Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.
Predavanje 15. Elipsa.
Poglavlje 15. Elipsa.
klauzula 1. Osnovne definicije.
Definicija. Elipsa je GMT ravni, zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke ravni, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost.
Definicija. Udaljenost od proizvoljne tačke M ravni do fokusa elipse naziva se žarišnim radijusom tačke M.
Oznake: 
– fokusi elipse, 
– žarišne radijuse tačke M.
By definicija elipse, tačka M je tačka elipse ako i samo ako 
– konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava sa 2a:
.
(1)
primeti, to 
.
Po definiciji elipse, njena žarišta su fiksne tačke, tako da je i udaljenost između njih konstantna vrijednost za datu elipsu.
Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žižna daljina.
Oznaka: 
.
Iz trougla 
sledi to 
, tj.
.
Označimo sa b broj jednak 
, tj.
.
(2)
Definicija. Stav
(3)
naziva se ekscentricitet elipse.
Hajde da uvedemo koordinatni sistem na ovoj ravni, koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.
Definicija. Osa na kojoj leže žarišta elipse naziva se fokalna osa.
Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sliku 2.
Odabiremo žarišnu osu kao apscisnu osu i povlačimo os ordinate kroz sredinu segmenta 
okomito na fokalnu osu.
Tada fokusi imaju koordinate 
,
.
klauzula 2. Kanonska jednadžba elipse.
Teorema. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:
.
(4)
Dokaz. Dokaz izvodimo u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje tačke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednačinu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednačine (4) daje koordinate tačke koja leži na elipsi. Odavde će slijediti da jednačinu (4) zadovoljavaju one i samo one tačke koordinatne ravni koje leže na elipsi. Iz ovoga i iz definicije jednačine krive slijedi da je jednačina (4) jednačina elipse.
1) Neka je tačka M(x, y) tačka elipse, tj. zbir njegovih žarišnih radijusa je 2a:
.
Upotrijebimo formulu za udaljenost između dvije točke na koordinatnoj ravni i koristimo ovu formulu da pronađemo žarišne polumjere date tačke M:
,
, odakle dobijamo:
Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:
Smanjenjem dobijamo:
Predstavljamo slične, smanjite za 4 i uklonite radikal:
.
Kvadratura
Otvorite zagrade i skratite za 
:
gdje dobijamo:
Koristeći jednakost (2) dobijamo:
.
Posljednju jednakost dijelimo sa 
, dobijamo jednakost (4) itd.
2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednačinu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća tačka na koordinatnoj ravni Oxy.
Tada iz (4) slijedi:
.
Ovu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere tačke M:
.
Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).
dakle, 
. Isto tako, 
.
Sada primijetite da iz jednakosti (4) slijedi da
ili 
itd. 
, tada slijedi nejednakost:
.
Odavde, pak, slijedi da
ili 
I
,
.
(5)
Iz jednakosti (5) slijedi da 
, tj. tačka M(x, y) je tačka elipse, itd.
Teorema je dokazana.
Definicija. Jednačina (4) se zove kanonska jednačina elipse.
Definicija. Kanonske koordinatne ose za elipsu nazivaju se glavne ose elipse.
Definicija. Porijeklo kanonskog koordinatnog sistema za elipsu naziva se središte elipse.
klauzula 3. Svojstva elipse.
Teorema. (Svojstva elipse.)
1. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, sve
tačke elipse su u pravougaoniku
,
.
2. Tačke leže na
3. Elipsa je kriva koja je simetrična u odnosu na
njihove glavne ose.
4. Centar elipse je njen centar simetrije.
Dokaz. 1, 2) Odmah slijedi iz kanonske jednačine elipse.
3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna tačka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (4). Ali tada koordinate tačaka takođe zadovoljavaju jednačinu (4), pa su, prema tome, tačke elipse, iz kojih slijede tvrdnje teoreme.
Teorema je dokazana.
Definicija. Veličina 2a naziva se glavna osa elipse, a veličina a naziva se velika poluosa elipse.
Definicija. Veličina 2b se naziva mala osa elipse, veličina b se naziva poluosom elipse.
Definicija. Tačke preseka elipse sa njenim glavnim osama nazivaju se vrhovi elipse.
Komentar. Elipsa se može konstruisati na sledeći način. Na ravni "zabijamo ekser u žarišta" i na njih pričvršćujemo dužinu konca 
. Zatim uzmemo olovku i njome zategnemo konac. Zatim pomičemo olovku olovke duž ravnine, pazeći da je konac zategnut.
Iz definicije ekscentriciteta slijedi da
Popravimo broj a i usmjerimo broj c na nulu. Zatim u 
,
I 
. U limitu koji dobijamo
ili 
– jednačina kružnice.
Hajde sada da usmerimo 
. Onda 
,
i vidimo da se u granici elipsa degeneriše u pravi segment 
u oznakama na slici 3.
klauzula 4. Parametarske jednadžbe elipse.
Teorema. Neka 
– proizvoljni realni brojevi. Zatim sistem jednačina
,
(6)
su parametarske jednadžbe elipse u kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu.
Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sistem jednačina (6) ekvivalentan jednačini (4), tj. imaju isti skup rješenja.
1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sistema (6). Podijelite prvu jednačinu sa a, drugu sa b, kvadrirajte obje jednadžbe i dodajte:
.
One. svako rješenje (x, y) sistema (6) zadovoljava jednačinu (4).
2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednačine (4), tj.
.
Iz ove jednakosti slijedi da je tačka sa koordinatama 
leži na kružnici jediničnog poluprečnika sa centrom u početku, tj. je tačka na trigonometrijskom krugu kojoj odgovara određeni ugao 
:
Iz definicije sinusa i kosinusa to odmah slijedi
,
, Gdje 
, iz čega slijedi da je par (x, y) rješenje sistema (6) itd.
Teorema je dokazana.
Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat ujednačenog „kompresije“ kružnice poluprečnika a prema osi apscise.
Neka 
– jednačina kružnice sa centrom u početku. „Kompresija“ kružnice na osu apscise nije ništa drugo do transformacija koordinatne ravni, izvedena prema sljedećem pravilu. Za svaku tačku M(x, y) pridružujemo tačku na istoj ravni 
, Gdje 
,
– omjer kompresije.
Ovom transformacijom, svaka tačka na kružnici "prelazi" u drugu tačku na ravni, koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu tačke kroz novu:
i zameni krugove u jednačinu:
.
Odavde dobijamo:
.
(7)
Iz ovoga slijedi da ako je prije transformacije „kompresije“ tačka M(x, y) ležala na kružnici, tj. njene koordinate su zadovoljile jednadžbu kruga, a zatim se nakon transformacije "kompresije" ova tačka "transformirala" u tačku 
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (7). Ako želimo dobiti jednadžbu elipse sa poluosom b, onda moramo uzeti faktor kompresije
.
klauzula 5. Tangenta na elipsu.
Teorema. Neka 
– proizvoljna tačka elipse
.
Zatim jednačina tangente na ovu elipsu u tački 
ima oblik:
.
(8)
Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada tačka dodira leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravni: 
. Jednačina elipse u gornjoj poluravni ima oblik:
.
(9)
Koristimo jednadžbu tangente na graf funkcije 
u tački 
:
Gdje 
– vrijednost derivacije date funkcije u tački 
. Elipsa u prvoj četvrtini može se smatrati grafikom funkcije (8). Nađimo njegovu derivaciju i vrijednost u tački tangentnosti:
,
. Ovdje smo iskoristili činjenicu da je tangentna tačka 
je tačka elipse i stoga njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (9), tj.
.
Pronađenu vrijednost derivacije zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu (10):
,
gdje dobijamo:
Ovo implicira:
Podijelimo ovu jednakost sa 
:
.
Ostaje to primijetiti 
, jer dot 
pripada elipsi i njene koordinate zadovoljavaju njenu jednadžbu.
Jednačina tangente (8) dokazuje se na sličan način u tački tangente koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravni.
I konačno, lako možemo provjeriti da jednačina (8) daje tangentnu jednačinu u tačkama 
,
:
ili 
, And 
ili 
.
Teorema je dokazana.
klauzula 6. Svojstvo ogledala elipse.
Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake uglove sa žarišnim radijusima tačke tangente.
Neka 
– tačka kontakta, 
,
– žarišne polumjere tačke tangente, P i Q – projekcije fokusa na tangentu povučenu na elipsu u tački 
.
Teorema to kaže
.
(11)
Ova jednakost se može protumačiti kao jednakost uglova upada i refleksije zraka svjetlosti od elipse oslobođene iz fokusa. Ovo svojstvo se naziva svojstvom ogledala elipse:
Zrak svjetlosti oslobođen iz fokusa elipse, nakon refleksije od ogledala elipse, prolazi kroz drugi fokus elipse.
Dokaz teoreme. Da bismo dokazali jednakost uglova (11), dokazujemo sličnost trokuta 
I 
, u kojem su strane 
I 
će biti slično. Pošto su trouglovi pravougli, dovoljno je dokazati jednakost
Definicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, od kojih je zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ta vrijednost veća od udaljenosti između žarišta) .
Označimo žarišta kroz udaljenost između njih - kroz , i konstantnu vrijednost, jednak iznosu udaljenosti od svake tačke elipse do žarišta, kroz (prema uslovu).
Konstruirajmo Dekartov koordinatni sistem tako da su fokusi na osi apscisa, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta (slika 44). Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: lijevi fokus i desni fokus. Izvedemo jednačinu elipse u koordinatnom sistemu koji smo odabrali. U tu svrhu razmotrite proizvoljnu tačku elipse. Po definiciji elipse, zbir udaljenosti od ove tačke do žarišta jednak je:
Koristeći formulu za rastojanje između dve tačke, dobijamo
Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, zapisujemo je u obliku
Zatim kvadriranjem obe strane jednačine dobijamo
ili, nakon očiglednih pojednostavljenja:
Sada ponovo kvadriramo obje strane jednadžbe, nakon čega imamo:
ili, nakon identičnih transformacija:
Pošto je, prema uslovu u definiciji elipse, broj pozitivan. Hajde da uvedemo notaciju
Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik:
Prema definiciji elipse, koordinate bilo koje njene tačke zadovoljavaju jednačinu (26). Ali jednačina (29) je posljedica jednačine (26). Shodno tome, zadovoljavaju ga i koordinate bilo koje tačke elipse.
Može se pokazati da koordinate tačaka koje ne leže na elipsi ne zadovoljavaju jednačinu (29). Dakle, jednačina (29) je jednačina elipse. Zove se kanonska jednadžba elipse.
Utvrdimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.
Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da ova jednadžba sadrži samo čak stepeni x i y. To znači da ako bilo koja tačka pripada elipsi, onda ona takođe sadrži tačku simetričnu sa tačkom u odnosu na osu apscise, i tačku simetričnu sa tačkom u odnosu na osu ordinate. Dakle, elipsa ima dvije međusobno okomite ose simetrije, koje se u našem odabranom koordinatnom sistemu poklapaju sa koordinatnim osa. Ose simetrije elipse ćemo od sada zvati osi elipse, a tačku njihovog preseka središtem elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta elipse (in u ovom slučaju x-osa) naziva se fokalna osa.
Prvo odredimo oblik elipse u prvoj četvrtini. Da bismo to učinili, riješimo jednačinu (28) za y:
Očigledno je da ovdje , budući da y uzima imaginarne vrijednosti. Kako povećavate od 0 do a, y se smanjuje sa b na 0. Dio elipse koji leži u prvoj četvrtini bit će luk omeđen tačkama B (0; b) i koji leži na koordinatnim osa (slika 45). Koristeći sada simetriju elipse, dolazimo do zaključka da elipsa ima oblik prikazan na sl. 45.
Tačke preseka elipse sa osama nazivaju se vrhovi elipse. Iz simetrije elipse proizilazi da, pored vrhova, elipsa ima još dva vrha (vidi sliku 45).
Segmenti i spojni suprotni vrhovi elipse, kao i njihove dužine, nazivaju se velika i mala osa elipse, respektivno. Brojevi a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno.
Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse i obično se označava slovom:
Budući da je , ekscentricitet elipse manji od jedinice: Ekscentricitet karakterizira oblik elipse. Zaista, iz formule (28) proizilazi da što je manji ekscentricitet elipse, to se njena mala poluos b manje razlikuje od velike poluose a, odnosno, manje je izdužena elipsa (duž žižne ose).
U graničnom slučaju, rezultat je krug radijusa a: , ili . Istovremeno, čini se da se žarišta elipse spajaju u jednoj tački - centru kruga. Ekscentricitet kruga je nula:
Veza između elipse i kruga može se uspostaviti i sa druge tačke gledišta. Pokažimo da se elipsa sa poluosama a i b može smatrati projekcijom kružnice poluprečnika a.
Razmotrimo dvije ravni P i Q koje tvore između sebe takav ugao a, za koji (Sl. 46). Konstruirajmo koordinatni sistem u ravni P, au Q ravni sistem Oxy sa zajedničkim ishodištem O i zajedničkom osom apscise koja se poklapa sa linijom preseka ravnina. Razmotrimo kružnicu u ravni P
sa centrom u početku i poluprečnikom jednakim a. Neka je proizvoljno odabrana tačka na kružnici, njena projekcija na ravan Q i neka je projekcija tačke M na osu Ox. Pokažimo da tačka leži na elipsi sa poluosama a i b.
Linije drugog reda.
Elipsa i njena kanonska jednadžba. Circle
Nakon temeljnog proučavanja prave linije u ravni Nastavljamo sa proučavanjem geometrije dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su udvostručeni i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Ekskurzija je već počela, i to prva kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:
Pojam algebarske linije i njen red
Prava na ravni se zove algebarski, ako je u afini koordinatni sistem njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( – realni broj, – nenegativni cijeli brojevi).
Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beaumonde. Samo X i Y su unutra nenegativni cijeli brojevi stepeni.
Redosled jednaka maksimalnoj vrijednosti termina uključenih u njega.
Prema odgovarajućoj teoremi, koncept algebarske linije, kao ni njen red, ne zavise od izbora afini koordinatni sistem, stoga, radi lakšeg postojanja, pretpostavljamo da se svi kasniji proračuni odvijaju u Kartezijanske koordinate.
Opšta jednačina red drugog reda ima oblik , gdje 
– proizvoljni realni brojevi (Uobičajeno je da se piše sa faktorom dva), a koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.
Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na 
, a ako koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli, onda je to tačno opšta jednačina “ravne” linije, što predstavlja linija prve narudžbe.
Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% savladali gradivo, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed linija, potrebno je ponoviti svi uslovi njegove jednačine i pronađite za svaku od njih zbir stepeni dolazne varijable.
Na primjer:
izraz sadrži “x” na 1. stepen;
izraz sadrži “Y” na 1. stepen;
U pojmu nema varijabli, tako da je zbir njihovih moći nula.
Sada hajde da shvatimo zašto jednačina definiše liniju sekunda red:
izraz sadrži “x” na 2. stepen;
sabir ima zbir stepena varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži “Y” na 2. stepen;
svi ostali uslovi - manje stepeni.
Maksimalna vrijednost: 2
Ako dodatno dodamo, recimo, našoj jednadžbi, onda će ona već odrediti linija trećeg reda. Očigledno je da opći oblik jednadžbe trećeg reda sadrži "pun skup" pojmova, zbir stepena varijabli u kojem je jednak tri:
, pri čemu koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.
Ako dodate jedan ili više odgovarajućih pojmova koji sadrže 
, onda ćemo već pričati o tome Linije 4. reda, itd.
Morat ćemo se susresti sa algebarskim linijama 3., 4. i višeg reda više puta, posebno prilikom upoznavanja polarni koordinatni sistem.
Međutim, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njenih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjer, sugerira se parabola, čija se jednadžba lako može svesti opšti izgled, i hiperbolu s ekvivalentnom jednadžbom . Međutim, nije sve tako glatko...
Značajan nedostatak opće jednačine je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je ovo hiperbola. Takvi rasporedi su dobri samo na maskenbalu, pa u toku analitičke geometrije razmatramo tipičan zadatak dovodeći jednadžbu 2. reda u kanonski oblik.
Koji je kanonski oblik jednačine?
Ovo je općenito prihvaćeno standardni pogled jednadžbe, kada za nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo pogodan za rješavanje mnogih praktični zadaci. Tako, na primjer, prema kanonskoj jednadžbi "ravno" ravno, prvo, odmah je jasno da je ovo prava linija, a drugo, tačka koja joj pripada i vektor smjera su lako vidljivi.
Očigledno je da bilo koji Linija 1. reda je prava linija. Na drugom spratu nas više ne čeka stražar, već mnogo raznovrsnije društvo od devet kipova:
Klasifikacija linija drugog reda
Korišćenjem poseban kompleks akcije, svaka jednadžba linije drugog reda se svodi na jedan od sljedećih oblika:
(i pozitivni su realni brojevi)
1) 
– kanonska jednačina elipse;
2) – kanonska jednačina hiperbole;
3) 
– kanonska jednačina parabole;
4) – imaginarni elipsa;
5) – par linija koje se seku;
6) – par imaginarni linije koje se seku (sa jednom važećom tačkom preseka u početnoj fazi);
7) – par paralelnih pravih;
8) – par imaginarni paralelne linije;
9) – par podudarnih linija.
Neki čitaoci mogu imati utisak da je lista nepotpuna. Na primjer, u tački br. 7, jednačina specificira par direktno, paralelno s osi, i postavlja se pitanje: gdje je jednadžba koja određuje prave paralelne s ordinatnom osom? Odgovor: to ne smatra se kanonskim. Prave linije predstavljaju isti standardni slučaj, rotiran za 90 stepeni, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne donosi ništa suštinski novo.
Dakle, postoji devet i samo devet razne vrste linije 2. reda, ali se u praksi najčešće sreću elipsa, hiperbola i parabola.
Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one tačke koje imaju veliki značaj za rješavanje problema, a ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.
Elipsa i njena kanonska jednadžba
Pravopis... nemojte ponavljati greške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako napraviti elipsu", "razliku između elipse i ovala" i "ekscentričnost elipse".
Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati samu definiciju elipse, ali za sada je vrijeme da se odmorimo od pričaonice i riješimo uobičajeni problem:
Kako napraviti elipsu?
Da, samo uzmi i nacrtaj. Zadatak se javlja često, a značajan dio učenika se ne snalazi pravilno sa crtežom:
Primjer 1
Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom
Rješenje: Prvo, dovedimo jednačinu u kanonski oblik: 
Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućava da odmah odredite vrhove elipse, koji se nalaze na tačkama. Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu.
U ovom slučaju : 
Segment linije pozvao glavna osovina elipsa;
linijski segment – sporedna osa;
broj 
pozvao poluglavna osovina elipsa;
broj 
– sporedna osa.
u našem primjeru: .
Da biste brzo zamislili kako izgleda određena elipsa, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.
Sve je u redu, glatko i lijepo, ali postoji jedno upozorenje: crtež sam napravio pomoću programa. A crtež možete napraviti koristeći bilo koju aplikaciju. Međutim, u surova realnost Na stolu je kockasti papir, a miševi plešu u krugovima na našim rukama. Ljudi sa umetničkim talentom, naravno, mogu da se svađaju, ali imate i miševe (iako manje). Nije uzalud čovječanstvo izmislilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.
Iz tog razloga, malo je vjerovatno da ćemo moći precizno nacrtati elipsu znajući samo vrhove. U redu je ako je elipsa mala, na primjer, s poluosama. Alternativno, možete smanjiti razmjer i, shodno tome, dimenzije crteža. Ali unutra opšti slučaj Vrlo je poželjno pronaći dodatne bodove.
Postoje dva pristupa konstruisanju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim konstrukciju pomoću šestara i ravnala jer algoritam nije najkraći i crtež je znatno zatrpan. U hitnim slučajevima pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednačine elipse u nacrtu brzo izražavamo: 
Jednačina se tada rastavlja na dvije funkcije: 
– definira gornji luk elipse; 
– definira donji luk elipse.
Elipsa definisana kanonskom jednačinom je simetrična u odnosu na koordinatne ose, kao iu odnosu na ishodište. I ovo je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatnih. Očigledno, dovoljno je pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam je potrebna funkcija 
. Potrebno je pronaći dodatne tačke sa apscisama 
. Dodirnite tri SMS poruke na kalkulatoru: 
Naravno, također je lijepo da ako se napravi ozbiljna greška u proračunima, to će odmah postati jasno tokom izgradnje.
Označite tačke na crtežu (crvena boja), simetrične tačke na preostalim lukovima ( Plava boja) i pažljivo povežite cijelu kompaniju linijom: 
Bolje je početnu skicu nacrtati vrlo tanko, a tek onda pritisnuti olovkom. Rezultat bi trebao biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova kriva?
Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse
Elipsa je poseban slučaj ovalni Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički termin koji ima detaljnu formulaciju. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih tipova, kojima se praktično ne pridaje pažnja u standardni kurs analitička geometrija. I, prema više trenutne potrebe, odmah prelazimo na striktnu definiciju elipse:
Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti do svake od dvije date tačke, tzv. trikovi elipsa, je konstantna veličina, numerički jednaka dužini glavne ose ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenosti između fokusa su manje od ove vrijednosti: .
Sada će sve biti jasnije: 
Zamislite da plava tačka "putuje" duž elipse. Dakle, bez obzira koju tačku elipse uzmemo, zbir dužina segmenata će uvijek biti isti:
Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost sume zaista jednaka osam. Mentalno postavite tačku “hm” na desni vrh elipse, a zatim: , što je trebalo provjeriti.
Druga metoda crtanja zasniva se na definiciji elipse. Viša matematika je ponekad uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite whatman papir ili veliki list kartona i pričvrstite ga na stol sa dva eksera. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave noktiju i povucite ga olovkom do kraja. Olovka olovke će završiti u određenoj tački koja pripada elipsi. Sada počnite pomicati olovku po komadu papira, držeći zeleni konac zategnutim. Nastavite proces dok se ne vratite polazna tačka... super... crtež se može predati doktoru i učitelju na provjeru =)
Kako pronaći fokuse elipse?
U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" žarišne točke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.
Ako je elipsa data kanonskom jednadžbom, tada njena žarišta imaju koordinate 
, gdje je udaljenost od svakog fokusa do centra simetrije elipse.
Izračuni su jednostavniji od jednostavnih: 
! Specifične koordinate žarišta ne mogu se identificirati sa značenjem “tse”! Ponavljam da je to UDALJENOST od svakog fokusa do centra(koji u opštem slučaju ne mora da se nalazi tačno na početku).
I, stoga, rastojanje između žarišta takođe se ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može pomjeriti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Molimo razmotrite ovog trenutka tokom daljeg proučavanja teme.
Ekscentricitet elipse i njeno geometrijsko značenje
Ekscentricitet elipse je omjer koji može uzeti vrijednosti unutar raspona.
u našem slučaju:
Hajde da saznamo kako oblik elipse zavisi od njenog ekscentriciteta. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno, vrijednost glavne poluose će ostati konstantna. Tada će formula ekscentriciteta poprimiti oblik: .
Počnimo približavati vrijednost ekscentriciteta jedinici. Ovo je moguće samo ako . Šta to znači? ...zapamti trikove 
. To znači da će se žarišta elipse "razdvojiti" duž ose apscise do bočnih vrhova. A pošto „zeleni segmenti nisu gumeni“, elipsa će se neizbežno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na osi.
dakle, kako bliža vrijednost ekscentricitet elipse na jedinicu, što je elipsa izduženija.
Sada modelirajmo suprotan proces: žarišta elipse 
hodali jedno prema drugom, približavajući se centru. To znači da vrijednost “ce” postaje sve manja i, shodno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, „zeleni segmenti“ će, naprotiv, „postati gužve“ i počeće da „guraju“ liniju elipse gore-dole.
dakle, Što je vrijednost ekscentriciteta bliža nuli, to je elipsa sličnija... pogledajte granični slučaj kada se žarišta uspješno ponovo ujedine u izvorištu:
Krug je poseban slučaj elipse
Zaista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik , koji se refleksno transformira u jednadžbu kružnice sa centrom u početnom dijelu polumjera „a“, dobro poznatu iz škole.
U praksi se češće koristi notacija sa "govornim" slovom "er": . Radijus je dužina segmenta, pri čemu je svaka tačka kruga udaljena od centra za poluprečnik udaljenosti.
Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno tačna: žarišta se poklapaju, a zbir dužina podudarnih segmenata za svaku tačku na kružnici je konstanta. Budući da je udaljenost između žarišta , Tada ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.
Izgradnja kruga je jednostavna i brza, samo koristite kompas. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate nekih njegovih tačaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednadžbu do veselog Matanovog oblika:
– funkcija gornjeg polukruga;
– funkcija donjeg polukruga.
Nakon čega nalazimo tražene vrijednosti, razlikovati, integrisati i činite druge dobre stvari.
Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako možete živjeti u svijetu bez ljubavi? Kreativni zadatak za nezavisna odluka
Primjer 2
Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako je poznato jedno od njenih žarišta i male ose (centar je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne tačke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.
Rješenje i crtež na kraju lekcije
Dodajmo akciju:
Rotirajte i paralelno prevedite elipsu
Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju, čija misterija muči radoznale umove od prvog spominjanja ove krive. Pa smo pogledali elipsu 
, ali zar nije moguće u praksi ispuniti jednačinu 
? Ipak, i ovdje se čini da je elipsa!
Ova vrsta jednadžbe je rijetka, ali se sreće. I zapravo definira elipsu. Hajde da demistifikujemo: 
Kao rezultat konstrukcije, dobijena je naša izvorna elipsa, rotirana za 90 stepeni. To je, 
- Ovo nekanonski unos elipsa 
. Record!- jednačina 
ne definira nijednu drugu elipsu, jer na osi nema tačaka (fokusa) koje bi zadovoljile definiciju elipse.
11.1. Osnovni koncepti
Razmotrimo linije definisane jednadžbama drugog stepena u odnosu na trenutne koordinate
Koeficijenti jednačine su realni brojevi, ali barem jedan od brojeva A, B ili C nije nula. Takve linije se nazivaju linije (krive) drugog reda. U nastavku će se utvrditi da jednačina (11.1) definira kružnicu, elipsu, hiperbolu ili parabolu na ravni. Prije nego pređemo na ovu tvrdnju, proučimo svojstva navedenih krivulja.
11.2. Circle
Najjednostavnija kriva drugog reda je krug. Podsjetimo da je krug polumjera R sa centrom u tački skup svih tačaka M ravni koje zadovoljavaju uvjet . Neka tačka u pravougaonom koordinatnom sistemu ima koordinate x 0, y 0 i - proizvoljnu tačku na kružnici (vidi sliku 48).
Tada iz uslova dobijamo jednačinu
(11.2)
Jednačina (11.2) je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na datoj kružnici, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje tačke koja ne leži na kružnici.
Jednačina (11.2) se zove kanonska jednadžba kruga
Konkretno, postavljanjem i , dobijamo jednačinu kružnice sa centrom u početku 
.
Jednačina kružnice (11.2) nakon jednostavnih transformacija poprimiće oblik . Kada uporedimo ovu jednačinu sa opštom jednačinom (11.1) krive drugog reda, lako je uočiti da su za jednačinu kružnice zadovoljena dva uslova:
1) koeficijenti za x 2 i y 2 su međusobno jednaki;
2) ne postoji član koji sadrži proizvod xy trenutnih koordinata.
Razmotrimo inverzni problem. Stavljajući vrijednosti i u jednačinu (11.1), dobijamo
Hajde da transformišemo ovu jednačinu:
(11.4)
Iz toga slijedi da jednačina (11.3) definira krug pod uslovom 
. Njegov centar je u tački 
, i radijus
.
Ako 
, tada jednačina (11.3) ima oblik
.
Zadovoljavaju ga koordinate jedne tačke 
. U ovom slučaju kažu: „krug je degenerisan u tačku“ (ima nulti poluprečnik).
Ako 
, zatim jednadžba (11.4), i prema tome ekvivalentna jednačina(11.3) neće definirati nijednu liniju, jer desni deo jednadžba (11.4) je negativna, a lijeva nije negativna (recimo: „krug je zamišljen“).
11.3. Elipsa
Jednadžba kanonske elipse
Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti od svake od njih do dvije date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Označimo fokuse sa F 1 I F 2, udaljenost između njih je 2 c, a zbir udaljenosti od proizvoljne tačke elipse do žarišta - u 2 a(vidi sliku 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a
> c.
Za izvođenje jednačine elipse biramo koordinatni sistem tako da su fokusi F 1 I F 2 leži na osi, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta Ž 1 Ž 2. Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: i .
Neka je proizvoljna tačka elipse. Tada, prema definiciji elipse, tj.
Ovo je, u suštini, jednačina elipse.
Hajde da transformišemo jednačinu (11.5) na više jednostavan pogled na sljedeći način:
Jer a>With, To . Hajde da stavimo
(11.6)
Tada će posljednja jednadžba poprimiti oblik ili
(11.7)
Može se dokazati da je jednačina (11.7) ekvivalentna izvornoj jednačini. To se zove kanonska jednadžba elipse .
Elipsa je kriva drugog reda.
Proučavanje oblika elipse pomoću njene jednadžbe
Utvrdimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.
1. Jednačina (11.7) sadrži x i y samo u parnim stepenima, pa ako tačka pripada elipsi, tada joj pripadaju i tačke ,,. Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na ose i, kao i u odnosu na tačku koja se naziva središte elipse.
2. Naći tačke preseka elipse sa koordinatnim osa. Stavljajući , nalazimo dvije točke i , u kojima os siječe elipsu (vidi sliku 50). Stavljajući u jednačinu (11.7) nalazimo tačke presjeka elipse sa osom: i . Poeni A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 su pozvani vrhove elipse. Segmenti A 1 A 2 I B 1 B 2, kao i njihove dužine 2 a i 2 b nazivaju se u skladu s tim velike i male ose elipsa. Brojevi a I b nazivaju se velikim i malim osovinske osovine elipsa.
3. Iz jednačine (11.7) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedan, tj. dešavaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve tačke elipse leže unutar pravougaonika formiranog od pravih linija.
4. U jednačini (11.7), zbir nenegativnih članova i jednak je jedan. Shodno tome, kako se jedan član povećava, drugi će se smanjivati, odnosno ako se povećava, smanjuje se i obrnuto.
Iz navedenog proizilazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 50 (ovalna zatvorena kriva).
Više informacija o elipsi
Oblik elipse zavisi od omjera. Kada se elipsa pretvori u krug, jednadžba elipse (11.7) poprima oblik . Omjer se često koristi za karakterizaciju oblika elipse. Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse, a o6o se označava slovom ε („epsilon“):
sa 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Ovo pokazuje da što je manji ekscentricitet elipse, to će elipsa biti manje spljoštena; ako postavimo ε = 0, tada se elipsa pretvara u krug.
Neka je M(x;y) proizvoljna tačka elipse sa fokusima F 1 i F 2 (vidi sliku 51). Dužine segmenata F 1 M = r 1 i F 2 M = r 2 nazivaju se žarišnim polumjerima tačke M. Očigledno,
Formule vrijede
Direktne linije se nazivaju
Teorema 11.1. Ako je udaljenost od proizvoljne tačke elipse do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu elipse:
Iz jednakosti (11.6) slijedi da . Ako, onda jednačina (11.7) definira elipsu, čija glavna osa leži na Oy osi, a mala osa na Ox osi (vidi sliku 52). Fokusi takve elipse su u tačkama i , gdje 
.
11.4. Hiperbola
Kanonička hiperbola jednadžba
Hiperbola je skup svih tačaka ravni, modul razlike rastojanja od svake od njih do dve date tačke ove ravni, tzv. trikovi , je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.
Označimo fokuse sa F 1 I F 2 udaljenost između njih je 2s, i modul razlike u udaljenosti od svake tačke hiperbole do žarišta kroz 2a. A-prioritet 2a < 2s, tj. a < c.
Za izvođenje jednadžbe hiperbole biramo koordinatni sistem tako da su fokusi F 1 I F 2 leži na osi, a ishodište se poklapa sa sredinom segmenta Ž 1 Ž 2(vidi sliku 53). Tada će žarišta imati koordinate i
Neka je proizvoljna tačka hiperbole. Zatim, prema definiciji hiperbole 
ili , tj. Nakon pojednostavljenja, kao što je učinjeno prilikom izvođenja jednačine elipse, dobijamo
kanonska jednačina hiperbole
(11.9)
(11.10)
Hiperbola je linija drugog reda.
Proučavanje oblika hiperbole pomoću njene jednadžbe
Uspostavimo oblik hiperbole koristeći njenu kakoničnu jednadžbu.
1. Jednačina (11.9) sadrži x i y samo u parnim stepenima. Prema tome, hiperbola je simetrična u odnosu na ose i , kao i u odnosu na točku, koja se zove centar hiperbole.
2. Naći tačke preseka hiperbole sa koordinatnim osa. Stavljajući u jednačinu (11.9), nalazimo dvije točke presjeka hiperbole sa osom: i. Stavljajući u (11.9), dobijamo , što ne može biti. Prema tome, hiperbola ne siječe osu Oy.
Tačke se zovu vrhovi hiperbole i segment
realna osa , segment - realna polu-osa hiperbola.
Segment koji povezuje tačke se naziva imaginarne ose , broj b - imaginarna polu-osa . Pravougaonik sa stranicama 2a I 2b pozvao osnovni pravougaonik hiperbole .
3. Iz jednačine (11.9) slijedi da minus nije manji od jedan, tj. da ili . To znači da se tačke hiperbole nalaze desno od prave (desna grana hiperbole) i levo od prave (lijeva grana hiperbole).
4. Iz jednačine (11.9) hiperbole jasno je da kada raste, raste. Ovo proizilazi iz činjenice da razlika održava konstantnu vrijednost jednaku jedan.
Iz navedenog proizilazi da hiperbola ima oblik prikazan na slici 54 (kriva koja se sastoji od dvije neograničene grane).
Asimptote hiperbole
Prava L se naziva asimptota 
neograničene krive K ako rastojanje d od tačke M krive K do ove prave teži nuli kada je udaljenost tačke M duž krive K od početka neograničena. Slika 55 daje ilustraciju koncepta asimptote: prava L je asimptota za krivu K.
Pokažimo da hiperbola ima dvije asimptote:
(11.11)
Kako su prave (11.11) i hiperbola (11.9) simetrične u odnosu na koordinatne ose, dovoljno je uzeti u obzir samo one tačke navedenih linija koje se nalaze u prvoj četvrtini.
Uzmimo tačku N na pravoj koja ima istu apscisu x kao tačka na hiperboli 
(vidi sliku 56) i pronađite razliku ΜΝ između ordinata prave linije i grane hiperbole:
Kao što vidite, kako se x povećava, nazivnik razlomka se povećava; brojilac je konstantna vrijednost. Dakle, dužina segmenta 
ΜΝ teži nuli. Pošto je MΝ veće od udaljenosti d od tačke M do prave, onda d teži nuli. Dakle, prave su asimptote hiperbole (11.9).
Prilikom konstruisanja hiperbole (11.9), preporučljivo je prvo konstruisati glavni pravougaonik hiperbole (vidi sliku 57), povući prave linije koje prolaze kroz suprotne vrhove ovog pravougaonika - asimptote hiperbole i označiti vrhove i , hiperbole.
Jednadžba jednakostranične hiperbole.
čije su asimptote koordinatne ose
Hiperbola (11.9) se naziva jednakostranična ako su njene poluose jednake (). Njegova kanonska jednadžba
(11.12)
Asimptote jednakostranične hiperbole imaju jednačine i stoga su simetrale koordinatnih uglova.
Razmotrimo jednačinu ove hiperbole u novom koordinatnom sistemu (vidi sliku 58), dobijenom iz starog rotacijom koordinatnih osa za ugao. Koristimo formule za rotiranje koordinatnih osa:
Zamjenjujemo vrijednosti x i y u jednadžbu (11.12):
Jednačina jednakostranične hiperbole, za koju su ose Ox i Oy asimptote, imat će oblik .
Više informacija o hiperboli
Ekscentričnost hiperbola (11.9) je omjer udaljenosti između žarišta i vrijednosti realne ose hiperbole, označene sa ε:
Budući da je za hiperbolu , ekscentricitet hiperbole veći od jedan: . Ekscentricitet karakterizira oblik hiperbole. Zaista, iz jednakosti (11.10) slijedi da, tj. I 
.
Iz ovoga se vidi da što je manji ekscentricitet hiperbole, to je manji omjer njenih poluosi, a samim tim i njen glavni pravougaonik više je izdužen.
Ekscentricitet jednakostranične hiperbole je . stvarno,
Fokalni radijusi 
I 
za tačke desne grane hiperbole imaju oblik i , a za levu granu - 
I 
.
Direktne linije nazivaju se direktrisama hiperbole. Budući da je za hiperbolu ε > 1, onda . To znači da se desna direktrisa nalazi između centra i desnog vrha hiperbole, lijeva - između centra i lijevog vrha.
Directrise hiperbole imaju isto svojstvo kao i direktrise elipse.
Krivulja definirana jednadžbom je također hiperbola, čija se realna os 2b nalazi na osi Oy, a imaginarna osa 2 a- na osi Ox. Na slici 59 prikazan je kao isprekidana linija.
Očigledno je da hiperbole imaju zajedničke asimptote. Takve hiperbole se nazivaju konjugate.
11.5. Parabola
Kanonička parabola jednadžba
Parabola je skup svih tačaka ravni, od kojih je svaka jednako udaljena od date tačke, koja se zove fokus, i date prave koja se zove direktrisa. Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se sa p (p > 0).
Za izvođenje jednačine parabole biramo koordinatni sistem Oxy tako da os Ox prolazi kroz fokus F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise do F, a ishodište koordinata O nalazi se u sredini između fokus i direktrisa (vidi sliku 60). U odabranom sistemu fokus F ima koordinate , a jednadžba direktrise ima oblik , ili .
1. U jednačini (11.13) varijabla y se pojavljuje u parnom stepenu, što znači da je parabola simetrična oko ose Ox; Osa Ox je osa simetrije parabole.
2. Kako je ρ > 0, iz (11.13) slijedi da je . Prema tome, parabola se nalazi desno od ose Oy.
3. Kada imamo y = 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište.
4. Kako se x neograničeno povećava, modul y također raste beskonačno. Parabola ima oblik (oblik) prikazan na slici 61. Tačka O(0; 0) naziva se vrh parabole, odsječak FM = r naziva se žarišni polumjer tačke M.
Jednadžbe , , ( p>0) također definiraju parabole, one su prikazane na slici 62
Lako je pokazati da graf kvadratni trinom, gdje su , B i C bilo koji realni brojevi, je parabola u smislu njene definicije date gore.
11.6. Opšta jednačina linija drugog reda
Jednadžbe krivulja drugog reda sa osama simetrije paralelnim sa koordinatnim osa
Nađimo prvo jednačinu elipse sa centrom u tački, čije su osi simetrije paralelne koordinatnim osama Ox i Oy, a poluose jednake a I b. Postavimo u centar elipse O 1 početak novog koordinatnog sistema čije ose i poluose a I b(vidi sliku 64):
Konačno, parabole prikazane na slici 65 imaju odgovarajuće jednačine.
Jednačina
Jednačine elipse, hiperbole, parabole i jednadžbe kruga nakon transformacija (otvorite zagrade, pomaknite sve članove jednadžbe na jednu stranu, dovedite slične članove, uvedite nove oznake za koeficijente) mogu se napisati pomoću jedne jednadžbe formu
pri čemu koeficijenti A i C nisu u isto vrijeme jednaki nuli.
Postavlja se pitanje: da li svaka jednadžba oblika (11.14) određuje jednu od krivulja (krug, elipsa, hiperbola, parabola) drugog reda? Odgovor je dat sljedećom teoremom.
Teorema 11.2. Jednačina (11.14) uvijek definira: ili krug (za A = C), ili elipsu (za A C > 0), ili hiperbolu (za A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Opća jednačina drugog reda
Hajde sada da razmotrimo opšta jednačina drugi stepen sa dve nepoznate:
Razlikuje se od jednačine (11.14) po prisustvu člana sa proizvodom koordinata (B¹ 0). Moguće je, rotiranjem koordinatnih osa za ugao a, transformisati ovu jednačinu tako da član sa proizvodom koordinata izostane.
Korištenje formula rotacije osi
Izrazimo stare koordinate u terminima novih:
Odaberemo ugao a tako da koeficijent za x" · y" postane nula, tj. da je jednakost
Dakle, kada se ose zarotiraju za ugao a koji zadovoljava uslov (11.17), jednačina (11.15) se svodi na jednačinu (11.14).
Zaključak: opšta jednačina drugog reda (11.15) definira na ravni (osim slučajeva degeneracije i raspadanja) sljedeće krive: kružnica, elipsa, hiperbola, parabola.
Napomena: Ako je A = C, onda jednačina (11.17) postaje besmislena. U ovom slučaju, cos2α = 0 (vidi (11.16)), tada je 2α = 90°, tj. α = 45°. Dakle, kada je A = C, koordinatni sistem treba rotirati za 45°.
Elipsa je geometrijski lokus tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke F_1, a F_2 je konstantna vrijednost (2a) veća od udaljenosti (2c) između ovih date bodove(Sl. 3.36, a). Ova geometrijska definicija izražava fokalno svojstvo elipse.
Fokalno svojstvo elipse
Tačke F_1 i F_2 se nazivaju fokusi elipse, udaljenost između njih 2c=F_1F_2 je žižna daljina, sredina O segmenta F_1F_2 je centar elipse, broj 2a je dužina glavne ose elipse elipse (prema tome, broj a je velika poluosa elipse). Segmenti F_1M i F_2M koji povezuju proizvoljnu tačku M elipse sa njenim žarištima nazivaju se fokalni radijusi tačke M. Segment koji spaja dvije tačke elipse naziva se tetiva elipse.
Omjer e=\frac(c)(a) naziva se ekscentricitet elipse. Iz definicije (2a>2c) slijedi da je 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrijska definicija elipse, izražavajući njegovo fokalno svojstvo, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom elipse:
Zaista, hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem (slika 3.36c). Uzimamo centar O elipse kao ishodište koordinatnog sistema; uzimamo pravu liniju koja prolazi kroz žarišta (fokalnu os ili prvu os elipse) kao osu apscise (pozitivni smjer na njoj je od tačke F_1 do tačke F_2); uzmimo pravu liniju okomitu na fokalnu osu i koja prolazi kroz centar elipse (druga os elipse) kao ordinatnu os (smjer na ordinatnoj osi je odabran tako da je pravokutni koordinatni sistem Oxy pravi) .
Kreirajmo jednačinu za elipsu koristeći njenu geometrijsku definiciju, koja izražava fokalno svojstvo. U odabranom koordinatnom sistemu određujemo koordinate žarišta F_1(-c,0),~F_2(c,0). Za proizvoljnu tačku M(x,y) koja pripada elipsi imamo:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapisujući ovu jednakost u koordinatnom obliku, dobijamo:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Pomjerimo drugi radikal na desnu stranu, kvadriramo obje strane jednadžbe i donosimo slične članove:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dijeljenjem sa 4 kvadriramo obje strane jednadžbe:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Nakon što je odredio b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dobijamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dijelimo obje strane sa a^2b^2\ne0, dolazimo do kanonske jednadžbe elipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Stoga je odabrani koordinatni sistem kanonski.
Ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica (sl. 3.36,6), pošto je a=b. U ovom slučaju, svaki pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački biće kanonski O\ekviv. F_1\ekviv. F_2, a jednačina x^2+y^2=a^2 je jednačina kružnice sa centrom u tački O i polumjerom jednakim a.
Rezonovanjem u obrnutim redosledom, može se pokazati da sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (3.49), a samo one, pripadaju geometrijskom lokusu tačaka koji se naziva elipsa. Drugim riječima, analitička definicija elipse je ekvivalentna njenoj geometrijskoj definiciji, koja izražava fokalno svojstvo elipse.
Direktorijsko svojstvo elipse
Direktrise elipse su dvije prave linije koje idu paralelno sa ordinatnom osom kanonskog koordinatnog sistema na istoj udaljenosti \frac(a^2)(c) od nje. Kod c=0, kada je elipsa kružnica, nema direktrisa (možemo pretpostaviti da su direktrise u beskonačnosti).
Elipsa sa ekscentricitetom 0
U stvari, na primjer, za fokus F_2 i direktrisu d_2 (slika 3.37,6) uvjet \frac(r_2)(\rho_2)=e može se napisati u koordinatnom obliku:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\desno)
Oslobađanje od iracionalnosti i zamena e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dolazimo do jednadžbe kanonske elipse (3.49). Slično razmišljanje se može izvesti za fokus F_1 i direktora d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu F_1r\varphi (sl. 3.37,c i 3.37(2)) ima oblik
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
gdje je p=\frac(b^2)(a) fokalni parametar elipse.
U stvari, izaberemo lijevi fokus F_1 elipse kao pol polarnog koordinatnog sistema, a zrak F_1F_2 kao polarnu osu (slika 3.37, c). Tada za proizvoljnu tačku M(r,\varphi), prema geometrijskoj definiciji (fokalno svojstvo) elipse, imamo r+MF_2=2a. Izražavamo rastojanje između tačaka M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (vidi paragraf 2 napomene 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(poravnano)
Stoga, u koordinatnom obliku, jednadžba elipse F_1M+F_2M=2a ima oblik
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izoliramo radikal, kvadriramo obje strane jednadžbe, dijelimo sa 4 i predstavljamo slične pojmove:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Izražavamo polarni radijus r i vršimo zamjenu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometrijsko značenje koeficijenata u jednadžbi elipse
Nađimo tačke preseka elipse (vidi sliku 3.37, a) sa koordinatnim osama (temovima elipse). Zamjenom y=0 u jednačinu, nalazimo točke presjeka elipse sa apscisnom osom (sa fokalnom osom): x=\pm a. Prema tome, dužina segmenta žižne ose unutar elipse jednaka je 2a. Ovaj segment, kao što je gore navedeno, naziva se glavna osa elipse, a broj a je velika poluosa elipse. Zamjenom x=0 dobijamo y=\pm b. Dakle, dužina segmenta druge ose elipse koja se nalazi unutar elipse jednaka je 2b. Ovaj segment se naziva mala osa elipse, a broj b je poluos elipse.
stvarno, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a jednakost b=a dobija se samo u slučaju c=0, kada je elipsa kružnica. Stav k=\frac(b)(a)\leqslant1 naziva se omjer kompresije elipse.
Napomene 3.9
1. Prave linije x=\pm a,~y=\pm b ograničavaju glavni pravougaonik na koordinatnoj ravni, unutar koje se nalazi elipsa (vidi sliku 3.37, a).
2. Elipsa se može definirati kao lokus tačaka dobijen kompresijom kruga na njegov prečnik.
Zaista, neka je jednačina kružnice u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy x^2+y^2=a^2. Kada se komprimuje na x-osu sa koeficijentom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Zamjenom kružnica x=x" i y=\frac(1)(k)y" u jednačinu dobijamo jednačinu za koordinate slike M"(x",y") tačke M(x, y): (x")^2+(\lijevo(\frac(1)(k)\cdot y"\desno)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} budući da je b=k\cdot a . Ovo je kanonska jednadžba elipse. 3. Koordinatne ose (kanonskog koordinatnog sistema) su ose simetrije elipse (koje se nazivaju glavne ose elipse), a njen centar je centar simetrije. Zaista, ako tačka M(x,y) pripada elipsi . tada tačke M"(x,-y) i M""(-x,y), simetrične tački M u odnosu na koordinatne ose, takođe pripadaju istoj elipsi. 4. Iz jednadžbe elipse u polarnom koordinatnom sistemu r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vidi sliku 3.37, c), ispostavilo se geometrijsko značenje fokalni parametar je polovina dužine tetive elipse koja prolazi kroz njen fokus okomito na fokalnu osu (r = p na \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentricitet e karakteriše oblik elipse, odnosno razliku između elipse i kružnice. Što je veće e, to je elipsa izduženija, a što je e bliže nuli, to je elipsa bliža krugu (slika 3.38a). Zaista, uzimajući u obzir da je e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2, dobijamo E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\desno )\^2=1-k^2,
!} gdje je k omjer kompresije elipse, 0 6. Jednačina \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 at a
7. Jednačina \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiše elipsu sa centrom u tački O"(x_0,y_0), čije su ose paralelne sa koordinatnim osa (slika 3.38, c). Ova jednačina se svodi na kanonsku pomoću paralelnog prevođenja (3.36). Kada je a=b=R jednačina (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje krug radijusa R sa centrom u tački O"(x_0,y_0) . Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sistemu ima oblik \begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.
Zaista, zamjenom ovih izraza u jednačinu (3.49), dolazimo do glavnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1 . Primjer 3.20. Nacrtajte elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sistemu Oxy. Pronađite polu-ose, žižnu daljinu, ekscentricitet, omjer širine i visine, fokusni parametar, jednačine direktrise. Rješenje. Upoređujući datu jednačinu sa kanonskom, određujemo poluose: a=2 - velika poluosa, b=1 - mala poluosa elipse. Gradimo osnovni pravougaonik sa stranicama 2a=4,~2b=2 sa centrom na početku (slika 3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklapamo je u glavni pravougaonik. Ako je potrebno, odredite koordinate nekih tačaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednadžbu elipse, dobijamo \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dakle, tačke sa koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pripadaju elipsi. Izračunavanje omjera kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žižna daljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokalni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrisa: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Parametrijska jednadžba elipse
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
