U ovom odjeljku ćemo razmotriti zadatke povezane s razni sistemi koordinate dijeljenjem segmenta u datom omjeru.
Date su koordinate tačaka: A(4; 3), IN(7; 6), WITH(2; 11). Dokažimo da je trougao ABC pravougaona.
Pronađite dužine stranica trougla ABC. U tu svrhu koristimo formulu koja nam omogućava da pronađemo udaljenost između dvije tačke na ravni:
Dužine stranica će biti jednake:
S obzirom da za stranice ovog trougla vrijedi Pitagorina teorema
zatim trougao ABC– pravougaoni.
Poeni se daju A(2; 1) i IN(8; 4). Pronađite koordinate tačke M(X; at), koji dijeli segment u omjeru 2:1.
Podsjetimo da je poenta M(X; at) dijeli segment AB, Gdje A(x A , y A), B(x B , y B), u odnosu na λ: μ, ako njegove koordinate zadovoljavaju uslove:
,
.
Hajde da nađemo poentu M za dati segment
,
.
Dakle, poenta M(6; 3) dijeli segment AB u omjeru 2:1.
Pronađite pravougaone koordinate tačke A(
3π/4), ako se pol poklapa sa ishodištem koordinata, a polarna osa je usmjerena duž ose apscise.
Uzimajući u obzir formule za prelazak iz polarnog u pravougaoni koordinatni sistem
x = r cosφ, y = r sinφ,
dobijamo
,
.
U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu, koordinate tačke su A(–2; 2).
Nađimo polarne koordinate tačaka koje imaju sljedeće pravokutne koordinate:
A(
;
2),IN(–4;
4), WITH(–7;
0).
Koristimo formule za prijelaz s pravokutnih koordinata na polarne:
,
.
Uzmimo koordinate za tačku A:
,
.
Dakle A(4; π/6) – polarne koordinate (sl. 15).
Za bod IN(Sl. 16) imamo
,
.
Dakle, polarne koordinate tačke IN(
, 3π/4).
Razmotrite poentu WITH(–7; 0) (Sl. 17). U ovom slučaju
,
,
.
Možete napisati polarne koordinate tačke WITH(7; π).
Nađimo dužinu vektora a = 20i + 30j – 60k i njegov kosinus smjera.
Podsjetimo da su kosinusi smjera kosinusi uglova koji su vektorski a (a 1 , a 2 , a 3) oblici sa koordinatnim osa:
,
,
,
Gdje 
.
Primjenjujući ove formule na ovaj vektor, dobivamo
,
.
Normalizujemo vektor a = 3i + 4j – 12k .
Normalizirati vektor znači pronaći vektor jedinične dužine A
0, usmjeren na isti način kao i ovaj vektor. Za proizvoljan vektor a
(a 1 ,
a 2 ,
a 3) odgovarajući vektor jedinične dužine može se naći množenjem a
na djelić 
.
.
U našem slučaju, vektor jedinične dužine:
.
Nađimo skalarni proizvod vektora
a = 4i + 5j + 6k I b = 3i – 4j + k .
Da biste pronašli skalarni proizvod vektora, morate pomnožiti odgovarajuće koordinate i dodati rezultirajuće proizvode. Dakle, za vektore a = a 1 i + a 2 j + a 3 k I b = b 1 i + b 2 j + b 3 k skalarni proizvod ima oblik:
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Za ove vektore dobijamo
(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Pokažimo da su vektori a = 2i – 3j + 5k I b = i + 4j + 2k okomito.
Dva vektora su okomita ako je njihov dot proizvod jednak nuli.
Nađimo skalarni proizvod:
(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Dakle, vektori A I b okomito.
Hajde da saznamo pri kojoj vrednosti parametra m vektori a = 2i + 3j + mk I b = 3i + mj – 2k okomito.
Nađimo skalarni proizvod vektora A I b :
(a , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.
Vektori su okomiti ako je njihov skalarni proizvod nula. Proizvod izjednačavamo sa nulom ( A , b ):
6 + m = 0.
At m= – 6 vektora A I b okomito.
Primjer 10.
Nađimo skalarni proizvod (3 A + 4b , 2A – 3b ), ako | a | = 2, |b | = 1 i ugao φ između A I b jednako π/3.
Koristimo svojstva skalarnog proizvoda:
(α a , β b ) = αβ( a , b ),
(a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ),
(a , b ) = (b , a )
(a , a ) = |a | 2 ,
kao i definicija skalarnog proizvoda ( a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. Prepišimo skalarni proizvod u obliku
(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =
6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Primjer 11.
Odredimo ugao između vektora
a = i + 2j + 3k I b = 6i + 4j – 2k .
Da bismo pronašli ugao, koristimo definiciju skalarnog proizvoda dva vektora
(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,
gdje je φ ugao između vektora A I b . Izrazimo cosφ iz ove formule
.
S obzirom na to ( A
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, dobijamo:
.
dakle, 
.
Primjer 12.
a = 5i – 2j + 3k I b = i + 2j – 4k .
Poznato je da je vektorski proizvod vektora a = a 1 i + a 2 j + a 3 k I b = b 1 i + b 2 j + b 3 k nalazi se po formuli
.
Dakle, za ove vektore
2i + 23j + 12k .
Razmotrimo primjer gdje će se za pronalaženje modula vektorskog proizvoda koristiti definicija vektorskog proizvoda, a ne izražavanje kroz koordinate faktora, kao što je bio slučaj u prethodnom primjeru.
Primjer 13.
Nađimo modul vektorskog proizvoda vektora A + 2b i 2 A – 3b , ako | a | = 1, |b | = 2 i ugao između vektora A I b jednak 30°.
Iz definicije vektorskog proizvoda jasno je da za proizvoljne vektore A I b njegov modul je
|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ sin φ.
Uzimajući u obzir svojstva vektorskog proizvoda
[a , b ] = – [b , a ],
[a , a ] = 0,
[α a + β b , c ] = α[ a , c ] + β[ b , c ],
dobijamo
[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].
To znači da je modul vektorskog proizvoda jednak
|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Primjer 14.
Izračunajmo površinu paralelograma izgrađenog na vektorima
a = 6i + 3j – 2k I b = 3i – 2j + 6k .
Poznato je da je modul vektorskog proizvoda dva vektora jednaka površini paralelogram konstruisan na ovim vektorima. Nađimo vektorski proizvod koristeći formulu:
,
Gdje a = a 1 i + a 2 j + a 3 k I b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Zatim izračunavamo njegov modul.
Za ove vektore dobijamo
14i – 42j – 21k .
Dakle, površina paralelograma je
S = |[a , b ]| = (kv. jedinice).
Primjer 15.
Izračunajte površinu trokuta sa vrhovima A(1;2;1), IN(3;3;4), WITH(2;1;3).
Očigledno, površina trokuta ABC jednaka polovini površine paralelograma izgrađenog na vektorima 
I 
.
Zauzvrat, površina paralelograma izgrađena na vektorima 
I 
, jednak je modulu vektorskog proizvoda [ 
]. Dakle
|[
]|.
Nađimo koordinate vektora 
I 
, oduzimajući odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja vektora, dobijamo
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
Nađimo vektorski proizvod:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Nađimo modul vektorskog proizvoda:
|[
]|
=
.
Dakle, možemo dobiti površinu trokuta:
(kv. jedinice).
Primjer 16.
Izračunajmo površinu paralelograma izgrađenog na vektorima a + 3b i 3 a – b , ako | a | = 2, |b | = 1 i ugao između A I b jednak 30°.
Nađimo modul vektorskog proizvoda koristeći njegovu definiciju i svojstva navedena u primjeru 13, dobijamo
[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].
To znači da je tražena površina jednaka
S = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (kv. jedinica).
Sljedeći primjeri će uključivati upotrebu mješovitog proizvoda vektora.
Primjer 17.
Pokažite da vektori a = i + 2j – k , b = 3i + k I With = 5i + 4j – k komplanarno.
Vektori su komplanarni ako je njihov mješoviti proizvod nula. Za proizvoljne vektore
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k
nalazimo mješoviti proizvod koristeći formulu:
.
Za ove vektore dobijamo
.
Dakle, ovi vektori su komplanarni.
Nađite zapreminu trouglaste piramide sa vrhovima A(1;1;1), IN(3;2;1), WITH(2;4;3), D(5;2;4).
Nađimo koordinate vektora 
,
I 
, koji se poklapa sa ivicama piramide. Oduzimajući odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja vektora, dobijamo
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Poznato je da je zapremina piramide jednaka 1/6 zapremine paralelepipeda izgrađenog na vektorima 
,
I 
. dakle,
.
Zauzvrat, volumen paralelepipeda jednak je modulu mješovitog proizvoda
V para
= |(
,
,
)|.
Nađimo mješoviti proizvod
(
,
,
)
=
.
Dakle, zapremina piramide je
(kubične jedinice).
U sljedećim primjerima pokazaćemo moguće primjene vektorske algebre.
Primjer 19.
Provjerimo da li su vektori 2 kolinearni A + b I A – 3b , Gdje a = 2i + j – 3k I b = i + 2j + 4k .
Nađimo koordinate vektora 2 A + b I A – 3b :
2A + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
A – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Poznato je da kolinearni vektori imaju proporcionalne koordinate. S obzirom na to
,
nalazimo da postoje 2 vektora A + b I A – 3b nekolinearno.
Ovaj problem je mogao biti riješen i na drugi način. Kriterij kolinearnosti vektora je jednakost vektorskog proizvoda nuli:
2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].
Nađimo vektorski proizvod vektora A I b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
dakle,
= –7[a , b ] ≠ 0
i vektori 2 A + b I A – 3b nekolinearno.
Primjer 20.
Nađimo rad sile F (3; 2; 1), kada je tačka njegove primene A(2; 4;–6), krećući se pravolinijski, kreće se do tačke IN(5; 2; 3).
Poznato je da je rad sile skalarni proizvod sile F
na vektor pomaka 
.
Nađimo koordinate vektora 
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Dakle, rad sile F pomeranjem tačke A upravo INće biti jednak skalarnom proizvodu
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Primjer 21.
Neka sila F (2;3;–1) se primjenjuje na tačku A(4;2;3). Pod silom F dot A kreće do tačke IN(3;1;2). Nađimo modul momenta sile F u odnosu na tačku IN.
Poznato je da je moment sile jednak vektorskom proizvodu sile i pomaka. Nađimo vektor pomaka 
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Nađimo moment sile kao vektorski proizvod:
= – 4i + 3j + k .
Dakle, modul momenta sile je jednak modulu vektorskog proizvoda:
|[F
,
]|
=
.
60) Dat sistem vektora a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Istražite to dalje linearna zavisnost.
a) Sistem vektora je linearno zavisan;
b) Sistem vektora je linearno nezavisan;
c) nema tačnog odgovora.
61) Istražite vektorski sistem
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) na linearni odnos.
a) sistem vektora je linearno nezavisan;
b) sistem vektora je linearno zavisan;
c) nema tačnog odgovora.
62) Je sistem vektora a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) linearno zavisna?
a) ne, nije;
b) da, jeste.
63) Da li je izražen vektor b =(2, -1, 3) kroz vektorski sistem = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) ne, nije izraženo;
b) da, izraženo je.
64) Istražite sistem vektora za linearnu zavisnost
a = , b = , c = .
a) linearno nezavisna;
b) linearno zavisna;
c) nema tačnog odgovora.
65) Istražite sistem vektora za linearnu zavisnost
a = , b = , c =
a) linearno nezavisna;
b) linearno zavisna;
c) nema tačnog odgovora.
66) Da li je sistem vektora linearno zavisan?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) linearno zavisna;
b) linearno nezavisna;
c) nema tačnog odgovora.
67) Neka je broj linearno nezavisnih redova matrice jednak m, a broj linearno nezavisnih kolona matrice jednak n. Odaberite tačnu tvrdnju.
d) odgovor zavisi od matrice.
68) Osnovni vektori linearnog prostora su
a) linearno zavisna;
b) linearno nezavisna;
c) odgovor zavisi od konkretne osnove.
69) šta je vektor?
a) ovo je zraka koja pokazuje smjer kretanja
b) ovo je usmjereni segment s početkom u tački A i krajem u tački B, koji se može pomicati paralelno sa sobom
c) ovo je figura koja se sastoji od mnogo tačaka jednako udaljenih jedna od druge.
d) ovo je segment sa početkom u tački A i krajem u tački B, koji se ne može pomerati paralelno sa sobom
70) Ako je linearna kombinacija 1 + 2 +….+ƛ r može predstavljati nulti vektor kada je među brojevima ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r postoji barem jedan različit od nule, tada sistem vektora a 1, a 2,…., a str zove:
a) linearno nezavisna;
b) linearno zavisna;
c) trivijalan;
d) netrivijalan.
71) Ako je linearna kombinacija 1 + 2 +….+ƛ r predstavlja nulti vektor samo kada su svi brojevi ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r jednaki su nuli, onda sistem vektora a 1, a 2,…., a str zove:
a) linearno nezavisna;
b) linearno zavisna;
c) trivijalan;
d) netrivijalan.
72) Osnova vektorskog prostora je takav sistem vektora koji je specificiran određenim redosledom i zadovoljava uslove:
a) Sistem je linearno nezavisan;
b) Svaki vektor prostora je linearna kombinacija datog sistema;
c) Oba su tačna;
d) Oba su netačna.
73) Podskup prostora Rn koji ima svojstvo zatvorenosti u odnosu na operacije sabiranja i množenja brojevima naziva se:
a) Linearni predprostor prostora Rn;
b) Projekcija prostora R n ;
c) Linearni podprostor prostora Rn;
d) nema tačnog odgovora.
74) Ako konačni sistem vektora sadrži linearno zavisan podsistem, onda:
a) Linearno zavisna;
b) Linearno nezavisna;
75) Ako je sistem linearan zavisni vektor dodajte jedan ili više vektora, rezultujući sistem će biti:
a) Linearno zavisna;
b) Linearno nezavisna;
c) Ni linearno zavisna ni linearno nezavisna.
76) Tri vektora nazivaju se komplanarnim ako:
a) Leže na paralelnim pravima;
b) Leže na istoj pravoj liniji;
c) Linearno nezavisna;
d) leže u paralelnim ravnima;
77) Dva vektora nazivaju se kolinearni ako:
a) Leže u istoj ravni;
b) Leže u paralelnim ravnima;
c) Linearno nezavisna;
d) Leže na paralelnim pravima;
78) Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je da budu:
a) Kolateral;
b) Koplanarni;
c) Linearno nezavisna;
d) Ne postoji ispravna opcija.
79) proizvod vektora a=(a 1 ,a 2 ,a 3) broj se zove vektor b, jednako
A) ( a 1 , a 2 , a 3)
b) (+ a 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /a 1 , /a 2 , /a 3)
80) ako dva vektora leže na istoj pravoj, onda takvi vektori jesu
a) jednaka
b) korežirano
c) kolinearna
d) suprotno usmjerene
81) skalarni proizvod vektora je jednak
a) proizvod njihovih dužina;
b) proizvod njihovih dužina kosinusom ugla između njih;
c) proizvod njihovih dužina sa sinusom ugla između njih;
d) proizvod njihovih dužina tangentom ugla između njih;
82) proizvod vektora A nazvao se
a) dužina vektora A
b) skalarni kvadrat vektora A
c) vektorski pravac A
d) nema tačnog odgovora
83) ako je proizvod vektora jednak 0, onda se takvi vektori nazivaju
a) kolinearna
b) korežirano
c) ortogonalno
d) paralelno
84) dužina vektora je
a) njegov skalarni kvadrat
b) korijen njegovog skalarnog kvadrata
c) zbir njegovih koordinata
d) razlika između koordinata kraja i početka vektora
85) koja su pravila za pronalaženje zbira vektora (više odgovora)
a) pravilo trougla
b) pravilo kruga
c) pravilo paralelograma
d) Gaussovo pravilo
e) pravilo poligona
f) pravilo pravougaonika
86) ako tač A poklapa se sa tačkom IN, tada se vektor zove
a) jedinični vektor
c) nulti vektor
d) trivijalni vektor
87) da bi dva vektora bila kolinearna potrebno je da
a) njihove koordinate su bile iste
b) njihove koordinate su bile proporcionalne
c) koordinate su im bile suprotne
d) njihove koordinate su bile jednake 0
88) data su dva vektora a=2m+4n i b=m-n, pri čemu su m i n jedinični vektori koji formiraju ugao od 120 0. Pronađite ugao između vektora a i b.
89) Dva jedinična vektora m i n data su na ravni. Poznato je da je ugao između njih 60 stepeni. Pronađite dužinu vektora a=m+2n (zaokružite odgovor na 0,1)
90) Pronađite ugao između dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima a=-4k i b=2i+j
91) date su dužine vektora |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Definirajte |a+b|
92) Data su tri vektora: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Pronađite koordinate vektora p=2a-b+c.
93) Odrediti dužinu vektora a=2i+3j-6k.
94) pri kojoj vrijednosti λ su vektori a=λi-3j+2k i b=i+2j-λk okomiti?
95) Dati vektori a=6i-4j+k i b=2i-4j+k. Pronađite ugao koji formira vektor a-b sa Oz osovinom.
96) Dati vektori = (4; –2; –6) i = (–3; 4; –12). Pronađite projekciju vektora a na vektorsku osu b.
97) Pronađite ugao A trougao sa vrhovima A (–1; 3; 2), IN(3; 5; –2) i
WITH(3; 3; –1). Unesite svoj odgovor kao 15cos A.
98) Nađite kvadratni modul vektora 
, gdje su i jedinični vektori koji čine ugao od 60 o.
99) Pronađite tačkasti proizvod 
I 
100) Dati bodovi A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Odredite vrstu četverougla ABCD.
a) Paralelepiped;
b) Pravougaonik;
c) Trapez;
101) Vektor = (3; 4) se rastavlja na vektore = (3; –1) i = (1; –2). Odaberite ispravnu dekompoziciju.
