Diferencijalna jednadžba (DE) - ovo je jednačina,
gdje su nezavisne varijable, y je funkcija i parcijalni izvod.

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima samo jednu nezavisnu varijablu, .

Parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima dvije ili više nezavisnih varijabli.

Riječi “obični” i “parcijalni derivati” mogu se izostaviti ako je jasno koja se jednačina razmatra. U nastavku se razmatraju obične diferencijalne jednadžbe.

Red diferencijalne jednadžbe je red najviše derivacije.

Evo primjera jednačine prvog reda:

Evo primjera jednadžbe četvrtog reda:

Ponekad se diferencijalna jednadžba prvog reda piše u terminima diferencijala:

U ovom slučaju, varijable x i y su jednake. To jest, nezavisna varijabla može biti ili x ili y. U prvom slučaju, y je funkcija od x. U drugom slučaju, x je funkcija od y. Ako je potrebno, ovu jednačinu možemo svesti na oblik koji eksplicitno uključuje izvod y′.
Podijelimo ovu jednačinu sa dx dobijamo:
.
Budući da i , Iz toga slijedi
.

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Derivati ​​iz elementarne funkcije izražavaju se kroz elementarne funkcije. Integrali elementarnih funkcija često se ne izražavaju u terminima elementarnih funkcija. Sa diferencijalnim jednadžbama situacija je još gora. Kao rezultat rješenja možete dobiti:

• eksplicitna zavisnost funkcije od varijable;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe je funkcija y = u (x), koji je definiran, n puta diferenciran, i .

• implicitna zavisnost u obliku jednačine tipa Φ (x, y) = 0 ili sisteme jednačina;

  Integral diferencijalne jednadžbe je rješenje diferencijalne jednadžbe koja ima implicitni oblik.

• zavisnost izražena kroz elementarne funkcije i integrale od njih;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe u kvadraturama - ovo je pronalaženje rješenja u obliku kombinacije elementarnih funkcija i njihovih integrala.

• rješenje se ne može izraziti kroz elementarne funkcije.

Kako se rješavanje diferencijalnih jednadžbi svodi na izračunavanje integrala, rješenje uključuje skup konstanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Broj konstanti je jednak redu jednačine. Parcijalni integral diferencijalne jednadžbe je opšti integral za date vrijednosti konstanti C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurs diferencijalnih jednačina, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Danas je jedna od najvažnijih vještina svakog stručnjaka sposobnost rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi – bez toga ne može ni jedan primijenjeni zadatak, bilo da se radi o izračunavanju bilo kojeg fizičkog parametra ili modeliranju promjena kao rezultat usvojene makroekonomske politike. Ove jednadžbe su važne i za brojne druge nauke, kao što su hemija, biologija, medicina itd. U nastavku ćemo dati primjer upotrebe diferencijalnih jednadžbi u ekonomiji, ali prije toga ćemo ukratko govoriti o glavnim vrstama jednadžbi.

Diferencijalne jednadžbe - najjednostavniji tipovi

Mudraci su rekli da su zakoni našeg univerzuma zapisani matematički jezik. Naravno, u algebri postoji mnogo primjera raznih jednačina, ali to su uglavnom edukativni primjeri koji nisu primjenjivi u praksi. Zaista zanimljiva matematika počinje kada želimo da opišemo procese koji se dešavaju pravi zivot. Ali kako možemo odražavati faktor vremena koji upravlja stvarnim procesima – inflacijom, proizvodnjom ili demografskim pokazateljima?

Zapamtimo jednu stvar važna definicija iz kursa matematike o derivaciji funkcije. Izvod je brzina promjene funkcije, stoga nam može pomoći da uhvatimo faktor vremena u jednadžbi.

To jest, kreiramo jednačinu sa funkcijom koja opisuje indikator koji nas zanima i dodajemo izvod ove funkcije u jednačinu. Ovo je diferencijalna jednadžba. Pređimo sada na one najjednostavnije vrste diferencijalnih jednadžbi za lutke.

Najjednostavnija diferencijalna jednadžba ima oblik $y'(x)=f(x)$, gdje je $f(x)$ određena funkcija, a $y'(x)$ je izvod ili stopa promjene željenog funkcija. Može se riješiti običnom integracijom: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Sekunda najjednostavniji tip naziva se diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama. Takva jednadžba izgleda ovako: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Može se vidjeti da je zavisna varijabla $y$ također dio konstruirane funkcije. Jednačina se može riješiti vrlo jednostavno - potrebno je "razdvojiti varijable", odnosno dovesti je u oblik $y'(x)/g(y)=f(x)$ ili $dy/g(y) =f(x)dx$. Ostaje integrirati obje strane $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ovo je rješenje diferencijalne jednadžbe odvojivog tipa.

Posljednji jednostavan tip je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda. Ima oblik $y’+p(x)y=q(x)$. Ovdje su $p(x)$ i $q(x)$ neke funkcije, a $y=y(x)$ je tražena funkcija. Za rješavanje takve jednačine već se koristi posebne metode(Lagrangeova metoda varijacije proizvoljne konstante, Bernoullijeva metoda zamjene).

Ima ih još složene vrste jednačine - jednačine drugog, trećeg i općenito proizvoljnog reda, homogene i nehomogene jednačine, kao i sistemi diferencijalnih jednačina. Za njihovo rješavanje potrebna je preliminarna priprema i iskustvo u rješavanju jednostavnijih problema.

Takozvane parcijalne diferencijalne jednadžbe su od velikog značaja za fiziku i, neočekivano, finansije. To znači da željena funkcija ovisi o nekoliko varijabli u isto vrijeme. Na primjer, Black-Scholesova jednačina iz oblasti finansijskog inženjeringa opisuje vrijednost opcije (tip vrijednosne papire) u zavisnosti od njegove isplativosti, veličine plaćanja, kao i datuma početka i završetka plaćanja. Rješavanje parcijalne diferencijalne jednadžbe je prilično složeno, obično morate koristiti specijalni programi, kao što su Matlab ili Maple.

Primjer primjene diferencijalne jednadžbe u ekonomiji

Dajemo, kao što smo obećali, jednostavan primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe. Prvo, postavimo zadatak.

Za neke kompanije, funkcija graničnog prihoda od prodaje svojih proizvoda ima oblik $MR=10-0,2q$. Ovdje je $MR$ granični prihod firme, a $q$ je obim proizvodnje. Moramo pronaći ukupan prihod.

Kao što možete vidjeti iz problema, ovo je primijenjen primjer iz mikroekonomije. Mnoge firme i preduzeća se stalno suočavaju sa ovakvim proračunima u toku svojih aktivnosti.

Počnimo s rješenjem. Kao što je poznato iz mikroekonomije, granični prihod je derivat ukupnog prihoda, a prihod je nula kod nulte prodaje.

Sa matematičke tačke gledišta, problem je sveden na rješavanje diferencijalne jednadžbe $R’=10-0.2q$ pod uslovom $R(0)=0$.

Hajde da integrišemo jednačinu, uzimajući antiderivativnu funkciju obe strane, dobijamo zajednička odluka: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Da biste pronašli konstantu $C$, prisjetite se uvjeta $R(0)=0$. Zamijenimo: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Dakle, C=0 i naša ukupna funkcija prihoda ima oblik $R(q)=10q-0.1q^2$. Problem je riješen.

Ostali primjeri od različite vrste Daljinski upravljači se prikupljaju na stranici:

Instrukcije

Ako je jednadžba predstavljena u obliku: dy/dx = q(x)/n(y), klasificirajte ih kao diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Mogu se riješiti tako da se uvjet zapiše u diferencijalima na sljedeći način: n(y)dy = q(x)dx. Zatim integrirajte obje strane. U nekim slučajevima rješenje je zapisano u obliku integrala preuzetih iz poznatih funkcija. Na primjer, u slučaju dy/dx = x/y, dobijamo q(x) = x, n(y) = y. Napišite ga u obliku ydy = xdx i integrirajte. Trebalo bi da bude y^2 = x^2 + c.

Do linearnog jednačine povežite jednačine sa "prvim". Nepoznata funkcija sa svojim derivatima ulazi u takvu jednačinu samo do prvog stepena. Linearni ima oblik dy/dx + f(x) = j(x), gdje su f(x) i g(x) funkcije koje zavise od x. Rješenje je zapisano korištenjem integrala preuzetih iz poznatih funkcija.

Imajte na umu da su mnoge diferencijalne jednačine jednadžbe drugog reda (sadrže druge izvode, na primjer, jednačina jednostavnog harmonijskog kretanja je napisana u opštem obliku: md 2x/dt 2 = –kx). Takve jednačine imaju, u , posebna rješenja. Jednadžba jednostavnog harmonijskog kretanja primjer je prilično važne: linearne diferencijalne jednadžbe koje imaju konstantni koeficijent.

Ako u uslovima zadatka postoji samo jedan linearna jednačina, onda vam je dato dodatni uslovi, zahvaljujući čemu se može pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.

Izvori:

• kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom

Diferencijalni i integralni računski problemi su važnih elemenata konsolidacija teorije matematička analiza, grana visoke matematike koja se studira na univerzitetima. Diferencijal jednačina rješava metodom integracije.

Instrukcije

Diferencijalni račun istražuje svojstva . I obrnuto, integracija funkcije omogućava date osobine, tj. izvode ili diferencijale funkcije da bi je sam pronašao. Ovo je rješenje diferencijalne jednadžbe.

Sve je odnos između nepoznate količine i poznatih podataka. U slučaju diferencijalne jednadžbe ulogu nepoznate ima funkcija, a ulogu poznatih veličina njeni derivati. Osim toga, relacija može sadržavati nezavisnu varijablu: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, gdje je x nepoznata varijabla, y (x) je funkcija koju treba odrediti, redoslijed jednadžbe je maksimalni red derivat (n).

Takva jednačina se naziva obična diferencijalna jednačina. Ako odnos sadrži nekoliko nezavisnih varijabli i parcijalnih izvoda (diferencijala) funkcije u odnosu na ove varijable, tada se jednačina naziva parcijalna diferencijalna jednadžba i ima oblik: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , gdje je z(x, y) tražena funkcija.

Dakle, da biste naučili rješavati diferencijalne jednadžbe, morate znati pronaći antiderivate, tj. riješiti problem inverzno od diferencijacije. Na primjer: Riješite jednačinu prvog reda y’ = -y/x.

Rješenje Zamijenite y’ sa dy/dx: dy/dx = -y/x.

Svesti jednadžbu na oblik pogodan za integraciju. Da biste to učinili, pomnožite obje strane sa dx i podijelite sa y:dy/y = -dx/x.

Integriraj: ∫dy/y = - ∫dx/x + Sln |y| = - ln |x| + C.

Ovo rješenje se naziva opća diferencijalna jednačina. C je konstanta čiji skup vrijednosti određuje skup rješenja jednadžbe. Za bilo koju specifičnu vrijednost C, rješenje će biti jedinstveno. Ovo rješenje je parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe.

Rješavanje većine jednačina višeg reda stepeni nema jasnu formulu za pronalaženje kvadratnih korijena jednačine. Međutim, postoji nekoliko metoda redukcije koje vam omogućavaju da transformišete jednadžbu višeg stepena u vizuelniji oblik.

Instrukcije

Najčešća metoda za rješavanje jednačina višeg stepena je ekspanzija. Ovaj pristup je kombinacija odabira cjelobrojnih korijena, djelitelja slobodnog člana i naknadne podjele općeg polinoma u oblik (x – x0).

Na primjer, riješite jednačinu x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rješenje: Slobodni član ovog polinoma je -3, dakle, njegovi djelitelji cijelih brojeva mogu biti brojevi ±1 i ±3. Zamjenjujte ih jednu po jednu u jednadžbu i saznajte da li ste dobili identičnost: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Drugi korijen x = -1. Podijelite s izrazom (x + 1). Zapišite rezultirajuću jednačinu (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stepen je sveden na drugi, dakle, jednačina može imati još dva korijena. Da biste ih pronašli, riješite kvadratnu jednačinu: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminant je negativna vrijednost, što znači da jednačina više nema pravi korijen. Pronađite kompleksne korijene jednačine: x = (-2 + i·√11)/2 i x = (-2 – i·√11)/2.

Druga metoda za rješavanje jednačine višeg stepena je promjena varijabli da bi se učinila kvadratnom. Ovaj pristup se koristi kada su sve potencije jednačine parne, na primjer: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Sada pronađite korijene originalne jednačine: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Savjet 10: Kako odrediti redoks jednačine

Hemijska reakcija je proces transformacije supstanci koji se javlja s promjenom njihovog sastava. One tvari koje reagiraju nazivaju se početne tvari, a one koje nastaju kao rezultat ovog procesa nazivaju se produkti. Dešava se da tokom hemijska reakcija elementi koji čine polazne tvari mijenjaju svoje oksidacijsko stanje. Odnosno, mogu prihvatiti tuđe elektrone i dati svoje. U oba slučaja njihov naboj se mijenja. Takve reakcije se nazivaju redoks reakcije.

Ili su već riješeni u odnosu na izvod, ili se mogu riješiti u odnosu na izvod .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu X, koji je dat, može se naći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobijamo .

Ako pogledate nekretnine neodređeni integral, tada nalazimo željeno opće rješenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedna od primitivnih funkcija f(x) između X, A WITH- proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da u većini problema interval X nemojte naznačiti. To znači da se mora naći rješenje za svakoga. x, za koju i željenu funkciju y, And originalna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x 0) = y 0, zatim nakon izračunavanja opšteg integrala y = F(x) + C, još uvijek je potrebno odrediti vrijednost konstante C = C 0, koristeći početni uslov. Odnosno, konstanta C = C 0 određeno iz jednačine F(x 0) + C = y 0, a željeno parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C 0.

Pogledajmo primjer:

Nađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe i provjerimo ispravnost rezultata. Nađimo određeno rješenje ove jednačine koje bi zadovoljilo početni uslov.

Rješenje:

Nakon što integrišemo datu diferencijalnu jednačinu, dobijamo:

.

Uzmimo ovaj integral koristeći metodu integracije po dijelovima:

to., je opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Da bismo bili sigurni da je rezultat tačan, izvršimo provjeru. Da bismo to učinili, zamijenimo rješenje koje smo pronašli u datu jednačinu:

.

To jest, kada originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe tačno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Ostaje da se izračuna određeno rješenje za ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante WITH, pri čemu će jednakost biti tačna:

.

.

Zatim, zamena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti za izvod dijeljenjem 2 strane jednadžbe sa f(x). Ova transformacija će biti ekvivalentna ako f(x) ni pod kojim okolnostima ne prelazi na nulu x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe X.

Vjerovatne su situacije kada za neke vrijednosti argumenta x ∈ X funkcije f(x) I g(x) istovremeno postati nula. Za slične vrijednosti x opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija y, što je u njima definisano, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenata x ∈ X uslov je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala X opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je određeno iz transformirane jednačine.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1.

Hajde da pronađemo opšte rešenje za ODE: .

Rješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da funkcija prirodni logaritam je definiran za nenegativne vrijednosti argumenata, tako da je opseg izraza ln(x+3) postoji interval x > -3 . To znači da data diferencijalna jednačina ima smisla za x > -3 . Za ove vrijednosti argumenata, izraz x+3 ne nestaje, tako da možete riješiti ODE za izvod dijeljenjem 2 dijela sa x + 3.

Dobijamo .

Zatim integriramo rezultirajuću diferencijalnu jednadžbu, riješenu s obzirom na izvod: . Da bismo uzeli ovaj integral, koristimo metodu subsumiranja diferencijalnog predznaka.

Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju ove varijable i njene derivate (ili diferencijale) različitih redova.

Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najviše izvedenice sadržane u njemu.

Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje se odnose na nezavisne varijable, nepoznatu funkciju ovih varijabli i njene parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali mi ćemo samo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo, radi sažetosti, izostaviti riječ „običan“.

Primjeri diferencijalnih jednadžbi:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednačina (1) je četvrtog reda, jednačina (2) je trećeg reda, jednačine (3) i (4) su drugog reda, jednačina (5) je prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n red ne mora nužno sadržavati eksplicitnu funkciju, sve njene derivate od prvog do n-ti red i nezavisna varijabla. Ne smije eksplicitno sadržavati derivate određenih redova, funkciju ili nezavisnu varijablu.

Na primjer, u jednačini (1) očito nema izvoda trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednačini (2) - izvod drugog reda i funkcija; u jednačini (4) - nezavisna varijabla; u jednačini (5) - funkcije. Samo jednadžba (3) sadrži eksplicitno sve izvode, funkciju i nezavisnu varijablu.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe svaka funkcija se poziva y = f(x), kada se zameni u jednačinu pretvara se u identitet.

Proces nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njegov integracija.

Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Rješenje. Zapišimo ovu jednačinu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju iz njene derivacije. Originalna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivat za, tj.

To je ono što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe . Presvlačenje u njemu C, dobićemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n th red je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je općenito.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se rješenje u kojem su proizvoljne konstante date određene numeričke vrijednosti.

Primjer 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za .

Rješenje. Integrirajmo obje strane jednačine broj puta jednak redu diferencijalne jednačine.

,

.

Kao rezultat, dobili smo generalno rješenje -

date diferencijalne jednadžbe trećeg reda.

Hajde sada da pronađemo određeno rešenje pod određenim uslovima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijete

.

Ako je, pored diferencijalne jednadžbe, početni uvjet dat u obliku , tada se takav problem naziva Cauchy problem . Zamijenite vrijednosti i u opšte rješenje jednadžbe i pronađite vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim određeno rješenje jednadžbe za pronađenu vrijednost C. Ovo je rješenje za Cauchyjev problem.

Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 podložna .

Rješenje. Zamijenimo vrijednosti iz početnog stanja u opšte rješenje y = 3, x= 1. Dobijamo

Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za ovu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobru integraciju i vještine izvođenja, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.

Primjer 4. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Rješenje. Jednačina je napisana u takvom obliku da možete odmah integrirati obje strane.

.

Primjenjujemo metodu integracije promjenom varijable (supstitucijom). Neka bude onda.

Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - to radimo prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija("jabuka" - ekstrakcija kvadratni korijen ili, šta je isto - dizanje na stepen "pola", a "mleveno meso" je sam izraz ispod korena):

Nalazimo integral:

Vraćanje na varijablu x, dobijamo:

.

Ovo je opšte rešenje ove diferencijalne jednačine prvog stepena.

Za rješavanje diferencijalnih jednačina bit će potrebne ne samo vještine iz prethodnih odjeljaka više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda možda ne postoji nezavisna varijabla, tj. x. Znanje o proporcijama iz škole koje nije zaboravljeno (međutim, u zavisnosti od koga) iz škole će pomoći u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.