Problem izbora rešenja u uslovima neizvesnosti najlakše se rešava, kada iako ne znamo uslove za izvođenje operacije (prirodno stanje), znamo njihove verovatnoće:
U ovom slučaju, kao indikator efikasnosti, koji nastojimo da maksimiziramo, prirodno je uzeti prosječnu vrijednost, tj. očekivanu vrijednost dobitaka, uzimajući u obzir vjerovatnoće svih mogućih uslova.
Označimo ovu prosječnu vrijednost za igračevu strategiju sa
ili, ukratko,
Očigledno, ne postoji ništa više od ponderisanog prosjeka dobitaka linije uzetih sa kesom. Kao optimalna strategija, prirodno je odabrati strategiju za koju vrijednost dostiže maksimum.
Koristeći ovu tehniku, problem izbora rješenja u uvjetima neizvjesnosti pretvara se u problem izbora rješenja u uvjetima izvjesnosti, samo odluka optimalan je ne u svakom pojedinačnom slučaju, već u prosjeku.
Primjer 1. Operacija se planira u prethodno nepoznatim meteorološkim uslovima; opcije za ove uslove: Prema vremenskim izveštajima dugi niz godina, učestalosti (verovatnosti) ovih opcija su jednake, odnosno:
Moguće opcije za organizaciju operacija u različitim vremenskim uslovima donose različite prednosti. Vrijednosti “Prihoda” za svako rješenje u različitim uslovima date su u tabeli. 13.1
Tabela 13.1
Poslednji red daje verovatnoće uslova. Prosječni dobici prikazani su u posljednjoj koloni. Pokazuje da je igračeva optimalna strategija njegova strategija koja daje prosječan dobitak (označen zvjezdicom).
Kada birate optimalnu strategiju u nepoznatim uslovima sa poznatim verovatnoćama, možete koristiti ne samo prosečnu isplatu
ali i srednjeg rizika
što, naravno, treba pretvoriti ne u maksimum, već u minimum.
Pokažimo da se strategija koja maksimizira prosječnu isplatu poklapa sa strategijom koja minimizira prosječni rizik. Izračunajmo oba ova indikatora i zbrojimo ih:
(13.2)
Ovaj zbir (ponderisani prosjek maksimuma kolone) za datu matricu je konstantna vrijednost; Nazovimo to C:
odakle je prosječan rizik jednak
Očigledno, ova vrijednost se pretvara na minimum kada a, - do maksimuma, dakle, strategija izabrana iz uslova minimalnog prosječnog rizika poklapa se sa strategijom izabranom iz uslova maksimalnog prosječnog dobitka.
Imajte na umu da u slučaju kada su vjerovatnoće stanja prirode poznate prilikom rješavanja igre s prirodom, uvijek možete proći samo sa čistim strategijama, bez korištenja mješovitih. Zaista, ako primijenimo neku vrstu mješovite strategije
tj. strategija sa vjerovatnoćom, strategija sa vjerovatnoćom, itd., tada će naš prosječni dobitak, u prosjeku za oba stanja (prirodna stanja) i naše strategije, biti:
Ovo je ponderisani prosek dobitaka koji odgovara našim čistim strategijama.
Ali jasno je da bilo koji prosjek ne može premašiti maksimum prosječnih vrijednosti:
Stoga, korištenje mješovite strategije sa bilo kojom vjerovatnoćom ne može biti isplativije za igrača od korištenja čiste strategije.
Vjerovatnoće stanja (prirodna stanja) mogu se odrediti iz statističkih podataka povezanih sa ponovljenim izvođenjem sličnih operacija ili jednostavno sa zapažanjima stanja prirode. Na primjer, ako željeznica Za određeni vremenski period potrebno je završiti ne sasvim poznat obim prevoza, a zatim se podaci o distribuciji uslova mogu uzeti iz iskustva iz proteklih godina. Ako, kao u prethodnom primjeru, uspjeh operacije ovisi o vremenskim prilikama, podaci o njima se mogu uzeti iz statistike vremenskih izvještaja.
Međutim, česti su slučajevi kada, kada počinjemo da izvodimo operaciju, nemamo pojma o verovatnoći prirodnih stanja; Sve naše informacije su svedene na listu varijantnih stanja, ali ne možemo procijeniti njihove vjerovatnoće. Na primjer, malo je vjerovatno da ćemo moći razumno procijeniti vjerovatnoću da će važan tehnički izum biti predložen i implementiran u narednih k godina.
Naravno, u takvim slučajevima se vjerovatnoće stanja (prirodna stanja) mogu procijeniti subjektivno: neke nam se čine vjerodostojnijima, dok nam se druge čine manje uvjerljivim. Kako bismo naše subjektivne ideje o većoj ili manjoj „uvjerljivosti“ jedne ili druge hipoteze pretvorili u numeričke procjene, mogu se koristiti različite tehničke tehnike. Dakle, ako ne možemo preferirati nijednu hipotezu, ako su nam sve jednake, onda je prirodno da njihove vjerovatnoće dodijelimo jednake jedna drugoj:
To je takozvani Laplasov „princip nedovoljnog razuma“. Drugi čest slučaj je kada imamo ideju o tome koji su uvjeti vjerovatniji, a koji manje vjerovatniji, tj. možemo poredati postojeće hipoteze u opadajućem redoslijedu njihove vjerodostojnosti: najvjerovatnija prva hipoteza (PO, pa druga) najmanje uvjerljiva hipoteza (). Međutim, ne znamo koliko je vjerovatnije jedno od njih od drugog. U ovom slučaju, možete, na primjer, dodijeliti vjerojatnosti hipoteza da budu proporcionalne terminima opadajuće aritmetičke progresije:
ili, s obzirom na to
Ponekad je moguće, na osnovu iskustva i zdravog razuma, procijeniti više suptilne razlike između stepena verovatnoće hipoteza.
Takve metode subjektivne procjene “vjerovatnosti-uvjerljivosti” različitih hipoteza o stanju prirode ponekad mogu pomoći u odabiru rješenja. Međutim, ne smijemo zaboraviti da će se „optimalno rješenje odabrano na osnovu subjektivnih vjerovatnoća neizbježno pokazati i subjektivno. Stepen subjektivnosti odluke može se smanjiti ako, umjesto vjerovatnoća koje je proizvoljno dodijelila jedna osoba, uvedemo prosjek takvih vjerovatnoća koje je, nezavisno jedna od druge, dodijelila grupa kvalifikovanih pojedinaca („stručnjaka“). Metoda intervjuisanja stručnjaka općenito se široko koristi u moderna nauka, kada je u pitanju procjena neizvjesne situacije (na primjer, u futurologiji). Iskustvo upotrebe ovakvih metoda uči da se često procjene stručnjaka (prihvaćene neovisno jedna o drugoj) pokažu daleko od kontradiktornih koliko bi se unaprijed moglo pretpostaviti, te je iz njih sasvim moguće izvući neke preduslove za izradu razumna odluka.
Iznad smo istakli pitanje izbora rješenja na osnovu objektivno izračunatih ili subjektivno zadanih vjerovatnoća stanja prirode. Ovaj pristup u teoriji odlučivanja nije jedini. Osim toga, postoji još nekoliko „kriterijuma“ ili pristupa za izbor optimalnog rješenja u uvjetima neizvjesnosti. Pogledajmo neke od njih.
1. Maximin Wald kriterij
Prema ovom kriteriju, odabire se optimalna strategija igrača A za koju je minimalna isplata maksimalna, odnosno strategija koja garantuje, pod bilo kojim uslovima, isplatu ne manju od maksimuma:
(13.4)
Ako se rukovodite ovim kriterijumom, uvek se morate fokusirati na najgore uslove i odabrati strategiju za koju su dobici maksimalni u najgorim uslovima. Koristeći ovaj kriterij u igrama s prirodom, čini se da ovaj bezlični i nezainteresovani autoritet zamjenjujemo aktivnim i zlonamjernim neprijateljem. Očigledno, takav pristup može biti diktiran samo ekstremnim pesimizmom u procjeni situacije - "uvijek treba računati na najgore!" - ali kao jedan od mogućih pristupa vrijedi ga razmotriti.
2. Savageov minimalni kriterij rizika
Suština ovog kriterija je da se na bilo koji način izbjegne veliki rizik prilikom donošenja odluke.
Kriterijum Savage, kao i Waldov kriterij, je kriterij ekstremnog pesimizma, ali pesimizam se ovdje drugačije razumije: nije minimalni dobitak koji se proglašava najgorim, već maksimalni gubitak dobitka u odnosu na ono što bi se moglo postići u datim uslovima ( maksimalni rizik).
3. Hurwitzov kriterij pesimizma-optimizma
Ovaj kriterij preporučuje da se u uvjetima neizvjesnosti, prilikom odabira odluke, ne vodite ni ekstremnim pesimizmom (uvijek računajte na najgore!) ili ekstremnim, neozbiljnim optimizmom (sve će proći na najbolji način!) Hurwitzovim kriterijem. ima oblik:
gdje je koeficijent izabran između nule i jedan.
Analizirajmo strukturu izraza (13.6). Kada se Hurwitzov kriterij pretvori u pesimistički Waldov kriterij, a kada se pretvori u kriterij „ekstremnog optimizma“, koji preporučuje odabir strategije za koju najbolji uslovi dobici su maksimalni. Rezultat je nešto između ekstremnog pesimizma i ekstremnog optimizma (koeficijent izražava, takoreći, „mjeru pesimizma” istraživača). Ovaj koeficijent se bira iz subjektivnih razmatranja - šta opasnija situacija, što više želimo da se “osiguramo” u njemu, to smo bliže jedinstvu i biramo.
Ako želite, možete konstruirati kriterij sličan Hurwitzovom kriteriju optimizma-pesimizma koji se ne temelji na dobitku, već na riziku, kao u Savageovom kriteriju, ali se na tome nećemo zadržavati.
Iako je izbor kriterija, kao i izbor parametra u Hurwitzovom kriteriju, subjektivan, ipak bi moglo biti korisno sagledati situaciju iz ugla ovih kriterija. Ako se preporuke koje proizilaze iz različitih kriterija poklapaju, tim bolje, možete sigurno odabrati rješenje koje oni preporučuju. Ako su, kao što se često dešava, preporuke u suprotnosti jedna s drugom, uvijek ima smisla razmisliti o tome i prihvatiti konačna odluka s obzirom na njegove snage i slabosti. Analiziranje matrice igre s prirodom iz perspektive različitih kriterija često daje bolju predstavu o situaciji, prednostima i nedostacima svakog rješenja, nego direktno razmatranje matrice, posebno kada su njene dimenzije velike.
Primer 2. Razmatra se igra 4X3 sa prirodom sa četiri strategije igrača: i tri varijante uslova (prirodna stanja): Matrica isplate je data u tabeli. 13.2.
Tabela 13.2
Pronađite optimalno rješenje (strategiju) koristeći Wald i Savage kriterij i Hurwitzov kriterij na
Rješenje. 1. Waldov kriterij.
U svakom redu matrice uzimamo najmanji dobitak (tabela 13.3).
Od vrijednosti, maksimum (označen zvjezdicom) je 0,25, stoga je prema Waldovom kriteriju strategija optimalna
2. Kriterijum divljaka.
Izrađujemo matricu rizika i stavljamo maksimalni rizik u svaki red u desnu dodatnu kolonu (tabela 13.4).
Minimalna vrijednost je 0,60 (označeno zvjezdicom); dakle, prema Savageovom kriteriju, bilo koja od strategija je optimalna
Tabela 13.3
3. Hurwitzov kriterij
Zapisujemo u tri desna kolona matrice (tabela 13 5) “pesimističnu” procjenu dobitka, “optimističnu” a); i njihov ponderisani prosjek prema formuli (13.6):
za koje se postiže
(minimum se preuzima na sve. Ovaj minimaks (ili maksimin u Waldovom kriteriju) možete pronaći uobičajenim metodama linearno programiranje. Mogu postojati slučajevi kada će korištenje mješovitih strategija korištenjem kriterija Wald, Savage i Hurwitz dati prednost u odnosu na rješenje gdje se koriste samo čiste strategije, ali ćemo ove kriterije razmatrati samo za čiste strategije.
Jedan od razloga za to je taj što želimo izbjeći složene proračune gdje bi rezultat mogao biti negiran nedostatkom znanja o situaciji (nepoznavanje vjerovatnoće uslova). Još jedno, više važan razlog- to je glavni sadržaj teorije statistička rješenja(dotaknut ćemo ga u sljedećem pasusu) planira da dobije i iskoristi dodatne informacije o stanju prirode koje se mogu dobiti eksperimentom. Istraživanja pokazuju da u tipičnim slučajevima, kada je u pitanju dobijanje bilo koje značajnije količine dodatnih informacija, kriterijumi koji ne koriste verovatnoće stanja (Wald et al.) postaju gotovo ekvivalentni kriterijumu zasnovanom na verovatnoći stanja. Ali znamo da korištenjem takvog kriterija upotreba mješovitih strategija nema smisla; stoga, ako možemo dobiti bilo koju količinu dodatnih informacija, upotreba mješovitih strategija gubi smisao (bez obzira koji od kriterija za odabir rješenja koristimo). Ako ne možemo, kroz eksperimente, izdvojiti nove informacije, onda različiti kriteriji mogu dati suprotstavljene preporuke, kao što smo vidjeli u primjeru 3.
Ovaj kriterijum se zasniva na Laplasovom „principu nedovoljnog razuma“, prema kojem se pretpostavlja da su sva stanja „prirode“ Si, i = 1,n jednako verovatna. U skladu sa ovim principom, svakom stanju Si data je verovatnoća q i određena formulom
U ovom slučaju, početni problem se može smatrati problemom odlučivanja u uslovima rizika, kada se bira akcija R j koja daje najveći očekivani dobitak. Da bi se donela odluka, za svaku akciju R j izračunava se aritmetička srednja vrednost dobitka:
(26)
Među Mj(R) se bira maksimalna vrijednost koja će odgovarati optimalnoj strategiji R j .
Drugim riječima, radnja Rj koja odgovara
(27)
Ako je u originalnom problemu matrica mogući rezultati je predstavljen matricom rizika ||r ji ||, tada Laplaceov kriterijum ima sljedeći oblik:
(28)
Primer 4. Jedno od transportnih preduzeća mora da odredi nivo svojih transportnih mogućnosti na način da zadovolji potražnju kupaca za transportnim uslugama za planirani period. Potražnja za transportnim uslugama je nepoznata, ali se očekuje (predviđeno) da može imati jednu od četiri vrijednosti: 10, 15, 20 ili 25 hiljada tona Za svaki nivo potražnje postoji najbolji nivo transportnog kapaciteta transportno preduzeće (u smislu mogućih troškova). Odstupanja od ovih nivoa dovode do dodatnih troškova ili zbog viška transportnog kapaciteta nad potražnjom (zbog vremena mirovanja voznog parka), ili zbog nepotpunog zadovoljenja potražnje za transportnim uslugama. Ispod je tabela u kojoj su identifikovani mogući projektovani troškovi za razvoj transportnih mogućnosti:
Potrebno je odabrati optimalnu strategiju.
Prema uslovima problema, postoje četiri opcije potražnje za transportnim uslugama, što je ekvivalentno prisustvu četiri stanja „prirode“: S 1, S 2, S 3, S 4. Postoje i četiri poznate strategije za razvoj nosivosti transportnog preduzeća: R 1, R 2, R 3, R 4. Troškovi razvoja transportnog kapaciteta za svaki par S i i R j dati su sljedećom matricom (tabela ):
Laplasov princip pretpostavlja da su S 1, S 2, S 3, S 4 podjednako verovatne. Dakle, P(S = S i )= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 i očekivani troškovi na razne akcije R 1, R 2, R 3, R 4 su:
dakle, najbolja strategija razvoj transportnih mogućnosti u skladu sa Laplasovim kriterijumom biće R 2.
2. Waldov kriterij(minimax ili maximin kriterijum). Primena ovog kriterijuma ne zahteva poznavanje verovatnoća Si stanja. Ovaj kriterijum se oslanja na princip većeg opreza, jer se zasniva na izboru najbolje od najlošijih strategija Rj.
Ako u originalnoj matrici (prema uslovima zadatka) rezultat V ij predstavlja gubitke donosioca odluke, tada se pri izboru optimalne strategije koristi minimalni kriterijum. Da bi se odredila optimalna strategija R j, potrebno je pronaći najveći element max(V ij ) u svakom redu matrice rezultata, a zatim odabrati akciju R j (red j), koja će odgovarati najmanjem elementu ovih najveći elementi, tj. radnja koja određuje rezultat, jednaka
(29)
Ako u originalnoj matrici, prema uslovima zadatka, rezultat V ij predstavlja dobitak (korisnost) donosioca odluke, tada se pri izboru optimalne strategije koristi maksimin kriterijum.
Da bi se odredila optimalna strategija R j, u svakom redu matrice rezultata pronalazi se najmanji element min (Vij), a zatim se bira akcija R j (red j) koja će odgovarati najvećim elementima ovih najmanjih elemenata , tj. radnja koja određuje rezultat jednak
(30)
Primjer 5. Razmotrimo primjer 4. Pošto V ij u ovom primjeru predstavlja gubitke (troškove), primjenjujemo minimalni kriterij. Potrebni rezultati proračuna prikazani su u sljedećoj tabeli:
Dakle, najbolja strategija za razvoj nosivosti u skladu sa minimalnim kriterijumom „najbolji od najgorih“ biće treća, odnosno R 3 .
Waldov minimax kriterij ponekad dovodi do nelogičnih zaključaka zbog svog pretjeranog „pesimizma“. “Pesimizam” ovog kriterija ispravlja kriterij Savage.
3. Kriterijum divljaka koristi matricu rizika || r ij ||. Elementi ove matrice se mogu odrediti formulama (23), (24), koje prepisujemo u sljedećem obliku:
(31)
To znači da je r ij razlika između najbolje vrijednosti u koloni i i vrijednosti V ji za isti i. Bez obzira da li je V ji prihod (dobitak) ili gubitak (trošak), r ji u oba slučaja određuje iznos gubitka donosioca odluke. Stoga se samo minimalni kriterij može primijeniti na r ji. Kriterijum Savage preporučuje, u uslovima neizvjesnosti, odabir strategije Rj pri kojoj vrijednost rizika preuzima najmanju vrijednost u najnepovoljnijoj situaciji (kada je rizik najveći).
Primjer 6. Razmotrimo primjer 4. Data matrica određuje gubitke (troškove). Koristeći formulu (31), izračunavamo elemente matrice rizika || r ij ||:
Dobijene rezultate proračuna koristeći Savageov minimalni kriterij rizika prikazujemo u sljedećoj tabeli:
Uvođenje vrednosti rizika r ji dovelo je do izbora prve strategije R 1, koja obezbeđuje najmanje gubitke (troškove) u najnepovoljnijoj situaciji (kada je rizik maksimalan).
Primjena kriterija Savage vam omogućava da na bilo koji način izbjegnete veliki rizik pri odabiru strategije, a samim tim i veći gubitak (gubitak).
4. Hurwitzov kriterij zasniva se na sljedeće dvije pretpostavke: “priroda” može biti u najnepovoljnijem stanju sa vjerovatnoćom (1 - α) iu najpovoljnijem stanju sa vjerovatnoćom α, gdje je α koeficijent pouzdanosti. Ako je rezultat V j i profit, korisnost, prihod, itd., tada se Hurwitzov kriterij piše na sljedeći način:
Kada V ji predstavlja troškove (gubitke), tada izaberite akciju koja daje
Ako je α = 0, dobijamo pesimistički Waldov kriterijum.
Ako je α = 1, dolazimo do odlučujuće pravilo oblika max max V ji, ili takozvanoj strategiji „zdravog optimista“, odnosno kriterijum je previše optimističan.
Hurwitzov kriterij uspostavlja ravnotežu između slučajeva ekstremnog pesimizma i ekstremnog optimizma vaganjem oba ponašanja odgovarajućim težinama (1 - α) i α, gdje je 0≤α≤1. Vrijednost α od 0 do 1 može se odrediti u zavisnosti od sklonosti donosioca odluke prema pesimizmu ili optimizmu. U nedostatku izražene sklonosti, α = 0,5 čini se najrazumnijim.
Primjer 7. Koristimo Hurwitzov kriterij u primjeru 4. Postavimo α = 0,5. Rezultati potrebnih proračuna dati su u nastavku:
Optimalno rješenje je odabir W.
Dakle, u primjeru moramo napraviti izbor koji moguća rješenja poželjno:
prema Laplaceovom kriteriju - izbor strategije R 2,
prema Valdovom kriteriju - izbor strategije R 3;
prema Savageovom kriteriju - izbor strategije R 1;
prema Hurwitz-ovom kriteriju pri α = 0,5 - izbor strategije R 1, a ako je donosilac odluke pesimista (α = 0), onda je izbor strategije R 3.
Ovo se određuje izborom odgovarajućeg kriterija (Laplace, Wald, Savage ili Hurwitz).
Odabir kriterija za donošenje odluka u uvjetima neizvjesnosti je najteža i najkritičnija faza u istraživanju operacija. Međutim, nema općih savjeta ili preporuka. Izbor kriterijuma treba da vrši donosilac odluke (DM), uzimajući u obzir specifičnosti problema koji se rešava iu skladu sa svojim ciljevima, kao i oslanjajući se na dosadašnje iskustvo i sopstvenu intuiciju.
Konkretno, ako je čak i minimalni rizik neprihvatljiv, onda treba primijeniti Waldov kriterij. Ako je, naprotiv, određeni rizik sasvim prihvatljiv i donosilac odluke namerava da uloži toliko novca u određeno preduzeće da kasnije ne požali što je uložio premalo, onda se bira kriterijum Savage.
3. Laplace, Wald, Savage, Hurwitzov kriterij
Postoji nekoliko kriterijuma za izbor optimalne strategije prilikom donošenja odluka u uslovima rizika i neizvesnosti.
Laplaceov kriterijum: koristi se ako se može pretpostaviti da su sve varijante spoljašnjih uslova podjednako verovatne. Za svako rješenje postoji prosječna ocjena za sve opcije spoljni uslovi(prosječni dobici):
gdje je N broj stanja vanjskog okruženja.
gdje je Z – optimalna strategija.
Waldov kriterij:(kriterijum ekstremnog pesimizma, maksiminski kriterijum): rešenje se bira na osnovu najgorih spoljašnjih uslova. Vjerovatnoće stanja prirode su nepoznate i ne postoji način da se o njima dobije bilo kakva statistička informacija. Svako rješenje se procjenjuje korištenjem minimalnog dobitka koji se može dobiti odabirom ovog rješenja:
Najbolje rješenje je ono sa maksimalnim brojem bodova.
Najbolje rješenje je ono sa maksimalnim brojem bodova.
Prema Waldovom kriteriju, bira se strategija koja osigurava zagarantovanu pobjedu u najgorem prirodnom stanju.
Kriterijum divljaka kao i Waldov kriterij, on je kriterij ekstremnog pesimizma, ali se samo pesimizam ovdje manifestira u činjenici da je maksimalni gubitak u dobitku minimiziran. Za procjenu odluka koristi se matrica rizika. Maksimalni rizik (maksimalni izgubljeni dobitak) koji odgovara ovoj odluci koristi se kao procjena:
Najbolje rješenje je ono sa minimalnim brojem bodova.
Ovo je najoprezniji pristup donošenju odluka i pristup koji je najviše svjestan rizika.
Hurwitzov kriterijum: odluka se donosi uzimajući u obzir činjenicu da su mogući i povoljni i nepovoljni vanjski uslovi. Prilikom korištenja ovog kriterija potrebno je naznačiti „koeficijent pesimizma” - broj u rasponu od 0 do 1, koji predstavlja subjektivnu (tj. nije izračunatu, već je naznačila osoba) ocjenu mogućnosti nepovoljnih vanjskih uslova. . Ako postoji razlog za pretpostavku da će vanjski uvjeti biti nepovoljni, tada se koeficijent pesimizma dodjeljuje blizu jedan. Ako su nepovoljni vanjski uvjeti malo vjerojatni, tada se koristi koeficijent pesimizma blizu nule. Rješenja se procjenjuju pomoću sljedeće formule:
gdje je a koeficijent pesimizma.
Najbolje rješenje je ono sa maksimalnim brojem bodova:
Pored kriterijuma optimalnosti koji se mogu koristiti pri donošenju odluka u uslovima rizika i neizvesnosti, veoma je poznata i rasprostranjena metoda teorije igara koja se koristi u aktivnostima upravljanja u uslovima neizvesnosti.
4. Metoda teorije igara za donošenje odluka pod neizvjesnošću
Prilikom donošenja odluka u uvjetima neizvjesnosti, metoda teorije igara se vrlo široko koristi. Teorija igara je matematička teorija konfliktnih situacija. Svrha ove teorije je da razvije preporuke za racionalan tok akcije za učesnike u sukobu. U ovom slučaju se gradi pojednostavljeni model konfliktne situacije, nazvan igra. “Igra” je događaj koji se sastoji od niza radnji ili “okreta”. Igra se razlikuje od stvarne konfliktne situacije po tome što se igra po vrlo specifičnim pravilima. Strane uključene u sukob nazivaju se igrači, ishod sukoba se naziva pobjeda, itd.
Ako se u igri sukobe interesi dvije strane, onda se igra naziva uparena, a ako ima više strana, naziva se višestruka. Višestruka igra s dvije stalne koalicije pretvara igru u igru parova. Igre u parovima su od najveće praktične važnosti. Razmotrimo konačnu igru u kojoj igrač A ima m strategija, a igrač B ima n strategija. Ova igra se zove m x n. Strategije će, shodno tome, biti označene sa: A 1, A 2, ..., A m - za igrača A; B 1, B 2, ..., B n - za igrača B. Ako se igra sastoji samo od ličnih poteza, tada izbor strategija A i i B j od strane igrača jedinstveno određuje ishod igre - naš dobitak a ij Ako je a ij poznat za sve strategije kombinacija, onda one formiraju matricu plaćanja veličine m x n, gdje je: m broj redova matrice, a n broj njenih stupaca.
Načelo opreza, koje nalaže da igrači odaberu odgovarajuće strategije (maksimin i minimaks), osnovni je princip u teoriji igara i naziva se princip minimaksa. U matrici isplate takve igre postoji element koji je i minimum u svom redu i maksimum u svojoj koloni. Takav element se naziva tanko sedlo. U ovom slučaju, vrijednost v=ą=þ naziva se neto cijena igre. U ovom slučaju rješenje igre (skup optimalnih strategija igrača) ima sljedeće svojstvo: ako se jedan od igrača pridržava svoje optimalne strategije, onda drugome ne može biti isplativo da odstupi od svoje optimalne strategije. Ako se gornja cijena igre ne poklapa s nižom cijenom, onda je u ovom slučaju vrijedno govoriti o igranju mješovitih strategija. Mješovita S A je upotreba čistih strategija A 1 , A 2 ,…, A n sa vjerovatnoćom p 1 , p 2 ,…, p n , a mješovita strategija S B je korištenje čistih strategija B 1 , B 2 ,…, B n sa vjerovatnoćom p 1 ,p 2 ,…,p m . Neka igra ima dimenziju 2 sa 2 i data je matricom isplate:
Za igrača A, optimalna strategija će imati sljedeće vjerovatnoće:
;
; cijena igre 
Kriterijum Savage je jedan od kriterijuma za donošenje odluka u uslovima neizvesnosti. Uvjetima neizvjesnosti se smatra situacija kada su posljedice donesenih odluka nepoznate, a mogu se samo približno procijeniti. Da donesem odluku... ... Wikipedia
Kolmogorov test dobrog pristajanja- ili Kolmogorov-Smirnov test dobrog kvaliteta statistički test, koji se koristi za određivanje da li se dvije empirijske distribucije povinuju istom zakonu, ili da li rezultirajuća distribucija poštuje pretpostavljeni model.... ... Wikipedia
Waldov kriterij-, za još jedno pravopis Waldovog kriterija, vidi Maximin... Ekonomsko-matematički rječnik
Pearsonov test dobrog pristajanja- Pearsonov kriterijum, ili χ² kriterijum (Hi kvadrat) je najčešće korišćeni kriterijum za testiranje hipoteze o zakonu raspodele. U mnogim praktičnim problemima, tačan zakon distribucije je nepoznat, odnosno hipoteza je da ... ... Wikipedia
Kruskalov kriterijum- Wallis je dizajniran da testira jednakost medijana nekoliko uzoraka. Ovaj kriterij je višedimenzionalna generalizacija Wilcoxon-Mann-Whitney testa. Kriterijum Kruskala Wallisa je kriterijum ranga, tako da je invarijantan u odnosu na bilo koju... ... Wikipedia
Cochranov kriterijum- Cochranov test se koristi kada se porede tri ili više uzoraka iste veličine. Neslaganje između varijansi se smatra slučajnim na odabranom nivou značajnosti ako: gdje je kvantil slučajne varijable sa brojem zbrojenih... ... Wikipedia
Lillieforsov kriterijum- statistički test, nazvan po Hubertu Lillieforsu, profesoru statistike na Univerzitetu George Washington, koji je modifikacija testa Kolmogorov–Smirnov. Koristi se za testiranje nulte hipoteze da je uzorak... ... Wikipedia
Wilcoxon test- Da biste poboljšali ovaj članak, poželjno je?: Pronađite i uredite u obliku fusnota linkove ka autoritativnim izvorima koji potvrđuju napisano. Dodajte ilustracije. T Krit ... Wikipedia
Sekvencijalni statistički test- Sekvencijalni statistički test je sekvencijalni statistički postupak koji se koristi za testiranje statističke hipoteze u sekvencijalnoj analizi. Neka bude dostupno posmatranju u statističkom eksperimentu slučajna vrijednost sa... ... Wikipedijom
Wald test- (Engleski Wald test) statistički test koji se koristi za testiranje ograničenja na parametre statističkih modela procijenjenih na osnovu podataka uzorka. To je jedan od tri osnovna testa za provjeru ograničenja, zajedno sa testom ... ... Wikipedia
Knjige
- Teorija vjerovatnoće i matematička statistika u problemima: Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D.. Predloženi priručnik sadrži probleme različitog nivoa složenosti. Međutim, glavni naglasak je na zadacima srednje složenosti. Ovo je učinjeno namjerno kako bi se podstakli studenti da... Kupuju za 443 RUR
- Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u problemima. Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D.A.. Predloženi priručnik sadrži zadatke različitog nivoa složenosti. Međutim, glavni naglasak je na zadacima srednje složenosti. Ovo je urađeno namjerno kako bi se učenici podstakli da...
Kratka teorija
Svaka ljudska ekonomska aktivnost može se smatrati igrom sa prirodom. U širem smislu, prirodu shvatamo kao skup neizvesnih faktora koji utiču na efektivnost donetih odluka.
Svaki objekat se kontroliše usvajanjem sekvence upravljačke odluke. Za donošenje odluke potrebne su informacije (skup informacija o stanju kontrolnog objekta i njegovim radnim uslovima). U slučajevima kada nema dovoljno pune informacije, javlja se nesigurnost u donošenju odluka. Razlozi za to mogu biti različiti: informacije potrebne da bi se u potpunosti potkrijepila odluka u principu se ne mogu dobiti (neotklonjiva neizvjesnost); informacije se ne mogu dobiti na vrijeme do trenutka donošenja odluke; troškovi vezani za dobijanje informacija su previsoki. Kako se načini prikupljanja, prenosa i obrade informacija budu poboljšavali, neizvjesnost odluka menadžmenta će se smanjiti. To je ono čemu trebamo težiti. Postojanje nesmanjive nesigurnosti povezano je sa slučajnom prirodom mnogih fenomena. Na primjer, u trgovini, slučajna priroda promjena u potražnji onemogućava je precizno predvidjeti i, shodno tome, formirati savršeno tačan nalog za nabavku robe. Donošenje odluke u ovom slučaju uključuje rizik. Prihvatanje serije robe na osnovu uzorkovanja je takođe povezano sa rizikom donošenja odluke u uslovima neizvesnosti. Nesigurnost se može otkloniti potpunim pregledom cijele parcele, ali to može biti preskupo. U poljoprivredi, na primjer, da bi dobio žetvu, osoba poduzima niz radnji (oranje zemlje, nanošenje đubriva, suzbijanje korova, itd.). Konačni rezultat (žetva) zavisi od delovanja ne samo ljudi, već i prirode (kiša, suša, veče, itd.). Iz navedenih primjera jasno je da je neizvjesnost u upravljanju ekonomskim sistemom nemoguće potpuno otkloniti, iako se tome, ponavljamo, mora težiti. U svakom konkretnom slučaju pri donošenju upravljačkih odluka treba uzeti u obzir stepen rizika i, ako je moguće, uzeti u obzir dostupne informacije što je više moguće kako bi se smanjile štetne posljedice koje mogu nastati zbog pogrešnih odluka.
Dvije strane koje učestvuju u igri će se zvati igrač I i igrač II. Svaki igrač ima konačan skup akcija (čiste strategije) koje može koristiti tokom igre. Igra ima repetitivnu, cikličnu prirodu. U svakom ciklusu, igrači biraju jednu od svojih strategija, koja na jedinstven način određuje plaćanje. Interesi igrača su suprotni. Igrač I pokušava da igra igru tako da uplate budu što veće. Za igrača II poželjno je da uplate budu što manje (uzimajući u obzir znak). Štaviše, u svakom ciklusu, dobitak jednog od igrača tačno se poklapa sa gubitkom drugog. Ove vrste igara se nazivaju igre sa nultom sumom.
Rješavanje igre znači određivanje optimalnog ponašanja igrača. Rješavanje igara je predmet teorije igara. Optimalno ponašanje igrača je invarijantno u odnosu na promjene u svim elementima matrice isplate za određeni iznos.
IN opšti slučaj Određivanje optimalnog ponašanja igrača uključuje rješavanje dvojnog para problema linearnog programiranja. U nekim slučajevima se mogu koristiti jednostavnije metode. Često se matrica plaćanja može pojednostaviti uklanjanjem iz nje redaka i stupaca koji odgovaraju dominiranim strategijama igrača; dominantna strategija se naziva jednom ako sve uplate nisu bolje od odgovarajućih plaćanja neke druge strategije i barem jedne od isplata je lošija od odgovarajućeg plaćanja ove druge strategije, koja se zove dominantna.
Tipična strateška igra uključuje “razumne i antagonističke” protivnike (suprotne strane). U takvim igrama svaka strana poduzima upravo one radnje koje su za nju najkorisnije, a manje za neprijatelja. Međutim, vrlo često neizvjesnost koja prati određenu operaciju nije povezana sa svjesnim suprotstavljanjem neprijatelja, već ovisi o nekoj objektivnoj stvarnosti (prirodi) nepoznatoj igraču I. Ovakva situacija se obično naziva igrama s prirodom. Igrač II – priroda – u teoriji statističkih igara nije razuman igrač, jer se smatra nekom vrstom nezainteresovanog autoriteta koji za sebe ne bira optimalne strategije. Moguća stanja prirode (njene strategije) ostvaruju se nasumično. U istraživanju operacija, operativna strana (igrač I) se često naziva statističar, a same operacije često se nazivaju igrama statističke prirode ili statističkim igrama.
Razmotrimo igricu formulaciju problema donošenja odluka u uslovima neizvesnosti. Neka operativna strana treba da izvrši operaciju u nedovoljno poznatom okruženju u pogledu uslova za koje se mogu napraviti pretpostavke. Ove pretpostavke ćemo smatrati prirodnim strategijama. Operativna strana ima na raspolaganju moguće strategije - . Pretpostavlja se da su isplate igrača I za svaki par strategija i - poznate i specificirane su matricom isplate.
Zadatak je odrediti strategiju (čistu ili mješovitu) koja bi, ako bi se primijenila, pružila operativnoj strani najveći dobitak.
Gore je već rečeno da se ljudska ekonomska aktivnost može smatrati igrom sa prirodom. Glavna karakteristika prirode kao igrača je da nije zainteresirana za pobjedu.
Analiza matrice isplate igre s prirodom počinje identificiranjem i odbacivanjem duplih i očito neisplativih strategija osobe koja se igra s prirodom. Što se tiče prirodnih strategija, nijedna od njih se ne može odbaciti, jer se svako stanje prirode može dogoditi nasumično, bez obzira na postupke igrača I. Budući da se priroda ne suprotstavlja igraču I, može se činiti da je igranje s prirodom jednostavnije od strateška igra. Zapravo to nije istina. Suprotstavljeni interesi igrača u strateškoj igri, na neki način, kao da otklanjaju neizvjesnost, što se ne može reći za statističku igru. Operativnoj strani je lakše u igri s prirodom u smislu da će najvjerovatnije dobiti više nego u igri protiv svjesnog protivnika. Međutim, teže joj je donijeti informiranu odluku, jer je u igri s prirodom neizvjesnost situacije u mnogo većoj mjeri pogađa.
Nakon pojednostavljenja matrice plaćanja igre sa prirodom, preporučljivo je ne samo procijeniti dobitak za datu situaciju igre, već i odrediti razliku između maksimalno mogućeg dobitka za ovoj državi prirode i dobitka koji će se postići primenom strategije pod istim uslovima. Ova razlika u teoriji igara naziva se rizikom.
Priroda menja stanje spontano, nimalo ne mareći za ishod utakmice. U antagonističkoj igri pretpostavili smo da igrači koriste optimalne (u gore definisanom smislu) mešovite strategije. Može se pretpostaviti da priroda vjerovatno koristi strategiju koja nije optimalna. Onda koji? Kada bi postojao odgovor na ovo pitanje, onda bi se odlučivanje od strane donosioca odluke (DM) svelo na deterministički problem.
Ako su poznate vjerovatnoće prirodnih stanja, tada se koristi Bayesov kriterij prema kojem se čista strategija smatra optimalnom, u kojoj je prosječna isplata maksimizirana:
Bayesov kriterijum pretpostavlja da iako ne znamo uslove za izvođenje operacija (prirodna stanja), znamo njihove vjerovatnoće.
Uz pomoć ove tehnike, problem izbora rješenja u uvjetima neizvjesnosti pretvara se u problem izbora rješenja u uvjetima izvjesnosti, samo što je donesena odluka optimalna ne u svakom pojedinačnom slučaju, već u prosjeku.
Ako se igraču sva prirodna stanja čine podjednako uvjerljivima, onda se ponekad vjeruje i, uzimajući u obzir Laplaceov „princip nedovoljnog razloga“, da se čista strategija smatra optimalnom, koja obezbjeđuje:
Ako je mješovita strategija prirode nepoznata, tada se, ovisno o hipotezi o ponašanju prirode, može predložiti niz pristupa kojima bi se opravdao izbor odluke donosioca odluke. Svoju procjenu prirode ponašanja prirode okarakterizirat ćemo brojem, koji se može povezati sa stepenom aktivnog „protivljenja“ prirode kao igrača. Vrijednost odgovara najpesimističnijem stavu donosioca odluke u smislu „ pomoć” prirode u postizanju najboljih ekonomskih rezultata. Vrijednost odgovara najvećem optimizmu donosioca odluke. Kao što je poznato, u ekonomskoj aktivnosti ovi ekstremi su opasni. Najvjerovatnije je preporučljivo poći od neke srednje vrijednosti. U ovom slučaju koristi se Hurwitzov kriterij prema kojem je najbolje rješenje donosioca odluke čista strategija koja ispunjava uvjet:
Hurwitzov kriterij (kriterijum „optimizam-pesimizam“) omogućava vam da se pri odabiru rizične odluke u uvjetima neizvjesnosti vodite nekim prosječnim rezultatom efikasnosti koji se nalazi u polju između vrijednosti prema „maksimaksu“ i „ maximin” kriterij (polje između ovih vrijednosti povezano je konveksnom linearnom funkcijom).
U slučaju ekstremnog pesimizma donosioca odluka, ovaj kriterij se naziva Waldov kriterij. Prema ovom kriteriju, maksiminska strategija se smatra najboljom. Ovo je kriterijum ekstremnog pesimizma. Na osnovu ovog kriterijuma, donosilac odluke bira strategiju koja garantuje maksimalan dobitak u najgorim uslovima:
Ovaj izbor odgovara najstidljivijem ponašanju donosioca odluke, kada pretpostavlja najnepovoljnije ponašanje prirode i plaši se velikih gubitaka. Može se pretpostaviti da neće dobiti velike dobitke. Prema Savageovom kriteriju, treba izabrati čistu strategiju koja ispunjava uvjet:
gdje je rizik?
Savageov kriterij (kriterijum „minimaks” gubitka) pretpostavlja da je od svih mogućih opcija „matrice odluke” odabrana alternativa koja minimizira veličinu maksimalnih gubitaka za svako od mogućih rješenja. Pri korištenju ovog kriterija „matrica odlučivanja“ se pretvara u „matricu rizika“, u koju se umjesto vrijednosti efikasnosti upisuje veličina gubitaka za različite scenarije.
Nedostatak kriterija Wald, Savage i Hurwitz je subjektivnoj proceni ponašanje prirode. Iako ovi kriterijumi daju neki logičan okvir za donošenje odluka, ipak je razumno postaviti pitanje: „Zašto ne bi odmah odabrali subjektivnu odluku, umesto da se bavimo različitim kriterijumima?“ Bez sumnje, određivanje rješenja po razni kriterijumi pomaže donosiocu odluka da procijeni odluku koja se donosi sa različitih pozicija i izbjegne ozbiljne greške u poslovnim aktivnostima.
Primjer rješenja problema
Zadatak
Nakon nekoliko godina rada, oprema može završiti u jednom od tri stanja:
- potrebno je preventivno održavanje;
- Potrebna je zamjena pojedinih dijelova i sklopova;
- zahtijeva velike popravke.
U zavisnosti od situacije, menadžment preduzeća može doneti sledeće odluke:
Potrebno je pronaći optimalno rješenje ovog problema prema kriteriju minimizacije troškova, uzimajući u obzir sljedeće pretpostavke:
| a | 4 | 6 | 9 | b | 5 | 3 | 7 | c | 20 | 15 | 6 | q | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Rješenje problema
Ukoliko imate poteškoća u rješavanju problema, stranica pruža online pomoć studentima o metodama optimalnog rješavanja testova ili ispita.
Igra parova, statistička. U igri su 2 igrača: menadžment preduzeća i priroda.
Pod prirodom u u ovom slučaju shvatiti totalitet vanjski faktori, koji određuju stanje opreme.
Strategija upravljanja:
Popravite opremu sami
Pozovite tim stručnjaka
Zamijenite opremu novom
Strategija prirode - 3 moguća stanja opreme.
Potrebno preventivno održavanje;
Pojedinačne dijelove i sklopove treba zamijeniti;
Zahtijeva veliko renoviranje.
Izračunavanje matrice plaćanja i matrice rizika
Pošto su elementi matrice troškovi, smatraćemo ih pobedničkim ali sa predznakom minus. Matrica plaćanja:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Kreiramo matricu rizika:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Bayesov kriterijum
Određujemo prosječne dobitke:
Prema Bayesovom kriteriju, optimalna strategija je pozvati tim stručnjaka
Laplaceov kriterijum
Odredimo prosječan dobitak:
Prema Laplaceovom kriteriju, optimalna strategija je pozvati tim stručnjaka
Waldov kriterij
Prema Waldovom kriteriju, optimalna strategija je pozvati tim stručnjaka
Kriterijum divljaka
Prema Savageovom kriteriju, optimalna strategija je zamjena opreme novom
Hurwitzov kriterijum
Prema Hurwitzovom kriteriju, optimalna strategija je pozvati tim stručnjaka
Odgovori
Po svim kriterijima, osim Savageovog kriterija, optimalna strategija je „Pozovite tim stručnjaka“. Prema Savageovom kriteriju, koji minimizira rizike, optimalna strategija je „Zamijenite opremu novom“.
Sadrži teorijske informacije o matrična igra bez sedla i načina da se takav problem svede na problem linearnog programiranja kako bi se njegovo rješenje pronašlo u mješovitim strategijama. Naveden je primjer rješavanja problema.
Višekanalni QS sa neograničenim redom čekanja
Date su potrebne teorijske informacije i primjer rješenja problema na temu „Višekanalni sistem“. queuing sa neograničenim redom", indikatori su detaljno razmotreni višekanalni sistem servis čekanja (QS) sa čekanjem na uslugu - prosječan broj kanala zauzetih servisiranjem zahtjeva, dužina reda čekanja, vjerovatnoća formiranja reda, vjerovatnoća slobodna država sistemi, prosječno vrijeme čekanja u redu.
Kritična putanja, kritično vrijeme i drugi parametri rasporeda radne mreže
Na primjeru rješavanja problema, pitanja konstruisanja mrežna grafika djela, pronalaženje kritičnog puta i kritičnog vremena. Takođe prikazuje obračun parametara i rezerve događaja i rada - prevremenih i kasnih rokova, opšte (pune) i privatne rezerve.
