Konstruisanje grafova funkcija koji sadrže module obično izaziva velike poteškoće kod školaraca. Međutim, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje ovakvih problema i lako možete napraviti graf čak i za naizgled složena funkcija. Hajde da shvatimo o kakvim se algoritmima radi.
1. Iscrtavanje grafika funkcije y = |f(x)|
Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija se uvijek nalaze u potpunosti u gornjoj poluravni.
Iscrtavanje grafa funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.
1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).
2) Ostavite nepromijenjene sve tačke na grafikonu koje se nalaze iznad ili na osi 0x.
3) Prikažite dio grafikona koji leži ispod ose 0x simetrično u odnosu na osu 0x.
Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|
1) Gradimo grafik funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očigledno, graf ove funkcije je parabola. Nađimo koordinate svih tačaka preseka parabole sa koordinatnim osama i koordinate vrha parabole.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Prema tome, parabola seče osu 0x u tačkama (3, 0) i (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Dakle, parabola seče osu 0y u tački (0, 3).
Koordinate vrha parabole:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Dakle, tačka (2, -1) je vrh ove parabole.
Nacrtajte parabolu koristeći dobijene podatke (sl. 1)
2) Dio grafikona koji leži ispod ose 0x prikazuje se simetrično u odnosu na osu 0x.
3) Dobijamo graf originalne funkcije ( pirinač. 2, prikazana isprekidanom linijom).
2. Iscrtavanje funkcije y = f(|x|)
Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko ose 0y.
Iscrtavanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.
1) Grafikujte funkciju y = f(x).
2) Ostavite onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
3) Prikažite dio grafikona naveden u tački (2) simetrično na os 0y.
4) Kao konačni grafik odaberite uniju krivulja dobijenih u tačkama (2) i (3).
Primjer 2. Nacrtajte grafik funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pošto je x 2 = |x| 2, onda se originalna funkcija može prepisati u sljedećem obliku: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.
1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također pirinač. 1).
2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
3) Displej desna strana grafike su simetrične u odnosu na os 0y.
(sl. 3).
Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|
Primjenjujemo gore datu shemu.
1) Napravi graf funkcije y = log 2 x (sl. 4).
3. Iscrtavanje funkcije y = |f(|x|)|
Imajte na umu da funkcije oblika y = |f(|x|)| su takođe čak. Zaista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), te su stoga njihovi grafovi simetrični oko ose 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u potpunosti u gornjoj poluravni.
Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:
1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).
2) Ostavite nepromijenjen dio grafikona koji je iznad ili na osi 0x.
3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x simetrično u odnosu na osu 0x.
4) Kao konačni grafik odaberite uniju krivulja dobijenih u tačkama (2) i (3).
Primjer 4. Nacrtajte grafik funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Imajte na umu da je x 2 = |x| 2. To znači da je umjesto originalne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1
možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer im se grafovi poklapaju.
Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.
a) Grafikujte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (sl. 6).
b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na os 0y.
d) Dobijeni grafik je prikazan isprekidanom linijom na slici (sl. 7).
2) Nema tačaka iznad ose 0x, ostavljamo tačke na osi 0x nepromenjene.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.
4) Dobijeni graf je na slici prikazan isprekidanom linijom (sl. 8).
Primjer 5. Grafikujte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Prvo morate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na algoritam 2.
a) Pažljivo nacrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (sl. 9).
primeti, to ovu funkciju je frakciono linearan i njegov graf je hiperbola. Da biste nacrtali krivulju, prvo morate pronaći asimptote grafa. Horizontalno – y = 2/1 (odnos koeficijenata x u brojiocu i nazivniku razlomka), vertikalno – x = -3.
2) Taj dio grafikona koji je iznad ose 0x ili na njemu ostavićemo nepromijenjen.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x biće prikazan simetrično u odnosu na 0x.
4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Lekcija na temu: "Graf i svojstva funkcije $y=x^3$. Primjeri crtanja grafova"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 7. razred
Elektronski udžbenik za 7. razred "Algebra za 10 minuta"
Obrazovni kompleks 1C "Algebra, 7-9 razredi"
Svojstva funkcije $y=x^3$
Hajde da opišemo svojstva ove funkcije:
1. x je nezavisna varijabla, y je zavisna varijabla.
2. Područje definicije: očito je da se za bilo koju vrijednost argumenta (x) može izračunati vrijednost funkcije (y). Prema tome, domen definicije ove funkcije je cijela brojevna prava.
3. Raspon vrijednosti: y može biti bilo šta. Prema tome, raspon vrijednosti je i cijela brojevna prava.
4. Ako je x= 0, onda je y= 0.
Grafikon funkcije $y=x^3$
1. Kreirajmo tablicu vrijednosti:
2. Za pozitivne vrijednosti x, graf funkcije $y=x^3$ je vrlo sličan paraboli, čije su grane više "pritisnute" na osu OY.
3. Kako za negativne vrijednosti x funkcija $y=x^3$ ima suprotne vrijednosti, grafik funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Sada označimo tačke na koordinatnoj ravni i napravimo graf (vidi sliku 1).
Ova kriva se naziva kubna parabola.
Primjeri
I. Na malom brodu bilo je potpuno gotovo svježa voda. Potrebno je donijeti dovoljnu količinu vode iz grada. Voda se naručuje unaprijed i plaća punu kocku, čak i ako je napunite malo manje. Koliko kocki da naručim da ne bih preplatio dodatnu kocku i potpuno napunio rezervoar? Poznato je da rezervoar ima istu dužinu, širinu i visinu, koje su jednake 1,5 m. Rešimo ovaj problem bez izvođenja proračuna.
Rješenje:
1. Nacrtajmo funkciju $y=x^3$.
2. Naći tačku A, x koordinatu, koja je jednaka 1,5. Vidimo da je koordinata funkcije između vrijednosti 3 i 4 (vidi sliku 2). Dakle, potrebno je naručiti 4 kocke.
Funkcija y=x^2 naziva se kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je parabola. Opšti oblik Parabola je prikazana na donjoj slici.
Kvadratna funkcija
Slika 1. Opšti izgled parabole
Kao što se može vidjeti iz grafikona, ona je simetrična u odnosu na Oy os. Osa Oy naziva se osa simetrije parabole. To znači da ako nacrtate pravu liniju na grafu paralelnu sa Ox osom iznad ove ose. Tada će preseći parabolu u dve tačke. Udaljenost od ovih tačaka do ose Oy bit će ista.
Osa simetrije dijeli graf parabole na dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju granama parabole. A tačka parabole koja leži na osi simetrije naziva se vrh parabole. To jest, os simetrije prolazi kroz vrh parabole. Koordinate ove tačke su (0;0).
Osnovna svojstva kvadratne funkcije
1. Kod x =0, y=0 i y>0 na x0
2. Kvadratna funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu. Ymin pri x=0; Također treba napomenuti da funkcija nema maksimalnu vrijednost.
3. Funkcija opada na intervalu (-∞;0] i raste na intervalu, jer će se prava linija y=kx poklapati sa grafikom y=|x-3|-|x+3| u ovom dijelu. opcija nije prikladna za nas. 
Ako je k manji od -2, tada je prava linija y=kx sa grafikom y=|x-3|-|x+3| imaće jednu raskrsnicu.Ova opcija nam odgovara. 
Ako je k=0, tada je presjek prave y=kx sa grafikom y=|x-3|-|x+3| biće i jedan.Ova opcija nam odgovara. 
Odgovor: za k koji pripada intervalu (-∞;-2)U)
