Zadatak 1. Utvrdite da li je sistem vektora linearno nezavisan. Sistem vektora će biti specificiran matricom sistema, čiji se stupci sastoje od koordinata vektora.

.

Rješenje. Neka linearna kombinacija jednaka nuli. Zapisujući ovu jednakost u koordinatama, dobijamo sledeći sistem jednadžbe:

.

Takav sistem jednačina naziva se trouglasti. Ona ima samo jedno rešenje . Dakle, vektori linearno nezavisna.

Zadatak 2. Utvrdite da li je sistem vektora linearno nezavisan.

.

Rješenje. Vektori su linearno nezavisne (vidi problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Vektorski koeficijenti ekspanzije određuju se iz sistema jednačina

.

Ovaj sistem, kao i trouglasti, ima jedinstveno rješenje.

Dakle, sistem vektora linearno zavisna.

Komentar. Pozivaju se matrice istog tipa kao u zadatku 1 trouglasti , a u zadatku 2 – stepenasto trouglasto . Pitanje linearne zavisnosti sistema vektora lako se rešava ako je matrica sastavljena od koordinata ovih vektora stepenasto trouglasta. Ako matrica nema poseban oblik, tada se koristi elementarne konverzije nizova , čuvajući linearne odnose između stupova, može se svesti na stepenasti trokutasti oblik.

Elementarne konverzije nizova matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) preuređenje linija;

2) množenje niza brojem koji nije nula;

3) dodavanje drugog niza nizu, pomnoženog proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno nezavisan podsistem i izračunajte rang sistema vektora

.

Rješenje. Svedujmo matricu sistema koji koristi EPS na stepenasti trouglasti oblik. Da bismo objasnili proceduru, liniju sa brojem matrice koju treba transformisati označavamo simbolom . Stupac iza strelice označava radnje na redove matrice koja se pretvara, a koje se moraju izvršiti da bi se dobili redovi nove matrice.

.

Očigledno, prva dva stupca rezultirajuće matrice su linearno nezavisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine maksimalan linearno nezavisan podsistem sistema , a rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Nađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijskih vektora čije koordinate zadovoljavaju uvjet .

Rješenje. Skup je ravan koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna osnova na ravni se sastoji od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi su određene rješenjem odgovarajućeg sistema linearne jednačine.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu koristeći koordinate.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravni, jer su povezani relacijom , odnosno nisu nezavisni. Nezavisne varijable i (oni se nazivaju slobodnim) jedinstveno definiraju vektor na ravni i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli I , to je .

Zadatak 5. Nađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru čije su neparne koordinate jednake jedna drugoj.

Rješenje. Odaberemo, kao iu prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

Jer , zatim slobodne varijable jednoznačno određuju vektor iz i stoga su koordinate. Odgovarajuća baza se sastoji od vektora.

Zadatak 6. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , Gdje – proizvoljni brojevi.

Rješenje. Svaka matrica iz je jedinstveno predstavljena u obliku:

Ova relacija je proširenje vektora iz u odnosu na bazu
sa koordinatama .

Zadatak 7. Odrediti dimenziju i osnovu linearne oplate sistema vektora

.

Rješenje. Koristeći EPS, transformišemo matricu iz koordinata vektora sistema u stepenasti trouglasti oblik.

.

Kolone posljednje matrice su linearno nezavisne, a stupci linearno izražena kroz njih. Dakle, vektori čine osnovu , And .

Komentar. Osnova u je izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe čine osnovu .

Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektori.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U gledalištu se nalaze kolica sa čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a mi ćemo vidjeti kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...dođavola, kakva gomila gluposti. Mada, dobro, neću bodovati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna vektorska nezavisnost, osnovu vektora i drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsku interpretaciju, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: – temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, osnova, itd.) važe za sve vektori sa algebarske tačke gledišta, ali će biti dati geometrijski primjeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Razmotrimo ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će biti sljedeći koraci:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno da će za konstruiranje osnove biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeva ruka na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desna ruka na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke , gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sam smjer, a ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna tada i samo tada kada su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji ugao između njih osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno Ne zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je dobijena. Nema potrebe da se sramite što se osnova pokazalo da je "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, Gdje - realni brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Takođe se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponovan duž ortonormalne osnove ravni, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna tačka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. Baze – ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto to nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim mjestima na stolu zaostalim od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takav orijentir je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Hajde da razumemo koordinatni sistem:

Počeću sa “školskim” sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada pričaju o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne ose i razmjer duž osa. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, čini se da se pravougaoni koordinatni sistem može u potpunosti definirati u terminima ortonormalne baze. I to je skoro tačno. Formulacija je sljedeća:

porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi razumiju da se koristi tačka (poreklo) i ortonormalna osnova BILO KOJA TAČKA na ravni i BILO KOJI VEKTOR na ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, „sve u avionu može biti numerisano“.

Da li je potrebno da koordinatni vektori budu jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka tačka na ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori V opšti slučaj imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedinici, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravni i prostora, razmatraju se jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž x-ose sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinatne ose sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da, ako je potrebno, pretvorimo „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je da li ugao između baznih vektora mora biti jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afine ravni koordinatni sistem :

Ponekad se takav koordinatni sistem naziva koso sistem. Kao primjeri, crtež prikazuje tačke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan; formule za dužine vektora i segmenata, o kojima smo razgovarali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke , mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora . Ali pravila za dodavanje vektora i množenje vektora brojem su važeća, formule za podjelu segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Zato je najčešće moraš viđati, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi ugao (ili neki drugi, npr. polar) koordinatni sistem. I humanoidima bi se takvi sistemi mogli svidjeti =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U suštini, ovo je koordinata po koordinata detalji očiglednog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Hajde da saznamo da li postoji za vektore koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti zadovoljene:

Definitivno ću vam reći o "foppish" tipu aplikacije ovog pravila, što prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skratimo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos bi se mogao napraviti i obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. IN u ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači sistem je nedosledan (nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ovi vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (zaista, ne možete dijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao “foppish”.

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti parametra su vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i dodamo ga kao petu tačku:

Za dva ravan vektora sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka je nuli.

Stvarno se tome nadam ovog trenutka već razumijete sve pojmove i izjave na koje naiđete.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Za upotrebu ove karakteristike Naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice .

Hajde da odlučimo Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate :
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata i pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe praviti crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ – jednaki vektori). Kolinearnost je prilično očigledna, ali je bolje formalizirati odluku jasno, sa dogovorom. Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:
, što znači da su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četvorougla su paralelne u parovima, što znači da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, neophodno i dovoljno, tako da su im odgovarajuće koordinate proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Rješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

“Pojednostavljeno” se formalizira provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora putem determinante trećeg reda, ovu metodu obrađeno u članku Vektorski proizvod vektora .

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravih linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnogi uzorci koje smo ispitivali u avionu važiće za svemir. Pokušao sam da minimiziram teorijske napomene jer lavovski udio informacije su već sažvakane. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada unutra, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo pobeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstruiranje osnove biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se grijemo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, indeks i srednji prst . To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, nema potrebe to demonstrirati nastavnicima, ma koliko jako uvijali prste, ali od definicija nema bijega =)

Dalje, hajde da pitamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalni prostor ? Čvrsto pritisnite tri prsta na vrh računarskog stola. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali to uradio =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne. Logično je ovdje dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, zamislimo opet da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, oni mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, i bilo koji vektor prostora jedini način se dekomponuje na datu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Da vas podsjetim da možemo reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan; dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je „kosa“ i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sistemu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi nagađaju, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

Tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni prostorni koordinatni sistem . Poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematizujmo informacije:

Za tri vektora prostora sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostalo praktični zadaci imaće izražen algebarski karakter. Vrijeme je da okačite geometrijski štap i rukujete bejzbol palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pažnju na malu tehnička nijansa: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u kolone, već i u redove (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - vidi. svojstva determinanti). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitaoce koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili ih možda uopće slabo razumiju, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate (determinanta je otkrivena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka nuli:

U suštini, trebate riješiti jednačinu s determinantom. Spuštamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da , otvarajući ga ponovo.

U zaključku, pogledajmo još jednu tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Prvo da se pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je to osnova nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: mogu se formirati tri vektora nova osnova. A prva faza se potpuno poklapa sa rješenjem primjera 6; potrebno je provjeriti da li su vektori zaista linearno nezavisni:

Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:

, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate Neophodno zapiši u kolone determinanta, ne u nizovima. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Definicija. Linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n sa koeficijentima x 1 , ..., x n naziva se vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivijalan, ako su svi koeficijenti x 1 , ..., x n jednaki nuli.

Definicija. Poziva se linearna kombinacija x 1 a 1 + ... + x n a n netrivijalan, ako barem jedan od koeficijenata x 1, ..., x n nije jednak nuli.

linearno nezavisna, ako ne postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

To jest, vektori a 1, ..., a n su linearno nezavisni ako je x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ako i samo ako je x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicija. Vektori a 1, ..., a n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji netrivijalna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru.

Svojstva linearno zavisnih vektora:

Za 2 i 3 dimenzionalne vektore.

Dva linearno zavisna vektora su kolinearna. (Kolinearni vektori su linearno zavisni.)

Za 3-dimenzionalne vektore.

Tri linearno zavisna vektora su koplanarna. (Tri koplanarna vektora su linearno zavisna.)

• Za n-dimenzionalne vektore.

  n + 1 vektora su uvijek linearno zavisni.

Primjeri problema o linearnoj ovisnosti i linearnoj neovisnosti vektora:

Primjer 1. Provjerite jesu li vektori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) linearno nezavisni .

Rješenje:

Vektori će biti linearno zavisni, jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 2. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) linearno nezavisni.

Rješenje:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi red u treći red:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ovo rješenje pokazuje da sistem ima mnogo rješenja, odnosno da postoji kombinacija vrijednosti brojeva x 1, x 2, x 3 različita od nule tako da je linearna kombinacija vektora a, b, c jednaka nulti vektor, na primjer:

A + b + c = 0

što znači da su vektori a, b, c linearno zavisni.

odgovor: vektori a, b, c su linearno zavisni.

Primjer 3. Provjerite jesu li vektori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) linearno nezavisni.

Rješenje: Nađimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija ovih vektora biti jednaka nultom vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Ova vektorska jednačina se može napisati kao sistem linearnih jednačina

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Rešimo ovaj sistem Gaussovom metodom

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

oduzmi prvi od drugog reda; oduzmi prvo od trećeg reda:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

oduzmite drugi od prvog reda; dodajte drugi u treći red.

Neka L je proizvoljan linearni prostor, a i Î L,- njegovi elementi (vektori).

Definicija 3.3.1. Izraz , gdje , - proizvoljni realni brojevi, koji se nazivaju linearna kombinacija vektori a 1 , a 2 ,…, a n.

Ako je vektor R = , onda to kažu R dekomponovati na vektore a 1 , a 2 ,…, a n.

Definicija 3.3.2. Linearna kombinacija vektora se naziva netrivijalan, ako među brojevima postoji barem jedan različit od nule. U suprotnom, linearna kombinacija se poziva trivijalan.

Definicija 3.3.3 . Vektori a 1 , a 2 ,…, a n nazivaju se linearno zavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija takva da

= 0 .

Definicija 3.3.4. Vektori a 1 ,a 2 ,…, a n nazivaju se linearno nezavisnim ako je jednakost = 0 moguće je samo u slučaju kada su svi brojevi l 1, l 2,…, l n su istovremeno jednaki nuli.

Imajte na umu da se svaki element različit od nule a 1 može smatrati linearno nezavisnim sistemom, budući da je jednakost l a 1 = 0 moguće samo ako l= 0.

Teorema 3.3.1. Neophodan i dovoljno stanje linearna zavisnost a 1, a 2,…, a n je mogućnost razlaganja barem jednog od ovih elemenata na ostatak.

Dokaz. Nužnost. Neka su elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearno zavisna. To znači da = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, l n različito od nule. Neka za sigurnost l 1 ¹ 0. Onda

tj. element a 1 se razlaže na elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adekvatnost. Neka se element a 1 razloži na elemente a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Onda = 0 , dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija vektora a 1 , a 2 ,…, a n, jednako 0 , pa su linearno zavisne .

Teorema 3.3.2. Ako je barem jedan od elemenata a 1 , a 2 ,…, a n nula, onda su ovi vektori linearno zavisni.

Dokaz . Neka a n= 0 , zatim = 0 , što znači linearnu zavisnost ovih elemenata.

Teorema 3.3.3. Ako među n vektora bilo koji p (str< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dokaz. Neka su, radi određenosti, elementi a 1 , a 2 ,…, a str linearno zavisna. To znači da postoji netrivijalna linearna kombinacija takva da = 0 . Navedena jednakost će biti sačuvana ako dodamo element u oba njegova dijela. Onda + = 0 , i barem jedan od brojeva l 1, l 2,…, lp različito od nule. Dakle, vektori a 1 , a 2 ,…, a n su linearno zavisne.

Posljedica 3.3.1. Ako je n elemenata linearno neovisno, tada je bilo koji k od njih linearno neovisno (k< n).

Teorema 3.3.4. Ako vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 su linearno nezavisni, a elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n su linearno zavisne, a zatim vektor a n se može proširiti u vektore a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dokaz. Pošto je po uslovu a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n su linearno zavisne, onda postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija = 0 , i (u suprotnom će se ispostaviti da su linearni zavisni vektori a 1 , a 2 ,…, a n- 1). Ali onda vektor

,

Q.E.D.