Istraživačke vještine mogu se podijeliti na opće i specifične. Opće istraživačke vještine, do čijeg formiranja i razvoja dolazi u procesu rješavanja problema s parametrima, spadaju: sposobnost da se iza date jednačine sa parametrom vide različite klase jednačina, koje karakterizira zajedničko prisustvo broja i vrste korijenje; sposobnost savladavanja analitičkih i grafičko-analitičkih metoda....
Jednačine i nejednačine sa parametrom kao sredstvo za razvijanje istraživačkih vještina učenika 7-9 razreda (esej, rad, diploma, test)
Diplomski rad
Po temi: Jednačine i nejednačine sa parametrom kao sredstvo formiranja istraživanja vještine učenika 7-9 razreda
Razvoj sposobnosti kreativnog mišljenja nemoguć je izvan problemskih situacija, stoga su nestandardni zadaci od posebnog značaja u učenju. To također uključuje zadatke koji sadrže parametar. Matematički sadržaj ovih zadataka ne izlazi iz okvira programa, međutim njihovo rješavanje, po pravilu, stvara poteškoće kod učenika.
Prije reforme školskog matematičkog obrazovanja 60-ih godina, školski program i udžbenici su imali posebne dijelove: proučavanje linearnih i kvadratnih jednačina, proučavanje sistema linearnih jednačina. Gdje je zadatak bio proučavanje jednačina, nejednakosti i sistema u zavisnosti od bilo kojih uslova ili parametara.
Program trenutno ne sadrži posebne reference na studije ili parametre u jednačinama ili nejednačinama. Ali oni su upravo jedno od efikasnih sredstava matematike koja pomažu u rješavanju problema formiranja intelektualne ličnosti postavljene programom. Da bi se otklonila ova kontradikcija, postalo je neophodno kreirati izborni predmet na temu „Jednačine i nejednačine s parametrima“. To je upravo ono što određuje relevantnost ovog rada.
Jednačine i nejednačine sa parametrima odličan su materijal za pravi istraživački rad, ali školski program ne uključuje probleme sa parametrima kao posebnu temu.
Rješavanje većine zadataka u školskom predmetu matematike usmjereno je na razvijanje kod školaraca kvaliteta kao što su ovladavanje pravilima i algoritmima djelovanja u skladu s trenutnim programima, te sposobnost sprovođenja osnovnih istraživanja.
Istraživanje u nauci znači proučavanje objekta kako bi se utvrdili obrasci njegovog nastanka, razvoja i transformacije. U procesu istraživanja koriste se stečeno iskustvo, postojeća znanja, kao i metode i metode proučavanja objekata. Rezultat istraživanja treba da bude sticanje novih znanja. U procesu obrazovnog istraživanja sintetišu se znanje i iskustvo koje je student stekao u proučavanju matematičkih objekata.
Kada se primjenjuju na parametarske jednačine i nejednakosti, mogu se razlikovati sljedeće istraživačke vještine:
1) Sposobnost da se kroz parametar izrazi uslovi da data parametarska jednačina pripada određenoj klasi jednačina;
2) mogućnost određivanja vrste jednačine i označavanja vrste koeficijenata u zavisnosti od parametara;
3) sposobnost izražavanja kroz parametre, uslove za prisustvo rešenja parametarske jednačine;
4) u slučaju prisustva korena (rešenja) biti u stanju da izrazi uslove za prisustvo određenog broja korena (rešenja);
5) Sposobnost izražavanja korijena parametarskih jednačina (rješenja nejednačina) kroz parametre.
Razvojna priroda jednačina i nejednakosti sa parametrima određena je njihovom sposobnošću da implementiraju mnoge vrste mentalnih aktivnosti učenika:
Razvoj određenih algoritama razmišljanja, Sposobnost utvrđivanja prisutnosti i broja korijena (u jednačini, sistemu);
Rješavanje porodica jednačina koje su posljedica ovoga;
Izražavanje jedne varijable u terminima druge;
Pronalaženje domena definicije jednačine;
Ponavljanje velikog obima formula pri rješavanju;
Poznavanje odgovarajućih metoda rješenja;
Široka upotreba verbalne i grafičke argumentacije;
Razvoj grafičke kulture učenika;
Sve navedeno nam omogućava da govorimo o potrebi proučavanja jednačina i nejednačina sa parametrima u školskom predmetu matematike.
Trenutno, klasa problema sa parametrima još nije jasno metodički razrađena. Relevantnost izbora teme izbornog predmeta „Kvadratne jednadžbe i nejednačine s parametrom“ određena je značajem teme „Kvadratni trinom i njegove osobine“ u školskom predmetu matematike i, istovremeno, nedostatkom vrijeme za razmatranje problema vezanih za proučavanje kvadratnog trinoma koji sadrži parametar.
U svom radu želimo pokazati da problemi parametara ne bi trebali biti težak dodatak osnovnom gradivu koji se izučava, a koji samo sposobna djeca mogu savladati, već se mogu i trebaju koristiti u općeobrazovnoj školi, koja će obogatiti učenje novim metodama. i ideje i pomoći učenicima da razviju svoje razmišljanje.
Svrha rada je proučavanje mjesta jednačina i nejednačina sa parametrima u predmetu algebra za 7-9 razred, izrada izbornog predmeta „Kvadratne jednačine i nejednačine sa parametrom“ i metodičke preporuke za njegovu implementaciju.
Predmet proučavanja je proces nastave matematike u 7-9 razredima srednje škole.
Predmet istraživanja su sadržaj, oblici, metode i sredstva rješavanja jednačina i nejednačina sa parametrima u srednjoj školi, osiguravajući izradu izbornog predmeta „Kvadratne jednačine i nejednačine sa parametrom“.
Istraživačka hipoteza je da će ovaj izborni predmet pomoći u dubljem proučavanju sadržaja matematičke sekcije „Jednačine i nejednakosti sa parametrima“, otklanjanju neslaganja u zahtjevima iz matematike za pripremu maturanata i aplikanata, te proširiti mogućnosti za razvoj mentalne aktivnosti učenika, ako će se u procesu proučavanja koristiti sljedeće:
· razmatranje grafičkih tehnika za rješavanje kvadratnih jednačina i nejednačina s parametrom korištenjem rada školaraca sa obrazovnom literaturom;
· rješavanje zadataka na proučavanje kvadratnog trinoma koji sadrži parametar, korištenjem samokontrole učenika i međusobne kontrole;
· tabele za sumiranje gradiva na teme „Predznak korena kvadratnog trinoma“, „Položaj parabole u odnosu na osu apscise“;
· korištenje različitih metoda za procjenu ishoda učenja i kumulativnog bodovnog sistema;
· proučavanje svih tema predmeta, davanje mogućnosti studentu da samostalno pronađe način za rješavanje problema.
U skladu sa svrhom, objektom, predmetom i hipotezom istraživanja, postavljaju se sljedeći ciljevi istraživanja:
· razmotriti opšte odredbe za proučavanje jednačina i nejednačina sa parametrima u razredima 7–9;
· izraditi izborni predmet iz algebre „Kvadratne jednačine i nejednačine sa parametrom“ i metodologiju za njegovu realizaciju.
Tokom istraživanja korištene su sljedeće metode:
· analiza literature;
· analiza iskustva u izradi izbornih predmeta.
Poglavlje 1. Psihološke i pedagoške karakteristike studiranje Teme « Jednačine i nejednačine sa parametrima" u toku algebre 7−9 klasa
§ 1. Uzrasne, fiziološke i psihološke karakteristikebeneficije školaraca 7–9 razreda
Srednju školsku dob (adolescenciju) karakteriše brz rast i razvoj cijelog organizma. Postoji intenzivan rast tijela u dužini (kod dječaka dolazi do povećanja od 6-10 centimetara godišnje, a kod djevojčica do 6-8 centimetara). Nastavlja se okoštavanje skeleta, kosti dobijaju elastičnost i tvrdoću, a snaga mišića raste. Međutim, razvoj unutarnjih organa odvija se neravnomjerno, rast krvnih žila zaostaje za rastom srca, što može uzrokovati poremećaj ritma njegove aktivnosti i povećan broj otkucaja srca. Plućni aparat se razvija, disanje postaje ubrzano u ovoj dobi. Volumen mozga se približava volumenu mozga odraslog čovjeka. Poboljšava se kontrola moždane kore nad instinktima i emocijama. Međutim, procesi ekscitacije i dalje prevladavaju nad procesima inhibicije. Počinje pojačana aktivnost asocijativnih vlakana.
U ovom uzrastu nastupa pubertet. Povećava se aktivnost endokrinih žlijezda, posebno spolnih. Pojavljuju se sekundarne polne karakteristike. Tijelo tinejdžera pokazuje veći umor zbog dramatičnih promjena u njemu. Percepcija tinejdžera je fokusiranija, organizovanija i planiranija od one mlađeg školskog djeteta. Od presudnog značaja je odnos tinejdžera prema posmatranom objektu. Pažnja je dobrovoljna, selektivna. Tinejdžer se može dugo fokusirati na zanimljiv materijal. U prvi plan dolazi memorisanje pojmova, direktno vezanih za razumijevanje, analizu i sistematizaciju informacija. Adolescenciju karakteriše kritičko mišljenje. Učenike ovog uzrasta karakterišu veći zahtevi za datim informacijama. Poboljšava se sposobnost apstraktnog mišljenja. Izražavanje emocija kod tinejdžera je često prilično nasilno. Ljutnja je posebno jaka. Ovo doba prilično karakteriše tvrdoglavost, sebičnost, povlačenje u sebe, oštrina emocija i sukobi sa drugima. Ove manifestacije omogućile su nastavnicima i psiholozima da govore o krizi adolescencije. Formiranje identiteta zahtijeva od osobe da preispita svoje veze s drugima, svoje mjesto među drugim ljudima. Tokom adolescencije dolazi do intenzivnog moralnog i društvenog formiranja ličnosti. U toku je proces formiranja moralnih ideala i moralnih uvjerenja. Često imaju nestabilan, kontradiktoran karakter.
Komunikacija tinejdžera sa odraslima značajno se razlikuje od komunikacije mlađih školaraca. Tinejdžeri često odrasle ne smatraju mogućim partnerima za slobodnu komunikaciju, već odrasle doživljavaju kao izvor organizacije i podrške za svoj život, a organizacionu funkciju odraslih adolescenti doživljavaju najčešće samo kao ograničavajuću i regulirajuću.
Smanjen je broj pitanja upućenih nastavnicima. Postavljena pitanja odnose se prije svega na organizaciju i sadržaj životnih aktivnosti adolescenata u slučajevima u kojima ne mogu bez relevantnih informacija i uputa odraslih. Broj etičkih pitanja je smanjen. U odnosu na prethodni uzrast, autoritet nastavnika kao nosioca društvenih normi i mogućeg pomoćnika u rešavanju složenih životnih problema značajno je smanjen.
§ 2. Uzrasne karakteristike obrazovnih aktivnosti
Podučavanje je glavna aktivnost tinejdžera. Obrazovna aktivnost tinejdžera ima svoje poteškoće i kontradiktornosti, ali postoje i prednosti na koje se nastavnik može i treba osloniti. Velika prednost tinejdžera je njegova spremnost za sve vrste obrazovnih aktivnosti koje ga u vlastitim očima čine odraslim. Privlače ga samostalni oblici organizovanja nastave u učionici, složeni obrazovni materijal i mogućnost da samostalno gradi svoju kognitivnu aktivnost van škole. Međutim, tinejdžer ne zna kako da ostvari tu spremnost, jer ne zna kako da sprovede nove oblike obrazovne aktivnosti.
Tinejdžer emocionalno reaguje na novi akademski predmet, a kod nekih ta reakcija nestaje prilično brzo. Često se smanjuje i njihov opći interes za učenje i školu. Kao što pokazuju psihološka istraživanja, glavni razlog leži u nedostatku razvoja vještina učenja kod učenika, što ne omogućava zadovoljavanje trenutne potrebe uzrasta – potrebe za samopotvrđivanjem.
Jedan od načina povećanja efikasnosti učenja je svrsishodno formiranje motiva učenja. Ovo je direktno povezano sa zadovoljenjem preovlađujućih potreba starosti. Jedna od ovih potreba je kognitivna. Kada je to zadovoljeno, razvija stabilna kognitivna interesovanja koja određuju njegov pozitivan stav prema akademskim predmetima. Tinejdžere veoma privlači mogućnost da prošire, obogate svoja znanja, proniknu u suštinu fenomena koji se proučavaju i uspostave uzročno-posledične veze. Oni doživljavaju veliko emocionalno zadovoljstvo od istraživačkih aktivnosti. Nezadovoljavanje kognitivnih potreba i kognitivnih interesa uzrokuje ne samo stanje dosade i ravnodušnosti, već ponekad i oštro negativan stav prema „neinteresantnim subjektima“. U ovom slučaju podjednako su važni i sadržaj i proces, metode i tehnike sticanja znanja.
Interesi adolescenata se razlikuju u pravcu njihove kognitivne aktivnosti. Neki učenici preferiraju opisni materijal, privlače ih pojedinačne činjenice, drugi nastoje razumjeti suštinu fenomena koji se proučavaju, objasne ih sa stanovišta teorije, treći su aktivniji u korištenju znanja u praktičnim aktivnostima, treći - u kreativnom radu. , istraživačke aktivnosti. 15]
Uz kognitivne interese, za pozitivan stav adolescenata prema učenju bitno je razumijevanje značaja znanja. Za njih je veoma važno da shvate i shvate vitalni značaj znanja i, pre svega, njegov značaj za lični razvoj. Tinejdžer voli mnoge obrazovne predmete jer zadovoljavaju njegove potrebe kao sveobuhvatno razvijene osobe. Uvjerenja i interesovanja, spajajući se, stvaraju pojačan emocionalni ton kod adolescenata i određuju njihov aktivan stav prema učenju.
Ako tinejdžer ne vidi vitalnu važnost znanja, tada može razviti negativna uvjerenja i negativan stav prema postojećim akademskim predmetima. Od velikog značaja kada tinejdžeri imaju negativan stav prema učenju je njihova svest i iskustvo neuspeha u savladavanju određenih akademskih predmeta. Strah od neuspjeha, strah od poraza ponekad navodi tinejdžere da traže vjerodostojne razloge da ne idu u školu ili napuste čas. Emocionalno blagostanje tinejdžera u velikoj mjeri ovisi o procjeni njegovih obrazovnih aktivnosti od strane odraslih. Često je značenje ocjenjivanja za tinejdžera želja da se postigne uspjeh u obrazovnom procesu i time stekne povjerenje u svoje sposobnosti i sposobnosti. To je zbog tako dominantne potrebe starosti kao što je potreba da se spozna i procijeni sebe kao osoba, svoje snage i slabosti. Istraživanja pokazuju da upravo tokom adolescencije samopoštovanje igra dominantnu ulogu. Za emocionalno blagostanje tinejdžera veoma je važno da se procena i samopoštovanje podudaraju. U suprotnom dolazi do unutrašnjeg, a ponekad i eksternog sukoba.
U srednjim razredima učenici počinju da uče i savladavaju osnove nauke. Učenici će morati da ovladaju velikom količinom znanja. Gradivo koje se savladava, s jedne strane, zahtijeva viši nivo obrazovne, kognitivne i mentalne aktivnosti nego do sada, as druge strane, usmjereno je na njihov razvoj. Studenti moraju savladati sistem naučnih pojmova i pojmova, stoga novi akademski predmeti postavljaju nove zahtjeve u pogledu metoda sticanja znanja i usmjereni su na razvoj inteligencije višeg nivoa – teorijskog, formalnog, refleksivnog mišljenja. Ovakvo razmišljanje je tipično za adolescenciju, ali počinje da se razvija kod mlađih tinejdžera.
Ono što je novo u razvoju mišljenja tinejdžera je njegov odnos prema intelektualnim zadacima kao onima koji zahtijevaju njihovo prethodno mentalno rješenje. Sposobnost operisanja hipotezama u rješavanju intelektualnih problema najvažnija je tinejdžerova stečenost u analizi stvarnosti. Nagađačko mišljenje je karakteristično oruđe naučnog zaključivanja, zbog čega se naziva refleksivno mišljenje. Iako sama po sebi asimilacija naučnih pojmova u školi stvara niz objektivnih uslova za formiranje teorijskog mišljenja kod školaraca, ono se ne formira kod svih: različiti učenici mogu imati različite nivoe i kvalitet njegovog stvarnog formiranja.
Teorijsko mišljenje se može formirati ne samo ovladavanjem školskim znanjem. Govor postaje kontrolisan i upravljiv, a u nekim lično značajnim situacijama adolescenti posebno nastoje da govore lijepo i ispravno. U procesu i kao rezultat asimilacije naučnih koncepata stvaraju se novi sadržaji mišljenja, novi oblici intelektualne aktivnosti. Značajan pokazatelj neadekvatne asimilacije teorijskih znanja je nesposobnost tinejdžera da riješi probleme koji zahtijevaju korištenje ovog znanja.
Centralno mjesto počinje da zauzima analiza sadržaja gradiva, njegove originalnosti i unutrašnje logike. Neke tinejdžere karakterizira fleksibilnost u odabiru načina učenja, drugi preferiraju jednu metodu, a neki pokušavaju organizirati i logično obraditi bilo koji materijal. Sposobnost logičke obrade materijala često se spontano razvija kod adolescenata. O tome ovise ne samo akademski rezultati, dubina i snaga znanja, već i mogućnost daljeg razvoja inteligencije i sposobnosti tinejdžera.
§ 3. Organizacija obrazovnih aktivnostikarakteristike učenika 7–9 razreda
Organiziranje odgojno-obrazovnih aktivnosti adolescenata je najvažniji i najsloženiji zadatak. Učenik srednje škole je sasvim sposoban da razumije argumente nastavnika ili roditelja i da se složi sa razumnim argumentima. Međutim, zbog specifičnosti razmišljanja karakterističnih za ovo doba, tinejdžer više neće biti zadovoljan procesom saopštavanja informacija u gotovom, potpunom obliku. On će htjeti provjeriti njihovu pouzdanost, kako bi se uvjerio da su njegove procjene tačne. Razmirice sa nastavnicima, roditeljima i prijateljima karakteristična su za ovo doba. Njihova važna uloga je da vam omogućavaju da razmijenite mišljenja o nekoj temi, provjerite istinitost svojih stavova i općeprihvaćenih stavova i izrazite se. Posebno u nastavi ima veliki učinak uvođenje problemskih zadataka. Osnove ovakvog pristupa nastavi razvili su još 60-ih i 70-ih godina 20. vijeka domaći nastavnici. Osnova svih akcija u problemskom pristupu je svijest o nedostatku znanja za rješavanje konkretnih problema i rješavanje kontradikcija. U savremenim uslovima ovaj pristup treba realizovati u kontekstu nivoa dostignuća savremene nauke i zadataka socijalizacije učenika.
Važno je podsticati samostalno razmišljanje, učenikovo izražavanje vlastitog gledišta, sposobnost poređenja, pronalaženja zajedničkih i karakterističnih osobina, isticanja glavnog, uspostavljanja uzročno-posljedične veze i izvođenja zaključaka.
Za tinejdžera će biti od velike važnosti zanimljive i fascinantne informacije koje podstiču njegovu maštu i tjeraju ga na razmišljanje. Dobar efekat postiže se periodičnom promjenom vrsta aktivnosti – ne samo na času, već i prilikom pripreme domaćih zadataka. Različite vrste rada mogu postati vrlo djelotvorno sredstvo za povećanje pažnje i važan način prevencije općeg fizičkog umora, povezanog kako sa obrazovnim opterećenjem, tako i s općim procesom radikalnog restrukturiranja tijela tokom puberteta. 20]
Prije proučavanja relevantnih dijelova školskog kurikuluma, učenici često već imaju određene svakodnevne ideje i koncepte koji im omogućavaju da se prilično dobro snalaze u svakodnevnoj praksi. Ova okolnost, u slučajevima kada im se posebno ne skreće pažnja na vezu stečenih znanja sa praktičnim životom, lišava mnoge studente potrebe za sticanjem i usvajanjem novih znanja, budući da potonje za njih nema nikakvo praktično značenje.
Moralni ideali i moralna uverenja adolescenata formiraju se pod uticajem brojnih faktora, a posebno jačanja vaspitnog potencijala učenja. U rješavanju složenih životnih problema više pažnje treba posvetiti posrednim metodama utjecaja na svijest adolescenata: ne predstavljanju gotove moralne istine, već dovođenju do nje, a ne izražavanju kategoričkih sudova koje adolescenti mogu doživljavati s neprijateljstvom.
§ 4. Obrazovna istraživanja u sistemu osnovnih zahtjeva za sadržaje matematičkog obrazovanja i stepen pripremljenosti učenika
Jednačine i nejednačine sa parametrima odličan su materijal za pravi istraživački rad. Ali školski program ne uključuje probleme sa parametrima kao posebnu temu.
Analizirajmo različite dijelove obrazovnog standarda ruskih škola sa stanovišta identifikacije pitanja vezanih za učenje rješavanja problema s parametrima.
Proučavanje programskog materijala omogućava učenicima osnovnih škola da "dobiju početno razumijevanje problema s parametrima koji se mogu svesti na linearne i kvadratne" i nauče kako da konstruišu grafove funkcija i istraže lokaciju ovih grafova u koordinatnoj ravni u zavisnosti od vrijednosti parametara uključenih u formulu.
U liniji „funkcija“ se ne spominje riječ „parametar“, ali se kaže da učenici imaju priliku „organizirati i razviti znanje o funkciji; razviti grafičku kulturu, naučiti tečno “čitati” grafove, odražavati svojstva funkcije na grafu.”
Analizirajući školske udžbenike algebre grupa autora kao što su: Alimov Sh. A. et al., Makarychev Yu. N. et al., Mordkovich A. G. et al., dolazimo do zaključka da su problemi sa parametrima u ovim udžbenicima. posveceno malo pažnje. U udžbenicima za 7. razred postoji nekoliko primjera o proučavanju pitanja broja korijena linearne jednačine, o proučavanju zavisnosti položaja grafa linearne funkcije y = kh i y = kh + b u zavisnosti od vrijednosti od k. U udžbenicima za 8.–9. razred, u odjeljcima kao što su „Zadaci za vannastavni rad“ ili „Vježbe ponavljanja“, data su 2–3 zadatka za proučavanje korijena u kvadratnim i bikvadratnim jednačinama s parametrima, položajem grafa a kvadratna funkcija ovisno o vrijednostima parametara.
U programu matematike za škole i odeljenja sa detaljnim učenjem, u obrazloženju stoji „u delu „Zahtevi za matematičku pripremu učenika“ dat je okvirni obim znanja, veština i sposobnosti koje školarci moraju da ovladaju. U ovaj obim, naravno, spadaju ona znanja, sposobnosti i veštine čije je obavezno sticanje od strane svih učenika predviđeno uslovima opšteobrazovnog programa; međutim, predlaže se drugačiji, viši kvalitet njihovog formiranja. Studenti moraju steći sposobnost rješavanja problema višeg stepena složenosti od potrebnog nivoa složenosti, precizno i kompetentno formulisati teorijske principe koje su proučavali i iznijeti vlastito rezonovanje prilikom rješavanja zadataka...”
Hajde da analiziramo neke udžbenike za studente sa naprednim studijama matematike.
Formulacija ovakvih problema i njihova rješenja ne izlaze iz okvira školskog programa, ali poteškoće sa kojima se učenici susreću objašnjavaju se, prvo, prisustvom parametra, a drugo, razgrananošću rješenja i odgovora. Međutim, praksa rješavanja zadataka s parametrima korisna je za razvijanje i jačanje sposobnosti samostalnog logičkog mišljenja i za obogaćivanje matematičke kulture.
U općeobrazovnoj nastavi u školi se takvim zadacima po pravilu posvećuje zanemarljiva pažnja. Budući da je rješavanje jednadžbi i nejednačina s parametrima, možda, najteži dio predmeta osnovne matematike, teško da je preporučljivo rješavanje ovakvih zadataka s parametrima podučavati masu školaraca, već jakih učenika koji pokazuju interesovanje, sklonost i sposobnost za matematiku, koji nastoje samostalno djelovati, treba učiti. Svakako je potrebno rješavati takve probleme. Stoga, pored tradicionalnih sadržajno-metodoloških linija školskog predmeta matematike kao što su funkcionalna, numerička, geometrijska, linija jednačina i linija identičnih transformacija, mora zauzeti određeni položaj i linija parametara. Sadržaj gradiva i zahtjevi za učenike na temu „problemi s parametrima“ treba, naravno, biti determinisani stepenom matematičke pripremljenosti cijelog odjeljenja u cjelini i svakog pojedinca.
Nastavnik mora pomoći u ispunjavanju potreba i zahtjeva školaraca koji pokažu interesovanje, sklonost i sposobnost za predmet. O pitanjima od interesa za studente mogu se organizovati konsultacije, klubovi, dodatna nastava i izborni predmeti. Ovo se u potpunosti odnosi na problem problema sa parametrima.
§ 5. Obrazovna istraživanja u strukturi kognitivne aktivnosti školaraca
Trenutno se postavlja pitanje pripreme učenika koji nastoji da djeluje samostalno, mimo zahtjeva nastavnika, koji ne ograničava obim svojih interesovanja i aktivnog istraživanja na nastavni materijal koji mu se nudi, koji zna prezentirati i argumentovano brani svoje rješenje određenog problema, koji zna kako specificirati ili, obrnuto, generalizirati rezultat koji se razmatra, identificirati uzročno-posljedične veze, itd. U tom smislu, studije koje analiziraju osnove psihologije matematičke kreativnosti u školi -djeca uzrasta, ispituju problem upravljanja procesom mentalne aktivnosti učenika, formiranje i razvijanje njihovih vještina za samostalno sticanje znanja, primjenu znanja, dopunjavanje i sistematizaciju, problem povećanja aktivnosti kognitivne aktivnosti učenika (L.S. Vygotsky, P. Ya. Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L. Rubinstein, L.M. Friedman, itd.).
Istraživačka metoda nastave obuhvata dvije istraživačke metode: obrazovni i naučni.
Rješavanje značajnog dijela problema školskog predmeta matematike pretpostavlja da su učenici razvili takve kvalitete kao što su ovladavanje pravilima i algoritmima radnji u skladu sa aktuelnim programima i sposobnost sprovođenja osnovnih istraživanja. Istraživanje u nauci znači proučavanje predmeta u cilju utvrđivanja obrazaca njegovog nastanka i razvoja transformacije. U procesu istraživanja koriste se stečeno prethodno iskustvo, postojeća znanja, kao i metode i metode (tehnike) proučavanja objekata. Rezultat istraživanja treba da bude sticanje novih naučnih saznanja.
U primjeni na proces nastave matematike u srednjoj školi, važno je napomenuti sljedeće: glavne komponente obrazovnog istraživanja uključuju formulaciju istraživačkog problema, svijest o njegovim ciljevima, preliminarnu analizu dostupnih informacija o problematici koja se razmatra, uslovi i metode za rešavanje problema bliskih istraživačkom problemu, predlaganje i formulisanje početnih hipoteza, analiza i generalizacija rezultata dobijenih tokom istraživanja, verifikacija početne hipoteze na osnovu dobijenih činjenica, konačna formulacija novih rezultata, obrazaca, svojstava , određivanje mjesta pronađenog rješenja postavljenog problema u sistemu postojećih znanja. Glavno mjesto među objektima obrazovnog istraživanja zauzimaju oni koncepti i odnosi školskog predmeta matematike, u procesu proučavanja kojih se otkrivaju obrasci njihove promjene i transformacije, uslovi za njihovu realizaciju, jedinstvenost itd.
Ozbiljan potencijal u formiranju takvih istraživačkih vještina kao što su sposobnost ciljanog promatranja, upoređivanja, postavljanja, dokazivanja ili opovrgavanja hipoteze, sposobnost generalizacije, itd., imaju zadaci konstruiranja u kursu geometrije, jednadžbi i nejednačina sa parametrima u predmet algebre, tzv. dinamički zadaci, u procesu rješavanja kojih studenti ovladavaju osnovnim tehnikama mentalne aktivnosti: analiza, sinteza (analiza kroz sintezu, sinteza kroz analizu), generalizacija, specifikacija itd., svrsishodno posmatra objekte koji se mijenjaju. , postavlja i formuliše hipotezu o svojstvima predmeta koji se razmatra, testira postavljenu hipotezu, utvrđuje mesto naučenog rezultata u sistemu prethodno stečenog znanja, njegov praktični značaj. Organizacija obrazovnog istraživanja od strane nastavnika je od odlučujućeg značaja. Metode podučavanja mentalne aktivnosti, sposobnost izvođenja elemenata istraživanja - ovi ciljevi stalno privlače pažnju nastavnika, podstičući ga da pronađe odgovore na mnoga metodološka pitanja vezana za rješavanje problema koji se razmatra.
Proučavanje mnogih pitanja programa pruža odlične mogućnosti za stvaranje holističke i potpunije slike povezane sa razmatranjem određenog problema.
U procesu obrazovnog istraživanja sintetišu se znanje i iskustvo koje je student stekao u proučavanju matematičkih objekata. Od odlučujućeg značaja u organizovanju studentovog obrazovnog istraživanja je privlačenje njegove pažnje (prvo nevoljne, a zatim dobrovoljne), stvaranje uslova za posmatranje: obezbeđivanje duboke svesti, neophodnog odnosa studenta prema radu, predmetu proučavanja ("https:/ /site", 9).
U školskoj nastavi matematike postoje dva usko povezana nivoa obrazovnog istraživanja: empirijski i teorijski. Prvi karakteriše uočavanje pojedinačnih činjenica, njihova klasifikacija i uspostavljanje logičke veze između njih, proverljive iskustvom. Teorijski nivo obrazovnog istraživanja razlikuje se po tome što student kao rezultat formuliše opšte matematičke zakone na osnovu kojih se dublje tumače ne samo nove činjenice, već i one dobijene na empirijskom nivou.
Sprovođenje obrazovnog istraživanja zahtijeva od studenta da koristi i specifične metode, karakteristične samo za matematiku, i one opšte; analiza, sinteza, indukcija, dedukcija itd., koji se koriste u proučavanju predmeta i pojava različitih školskih disciplina.
Organizacija obrazovnog istraživanja od strane nastavnika je od odlučujućeg značaja. U primjeni na proces nastave matematike u srednjoj školi, važno je napomenuti sljedeće: glavne komponente obrazovnog istraživanja uključuju formulaciju istraživačkog problema, svijest o njegovim ciljevima, preliminarnu analizu dostupnih informacija o problematici koja se razmatra, uslovi i metode za rešavanje problema bliskih istraživačkom problemu, predlaganje i formulisanje početne hipoteze, analiza i generalizacija rezultata dobijenih tokom proučavanja, verifikacija početne hipoteze na osnovu dobijenih činjenica, konačna formulacija novih rezultata, obrazaca, svojstva, određivanje mjesta pronađenog rješenja postavljenog problema u sistemu postojećih znanja. Glavno mjesto među objektima obrazovnog istraživanja zauzimaju oni koncepti i odnosi školskog predmeta matematike, u procesu proučavanja kojih se otkrivaju obrasci njihove promjene i transformacije, uslovi za njihovu realizaciju, jedinstvenost itd.
Za obrazovna istraživanja prikladan je materijal koji se odnosi na proučavanje funkcija koje se izučavaju u predmetu algebra. Kao primjer, razmotrite linearnu funkciju.
Zadatak: Ispitati linearnu funkciju za parne i neparne. Savjet: Razmotrite sljedeće slučajeve:
2) a = 0 i b? 0;
3) a? 0 i b = 0;
4) a? 0 i b? 0.
Kao rezultat istraživanja, ispunite tabelu, naznačujući rezultat dobiven na sjecištu odgovarajućeg reda i stupca.
Kao rezultat rješenja, učenici bi trebali dobiti sljedeću tabelu:
paran i neparan | ||
odd | ni paran ni neparan |
Njegova simetrija izaziva osjećaj zadovoljstva i povjerenja u ispravnost punjenja.
Formiranje metoda mentalne aktivnosti igra značajnu ulogu kako u cjelokupnom razvoju školaraca, tako i kako bi im se usadile vještine provođenja obrazovnih istraživanja (općenito ili u fragmentima).
Rezultat obrazovnog istraživanja su subjektivno nova saznanja o svojstvima predmeta (odnosa) koji se razmatraju i njihovoj praktičnoj primjeni. Ova svojstva mogu, ali ne moraju biti uključena u srednjoškolski nastavni plan i program matematike. Važno je napomenuti da je novina rezultata aktivnosti učenika determinisana kako prirodom traženja načina sprovođenja aktivnosti, samim načinom aktivnosti, tako i mestom dobijenog rezultata u sistemu znanja. tog studenta.
Metoda podučavanja matematike korištenjem obrazovnih istraživanja naziva se istraživanje, bez obzira na to da li se shema obrazovnog istraživanja implementira u cijelosti ili u fragmentima.
Prilikom realizacije svake faze obrazovnog istraživanja nužno su prisutni elementi kako izvođačke tako i kreativne aktivnosti. To je najjasnije uočeno u slučaju da student samostalno izvodi određenu studiju. Takođe, tokom obrazovnog istraživanja neke etape može realizovati nastavnik, a druge učenik sam. Nivo samostalnosti zavisi od mnogih faktora, a posebno od nivoa formiranja, sposobnosti posmatranja određenog objekta (procesa), sposobnosti fokusiranja pažnje na isti predmet, ponekad dosta dugo, sposobnosti da se vidjeti problem, jasno i nedvosmisleno formulirati, sposobnost pronalaženja i korištenja prikladnih (ponekad neočekivanih) asocijacija, sposobnost koncentrirane analize postojećeg znanja radi odabira potrebnih informacija itd.
Također je nemoguće precijeniti utjecaj učenikove mašte, intuicije, inspiracije, sposobnosti (a možda i talenta ili genija) na uspjeh njegovih istraživačkih aktivnosti.
§ 6 . Istraživanje u sistemu nastavnih metoda
Više desetina fundamentalnih studija posvećeno je nastavnim metodama od kojih zavisi značajan uspjeh rada nastavnika i škole u cjelini. I, uprkos tome, problem nastavnih metoda, kako u teoriji nastave tako iu pedagoškoj praksi, ostaje vrlo aktuelan. Koncept nastavne metode je prilično složen. To je zbog izuzetne složenosti procesa koji ova kategorija treba da odražava. Mnogi autori nastavnu metodu smatraju načinom organizacije obrazovnih i kognitivnih aktivnosti učenika.
Riječ “metod” je grčkog porijekla i u prijevodu na ruski znači istraživanje, metoda. “Metoda – u najopštijem smislu – je način postizanja cilja, određeni način naređivanja aktivnosti.” Očigledno je da u procesu učenja metoda djeluje kao veza između aktivnosti nastavnika i učenika za postizanje određenih obrazovnih ciljeva. Sa ovog stanovišta, svaka nastavna metoda organski uključuje nastavni rad nastavnika (prezentacija, objašnjenje gradiva koje se proučava) i organizaciju aktivne obrazovne i kognitivne aktivnosti učenika. Dakle, koncept nastavne metode odražava:
1. Metode nastavnog rada nastavnika i metode vaspitno-obrazovnog rada učenika u njihovom međusobnom odnosu.
2. Specifičnosti njihovog rada za postizanje različitih ciljeva učenja. Dakle, nastavne metode su načini zajedničke aktivnosti nastavnika i učenika u cilju rješavanja problema učenja, odnosno didaktičkih zadataka.
Odnosno, nastavne metode treba shvatiti kao metode nastavnog rada nastavnika i organizaciju obrazovnih i kognitivnih aktivnosti učenika za rješavanje različitih didaktičkih zadataka usmjerenih na savladavanje gradiva koje se proučava. Jedan od akutnih problema savremene didaktike je problem klasifikacije nastavnih metoda. Trenutno ne postoji jedinstveno gledište po ovom pitanju. Zbog činjenice da različiti autori podjelu nastavnih metoda na grupe i podgrupe zasnivaju na različitim kriterijima, postoji niz klasifikacija. Ali 20-ih godina u sovjetskoj pedagogiji se vodila borba protiv metoda školske nastave i mehaničkog učenja napamet koje su cvjetale u staroj školi i tražilo se metodama koje bi osigurale svjesno, aktivno i kreativno stjecanje znanja učenika. U tim godinama učitelj B.V. Vieviatsky razvio je stav da u nastavi mogu postojati samo dvije metode: istraživačka metoda i metoda gotovog znanja. Metoda gotovih znanja, naravno, bila je kritikovana. Kao najvažnija nastavna metoda prepoznata je istraživačka metoda, čija se suština svodila na to da bi učenici trebali sve naučiti na osnovu posmatranja i analize pojava koje se proučavaju, samostalno prilazeći potrebnim zaključcima. Ista metoda istraživanja u učionici se možda neće primijeniti na sve teme.
Takođe, suština ove metode je u tome da nastavnik razlaže problematičan problem na podprobleme, a učenici sprovode pojedinačne korake kako bi pronašli njegovo rešenje. Svaki korak uključuje kreativnu aktivnost, ali još ne postoji holističko rješenje problema. Tokom istraživanja studenti ovladavaju metodama naučnog saznanja i razvijaju iskustvo u istraživačkim aktivnostima. Aktivnost učenika obučenih ovom metodom je da ovladaju tehnikama samostalnog postavljanja problema, pronalaženja načina za njihovo rješavanje, istraživačkih zadataka, postavljanja i razvijanja problema koje im nastavnici iznose.
Također se može primijetiti da psihologija uspostavlja neke obrasce s razvojnom psihologijom. Prije nego počnete raditi sa učenicima koristeći metode, potrebno je temeljito proučiti metode proučavanja njihove razvojne psihologije. Poznavanje ovih metoda može biti od praktične koristi direktno organizatorima ovog procesa, jer su ove metode pogodne ne samo za vlastita naučna istraživanja, već i za organiziranje dubinskog proučavanja djece u praktične obrazovne svrhe. Individualni pristup obuci i obrazovanju podrazumijeva dobro poznavanje i razumijevanje individualnih psiholoških karakteristika učenika i posebnosti njihove ličnosti. Shodno tome, nastavnik treba da ovlada sposobnošću proučavanja učenika, da ne vidi sivu, homogenu učeničku masu, već kolektiv u kojem svako predstavlja nešto posebno, individualno i jedinstveno. Takvo učenje je zadatak svakog nastavnika, ali ga ipak treba pravilno organizovati.
Jedna od glavnih metoda organizacije je metoda posmatranja. Naravno, psiha se ne može posmatrati direktno. Ova metoda uključuje indirektno poznavanje individualnih karakteristika ljudske psihe kroz proučavanje njegovog ponašanja. Odnosno, ovdje je potrebno suditi učenika prema individualnim karakteristikama (radnje, djela, govor, izgled itd.), psihičkom stanju učenika (procesi percepcije, pamćenja, razmišljanja, mašte itd.), te prema njegove osobine ličnosti, temperament, karakter. Sve je to neophodno učeniku sa kojim nastavnik radi koristeći istraživačku metodu nastave pri izvođenju nekih zadataka.
Rješavanje značajnog dijela problema školskog predmeta matematike pretpostavlja da su učenici razvili takve kvalitete kao što su vladanje pravilima i algoritmima djelovanja u skladu sa aktuelnim programima, te sposobnost izvođenja osnovnih istraživanja. Istraživanje u nauci znači proučavanje objekta radi utvrđivanja obrazaca njegovog nastanka, razvoja i transformacije. U procesu istraživanja koriste se stečeno prethodno iskustvo, postojeća znanja, kao i metode i metode (tehnike) proučavanja objekata. Rezultat istraživanja treba da bude sticanje novih naučnih saznanja. Metode podučavanja mentalne aktivnosti, sposobnost izvođenja elemenata istraživanja - ovi ciljevi stalno privlače pažnju nastavnika, podstičući ga da pronađe odgovore na mnoga metodološka pitanja vezana za rješavanje problema koji se razmatra. Proučavanje mnogih pitanja programa pruža odlične mogućnosti za stvaranje holističke i potpunije slike povezane s razmatranjem određenog zadatka. Istraživačka metoda nastave matematike se prirodno uklapa u klasifikaciju nastavnih metoda u zavisnosti od prirode aktivnosti učenika i stepena njihove kognitivne samostalnosti. Da bi uspješno organizirao studentovu istraživačku aktivnost, nastavnik mora razumjeti i uzeti u obzir kako njegove lične kvalitete, tako i proceduralne karakteristike ove vrste aktivnosti, kao i nivo studenta osposobljenosti za predmet koji se proučava. Nemoguće je precijeniti utjecaj učenikove mašte, intuicije, inspiracije i sposobnosti na uspjeh njegovih istraživačkih aktivnosti.
Oblici zadataka u metodi istraživanja mogu biti različiti. To mogu biti zadaci koji se mogu brzo riješiti na času i kod kuće ili zadaci koji zahtijevaju čitavu lekciju. Većina istraživačkih zadataka treba da budu mali zadaci pretraživanja koji zahtijevaju završetak svih ili većine koraka istraživačkog procesa. Njihovo cjelovito rješenje osigurat će da istraživačka metoda ispuni svoje funkcije. Faze istraživačkog procesa su sljedeće:
1 Ciljano posmatranje i poređenje činjenica i pojava.
Identifikacija nejasnih pojava koje treba istražiti.
Preliminarna analiza dostupnih informacija o pitanju koje se razmatra.
4. Propozicija i formulacija hipoteze.
5. Izrada plana istraživanja.
Implementacija plana, razjašnjavanje povezanosti fenomena koji se proučava sa drugima.
Formulisanje novih rezultata, obrazaca, svojstava, određivanje mesta pronađenog rešenja zadatog istraživanja u sistemu postojećih znanja.
Provjera pronađenog rješenja.
Praktični zaključci o mogućoj primjeni novih znanja.
§ 7 . Sposobnost istraživanja u sistemimaimamo posebna znanja
Vještina je svjesna primjena znanja i vještina učenika za izvođenje složenih radnji u različitim uslovima, odnosno za rješavanje relevantnih problema, jer izvođenje svake složene radnje za učenika djeluje kao rješenje problema.
Istraživačke vještine mogu se podijeliti na opće i specifične. Opće istraživačke vještine, do čijeg formiranja i razvoja dolazi u procesu rješavanja problema s parametrima, spadaju: sposobnost da se iza date jednačine sa parametrom vide različite klase jednačina, koje karakterizira zajedničko prisustvo broja i vrste korijenje; sposobnost korištenja analitičkih i grafičko-analitičkih metoda.
Posebne istraživačke vještine uključuju vještine koje se formiraju i razvijaju u procesu rješavanja određene klase problema.
Prilikom rješavanja linearnih jednadžbi koje sadrže parametar, formiraju se sljedeće posebne vještine:
§ Mogućnost identifikacije posebnih vrijednosti parametara na kojima data linearna jednačina ima:
Single root;
Beskonačan broj korijena;
3) nema korena;
Sposobnost tumačenja odgovora na jeziku originalnog zadatka. Posebne istraživačke vještine, čije se formiranje i razvoj događa u procesu rješavanja linearnih nejednačina koje sadrže parametar, uključuju:
§ Mogućnost sagledavanja koeficijenta nepoznatog i slobodnog člana kao funkcije parametra;
§ Mogućnost da se identifikuju posebne vrednosti parametara na kojima data linearna nejednakost ima kao rešenje:
1) Interval;
2) nema rješenja;
§ Sposobnost tumačenja odgovora na jeziku originalnog zadatka Posebne istraživačke vještine, čije se formiranje i razvoj dešava u procesu rješavanja kvadratnih jednačina koje sadrže parametar, uključuju:
§ Mogućnost identifikacije posebne vrijednosti parametra pri kojoj vodeći koeficijent postaje nula, tj. jednačina postaje linearna i pronalaženje rješenja rezultirajuće jednačine za identificirane posebne vrijednosti parametra;
§ Sposobnost rješavanja pitanja prisutnosti i broja korijena date kvadratne jednačine u zavisnosti od predznaka diskriminante;
§ Sposobnost izražavanja korijena kvadratne jednačine kroz parametar (ako je dostupan);
Među posebnim istraživačkim vještinama, čije se formiranje i razvoj događa u procesu rješavanja frakciono-racionalnih jednačina koje sadrže parametar koji se može svesti na kvadratne, uključuju:
§ Sposobnost redukcije razlomke racionalne jednačine koja sadrži parametar na kvadratnu jednačinu koja sadrži parametar.
Posebne istraživačke vještine, čije se formiranje i razvoj događa u procesu rješavanja kvadratnih nejednačina koje sadrže parametar, uključuju:
§ Mogućnost identificiranja posebne vrijednosti parametra pri kojoj vodeći koeficijent postaje nula, odnosno nejednakost postaje linearna i pronalaženje mnogih rješenja rezultirajuće nejednakosti za posebne vrijednosti parametra;
§ Sposobnost izražavanja skupa rješenja kvadratne nejednakosti kroz parametar.
U nastavku su navedene obrazovne vještine koje se prevode u podučavanje i istraživanje, kao i istraživačke vještine.
6−7 razred:
- brzo koristiti stara znanja u situaciji sticanja novih;
- slobodno prenositi kompleks mentalnih radnji s jednog materijala na drugi, s jednog subjekta na drugi;
distribuirati stečeno znanje na veliki skup objekata;
kombinuju proces „urušavanja“ i „razvijanja“ znanja;
svrsishodno sumirati ideje teksta isticanjem glavnih misli u njegovim segmentima i dijelovima;
sistematizuju i klasifikuju informacije;
— uporediti informacije o sistemima karakteristika, ističući sličnosti i razlike;
- umeju povezati simbolički jezik sa pisanim i usmenim govorom;
— analizirati i planirati metode za budući rad;
„povežite“ brzo i slobodno komponente novog znanja;
biti u stanju da sažeto iznese glavne misli i činjenice teksta;
- stiču nova znanja prelazeći od sistemoformirajućih znanja ka specifičnim uz pomoć dijagrama, tabela, bilješki itd.;
koristiti različite oblike snimanja tokom dugotrajnog procesa slušanja;
odabrati optimalna rješenja;
dokazati ili opovrgnuti korištenjem međusobno povezanih tehnika;
- koristiti različite vrste analiza i sinteza;
- razmotriti problem sa različitih tačaka gledišta;
— izraziti sud u obliku algoritma misli.
Matematičkom obrazovanju u procesima formiranja mišljenja ili mentalnog razvoja učenika treba dati i ima posebno mjesto, jer sredstva nastave matematike najefikasnije utiču na mnoge osnovne komponente holističke ličnosti i prije svega mišljenja.
Stoga se posebna pažnja poklanja razvoju mišljenja učenika, jer je upravo ono povezano sa svim ostalim mentalnim funkcijama: maštom, fleksibilnošću uma, širinom i dubinom misli itd. Napomenimo da, kada se razmatra razvoj mišljenja u kontekstu učenja usmjerenog na učenika, treba imati na umu da je neophodan uslov za realizaciju takvog razvoja individualizacija učenja. Upravo to osigurava da se uzmu u obzir karakteristike mentalne aktivnosti učenika različitih kategorija.
Put do kreativnosti je individualan. Istovremeno, svi učenici u procesu izučavanja matematike treba da osete njenu kreativnu prirodu, da se u procesu učenja matematike upoznaju sa nekim veštinama kreativnog delovanja koje će im biti potrebne u budućem životu i aktivnostima. Da bi se riješio ovaj složeni problem, nastava matematike mora biti strukturirana tako da učenik često traži nove kombinacije, transformišu stvari, pojave, procese stvarnosti i traži nepoznate veze između objekata.
Odličan način da se učenici uvedu u kreativnu aktivnost u nastavi matematike je samostalan rad u svim oblicima i manifestacijama. Vrlo je temeljna u tom pogledu izjava akademika P. L. Kapitsa da je samostalnost jedna od najosnovnijih osobina kreativne ličnosti, budući da se kultiviranje kreativnih sposobnosti kod čovjeka zasniva na razvoju samostalnog mišljenja.
Nivo pripremljenosti studenata i studijskih grupa za samostalnu kreativnu aktivnost može se utvrditi odgovorom na sljedeća pitanja:
Koliko efikasno školarci mogu koristiti bilješke, referentne bilješke i čitati dijagrame i različite vrste tabela?
Znaju li učenici objektivno ocijeniti predložene ideje prilikom rješavanja problemskog problema od strane nastavnika i uzeti u obzir mogućnost njihove primjene? 3) Koliko brzo školarci prelaze s jednog načina rješavanja problema na drugi? 4) Analizirati efikasnost usmeravanja učenika tokom časa na samoorganizovanje samostalnog rada; 5) Istražite sposobnost učenika da modeliraju i fleksibilno rješavaju probleme.
Poglavlje 2. Metodološka analiza teme „Jednačine i nejednačine sa parametrima“ i izrada izbornog predmeta „Kvadratne jednačine i nejednačine sa parametrom“
§ 1. Uloga I mjesto parametarski jednačine I nejednakosti u formaciji istraživanja vještinath studenata
Uprkos činjenici da se u srednjoškolskom nastavnom planu i programu matematike izričito ne pominju problemi sa parametrima, bilo bi pogrešno reći da se pitanje rješavanja zadataka sa parametrima ni na koji način ne obrađuje u školskom predmetu matematike. Dovoljno je prisjetiti se školskih jednačina: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, u kojima a, b, c, k nisu ništa drugo do parametri. Ali u okviru školskog predmeta pažnja se ne usmjerava na takav koncept, parametar, kako se on razlikuje od nepoznatog.
Iskustvo pokazuje da su problemi s parametrima najkompleksniji dio elementarne matematike u logičkom i tehničkom smislu, iako sa formalne tačke gledišta matematički sadržaj takvih zadataka ne prelazi okvire programa. To je uzrokovano različitim gledištima na parametar. S jedne strane, parametar se može posmatrati kao promenljiva, koja se smatra konstantnom vrednošću pri rešavanju jednačina i nejednačina; sa druge strane, parametar je veličina čija numerička vrednost nije data, ali se mora smatrati poznatom, i parametar može imati proizvoljne vrijednosti, tj. Parametar, budući da je fiksan, ali nepoznat broj, ima dvojaku prirodu. Prvo, pretpostavljena poznatost omogućava da se parametar tretira kao broj, a drugo, stepen slobode je ograničen njegovom nepoznatošću.
U svakom od opisa prirode parametara postoji nesigurnost – u kojim fazama rješenja se parametar može smatrati konstantom, a kada igra ulogu varijable. Sve ove kontradiktorne karakteristike parametra mogu kod učenika izazvati određenu psihološku barijeru na samom početku njihovog upoznavanja.
S tim u vezi, u početnoj fazi upoznavanja parametra, vrlo je korisno što češće pribjeći vizualnoj i grafičkoj interpretaciji dobivenih rezultata. Ovo ne samo da omogućava učenicima da prevaziđu prirodnu nesigurnost parametra, već i daje mogućnost nastavniku, paralelno, kao propedeutika, da nauči učenike da koriste grafičke metode dokazivanja prilikom rješavanja problema. Također ne treba zaboraviti da korištenje barem šematskih grafičkih ilustracija u nekim slučajevima pomaže u određivanju smjera istraživanja, a ponekad nam omogućava da odmah izaberemo ključ za rješavanje problema. Zaista, za određene vrste problema, čak i primitivni crtež, daleko od pravog grafa, omogućava izbjegavanje raznih vrsta grešaka i dobijanje odgovora na jednadžbu ili nejednakost na jednostavniji način.
Rešavanje matematičkih zadataka uopšte je najteži deo aktivnosti školaraca prilikom izučavanja matematike i to se objašnjava činjenicom da je za rešavanje zadataka potreban prilično visok nivo razvoja inteligencije najvišeg nivoa, odnosno teorijskog, formalnog i refleksivnog mišljenja i sl. razmišljanje, kao što je već napomenuto, još se razvija tokom adolescencije.
Državna budžetska obrazovna ustanova
Samara region srednje opšte obrazovanje
Škola br. 2 nazvana po. V. Maskina pruga Art. Klyavlino
Općinski okrug Klyavlinsky
Samara region
« Jednačine
I
nejednakosti
sa parametrima"
tutorial
Klyavlino
Tutorial
"Jednačine i nejednačine sa parametrima" za učenike 10–11 razreda
ovaj priručnik je dodatak programu izbornog predmeta „Jednačine i nejednačine sa parametrima“, koji je položio eksterni ispit (naučno-metodološko stručno vijeće Ministarstva prosvjete i nauke Samarske regije od 19. decembra 2008. preporučilo je za upotreba u obrazovnim institucijama Samarske regije)
Autori
Romadanova Irina Vladimirovna
nastavnik matematike u srednjoškolskoj ustanovi Klyavlinskaya
Škola br. 2 nazvana po. V. Maskina, Kljavlinski okrug, Samarska oblast
Serbaeva Irina Aleksejevna
Uvod………………………………………………………………………3-4
Linearne jednadžbe i nejednačine s parametrima……………..4-7
Kvadratne jednadžbe i nejednačine s parametrima……………7-9
Frakcijsko-racionalne jednadžbe s parametrima……………..10-11
Iracionalne jednačine i nejednačine sa parametrima……11-13
Trigonometrijske jednadžbe i nejednačine s parametrima.14-15
Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine sa parametrima………16-17
Logaritamske jednadžbe i nejednačine s parametrima......16-18
Ciljevi Jedinstvenog državnog ispita…………………………………………………………...18-20
Zadaci za samostalan rad……………………………21-28
Uvod.
Jednačine i nejednačine s parametrima.
Ako u jednadžbi ili nejednakosti nekim koeficijentima nisu date određene numeričke vrijednosti, već su označeni slovima, tada se nazivaju parametri, i sama jednadžba ili nejednakost parametarski.
Da biste riješili jednačinu ili nejednačinu s parametrima potrebno je:
Odaberite posebno značenje- ovo je vrijednost parametra u kojem ili prilikom prolaska kroz koji se mijenja rješenje jednadžbe ili nejednačine.
Definiraj važeće vrijednosti– to su vrijednosti parametra kod kojih jednačina ili nejednakost imaju smisla.
Rješavanje jednadžbe ili nejednakosti s parametrima znači:
1) odrediti pri kojim vrijednostima parametara postoje rješenja;
2) za svaki dozvoljeni sistem vrednosti parametara pronaći odgovarajući skup rešenja.
Jednačinu s parametrom možete riješiti koristeći sljedeće metode: analitičke ili grafičke.
Analitička metoda uključuje zadatak proučavanja jednačine razmatranjem nekoliko slučajeva, od kojih se nijedan ne može propustiti.
Rješavanje jednadžbi i nejednačina sa parametrima svake vrste analitičkom metodom podrazumijeva detaljnu analizu situacije i konzistentno istraživanje, pri čemu se javlja potreba "pažljivo rukovanje" sa parametrom.
Grafička metoda uključuje konstruiranje grafa jednadžbe, iz kojeg se može odrediti kako promjena parametra utječe na rješenje jednačine, respektivno. Grafikon vam ponekad omogućava da analitički formulirate potrebne i dovoljne uvjete za rješavanje problema. Metoda grafičkog rješenja je posebno efikasna kada trebate ustanoviti koliko korijena ima jednačina u zavisnosti od parametra i ima nesumnjivu prednost što se to jasno vidi.
§ 1. Linearne jednačine i nejednačine.
Linearna jednadžba A x = b , napisan u opštem obliku, može se posmatrati kao jednačina sa parametrima, gde x – nepoznato , a , b - opcije. Za ovu jednačinu, posebna ili kontrolna vrijednost parametra je ona pri kojoj koeficijent nepoznate postaje nula.
Prilikom rješavanja linearne jednadžbe s parametrom razmatraju se slučajevi kada je parametar jednak svojoj posebnoj vrijednosti i različit od nje.
Posebna vrijednost parametra a je vrijednost A = 0.
b = 0 je posebna vrijednost parametra b .
At b ¹ 0 jednačina nema rješenja.
At b = 0 jednačina će poprimiti oblik: 0x = 0. Rješenje ove jednačine je bilo koji realan broj.
Nejednakosti oblika ah > b I sjekira < b (a ≠ 0) nazivaju se linearne nejednačine. Skup rješenja nejednakosti ah >b– interval
(; +
),
Ako a
> 0
, And (-;)
, Ako A< 0
. Slično za nejednakost
Oh<
b
skup rješenja - interval(-;),
Ako a
> 0,
I (; +),
Ako A< 0.
Primjer 1. Riješite jednačinu sjekira = 5
Rješenje: Ovo je linearna jednačina.
Ako a = 0, zatim jednadžba 0 × x = 5 nema rješenje.
Ako A¹ 0, x =- rješenje jednačine.
Odgovori: at A¹ 0, x=
za a = 0 nema rješenja.
Primjer 2. Riješite jednačinu sjekira – 6 = 2a – 3x.
Rješenje: Ovo je linearna jednadžba, sjekira – 6 = 2a – 3x (1)
ax + 3x = 2a +6
Prepisivanje jednačine kao (a+3)x = 2(a+3), razmotrite dva slučaja:
a= -3 I A¹ -3.
Ako a= -3, zatim bilo koji realan broj X je korijen jednačine (1). Ako A¹ -3 , jednačina (1) ima jedan korijen x = 2.
odgovor: At a = -3, x 
R
;
at A
¹
-3, x = 2.
Primjer 3. Na kojim vrijednostima parametara A među korijenima jednačine
2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 ima više korijena 1 ?
Rješenje: Hajde da riješimo jednačinu 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0– linearna jednačina
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(a - 2) x = (a – 2) 2
At a = 2 rješavanje jednačine 0x = 0 bit će bilo koji broj, uključujući onaj veći od 1.
At A¹
2 x = 
.
Po uslovu x > 1, to je >1 i >4.
odgovor: At A (2) U (4;∞).
Primjer 4 . Za svaku vrijednost parametra A pronaći broj korijena jednadžbe ah=8.
Rješenje. sjekira = 8– linearna jednačina.
y = a– porodica horizontalnih linija;
y = - Graf je hiperbola. Napravimo grafove ovih funkcija.
Odgovor: Ako a =0, tada jednačina nema rješenja. Ako a ≠ 0, tada jednačina ima jedno rješenje.
Primjer 5 . Pomoću grafikona saznajte koliko korijena ima jednačina:
|x| = ah – 1.
y =| x | ,
y = ah – 1– grafik je prava linija koja prolazi kroz tačku (0;-1).
Napravimo grafove ovih funkcija.
Odgovor: Kada |a|>1- jedan koren
at | a|≤1 – jednačina nema korijena.
Primjer 6 . Riješite nejednakost sjekira + 4 > 2x + a 2
Rješenje
:
sjekira + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >A
2
– 4. Razmotrimo tri slučaja.
Odgovori. x > a + 2 at a > 2; X<а + 2, at A< 2; at a=2 nema rješenja.
§ 2. Kvadratne jednačine i nejednačine
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika Oh ² + b x + c = 0 , Gdje a≠ 0,
A, b , With - opcije.
Da biste riješili kvadratne jednadžbe s parametrom, možete koristiti standardne metode rješenja koristeći sljedeće formule:
1
)
diskriminanta kvadratne jednadžbe:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ac)
2)
formule za korijene kvadratne jednadžbe:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
Kvadratne nejednakosti se nazivaju
a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)
a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)
Skup rješenja nejednačine (3) dobiva se kombiniranjem skupova rješenja nejednačine (1) i jednadžbe , a X 2 + b x + c = 0. Slično se može naći i skup rješenja nejednakosti (4).
Ako je diskriminant kvadratnog trinoma
a
X
2
+
b
x + c
je manji od nule, tada je za a > 0 trinom pozitivan za sve x R.
Ako kvadratni trinom ima korijen (x 1
< х
2
), tada je za a > 0 pozitivan na skupu(-;
x 2 )
(X 2;
+)
i negativan na intervalu
(x 1; x 2 ). Ako a< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) i negativan za sve x (-;
x 1 )(X 2;
+).
Primjer 1. Riješite jednačinu ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
Ovo je kvadratna jednadžba
Rješenje: Posebno značenje a = 0.
At a = 0 dobijamo linearnu jednačinu 2x – 4 = 0. Ima jedan korijen x = 2.
At a ≠ 0. Hajde da nađemo diskriminanta.
D = (a-1)² + 4a = (a+1)²
Ako a = -1, To D = 0 - jedan koren.
Pronađimo korijen zamjenom a = -1.
-x² + 4x – 4= 0, to je x² -4x + 4 = 0, nalazimo to x=2.
Ako a ≠ - 1, To D
>0
. Koristeći formulu korijena dobijamo:x= 
;
X 1 =2, x 2 = -.
odgovor: At a=0 i a= -1 jednadžba ima jedan korijen x = 2; at a ≠ 0 i
A ≠ - 1 jednadžba ima dva korijenaX 1 =2, x 2 =-.
Primjer 2. Pronađite broj korijena ove jednadžbe x²-2x-8-a=0 ovisno o vrijednostima parametara A.
Rješenje. Prepišimo ovu jednačinu u obliku x²-2x-8=a
y = x²-2x-8- graf je parabola;
y =a- porodica horizontalnih linija.
Napravimo grafove funkcija.
Odgovor: Kada A<-9 , jednačina nema rješenja; kada je a=-9, jednačina ima jedno rješenje; at a>-9, jednačina ima dva rješenja.
Primjer 3. Na šta A nejednakost (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 vrijedi za sve vrijednosti x?
Rješenje. Kvadratni trinom je pozitivan za sve vrijednosti x if
a-3 > 0 i D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
odakle to sledia
> 6
.
Odgovori.a > 6
§ 3. Frakcionalne racionalne jednadžbe sa parametrom,
svodiv na linearnu
Proces rješavanja frakcijskih jednadžbi provodi se prema uobičajenoj shemi: razlomak se zamjenjuje cijelim brojem množenjem obje strane jednadžbe sa zajedničkim nazivnikom njene lijeve i desne strane. Nakon čega se rješava cijela jednačina, isključujući strane korijene, odnosno brojeve koji imenilac pretvaraju u nulu.
U slučaju jednačina sa parametrom, ovaj problem je složeniji. Ovdje je, da bi se „eliminirali“ strani korijeni, potrebno pronaći vrijednost parametra koji pretvara zajednički nazivnik na nulu, odnosno riješiti odgovarajuće jednadžbe za parametar.
Primjer 1.
Riješite jednačinu 
= 0
Rješenje: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
odgovor: At a ≠ - 2, x=a
At a = -2 nema korena.
Primjer 2
.
Riješite jednačinu 
- 
= 
(1)
Ovo je frakciona racionalna jednačina
Rješenje: Značenje a = 0 je poseban. At a = 0 jednadžba nema smisla i stoga nema korijen. Ako a ≠ 0, tada će nakon transformacije jednadžba poprimiti oblik: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- kvadratna jednačina.
Hajde da nađemo diskriminanta 
= (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4,
pronađite korijene jednačineX
1
= a + 1, x
2
= a - 3.
Prilikom prelaska sa jednačine (1) na jednačinu (2), proširio se domen definicije jednačine (1), što bi moglo dovesti do pojave stranih korijena. Stoga je verifikacija neophodna.
Ispitivanje. Isključimo iz pronađenih vrijednosti X one u kojima
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
Ako X 1 +1=0, to je (a+1) + 1= 0, To a= -2. dakle,
at a= -2 , X 1 -
Ako X 1 +2=0, to je (a+1)+2=0, To a = - 3. Dakle, kada a = - 3, x 1 - vanjski korijen jednadžbe. (1).
Ako X 2 +1=0, to je (a – 3) + 1= 0, To a = 2. Dakle, kada a = 2 x 2 - vanjski korijen jednačine (1).
Ako X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0, To a=1. Dakle, kada a = 1,
X 2 - vanjski korijen jednačine (1).
U skladu sa ovim, kada a = - 3 dobijamo x = - 3 – 3 = -6;
at a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
at a = 1 x =1 + 1= 2;
at a = 2 x = 2+1 = 3.
Možete zapisati odgovor.
odgovor: 1) ako a= -3, To x= -6; 2) ako a= -2, To x= -5; 3) ako a= 0, tada nema korijena; 4) ako a= 1, To x=2; 5) ako a=2, To x=3; 6) ako a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, zatim x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4. Iracionalne jednačine i nejednačine
Pozivaju se jednadžbe i nejednačine u kojima se varijabla nalazi pod predznakom korijena iracionalno.
Rješavanje iracionalnih jednadžbi svodi se na prelazak s iracionalne na racionalnu jednadžbinu eksponencijalnošću obje strane jednačine ili zamjenom varijable. Kada se obje strane jednačine podignu na parni stepen, mogu se pojaviti strani korijeni. Stoga, kada koristite ovu metodu, trebali biste provjeriti sve pronađene korijene tako što ćete ih zamijeniti u originalnu jednadžbu, uzimajući u obzir promjene u vrijednostima parametara.
Jednačina oblika 
=g (x) je ekvivalentan sistemu 
Nejednakost f (x) ≥ 0 proizlazi iz jednačine f (x) = g 2 (x).
Prilikom rješavanja iracionalnih nejednakosti koristit ćemo sljedeće ekvivalentne transformacije:
≤ g(x) 
≥g(x) 
Primjer 1.
Riješite jednačinu 
= x + 1 (3)
Ovo je iracionalna jednadžba
Rješenje:
Po definiciji aritmetičkog korijena, jednačina (3) je ekvivalentna sistemu 
.
At a = 2 prva jednačina sistema ima oblik 0 x = 5, odnosno nema rješenja.
At a≠ 2 x= 
.
Hajde da saznamo na kojim vrednostimaA
pronađena vrijednostX
zadovoljava nejednakostx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
gdje a ≤ ili a > 2.
odgovor: At a≤, a > 2 x= ,
at < а ≤ 2
jednačina nema rješenja.
Primjer 2.
Riješite jednačinu 
= a
(Dodatak 4)
Rješenje. y
=
y = a– porodica horizontalnih linija.
Napravimo grafove funkcija.
Odgovori: at A<0 – nema rješenja;
at A≥ 0 - jedno rešenje.
Primjer 3
. Hajde da riješimo nejednakost(a+1) 
<1.
Rješenje. O.D.Z. x ≤ 2. Ako a+1 ≤0, tada nejednakost vrijedi za sve dopuštene vrijednosti X. Ako a+1>0, To
(a+1) <1.<
gdje X (2- 
2
Odgovori.
X (- ;2at a (-;-1,
X (2- 2
at A
(-1;+).
§ 5. Trigonometrijske jednačine i nejednačine.
Evo formula za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:
Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Ako
>1, tada jednačine (1) i (2) nemaju rješenja.
tan x = a x= arctan a + πn, n Z,a R
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z,a R
Za svaku standardnu nejednačinu označavamo skup rješenja:
1.
sin x > a arcsin a + 2 πn
Z,
at a
<-1,
x R
;
at a
≥ 1,
nema rješenja.
2. . sin x< a π - arcsin a + 2 πnZ,
za a≤-1, nema rješenja; za a > 1,x R
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
at A<-1,
x R
; at a
≥ 1
, nema rješenja.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
at a≤-1
, nema rješenja; ata
> 1,
x
R
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
Primjer 1. Nađi A, za koje ova jednadžba ima rješenje:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Rješenje. Zapišimo jednačinu u formu
Withos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, rješavajući ga kao kvadrat, dobijamo cosx = 5-A I cosx = -a-1.
Jednačina cosx
= 5-
A
ima rješenja -1≤ 5-A
≤1
4≤
A≤ 6, a jednad. cosx
= -
a-1
pod uvjetom -1≤ -1-A
≤ 1
-2 ≤
A
≤0.
Odgovori.
A
-2; 0 4; 6
Primjer 2.
Na šta bpostoji takva da je nejednakost 
+
b> 0 važi za sve x ≠πn
,
n
Z
.
Rješenje. Hajde da stavimo A= 0. Nejednakost vrijedi za b >0. Pokažimo sada da nijedan b ≤0 ne zadovoljava uslove problema. Zaista, dovoljno je staviti x = π /2, Ako A <0, и х = - π /2 at A ≥0.
Odgovori.b>0
§ 6. Eksponencijalne jednačine i nejednačine
1. Jednačina h(x)
f ( x )
=
h(x)
g ( x) at h(x) > 0 je ekvivalentno kolekciji od dva sistema 
I 
2. U posebnom slučaju (h (x)= a ) jednačina A f(x) = A g(x) na A> 0, ekvivalentno je kolekciji dva sistema
I 
3. Jednačina A f(x) = b , Gdje A > 0, a ≠1, b>0, što je ekvivalentno jednačini
f (x )= log a b. Dešava se A=1 se razmatraju odvojeno.
Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednakosti zasniva se na svojstvu snage. Nejednakost oblikaf(a
x ) > 0 koristeći promjenu varijablet=
a
x svodi na rješavanje sistema nejednakosti 
a zatim na rješavanje odgovarajućih jednostavnih eksponencijalnih nejednačina.
Prilikom rješavanja nestroge nejednačine potrebno je skupu rješenja stroge nejednakosti dodati korijene odgovarajuće jednadžbe. Kao i kod rješavanja jednadžbi u svim primjerima koji sadrže izraz A f (x), pretpostavljamo A> 0. Slučaj A= 1 se razmatraju odvojeno.
Primjer 1
.
Na šta A jednačina 8 x = 
ima samo pozitivne korene?
Rješenje.
Po svojstvu eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan, imamo x>0 8
X >1 >1
>0, odaklea
(1,5;4).
Odgovori.
a
(1,5;4).
Primjer 2. Riješite nejednakost a 2 ∙2 x > a
Rješenje. Razmotrimo tri slučaja:
1.
A< 0
. Budući da je lijeva strana nejednakosti pozitivna, a desna negativna, nejednakost vrijedi za bilo koji x R.
2. a=0. Nema rješenja.
3.
A
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > -log 2
a
Odgovori.
X R at A
> 0; nema rješenja za
a
=0; X (-
log 2
a; +) ata> 0
.
§ 7. Logaritamske jednačine i nejednačine
Predstavimo neke ekvivalencije koje se koriste u rješavanju logaritamske jednačine i nejednačine.
1. Jednačina log f (x) g (x) = log f (x) h (x) je ekvivalentna sistemu
Konkretno, ako A >0, A≠1, onda
log a
g(x)=log a
h(x) 
2.
Jednačina log a
g(x)=b g(x)=a
b (
A
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Nejednakost log f ( x )
g (x) ≤
log f ( x )
h(x) je ekvivalentno kombinaciji dva sistema: 
I 
ako a, b su brojevi, a >0, a ≠1, onda
log a
f(x) ≤ b 
log a
f(x)>b 
Primjer 1.
Riješite jednačinu 
Rješenje. Nađimo ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Transformirajte jednačinu
log 
x – 2 = 4 – log a
x log x + log a
x– 6 = 0, odakle log a
x = - 3
x = A-3 i log a
x = 2
x = A 2. Uslov x = A
4
A
– 3
=
A 4 ili A
2
=
A
4
se ne izvodi na ODZ.
odgovor: x = A-3, x = A 2 at A
(0; 1) 
(1; ).
Primjer 2 . Pronađite najveću vrijednost A, za koje je jednadžba
2
log 
-
+
a
= 0 ima rješenja.
Rješenje.
Napravićemo zamjenu =
ti dobijamo kvadratnu jednačinu 2t 2
–
t +
a
= 0. Rješavanje, nalazimoD = 1-8
a
. Hajde da razmotrimo D≥0, 1-8
A
≥0 
A
≤.
At A = kvadratna jednadžba ima korijent= >0.
Odgovori. A =
Primjer 3 . Riješite nejednakostlog(x 2 – 2 x + a ) > - 3
Rješenje.
Hajde da rešimo sistem nejednačina 
Korijeni kvadratnih trinoma x 1,2
= 1 ± 
njihov 3,4
= 1 ± 
.
Vrijednosti kritičnih parametara: A= 1 i A= 9.
Neka su X 1 i X 2 skupovi rješenja prve i druge nejednačine
X 1 
X 2
= X – rješenje izvorne nejednačine.
U 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), atA> 1 X 1 = (-;+).
U 0<
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), atA≥9 X 2 – nema rješenja.
Razmotrimo tri slučaja:
1. 0<
a
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a≥ 9 X – nema rješenja.
Ciljevi Jedinstvenog državnog ispita
Visok nivo C1, C2
Primjer 1. Pronađite sve vrijednosti R, za koje je jednadžba
R ∙ ctg 2x+2sinx+ str= 3 ima barem jedan korijen.
Rješenje. Hajde da transformišemo jednačinu
R ∙ (
- 1) + 2sinx + str= 3, sinx =t, t 
,t 
0.
-
str+2t+ str
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = str
.
Neka f(y) = 3
t 2
– 2
t 3
. Nađimo skup vrijednosti funkcijef(x) uključeno 
. at /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
At t ,
E(f) =
,
At t ,
E(f) =
, odnosno kada t ,
E(f) =
.
Za jednačinu 3t 2
– 2
t 3
=
str
(dakle dato) je imao barem jedan korijen potreban i dovoljanstr
E(f), to je str
.
Odgovori.
.
Primjer 2.
Na kojim vrijednostima parametaraA jednačina log 
(4
x 2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 ima tačno jedan korijen?
Rješenje. Hajde da transformišemo jednačinu u jednu ekvivalentnu ovoj:
4x 2 – 4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
Imajte na umu da ako je određeni broj x korijen rezultirajuće jednačine, onda je broj – x također korijen ove jednačine. Po uslovu, to nije izvodljivo, pa je jedini korijen broj 0.
Naći ćemo A.
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Ispitivanje.
1)
a
1
= 1. Tada jednačina izgleda ovako:log (4
x 2
+4) =2. Hajde da to rešimo
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 je jedini korijen.
2)
a
2
= 3. Jednačina izgleda ovako:log (4
x 2
+4) =2 x = 0 je jedini korijen.
Odgovori. 1; 3
Visok nivo C4, C5
Primjer 3. Pronađite sve vrijednosti R, za koje jednačina
x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 ima cjelobrojne korijene i ovi korijeni su rješenja nejednakosti: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.
Rješenje.
Neka x 1,
X 2
– cjelobrojni korijeni jednačine x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0. Tada su, prema Vietovoj formuli, jednakosti x 1
+ x 2
=
R
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. Proizvod dva cijela broja x 1
, X 2
može biti jednako jedan samo u dva slučaja: x 1
= x 2
= 1 ili x 1
= x 2
= - 1. Ako je x 1
= x 2
= 1, ondaR
+ 3 = 1+1 = 2R
= - 1; ako je x 1
= x 2
= - 1, ondaR
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 R
= - 5. Provjerimo da li su korijeni jednadžbe x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0 u opisanim slučajevima rješenjima ove nejednakosti. Za tu prilikuR
= - 1, x 1
= x 2
= 1 imamo
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – tačno; za tu priliku R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 imamo (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – tačno. Dakle, ispunjeni su samo uslovi problema R= - 1 i R = - 5.
Odgovori.R 1 = - 1 i R 2 = - 5.
Primjer 4. Pronađite sve pozitivne vrijednosti parametra A, za koji broj 1 pripada domeni definicije funkcije
at
= (A 
-
A 
).
klasa: 11
Ciljevi:
edukativni:
- sistematizuju i generalizuju znanja o rešavanju jednačine sa parametrom;
- pokazati osnovne tehnike za rješavanje ovakvih jednačina.
razvojni: proširiti i produbiti proučavanje različitih tehnika za rješavanje jednadžbi s parametrom.
edukativni: pokazuju značaj zavisnosti odgovora u problemu sa parametrom od izabrane vrednosti parametra.
Korištene nastavne metode - njihova primjena.
- Objašnjavajuće i ilustrativno.
- Generalizacije, analogije i poređenja.
- UDE – kreiranje ključnih zadataka, analogija slika u avionu.
- Integrisano - algebarsko preslikavanje i geometrijske interpretacije, slajdovi.
Formiranje opšteobrazovnih veština:
- Identifikacija bitnih karakteristika objekata koji se proučavaju;
- Razvoj praktičnih vještina;
- Metode koje se koriste za rad sa publikom: rad u načinu dijaloga;
- Psihološki aspekti lekcije;
- Stvaranje ugodne radne atmosfere;
- Podsticanje aktivnog dijaloga.
Tokom nastave
Uvod. Uvodni govor nastavnika.
Jednačine su postale uobičajeni dio opcija prijemnog ispita za USE.
Jednačine sa parametrom uzrokuju ozbiljne logičke poteškoće.
Svaka takva jednadžba je u suštini kratka verzija porodice jednačina. Jasno je da je nemoguće zapisati svaku jednačinu iz beskonačne porodice, ali ipak, svaka od njih mora biti riješena. Stoga postoji potreba za razmatranjem sistema pojmova i traženjem metoda za rješavanje jednačina sa parametrima (linearnim, racionalnim, itd.)
Neka je data jednačina F(x;a) = 0. Ako parametru damo neku fiksnu vrijednost, onda se ova jednačina može smatrati „običnom“ jednačinom s jednom promjenljivom.
Postavimo zadatak: Saznajte kakva bi situacija mogla biti s odabranom vrijednošću parametra?
Rad sa učenicima u dijalogu.
Istaknimo glavne probleme:
- Uspostaviti osnovne koncepte jednadžbi sa parametrima.
- Za svaku vrstu jednadžbi u školskom kursu matematike uspostaviti opšti metod za rešavanje odgovarajućih jednačina sa parametrima - isti za jedan i za dva parametra.
- Razmotrimo primjere zadataka za proučavanje jednačina.
- Što je određivanje broja korijena jednadžbi.
- Pronalaženje zajedničkog korijena dvije jednačine - koja je njegova suština?
- Geometrijske interpretacije.
Ifaza – rješavanje prvog problema.
Interaktivan rad sa studentima.
Koja pitanja ćete postaviti sebi da biste uspostavili osnovne koncepte?
|
Pojavljuje se slajd i sažetak
U problemima tipa II potrebno je pronaći sve vrijednosti parametara pri kojima su ispunjeni određeni specificirani uvjeti. |
Na primjer.
1) Riješite jednačinu a (a – 1) = a – 1.
Rješenje. Pred nama je linearna jednadžba koja ima smisla za sve dozvoljene vrijednosti a. Riješit ćemo to "kao i obično": obje strane jednačine podijelimo koeficijentom nepoznate. Ali da li je podela uvek moguća?
Ne možete dijeliti sa nulom. Morat ćemo posebno razmotriti slučaj kada je koeficijent nepoznate jednak o. Dobijamo:
Odgovor: 1) ako je a 0, a 1, onda je x = ;
2) ako je a = 1, tada je x bilo koji broj;
3) ako je a = 0, onda nema korijena.
2) Riješite jednačinu (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0.
Rješenje. Razmotrimo dva slučaja:
Razmotrimo diskriminanta: D = (2a – 1) 2 – (a – 1)(4a + 3) = - 3a + 4.
Ako je a, onda je x 1,2 = 
.
Odgovor: 1) ako je a > , onda nema korijena;
2) ako je a = 1, onda je x = - 3,5;
3) ako su a i a1, tada je x 1,2 = 
.
IIfaza – rješavanje drugog problema.
Razmotrimo način klasifikacije parcijalnih jednačina koristeći model općih rješenja.
Pojavljuje se slajd.
Na primjer. U racionalnoj jednačini 
funkcija f 1 (a) = je opće rješenje za one vrijednosti parametara za koje 
. Zbog
opšte rešenje jednačine na A f1 = ).
Funkcija f 2 (a) = je opšte rješenje jednadžbe na skupu A f2 = .
Konstruirajmo model općih rješenja u sljedećem obliku
Na modelu izdvajamo sve vrste parcijalnih jednačina: 
; 
; 
.
Dakle, osnovni koncepti jednadžbi s parametrima razmatraju se na primjerima: raspon dozvoljenih vrijednosti; domena; opšta rješenja; kontrolne vrijednosti parametara; vrste parcijalnih jednačina.
Na osnovu uvedenih parametara definišemo opštu šemu za rešavanje bilo koje jednadžbe F(a;x) = 0 sa parametrom a (za slučaj dva parametra shema je slična):
- utvrđuju se raspon dozvoljenih vrijednosti parametra i opseg definicije;
- određuju se kontrolne vrijednosti parametra, dijeleći područje dopuštenih vrijednosti parametra na regije sličnosti parcijalnih jednačina;
- za kontrolne vrijednosti parametra, odgovarajuće parcijalne jednadžbe se proučavaju zasebno;
- opšta rješenja x = f 1 (a), ..., f k (a) jednačine F(a;x) = 0 nalaze se na odgovarajućim skupovima A f1, ......, A fk vrijednosti parametara ;
- model općih rješenja i vrijednosti kontrolnih parametara sastavlja se u sljedećem obliku (na slajdu);
- model identifikuje intervale vrednosti parametara sa identičnim rešenjima (područja uniformnosti);
- za kontrolne vrijednosti parametra i odabrana područja ujednačenosti bilježe se karakteristike svih tipova pojedinih rješenja.
III faza – primjeri zadataka za proučavanje jednačina.
Pogledajmo primjere rješavanja problema sa parametrima tipa 2.
Posebno su česti problemi koji uključuju lokaciju korijena kvadratne jednadžbe. Prilikom njihovog rješavanja dobro funkcioniraju grafičke ilustracije. Položaj korijena u odnosu na date tačke na ravni je određen smjerom grana odgovarajuće parabole, koordinatama vrha, kao i vrijednostima u datim tačkama.
Na primjer.
1) Za koje vrijednosti parametra a jednadžba (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 ima dva korijena, od kojih je jedan veći od 1, a osim manje od 1?
Rješenje. Neka je f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. Pošto je a 2 + a + 1 >0, onda je za kvadratnu funkciju f(x) uslov problema može biti ispunjen samo pod uslovom f (x)< 1.
Rješavanje nejednačine f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Odgovori: -2 - < а < - 2 + .
2) Na kojim vrijednostima parametaram korijena jednadžbe (m – 1)x 2 – 2mx +m + 3 = 0 pozitivno?
Rješenje. Neka je f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 onda:
1) ako je m = 1, tada je -2x + 4 = 0, x = 2 - korijen je pozitivan;
2) ako je m 1, onda pomoću slike možete dobiti sljedeće odnose: 
Razmotrimo 2 slučaja:
1) ako je 1,5 m > 0, onda iz nejednačina 2 i 3 poslednjeg sistema dobijamo da je m > 1, tj. konačno 1,5 m > 1;
2) ako m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 dobijamo taj m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Odgovori: m (-; -3)
IVfaza - razmotriti zadatak utvrđivanja broja korijena jednačine.
Primjer 1. Na kojim vrijednostima parametra, a jednadžba 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 nema korijena.
Rješenje. Neka je y = cosh, tada će originalna jednadžba imati oblik 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0, čiji su korijeni y 1 = a, y 2 = 4.5. Jednačina cosh = 4,5 nema korijena, a jednačina cosh = a nema korijena ako je > 1.
Odgovori: (- ; -1) (1; ).
Primjer 2.
Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje je jednadžba 
nema korena.
Rješenje. Ova jednačina je ekvivalentna sistemu: 
.
Jednačina nema rješenja u dva slučaja: a = i
Primjer 3
. Na kojim vrijednostima parametra a radi jednačina 
ima jedno rešenje?
Rješenje. Rješenje jednadžbe može biti jedinstveno samo ako je x = 0. Ako je x = 0, tada je a 2 -1 = 0 i a = 1.
Razmotrimo 2 slučaja:
1) ako je a = 1, tada je x 2 - = 0 – tri korijena;
2). Ako je a = -1, tada je x 2 + = 0, x = 0 jedini korijen.
Primjer 4. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba ima 2 korijena?
Rješenje. Ova jednačina je ekvivalentna sistemu: . Hajde da saznamo kada kvadratna jednadžba x 2 – x – a = 0 ima 2 nenegativna korijena.
Rezultirajuća jednačina ima dva korijena ako je 1+ 4a > 0; oni su nenegativni ako
0 > a > - .
Odgovori: (- ; 0] .
U mnogim slučajevima, kada se utvrđuje broj korijena jednadžbe, simetrija je bitna.
Vfaza - pronalaženje zajedničkog korijena dvije jednačine.
Primjer 1. Pri kojim vrijednostima parametra a jednačine x 2 + 3x + 7a -21 =0 i x 2 +6x +5a -6 =0 imaju zajednički korijen?
Rješenje. Isključimo parametar a iz rezultirajućeg sistema. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -5, drugu sa 7 i dodajte rezultate. Dobijamo: 2x 2 + 27x +63 = 0, čiji su korijeni x 1 = -3, x 2 = -10,5. Zamijenimo korijene u jednu od jednadžbi i pronađemo vrijednost parametra a.
Odgovori: 3 i – 8.25.
Primjer 2. Za koje vrijednosti parametra a su jednadžbe x 2 – ax + 2 = 0 i 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 ekvivalentne?
Rješenje. Kao što znate, jednadžbe su ekvivalentne ako se mnogi njihovi korijeni poklapaju. Razmotrimo 2 slučaja.
1) Jednačine nemaju korijene (skup korijena je prazan). Tada su njihovi diskriminanti negativni:
Sistem nejednakosti nema rješenja.
2) Jednačine imaju zajedničke korijene. Onda 
Prema tome, ove jednadžbe mogu imati zajedničke korijene samo kada je a = 3 ili a = .
Provjerite sami!
VIpozornica – geometrijske interpretacije.
Rješavanje problema s parametrima može znatno olakšati korištenje grafova.
Primjer 1
. Riješite jednačinu u zavisnosti od parametra a: 
.
Rješenje. Jasno je da za 0:
Jesu li svi korijeni prikladni? Da saznamo, nacrtajmo funkciju a =.
Broj korijena može se vidjeti na slici:
- ako a< 0, то корней нет;
- ako je a = 0 i a > 0, tada postoje 2 korijena.
Hajde da pronađemo ove korene.
Kada je a = 0 dobijamo x 2 – 2x – 3 = 0 i x 1 = -1, x 2 = 3; za a > 4 to su korijeni jednadžbe x 2 – 2x – 3 – a = 0.
Ako je 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Ako je a = 4 – tri korijena:
Odgovori: 1) ako a< 0, то корней нет;
2) ako je a = 0, onda je x 1 = -1, x 2 = 3;
3) ako je 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) ako je a = 4, onda je x 1 = 1; x 2,3 = 1;
5) ako je a > 4, tada je x 1,2 = 1.
Primjer 2 . Za koje vrijednosti a jednadžba ima više od dva korijena?
Rješenje. Ako u originalnu jednačinu zamijenimo x = 0, dobićemo 6 = 6, što znači da je x = 0 rješenje jednačine za bilo koje a.
Neka je sada x 0, onda možemo pisati 
. Hajde da saznamo znakove izraza 2x + 3 i 2x – 3.
Proširimo module: a = 
(1)
U ravni x0a konstruisaćemo skup tačaka (x;a), čije koordinate zadovoljavaju relaciju (1).
Ako je a = 0, tada jednadžba ima beskonačan broj rješenja na intervalu; za ostale vrijednosti a, broj rješenja jednadžbe ne prelazi dva.
Odgovori: a = 0.
Test kontrola
1 opcija |
Opcija 2 |
1) Riješite jednačinu: 0 x = a Odgovori |
1) Riješite jednačinu: a x = a. Odgovori: a) za a ≠ 0, x = 1, za a = 0, x R b) za a = 0, x R, za a ≠ 0 nema korijena c) za a = 0 nema korijena, za a ≠ x = |
2) Riješite jednačinu: (v – 2) x = 5 + v. odgovori: |
2) Riješite jednačinu (b + 1) x = 3 – b. odgovori: a) za β = 2 nema korijena; za β ≠2, x = ; b) za β = -2 nema korijena, za β ≠-2 x = c) za β = -1 nema korijena, za a ≠ - 1 |
3) Za koje vrijednosti parametra c jednačina ima beskonačan broj rješenja? c (c + 1) x = c 2 – 1. Odgovori: a) sa c = -1, x R, ; |
Izborna nastava
na ovu temu: “Rješavanje jednačina i nejednačina sa parametrima”
(Lekcija generalizacije i ponavljanja)
Cilj: 1. Ponoviti i uopštiti znanja učenika o metodama rješavanja jednačina i nejednačina sa parametrima; konsolidovati sposobnost primjene znanja pri rješavanju konkretnih zadataka; 2. Razvijati logičko mišljenje; 3. Negujte pažnju i tačnost.
Plan lekcije: I. Organizacioni momenat______________________________2 min.
II. Ažuriranje osnovnih znanja:
- Ponavljanje________________________________3 min.
- Usmeni rad________________________________3 min.
- Rad sa karticama (tokom 1. i 2.)
III. Rješenje vježbi________________________________22 min.
IY. Izvođenje testa______________________________8 min.
Y. Sumiranje, postavljanje domaće zadaće__2 min.
Tokom nastave:
I. Organiziranje vremena.
Učitelj: - Zdravo momci. Lijepo je vidjeti vas sve, počinjemo našu lekciju. Danas u lekciji cilj nam je da ponovimo i uvežbamo znanja, veštine i sposobnosti stečene na prethodnim časovima tokom proučavanja ove teme.
II . Ažuriranje osnovnih znanja:
1) Ponavljanje.
Učitelj: - Dakle, da ponovimo.
Kako se zove linearna jednadžba s parametrima?
Koje smo slučajeve razmatrali prilikom rješavanja ovakvih jednačina?
Navedite primjere linearnih jednadžbi s parametrima.
Navedite primjere linearnih nejednakosti s parametrima.
2) Usmeni rad.
Zadatak: Dovedite ovu jednačinu u linearni oblik.
Na stolu:
a) 3a x – 1 =2 x;
b) 2+5 x = 5a x;
c) 2 x – 4 = a x + 1.
3) Rad koristeći kartice.
III . Rješenje vježbi.
Vježba 1. Riješi jednačinu s parametrom A.
3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.
Zadatak se rješava na tabli i u sveskama.
Zadatak 2. Po kojoj vrednosti a, prava y = 7ax + 9, prolazi
t. A(-3;2) ?
Zadatak samostalno na tabli rješava jedan učenik. Ostalo radi u bilježnicama, a zatim provjeri sa pločom.
Fizičko vaspitanje samo minut.
Zadatak 3. Po kojoj vrednosti a, jednačina 3(ax – a) = x – 1 ima
Beskonačno mnogo rješenja?
Od učenika se traži da ovaj zadatak samostalno riješe u svojim sveskama. Zatim provjerite odgovore.
Zadatak 4. Na kojoj vrijednosti parametra A , zbir korijena jednadžbe
2h² + (4a² - 2)h – (a² + 1) = 0 jednako 1?
Zadatak je završen komentarisanjem sa lica mesta.
Zadatak 5. Riješite nejednakost s parametrom R :
r(5h – 2)
Ovaj zadatak se obavlja na tabli iu sveskama.
IY. Izvršavanje testa.
Učenicima se daju pojedinačni listovi sa zadacima:
1) Je jednačina6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7 linearno?
A) da; b) ne; c) može se svesti na linearno
2) Jednačina (2ax + 1)a = 5a – 1 svedeno na oblik linearne jednačine
A) ne; b) da;
3) Na kojoj vrijednosti parametra a kroz nju prolazi prava linija y = ax – 3
T. A(-2;9) ?
A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.
4) Pri čemu je jednačina 2ax + 1 = x ima korijen jednak -1?
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.
5) Ako je kvadratna jednačina ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 zavisi od
A) vrijednosti u ; b) vrijednosti a; c) vrijednosti -v/a;
d) nema rješenja.
ODGOVORI NA TEST: V; A; V; V; b.
YII. Sumiranje lekcije. Postavljanje domaće zadaće.
Učitelj: - Danas smo na lekciji ponovili i učvrstili znanja stečena na prethodnim časovima, uvežbali potrebne veštine pri izvršavanju različitih zadataka. Mislim da si uradio dobar posao, dobro obavljeno.
Osim ocjena za čas, možete ocijeniti rad niza drugih učenika na lekciji.
Učitelju : - Zapišite svoj domaći zadatak:
Na stolu:
Riješite nejednakost: x² - 2ax + 4 > 0.
Lekcija je gotova.
Odeljenje za obrazovanje Vladimirske oblasti
Odjel za obrazovanje okruga Sudogodsky
Opštinska obrazovna ustanova
"Srednja škola Moshok"
«
Rješenje jednačine I nejednakosti With parametar»
Izradio: Gavrilova G.V.
nastavnik matematike
opštinska obrazovna ustanova "Moshokskaya prosjek"
sveobuhvatne škole"
godine 2009
Rješavanje jednačina i nejednačina s parametrima
Objašnjenje
Koncept parametra je matematički koncept koji se često koristi u školskoj matematici i srodnim disciplinama.
7. razred - pri izučavanju linearne funkcije i linearne jednačine sa jednom promenljivom.
8. razred - kada se izučavaju kvadratne jednačine.
Općeobrazovni nastavni plan i program školskog predmeta matematika ne predviđa rješavanje zadataka s parametrima, a na prijemnim ispitima na fakultetima i na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike javljaju se problemi s parametrima čije rješavanje učenicima izaziva velike poteškoće. sa parametrima imaju dijagnostičku i prognostičku vrijednost, što vam omogućava da testirate znanje iz glavnih odjeljaka školskog kursa matematike, nivo logičkog mišljenja, početne istraživačke vještine.
Osnovni cilj predmeta je upoznati studente sa opštim pristupima rješavanju problema sa parametrima, pripremiti studente na način da se uspješno nose sa problemima koji sadrže parametre u atmosferi takmičarskog ispita.
Riješite jednačinu, odredite broj rješenja, istražite jednačinu, pronađite pozitivne korijene, dokažite da nejednačina nema rješenja itd. - sve su to opcije za parametarske primjere. Stoga je nemoguće dati univerzalne upute za rješavanje primjera, ovaj kurs ispituje različite primjere s rješenjima. Nastavni materijal je prikazan prema sljedećoj shemi: osnovne informacije, primjeri sa rješenjima, primjeri za samostalan rad, primjeri za utvrđivanje uspješnosti savladavanja gradiva.
Rješavanje zadataka s parametrima doprinosi formiranju istraživačkih vještina i intelektualnom razvoju.
Ciljevi kursa:
Sistematizirati znanja koja su učenici stekli u 7. i 8. razredu pri rješavanju linearnih i kvadratnih jednačina i nejednačina;
Identifikuju i razvijaju svoje matematičke sposobnosti;
Stvoriti holističko razumijevanje rješavanja linearnih jednačina i nejednačina koje sadrže parametre;
Stvoriti holističko razumijevanje rješavanja kvadratnih jednačina i nejednačina koje sadrže parametre;
Produbljivanje znanja iz matematike, obezbjeđujući formiranje održivog interesovanja učenika za predmet;
obezbijediti pripremu za profesionalne aktivnosti koje zahtijevaju visoku matematičku kulturu.
Edukativni i tematski plan
|
№ p/p
|
Predmet |
Kol sati
|
Aktivnosti |
|
1. |
|
|
Radionica |
|
2. |
Početne informacije o zadacima s parametrom. |
Seminar |
|
|
3. |
Rješavanje linearnih jednadžbi koje sadrže parametre. |
|
|
|
4. |
Rješavanje linearnih nejednačina koje sadrže parametre. |
Istraživački rad; obuka vještina; samostalan rad. |
|
|
5. |
Kvadratne jednadžbe. Vietin teorem. |
3 |
Istraživački rad; obuka vještina; samostalan rad. |
|
6. |
Uspješno završen kurs |
1 |
Finalni test |
Tema 1. Rješavanje linearnih jednadžbi i nejednačina, kvadratnih jednadžbi i nejednačina, rješavanje zadataka primjenom Vietine teoreme.
Tema 2. Početne informacije o zadacima s parametrom.
Koncept parametra. Šta znači "riješiti problem sa parametrom"? Osnovni tipovi problema sa parametrom. Osnovne metode za rješavanje problema s parametrom.
Primjeri rješavanja linearnih jednadžbi s parametrom.
Tema 4. Rješavanje linearnih nejednačina koje sadrže parametre.
Primjeri rješavanja linearnih nejednačina s parametrom.
Tema 5. Kvadratne jednadžbe. Vietin teorem.
Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi s parametrom.
Didaktički materijal za izborni predmet
„Rješavanje jednačina i
nejednakosti sa parametrom"
Tema 1. Primjeri za ovu temu.
Tema 2. Primjeri gdje su učenici već naišli na parametre:
Funkcija direktne proporcionalnosti: y = kx (x i y su varijable; k je parametar, k ≠ 0);
Funkcija inverzne proporcionalnosti: y = k / x (x i y su varijable, k je parametar, k ≠ 0)
Linearna funkcija: y = kh + b (x i y su varijable; k i b su parametri);
Linearna jednačina: ax + b = 0 (x je varijabla; a i b su parametri);
Kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0 (x je varijabla; a, b i c su parametri,
Šta je parametar?
Ako se u jednadžbi ili nejednadžbi neki koeficijenti zamjenjuju ne određenim numeričkim vrijednostima, već su označeni slovima, onda se nazivaju parametri, a jednadžba ili nejednakost je parametarska.
Parametri se obično označavaju prvim slovima latinične abecede: a, b, c, ... ili a 1, a 2, a 3, ..., a nepoznate zadnjim slovima latinice x, y, z, ... Ove oznake nisu obavezne, ali ako u stanju nije naznačeno koja slova su parametri, a koja su nepoznata -
mi, tada se koriste sljedeće oznake.
Na primjer, riješite jednačinu (4x – ax)a = 6x – 10. Ovdje je x nepoznata, a a parametar.
Šta znači "riješiti problem sa parametrom"?
Rješavanje problema s parametrom znači da se za svaku vrijednost parametra a nađe vrijednost x koja zadovoljava ovaj problem, tj. zavisi od pitanja u problemu.
Rješavanje jednadžbe ili nejednakosti s parametrima znači:
Odredite na kojim vrijednostima parametara postoje rješenja;
Za svaki dozvoljeni sistem vrijednosti parametara pronaći odgovarajući skup rješenja.
Koje su glavne vrste problema s parametrom?
Tip 1. Jednačine, nejednakosti koje se moraju riješiti ili za bilo koju vrijednost parametra ili za vrijednosti parametara koje pripadaju unaprijed određenom skupu. Ova vrsta zadatka je osnovna pri savladavanju teme “Problemi s parametrima”.
Tip 2. Jednačine, nejednačine za koje je potrebno odrediti broj rješenja u zavisnosti od vrijednosti parametra.
Tip 3. Jednadžbe, nejednačine za koje je potrebno pronaći sve one vrijednosti parametara za koje navedene jednadžbe i nejednačine imaju zadani broj rješenja (posebno nemaju ili imaju beskonačan broj rješenja). Problemi tipa 3 su u nekom smislu inverzni problemima tipa 2.
Tip 4. Jednačine, nejednačine za koje, za tražene vrijednosti parametra, skup rješenja zadovoljava navedene uvjete u domeni definicije.
Na primjer, pronađite vrijednosti parametara na kojima:
1) jednačina je zadovoljena za bilo koju vrednost varijable iz datog intervala;
2) skup rješenja prve jednačine je podskup skupa rješenja druge jednačine itd.
Osnovne metode za rješavanje problema s parametrom.
Metoda 1. (analitička) Ova metoda je takozvano direktno rješenje, ponavljanje standardnih metoda pronalaženja odgovora u zadacima bez parametra.
Metoda 2. (grafički) U zavisnosti od zadatka, razmatraju se grafovi u koordinatnoj ravni (x; y) ili u koordinatnoj ravni (x; a).
Metoda 3. (odluka o parametru) Prilikom rješavanja ovom metodom pretpostavlja se da su varijable x i a jednake, a odabire se varijabla prema kojoj se analitičko rješenje smatra jednostavnijim. Nakon prirodnih pojednostavljenja, vraćamo se na izvorno značenje varijabli x i a i dovršavamo rješenje.
Komentar. Bitan korak u rješavanju problema s parametrima je zapisivanje odgovora. Ovo se posebno odnosi na one primjere u kojima se čini da se rješenje "grana" ovisno o vrijednostima parametara. U takvim slučajevima, sastavljanje odgovora je zbirka prethodno dobijenih rezultata. I ovdje je vrlo važno ne zaboraviti u odgovoru odraziti sve faze rješenja.
Pogledajmo primjere. 2.1. Uporedite -a i 5a.
Rješenje. Potrebno je razmotriti tri slučaja: ako a 5a;
ako je a = 0, onda je –a = 5a;
ako je a > 0, onda –a
Odgovori. Kada je 5a; pri a = 0, –a = 5a; za a > 0, -a
Riješite jednačinu ax = 1.
Ako je a ≠ 0, tada je x = 1 / a.
Odgovori. Za a = 0 nema rješenja; za a ≠ 0, x = 1 / a.
Uporedite sa i – 7c.
Riješite jednačinu cx = 10
Tema 3.
Linearne jednadžbe
Jednačine oblika
gdje a, b pripadaju skupu realnih brojeva, a x je nepoznata, nazvana linearna jednadžba u odnosu na x.
Šema za proučavanje linearne jednačine (1).
1. Ako je a ≠ 0, b je bilo koji realan broj. Jednačina ima jedinstveno rješenje x = b/a.
2. Ako je a=0, b=0, tada će jednačina imati oblik 0 ∙ x = 0, a rješenje jednačine će biti skup svih realnih brojeva.
3. Ako je a=0, b ≠ 0, onda jednačina 0 ∙ x = b nema rješenja.
Komentar. Ako linearna jednadžba nije prikazana u obliku (1), tada je prvo trebate dovesti u oblik (1) i tek onda provesti studiju.
Primjeri. 3.1 Riješite jednačinu (a -3)x = b+2a
Jednačina je zapisana kao (1).
Rješenje: Ako je a≠ 3, onda jednačina ima rješenje x = b+2a/ a-3 za bilo koje b.
To znači da je jedina vrijednost a kod koje možda nema rješenja jednadžbe a = 3. U ovom slučaju, jednačina (a -3)x = b+2a poprima oblik
0 ∙ x = b+6. (2)
Ako je β≠ - 6, onda jednačina (2) nema rješenja.
Ako je β = - 6, tada je bilo koji x rješenje za (2).
Prema tome, β = - 6 je jedina vrijednost parametra β za koju jednačina (1) ima rješenje za bilo koje a (x=2 za a ≠3 i x pripada skupu realnih brojeva za a=3).
Odgovor: b = -6.
3.2. Riješite jednačinu 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Riješite jednačinu 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Riješite jednačinu (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Riješite jednačinu x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Samostalan rad.
Opcija 1. Riješite jednačine: a) ulaz + 2 = - 1;
b) (a – 1)x = a – 2;
c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.
Opcija 2. Riješite jednačine: a) – 8 = in + 1;
b) (a + 1)x = a – 1;
c) (9a 2 – 4)h – 9a 2 + 12a – 4 = 0.
Tema 4.
Linearne nejednakosti s parametrom
Nejednakosti
ah > u, ah
gdje su a, b izrazi koji zavise od parametara, a x je nepoznata, nazivaju se linearne nejednačine sa parametrima.
Rješavanje nejednakosti s parametrima znači pronalaženje skupa rješenja nejednakosti za sve vrijednosti parametara.
Šema za rješavanje nejednakosti aX > c.
Ako je a > 0, tada je x > b/a.
Ako a
Ako je a = 0, tada će nejednakost imati oblik 0 ∙ x > b. Za β ≥ 0 nejednakost nema rješenja; at
Primjeri. 4.1. Riješite nejednačinu a(3x-1)>3x – 2.
Rješenje: a(3x-1)>3x – 2, što znači 3x(a-1)>a-2.
Razmotrimo tri slučaja.
a=1, rješenje 0 ∙ x > -1 je bilo koji realan broj.
a>1, 3x(a-1)>a-2, što znači x>a-2/3 (a-1).
a a-2 znači x
2ax +5 > a+10x .
(a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + sjekira +1 > 0.
Samostalan rad.
Opcija 1. Riješite nejednačine: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;
b) 3x-a > ah – 2.
Opcija 2. Riješite nejednačine: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
b) akh-2v
Tema 5.
Kvadratne jednadžbe koje sadrže parametre. Vietin teorem.
Jednačina oblika
ax 2 +in + c = 0, (1)
gdje su a, b, c izrazi koji zavise od parametara, a ≠ 0, x je nepoznanica, naziva se kvadratna jednadžba sa parametrima.
Šema za proučavanje kvadratne jednačine (1).
Ako je a = 0, onda imamo linearnu jednačinu inx + c = 0.
Ako je a ≠ 0 i diskriminanta jednadžbe D = 2 – 4ac
Ako je a ≠ 0 i D = 0, onda jednačina ima jedinstveno rješenje x = - B / 2a ili, kako još kažu, podudarne korijene x 1 = x 2 = - B / 2a.
Ako je a ≠ 0 i D > 0, onda jednačina ima dva različita korijena X 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Primjeri. 5.1. Za sve vrijednosti parametra a riješite jednačinu
(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.
Rješenje. 1. a – 1 = 0, tj. a = 1. Tada će jednačina dobiti oblik -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.
2. a ≠ 1. Nađimo diskriminant jednačine D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
Mogući su sljedeći slučajevi: a) D 8, a > 2. Jednačina nema
b) D = 0, tj. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Jednačina ima jedan
korijen x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
c) D > 0, tj. -4a + 8 > 0,4a
korijen x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
Odgovori. Kada je a = 1 x = 3 / 2;
kada je a =2 x = 2;
za a > 2 nema korijena;
Za sve vrijednosti parametara riješite jednadžbe:
ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
ax 2 +6x – 6 = 0;
u 2 – (in + 1)x +1 = 0;
(b + 1)x 2 – 2x + 1 – b = 0.
Samostalan rad.
Opcija 1. Riješite jednačinu ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.
Opcija 2. Riješite jednačinu a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Zadaci.
. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje postoji kvadratna jednadžba
Rješenje. Ova jednadžba je kvadratna po uslovu, što znači
a – 1 ≠ 0, tj. a ≠ 1. Nađimo diskriminanta D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).
Imamo: 1) Za a ≠ 1 i D > 0, tj. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 jednačina ima dva
razni koreni.
2) Za a ≠ 1 i D
3) Za a ≠ 1 i D = 0, tj. a = - 4 / 5 jednadžba ima jedan korijen.
Odgovori. Ako je a > - 4 / 5 i a ≠ 1, tada jednačina ima dva različita korijena;
ako je a = - 4 / 5, onda jednačina ima jedan korijen.
.Za koje vrijednosti parametra a jednačina (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 ima jedinstveno rješenje?
.Za koje vrijednosti parametra a jednačina (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 nema rješenja?
.Za koje vrijednosti parametra a jednačina ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 ima dva različita korijena?
Samostalan rad.
Opcija 1. Pronađite sve vrijednosti parametara A, za koji je kvadratna jednadžba (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ima dva različita korijena; nema korijena; ima jedan korijen.
Opcija 2.. Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje je kvadratna jednadžba (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 ima dva različita korijena; nema korijena; ima jedan korijen.
Vietin teorem.
Sljedeće teoreme se koriste za rješavanje mnogih problema koji uključuju kvadratne jednadžbe koje sadrže parametre.
Vietin teorem. Ako su x 1, x 2 korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0, a≠0, tada je x 1 + x 2 = - B / a i x 1 ∙ x 2 = C / a.
Teorema 1. Da bi korijeni kvadratnog trinoma ax 2 + bx + c bili realni i imali iste predznake, potrebno je i dovoljno da se zadovolje sljedeći uvjeti: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.
U ovom slučaju, oba korijena će biti pozitivna ako je x 1 + x 2 = - B /a > 0, a oba korijena će biti negativna ako je x 1 + x 2 = - B /a
Teorema 2. Da bi korijeni kvadratnog trinoma ax 2 + bx + c bili realni i oba nenegativni ili oba nepozitivna, potrebno je i dovoljno da se zadovolje sljedeći uvjeti: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
U ovom slučaju, oba korijena će biti nenegativna ako je x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, a oba korijena će biti nepozitivna ako je x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.
Teorema 3. Da bi koreni kvadratnog trinoma ax 2 + bx + c bili realni i imali različite predznake, potrebno je i dovoljno da se zadovolje sledeći uslovi: x 1 ∙ x 2 = C /a U ovom slučaju uslov D = b 2 – 4ac > 0 se zadovoljava automatski.
Bilješka. Ove teoreme igraju važnu ulogu u rješavanju problema vezanih za proučavanje predznaka korijena jednačine ax 2 + bx + c = 0.
Korisne jednakosti: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 ima: a) dva pozitivna korijena; b) dva negativna korijena; c) korijeni različitih znakova?
Rješenje. Jednačina je kvadratna, što znači a ≠ 1. Po Vietinoj teoremi imamo
x 1 + x 2 = 2a / (a – 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1).
Izračunajmo diskriminant D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
a) Prema teoremi 1, jednadžba ima pozitivne korijene ako
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, tj. (a + 1) / (a – 1) > 0, 2a / (a – 1) > 0.
Dakle, a ê (-1; 0).
b) Prema teoremi 1, jednadžba ima negativne korijene ako
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a – 1)
Dakle, a ê (0; 1).
c) Prema teoremi 3, jednadžba ima korijene različitih predznaka ako je x 1 x 2
(a + 1) / (a – 1) Odgovor. a) za aê (-1; 0) jednačina ima pozitivne korijene;
b) za aê (0; 1) jednačina ima negativne korijene;
c) za aê (-1; 1) jednačina ima korijene različitih predznaka.
5.11.
Pri kojim vrijednostima parametra a je kvadratna jednadžba
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 ima: a) dva pozitivna korijena; b) dva negativna korijena; c) korijeni različitih znakova?
5. 12. Bez rješavanja jednačine 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, pronaći x 1 -1 + x 2 -1, gdje su x 1, x 2 korijeni jednačine.
5.13. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 ima korijene čiji je zbir kvadrata 4.
Test.
Opcija 1. 1. Riješite jednačinu (a 2 + 4a)x = 2a + 8.
2. Riješite nejednačinu (u + 1)x ≥ (u 2 – 1).
3. Na kojim vrijednostima parametra a radi jednačina
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 ima: a) dva pozitivna korijena; b) dva negativna korijena; c) korijeni različitih znakova?
Opcija 2. 1. Riješite jednačinu (a 2 – 2a)x = 3a.
2. Riješite nejednačinu (a + 2)x ≤ a 2 – 4.
3. Na kojim vrijednostima parametra u jednadžbi
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 ima: a) dva pozitivna korijena; b) dva negativna korijena; c) korijeni različitih znakova?
Književnost.
V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Jednačine i nejednačine s parametrima. Ch.: Izdavačka kuća ChSU, 2004. – 175 str.
Yastrebinsky G.A. Problemi sa parametrima. M.: Obrazovanje, 1986, - 128 str.
Bašmakov M.I. Algebra i počeci analize. Udžbenik za 10 – 11 razred srednje škole. M.: Obrazovanje, 1991. – 351 str.
T. Peskova. Prvi uvod u parametre u jednadžbi. Obrazovno-metodički list "Matematika". br. 36, 1999.
T. Kosyakova. Rješavanje linearnih i kvadratnih nejednačina koje sadrže parametre. 9. razred Obrazovno-metodički list "Matematika", br. 25 - 26, br. 27 - 28. 2004.
T. Gorshenina. Problemi sa parametrom. 8. razred Obrazovno-metodički list "Matematika". br. 16. 2004.
Sh. Tsyganov. Kvadratni trinomi i parametri. Obrazovno-metodički list "Matematika". br. 5. 1999.
S. Nedelyaeva. Osobine rješavanja problema s parametrom. Obrazovno-metodički list "Matematika". br. 34. 1999.
