Ekstremi funkcija više varijabli. Neophodan uslov za ekstrem. Dovoljan uslov za ekstrem. Uslovni ekstrem. Lagrangeova metoda množenja. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Predavanje 5.

Definicija 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao maksimalni poen funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) > f(x,y) za sve bodove (x, y) M 0.

Definicija 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao minimalna tačka funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) < f(x,y) za sve bodove (x, y) iz nekog komšiluka tačke M 0.

Napomena 1. Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke funkcije nekoliko varijabli.

Napomena 2. Točka ekstrema za funkciju bilo kojeg broja varijabli određuje se na sličan način.

Teorema 5.1 (neophodne uslove ekstrem). Ako M 0 (x 0, y 0)– tačka ekstrema funkcije z = f (x, y), tada su u ovom trenutku parcijalni izvodi prvog reda ove funkcije jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz.

Popravimo vrijednost varijable at, računajući y = y 0. Zatim funkcija f (x, y 0)će biti funkcija jedne varijable X, za koji x = x 0 je tačka ekstrema. Dakle, prema Fermatovoj teoremi, ili ne postoji. Ista izjava je dokazana slično za .

Definicija 5.3. Tačke koje pripadaju domeni funkcije nekoliko varijabli u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se stacionarne tačke ovu funkciju.

Komentar. Dakle, ekstremum se može postići samo u stacionarnim tačkama, ali ne mora da se posmatra na svakoj od njih.

Teorema 5.2(dovoljni uslovi za ekstrem). Neka u nekom susjedstvu tačke M 0 (x 0, y 0), što je stacionarna tačka funkcije z = f (x, y), ova funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 3. reda. Označimo Tada:

1) f(x,y) ima u tački M 0 maksimalno ako AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ima u tački M 0 minimalno ako AC–B² > 0, A > 0;

3) ne postoji ekstremum u kritičnoj tački ako AC–B² < 0;

4) ako AC–B² = 0, potrebno je dalje istraživanje.

Dokaz.

Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju f(x,y), imajući na umu da su u stacionarnoj tački parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki nuli:

Gdje Ako je ugao između segmenta M 0 M, Gdje M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ at), i O osi X označimo φ, zatim Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. U ovom slučaju, Taylorova formula će imati oblik: . Neka Tada možemo podijeliti i pomnožiti izraz u zagradama sa A. Dobijamo:

Razmotrimo sada četiri mogući slučajevi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pri dovoljno malom Δρ. Dakle, u nekom kraju M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), to je M 0– maksimalni poen.

2) Neka AC–B² > 0, A > 0. Onda , And M 0– minimalni bod.

3) Neka AC-B² < 0, A> 0. Razmotrimo prirast argumenata duž zraka φ = 0. Tada iz (5.1) slijedi da , odnosno kada se kreće duž ove zrake, funkcija se povećava. Ako se krećemo duž zraka tako da je tg φ 0 = -A/B, To , dakle, kada se kreće duž ove zrake, funkcija opada. Dakle, tačka M 0 nije tačka ekstrema.

3`) Kada AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

sličan prethodnom.

3``) Ako AC–B² < 0, A= 0, onda . Pri čemu . Tada za dovoljno mali φ izraz 2 B cosφ + C sinφ je blizu 2 IN, odnosno zadržava stalan predznak, ali sinφ mijenja predznak u blizini tačke M 0. To znači da povećanje funkcije mijenja predznak u blizini stacionarne tačke, koja stoga nije tačka ekstrema.

4) Ako AC–B² = 0, i , , odnosno predznak prirasta je određen predznakom 2α 0. Istovremeno, neophodna su dalja istraživanja kako bi se razjasnilo pitanje postojanja ekstremuma.

Primjer. Nađimo tačke ekstrema funkcije z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Da bismo pronašli stacionarne tačke, rešavamo sistem . Dakle, stacionarna tačka je (-2,-1). Gde A = 2, IN = -2, WITH= 4. Onda AC–B² = 4 > 0, dakle, u stacionarnoj tački dostiže se ekstrem, odnosno minimum (pošto A > 0).

Definicija 5.4. Ako argumenti funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) povezan dodatni uslovi as m jednadžbe ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdje funkcije φ i imaju kontinuirane parcijalne izvode, tada se pozivaju jednadžbe (5.2). jednačine veze.

Definicija 5.5. Ekstremum funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), poziva se uslovni ekstrem.

Komentar. Možemo ponuditi sljedeću geometrijsku interpretaciju uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable: neka argumenti funkcije f(x,y) povezano jednačinom φ (x,y)= 0, definirajući neku krivu u O ravni xy. Rekonstrukcija okomita na ravan O iz svake tačke ove krive xy dok se ne ukrsti sa površinom z = f (x,y), dobijamo prostornu krivu koja leži na površini iznad krive φ (x,y)= 0. Zadatak je pronaći tačke ekstrema rezultirajuće krive, što je, naravno, opšti slučaj ne poklapaju se sa bezuslovnim tačkama ekstrema funkcije f(x,y).

Odredimo neophodne uslove za uslovni ekstrem za funkciju dve varijable tako što ćemo prvo uvesti sledeću definiciju:

Definicija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Gdje λi – neki su stalni, tzv Lagrangeova funkcija, i brojevi λi– neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Teorema 5.3(neophodni uslovi za uslovni ekstrem). Uslovni ekstremum funkcije z = f (x, y) u prisustvu jednadžbe sprege φ ( x, y)= 0 može se postići samo u stacionarnim tačkama Lagrangeove funkcije L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dokaz. Jednačina spajanja specificira implicitni odnos at od X, stoga ćemo pretpostaviti da at postoji funkcija iz X: y = y(x). Onda z postoji složena funkcija iz X, a njegove kritične tačke određene su uslovom: . (5.4) Iz jednačine spajanja slijedi da . (5.5)

Pomnožimo jednakost (5.5) nekim brojem λ i dodajmo je (5.4). Dobijamo:

, ili .

Posljednja jednakost mora biti zadovoljena u stacionarnim tačkama, iz čega slijedi:

(5.6)

Dobija se sistem od tri jednačine za tri nepoznate: x, y i λ, a prve dvije jednadžbe su uvjeti za stacionarnu tačku Lagrangeove funkcije. Eliminacijom pomoćne nepoznate λ iz sistema (5.6) nalazimo koordinate tačaka u kojima originalna funkcija može imati uslovni ekstrem.

Napomena 1. Prisustvo uslovnog ekstremuma u pronađenoj tački može se provjeriti proučavanjem parcijalnih izvoda Lagrangeove funkcije drugog reda po analogiji s teoremom 5.2.

Napomena 2. Tačke u kojima se može postići uvjetni ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), može se definisati kao rešenja sistema (5.7)

Primjer. Nađimo uslovni ekstrem funkcije z = xy s obzirom na to x + y= 1. Sastavimo Lagrangeovu funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) izgleda ovako:

gdje je -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Gde L(x,y) može se predstaviti u obliku L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dakle u pronađenoj stacionarnoj tački L(x,y) ima maksimum i z = xy – uslovni maksimum.

Uslovni ekstrem.

Ekstremi funkcije nekoliko varijabli

Metoda najmanjeg kvadrata.

Lokalni ekstremum FNP-a

Neka je funkcija data I= f(P), RÎDÌR n i neka tačka P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –interni tačka skupa D.

Definicija 9.4.

1) Poziva se tačka P 0 maksimalni poen funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0) M D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P) £ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija na maksimalnoj tački se poziva maksimum funkcije i određen je f(P0) = max f(P) .

2) Poziva se tačka P 0 minimalna tačka funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0)Ì D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)³ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija u minimalnoj tački se poziva minimalna funkcija i određen je f(P 0) = min f(P).

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke funkcije ekstremne tačke, pozivaju se vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Kao što slijedi iz definicije, nejednakosti f(P) £ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) mora biti zadovoljena samo u određenom susjedstvu tačke P 0, a ne u cijeloj domeni definicije funkcije, što znači da funkcija može imati više ekstrema istog tipa (nekoliko minimuma, nekoliko maksimuma) . Stoga se nazivaju gore definirani ekstremi lokalni(lokalni) ekstremi.

Teorema 9.1 (neophodan uslov za ekstremum FNP).

Ako je funkcija I= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ima ekstrem u tački P 0 , tada su njegovi parcijalni derivati ​​prvog reda u ovoj tački ili jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz. Neka u tački P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija I= f(P) ima ekstrem, na primjer, maksimum. Hajde da popravimo argumente X 2 , ..., x n, stavljanje X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Onda I= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcija jedne varijable X 1 . Pošto ova funkcija ima X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), zatim f 1 ¢=0ili ne postoji kada X 1 =A 1 (neophodan uslov za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable). Ali, to znači ili ne postoji u tački P 0 - tački ekstrema. Slično, možemo razmotriti parcijalne derivate u odnosu na druge varijable. CTD.

Tačke u domeni funkcije u kojima su parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se kritične tačke ovu funkciju.

Kao što slijedi iz teoreme 9.1, tačke ekstrema FNP treba tražiti među kritičnim tačkama funkcije. Ali, što se tiče funkcije jedne varijable, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema.

Teorema 9.2 (dovoljan uslov za ekstremum FNP).

Neka je P 0 kritična tačka funkcije I= f(P) i je diferencijal drugog reda ove funkcije. Onda

i ako d 2 u(P 0) > 0 na , tada je P 0 tačka minimum funkcije I= f(P);

b) ako d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funkcije I= f(P);

c) ako d 2 u(P 0) nije definisan znakom, onda P 0 nije tačka ekstrema;

Razmotrićemo ovu teoremu bez dokaza.

Imajte na umu da teorema ne razmatra slučaj kada d 2 u(P 0) = 0 ili ne postoji. To znači da pitanje prisustva ekstremuma u tački P 0 pod takvim uslovima ostaje otvoreno - treba nam dodatna istraživanja, na primjer, proučavanje prirasta funkcije u ovoj tački.

U detaljnijim predmetima matematike se to dokazuje, posebno za funkciju z = f(x,y) dvije varijable, čiji je diferencijal drugog reda zbir oblika

proučavanje prisustva ekstremuma u kritičnoj tački P 0 može se pojednostaviti.

Označimo , , . Hajde da sastavimo odrednicu

.

Ispada:

d 2 z> 0 u tački P 0, tj. P 0 – minimalna tačka, ako A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ako je D(P 0)< 0, то d 2 z u blizini tačke P 0 menja predznak i nema ekstremuma u tački P 0;

ako je D(R 0) = 0, tada su potrebna i dodatna istraživanja funkcije u blizini kritične tačke R 0.

Dakle, za funkciju z = f(x,y) od dvije varijable imamo sljedeći algoritam (nazovimo ga “algoritam D”) za pronalaženje ekstrema:

1) Pronađite domen definicije D( f) funkcije.

2) Pronađite kritične tačke, tj. bodova iz D( f), za koje su i jednaki nuli ili ne postoje.

3) U svakoj kritičnoj tački P 0 provjeriti dovoljne uslove za ekstrem. Da biste to učinili, pronađite , gdje , , i izračunajte D(P 0) i A(P 0). Zatim:

ako je D(P 0) >0, tada u tački P 0 postoji ekstrem, i ako A(P 0) > 0 – onda je ovo minimum, i ako A(P 0)< 0 – максимум;

ako je D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ako je D(P 0) = 0, potrebno je dodatno istraživanje.

4) U pronađenim tačkama ekstrema izračunati vrijednost funkcije.

Primjer 1.

Naći ekstremu funkcije z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Rješenje. Područje definicije ove funkcije je cijela koordinatna ravan. Hajde da pronađemo kritične tačke.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Provjerimo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za ekstrem. Naći ćemo

6X, = -3, = 48at I = 288xy – 9.

Tada je D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 – u tački R 1 postoji ekstrem, a pošto A(P 1) = 3 >0, onda je ovaj ekstremum minimum. Dakle min z=z(P 1) = .

Primjer 2.

Naći ekstremu funkcije .

Rješenje: D( f) =R 2 . Kritične tačke: ; ne postoji kada at= 0, što znači da je P 0 (0,0) kritična tačka ove funkcije.

2, = 0, = , = , ali D(P 0) nije definisan, pa je proučavanje njegovog predznaka nemoguće.

Iz istog razloga, nemoguće je direktno primijeniti teoremu 9.2 - d 2 z ne postoji u ovom trenutku.

Razmotrimo prirast funkcije f(x, y) u tački P 0 . Ako je D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, tada je P 0 minimalna tačka, ali ako je D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

U našem slučaju imamo

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Kod D x= 0,1 i D y= -0,008 dobijamo D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 i D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tj. u blizini tačke P 0 nijedan uslov D ​​nije zadovoljen f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) i stoga P 0 nije tačka maksimuma), niti uslov D f>0 (tj. f(x, y) > f(0, 0) i tada P 0 nije minimalna tačka). To znači, po definiciji ekstrema, ova funkcija nema ekstreme.

Uslovni ekstrem.

Razmatrani ekstremum funkcije se poziva bezuslovno, budući da nisu nametnuta ograničenja (uslovi) na argumente funkcije.

Definicija 9.2. Ekstremum funkcije I = f(X 1 , X 2 , ... , x n), pronađen pod uslovom da su njegovi argumenti X 1 , X 2 , ... , x n zadovoljiti jednačine j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, gdje je P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), zove uslovni ekstrem .

Jednačine j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, su pozvani jednačine veze.

Pogledajmo funkcije z = f(x,y) dvije varijable. Ako je jednačina veze jedan, tj. , tada pronalaženje uslovnog ekstremuma znači da se ekstremum ne traži u cijeloj domeni definicije funkcije, već na nekoj krivulji koja leži u D( f) (tj. ne traže se najviše ili najniže tačke površine z = f(x,y), i najviše ili najniže tačke među tačkama preseka ove površine sa cilindrom, sl. 5).

Uslovni ekstremum funkcije z = f(x,y) od dvije varijable se mogu naći na sljedeći način ( metoda eliminacije). Iz jednadžbe izrazite jednu od varijabli kao funkciju druge (na primjer, write ) i, zamjenjujući ovu vrijednost varijable u funkciju, zapišite potonju kao funkciju jedne varijable (u razmatranom slučaju ). Odrediti ekstremum rezultujuće funkcije jedne varijable.

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. povećanje funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se točke lokalnog minimuma i maksimuma ekstremne tačke.

Conditional Extremes

Prilikom pronalaženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani za tzv uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su data funkcija i linija L na površini 0xy. Zadatak je doći na liniju L pronađite takvu tačku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u tačkama na pravoj L, koji se nalazi u blizini punkta P. Takve tačke P su pozvani uslovne ekstremne tačke funkcije na mreži L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama nekog njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na pravoj L.

Potpuno je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (također kažu bezuslovni ekstrem) je također uslovna tačka ekstrema za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Dozvolite mi da objasnim ono što sam rekao na jednostavnom primjeru. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (Dodatak 3 (Sl. 3)).

Ova funkcija ima maksimum na početku; vrh mu odgovara M hemisfere. Ako je linija L postoji prava koja prolazi kroz tačke A I IN(njena jednadžba x+y-1=0), onda je geometrijski jasno da za tačke ove prave najveća vrijednost funkcija se postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A I IN. Ovo je tačka uslovnog ekstremuma (maksimuma) funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.

Pređimo sada na praktičnu potragu za tačkama uslovnog ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom (x, y) = 0. Ovu relaciju ćemo nazvati jednačina veze. Ako se iz jednačine spajanja y može eksplicitno izraziti u terminima x: y=(x), dobijamo funkciju jedne varijable Z= f(x, (x)) = F(x).

Nakon što smo pronašli vrijednost x na kojoj ova funkcija dostiže ekstrem, a zatim odredili iz jednačine veze odgovarajuće y vrijednosti, dobili smo željene točke uvjetnog ekstrema.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednačine relacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z dostiže svoj maksimum na x = 0,5; ali onda iz jednačine veze y = 0.5, i dobijamo tačno tačku P, pronađenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uslovnog ekstremuma se vrlo lako rješava čak i kada se jednačina veze može predstaviti parametarske jednačine x=x(t), y=y(t). Zamjena izraza za x i y u ovu funkciju, opet dolazimo do problema nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednačina spajanja ima više od složen izgled i nismo u mogućnosti da eksplicitno izrazimo jednu varijablu u terminima druge, ili da je zamenimo parametarskim jednačinama, tada zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma postaje teži. Nastavićemo da pretpostavljamo da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje se derivacija y` nalazi korištenjem pravila diferencijacije implicitne funkcije. U tačkama uslovnog ekstremuma, pronađeni ukupni derivat mora biti jednak nuli; ovo daje jednu jednačinu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednačinu spajanja, dobijamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

Transformirajmo ovaj sistem u mnogo pogodniji tako što ćemo napisati prvu jednačinu u obliku proporcije i uvesti novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus ispred je radi praktičnosti). Iz ovih jednakosti lako je preći na sljedeći sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja, zajedno sa jednadžbom veze (x, y) = 0, čini sistem od tri jednačine sa nepoznatim x, y i.

Ove jednadžbe (*) je najlakše zapamtiti korištenjem sljedećeg pravila: da bi se pronašle tačke koje mogu biti tačke uslovnog ekstremuma funkcije

Z= f(x, y) sa jednadžbom veze (x, y) = 0, potrebno je formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i kreirajte jednadžbe za pronalaženje točaka ekstrema ove funkcije.

Navedeni sistem jednačina obezbeđuje, po pravilu, samo neophodne uslove, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sistem nužno uslovna tačka ekstrema. Neću dati dovoljne uslove za tačke uslovnog ekstrema; vrlo često sam specifičan sadržaj problema sugeriše šta je pronađena tačka. Opisana tehnika rješavanja problema na uslovnom ekstremumu naziva se Lagrangeova metoda množenja.

Neka je funkcija z - /(x, y) definirana u nekom domenu D i neka je Mo(xo, Vo) unutrašnja tačka ovog domena. Definicija. Ako postoji broj takav da je za sve koji zadovoljavaju uslove nejednakost tačna, tada se tačka Mo(xo, yo) naziva lokalna tačka maksimuma funkcije /(x, y); ako za sve Dx, Du, koji zadovoljavaju uslove | tada se tačka Mo(xo,yo) naziva tankim lokalnim minimumom. Drugim riječima, tačka M0(x0, y0) je tačka maksimuma ili minimuma funkcije f(x, y) ako postoji 6-susedstvo tačke A/o(x0, y0) tako da uopšte tačke M(x, y) ovoga u okolini, prirast funkcije zadržava svoj predznak. Primjeri. 1. Za tačku funkcije - minimalna tačka (slika 17). 2. Za funkciju, tačka 0(0,0) je maksimalna tačka (slika 18). 3. Za funkciju, tačka 0(0,0) je lokalna maksimalna tačka. 4 Zaista, postoji susjedstvo tačke 0(0, 0), na primjer, krug poluprečnika j (vidi sliku 19), u čijoj bilo kojoj tački, različitoj od tačke 0(0,0), vrijednost funkcije /(x,y) manja od 1 = Razmatraćemo samo tačke strogog maksimuma i minimuma funkcija kada je stroga nejednakost ili stroga nejednakost zadovoljena za sve tačke M(x) y) iz nekog probušenog 6-susedstva od tačka Mq. Vrijednost funkcije u tački maksimuma naziva se maksimumom, a vrijednost funkcije u tački minimuma naziva se minimumom ove funkcije. Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se tačkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi same funkcije nazivaju se njeni ekstremi. Teorema 11 (neophodan uslov za ekstrem). Ako je funkcija Extremum funkcija nekoliko Koncept varijabli ekstremu funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Najveća i najmanja vrednost neprekidnih funkcija imaju ekstrem u tački, tada u ovoj tački svaki parcijalni izvod u ili nestaje ili ne postoji. Neka funkcija z = f(x) y) ima ekstrem u tački M0(x0, yo). Dajmo varijabli y vrijednost yo. Tada će funkcija z = /(x, y) biti funkcija jedne varijable x\ Pošto pri x = xo ona ima ekstrem (maksimum ili minimum, slika 20), onda je njen izvod u odnosu na x = “o, | (*o,l>)" Jednako nuli ili ne postoji. Slično tome, uvjereni smo da je) ili jednako nuli ili ne postoji. Tačke u kojima je = 0 i χ = 0 ili ne postoje nazivaju se kritičnim tačke funkcije z = Dx, y funkcija je tanka na imvatu strume. Zaista, funkcija je jednaka nuli u tački 0(0,0) i poprima pozitivne vrijednosti u tačkama M(x,y), proizvoljno blizu tačke 0(0. ,0), i negativne vrijednosti tako da se u tačkama (0, y) za proizvoljno male Tačka 0(0,0) naziva minimalna tačka (Sl. 21). Ekstremum funkcije dviju promjenljivih izraženi su na sljedeći način (dovoljni uvjeti za ekstremne vrijednosti dvije varijable). ), a u nekoj okolini tačke /, uključujući i samu tačku Mo, funkcija /(r, y ) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Tada". u tački Mo(xo, V0) funkcija /(xo, y) nema ekstrem ako D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum funkcije f(x, y) može postojati, ali i ne mora. U ovom slučaju potrebno je dodatno istraživanje. m Ograničimo se na dokazivanje tvrdnji 1) i 2) teoreme. Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju /(i, y): gdje. Prema uslovu, jasno je da je predznak prirasta D/ određen predznakom trinoma na desnoj strani (1), odnosno predznakom drugog diferencijala d2f. Označimo to radi kratkoće. Tada se jednakost (l) može napisati na sljedeći način: Neka u tački MQ(dakle, V0) imamo... Pošto su, po uslovu, parcijalni izvodi funkcije f(s, y) drugog reda kontinuirani, onda nejednakost (3) će također vrijediti u nekom susjedstvu tačke M0(s0,yo). Ako je uslov zadovoljen (u tački A/0, a zahvaljujući kontinuitetu derivacija /,z(s,y) će zadržati svoj predznak u nekom susjedstvu tačke Af0. U području gdje je A F 0 imamo Iz ovoga je jasno da ako je LS - V2 > 0 u nekoj okolini tačke M0(x0) y0), onda se predznak trinoma AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 poklapa sa predznakom A u tački (dakle. , V0) (kao i sa predznakom C, jer za AC - B2 > 0 A i C ne mogu imati različite predznake). Kako predznak zbira AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 u tački (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) određuje znak razlike, dolazimo do sljedećeg zaključka: ako je za funkciju /(s,y) na uslov stacionarne tačke (s0, V0), tada za dovoljno male || nejednakost će biti zadovoljena. Dakle, u tački (sq, V0) funkcija /(s, y) ima maksimum. Ako je uslov ispunjen u stacionarnoj tački (s0, y0), tada za sve dovoljno male |Dr| i |Du| nejednakost je tačna, što znači da u tački (so,yo) funkcija /(s, y) ima minimum. Primjeri. 1. Istražiti funkciju za ekstrem 4 Koristeći potrebne uslove za ekstrem, tražimo stacionarne tačke funkcije. Da bismo to učinili, nalazimo parcijalne izvode u i izjednačavamo ih sa nulom. Dobijamo sistem jednačina odakle je - stacionarna tačka. Koristimo sada teoremu 12. To znači da postoji ekstremum u tački Ml. Jer ovo je minimum. Ako transformiramo funkciju r u formu, to je lako vidjeti desni deo(“) će biti minimalan kada je apsolutni minimum ove funkcije. 2. Istraživati ​​ekstremu funkcije. Nalazimo stacionarne tačke za koje sastavljamo sistem jednačina. Pošto, na osnovu teoreme 12, ne postoji ekstrem u tački M. * 3. Istražite ekstremu funkcije Nađite stacionarne tačke funkcije. Iz sistema jednačina dobijamo to, pa je tačka stacionarna. Nadalje, imamo da teorema 12 ne daje odgovor na pitanje o prisustvu ili odsustvu ekstremuma. Uradimo to ovako. Za funkciju oko svih tačaka različite od tačke, tako da, po definiciji, i tačke A/o(0,0) funkcija r ima apsolutni minimum. Sličnim proračunima utvrđujemo da funkcija ima maksimum u tački, ali funkcija nema ekstremum u tački. Neka je funkcija od n nezavisnih varijabli diferencibilna u tački. Neka je funkcija definirana i ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda u nekom susjedstvu fine Mt(xi..., koja je stacionarna fina funkcija ako je kvadratni oblik (drugi diferencijal funkcije f u finom) pozitivan definitivna (negativno određena), minimalna tačka (odnosno, fini maksimum) funkcije f je u redu kvadratni oblik (4) je pozitivan ili negativan, možete koristiti, na primjer, Sylvesterov kriterij za pozitivnu (negativnu) izvjesnost kvadratne forme 15.2 lokalni ekstremi funkcija u cijeloj svojoj domeni definicije, kada argumenti funkcije nisu vezani nikakvim dodatnim uvjetima. Takvi ekstremi se nazivaju bezuslovnim. Međutim, često postoje problemi u pronalaženju takozvanih uslovnih ekstrema. Neka je funkcija z = /(x, y) definirana u domeni D. Pretpostavimo da je u ovoj domeni data kriva L i trebamo pronaći ekstreme funkcije f(x> y) samo među onima njegovih vrijednosti koje odgovaraju tačkama krive L. Isti ekstremi se nazivaju uslovni ekstremi funkcije z = f(x) y) na krivulji L. Definicija Kažu da u tački koja leži na krivulji L , funkcija f(x, y) ima uslovni maksimum (minimum) ako je nejednakost zadovoljena u svim tačkama M (s, y) y) krivulje L, koje pripadaju nekom susjedstvu tačke M0(x0, V0) i različite iz tačke M0 (Ako je kriva L data jednačinom, onda se problem pronalaženja uslovnog ekstrema funkcije r - f(x,y) na krivulji! može formulirati na sljedeći način: pronaći ekstreme funkcije x = /(z, y) u području D, pod uslovom da se, dakle, pri pronalaženju uslovnih ekstrema funkcije z = y), argumenti gnua više ne mogu smatrati nezavisnim varijablama: oni su međusobno povezani pomoću relacija y) = 0, koja se zove jednačina veze. Da bismo razjasnili razliku između bezuslovnog i uslovnog ekstrema, pogledajmo primer gde je bezuslovni maksimum funkcije (slika 23) jednak jedan i postignut je u tački (0,0). To odgovara tački M - vrhu pvvboloida. Dodajmo jednačinu veze y = j. Tada će mu očito biti jednak uslovni maksimum. Dostiže se u tački (o,|), a odgovara vrhu Afj lopte, što je linija presjeka lopte sa ravninom y = j. U slučaju bezuslovnog mvximuma, imamo mvximum primenu među svim vpplicvt površine * = 1 - l;2 ~ y1; summvv uslovno - samo među vllikvt tačkama pvraboloidv, koje odgovaraju tački* prave linije y = j, a ne ravni xOy. Jedna od metoda za pronalaženje uslovnog ekstremuma funkcije u prisustvu i povezanosti je kako slijedi. Neka jednačina veze y) - O definira y kao jedinstvenu diferencijabilnu funkciju argumenta x: Zamjenom funkcije umjesto y u funkciju, dobijamo funkciju jednog argumenta u kojoj je uvjet veze već uzet u obzir. (bezuslovni) ekstremum funkcije je željeni uslovni ekstrem. Primjer. Naći ekstremu funkcije pod uslovom Ekstremum funkcije više varijabli Koncept ekstremuma funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Najveće i najmanje vrednosti neprekidne funkcije A Iz jednačine veze (2") nalazimo y = 1-x. Zamjenom ove vrijednosti y u (V), dobijamo funkciju jednog argumenta x: Hajde da ga ispitamo za ekstrem: odakle je x = 1 kritična tačka; , tako da daje uslovni minimum funkcije r (slika 24). Naznačimo još jedan način rješavanja problema uvjetnog ekstrema, koji se zove Lagrangeova metoda množitelja. Neka postoji uslovna tačka ekstrema funkcije u prisustvu veze. Pretpostavimo da jednačina veze definiše jedinstvenu kontinuirano diferencijabilnu funkciju u određenom okruženju tačke xx. Uzimajući u obzir da dobijamo da derivacija u odnosu na x funkcije /(r, ip(x)) u tački xq mora biti jednaka nuli ili, što je ekvivalentno ovome, diferencijal f(x, y) u tačka Mo" O mora biti jednaka nuli ) Iz jednačine veze imamo (5) Množenjem posljednje jednakosti sa još neodređenim brojčanim faktorom A i dodavanjem člana po član s jednakošću (4), imat ćemo (pretpostavljamo da ) Tada, zbog proizvoljnosti dx, dobijamo Jednačine (6) i (7) koje izražavaju neophodne uslove za bezuslovni ekstrem u tački funkcije koja se naziva Lagranževa funkcija funkcija /(x, y), ako, je nužno stacionarna tačka Lagranžove funkcije gde je A određeni numerički koeficijent. Odavde dobijamo pravilo za pronalaženje uslovnih ekstrema opšti ekstrem funkcije u prisustvu veze: 1) sastavljamo Lagrangeovu funkciju, 2) izjednačavanjem derivata i U ove funkcije sa nulom i dodavanjem jednadžbe veze rezultirajućim jednačinama, dobijamo sistem od tri jednačine iz kojih nalazimo vrijednosti A i koordinate x, y mogućih ekstremnih tačaka. Pitanje postojanja i prirode uslovnog ekstremuma rješava se na osnovu proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije za razmatrani sistem vrijednosti x0, V0, A, dobijenog iz (8) pod uslovom da ako , tada u tački (x0, V0) funkcija /(x, y ) ima uslovni maksimum; ako je d2F > 0 - onda uslovni minimum. Konkretno, ako je u stacionarnoj tački (xo, J/o) determinanta D za funkciju F(x, y) pozitivna, tada u tački (®o, V0) postoji uslovni maksimum funkcije f( x, y), ako i uslovni minimum funkcije /(x, y), ako Primjer. Vratimo se ponovo uslovima iz prethodnog primera: pronađite ekstremum funkcije pod uslovom da je x + y = 1. Zadatak ćemo rešiti metodom Lagrangeovog množitelja. Lagrangeova funkcija u u ovom slučaju ima oblik Da bismo pronašli stacionarne tačke, sastavljamo sistem Iz prve dve jednačine sistema dobijamo da je x = y. Tada iz treće jednačine sistema (jednačina veze) nalazimo da su x - y = j koordinate moguće tačke ekstrema. U ovom slučaju (označeno je da je A = -1. Dakle, Lagrangeova funkcija. je uslovna minimalna tačka funkcije * = x2 + y2 pod uslovom Ne postoji bezuslovni ekstrem za Lagrangeovu funkciju. P(x, y) ) još ne znači odsustvo uslovnog ekstrema za funkciju /(x, y) u prisutnosti veze Primjer: Pronađite ekstremum funkcije pod uvjetom y 4 Sastavljamo Lagrangeovu funkciju i ispisujemo sistem za određivanje A i koordinata mogućih tačaka ekstrema: Iz prve dvije jednačine dobijamo x + y = 0 i dolazimo do sistema odakle je x = y = A = 0. Dakle, odgovarajuća Lagrangeova funkcija ima oblik U tački (0,0), funkcija F(x, y; 0) nema bezuslovni ekstrem, međutim, postoji uslovni ekstrem funkcije r = xy kada je y = x zaista, u ovom slučaju r = x2. Odavde je jasno da u tački (0,0) postoji uslovni minimum "Metoda Lagrangeovih množitelja prenosi se na slučaj funkcija bilo kojeg broja argumenata. Potražimo ekstremum funkcije u prisustvu Sastavimo Lagranžovu funkciju gde su A|, Az,..., A„, neodređeni konstantni faktori. Izjednačavanjem na nulu sve parcijalne izvode funkcije F prvog reda i dodavanjem jednadžbi veze (9) rezultirajućim jednačinama, dobijamo sistem od n + m jednačina, iz kojih određujemo Ab A3|..., At i koordinate x \) x2). » xn mogućih tačaka uslovnog ekstremuma. Pitanje da li su tačke pronađene Lagrangeovom metodom zapravo tačke uslovnog ekstremuma često se može rešiti na osnovu razmatranja fizičke ili geometrijske prirode. 15.3. Najveće i najmanje vrijednosti kontinuiranih funkcija Neka je potrebno pronaći najveću (najmanju) vrijednost funkcije z = /(x, y), kontinuiranu u nekom zatvorenom ograničenom domenu D. Prema teoremi 3, u ovoj oblasti postoji je tačka (xo, V0) u kojoj funkcija poprima najveću (najmanju) vrijednost. Ako tačka (xo, y0) leži unutar domene D, tada funkcija / ima maksimum (minimum) u sebi, pa je u ovom slučaju tačka koja nas zanima sadržana među kritičnim tačkama funkcije /(x, y). Međutim, funkcija /(x, y) može dostići svoju najveću (najmanju) vrijednost na granici regije. Stoga, da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost koju uzima funkcija z = /(x, y) u ograničenom zatvorenom području 2), morate pronaći sve maksimume (minimume) funkcije postignute unutar ovog područja, kao i najveća (najmanja) vrijednost funkcije u granici ovog područja. Najveći (najmanji) od svih ovih brojeva će biti željena najveća (najmanja) vrijednost funkcije z = /(x,y) u području 27. Pokažimo kako se to radi u slučaju diferencijabilne funkcije. Prmmr. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije regije 4. Nalazimo kritične točke funkcije unutar regije D. Da bismo to učinili, sastavljamo sistem jednadžbi tačka 0 (0,0) je kritična tačka funkcije x. Pošto Pronađimo sada najveću i najmanju vrijednost funkcije na granici G područja D. Na dijelu granice imamo da je y = 0 kritična tačka, a pošto je = onda u ovoj tački funkcija z = 1 + y2 ima minimum jednak jedan. Na krajevima segmenta G", u tačkama (, imamo. Uzimajući u obzir razmatranja simetrije, dobijamo iste rezultate za ostale delove granice. Konačno dobijamo: najmanju vrijednost funkcija z = x2+y2 u regionu "B jednaka je nuli i postiže se u unutrašnjoj tački 0(0, 0) regiona, a maksimalna vrednost ove funkcije, jednaka dva, postiže se u četiri tačke granice (Sl. 25) Slika 25 Vježbe Pronađite domen definicije funkcija: Konstruirajte linije nivoa funkcija: 9 Nađite površine nivoa funkcija tri nezavisne varijable: Izračunajte granice funkcija: Nađite parcijalne izvode funkcija i njihove puni diferencijali : Pronađite izvode kompleksnih funkcija: 3 Nađite J. Ekstremum funkcije više varijabli Koncept ekstremuma funkcije nekoliko varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum Uslovni ekstrem Najveće i najmanje vrednosti kontinuiranih funkcija 34. Koristeći formulu za izvod kompleksne funkcije dve varijable, pronađite i funkcije: 35. Koristeći formulu za izvod kompleksa funkciju dvije varijable, pronađite |J i funkcije: Nađite jj funkcije date implicitno: 40. Pronađite ugaoni koeficijent krivulje tangente u tački njenog sjecišta s pravom linijom x = 3. 41. Pronađite točke u kojima je tangenta krive x je paralelna sa Ox osom. . U sljedećim zadacima pronađite i T: Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale površine: 49. Napišite jednadžbe tangentnih ravni površine x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralelne s ravninom x + 4y + 6z = 0. Pronađite prva tri ili četiri člana ekspanzije koristeći Taylorovu formulu: 50. y u blizini tačke (0, 0). Koristeći definiciju ekstrema funkcije, ispitajte sljedeće funkcije za ekstrem:). Koristeći dovoljne uslove za ekstremum funkcije dvije varijable, ispitaj ekstremum funkcije: 84. Nađi najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x2 - y2 u zatvorenom krugu 85. Nađi najveću i najmanju vrijednost funkcije * = x2y(4-x-y) u trokutu omeđenom pravim linijama x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Odredi dimenzije pravougaonog otvorenog bazena koji ima najmanju površinu, pod uslovom da mu je zapremina jednaka V. 87. Odredi dimenzije pravougaonog paralelepipeda koji ima najveću zapreminu s obzirom na ukupnu površinu 5. Odgovori 1. i | Kvadrat koji čine segmenti x uključujući njegove stranice. 3. Familija koncentričnih prstenova 2= 0,1,2,... .4. Cijela ravan osim tačaka na pravim linijama. Dio ravnine koji se nalazi iznad parabole y = -x?. 8. Tačke kružnice x. Cela ravan osim pravih linija x Radikalni izraz je nenegativan u dva slučaja j * ^ ili j x ^ ^ što je ekvivalentno beskonačnom nizu nejednakosti, respektivno. l što je ekvivalentno beskonačnom nizu Funkcija je definirana u točkama. a) Prave paralelne pravoj liniji x b) koncentrične kružnice sa centrom u početku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Planes xc. 13. Prim - hiperboloidi sa jednom šupljinom rotacije oko ose Oz; kada su i hiperboloidi od dva lista rotacije oko ose Oz, obe porodice površina su odvojene konusom; Nema ograničenja, b) 0. 18. Postavimo y = kxt onda z lim z = -2, tako da data funkcija u tački (0,0) nema ograničenja. 19. a) Tačka (0,0); b) tačka (0,0). 20. a) Prelomna linija - kružnica x2 + y2 = 1; b) linija loma je prava linija y = x. 21. a) Prelomne linije - koordinatne ose Ox i Oy; b) 0 (prazan skup). 22. Sve tačke (m, n), gdje su i n cijeli brojevi

Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum funkcija dve varijable. Tačka se naziva minimalna (maksimalna) tačka funkcije ako je u određenom susjedstvu tačke funkcija definirana i zadovoljava nejednakost (respektivno, tačka maksimuma i minimuma se nazivaju tačke ekstrema funkcije.

Neophodan uslov za ekstrem. Ako u točki ekstrema funkcija ima prve parcijalne izvode, tada oni nestaju u ovoj tački. Iz toga slijedi da se za pronalaženje ekstremnih tačaka takve funkcije mora riješiti sistem jednačina Tačke čije koordinate zadovoljavaju ovaj sistem nazivaju se kritične tačke funkcije. Među njima može biti maksimalnih bodova, minimalnih bodova, kao i bodova koji nisu ekstremni bodovi.

Dovoljni uslovi ekstrema se koriste za identifikaciju tačaka ekstrema iz skupa kritičnih tačaka i navedeni su u nastavku.

Neka funkcija ima neprekidne druge parcijalne izvode u kritičnoj tački. Ako u ovom trenutku

uslov onda je to tačka minimuma u i tačka maksimuma u Ako je u kritičnoj tački onda to nije tačka ekstrema. U ovom slučaju, potrebna je suptilnija studija prirode kritične tačke, koja u ovom slučaju može, ali i ne mora biti tačka ekstrema.

Ekstremi funkcija tri varijable. U slučaju funkcije od tri varijable, definicije točaka ekstrema doslovno ponavljaju odgovarajuće definicije za funkciju dvije varijable. Ograničavamo se na predstavljanje procedure za proučavanje funkcije za ekstrem. Prilikom rješavanja sistema jednadžbi treba pronaći kritične tačke funkcije, a zatim na svakoj od kritičnih tačaka izračunati vrijednosti

Ako su sve tri veličine pozitivne, tada je dotična kritična tačka minimalna tačka; ako je tada ova kritična tačka maksimalna tačka.

Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable. Tačka se naziva uslovna minimalna (maksimalna) tačka funkcije pod uslovom da postoji okolina tačke u kojoj je funkcija definisana i u kojoj (respektivno) za sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu

Da biste pronašli uslovne ekstremne tačke, koristite Lagrangeovu funkciju

gdje se broj naziva Lagrangeov množitelj. Rješavanje sistema od tri jednačine

pronaći kritične tačke Lagrangeove funkcije (kao i vrijednost pomoćnog faktora A). Na ovim kritičnim tačkama može postojati uslovni ekstrem. Navedeni sistem daje samo neophodne uslove za ekstremum, ali ne i dovoljne: mogu ga zadovoljiti koordinate tačaka koje nisu tačke uslovnog ekstremuma. Međutim, na osnovu suštine problema često je moguće utvrditi prirodu kritične tačke.

Uslovni ekstremum funkcije nekoliko varijabli. Razmotrimo funkciju varijabli pod uslovom da su one povezane jednadžbama