Dom Protetika i implantacija Koordinate tačke simetrične tački u odnosu na pravu liniju na mreži. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni

Protetika i implantacija

Koordinate tačke simetrične tački u odnosu na pravu liniju na mreži. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni

Formulacija problema. Pronađite koordinate tačke simetrične tački u odnosu na avion.

Plan rješenja.

1. Naći jednačinu prave koja je okomita na datu ravan i prolazi kroz tačku . Pošto je prava okomita na datu ravan, tada se vektor normale ravni može uzeti kao njen vektor pravca, tj.

Stoga će jednačina prave linije biti

2. Pronađite tačku presek prave linije i avioni (vidi problem 13).

3. Tačka je sredina segmenta gdje je tačka je tačka simetrična tački , Zbog toga

Problem 14. Pronađite tačku simetričnu tački u odnosu na ravan.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku okomitu na datu ravan bit će:

Nađimo tačku preseka prave i ravni.

Gdje – tačka preseka prave i ravni je, dakle, sredina segmenta

One. .

Homogene ravninske koordinate. Afine transformacije na ravni.

Neka M X I at

M(X, atMae (X, at, 1) u prostoru (sl. 8).

Mae (X, at

Mae (X, at hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentar

h(Na primjer, h

U stvari, s obzirom h

Komentar

Primjer 1.

b) pod uglom (Sl. 9).

1. korak.

2. korak. Rotirajte za ugao 

matrica odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b)

matrica odgovarajuće transformacije.

Primjer 3

 duž x-ose i

1. korak.

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak.

3. korak.

konačno ćemo ga dobiti

Komentar

[R], [D], [M], [T],

Neka M- proizvoljna tačka ravni sa koordinatama X I at, izračunato u odnosu na dati pravolinijski koordinatni sistem. Homogene koordinate ove tačke su bilo koja trojka simultano različitih brojeva x 1, x 2, x 3, povezanih sa datim brojevima x i y sledećim relacijama:

Kod rješavanja problema kompjuterske grafike homogene koordinate se obično unose na sljedeći način: do proizvoljne tačke M(X, at) ravni je dodijeljena tačka Mae (X, at, 1) u prostoru (sl. 8).

Imajte na umu da proizvoljna tačka na liniji koja povezuje ishodište, tačku 0(0, 0, 0), sa tačkom Mae (X, at, 1), može se dati trojkom brojeva oblika (hx, hy, h).

Vektor sa koordinatama hx, hy je vektor pravca prave linije koja povezuje tačke 0 (0, 0, 0) i Mae (X, at, 1). Ova linija siječe z = 1 ravan u tački (x, y, 1), koja jedinstveno definira tačku (x, y) koordinatne ravni hu.

Dakle, između proizvoljne tačke sa koordinatama (x, y) i skupa trojki brojeva oblika

(hx, hy, h), h  0,

uspostavljena je (jedan-na-jedan) korespondencija koja nam omogućava da smatramo brojeve hx, hy, h kao nove koordinate ove tačke.

Komentar

U širokoj upotrebi u projektivnoj geometriji, homogene koordinate omogućavaju efikasno opisivanje takozvanih nepravilnih elemenata (u suštini onih u kojima se projektivna ravan razlikuje od poznate Euklidove ravni). Više detalja o novim mogućnostima koje pružaju uvedene homogene koordinate razmatrano je u četvrtom dijelu ovog poglavlja.

U projektivnoj geometriji za homogene koordinate prihvaćena je sljedeća notacija:

x:y:1, ili, uopštenije, x1:x2:x3

(zapamtite da je ovdje apsolutno potrebno da se brojevi x 1, x 2, x 3 ne okreću na nulu u isto vrijeme).

Upotreba homogenih koordinata pokazuje se pogodnom čak i pri rješavanju najjednostavnijih problema.

Razmotrite, na primjer, pitanja vezana za promjene u razmjeru. Ako uređaj za prikaz radi samo s cijelim brojevima (ili ako trebate raditi samo s cijelim brojevima), tada za proizvoljnu vrijednost h(Na primjer, h= 1) tačka sa homogenim koordinatama

nemoguće zamisliti. Međutim, uz razuman izbor h, moguće je osigurati da koordinate ove tačke budu cijeli brojevi. Konkretno, za h = 10 za razmatrani primjer imamo

Hajde da razmotrimo drugi slučaj. Da biste spriječili da rezultati transformacije dovedu do aritmetičkog prelivanja, za tačku s koordinatama (80000 40000 1000) možete uzeti, na primjer, h=0,001. Kao rezultat dobijamo (80 40 1).

Navedeni primjeri pokazuju korisnost korištenja homogenih koordinata pri izvođenju proračuna. Međutim, glavna svrha uvođenja homogenih koordinata u kompjutersku grafiku je njihova nesumnjiva pogodnost u primjeni na geometrijske transformacije.

Koristeći trojke homogenih koordinata i matrice trećeg reda, može se opisati svaka afina transformacija ravni.

U stvari, s obzirom h= 1, uporedi dva unosa: označena simbolom * i sledeća, matrica:

Lako je vidjeti da nakon množenja izraza na desnoj strani posljednje relacije dobijamo obje formule (*) i tačnu numeričku jednakost 1=1.

Komentar

Ponekad se u literaturi koristi druga oznaka - stupasta notacija:

Ova notacija je ekvivalentna gornjoj notaciji red po red (i dobija se iz nje transponovanjem).

Elementi proizvoljne afine transformacijske matrice nemaju eksplicitno geometrijsko značenje. Stoga, da bi se implementiralo ovo ili ono preslikavanje, odnosno da bi se pronašli elementi odgovarajuće matrice prema datom geometrijskom opisu, potrebne su posebne tehnike. Tipično, konstrukcija ove matrice, u skladu sa složenošću problema koji se razmatra i gore opisanim posebnim slučajevima, dijeli se u nekoliko faza.

U svakoj fazi se traži matrica koja odgovara jednom ili drugom od gore navedenih slučajeva A, B, C ili D, koji imaju dobro definirana geometrijska svojstva.

Zapišimo odgovarajuće matrice trećeg reda.

A. Matrica rotacije

B. Matrica dilatacije

B. Matrica refleksije

D. Transfer matrica (prijevod)

Razmotrimo primjere afine transformacije ravnine.

Primjer 1.

Konstruirajte matricu rotacije oko tačke A (a,b) pod uglom (Sl. 9).

1. korak. Prebacivanje u vektor – A (-a, -b) za poravnavanje centra rotacije sa ishodištem koordinata;

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak. Rotirajte za ugao 

matrica odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b) da se centar rotacije vrati u prethodnu poziciju;

matrica odgovarajuće transformacije.

Pomnožimo matrice istim redoslijedom kako su napisane:

Kao rezultat, nalazimo da će potrebna transformacija (u matričnom zapisu) izgledati ovako:

Elemente rezultirajuće matrice (posebno u posljednjem redu) nije tako lako zapamtiti. Istovremeno, svaka od tri pomnožene matrice može se lako konstruisati iz geometrijskog opisa odgovarajućeg preslikavanja.

Primjer 3

Konstruirajte matricu rastezanja sa koeficijentima rastezanja duž x-ose i duž ordinatne ose i sa centrom u tački A(a, b).

1. korak. Prebacite na vektor -A(-a, -b) da biste poravnali centar istezanja sa ishodištem koordinata;

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak. Rastezanje duž koordinatnih osa sa koeficijentima  i , respektivno; matrica transformacije ima oblik

3. korak. Prebacivanje na vektor A(a, b) da bi se centar napetosti vratio u prethodnu poziciju; matrica odgovarajuće transformacije –

Množenje matrica istim redoslijedom

konačno ćemo ga dobiti

Komentar

Rezoniranje na sličan način, odnosno razbijanje predložene transformacije u faze podržane matricama[R], [D], [M], [T], može se konstruisati matrica bilo koje afine transformacije iz njenog geometrijskog opisa.

Pomak se provodi sabiranjem, a skaliranje i rotacija množenjem.

Transformacija skaliranja (dilatacija) u odnosu na porijeklo ima oblik:

ili u matričnom obliku:

Gdje Dx,Dy su faktori skaliranja duž osi, i

- matrica skaliranja.

Kada je D > 1, dolazi do proširenja, kada je 0<=D<1- сжатие

Rotacijska transformacija u odnosu na porijeklo ima oblik:

ili u matričnom obliku:

gdje je φ ugao rotacije, i

- matrica rotacije.

komentar: Stupci i redovi matrice rotacije su međusobno ortogonalni jedinični vektori. U stvari, kvadrati dužina vektora redova jednaki su jedan:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalarni proizvod vektora reda je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Budući da je skalarni proizvod vektora A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdje je | A| - dužina vektora A, |B| - dužina vektora B, a ψ je najmanji pozitivni ugao između njih, onda iz jednakosti 0 skalarnog proizvoda dva vektora reda dužine 1 slijedi da je ugao između njih 90°.

Neka nam je data određena prava linija, definisana linearnom jednačinom, i tačka, definisana svojim koordinatama (x0, y0) i koja ne leži na ovoj pravoj. Potrebno je pronaći tačku koja bi bila simetrična datoj tački oko date prave linije, odnosno koja bi se poklapala s njom ako je ravnina mentalno savijena na pola duž ove prave linije.

Instrukcije

1. Jasno je da obje tačke - data i željena - moraju ležati na istoj pravoj, a ova prava mora biti okomita na datu. Dakle, prvi dio problema je otkriti jednadžbu prave koja bi bila okomita na neku datu pravu i istovremeno prolazila kroz datu tačku.

2. Prava linija se može odrediti na dva načina. Kanonska jednadžba prave izgleda ovako: Ax + By + C = 0, gdje su A, B i C konstante. Pravu liniju možete odrediti i pomoću linearne funkcije: y = kx + b, gdje je k ugaoni eksponent, b je pomak. Ove dvije metode su zamjenjive i možete se kretati od jedne do druge. Ako je Ax + By + C = 0, tada je y = – (Ax + C)/B. Drugim riječima, u linearnoj funkciji y = kx + b, ugaoni eksponent k = -A/B, i pomak b = -C/B. Za ovaj zadatak, udobnije je razmišljati na osnovu kanonske jednačine prave linije.

3. Ako su dvije linije okomite jedna na drugu, a jednačina prve linije je Ax + By + C = 0, tada bi jednačina druge linije trebala izgledati kao Bx – Ay + D = 0, gdje je D konstanta. Da bi se detektovala određena vrijednost D, potrebno je dodatno znati kroz koju tačku prolazi okomita prava. U ovom slučaju, ovo je tačka (x0, y0). Prema tome, D mora zadovoljiti jednakost: Bx0 – Ay0 + D = 0, odnosno D = Ay0 – Bx0.

4. Nakon što je okomita linija otkrivena, potrebno je izračunati koordinate tačke njenog preseka sa datom. Da biste to učinili, morate riješiti sistem linearnih jednadžbi: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Njegovo rješenje će dati brojeve (x1, y1) koji služe kao koordinate tačka preseka linija.

5. Željena tačka mora ležati na detektovanoj liniji, a njena udaljenost do tačke preseka mora biti jednaka udaljenosti od tačke preseka do tačke (x0, y0). Koordinate tačke simetrične tački (x0, y0) se tako mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ali to možete učiniti lakše. Ako su tačke (x0, y0) i (x, y) na jednakoj udaljenosti od tačke (x1, y1), a sve tri tačke leže na istoj pravoj liniji, onda: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Prema tome, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Zamjenom ovih vrijednosti u drugu jednadžbu prvog sistema i pojednostavljivanjem izraza, lako je osigurati da njegova desna strana postane ista kao lijeva. Osim toga, nema smisla dalje razmatrati prvu jednačinu, jer je poznato da je tačke (x0, y0) i (x1, y1) zadovoljavaju, a tačka (x, y) očigledno leži na istoj pravoj .

Zadatak je pronaći koordinate tačke koja je simetrična tački u odnosu na pravu liniju . Predlažem da sami izvršite korake, ali ću izložiti algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta mi nalazimo .

Bilo bi dobro provjeriti da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, koji vam omogućava da izračunate obične razlomke. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer da sami odlučite. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se ovo riješi. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami da pogodite, mislim da je vaša domišljatost bila dobro razvijena.

Ugao između dvije prave linije

Svaki ugao je dovratak:

U geometriji se ugao između dvije prave uzima MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” komšija ili suprotno orijentisan"malina" kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut „pomiče“ je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani ugao piše se sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da možemo proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da formule po kojima ćemo pronaći uglove lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, a to vas ne treba iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativan ugao, obavezno označite njegovu orijentaciju strelicom (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrimo dvije prave linije definirane jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac – to je upravo tako skalarni proizvod usmjeravajući vektori pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a linije okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost pravih linija u formulaciji.

Na osnovu navedenog, zgodno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera linija:

2) Pronađite ugao između pravih koristeći formulu:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U vašem odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u iskazu problema prvi broj prava linija i upravo s njom je počelo „odvrtanje“ ugla.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s direktnim .

Neću to sakriti, sam biram ravne linije redom tako da ugao ispadne pozitivan. Lepše je, ali ništa više.

Da biste provjerili svoje rješenje, možete uzeti kutomjer i izmjeriti ugao.

Metod dva

Ako su prave date jednadžbama sa nagibom i nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se pronaći pomoću formule:

Uvjet okomitosti pravih izražava se jednakošću iz koje, inače, slijedi vrlo korisna veza između ugaonih koeficijenata okomitih linija: , koja se koristi u nekim problemima.

Algoritam rješenja je sličan prethodnom paragrafu. Ali prvo, prepišimo naše ravne linije u traženom obliku:

Dakle, padine su:

1) Provjerimo da li su prave okomite:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Koristite formulu:

Odgovori:

Drugi metod je prikladno koristiti kada su jednadžbe pravih linija inicijalno specificirane sa ugaonim koeficijentom. Treba napomenuti da ako je barem jedna ravna linija paralelna s ordinatnom osom, onda formula uopće nije primjenjiva, jer za takve prave nagib nije definiran (vidi članak Jednačina prave linije na ravni).

Postoji i treće rješenje. Ideja je da se izračuna ugao između vektora pravca linija koristeći formulu o kojoj se govori u lekciji Tačkasti proizvod vektora:

Ovdje više ne govorimo o orijentiranom kutu, već „samo o kutu“, odnosno rezultat će svakako biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete završiti s tupim uglom (ne onim koji vam treba). U ovom slučaju, morat ćete rezervirati da je ugao između pravih manji ugao i oduzeti rezultirajući arc kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Oni koji žele problem mogu riješiti na treći način. Ali ipak preporučujem da se držite prvog pristupa sa orijentisanim uglom, iz razloga što je široko rasprostranjen.

Primjer 11

Pronađite ugao između linija.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Pokušajte to riješiti na dva načina.

Nekako je bajka usput zamrla... Jer ne postoji Kashchei Besmrtni. Tu sam ja, i nisam posebno zagrejan. Da budem iskren, mislio sam da će članak biti mnogo duži. Ali ipak ću uzeti svoj nedavno kupljeni šešir i naočare i otići na kupanje u rujanskom jezeru. Savršeno ublažava umor i negativnu energiju.

Vidimo se uskoro!

I zapamtite, Baba Yaga nije otkazana =)

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Rješenje : Nađimo vektor smjera prave :

Sastavimo jednačinu željene linije koristeći tačku i vektor smjera . Kako je jedna od koordinata vektora smjera nula, jednad. prepišimo to u obliku:

Odgovori :

Primjer 5:Rješenje :
1) Jednačina prave hajde da napravimo dve tačke :

2) Jednačina prave hajde da napravimo dve tačke :

3) Odgovarajući koeficijenti za varijable nije proporcionalno: , što znači da se linije sijeku.
4) Pronađite tačku :

Bilješka : ovdje se prva jednačina sistema množi sa 5, a zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednačine.
Odgovori :

Prava linija u prostoru se uvek može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni. Ako je jednadžba jedne ravni jednačina druge ravni, tada je jednačina prave data u obliku

Evo nekolinearno
. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine pravo u svemir.

Kanonske jednadžbe prave

Svaki vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili paralelan s njom naziva se vektor smjera ove prave.

Ako je poenta poznata
prava linija i njen vektor pravca
, tada kanonske jednadžbe prave imaju oblik:

. (9)

Parametarske jednadžbe prave

Neka su date kanonske jednadžbe prave

Odavde dobijamo parametarske jednačine prave:

(10)

Ove jednadžbe su korisne za pronalaženje točke presjeka prave i ravni.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke
I
ima oblik:

Ugao između pravih linija

Ugao između pravih linija

jednak kutu između njihovih vektora smjera. Stoga se može izračunati pomoću formule (4):

Uslov za paralelne prave:

Uslov da ravni budu okomite:

Udaljenost tačke od prave

P recimo da je poenta data
i ravno

Iz kanonskih jednačina prave znamo tačku
, koji pripada liniji, i njen vektor smjera
. Zatim udaljenost tačke
od prave jednaka je visini paralelograma izgrađenog na vektorima I
. dakle,

Uslov za presek linija

Dvije neparalelne prave

seku ako i samo ako

Relativni položaj prave i ravni.

Neka je data prava linija
i avion. Ugao između njih se može naći po formuli

Problem 73. Napišite kanonske jednačine prave

(11)

Rješenje. Da bi se zapisali kanonske jednadžbe prave (9), potrebno je poznavati bilo koju tačku koja pripada pravoj i vektor smjera prave.

Nađimo vektor , paralelno sa ovom linijom. Pošto mora biti okomita na vektore normale ovih ravni, tj.

,
, To

Iz općih jednačina prave linije imamo to
,
. Onda

Od tačke
bilo koje tačke na pravoj, tada njene koordinate moraju zadovoljiti jednačine prave i jedna od njih se može specificirati, na primjer,
, nalazimo druge dvije koordinate iz sistema (11):

Odavde,
.

Dakle, kanonske jednadžbe željene linije imaju oblik:

ili
.

Problem 74.

I
.

Rješenje. Iz kanonskih jednačina prve linije poznate su koordinate tačke
koji pripadaju liniji, i koordinate vektora pravca
. Iz kanonskih jednadžbi druge linije poznate su i koordinate tačke
i koordinate vektora pravca
.

Udaljenost između paralelnih linija jednaka je udaljenosti tačke
sa druge ravne linije. Ova udaljenost se izračunava po formuli

Nađimo koordinate vektora
.

Izračunajmo vektorski proizvod
:

Problem 75. Nađi tačku simetrična tačka
relativno ravno

Rješenje. Zapišimo jednačinu ravni koja je okomita na datu pravu i koja prolazi kroz tačku . Kao njegov normalni vektor možete uzeti usmjeravajući vektor prave linije. Onda
. dakle,

Hajde da nađemo poentu
tačka preseka ove prave i ravni P. Da bismo to uradili, zapisujemo parametarske jednačine prave pomoću jednačina (10), dobijamo

dakle,
.

Neka
tačka simetrična tački
u odnosu na ovu liniju. Onda pokažite
midpoint
. Da pronađemo koordinate tačke koristimo formule za koordinate sredine segmenta:

,
,
.

dakle,
.

Problem 76. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu
I

a) kroz tačku
;

b) okomito na ravan.

Rješenje. Zapišimo opće jednačine ove linije. Da biste to učinili, razmotrite dvije jednakosti:

To znači da željena ravan pripada skupu ravni sa generatorima i njena jednadžba se može napisati u obliku (8):

a) Hajde da pronađemo
I iz uslova da ravan prolazi kroz tačku
, dakle, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednadžbu ravnine. Zamenimo koordinate tačke
u jednacinu gomile ravnina:

Pronađena vrijednost
Zamijenimo ga u jednačinu (12). dobijamo jednačinu željene ravni:

b) Hajde da pronađemo
I iz uslova da je željena ravan okomita na ravan. Vektor normale date ravni
, vektor normale željene ravni (vidi jednačinu gomile ravnina (12).