gdje je λ intenzitet zahtjeva koje je primio QS.

Primjer.

Izračunati indikatore usluge za jednokanalni QS, u kojem se zahtjevi primaju sa intenzitetom od λ = 1,2 zahtjeva na sat, vrijeme usluge t obs = 2,5 sata. Izračunavamo indikatore usluge za jednokanalni QS:

Intenzitet opterećenja.

ρ = λ t obs = 1,2 2,5 = 3

Intenzitet opterećenja ρ=3 pokazuje stepen konzistentnosti ulaznih i izlaznih tokova zahteva servisnog kanala i određuje stabilnost sistema. queuing.

t pr = 15 min.

Udio odbijenih prijava. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0,25 = 0,75

To znači da 75% pristiglih prijava nije prihvaćeno za servis.

Udio primljenih servisiranih zahtjeva po jedinici vremena:

Apsolutna propusnost.

A = Q λ = 0,25 1,2 = 0,3 aplikacije/min.

Prosječno vrijeme zastoja QS-a.

t pr = p otvoren t obs = 0,75 2,5 = 1,88 min.

Prosječan broj usluženih zahtjeva.

L obs = ρ Q = 3 0,25 = 0,75 jedinica

Broj odbijenih aplikacija u roku od nekoliko minuta: λ p 1 = 0,9 aplikacija u minuti. Nominalna produktivnost sistema: 1 / 2,5 = 0,4 aplikacije u minuti. Stvarni učinak SMO: 0,3 / 0,4 = 75% nominalnog kapaciteta.

Apsolutna propusnost cm. Primjer rješenja

Na stanicu Održavanje prima se jednostavan tok zahtjeva sa intenzitetom od 1 automobila na 2 sata. U redu u dvorištu ne mogu biti više od 3 automobila. Prosječno vrijeme popravke je 2 sata. Procijeniti učinak CMO-a i razviti preporuke za poboljšanje usluge.

Rješenje: Odredite tip QS-a. Izraz “Do stanice” govori o jednom servisnom uređaju, tj. za rješavanje koristimo formule za jednokanalni QS. Određujemo tip jednokanalnog QS-a. Pošto se spominje red čekanja, stoga biramo “Jednokanalni QS sa ograničenom dužinom reda”. Parametar λ mora biti izražen u satima. Intenzitet aplikacija je 1 auto na 2 sata ili 0,5 na 1 sat.

Intenzitet toka usluge μ nije eksplicitno specificiran. Ovdje dato vrijeme servisiranja je t obs = 2 sata.

Izračunavamo indikatore usluge za jednokanalni QS:

Intenzitet toka usluge:

Intenzitet opterećenja.

ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1

Intenzitet opterećenja ρ=1 pokazuje stepen konzistentnosti ulaznih i izlaznih tokova zahteva servisnog kanala i određuje stabilnost sistema čekanja.

Prijave se ne odbijaju. Svi primljeni zahtjevi su servisirani, p otvoren = 0.

Relativna propusnost.

Udio primljenih servisiranih zahtjeva po jedinici vremena: Q = 1 - p otvoren = 1 - 0 = 1

Shodno tome, 100% primljenih prijava će biti servisirano. Prihvatljivi nivo usluge trebao bi biti iznad 90%.

Broj odbijenih aplikacija u roku od jednog sata: λ p 1 = 0 aplikacija na sat. Nominalna produktivnost QS-a: 1 / 2 = 0,5 aplikacija na sat. Stvarni učinak SMO-a: 0,5 / 0,5 = 100% nominalnog učinka.

Zaključak: stanica je 100% opterećena. U ovom slučaju se ne primjećuju kvarovi.

QS sa kvarovima (jednokanalni i višekanalni)

Najjednostavniji jednokanalni model s vjerovatnoćom ulaznog toka i servisnom procedurom je model koji se „može okarakterizirati eksponencijalnom distribucijom trajanja intervala između pristizanja zahtjeva i distribucije trajanja usluge“. U ovom slučaju, gustina distribucije trajanja intervala između prijema zahtjeva ima oblik:

f 1 (t) = l*e (-l*t) , (1)

gdje je l intenzitet aplikacija koje ulaze u sistem (prosječan broj aplikacija koje ulaze u sistem po jedinici vremena). Gustina distribucije trajanja usluge:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t rev, (2)

gdje je µ intenzitet usluge, t o je prosječno vrijeme usluge za jednog klijenta. Relativna propusnost servisiranih zahtjeva u odnosu na sve dolazne zahtjeve izračunava se po formuli:

Ova vrijednost je jednaka vjerovatnoći da je servisni kanal slobodan. Apsolutna propusnost (A) je prosječan broj zahtjeva koje sistem čekanja može servisirati po jedinici vremena:

Ova P vrijednost može se tumačiti kao prosječan udio neusluženih aplikacija.

Primjer. Neka jednokanalni QS sa kvarovima predstavlja jedno dnevno mjesto održavanja za pranje automobila. Zahtjev - automobil koji stigne u vrijeme kada je mjesto zauzeto - odbija se uslužiti. Intenzitet protoka automobila l = 1,0 (automobil na sat). Prosječno trajanje usluge t oko =1,8 sati. Potrebno je odrediti granične vrijednosti u stacionarnom stanju: relativni protok q;

• - apsolutni kapacitet A;
• - vjerovatnoća neuspjeha P.

Odredimo intenzitet toka usluge koristeći formulu 2: Izračunajmo relativnu propusnost: q = Vrijednost q znači da će u stabilnom stanju sistem opsluživati ​​približno 35% automobila koji stignu na poštu. Određujemo apsolutnu propusnost koristeći formulu: A = lHq = 1H0,356 = 0,356. Ovo sugeriše da je sistem sposoban da izvrši u proseku 0,356 usluga vozila po satu. Vjerovatnoća neuspjeha: P odbaciti =1-q=1-0,356=0,644. To znači da će oko 65% vozila koja stignu na mjesto EO biti uskraćena za uslugu. Odredimo nazivni kapacitet ovog sistema A nom: A nom = (automobila na sat).

Međutim, u velikoj većini slučajeva, sistem čekanja je višekanalni, odnosno nekoliko zahtjeva se može opsluživati ​​paralelno. QS proces opisan ovim modelom karakterizira intenzitet ulaznog toka l, dok se ne može paralelno opsluživati ​​više od n klijenata. Prosječno trajanje servisiranja jednog zahtjeva je 1/m. “Režim rada servisnog kanala ne utiče na režim rada ostalih servisnih kanala sistema, a trajanje servisne procedure za svaki kanal je slučajna varijabla koja podliježe eksponencijalnom zakonu distribucije. Krajnji cilj korištenja paralelno povezanih kanala usluga je povećanje brzine servisiranja zahtjeva tako što će se istovremeno servisirati n klijenata.” Rešenje za ovakav sistem je:

Formule za izračunavanje vjerovatnoća se nazivaju Erlangove formule. Odredimo probabilističke karakteristike funkcionisanja višekanalnog QS-a sa kvarovima u stacionarnom režimu. Vjerovatnoća kvara P je jednaka:

P otvoren =P n =*P 0 . (7)

Aplikacija se odbija ako stigne u vrijeme kada su svi kanali zauzeti. Vrijednost P open karakterizira potpunost servisiranja dolaznog toka; vjerovatnoća da će zahtjev biti prihvaćen za uslugu (to je takođe relativna propusnost sistema) dopunjuje P odbaciti jednu:

Apsolutna propusnost

Prosječan broj kanala koje zauzima usluga () je sljedeći:

Vrijednost karakterizira stepen opterećenja sistema čekanja. Primjer. Neka n-kanalni QS bude kompjuterski centar sa tri (n=3) izmjenjiva računara za rješavanje nadolazećih problema. Tok zadataka koji pristižu u računarski centar ima intenzitet l = 1 zadatak na sat. Prosječno trajanje usluge t oko =1,8 sati.

Potrebno je izračunati vrijednosti:

• - vjerovatnoća broja zauzetih CC kanala;
• - vjerovatnoća odbijanja servisiranja aplikacije;
• - relativni kapacitet računarskog centra;
• - apsolutni kapacitet računarskog centra;
• - prosečan broj zauzetih računara u računarskom centru.

Definirajmo parametar toka usluge:

Smanjeni intenzitet toka aplikacija:

Pronalazimo granične vjerovatnoće stanja koristeći Erlangove formule:

Vjerovatnoća odbijanja servisiranja aplikacije:

Relativni kapacitet CC:

Apsolutni kapacitet CC:

Prosječan broj zauzetih kanala - PC:

Dakle, u stacionarnom režimu rada QS-a, u proseku će 1,5 računara od tri biti zauzeto - preostali jedan i po će biti u stanju mirovanja. Propusnost računarskog centra za date l i m može se povećati samo povećanjem broja personalnih računara.

Najjednostavniji jednokanalni model. Takav model sa probabilističkim ulaznim tokom i procedurom usluge je model koji karakteriše eksponencijalna distribucija i trajanja intervala između pristizanja zahteva i trajanja usluge. U ovom slučaju, gustina distribucije trajanja intervala između prijema zahtjeva ima oblik

(1)

gdje je intenzitet aplikacija koje ulaze u sistem.

Gustina distribucije trajanja usluge:

, (2)

gdje je intenzitet usluge.

Tokovi zahtjeva i usluga su jednostavni.

Pustite sistem da radi sa njim odbijanja. Potrebno je odrediti apsolutnu i relativnu propusnost sistema.

Zamislimo ovaj sistem čekanja u obliku grafa (slika 1), koji ima dva stanja:

S 0 - kanal slobodan (na čekanju);

S 1- kanal je zauzet (zahtjev se servisira).

Rice. 1. Grafikon stanja jednokanalnog QS-a sa kvarovima

Označimo vjerovatnoće stanja:

P 0 (t) - vjerovatnoća stanja „slobodnog kanala“;

P 1 (t)- vjerovatnoća stanja “kanal zauzet”.

Koristeći označeni graf stanja (slika 1), kreiramo sistem diferencijalne jednadžbe Kolmogorov za vjerovatnoće stanja:

(3)

Sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi (3) ima rješenje koje uzima u obzir uvjet normalizacije = 1. Rješenje ovog sistema naziva se nestacionarnim, jer direktno zavisi od t i izgleda ovako:

(4)

(5)

Lako je provjeriti da je za jednokanalni QS sa kvarovima vjerovatnoća P 0 (t) nije ništa drugo do relativni kapacitet sistema q.

stvarno, P 0- vjerovatnoća da je u trenutku t kanal slobodan i zahtjev koji je stigao u vrijeme t , će biti uslužen, a samim tim i za u ovom momentu vremenu t, prosječan odnos broja uručenih prijava i broja primljenih je također jednak , tj.

q = . (6)

Nakon velikog vremenskog intervala (), postiže se stacionarni (stabilan) način rada:

Poznavajući relativnu propusnost, lako je pronaći apsolutnu. Apsolutna propusnost (A)- prosječan broj koji sistem čekanja može poslužiti u jedinici vremena:

Vjerovatnoća odbijanja servisiranja zahtjeva bit će jednaka vjerovatnoći stanja "kanal zauzet":

Ova vrijednost se može tumačiti kao prosječan udio neusluženih prijava među podnesenim.

Primjer 1. Neka jednokanalni QS sa kvarovima predstavlja jedno dnevno održavanje (DS) za pranje automobila. Zahtjev - automobil koji stigne u vrijeme kada je mjesto zauzeto - odbija se uslužiti. Brzina protoka vozila = 1,0 (vozila na sat). Prosečno trajanje usluge je 1,8 sati. Protok automobila i tok usluga su najjednostavniji.

Potrebno je odrediti granične vrijednosti u stacionarnom stanju:

relativni kapacitet q;

apsolutna propusnost A;

vjerovatnoća neuspjeha.

Usporedite stvarnu propusnost servisnog centra sa nominalnom, koja bi bila da je svako vozilo servisirano tačno 1,8 sati i da su vozila bez prekida pratila jedno drugo.

Rješenje

1. Odredimo intenzitet toka usluge:

2. Izračunajmo relativnu propusnost:

Magnituda q znači da će u stabilnom stanju sistem opsluživati ​​približno 35% vozila koja stignu na mjesto EO.

3. Apsolutna propusnost određena je formulom:

1 0,356 = 0,356.

To znači da je sistem (EO post) sposoban da izvrši u prosjeku 0,356 usluga vozila na sat.

3. Vjerovatnoća neuspjeha:

To znači da će oko 65% vozila koja stignu na mjesto EO biti uskraćena za uslugu.

4. Odredimo nominalnu propusnost sistema:

(vozila na sat).

Ispostavilo se da je to 1,5 puta više od stvarne propusnosti, izračunato uzimajući u obzir slučajnu prirodu toka zahtjeva i vremena usluge.

Jednokanalni QS sa čekanjem. Sistem čekanja ima jedan kanal. Dolazni tok zahtjeva za uslugom je najjednostavniji tok sa intenzitetom. Intenzitet toka usluge je jednak (tj. u prosjeku će kanal koji je kontinuirano zauzet izdavati servisirane zahtjeve). Trajanje usluge - slučajna vrijednost, podložno zakonu eksponencijalne raspodjele. Tok usluge je najjednostavniji Poissonov tok događaja. Zahtjev primljen kada je kanal zauzet je u redu čekanja i čeka uslugu.

Pretpostavimo da bez obzira na to koliko zahtjeva stigne na ulaz uslužnog sistema, ovaj sistem(red + klijenti koji se uslužuju) ne mogu zadovoljiti više od N-zahtjeva (aplikacije), tj. klijenti koji ne čekaju primorani su da se uslužuju na drugom mjestu. Konačno, izvor koji generira zahtjeve za uslugu ima neograničen (beskonačno veliki) kapacitet.

Grafikon stanja QS-a u ovom slučaju ima oblik prikazan na Sl. 2.

Rice. 2. Grafikon stanja jednokanalnog QS-a sa čekanjem

(šema smrti i reprodukcije)

QS stanja imaju sljedeće tumačenje:

S 0 - kanal je slobodan;

S 1 - kanal zauzet (bez čekanja);

S 2 - kanal je zauzet (jedan zahtjev je u redu);

……………………

S n - kanal je zauzet (n - 1 zahtjev je u redu);

…………………...

S N - kanal je zauzet (N- 1 aplikacija je u redu).

Biće opisan stacionarni proces u ovom sistemu sledeći sistem algebarske jednačine:

P- statusni broj.

Rješenje gornjeg sistema jednačina (10) za naš QS model ima oblik

(11)

Treba napomenuti da ispunjenje uslova stacionarnosti za dati QS nije neophodno, jer se broj aplikacija primljenih u sistem za usluživanje kontroliše uvođenjem ograničenja dužine reda čekanja (koje ne može premašiti N- 1), a ne odnos između intenziteta ulaznog toka, tj.

Hajde da definišemo karakteristike jednokanalnog QS-a sa čekanjem i ograničenom dužinom čekanja jednakim (N- 1):

vjerovatnoća odbijanja servisiranja aplikacije:

(13)

relativna propusnost sistema:

(14)

apsolutna propusnost:

A = q 𝝀; (15)

prosečan broj aplikacija u sistemu:

(16)

Prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu:

prosječno trajanje ostanak klijenta (aplikacije) u redu čekanja:

prosječan broj aplikacija (klijenata) u redu (dužina reda):

Lq= (1 - P N)W q .(19)

Razmotrimo primjer jednokanalnog QS-a sa čekanjem.

Primjer 2. Specijalizirani dijagnostički post je jednokanalni QS. Broj parkinga za automobile koji čekaju dijagnostiku je ograničen i iznosi 3 [ (N- 1) = 3]. Ako su sva parking mjesta zauzeta, odnosno već su tri automobila u redu, onda sljedeći automobil koji stigne na dijagnostiku neće biti stavljen u red za servis. Protok automobila koji pristižu na dijagnostiku distribuiran je prema Poissonovom zakonu i ima intenzitet = 0,85 (automobila na sat). Vrijeme dijagnostike vozila je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu i u prosjeku iznosi 1,05 sati.

Treba utvrditi vjerovatnoća karakteristike dijagnostičke stanice koja radi u stacionarnom režimu.

Rješenje

1. Parametar protoka autoservisa:

.

2. Smanjeni intenzitet saobraćajnog toka definira se kao omjer intenziteta i µ, tj.

3. Izračunajmo konačne vjerovatnoće sistema:

4. Verovatnoća kvara auto servisa:

5. Relativna propusnost dijagnostičke stanice:

6. Apsolutna propusnost dijagnostičke stanice

A= 𝝀 q= 0,85 0,842 = 0,716 (vozila na sat).

7. Prosječan broj automobila na servisu i u redu (tj. u sistemu čekanja):

8. Prosječno vrijeme boravka automobila u sistemu:

9. Prosječno vrijeme koje zahtjev ostaje u redu za uslugu:

10. Prosječan broj aplikacija u redu čekanja (dužina reda):

Lq= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Rad razmatranog dijagnostičkog punkta može se smatrati zadovoljavajućim, jer dijagnostičko mjesto u prosjeku ne servisira automobile u 15,8% slučajeva. (R otk = 0,158).

Jednokanalni QS sa čekanjem bez ograničenja na kapacitet bloka čekanja(tj.). Preostali uvjeti rada QS-a ostaju nepromijenjeni.

Stacionarni način rada ovog QS-a postoji za bilo koje n = 0, 1, 2,... i kada je< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого P=0,1,2,…, ima oblik

Rješenje ovog sistema jednačina ima oblik

Karakteristike jednokanalnog QS-a sa čekanjem, bez ograničenja dužine reda čekanja, su sljedeće:

prosječan broj klijenata (zahtjeva) za uslugu u sistemu:

(22)

prosječno trajanje boravka klijenta u sistemu:

(23)

prosječan broj klijenata u redu za uslugu:

Prosječna dužina vremena koje korisnik provede u redu čekanja:

Primjer 3. Prisjetimo se situacije razmatrane u primjeru 2, gdje je riječ o funkcionisanju dijagnostičkog posta. Neka predmetno dijagnostičko mesto ima neograničen broj parking mesta za vozila koja dolaze na servis, odnosno dužina reda nije ograničena.

Potrebno je odrediti konačne vrijednosti sljedećih vjerojatnostnih karakteristika:

Vjerojatnosti stanja sistema (dijagnostička stanica);

Prosječan broj automobila u sistemu (u servisu i u redu);

Prosječno trajanje boravka vozila u sistemu (za servis i u redu);

Prosječan broj automobila u redu za servis;

4. Prosječno trajanje boravka klijenta u sistemu:

5. Prosječan broj automobila u redu za servis:

6. Prosječna dužina vremena koje automobil provede u redu:

7. Relativna propusnost sistema:

odnosno svaka aplikacija koja dođe u sistem biće servisirana.

8 . Apsolutna propusnost:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Treba napomenuti da firmu koja se bavi dijagnostikom automobila prvenstveno zanima broj kupaca koji će posjetiti dijagnostičko mjesto kada se ukine ograničenje dužine reda.

Recimo da je u originalnoj verziji broj parking mjesta za automobile koji dolaze bio jednak tri (vidi primjer 2). Frekvencija T situacije nastaju kada automobil koji dolazi na dijagnostičko mjesto nije u mogućnosti da se pridruži redu:

T= λP N .

U našem primjeru, sa N=3 + 1= 4 i ρ = ​​0,893,

t = λ P 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 automobila na sat.

Sa 12-satnim režimom rada dijagnostičke stanice, ovo je ekvivalentno činjenici da će dijagnostička stanica u prosjeku izgubiti 12 0,134 = 1,6 automobila po smjeni (danu).

Uklanjanje ograničenja na dužinu čekanja omogućava nam da povećamo broj klijenata koji se opslužuju u našem primjeru u prosjeku za 1,6 automobila po smjeni (12 sati rada) na dijagnostičkoj stanici. Jasno je da odluka o proširenju parking prostora za vozila koja dolaze na dijagnostičku stanicu mora biti zasnovana na procjeni ekonomske štete uzrokovane gubitkom kupaca kada postoje samo tri parking mjesta za ova vozila.

Povezane informacije.

Apsolutna propusnost karakteriše intenzitet odlaznog toka servisiranih aplikacija.

Primjer. Servis prima jednostavan tok zahtjeva sa intenzitetom od 1 automobila na 2 sata. Ne mogu biti više od 3 automobila u redu u dvorištu. Prosječno vrijeme popravke je 2 sata. Procijeniti učinak CMO-a i razviti preporuke za poboljšanje usluge.

Rješenje:
Odredite tip QS-a. Izraz "Do stanice" govori o jednom servisnom uređaju, tj. Za provjeru rješenja koristimo uslugu Single-Channel Query Service.
Određujemo tip jednokanalnog QS-a. Pošto se spominje red čekanja, stoga biramo “Jednokanalni QS sa ograničenom dužinom reda”.
Parametar λ mora biti izražen u satima. Intenzitet aplikacija je 1 auto na 2 sata ili 0,5 na 1 sat.
Intenzitet toka usluge μ nije eksplicitno specificiran. Ovdje dato vrijeme servisiranja je t obs = 2 sata.

Izračunavamo indikatore usluge za jednokanalni QS:
Intenzitet toka usluge:

1. Intenzitet opterećenja.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
Intenzitet opterećenja ρ=1 pokazuje stepen konzistentnosti ulaznih i izlaznih tokova zahteva servisnog kanala i određuje stabilnost sistema čekanja.

3. Vjerovatnoća da je kanal slobodan(udio zastoja kanala).


Shodno tome, 20% kanala će biti neaktivno u roku od jednog sata, vrijeme mirovanja je jednako t pr = 12 minuta.

4. Udio odbijenih zahtjeva.
Prijave se ne odbijaju. Svi primljeni zahtjevi su servisirani, p otvoren = 0.

5. Relativna propusnost.
Udio primljenih servisiranih zahtjeva po jedinici vremena:
Q = 1 - p otvoren = 1 - 0 = 1
Shodno tome, 100% primljenih prijava će biti servisirano. Prihvatljivi nivo usluge trebao bi biti iznad 90%.

6. Apsolutna propusnost.
A = Q λ = 1 0,5 = 0,5 zahtjeva/sat.

8. Prosječan broj aplikacija u redu čekanja(prosječna dužina reda čekanja).

jedinice

9. Prosječno vrijeme zastoja QS-a(prosječno vrijeme čekanja da aplikacija bude servirana u redu čekanja).
sat.

10. Prosječan broj dostavljenih aplikacija.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 jedinica.

12. Prosječan broj aplikacija u sistemu.
L CMO = L och + L ops = 1,2 + 1 = 2,2 jedinice.

13. Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u.
sat.

Broj odbijenih aplikacija u roku od jednog sata: λ p 1 = 0 aplikacija na sat.
Nominalna produktivnost QS-a: 1 / 2 = 0,5 aplikacija na sat.
Stvarni učinak SMO-a: 0,5 / 0,5 = 100% nominalnog učinka.

Zaključak: stanica je 100% opterećena. U ovom slučaju se ne primjećuju kvarovi.

Kao indikatore efikasnosti QS-a sa kvarovima, razmotrićemo:

1) A - apsolutni kapacitet QS-a, tj. prosječan broj usluženih aplikacija u jedinici vremena;

2) Q - relativna propusnost, tj. prosječan udio dolaznih aplikacija koje servisira sistem;

3) P_(\text(otk)) - vjerovatnoća neuspjeha, tj. da će aplikacija ostaviti QS neserviran;

4) \overline(k) - prosječan broj zauzetih kanala(za višekanalni sistem).

Jednokanalni sistem (SMS) sa kvarovima

Hajde da razmotrimo problem. Postoji jedan kanal koji prima tok zahtjeva sa intenzitetom \lambda. Tok usluge ima intenzitet \mu . Naći granične vjerovatnoće stanja sistema i pokazatelje njegove efikasnosti.

Bilješka. Ovdje iu nastavku se pretpostavlja da će svi tokovi događaja koji prenose QS iz stanja u stanje biti najjednostavniji. Oni takođe uključuju tok usluge - tok zahtjeva koje opslužuje jedan kontinuirano zauzet kanal. Prosječno vrijeme servisiranja je inverzno zasnovano na vrijednosti intenziteta \mu, tj. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Sistem S (SMO) ima dva stanja: S_0 - kanal je slobodan, S_1 - kanal je zauzet. Označeni grafikon stanja prikazan je na Sl. 6.

U graničnom, stacionarnom režimu, sistem algebarskih jednadžbi za verovatnoće stanja ima oblik (vidi gore za pravilo za sastavljanje takvih jednačina)

\begin(slučajevi)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(slučajevi)

one. sistem se degeneriše u jednu jednačinu. Uzimajući u obzir normalizacijski uslov p_0+p_1=1, iz (18) nalazimo granične vjerovatnoće stanja

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

koji izražavaju prosječno relativno vrijeme kada sistem ostaje u stanju S_0 (kada je kanal slobodan) i S_1 (kada je kanal zauzet), tj. odrediti, respektivno, relativni kapacitet Q sistema i vjerovatnoću kvara P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Apsolutnu propusnost pronalazimo množenjem relativne propusnosti Q sa stopom protoka kvara

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Primjer 5. Poznato je da se zahtjevi za telefonske razgovore u televizijskom studiju primaju sa intenzitetom \lambda jednakim 90 zahtjeva na sat, a prosječno trajanje telefonskog razgovora je min. Odredite pokazatelje performansi QS (telefonske komunikacije) sa jednim telefonskim brojem.

Rješenje. Imamo \lambda=90 (1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Brzina protoka usluge \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/h). Prema (20), relativni kapacitet QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, tj. u prosjeku, samo 25% pristiglih aplikacija će se pregovarati putem telefona. Shodno tome, vjerovatnoća uskraćivanja usluge će biti P_(\text(otk))=0,\!75(vidi (21)). Apsolutna propusnost QS prema (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, tj. U prosjeku će se po satu servisirati 22,5 zahtjeva za pregovore. Očigledno, ako postoji samo jedan telefonski broj, CMO se neće dobro nositi sa protokom aplikacija.

Višekanalni sistem (MSS) sa kvarovima

Razmotrimo klasiku Erlang problem. Postoji n kanala koji primaju tok zahtjeva sa intenzitetom \lambda. Tok usluge ima intenzitet \mu . Naći granične vjerovatnoće stanja sistema i pokazatelje njegove efikasnosti.

Sistem S (SMO) ima sljedeća stanja (numerimo ih prema broju aplikacija u sistemu): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, gdje je S_k stanje sistema kada se u njemu nalazi k aplikacija, tj. k kanala je zauzeto.

Grafikon stanja QS-a odgovara procesu smrti i reprodukcije i prikazan je na Sl. 7.

Tok zahtjeva sekvencijalno prenosi sistem iz bilo kojeg lijevog stanja u susjedno desno sa istim intenzitetom \lambda. Intenzitet toka usluge koji prenosi sistem iz bilo kojeg desnog stanja u susjedno lijevo stanje se stalno mijenja ovisno o stanju. Zaista, ako je QS u stanju S_2 (dva kanala su zauzeta), onda može prijeći u stanje S_1 (jedan kanal je zauzet) kada prvi ili drugi kanal završi servisiranje, tj. ukupan intenzitet njihovih tokova usluga će biti 2\mu. Slično, ukupni tok usluge koji prenosi QS iz stanja S_3 (tri kanala su zauzeta) u S_2 imat će intenzitet od 3\mu, tj. bilo koji od tri kanala može postati slobodan, itd.

U formuli (16) za shemu smrti i reprodukcije dobijamo za graničnu vjerovatnoću stanja

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\) mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\desno)\^{-1}, !}

gdje su uslovi proširenja \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), će predstavljati koeficijente za p_0 u izrazima za granične vjerovatnoće p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Magnituda

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

pozvao dati intenzitet toka aplikacija ili intenzitet opterećenja kanala. Izražava prosječan broj primljenih zahtjeva tokom prosječnog vremena servisiranja jednog zahtjeva. Sad

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Pozivaju se formule (25) i (26) za granične vjerovatnoće Erlangove formule u čast osnivača teorije čekanja.

Verovatnoća kvara QS-a je maksimalna verovatnoća da će svi i kanali sistema biti zauzeti, tj.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Relativna propusnost - vjerovatnoća da će zahtjev biti uslužen:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Apsolutna propusnost:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Prosječan broj zauzetih kanala \overline(k) je očekivanu vrijednost broj zauzetih kanala:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

gdje su p_k granične vjerovatnoće stanja određene formulama (25), (26).

Međutim, prosječan broj zauzetih kanala može se lakše pronaći ako uzmemo u obzir da apsolutni kapacitet sistema A nije ništa drugo do intenzitet protok serviranog sistem aplikacija (po jedinici vremena). Budući da svaki zauzeti kanal služi u prosjeku \mu zahtjeva (po jedinici vremena), onda je prosječan broj zauzetih kanala

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Ili, s obzirom na (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Primjer 6. U uslovima primera 5 odrediti optimalan broj telefonskih brojeva u televizijskom studiju, ako se smatra da je uslov optimalnosti zadovoljenje u proseku najmanje 90 zahteva za pregovore od svakih 100 zahteva.

Rješenje. Intenzitet opterećenja kanala prema formuli (25) \rho=\frac(90)(30)=3, tj. tokom prosječnog vremena (u trajanju) telefonski razgovor \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. U prosjeku se primaju 3 zahtjeva za pregovore.

Postepeno ćemo povećavati broj kanala (telefonskih brojeva) n=2,3,4,\ldots i odrediti karakteristike usluge za rezultirajući n-kanalni QS koristeći formule (25), (28), (29). Na primjer, sa n=2 imamo

Z_0=(\lijevo(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} itd.

Vrijednosti karakteristika QS-a sumiramo u tabeli. 1.

Prema uslovu optimalnosti Q\geqslant0,\!9, dakle, potrebno je u televizijskom studiju instalirati 5 telefonskih brojeva (u ovom slučaju Q = 0,\!9 - vidi tabelu 1). U ovom slučaju u prosjeku će biti servisirano 80 zahtjeva (A=80,\!1) po satu, a prosječan broj zauzetih telefonskih brojeva (kanala) prema formuli (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Primjer 7. Zajednički računarski centar sa tri računara prima narudžbine od preduzeća za rad na računaru. Ako sva tri računara rade, onda se novoprimljeni nalog ne prihvata i preduzeće je prinuđeno da kontaktira drugi računarski centar. Prosječno vrijeme rada sa jednom narudžbom je 3 sata. Intenzitet toka aplikacija je 0,25 (1/sat). Naći granične vjerovatnoće stanja i indikatora performansi računskog centra.

Rješenje. Po stanju n=3,~\lambda=0,\!25(1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (h). Brzina protoka usluge \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Intenzitet opterećenja računara prema formuli (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Nađimo granične vjerovatnoće stanja:

– prema formuli (25) p_0=(\left(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2)+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– prema formuli (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

one. u stacionarnom režimu rada računarskog centra u proseku 47,6% vremena nema zahteva, 35,7% - postoji jedan zahtev (jedan računar je zauzet), 13,4% - dva zahteva (dva računara), 3,3% od vrijeme - tri zahtjeva (tri računara su zauzeta).

Verovatnoća kvara (kada su sva tri računara zauzeta) je tako P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Prema formuli (28), relativni kapacitet centra Q=1-0,\!033=0,\!967, tj. U prosjeku, na svakih 100 zahtjeva, računski centar servisira 96,7 zahtjeva.

Prema formuli (29), apsolutni kapacitet centra A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, tj. u prosjeku poslužen za jedan sat. 0.242 prijave.

Prema formuli (30), prosječan broj zauzetih računara \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, tj. svaki od tri računara će u prosjeku biti zauzet servisiranjem zahtjeva \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

Prilikom procene efikasnosti računarskog centra potrebno je uporediti prihod od izvršenja zahteva sa gubicima od zastoja skupih računara (s jedne strane imamo visoku propusnost QS-a, a sa druge strane , postoji značajan zastoj servisnih kanala) i izabrati kompromisno rješenje.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!