokuta i priraštaja, dok je zbir povezan sa nezavisnom
doprinose prirasta različitih nogu.
Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživi porast
(u ovom slučaju noga b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo:
Pitagorina teorema
Slično, trougao CBH je sličan ABC. Uvođenjem notacije 
1. Postavite četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici. 
Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katovima, a zatim površina veliki i dva mala kvadrata su jednaki. Pogledajmo crtež lijevo. Na njemu smo konstruisali kvadrate na stranicama pravouglog trougla i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ, respektivno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima. Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK Da bismo to učinili, koristit ćemo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom. dati pravougaonik jednak je polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano na slici), što je zauzvrat jednako polovini površine pravokutnika AHJK. Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gornjoj osobini). Jednakost je očigledna, trokuti su jednaki sa obe strane i ugao između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD lako je dokazati metodom kretanja: trougao CAK rotiramo za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očigledno da su odgovarajuće stranice dva trokuta u pitanje će se poklopiti (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°). Obrazloženje za jednakost površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI je potpuno slično. Tako smo dokazali da se površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi sastoji od površina kvadrata izgrađenih na katetama. 
Razmotrimo crtež, kao što se vidi iz simetrije, segment CI siječe kvadrat ABHJ na dva identična dijela (pošto su trouglovi ABC i JHI konstrukcijski jednaki). Koristeći rotaciju od 90 stepeni suprotno od kazaljke na satu, vidimo jednakost osenčenih figura CAJI i GDAB. Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovice površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine originalnog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina originalnog trokuta. Poslednji korak u dokazivanju prepušten je čitaocu.
