Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednačine koje određuju pravac koji prolazi ovu tačku kolinearno vektoru pravca.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne osi. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednake su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim pretpostavimo u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Kako prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednačina je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.

Jednačina prave u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a;0), a osu Oy u tački M 2 (0;b). Jednačina će poprimiti oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osama.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi dati poen Mo (x O; y o) je okomit na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravu, naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni pojam. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave(vidi sliku 2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave

,

Gdje
- koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran u tački
:

Konkretno, ako se središte udjela poklapa s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti od svake od njih do dvije date tačke I , koji se nazivaju fokusi, je konstantna veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina velike poluose; b – dužina male poluose (sl. 2).

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijski oblici, poznato vam od tada junior classes, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njim koristeći metode analitičke geometrije. Da biste savladali materijal, morate biti u stanju da izgradite pravu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz početak koordinata i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali odjeljak o linearna funkcija Ispalo je vrlo uspješno i detaljno. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, potrebno je imati osnovna znanja o vektori, inače će razumijevanje gradiva biti nepotpuno.

U ovoj lekciji ćemo pogledati načine na koje možete kreirati jednadžbu prave linije na ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako izgledaju vrlo jednostavno), jer ću im pružiti elementarne i važne činjenice, tehničke tehnike koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina prave linije sa nagibom

Poznati „školski“ oblik jednačine prave linije naziva se jednačina prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje ovog koeficijenta i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

Na kursu geometrije je to dokazano nagib prave linije je jednak tangenta ugla između pozitivnog smjera osei ovu liniju: , a ugao se „odvrće“ suprotno od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove samo za dvije ravne linije. Razmotrimo „crvenu“ liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (“alfa” ugao je označen zelenim lukom). Za „plavu“ pravu liniju sa ugaonim koeficijentom, jednakost je tačna („beta“ ugao je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i sam ugao koristeći inverznu funkciju - arktangens. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili mikrokalkulator u vašim rukama. dakle, ugaoni koeficijent karakterizira stepen nagiba prave linije prema osi apscise.

U ovom slučaju to je moguće sledećim slučajevima:

1) Ako je nagib negativan: tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "maline" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri - "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib nula: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća ravna linija je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" ravna linija.

4) Za porodicu linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), ugaoni koeficijent ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je pravolinijski graf strmiji..

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Da vas podsjetim da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija .

Obrnuto: što je manji koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je ravna linija ravnija.

Za ravne linije nejednakost je tačna, pa je ravna linija ravnija. Dječiji tobogan, kako ne biste zadali modrice i udarce.

Zašto je to potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri konstruisanju grafikona - ako se pokaže da je crtež „očito nešto krivo“. Preporučljivo je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, pritisnuta blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Oznake: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je da ih označite istim slovom s prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo pogledali možemo označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Oznaka jasno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo zagrijemo:

Kako napisati jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i ugaoni koeficijent ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Napišite jednačinu za pravu s nagibom ako je poznato da ta tačka pripada datoj pravoj.

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu . IN u ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje se radi jednostavno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti ovu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina je pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Napišite jednadžbu za pravu liniju ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, ponovo pročitajte teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, preskačem dosta dokaza.

Zazvonilo je poslednji poziv, maturalna zabava je zamrla, a ispred kapija naše rodne škole čeka nas sama analitička geometrija. Šale su gotove... Ili možda tek počinju =)

Nostalgično mašemo perom prema poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Jer u analitičkoj geometriji se upravo ovo koristi:

Opšta jednačina prava linija ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednake nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i povežimo jednačinu sa koeficijentom nagiba. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijeva strana:

Pojam sa "X" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovu tehničku karakteristiku! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba prave linije će se skoro uvijek dati opšti oblik. Pa, ako je potrebno, lako se može svesti na "školski" oblik s kutnim koeficijentom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s ordinatnom osom).

Zapitajmo se šta dosta znate konstruisati pravu liniju? Dva poena. Ali više o ovom incidentu iz djetinjstva, sada se drži pravila strelica. Svaka prava linija ima vrlo specifičan nagib na koji se lako „prilagoditi“. vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave. Očigledno je da svaka ravna linija ima beskonačan broj vektora smjera, i svi će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije važno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se konstruiše prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku na ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera?

Ako je poznata određena točka koja pripada pravoj i vektor smjera ove linije, tada se jednadžba ove linije može sastaviti pomoću formule:

Ponekad se zove kanonska jednadžba linije .

Šta raditi kada jedna od koordinata je jednako nuli, razumjet ćemo u praktičnim primjerima u nastavku. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti jednake nuli, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije rješavamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu do opšti izgled:

Odgovori:

U pravilu nema potrebe za crtanjem u takvim primjerima, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se iscrtati iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu pravu liniju. Usput, u mnogim slučajevima je najpogodnije konstruirati pravu liniju koristeći jednadžbu s kutnim koeficijentom. Lako je transformirati našu jednadžbu u oblik i lako odabrati drugu tačku za konstruiranje prave linije.

Kao što je navedeno na početku pasusa, prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Rješavanje proporcije:

Podijelite obje strane sa –2 i dobijete poznatu jednačinu:

Zainteresovani mogu testirati vektore na isti način ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?

Veoma jednostavno:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Izjava nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera od beskonačnog broja, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna s osi i koordinate rezultirajućeg vektora smjera se prikladno dijele sa –2, dobivajući upravo osnovni vektor kao vektor smjera. Logično.

Slično, jednačina specificira ravnu liniju paralelnu sa osom, a dijeljenjem koordinata vektora sa 5, dobijamo jedinični vektor kao vektor smjera.

Hajde da to uradimo provjera primjera 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu sastavili jednačinu prave koristeći tačku i vektor smjera

Prvo, koristeći jednadžbu prave linije vraćamo njen vektor smjera: – sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima rezultat može biti kolinearan vektor prema originalnom, a to je obično lako uočiti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu. Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čemu smo veoma sretni.

Zaključak: Zadatak je ispravno obavljen.

Primjer 4

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Vrlo je preporučljivo provjeriti koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, postupite vrlo jednostavno:

Primjer 5

Rješenje: Formula nije prikladna jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obrazac, a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor usmjeravanja prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: zadatak je ispravno obavljen

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će u svakom slučaju raditi? Dva su razloga. Prvo, formula je u obliku razlomka mnogo bolje zapamćen. I drugo, nedostatak univerzalna formula je li to rizik od zabune se značajno povećava prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave koristeći dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je vrsta formule i evo zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera date prave. Na lekciji Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca:

Bilješka : tačke se mogu “zamijeniti” i formula se može koristiti . Takvo rješenje će biti ekvivalentno.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave linije koristeći dvije tačke .

Rješenje: Koristimo formulu:

Češljanje nazivnika:

I promiješaj špil:

Sada je vrijeme da se riješite razlomci brojeva. U ovom slučaju, trebate pomnožiti obje strane sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje očigledno - koordinate polazne tačke mora zadovoljiti rezultirajuću jednačinu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

Zaključak: Jednačina prave je ispravno napisana.

Ako najmanje jedan od tačaka ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer se konstruiše prava linija i vidi da li joj tačke pripadaju , nije tako jednostavno.

Napomenut ću još nekoliko tehničkih aspekata rješenja. Možda je u ovom problemu isplativije koristiti formulu ogledala i, na istim tačkama napravi jednačinu:

Manje razlomaka. Ako želite, možete riješiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i shvatiti da li se može dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako dobijete jednačinu , onda je preporučljivo da je smanjite za dva: – jednačina će definirati istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora relativni položaj linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam omogućiti bolje razumijevanje i vježbanje tehnika izračunavanja.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) postaje nula, onda ga prepisujemo u obliku . Opet, primijetite kako izgleda nespretno i zbunjeno. Ne vidim mnogo smisla u dovođenju praktični primjeri, pošto smo takav problem već zaista riješili (vidi br. 5, 6).

Direktni normalni vektor (normalni vektor)

Šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno, svaka ravna linija ima beskonačan broj njih (kao i vektora smjera), a svi normalni vektori prave linije će biti kolinearni (kosmjerni ili ne, nema razlike).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vodećim vektorima:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Provjerimo ortogonalnost ovih vektora koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće konstruisati jednačinu prave linije sa jednom tačkom i normalnim vektorom? Osećam to u stomaku, moguće je. Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer same prave linije jasno definiran - ovo je „kruta struktura“ s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Ovo je naš normalni vektor. Volim ga. I postovanje =)

Primjer 9

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Rješenje: Koristimo formulu:

Dobijena je opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) “Ukloniti” koordinate vektora normale iz jednačine: – da, zaista, originalni vektor je dobijen iz uslova (ili treba dobiti kolinearni vektor).

2) Provjerimo da li tačka zadovoljava jednačinu:

Istinska jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednačina pravilno sastavljena, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvadimo usmjeravajući vektor prave linije:

Odgovori:

Na crtežu situacija izgleda ovako:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 10

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednačina prave na ravni

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član jednak nuli i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna „tehnička“ jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Kako je to zgodno? Jednačina prave u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka preseka prave sa koordinatnim osama, što može biti veoma važno u nekim problemima više matematike.

Nađimo tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y” i jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom – tačka u kojoj prava linija seče ordinatnu osu.

Definicija. Bilo koja prava linija na ravni može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štaviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanta A, B i C mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prava prolazi kroz početak

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prava linija paralelna sa Ox osom

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prava paralelna sa Oy osom

B = C = 0, A ≠0 – prava linija se poklapa sa Oy osom

A = C = 0, B ≠0 – prava linija se poklapa sa Ox osom

Jednačina prave linije može se predstaviti u u raznim oblicima zavisno od datih početnih uslova.

Jednadžba prave linije iz tačke i vektora normale

Definicija. U Kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu liniju datu jednačinom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na (3, -1).

Rješenje. Sa A = 3 i B = -1, sastavimo jednačinu prave: 3x – y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamenimo koordinate date tačke A u rezultirajući izraz. 3 – 2 + C = 0, dakle, C = -1 . Ukupno: tražena jednačina: 3x – y – 1 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik bi trebao biti jednak nuli.

ako je x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k se naziva nagib ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gore napisane formule dobijamo:

Jednačina prave linije iz tačke i nagiba

Ako je ukupni Ax + Bu + C = 0, dovedite do oblika:

i odrediti , onda se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednačina prave linije iz tačke i vektora pravca

Po analogiji sa tačkom uzimajući u obzir jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete uneti definiciju prave linije kroz tačku i usmeravajući vektor prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov A α 1 + B α 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednačinu željene linije u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0. za x = 1, y = 2 dobijamo C/ A = -3, tj. tražena jednačina:

Jednačina prave u segmentima

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Vu + S = 0 S≠0, onda, dijeljenjem sa –S, dobijamo: ili

Geometrijsko značenje koeficijenti je taj koeficijent A je koordinata tačke preseka linije sa Ox osom, i b– koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x – y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba prave

Ako se obje strane jednačine Ax + By + C = 0 pomnože brojem koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalna jednačina prave. Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Primjer. S obzirom na opštu jednačinu prave 12x – 5y – 65 = 0. Treba da napišete Razne vrste jednačine ove prave.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se ne može svaka ravna linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište koordinata.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osa. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Rješenje. Jednačina prave ima oblik: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A(-2, -3) i ishodište.

Rješenje. Jednačina prave linije je: , gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Ugao između pravih linija na ravni

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2. Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Prave Ax + Bu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je i C 1 = λC, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu

Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ovaj članak nastavlja temu jednačine prave na ravni: ovu vrstu jednadžbe ćemo smatrati općom jednačinom prave. Definirajmo teoremu i dajmo njen dokaz; Hajde da shvatimo šta je nepotpuna opšta jednačina prave i kako napraviti prelaze iz opšte jednačine u druge vrste jednačina prave. Cijelu teoriju ćemo pojačati ilustracijama i rješenjima praktičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neka je pravougaoni koordinatni sistem O x y specificiran na ravni.

Teorema 1

Svaka jednadžba prvog stepena, koja ima oblik A x + B y + C = 0, gdje su A, B, C neki realni brojevi (A i B nisu jednaki nuli u isto vrijeme), definira pravu liniju u pravougaoni koordinatni sistem na ravni. Zauzvrat, svaka prava linija u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni je određena jednadžbom koja ima oblik A x + B y + C = 0 za određeni skup vrijednosti A, B, C.

Dokaz

Ova teorema se sastoji od dvije tačke, svaku od njih ćemo dokazati.

1. Dokažimo da jednačina A x + B y + C = 0 definira pravu liniju na ravni.

Neka postoji neka tačka M 0 (x 0 , y 0) čije koordinate odgovaraju jednačini A x + B y + C = 0. Dakle: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmemo od leve i desne strane jednadžbe A x + B y + C = 0 levu i desnu stranu jednačine A x 0 + B y 0 + C = 0, dobićemo novu jednačinu koja izgleda kao A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je ekvivalentno A x + B y + C = 0.

Rezultirajuća jednačina A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je neophodna i dovoljno stanje okomitost vektora n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Dakle, skup tačaka M (x, y) definira pravu liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu okomitu na smjer vektora n → = (A, B). Možemo pretpostaviti da to nije tako, ali tada vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili okomiti, a jednakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo tačno.

Prema tome, jednadžba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definira određenu pravu u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni, pa prema tome ekvivalentna jednačina A x + B y + C = 0 definira ista linija. Ovako smo dokazali prvi dio teoreme.

1. Hajde da pružimo dokaz da se svaka prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni može odrediti jednačinom prvog stepena A x + B y + C = 0.

Definirajmo pravu liniju a u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni; tačku M 0 (x 0 , y 0) kroz koju prolazi ova prava, kao i vektor normale ove prave n → = (A, B) .

Neka postoji i neka tačka M (x, y) - plutajuća tačka na pravoj. U ovom slučaju, vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) su okomiti jedan na drugi, a njihov skalarni proizvod je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišimo jednačinu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 i kao konačni rezultat dobijemo jednačinu A x + B y + C = 0.

Dakle, dokazali smo drugi dio teoreme, i dokazali smo cijelu teoremu u cjelini.

Definicija 1

Jednačina oblika A x + B y + C = 0 - Ovo opšta jednačina prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemuOxy.

Na osnovu dokazane teoreme možemo zaključiti da su prava linija i njena opšta jednačina definisana na ravni u fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu neraskidivo povezane. Drugim rečima, originalna linija odgovara njenoj opštoj jednačini; opšta jednačina prave odgovara datoj liniji.

Iz dokaza teoreme također slijedi da su koeficijenti A i B za varijable x i y koordinate vektora normale prave, koja je data opštom jednačinom prave A x + B y + C = 0.

Razmotrimo konkretan primjer opće jednadžbe prave linije.

Neka je data jednačina 2 x + 3 y - 2 = 0, koja odgovara pravoj liniji u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Vektor normale ove linije je vektor n → = (2, 3). Nacrtajmo zadatu pravu liniju na crtežu.

Možemo konstatovati i sledeće: prava linija koju vidimo na crtežu određena je opštom jednačinom 2 x + 3 y - 2 = 0, pošto koordinate svih tačaka na datoj pravoj liniji odgovaraju ovoj jednačini.

Možemo dobiti jednačinu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 množenjem obe strane opšte jednačine prave brojem λ koji nije jednak nuli. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj opštoj jednačini, stoga će opisivati ​​istu pravu liniju na ravni.

Definicija 2

Potpuna opšta jednačina prave– takva opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, u kojoj su brojevi A, B, C različiti od nule. Inače je jednačina nepotpuna.

Hajde da analiziramo sve varijacije nepotpune opšte jednadžbe prave.

1. Kada je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, opšta jednačina ima oblik B y + C = 0. Ovakva nepotpuna opšta jednačina definiše u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y pravu liniju koja je paralelna sa O x osom, jer će za bilo koju realnu vrednost x varijabla y uzeti vrednost - C B . Drugim riječima, opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, kada je A = 0, B ≠ 0, određuje lokus tačaka (x, y), čije su koordinate jednake istom broju - C B .
2. Ako je A = 0, B ≠ 0, C = 0, opšta jednačina ima oblik y = 0. Ovo nepotpuna jednačina definira osu apscise O x .
3. Kada je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobijamo nepotpunu opštu jednačinu A x + C = 0, koja definiše pravu liniju paralelnu sa ordinatom.
4. Neka je A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada će nepotpuna opšta jednačina poprimiti oblik x = 0, a ovo je jednačina koordinatne prave O y.
5. Konačno, za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepotpuna opšta jednačina ima oblik A x + B y = 0. A ova jednadžba opisuje pravu liniju koja prolazi kroz ishodište. Zapravo, par brojeva (0, 0) odgovara jednakosti A x + B y = 0, pošto je A · 0 + B · 0 = 0.

Hajde da grafički ilustrujmo sve navedene tipove nepotpune opšte jednačine prave linije.

Primjer 1

Poznato je da je data prava paralelna sa ordinatnom osom i prolazi kroz tačku 2 7, - 11. Potrebno je zapisati opštu jednačinu date linije.

Rješenje

Prava linija paralelna sa ordinatnom osom data je jednadžbom oblika A x + C = 0, u kojoj je A ≠ 0. Uslov takođe specificira koordinate tačke kroz koju prava prolazi, a koordinate ove tačke ispunjavaju uslove nepotpune opšte jednačine A x + C = 0, tj. jednakost je tačna:

A 2 7 + C = 0

Iz njega je moguće odrediti C ako A damo neku vrijednost različitu od nule, na primjer, A = 7. U ovom slučaju dobijamo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamo oba koeficijenta A i C, zamenimo ih u jednačinu A x + C = 0 i dobijemo traženu pravolinijsku jednačinu: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primjer 2

Crtež pokazuje ravnu liniju koju trebate zapisati.

Rješenje

Navedeni crtež nam omogućava da lako uzmemo početne podatke za rješavanje problema. Na crtežu vidimo da je data prava paralelna sa O x osom i prolazi kroz tačku (0, 3).

Prava linija, koja je paralelna sa apscisom, određena je nepotpunom opštom jednačinom B y + C = 0. Nađimo vrijednosti B i C. Koordinate tačke (0, 3), pošto data prava prolazi kroz nju, zadovoljiće jednačinu prave B y + C = 0, tada važi jednakost: B · 3 + C = 0. Postavimo B na neku vrijednost osim nule. Recimo da je B = 1, u tom slučaju iz jednakosti B · 3 + C = 0 možemo naći C: C = - 3. Koristimo poznate vrednosti B i C, dobijamo traženu jednačinu prave: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Opšta jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u ravni

Neka data prava prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0), tada njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini prave, tj. tačna je jednakost: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmimo lijevu i desnu stranu ove jednačine od lijeve i desne strane opće potpuna jednačina ravno. Dobijamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj općoj, prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0) i ima normalu vektor n → = (A, B) .

Rezultat koji smo dobili omogućava da se zapiše opšta jednačina prave linije sa poznate koordinate vektor normale prave i koordinate određene tačke na ovoj pravoj.

Primjer 3

Zadata tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju prava prolazi i vektor normale ove prave n → = (1 , - 2) . Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam omogućavaju da dobijemo potrebne podatke za sastavljanje jednačine: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. onda:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem je mogao biti riješen drugačije. Opšta jednačina prave linije je A x + B y + C = 0. Dati normalni vektor nam omogućava da dobijemo vrijednosti koeficijenata A i B, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sada pronađimo vrijednost C koristeći tačku M 0 (- 3, 4) određenu uslovom zadatka, kroz koju prolazi prava linija. Koordinate ove tačke odgovaraju jednačini x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Stoga je C = 11. Tražena pravolinijska jednačina ima oblik: x - 2 · y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primjer 4

Date su prava 2 3 x - y - 1 2 = 0 i tačka M 0 koja leži na ovoj pravoj. Poznata je samo apscisa ove tačke, koja je jednaka -3. Potrebno je odrediti ordinatu date tačke.

Rješenje

Označimo koordinate tačke M 0 kao x 0 i y 0 . Izvorni podaci pokazuju da je x 0 = - 3. Pošto tačka pripada datoj pravoj, njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini ove prave. Tada će jednakost biti tačna:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definirajte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prijelaz sa opće jednadžbe prave na druge tipove jednačina prave i obrnuto

Kao što znamo, postoji nekoliko vrsta jednadžbi za istu pravu liniju na ravni. Izbor vrste jednačine zavisi od uslova problema; moguće je izabrati onaj koji je pogodniji za njegovo rješavanje. Ovdje je vrlo korisna vještina pretvaranja jednadžbe jednog tipa u jednačinu drugog tipa.

Prvo, razmotrimo prelazak sa opšte jednačine oblika A x + B y + C = 0 na kanonsku jednačinu x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ako je A ≠ 0, onda prenosimo pojam B y na desna strana opšta jednačina. Na lijevoj strani vadimo A iz zagrada. Kao rezultat, dobijamo: A x + C A = - B y.

Ova jednakost se može napisati kao proporcija: x + C A - B = y A.

Ako je B ≠ 0, ostavljamo samo pojam A x na lijevoj strani opće jednačine, ostale prenosimo na desnu, dobijamo: A x = - B y - C. Uzimamo – B iz zagrada, a zatim: A x = - B y + C B .

Prepišimo jednakost u obliku proporcije: x - B = y + C B A.

Naravno, nema potrebe pamtiti rezultirajuće formule. Dovoljno je poznavati algoritam radnji pri prelasku sa opšte jednačine na kanonsku.

Primjer 5

Data je opšta jednačina prave 3 y - 4 = 0. Potrebno ga je transformisati u kanonsku jednačinu.

Rješenje

Hajde da to zapišemo originalna jednadžba kao 3 y - 4 = 0 . Zatim nastavljamo prema algoritmu: pojam 0 x ostaje na lijevoj strani; a na desnoj strani stavljamo - 3 iz zagrada; dobijamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapišimo rezultirajuću jednakost kao proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili jednačinu kanonskog oblika.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Da biste transformisali opštu jednačinu prave u parametarsku, prvo izvršite prelaz u kanonski oblik, a zatim pređite iz kanonska jednačina prava linija na parametarske jednačine.

Primjer 6

Prava linija je data jednačinom 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametarske jednačine za ovu liniju.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa opće jednadžbe na kanonsku:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sada uzimamo obje strane rezultirajuće kanonske jednadžbe jednake λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Opšta jednačina se može pretvoriti u jednadžbu prave linije sa nagibom y = k · x + b, ali samo kada je B ≠ 0. Za prijelaz ostavljamo pojam B y na lijevoj strani, ostatak se prenosi na desnu. Dobijamo: B y = - A x - C . Podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa B, različitom od nule: y = - A B x - C B.

Primjer 7

Data je opšta jednačina prave: 2 x + 7 y = 0. Morate tu jednačinu pretvoriti u jednadžbu nagiba.

Rješenje

Izvršimo potrebne radnje prema algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz opšte jednačine prave dovoljno je jednostavno dobiti jednačinu u segmentima oblika x a + y b = 1. Da bismo napravili takav prijelaz, pomjerimo broj C na desnu stranu jednakosti, podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa – C i, na kraju, prenesemo koeficijente za varijable x i y na nazivnike:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primjer 8

Opću jednačinu prave x - 7 y + 1 2 = 0 potrebno je transformisati u jednadžbu prave u segmentima.

Rješenje

Pomaknimo 1 2 na desnu stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podijelimo obje strane jednakosti sa -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Općenito, obrnuti prijelaz je također lak: sa drugih vrsta jednadžbi na opću.

Jednadžba prave u segmentima i jednačina sa ugaonim koeficijentom mogu se lako pretvoriti u opštu jednostavnim sakupljanjem svih članova na lijevoj strani jednakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonska jednadžba se pretvara u opću prema sljedećoj shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Da biste prešli sa parametarskih, prvo pređite na kanonski, a zatim na opšti:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 9

Date su parametarske jednačine prave x = - 1 + 2 · λ y = 4. Potrebno je zapisati opštu jednačinu ove linije.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na kanonske:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pređimo sa kanonskog na opšte:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primjer 10

Zadata je jednačina prave linije u segmentima x 3 + y 1 2 = 1. Potrebno je prijeći na opći oblik jednačine.

Rješenje:

Jednostavno prepisujemo jednačinu u traženom obliku:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sastavljanje opće jednačine prave

Gore smo rekli da se opšta jednačina može napisati sa poznatim koordinatama vektora normale i koordinatama tačke kroz koju prava prolazi. Takva prava linija je definisana jednačinom A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tamo smo također analizirali odgovarajući primjer.

Pogledajmo sada složenije primjere u kojima prvo trebamo odrediti koordinate vektora normale.

Primjer 11

Zadana je prava paralelna pravoj 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Poznata je i tačka M 0 (4, 1) kroz koju prolazi data prava. Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam govore da su prave paralelne, pa kao vektor normale prave, čiju jednačinu treba napisati, uzimamo vektor pravca n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sada znamo sve potrebne podatke za kreiranje opće jednadžbe linije:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primjer 12

Data prava prolazi kroz ishodište okomito na pravu x - 2 3 = y + 4 5. Potrebno je napraviti opštu jednačinu za datu liniju.

Rješenje

Vektor normale date prave će biti vektor pravca x - 2 3 = y + 4 5.

Tada je n → = (3, 5) . Prava prolazi kroz ishodište, tj. kroz tačku O (0, 0). Kreirajmo opštu jednačinu za datu pravu liniju:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter