Sada da se pozabavimo množenje i dijeljenje.
Recimo da trebamo pomnožiti +3 sa -4. Kako uraditi?
Hajde da razmotrimo jedan takav slučaj. Tri osobe su se zadužile i svaka je imala po 4 dolara duga. Koliki je ukupan dug? Da biste ga pronašli, potrebno je da saberete sva tri duga: 4 dolara + 4 dolara + 4 dolara = 12 dolara. Odlučili smo da se sabiranje tri broja 4 označi kao 3x4. Od u u ovom slučaju govorimo o dugu, ispred 4 stoji znak "-". Znamo da je ukupan dug $12, tako da naš problem sada postaje 3x(-4)=-12.
Isti rezultat ćemo dobiti ako, prema problemu, svako od četiri osobe ima dug od 3 dolara. Drugim riječima, (+4)x(-3)=-12. A pošto poredak faktora nije bitan, dobijamo (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.
Hajde da sumiramo rezultate. Kada pomnožite jedan pozitivan broj i jedan negativan broj, rezultat će uvijek biti negativan broj. Brojčana vrijednost odgovora bit će ista kao u slučaju pozitivnih brojeva. Proizvod (+4)x(+3)=+12. Prisustvo znaka "-" utiče samo na znak, ali ne utiče na brojčanu vrednost.
Kako pomnožiti dva negativna broja?
Nažalost, vrlo je teško doći do odgovarajućeg primjera iz stvarnog života na ovu temu. Lako je zamisliti dug od 3 ili 4 dolara, ali je apsolutno nemoguće zamisliti -4 ili -3 osobe koje su se zadužile.
Možda ćemo krenuti drugim putem. Kod množenja, kada se promijeni predznak jednog od faktora, mijenja se predznak proizvoda. Ako promijenimo predznake oba faktora, moramo promijeniti dva puta radni znak, prvo s pozitivnog na negativno, a zatim obrnuto, od negativnog na pozitivno, odnosno proizvod će imati početni predznak.
Stoga je sasvim logično, iako malo čudno, da (-3) x (-4) = +12.
Sign position kada se pomnoži mijenja se ovako:
- pozitivan broj x pozitivan broj = pozitivan broj;
- negativan broj x pozitivan broj = negativan broj;
- pozitivan broj x negativan broj = negativan broj;
- negativan broj x negativan broj = pozitivan broj.
Drugim riječima, množenjem dva broja sa istim predznacima, dobijamo pozitivan broj. Množenje dva broja sa različiti znakovi, dobijamo negativan broj.
Isto pravilo vrijedi i za radnju suprotnu množenju - za.
To možete lako provjeriti pokretanjem inverzne operacije množenja. U svakom od gornjih primjera, ako pomnožite količnik s djeliteljem, dobit ćete dividendu i uvjerite se da ima isti predznak, na primjer (-3)x(-4)=(+12).
Budući da dolazi zima, vrijeme je da razmislite u šta ćete obući svog gvozdenog konja, kako se ne biste okliznuli na ledu i osjećali samopouzdanje na ledu. zimski putevi. Možete, na primjer, kupiti gume Yokohama na web stranici: mvo.ru ili nekim drugim, glavna stvar je da su visokog kvaliteta, više informacija i cijena možete saznati na web stranici Mvo.ru.
edukativni:
- Podsticanje aktivnosti;
Vrsta lekcije
Oprema:
- Projektor i kompjuter.
Plan lekcije
1.Organizacioni momenat
2. Ažuriranje znanja
3. Matematički diktat
4.Izvršenje testa
5. Rješenje vježbi
6. Sažetak lekcije
7. Zadaća.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat
Danas ćemo nastaviti raditi na množenju i dijeljenju pozitivnih i negativnih brojeva. Zadatak svakog od vas je da shvati kako je savladao ovu temu, i ako je potrebno, da doradi ono što još nije u potpunosti razrađeno. Osim toga, saznat ćete mnogo zanimljivih stvari o prvom mjesecu proljeća - martu. (Slajd1)
2. Ažuriranje znanja.
3x=27; -5 x=-45; x:(2.5)=5.
3. Matematički diktat(slajd 6.7)
Opcija 1
Opcija 2
4. Pokretanje testa ( slajd 8)
Odgovori : Martius
5.Rješenje vježbi
(Slajdovi 10 do 19)
4. mart -
2) y×(-2,5)=-15
mart, 6
3) -50, 4:x=-4, 2
4) -0,25:5×(-260)
13. mart
5) -29,12: (-2,08)
14. marta
6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)
7) -81,6:48×(-10)
17. marta
8) 7,15×(-4): (-1,3)
22. marta
9) -12,5×50: (-25)
10) 100+(-2,1:0,03)
30. mart
6. Sažetak lekcije
7. Domaći zadatak:
Pogledajte sadržaj dokumenta
“Množenje i dijeljenje brojeva različitim predznacima”
Tema lekcije: "Množenje i dijeljenje brojeva s različitim predznacima."
Ciljevi lekcije: ponavljanje proučenog gradiva na temu „Množenje i dijeljenje brojeva sa različitim predznacima“, uvježbavanje vještina korištenja operacija množenja i dijeljenja pozitivnog broja negativnim brojem i obrnuto, kao i negativnog broja sa negativan broj.
Ciljevi lekcije:
edukativni:
Konsolidacija pravila o ovoj temi;
Formiranje vještina i sposobnosti za rad sa operacijama množenja i dijeljenja brojeva sa različitim predznacima.
edukativni:
Razvoj kognitivnog interesa;
Razvoj logičko razmišljanje, pamćenje, pažnja;
edukativni:
Podsticanje aktivnosti;
Usađivanje vještina učenicima samostalan rad;
Negovanje ljubavi prema prirodi, usađivanje interesovanja za narodne znakove.
Vrsta lekcije. Lekcija-ponavljanje i generalizacija.
Oprema:
Projektor i kompjuter.
Plan lekcije
1.Organizacioni momenat
2. Ažuriranje znanja
3. Matematički diktat
4.Izvršenje testa
5. Rješenje vježbi
6. Sažetak lekcije
7. Domaći.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat
Zdravo momci! Šta smo radili na prethodnim časovima? (Množenje i dijeljenje racionalni brojevi.)
Danas ćemo nastaviti raditi na množenju i dijeljenju pozitivnih i negativnih brojeva. Zadatak svakog od vas je da shvati kako je savladao ovu temu, i ako je potrebno, da doradi ono što još nije u potpunosti razrađeno. Osim toga, saznaćete mnogo zanimljivih stvari o prvom mjesecu proljeća – martu. (Slajd1)
2. Ažuriranje znanja.
Pregledajte pravila za množenje i dijeljenje pozitivnih i negativnih brojeva.
Podsjetimo mnemoničko pravilo. (Slajd 2)
Izvrši množenje: (slajd 3)
5x3; 9×(-4); -10×(-8); 36×(-0,1); -20×0,5; -13×(-0,2).
2. Izvrši dijeljenje: (slajd 4)
48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).
3. Riješite jednačinu: (slajd 5)
3x=27; -5 x=-45; x:(2.5)=5.
3. Matematički diktat(slajd 6.7)
Opcija 1
Opcija 2
Učenici razmjenjuju sveske, rade test i daju ocjenu.
4. Pokretanje testa ( slajd 8)
Nekada davno u Rusiji godine su se brojale od 1. marta, od početka zemljoradničkog proleća, od prve prolećne kapi. Mart je bio “starter” godine. Naziv mjeseca „mart“ potiče od Rimljana. Ovaj mjesec su nazvali po jednom od svojih bogova, a test će vam pomoći da saznate o kakvom se bogu radi.
Odgovori : Martius
Rimljani su jedan mjesec u godini nazvali Martius u čast boga rata Marsa. U Rusiji je ovo ime pojednostavljeno uzimanjem samo prva četiri slova (Slajd 9).
Ljudi kažu: „Mart je neveran, nekad plače, nekad se smeje“. Mnogo je narodnih znakova povezanih s martom. Neki od njegovih dana imaju svoja imena. Hajde da sada svi zajedno sastavimo narodni mjesečnik za mart.
5.Rješenje vježbi
Učenici za tablom rješavaju primjere čiji su odgovori dani u mjesecu. Na tabli se pojavljuje primjer, a zatim dan u mjesecu sa imenom i narodni znak.
(Slajdovi 10 do 19)
4. mart - Arkhip. Na Arkhipu su žene trebale provesti cijeli dan u kuhinji. Što više hrane pripremi, kuća će biti bogatija.
2) y×(-2,5)=-15
mart, 6- Timofej-proleće. Ako na Timofejev dan ima snega, onda je žetva za proleće.
3) -50, 4:x=-4, 2
4) -0,25:5×(-260)
13. mart- Vasilij kapaonik: kaplje sa krovova. Ptice se gnijezde, a ptice selice lete iz toplih krajeva.
5) -29,12: (-2,08)
14. marta- Evdokia (Avdotya the Ivy) - snijeg se izravnava infuzijom. Drugi susret proljeća (prvi na Mitingu). Kakva je Evdokija, takvo je i ljeto. Evdokia je crvena - i proljeće je crveno; snijeg na Evdokiji - za žetvu.
6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)
7) -81,6:48×(-10)
17. marta- Topov Gerasim doveo je topove. Topovi slijeću na oranice, a ako odlete pravo u svoja gnijezda, doći će prijateljsko proljeće.
8) 7,15×(-4): (-1,3)
22. marta- Svrake - dan je jednak noći. Završava zima, počinje proljeće, stižu ševe. Po starom običaju, od tijesta se peku ševa i ševa.
9) -12,5×50: (-25)
10) 100+(-2,1:0,03)
30. mart- Aleksej je topao. Voda dolazi sa planine, a riba iz kampa (iz zimovnika). Kakvi god da su potoci na današnji dan (veliki ili mali), takva je i poplavna ravnica (poplava).
6. Sažetak lekcije
Momci, da li vam se dopala današnja lekcija? Šta ste novo naučili danas? Šta smo ponovili? Predlažem da pripremite svoj mjesečnik za april. Morate pronaći znakove aprila i kreirati primjere s odgovorima koji odgovaraju danu u mjesecu.
7. Domaći zadatak: 218 br.1174, 1179(1) (Slajd 20)
U ovom članku ćemo se pozabaviti množenje brojeva sa različitim predznacima. Ovdje ćemo prvo formulirati pravilo za množenje pozitivnih i negativnih brojeva, opravdati ga, a zatim razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera.
Navigacija po stranici.
Pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima
Množenje pozitivnog broja negativnim, kao i negativnog broja pozitivnim, izvodi se na sljedeći način: pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima: da biste pomnožili brojeve sa različitim predznacima, morate pomnožiti i staviti znak minus ispred rezultirajućeg proizvoda.
Hajde da to zapišemo ovo pravilo u doslovnom obliku. Za svaki pozitivan realni broj a i svaki negativan realni broj −b, jednakost a·(−b)=−(|a|·|b|) , kao i za negativan broj −a i pozitivan broj b jednakost (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima je u potpunosti usklađeno svojstva operacija sa realnim brojevima. Zaista, na njihovoj osnovi je lako pokazati da za realne i pozitivne brojeve a i b postoji lanac jednakosti oblika a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, što dokazuje da su a·(−b) i a·b suprotni brojevi, što implicira jednakost a·(−b)=−(a·b) . I iz toga slijedi valjanost dotičnog pravila množenja.
Treba napomenuti da navedeno pravilo za množenje brojeva sa različitim predznacima vrijedi i za realne i za racionalne i za cijele brojeve. Ovo proizilazi iz činjenice da operacije s racionalnim i cijelim brojevima imaju ista svojstva koja su korištena u prethodnom dokazu.
Jasno je da se množenje brojeva sa različitim predznacima prema rezultujućem pravilu svodi na množenje pozitivnih brojeva.
Ostaje samo razmotriti primjere primjene rastavljenog pravila množenja pri množenju brojeva s različitim predznacima.
Primjeri množenja brojeva s različitim predznacima
Pogledajmo nekoliko rješenja primjeri množenja brojeva sa različitim predznacima. Počnimo s jednostavnim slučajem da se fokusiramo na korake pravila, a ne na složenost računanja.
Primjer.
Pomnožite negativan broj −4 sa pozitivnim brojem 5.
Rješenje.
Prema pravilu za množenje brojeva sa različitim predznacima, prvo trebamo pomnožiti apsolutne vrijednosti izvornih faktora. Modul od −4 je 4, a modul od 5 je 5, a množenjem prirodnih brojeva 4 i 5 dobije se 20. Konačno, ostaje da stavimo znak minus ispred rezultirajućeg broja, imamo −20. Time je množenje završeno.
Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način: (−4)·5=−(4·5)=−20.
odgovor:
(−4)·5=−20.
Prilikom množenja razlomci brojeva sa različitim predznacima morate znati množiti obične razlomke, množiti decimale i njihove kombinacije sa prirodnim i mješovitim brojevima.
Primjer.
Pomnožite brojeve s različitim predznacima 0, (2) i .
Rješenje.
Pretvaranjem periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak, kao i pretvaranjem iz mješovitog broja u nepravilan razlomak, iz originalnog proizvoda 
doći ćemo do proizvoda obične frakcije sa različitim znakovima oblika. Ovaj proizvod, prema pravilu množenja brojeva s različitim predznacima, jednak je . Sve što ostaje je da pomnožimo obične razlomke u zagradama, imamo 
.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni:
- formulisanje pravila za množenje brojeva sa istim i različitim predznacima;
- ovladavanje i usavršavanje vještina množenja brojeva sa različitim predznacima.
edukativni:
- razvoj mentalnih operacija: poređenje, generalizacija, analiza, analogija;
- razvoj vještina samostalnog rada;
- širenje vidika učenika.
Obrazovni:
- negovanje kulture vođenja evidencije;
- vaspitanje odgovornosti, pažnje;
- negovanje interesovanja za predmet.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, kartice za igru „Matematička borba“, testovi, kartice znanja.
Posteri na zidovima:
- Znanje je najizvrsniji imetak. Svi teže tome, ali ono ne dolazi samo od sebe.
Al-Biruni - U svemu želim da dođem do same suštine...
B. Pasternak
Plan lekcije
- Organizacioni trenutak (1 min).
- Uvodni govor nastavnika (3 min).
- Usmeni rad (10 min).
- Prezentacija materijala (15 min).
- Matematički lanac (5 min).
- Domaći (2 min).
- Test (6 min).
- Sažetak lekcije (3 min).
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat
spremnost učenika za nastavu.
II. Uvodni govor nastavnika
Ljudi, sastali smo se sa vama danas ne uzalud, već radi plodnog rada: sticanja znanja.
Otkad postoji svemir,
Ne postoji niko kome nije potrebno znanje.
Koji god jezik i uzrast da izaberemo,
Čovek je oduvek težio znanju...
Rudaki
Na času ćemo učiti novi materijal, konsolidirajte ga, radite samostalno, procijenite sebe i svoje drugove. Svako na svom stolu ima karticu znanja u kojoj je naša lekcija podijeljena na faze. Na ovu karticu ćete unijeti bodove koje zaradite u različitim fazama lekcije. I na kraju lekcije ćemo rezimirati. Stavite ove kartice na vidljivo mjesto.
III. Usmeni rad (u obliku igre "Matematička borba")
Ljudi, prije nego što pređemo na novu temu, pogledajmo ono što smo prethodno naučili. Svako na svom stolu ima list papira sa igrom „Matematička borba“. Vertikalni i horizontalni stupci sadrže brojeve koje je potrebno dodati. Ovi brojevi su označeni tačkama. Odgovore ćemo upisati u one ćelije na polju gdje se nalaze tačke.
Tri minute do kraja. Počeli smo sa radom.
Sada smo razmijenili radove sa komšijom za stolom i provjerili ih međusobno. Ako mislite da je odgovor netačan, onda ga pažljivo precrtajte i pored njega upišite tačan. Hajde da proverimo.
Sada provjerimo odgovore sa ekranom ( Tačni odgovori se projektuju na ekranu).
Za tačno rešeno
5 zadataka dobijaju 5 bodova;
4 zadatka – 4 boda;
3 zadatka – 3 boda;
2 zadatka – 2 boda;
1 zadatak – 1 bod.
Dobro urađeno. Ostavili su sve po strani. Ljudi, hajde da unesemo broj bodova postignutih za "Matematičku bitku" u naše kartice znanja ( Aneks 1).
IV. Prezentacija materijala
Otvorite radne sveske. Zapišite broj, odličan posao.
- Koje operacije nad pozitivnim i negativnim brojevima znate?
- Kako sabrati dva negativna broja?
- Kako sabrati dva broja sa različitim predznacima?
- Kako oduzeti brojeve sa različitim predznacima?
- Uvijek koristite riječ "modul". Koliki je modul broja? A?
Današnja tema lekcije odnosi se i na rad brojeva različitih znakova. Ali to je bilo skriveno u anagramu, u kojem morate zamijeniti slova i dobiti poznatu riječ. Pokušajmo to shvatiti.
ENOZHEUMNI
Zapisujemo temu lekcije: "Množenje."
Svrha naše lekcije: upoznati se sa množenjem pozitivnih i negativnih brojeva i formulirati pravila za množenje brojeva sa istim i različitim predznacima.
Sva pažnja na ploču. Pred vama je tablica sa problemima, rješavanjem kojih ćemo formulirati pravila za množenje pozitivnih i negativnih brojeva.
- 2*3 = 6°C;
- –2*3 = –6°S;
- –2*(–3) = 6°S;
- 2*(–3) = –6°S;
1. Temperatura zraka raste za 2°C svakog sata. Sada termometar pokazuje 0°C ( Dodatak 2– termometar) (slajd 1 na računaru).
- Koliko ste primili?(6 ° WITH).
- Rešenje će neko napisati na tabli, a mi smo svi u sveskama.
- Pogledajmo termometar, da li smo dobili tačan odgovor? (slajd 2 na računaru).
2. Temperatura zraka pada za 2°C svakog sata. Termometar sada pokazuje 0°C (slajd 3 na računaru). Koju će temperaturu vazduha pokazati termometar nakon 3 sata?
- Koliko ste primili?(–6 ° WITH).
- Odgovarajuće rješenje zapisujemo na ploču i u sveske. Analogija sa zadatkom 1.
- .(slajd 4 na računaru).
3. Temperatura zraka pada za 2°C svakog sata. Termometar sada pokazuje 0°C (slajd 5 na računaru).
- Koliko ste primili?(6 ° WITH).
- Odgovarajuće rješenje zapisujemo na ploču i u sveske. Analogija sa zadacima 1 i 2.
- Uporedimo rezultat sa očitanjem termometra.(slajd 6 na računaru).
4. Temperatura zraka raste za 2°C svakog sata. Termometar sada pokazuje 0°C (slajd 7 na računaru). Koju je temperaturu vazduha pokazao termometar pre 3 sata?
- Koliko ste primili?(–6 ° WITH).
- Odgovarajuće rješenje zapisujemo na ploču i u sveske. Analogija sa zadacima 1-3.
- Uporedimo rezultat sa očitanjem termometra.(slajd 8 na računaru).
Pogledajte svoje rezultate. Prilikom množenja brojeva sa istim predznacima (primjeri 1 i 3), koji znak ste dobili odgovor? (pozitivno).
U redu. Ali u primjeru 3 oba faktora su negativna, a odgovor je pozitivan. Koji matematički koncept vam omogućava da sa negativnih brojeva pređete na pozitivne? (modul).
Pravilo za pažnju: Da biste pomnožili dva broja sa istim predznacima, morate pomnožiti njihove apsolutne vrijednosti i staviti znak plus ispred rezultata. (2 osobe ponavljaju).
Vratimo se na primjer 3. Čemu su jednaki moduli (–2) i (–3)? Pomnožimo ove module. Koliko ste primili? Sa kojim znakom?
Prilikom množenja brojeva sa različitim predznacima (primjeri 2 i 4), koji znak ste dobili odgovor? (negativno).
Formulirajte vlastita pravila za množenje brojeva s različitim predznacima.
Pravilo: Prilikom množenja brojeva sa različitim predznacima, potrebno je pomnožiti njihove module i staviti znak minus ispred rezultata. (2 osobe ponavljaju).
Vratimo se primjerima br. 2 i br. 4. Koje su veličine njihovih faktora? Pomnožimo ove module. Koliko ste primili? Koji znak treba dati kao rezultat?
Koristeći ova dva pravila, također možete množiti razlomke: decimalni, mješoviti, obični.
Pred vama je nekoliko primjera na tabli. Tri ćemo odlučiti zajedno sa mnom, a ostalo sami. Obratite pažnju na snimku i dizajn.
Dobro urađeno. Otvorimo udžbenike i označimo pravila koja treba naučiti za sljedeću lekciju (strana 190, §7 (tačka 35)). Poznavanje ovih pravila pomoći će vam da brzo savladate podjelu pozitivnih i negativnih brojeva u budućnosti.
V. Matematički lanac
A sada Dunno želi provjeriti kako ste naučili novo gradivo i postavit će vam nekoliko pitanja. Rešenje i odgovore moramo zapisati u sveske ( Dodatak 3– Matematički lanac).
Kompjuterska prezentacija
Zdravo momci. Vidim da ste veoma pametni i radoznali, pa želim da vam postavim nekoliko pitanja. Budite oprezni, posebno sa znakovima.
Moje prvo pitanje je: pomnožite (–3) sa (–13).
Drugo pitanje: ono što ste dobili u prvom zadatku pomnožite sa (–0,1).
Treće pitanje: pomnožite rezultat drugog zadatka sa (–2).
Četvrto pitanje: pomnožite (-1/3) rezultatom trećeg zadatka.
I posljednje, peto pitanje: izračunajte tačku smrzavanja žive množenjem rezultata četvrtog zadatka sa 15.
Hvala na radu. Želim ti uspjeh.
Ljudi, hajde da provjerimo kako smo obavili zadatke. Svi su ustali.
Koliko ste dobili u prvom zadatku?
Oni koji imaju drugačiji odgovor, sjede, a oni koji sjednu, dajemo sebi 0 bodova za matematički lanac na kartici znanja. Ostali ne stavljaju ništa.
Koliko ste dobili u drugom zadatku?
Ako imate drugačiji odgovor, sjednite i dodajte 1 bod svojoj kartici znanja za matematički lanac.
Koliko ste dobili u trećem zadatku?
Za one koji imaju drugačiji odgovor, sjednite i dodajte 2 boda na svoju karticu znanja za matematički lanac.
Koliko ste dobili u četvrtom zadatku?
Za one koji imaju drugačiji odgovor, sjednite i dodajte 3 boda na svoju karticu znanja za matematički lanac.
Koliko ste dobili u petom zadatku?
Za one koji imaju drugačiji odgovor, sjednite i dodajte 4 boda na svoju karticu znanja za matematički lanac. Preostali momci su tačno riješili svih 5 zadataka. Sjednite, dat ćete sebi 5 bodova za matematički lanac na vašoj kartici znanja.
Koja je tačka ledišta žive?(–39 °C).
VI. Zadaća
§7 (klauzula 35, strana 190), br. 1121 – udžbenik: Matematika. 6. razred: [N.Ya.Vilenkin i drugi]
Kreativni zadatak: Napišite zadatak o množenju pozitivnih i negativnih brojeva.
VII. Test
Pređimo na sljedeću fazu lekcije: izvođenje testa ( Dodatak 4).
Potrebno je da riješite zadatke i zaokružite broj tačnog odgovora. Za prva dva tačno obavljena zadatka dobijate 1 bod, za 3. zadatak - 2 boda, za 4. zadatak - 3 boda. Počeli smo sa radom.
Δ –1 bod;
o –2 boda;
–3 boda.
Zapišimo sada brojeve tačnih odgovora u tabeli ispod testa. Hajde da proverimo rezultate. Trebali biste dobiti broj 1418 u praznim ćelijama (pišem na tabli). Ko je primio, stavlja 7 bodova na karticu znanja. Oni koji su pogriješili, na karton znanja stavljaju broj bodova samo za tačno obavljene zadatke.
Veliki Veliki rat trajao je tačno 1418 dana. Otadžbinski rat, pobjeda u kojoj je ruski narod dobio visoku cijenu. A 9. maja 2010. proslavićemo 65. godišnjicu pobede nad nacističkom Nemačkom.
VIII. Sažetak lekcije
Sada prebrojimo ukupno Bodovi koje ste osvojili na času i rezultati će biti upisani u karton znanja učenika. Onda dijelimo ove karte.
15 – 17 poena – ocena “5”;
10 – 14 poena – ocena „4“;
manje od 10 bodova – rezultat „3“.
Podignite ruke ko je dobio “5”, “4”, “3”.
- Koju temu smo danas obradili?
- Kako množiti brojeve sa istim predznacima; sa različitim znakovima?
Dakle, naša lekcija je došla do kraja. Želim da vam kažem HVALA za vaš rad na ovoj lekciji.
Ova lekcija pokriva množenje i dijeljenje racionalnih brojeva.
Sadržaj lekcijeMnoženje racionalnih brojeva
Pravila za množenje cijelih brojeva važe i za racionalne brojeve. Drugim riječima, da biste pomnožili racionalne brojeve, morate biti u mogućnosti
Takođe, potrebno je poznavati osnovne zakone množenja, kao što su: komutativni zakon množenja, asocijativni zakon množenja, distributivni zakon množenja i množenja sa nulom.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza
Ovo je množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Da biste pomnožili racionalne brojeve s različitim predznacima, morate pomnožiti njihove module i staviti minus ispred rezultirajućeg odgovora.
Da bismo jasno vidjeli da imamo posla s brojevima koji imaju različite predznake, stavljamo svaki racionalni broj u zagrade zajedno sa njegovim predznacima
Modul broja je jednak , a modul broja je jednak . Pomnoživši dobijene module kao pozitivne razlomke, dobili smo odgovor, ali prije odgovora stavili smo minus, kao što je pravilo zahtijevalo od nas. Da bi se osigurao ovaj minus prije odgovora, množenje modula je izvršeno u zagradama, kojem prethodi minus.
Kratko rješenje izgleda ovako:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 
Ovo je množenje negativnih racionalnih brojeva. Da biste pomnožili negativne racionalne brojeve, morate pomnožiti njihove module i staviti plus ispred rezultirajućeg odgovora
Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza 
Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:
Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza
Ovo je množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora
Kratko rješenje će izgledati mnogo jednostavnije:
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza
Pretvorimo mješoviti broj u nepravilan razlomak. Hajde da prepišemo ostalo kako jeste
Dobili smo množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora. Unos sa modulima se može preskočiti da ne bi zatrpao izraz
Rješenje za ovaj primjer se može ukratko napisati
Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza
Ovo je množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora
Isprva se pokazalo da je odgovor nepravilan razlomak, ali smo u njemu istakli cijeli dio. Zapiši to cijeli dio je odvojen od modula frakcije. Rezultirajući mješoviti broj je stavljen u zagrade kojima je prethodio znak minus. Ovo se radi kako bi se osiguralo da je zahtjev pravila ispunjen. A pravilo je zahtijevalo da dobijenom odgovoru prethodi minus.
Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:
Primjer 8. Pronađite vrijednost izraza 
Prvo, pomnožimo i i pomnožimo rezultirajući broj sa preostalim brojem 5. Preskočićemo unos sa modulima kako ne bismo zatrpali izraz.
odgovor: vrijednost izraza jednako −2.
Primjer 9. Pronađite značenje izraza: 
Pretvorimo mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Dobili smo množenje negativnih racionalnih brojeva. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo plus ispred rezultirajućeg odgovora. Unos sa modulima se može preskočiti da ne bi zatrpao izraz
Primjer 10. Pronađite vrijednost izraza
Izraz se sastoji od nekoliko faktora. Prema asocijativnom zakonu množenja, ako se izraz sastoji od nekoliko faktora, onda proizvod neće ovisiti o redoslijedu radnji. Ovo nam omogućava da procijenimo dati izraz bilo kojim redoslijedom.
Hajde da ne izmišljamo točak, već izračunajmo ovaj izraz s leva na desno po redosledu faktora. Preskočimo unos sa modulima kako ne bismo zatrpali izraz
Treća akcija:
Četvrta akcija:
odgovor: vrijednost izraza je
Primjer 11. Pronađite vrijednost izraza
Prisjetimo se zakona množenja nulom. Ovaj zakon kaže da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
U našem primjeru, jedan od faktora je jednak nuli, pa bez gubljenja vremena odgovaramo da je vrijednost izraza jednaka nuli:
Primjer 12. Pronađite vrijednost izraza 
Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
U našem primjeru jedan od faktora je jednak nuli, pa bez gubljenja vremena odgovaramo da je vrijednost izraza jednako nuli:
Primjer 13. Pronađite vrijednost izraza 
Možete koristiti redoslijed radnji i prvo izračunati izraz u zagradama i pomnožiti rezultirajući odgovor s razlomkom.
Također možete koristiti distributivni zakon množenja - pomnožite svaki član sume s razlomkom i dodajte rezultirajuće rezultate. Koristićemo ovu metodu.
Prema redoslijedu operacija, ako izraz sadrži zbrajanje i množenje, tada se prvo mora izvršiti množenje. Stoga, u rezultirajućem novom izrazu stavimo u zagrade one parametre koji se moraju pomnožiti. Na ovaj način možemo jasno vidjeti koje radnje izvršiti ranije, a koje kasnije:
Treća akcija:
odgovor: vrijednost izraza jednaki
Rješenje za ovaj primjer može se napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:
Jasno je da se ovaj primjer može riješiti čak i u mislima. Stoga bi trebalo razviti vještinu analiziranja izraza prije nego što ga riješite. Vjerovatno se to može riješiti mentalno i uštedjeti mnogo vremena i živaca. A na testovima i ispitima, kao što znate, vrijeme je vrlo dragocjeno.
Primjer 14. Pronađite vrijednost izraza −4,2 × 3,2
Ovo je množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora
Zapazite kako su moduli racionalnih brojeva pomnoženi. U ovom slučaju, da bi se pomnožili moduli racionalnih brojeva, bilo je potrebno .
Primjer 15. Pronađite vrijednost izraza −0,15 × 4
Ovo je množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo minus ispred rezultirajućeg odgovora
Zapazite kako su moduli racionalnih brojeva pomnoženi. U ovom slučaju, da bi se pomnožili moduli racionalnih brojeva, bilo je potrebno moći.
Primjer 16. Pronađite vrijednost izraza −4,2 × (−7,5)
Ovo je množenje negativnih racionalnih brojeva. Pomnožimo module ovih brojeva i stavimo plus ispred rezultirajućeg odgovora
Podjela racionalnih brojeva
Pravila za dijeljenje cijelih brojeva važe i za racionalne brojeve. Drugim riječima, da biste mogli dijeliti racionalne brojeve, morate biti sposobni
Inače se koriste iste metode dijeljenja običnih i decimalnih razlomaka. Da biste obični razlomak podijelili drugim razlomkom, trebate prvi razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti drugog razlomka.
I podijeliti decimalni na drugi decimalni razlomak, potrebno je da pomaknete decimalni zarez u dividendi i u djelitelju udesno za onoliko cifara koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim izvršiti dijeljenje kao kod običnog broja.
Primjer 1. Pronađite značenje izraza:
Ovo je podjela racionalnih brojeva s različitim predznacima. Da biste izračunali takav izraz, trebate prvi razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti drugog.
Dakle, pomnožimo prvi razlomak recipročnom vrijednosti drugog.
Dobili smo množenje racionalnih brojeva sa različitim predznacima. I već znamo kako izračunati takve izraze. Da biste to učinili, morate pomnožiti module ovih racionalnih brojeva i staviti minus ispred rezultirajućeg odgovora.
Završimo ovaj primjer do kraja. Unos sa modulima se može preskočiti da ne bi zatrpao izraz
Dakle, vrijednost izraza je
Detaljno rješenje je sljedeće:
Kratko rješenje bi izgledalo ovako:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Ovo je podjela racionalnih brojeva s različitim predznacima. Da biste izračunali ovaj izraz, trebate prvi razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti drugog.
Recipročna vrijednost drugog razlomka je razlomak . Pomnožimo prvi razlomak s njim:
Kratko rješenje bi izgledalo ovako:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza
Ovo je podjela negativnih racionalnih brojeva. Da biste izračunali ovaj izraz, ponovo morate prvi razlomak pomnožiti recipročnim brojem drugog.
Recipročna vrijednost drugog razlomka je razlomak . Pomnožimo prvi razlomak s njim:
Dobili smo množenje negativnih racionalnih brojeva. Već znamo kako se izračunava takav izraz. Morate pomnožiti module racionalnih brojeva i staviti plus ispred rezultirajućeg odgovora.
Završimo ovaj primjer do kraja. Možete preskočiti unos sa modulima kako ne biste zatrpali izraz:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza
Da biste izračunali ovaj izraz, trebate prvi broj −3 pomnožiti s inverznim razlomkom od .
Inverz od razlomka je razlomak. Pomnožite prvi broj −3 s njim
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza
Da biste izračunali ovaj izraz, morate prvi razlomak pomnožiti recipročnim brojem 4.
Recipročna vrijednost broja 4 je razlomak. Pomnožite prvi razlomak s njim
Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza
Da biste izračunali ovaj izraz, trebate prvi razlomak pomnožiti s inverznim od −3
Inverz od −3 je razlomak. Pomnožimo prvi razlomak s njim:
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza −14.4: 1.8
Ovo je podjela racionalnih brojeva s različitim predznacima. Da biste izračunali ovaj izraz, morate podijeliti modul dividende sa modulom djelitelja i staviti minus ispred rezultirajućeg odgovora.
Zapazite kako je modul dividende podijeljen sa modulom djelitelja. U ovom slučaju, da bi se to uradilo ispravno, trebalo je biti u stanju.
Ako ne želite da se petljate sa decimalama (a to se često dešava), onda ove, zatim ove mešovite brojeve pretvorite u nepravilne razlomke, a zatim izvršite samo deljenje.
Izračunajmo prethodni izraz −14.4: 1.8 na ovaj način. Pretvorimo decimale u mješovite brojeve:
Sada pretvorimo rezultirajuće mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Sada možete izvršiti dijeljenje direktno, odnosno podijeliti razlomak razlomkom. Da biste to učinili, trebate pomnožiti prvi razlomak s inverznim razlomkom drugog:
Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza 
Pretvorimo decimalni razlomak −2,06 u nepravilan razlomak i pomnožimo ovaj razlomak recipročnom vrijednosti drugog razlomka:
Višespratni razlomci
Često možete naići na izraz u kojem je podjela razlomaka napisana razlomkom. Na primjer, izraz bi se mogao napisati na sljedeći način:
Koja je razlika između izraza i ? Zaista nema razlike. Ova dva izraza imaju isto značenje i između njih možemo staviti znak jednakosti:
U prvom slučaju, znak podjele je dvotočka i izraz je napisan u jednom redu. U drugom slučaju, podjela razlomaka se piše razlomkom. Rezultat je djelić koji ljudi pristaju nazvati višespratni.
Kada naiđete na takve višespratne izraze, morate primijeniti ista pravila za dijeljenje običnih razlomaka. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa recipročnim brojem drugog.
Izuzetno je nezgodno koristiti takve razlomke u rješenju, pa ih možete napisati u razumljivom obliku koristeći dvotočku umjesto razlomka kao znak dijeljenja.
Na primjer, hajde da napišemo višespratni razlomak u razumljivom obliku. Da biste to učinili, prvo morate shvatiti gdje je prvi razlomak, a gdje drugi, jer nije uvijek moguće to učiniti ispravno. Višespratni razlomci imaju nekoliko linija razlomaka koje mogu biti zbunjujuće. Glavna linija razlomka, koja razdvaja prvi razlomak od drugog, obično je duža od ostalih.
Nakon određivanja glavne linije razlomaka, lako možete razumjeti gdje je prvi razlomak, a gdje drugi:
Primjer 2.
Pronalazimo liniju glavnog razlomka (najduža) i vidimo da je cijeli broj −3 podijeljen običnim razlomkom
A ako bismo greškom uzeli drugu razlomačku liniju kao glavnu (onu koja je kraća), onda bi se pokazalo da razlomak dijelimo cijelim brojem 5. U ovom slučaju, čak i ako je ovaj izraz ispravno izračunat, problem će biti riješen pogrešno, jer je dividenda u ovom slučaju, broj je −3, a djelitelj je razlomak .
Primjer 3. Napišimo razlomak na više nivoa u razumljivom obliku
Pronalazimo glavnu liniju razlomaka (ona je najduža) i vidimo da je razlomak podijeljen cijelim brojem 2
A ako bismo greškom uzeli prvi razlomak kao vodeću (onu koja je kraća), onda bi ispalo da cijeli broj −5 dijelimo razlomkom. U ovom slučaju, čak i ako je ovaj izraz ispravno izračunat, problem će biti riješen pogrešno, jer je dividenda u ovom slučaju razlomak , a djelitelj je cijeli broj 2.
Uprkos činjenici da su razlomci na više nivoa nezgodni za rad, vrlo često ćemo ih susresti, posebno kada proučavamo višu matematiku.
Naravno, potrebno je dodatno vrijeme i prostor za prevođenje višespratne frakcije u razumljiv oblik. Stoga, možete koristiti više brza metoda. Ova metoda je zgodna i rezultat vam omogućava da dobijete gotov izraz u kojem je prvi razlomak već pomnožen recipročnim razlomkom drugog.
Ova metoda se implementira na sljedeći način:
Ako je razlomak, na primjer, četverokat, tada se broj koji se nalazi na prvom katu podiže na gornji kat. A figura koja se nalazi na drugom spratu je podignuta na treći sprat. Rezultirajući brojevi moraju biti povezani znakovima množenja (×)
Kao rezultat toga, zaobilazeći srednju notaciju, dobijamo novi izraz u kojem je prvi razlomak već pomnožen recipročnim razlomkom drugog. Pogodnost i to je to!
Da biste izbjegli greške prilikom korištenja ovu metodu, možete se rukovoditi sljedećim pravilom:
Od prvog do četvrtog. Od drugog do trećeg.
Pravilo se odnosi na podove. Figura sa prvog sprata mora biti podignuta na četvrti sprat. A lik sa drugog sprata treba podići na treći sprat.
Pokušajmo izračunati razlomak na više katova koristeći gornje pravilo.
Dakle, broj koji se nalazi na prvom spratu podižemo na četvrti sprat, a broj koji se nalazi na drugom spratu podižemo na treći sprat
Kao rezultat toga, zaobilazeći srednju notaciju, dobijamo novi izraz u kojem je prvi razlomak već pomnožen recipročnim razlomkom drugog. Zatim možete koristiti svoje postojeće znanje:
Pokušajmo izračunati razlomak na više nivoa koristeći novu shemu.
Postoje samo prvi, drugi i četvrti sprat. Nema trećeg sprata. Ali ne odstupamo od osnovne sheme: lik podižemo s prvog na četvrti kat. A pošto nema trećeg sprata, ostavljamo broj koji se nalazi na drugom spratu kakav jeste
Kao rezultat toga, zaobilazeći srednju notaciju, dobili smo novi izraz u kojem je prvi broj −3 već pomnožen recipročnim razlomkom drugog. Zatim možete koristiti svoje postojeće znanje:
Pokušajmo izračunati razlomak na više katova koristeći novu shemu.
Postoje samo drugi, treći i četvrti sprat. Ne postoji prvi sprat. Pošto nema prvog sprata, nema se šta popeti na četvrti sprat, ali možemo da podignemo figuru sa drugog sprata na treći:
Kao rezultat toga, zaobilazeći srednju notaciju, dobili smo novi izraz u kojem je prvi razlomak već pomnožen s inverzom djelitelja. Zatim možete koristiti svoje postojeće znanje:
Korištenje varijabli
Ako je izraz složen i čini vam se da će vas zbuniti u procesu rješavanja problema, onda dio izraza možete staviti u varijablu i onda raditi s tom varijablom.
Matematičari to često rade. Složeni problem se raščlanjuje na lakše podzadatke i rješava. Tada se riješeni podzadaci skupljaju u jednu jedinu cjelinu. Ovo je kreativan proces i to se uči godinama kroz naporan trening.
Upotreba varijabli je opravdana kada se radi sa razlomcima na više nivoa. Na primjer:
Pronađite vrijednost izraza
Dakle, u brojniku postoji izraz razlomka i u nazivniku čiji su razlomci izrazi. Drugim riječima, opet smo suočeni sa frakcijom na više spratova, koja nam se baš i ne sviđa.
Izraz u brojiocu se može unijeti u varijablu s bilo kojim imenom, na primjer:
Ali u matematici je u takvom slučaju uobičajeno da se varijable imenuju velikim latiničnim slovima. Nemojmo prekinuti ovu tradiciju, i označimo prvi izraz velikim latinično pismo A
A izraz u nazivniku može se označiti velikim slovom B
Sada naš originalni izraz poprima oblik . Odnosno, brojčani izraz zamijenili smo slovom jedan, prethodno unevši brojilac i nazivnik u varijable A i B.
Sada možemo odvojeno izračunati vrijednosti varijable A i vrijednost varijable B. Gotove vrijednosti ćemo umetnuti u izraz.
Nađimo vrijednost varijable A
Nađimo vrijednost varijable B
Sada zamijenimo njihove vrijednosti u glavni izraz umjesto varijabli A i B:
Dobili smo višekatni razlomak u kojem možemo koristiti shemu "od prvog do četvrtog, od drugog do trećeg", odnosno podići broj koji se nalazi na prvom spratu na četvrti sprat, i povećati broj koji se nalazi od drugog do trećeg sprata. Daljnji proračuni neće biti teški:
Dakle, vrijednost izraza je −1.
Naravno da smo razmotrili najjednostavniji primjer, ali naš cilj je bio naučiti kako možemo koristiti varijable da sebi olakšamo stvari, da minimiziramo greške.
Imajte na umu da se rješenje za ovaj primjer može napisati bez korištenja varijabli. To će izgledati
Ovo rješenje je brže i kraće i u ovom slučaju ga ima smisla napisati na ovaj način, ali ako se pokaže da je izraz složen, koji se sastoji od nekoliko parametara, zagrada, korijena i potencija, onda je preporučljivo izračunati ga u nekoliko faza, unoseći dio svojih izraza u varijable.
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama
