- — [] kvadratna funkcija Funkcija oblika y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafikon K.f. - parabola, čiji vrh ima koordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], sa a>0 granama parabole ... ...
KVADRATNA FUNKCIJA, matematička FUNKCIJA čija vrijednost zavisi od kvadrata nezavisne varijable, x, i data je, respektivno, kvadratnim POLINOMOM, na primjer: f(x) = 4x2 + 17 ili f(x) = x2 + 3x + 2. vidi i KVADRAT JEDNAČINE … Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik
Kvadratna funkcija- Kvadratna funkcija - funkcija oblika y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafikon K.f. - parabola čiji vrh ima koordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], za a> 0 grane parabole su usmjerene prema gore, za a< 0 –вниз… …
- (kvadratna) Funkcija koja ima sljedeći oblik: y=ax2+bx+c, gdje je a≠0 i najviši stepen x je kvadrat. Kvadratna jednadžba y=ax2 +bx+c=0 se takođe može rešiti korišćenjem sledeće formule: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Ovi koreni su pravi... Ekonomski rječnik
Afina kvadratna funkcija na afinom prostoru S je svaka funkcija Q: S→K koja ima oblik Q(x)=q(x)+l(x)+c u vektoriziranom obliku, gdje je q kvadratna funkcija, l je linearna funkcija, c je konstanta. Sadržaj 1 Pomicanje referentne tačke 2 ... ... Wikipedia
Afina kvadratna funkcija na afinom prostoru je svaka funkcija koja ima oblik u vektoriziranom obliku, gdje je simetrična matrica, linearna funkcija, konstanta. Sadržaj... Wikipedia
Funkcija na vektorskom prostoru definisana homogenim polinomom drugog stepena u koordinatama vektora. Sadržaj 1 Definicija 2 Povezane definicije... Wikipedia
- je funkcija koja u teoriji statistička rješenja karakteriše gubitke zbog pogrešnog donošenja odluka na osnovu posmatranih podataka. Ako se rješava problem procjene parametra signala u pozadini buke, onda je funkcija gubitka mjera neslaganja... ... Wikipedia
ciljna funkcija- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rečnik elektrotehnike i energetike, Moskva, 1999.] ciljna funkcija U ekstremnim problemima, funkcija čiji minimum ili maksimum treba pronaći. Ovo… … Vodič za tehnički prevodilac
Objektivna funkcija- u ekstremnim problemima, funkcija čiji minimum ili maksimum treba pronaći. Ovo ključni koncept optimalno programiranje. Nakon što je pronađen ekstremum C.f. i, prema tome, odredivši vrijednosti kontroliranih varijabli koje idu na to ... ... Ekonomsko-matematički rječnik
Knjige
- Set stolova. Matematika. Grafikoni funkcija (10 tabela), . Edukativni album od 10 listova. Linearna funkcija. Grafička i analitička dodjela funkcija. Kvadratna funkcija. Transformacija grafa kvadratna funkcija. Funkcija y=sinx. Funkcija y=cosx.…
- Najvažnija funkcija školske matematike je kvadratna - u zadacima i rješenjima, Petrov N.N.. Kvadratna funkcija je glavna funkcija školskog predmeta matematike. Nije ni čudo. S jedne strane, jednostavnost ove funkcije, as druge, duboko značenje. Mnogi školski zadaci...
Na časovima matematike u školi već ste se upoznali s najjednostavnijim svojstvima i grafom funkcije y = x 2. Proširimo svoja znanja dalje kvadratna funkcija.
Vježba 1.
Grafikujte funkciju y = x 2. Skala: 1 = 2 cm Označite tačku na osi Oy F(0; 1/4). Koristeći kompas ili traku papira, izmjerite udaljenost od tačke F do neke tačke M parabole. Zatim pričvrstite traku u tački M i rotirajte je oko te tačke dok ne bude okomita. Kraj trake će pasti malo ispod x-ose (sl. 1). Označite na traci koliko se proteže izvan x-ose. Sada uzmite drugu tačku na paraboli i ponovite mjerenje. Koliko je rub trake pao ispod x-ose?
rezultat: koju god tačku na paraboli y = x 2 uzmete, udaljenost od ove tačke do tačke F(0; 1/4) će biti više udaljenosti od iste tačke do x-ose uvek za isti broj - za 1/4.
Možemo reći drugačije: udaljenost od bilo koje tačke parabole do tačke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste tačke parabole do prave linije y = -1/4. Ova divna tačka F(0; 1/4) se zove fokus parabole y = x 2, i prava linija y = -1/4 – ravnateljica ova parabola. Svaka parabola ima direktrisu i fokus.
Zanimljiva svojstva parabole:
1. Bilo koja tačka parabole jednako je udaljena od neke tačke, koja se zove fokus parabole, i neke prave linije, koja se zove njena direktrisa.
2. Ako rotirate parabolu oko ose simetrije (na primjer, parabolu y = x 2 oko ose Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu površinu koja se zove paraboloid okretanja.
Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik paraboloida okretanja. Ovu površinu možete vidjeti ako snažno promiješajte žlicom u nepotpunoj čaši čaja, a zatim izvadite žlicu.
3. Ako bacite kamen u prazninu pod određenim uglom u odnosu na horizont, on će letjeti u paraboli (Sl. 2).
4. Ako presječete površinu stošca ravninom koja je paralelna bilo kojoj od njegovih generatrisa, tada će poprečni presjek rezultirati parabolom (sl. 3).
5. Zabavni parkovi ponekad imaju zabavnu vožnju pod nazivom Paraboloid čuda. Svima koji stoje unutar rotirajućeg paraboloida čini se da on stoji na podu, dok se ostali ljudi nekako čudesno drže za zidove.
6. U reflektirajućim teleskopima koriste se i parabolična ogledala: svjetlost udaljene zvijezde, koja dolazi u paralelnom snopu, pada na ogledalo teleskopa, sakuplja se u fokus.
7. Reflektori obično imaju ogledalo u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličkog ogledala, formiraju paralelni snop.
Grafiranje kvadratne funkcije
Na časovima matematike učili ste kako da dobijete grafove funkcija oblika iz grafa funkcije y = x 2:
1) y = ax 2– rastezanje grafika y = x 2 duž ose Oy u |a| puta (sa |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinač. 4).
2) y = x 2 + n– pomak grafika za n jedinica duž ose Oy, a ako je n > 0, onda je pomak prema gore, a ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– pomak grafika za m jedinica duž ose Ox: ako je m< 0, то вправо, а если m >0, zatim lijevo, (sl. 5).
4) y = -x 2– simetričan prikaz u odnosu na Ox osu grafika y = x 2 .
Pogledajmo bliže crtanje funkcije y = a(x – m) 2 + n.
Kvadratna funkcija oblika y = ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik
y = a(x – m) 2 + n, gdje je m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Dokažimo to.
stvarno,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Hajde da uvedemo nove oznake.
Neka m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
tada dobijamo y = a(x – m) 2 + n ili y – n = a(x – m) 2.
Napravimo još neke zamjene: neka je y – n = Y, x – m = X (*).
Tada dobijamo funkciju Y = aX 2, čiji je graf parabola.
Tem parabole je u početku. X = 0; Y = 0.
Zamjenom koordinata vrha u (*) dobijamo koordinate vrha grafa y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Dakle, da bi se nacrtala kvadratna funkcija predstavljena kao
y = a(x – m) 2 + n
kroz transformacije, možete nastaviti na sljedeći način:
a) nacrtajte funkciju y = x 2 ;
b) paralelnim prevođenjem duž ose Ox za m jedinica i duž ose Oy za n jedinica - prenijeti vrh parabole iz ishodišta u tačku s koordinatama (m; n) (sl. 6).
Transformacije snimanja:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Primjer.
Koristeći transformacije, konstruirajte graf funkcije y = 2(x – 3) 2 u Dekartovom koordinatnom sistemu – 2.
Rješenje.
Lanac transformacija:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Crtanje je prikazano u pirinač. 7.
Možete sami vježbati crtanje kvadratnih funkcija. Na primjer, napravite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 u jednom koordinatnom sistemu koristeći transformacije. Ako imate pitanja ili želite da dobijete savjet od nastavnika, onda imate priliku da provedete besplatna 25-minutna lekcija sa online tutorom nakon . Za dalji rad sa nastavnikom možete izabrati onaj koji Vama odgovara
Imate još pitanja? Ne znate grafički prikazati kvadratnu funkciju?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Kao što praksa pokazuje, zadaci na svojstvima i grafovima kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. Ovo je prilično čudno, jer kvadratnu funkciju proučavaju u 8. razredu, a zatim kroz prvu četvrtinu 9. razreda “muče” svojstva parabole i grade njene grafove za različite parametre.
To je zbog činjenice da kada tjeraju učenike da konstruiraju parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Očigledno se pretpostavlja da će, nakon konstruiranja desetak ili dva grafikona, pametan student sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgled grafike. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini istraživanjima, koje većina učenika devetog razreda, naravno, nema. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže utvrđivanje predznaka koeficijenata pomoću rasporeda.
Nećemo zahtijevati nemoguće od školaraca i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.
Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c naziva se kvadratnim, njegov graf je parabola. Kao što ime govori, glavni pojam je sjekira 2. To je A ne bi trebali biti jednaki nuli, preostali koeficijenti ( b I With) može biti jednaka nuli.
Pogledajmo kako znaci njegovih koeficijenata utiču na izgled parabole.
Najjednostavnija zavisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, i ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
IN u ovom slučaju A = 0,5
A sada za A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
U ovom slučaju A = - 0,5
Uticaj koeficijenta With Takođe je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u nekoj tački X= 0. Zamijenite nulu u formulu:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je With je ordinata tačke preseka parabole sa y-osom. Obično je ovu tačku lako pronaći na grafikonu. I odredite da li leži iznad nule ili ispod. To je With> 0 ili With < 0.
With > 0:
y = x 2 + 4x + 3
With < 0
y = x 2 + 4x - 3
Shodno tome, ako With= 0, tada će parabola nužno proći kroz ishodište:
y = x 2 + 4x
Teže s parametrom b. Tačka u kojoj ćemo je pronaći ne zavisi samo od toga b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata ose X) se nalazi po formuli x in = - b/(2a). dakle, b = - 2ax in. Odnosno, postupimo na sljedeći način: pronađemo vrh parabole na grafu, odredimo predznak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili lijevo ( x in < 0) она лежит.
Međutim, to nije sve. Takođe moramo obratiti pažnju na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte gdje su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, po formuli b = - 2ax in odredi znak b.
Pogledajmo primjer:
Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola seče osu at ispod nule, tj With < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, With < 0.
Poziva se funkcija oblika gdje kvadratna funkcija.
Grafikon kvadratne funkcije – parabola.
Razmotrimo slučajeve:
I CASE, KLASIČNA PARABOLA
To je , ,
Za konstruiranje, popunite tabelu zamjenom vrijednosti x u formulu:
Označite tačke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatnoj ravni (što manji korak uzmemo za x vrijednosti (u ovom slučaju, korak 1), a što više x vrijednosti uzmemo, to će kriva biti glatkija), dobijamo parabolu:
Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , to jest, onda ćemo dobiti parabolu koja je simetrična oko ose (oh). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tabele:
II SLUČAJ, “a” SE RAZLIKUJE OD JEDINICE
Šta će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na prvoj slici (vidi gore) jasno je vidljivo da su tačke iz tabele za parabolu (1;1), (-1;1) transformisane u tačke (1;4), (1;-4), to jest, sa istim vrijednostima, ordinata svake tačke se množi sa 4. Ovo će se dogoditi sa svim ključnim tačkama originalne tabele. Slično razmišljamo iu slučajevima slika 2 i 3.
A kada parabola "postane šira" od parabole:
Hajde da rezimiramo:
1)Predznak koeficijenta određuje smjer grana. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modulus) je odgovoran za “širenje” i “kompresiju” parabole. Što je veća, to je parabola uža; što je manja |a|, to je parabola šira.
III SLUČAJ, POJAVA „C“.
Sada ćemo uvesti u igru (odnosno, razmotriti slučaj kada), razmotrit ćemo parabole oblika . Nije teško pogoditi (uvijek možete pogledati tabelu) da će se parabola pomaknuti gore ili dolje duž ose ovisno o predznaku:
IV POJAVA SE SLUČAJ, “b”.
Kada će se parabola „otrgnuti“ od ose i konačno „prošetati“ duž cele koordinatne ravni? Kada će prestati biti ravnopravan?
Ovdje nam je potrebna za konstruiranje parabole formula za izračunavanje vrha: , .
Dakle, u ovom trenutku (kao u tački (0;0) novi sistem koordinate) izgradićemo parabolu, što već možemo. Ako imamo posla sa slučajem, onda od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća tačka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša tačka); ako imamo posla, na primjer, onda od vrha stavljamo jedan jedinični segment udesno, dva - prema gore itd.
Na primjer, vrh parabole:
Sada je glavna stvar koju treba razumjeti je da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema uzorku parabole, jer u našem slučaju.
Prilikom konstruisanja parabole nakon pronalaženja koordinata vrha vrloPogodno je razmotriti sljedeće točke:
1) parabola sigurno će proći kroz tačku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobijamo da . To jest, ordinata točke presjeka parabole sa osom (oy) je . U našem primjeru (gore), parabola siječe ordinatu u točki , budući da .
2) osa simetrije parabole je prava linija, tako da će sve tačke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru, odmah uzimamo tačku (0; -2) i gradimo je simetrično u odnosu na osu simetrije parabole, dobijamo tačku (4; -2) kroz koju će parabola proći.
3) Izjednačujući sa , nalazimo točke presjeka parabole s osom (oh). Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu. U zavisnosti od diskriminanta, dobićemo jedan (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru, naš korijen diskriminanta nije cijeli broj; pri konstruiranju nema puno smisla da pronađemo korijene, ali jasno vidimo da ćemo imati dvije točke presjeka s osom (oh) (pošto title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Pa hajde da to riješimo
Algoritam za konstruisanje parabole ako je data u obliku
1) odrediti smjer grana (a>0 – gore, a<0 – вниз)
2) nalazimo koordinate vrha parabole koristeći formulu , .
3) nalazimo točku presjeka parabole sa osom (oy) koristeći slobodni termin, konstruiramo tačku simetričnu ovoj tački u odnosu na os simetrije parabole (treba napomenuti da se dešava da je neisplativo označiti ovu tačku, na primjer, jer je vrijednost velika... ovu tačku preskačemo...)
4) U pronađenoj tački - vrhu parabole (kao u tački (0;0) novog koordinatnog sistema) konstruišemo parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Točke presjeka parabole sa osom (oy) (ako još nisu "isplivale") nalazimo rješavanjem jednačine
Primjer 1
Primjer 2
Napomena 1. Ako nam je parabola u početku data u obliku , gdje su neki brojevi (na primjer, ), tada će biti još lakše konstruirati je, jer smo već dobili koordinate vrha . Zašto?
Uzmimo kvadratni trinom i odaberite cijeli kvadrat u njemu: Gledajte, imamo to , . Vi i ja smo ranije nazivali vrh parabole, odnosno sada,.
Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (u odnosu na ). To jest, izvršavamo tačke 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruisanje parabole (vidi gore).
Napomena 2. Ako je parabola data u obliku sličnom ovome (tj. predstavljena kao proizvod dva linearna faktora), tada odmah vidimo tačke presjeka parabole sa osom (ox). U ovom slučaju – (0;0) i (4;0). Za ostalo postupamo prema algoritmu, otvarajući zagrade.
