Novosibirski državni arhitektonski i građevinski institut
Univerzitet (Sibstrin)
PREDAVANJA IZ TEORIJSKE MEHANIKE.
KINEMATIKA
PREDAVANJE 3.
RAVNO KRETANJE ČVRSTE
TIJELA
Katedra za teorijsku mehaniku

Pregled predavanja

Uvod.
Zakon o kretanju ravnine.
Brzine tjelesnih tačaka.
Ubrzanja tjelesnih tačaka.
.
Zaključak.

Na prethodnim predavanjima

Već smo proučili:
-Kinematika tačke
-Pokret napred solidan
-Rotacijski pokret solidan
Tema današnjeg predavanja:
Ravansko kretanje tijela
tijelo
Q
O
Definicija. Stan
ovaj pokret se zove
P
kruto tijelo za koje su svi x
njegove tačke M(t) se kreću
ravni Q paralelne
neki fiksni
avion P.
M
A S
y

Svrha predavanja

Naučite kretanje u ravnini
solidan

Uvod
primjeri:
-Rotacijsko kretanje (ravan P –
okomito na os rotacije)
-Kretanje aviona u režimu krstarenja
(ravan P je okomita na raspon krila)
-Kretanje točkova automobila na ravnom putu
(ravan P – duž karoserije automobila)
-Kretanje ravnih mehanizama:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Uvod
Q
O
P
M
A S
y
x
Izjava. Sve tačke prave AM,
okomito na P, pomaknite se na isti način.
Dokaz. Jer tijelo je čvrsto, tada je AM=const;
Jer P je paralelan sa Q, tada segment AM ostaje
okomito na P. Dakle, njegovo kretanje
progresivno. Stoga sve njegove tačke
kretati se na isti način.
Zaključak: Zadatak se svodi na proučavanje pokreta
preseci S u ravni P.

y
Pokret ravna figura S
u odnosu na Oxy sistem
će biti potpuno utvrđeno
A
yA
kretanje segmenta AB
O
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- odrediti kretanje pola A.
t - definira rotaciju AB oko pola A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- zakon ravnog kretanja krutog tijela
x

Zakon o ravnom kretanju krutog tijela
Interpretacija. Hajde da uvedemo pomoćni Y y
pogonski sistem:
Ax1 y1; Ax1 je paralelna sa Ox,
B
1
x1
A
Ay1 je paralelan sa Oy;
O
U sistemu Ax1 y1 tijelo se rotira
X
tjelesni pokret. Sistem Ax1 y1 se pomiče
u odnosu na Oxy progresivno
Kretanje u ravnini je zbir translacionog
kretanje zajedno sa polom A i rotacija
kretanje u odnosu na pol A
x A (t), y A (t) specificira translatorno kretanje
(t) specificira rotacijsko kretanje

Interpretacija

1
A)
A
B
2
B"
1"
1
b)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Poprečni presjek se može prenijeti iz pozicije 1 u poziciju 2
smatra se superpozicijom dvaju pokreta:
translatorno od 1 do 1" i rotaciono od 1" do 2
oko tačke A."
Možete odabrati bilo koju tačku kao stub. On
pirinač. b) tačka B je izabrana kao pol.
Pažnja: Dužina putanje tokom translatornog kretanja se promijenila, ali ugao rotacije ostaje isti!
One. translacioni deo zavisi od izbora pola, i
rotacijski dio – ne zavisi!

Zakon kretanja i putanje tačaka tijela

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) sin((t))
Primjer (pokret elipsografa)
AB l, AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Odrediti zakon kretanja
i putanja tačke M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM (t) b sin (t) zakon kretanja
xM2
yM2
2 1 elipsa
2
(b l)
b

Brzine tijela

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Diferencirajući, dobijamo:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
x
r
O
v Brzina pola
d
v MA
brzina rotacije oko pola
dt
(v MA brzina M u sistemu Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
v MA
vA
A
M
vA

Posljedice formule za tačke brzine

Posledica 1. Projekcije brzina dve tačke tela
vB
tijela na pravoj liniji koja ih spaja su jednaka.
Dokaz.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Zaključak 2. Ako bodova
A,B,C leže na jednom
ravno, zatim krajevi
vektori v A , v B , v C
leže na istoj pravoj liniji
i ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

MCS je tačka čija brzina
A
jednaka nuli in trenutno vrijeme.
C
Primjer. Kotrljanje bez klizanja
Vania disk. MCS tačka C.
Izjava. Ako ugaona brzina nije jednako nuli
za dati t, tada MCS postoji i jedinstven je.
vA
Dokaz.
A
Jer 0 zatim A i B, v A v B .
C
Ako v A i v B nisu paralelni: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Ako je v C 0 onda v A AC , v B BC
C pronađen.
B
vB

Centar trenutne brzine (IVC)

Ako su v A i vB paralelni:
A
B
C
V)
b)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Ako je 0 onda je slučaj c) nemoguć
(prema teoremi projekcije)
Ako je 0 onda za sve A, B: v A v B
a MCS ne postoji

Svojstva MCS-a.
Neka je P MCS. Odabirom P kao pola, dobijamo:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Ili:
...
AP BP CP
Štaviše v Sa PC-om
v B PB
A
P
vA
ω
B
Zaključak. Ako se MCS (tačka P) uzme kao pol, onda
kretanje u ravni za dati t je
čista rotacija oko tačke P

MCU (primjer)
Primjer. Točak se kotrlja bez klizanja
pravi put.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Primjer (proračun brzina ravnog mehanizma)
Dato: OA , r1 r2 r, BD CD l
Odrediti v A, v B, v D, BD; CD
Rješenje.
A
O
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - MCS AB v B BP1 ;
vA
P1
vB
D
B
45ºP
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD MCSBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Ubrzanja tjelesnih tačaka.

Imamo jednakost: v B v A ω ρ
Hajde da to razlikujemo:
d v B dv A dω d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA n
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA ; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Ubrzanje tačke B jednako je zbiru ubrzanja pola A i
ubrzanje rotacije tačke B oko pola A

Posledica formule za ubrzanja tačke

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
C x
Rice. 13.19
Posljedica. Ako bodova
na jednoj pravoj liniji
A,B,C
laž
zatim krajevi vektora aA, aB, aC
leže na istoj pravoj liniji, a ab/bc AB/BC

Instant Acceleration Center (IAC)

MCU je tačka Q, čije ubrzanje je dato
vrijeme t je nula.
Izjava. Za netranslaciono kretanje MCU
IN
postoji i jedinstven je.
a
B
A
aA
Dokaz.
aA aQ a AQ ; Q MCU
2
aA a AQ ; tg/;
aC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Raspodjela ubrzanja je ista kao kod rotacije oko Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Komentar. MCS i MCU su različite tačke!
4

Kinematički proračun ravnog mehanizma

Primjer. Dato: OA , OA
definirati:
v A , v B , AB ,
BC, aA, aB, AB, AB
Dijagram rješenja.
1. Proračun brzina.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB MCS AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Kinematički proračun ravnog mehanizma

2. Proračun ubrzanja.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
B.C.; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
U (**) postoje dvije nepoznate: AB, BC. Projektovanje (**) na
dvije sjekire, hajde da ih nađemo. Ubrzanje aB nalazimo iz (*).

Još jedan primjer

OA 0 , OA l1; AB l2 ; BD l3; DE l4
Odredite protiv E
Dato:

Zaključak

Zaključak
1. Izveden je zakon kretanja u ravnini.
2. Pokazano je da je kretanje u ravni predstavljeno sa
zbir najjednostavnijih pokreta - translacijski
zajedno sa motkom i rotirajući okolo
stubovi.
3. Izvedena je formula za vezu između brzina
tačke i njegove posledice.
4. Definisan je i prikazan koncept MCS-a
svotstva.
5. Izvedena je formula za vezu između ubrzanja
tačke i njegove posledice.
6. Razmatraju se primjeri kinematičkih proračuna
ravni mehanizmi.

Test pitanja za predavanje

1. Koliko stupnjeva slobode ima kruto tijelo?
praviti kretanje avionom?
2. Zapišite zakon ravnog kretanja krutog tijela.
3. Kako su povezane brzine dviju tačaka krutog tijela?
tijelo u kretanju u ravnini?
4. Kolika je ugaona brzina rotacije krutog tijela?
5. Formulirajte teoremu o projekcijama brzina dva
tačke krutog tijela koje se kreću u ravnini.
6. Šta se zove trenutni centar brzina?
7. Šta trebate znati da biste odredili MCS?
8. Koje komponente čine ubrzanje tačke?
kruto tijelo koje se kreće u ravnini?
9. Kolika je akceleracija rotacionog kretanja tačke?
zajedno sa tijelom oko motke?

Ravnoparalelno kretanje krutog tijela.

1. Jednačine ravnoparalelnog kretanja

Ravnoparalelan (ili ravan) je kretanje krutog tijela u kojem se sve njegove točke kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom P.

Razmotrimo presjek S tijela nekom ravninom Oxy, paralelno sa ravninom P. U ravni paralelnom kretanju, sve tačke tela leže na pravoj liniji MM / , okomito na presjek (S) , odnosno do aviona P kreću se identično i u svakom trenutku imaju iste brzine i ubrzanja. Stoga je za proučavanje kretanja cijelog tijela dovoljno proučiti kako se dio kreće S tela u avionu Oxy.

(4.1)

Jednačine (4.1) određuju zakon tekućeg kretanja i nazivaju se jednačine ravnoparalelnog kretanja krutog tijela.

2. Dekompozicija ravno-paralelnog kretanja u translacijsko kretanje

zajedno sa motkom i rotirajući oko motke

Pokažimo da se kretanje u ravnini sastoji od translacionog i rotacionog kretanja. Da biste to učinili, razmotrite dvije uzastopne pozicije I i II, koje sekcija zauzima S kretanje tela u trenucima vremena t 1 I t 2= t 1 + Δt . Lako je vidjeti da je dio S, a uz to se cijelo tijelo može dovesti iz položaja I u položaj II na sljedeći način: prvo pomjerimo tijelo translatorno, tako da stup A, krećući se svojom putanjom, došao je u poziciju A 2. U ovom slučaju, segment A 1 B 1će zauzeti poziciju, a zatim rotirati dio oko stupa A 2 pod uglom Δφ 1.

Prema tome, ravnoparalelno kretanje krutog tijela sastoji se od translacijskog kretanja, u kojem se sve točke tijela kreću na isti način kao i pol A takođe i od rotacionog kretanja oko ovog pola.

Treba napomenuti da se rotacijsko kretanje tijela događa oko ose okomite na ravan P i prolazi kroz stub A. Međutim, radi kratkoće, od sada ćemo ovo kretanje zvati jednostavno rotacijom oko pola A.

Translatorni dio ravnoparalelnog kretanja očito je opisan s prve dvije jednačine (2.1), a rotacija oko pola A - treća jednačina (2.1).

Osnovne kinematičke karakteristike kretanja u ravnini

Možete odabrati bilo koju tačku na tijelu kao motku

Zaključak : rotaciona komponenta kretanja ravnine ne zavisi od izbora pola, dakle, ugaona brzinaω i ugaono ubrzanjeezajednički su za sve polove i nazivaju seugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure

Vektori i usmjereni su duž ose koja prolazi kroz pol i okomita na ravninu figure

3D slika

3. Određivanje brzina tjelesnih tačaka

Teorema: brzina bilo koje tačke na ravnoj figuri je jednaka geometrijski zbir brzina motke i brzina rotacije te tačke oko pola.

U dokazu ćemo poći od činjenice da je ravnoparalelno kretanje krutog tijela sastavljeno od translacijskog kretanja, pri čemu se sve tačke tijela kreću brzinom v A i od rotacionog kretanja oko ovog pola. Da bismo razdvojili ove dvije vrste kretanja, uvodimo dva referentna sistema: Oxy – stacionaran, i Ox 1 y 1 – koji se kreće translacijsko duž pola A. U odnosu na pokretni referentni okvir, kretanje tačke Mće biti "rotacijski oko pola A».

Dakle, brzina bilo koje tačke M tijela je geometrijski zbir brzine neke druge tačke A, uzeto kao pol, i brzina tačke M u svom rotacionom kretanju zajedno sa telom oko ovog pola.

Geometrijska interpretacija teoreme

Zaključak 1. Projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju koja povezuje ove tačke jednake su jedna drugoj.

Ovaj rezultat olakšava pronalaženje brzine date tačke tijela ako su poznati smjer kretanja ove tačke i brzina neke druge tačke istog tijela.

Ministarstvo prosvjete i nauke Ruska Federacija

Federalna državna budžetska obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"Kubanski državni tehnološki univerzitet"

Teorijska mehanika

Bilješke sa predavanja

za prvostupnike ZiDO

tehničke oblasti

KINEMATIKA

Sastavio: doktor tehničkih nauka, prof. Smeljagin A.I.

dr., vanredni profesor Kegeles V.L.

Krasnodar 2011

1 Kinematika. Opšti koncepti 2

2 Kinematika tačke 2

3 Kinematika krutog tijela 7

3.1 Translacijsko kretanje krutog tijela 7

3.2 Rotacija krutog tijela oko fiksne ose 7

3.3 Ravnoparalelno (ravninsko) kretanje krutog tijela 9

3.4 Sferno kretanje 15

4 Složeno kretanje tačke 17

1 Kinematika. Opšti koncepti

Kinematika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela ne uzimajući u obzir razloge koji uzrokuju ovo kretanje.

U klasičnoj mehanici, kretanje materijalnih tijela se razmatra u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, a vrijeme se smatra apsolutnim, neovisno o referentnom sistemu.

Referentni sistem je koordinatni sistem koji je uvijek povezan s tijelom u odnosu na koje se razmatra kretanje predmeta koji se proučavaju.

Ako referentni sistem miruje, tada se kretanje objekta u odnosu na njega naziva apsolutno. Kretanje objekta u odnosu na pokretni referentni okvir naziva se relativno.

Kinematičke metode omogućavaju određivanje položaja objekta koji se proučava u referentnom sistemu koji se razmatra, kao i pronalaženje njegove brzine i ubrzanja u svakom trenutku.

Proučavanje presjeka počinje kinematikom točke (izolovane, koja pripada čvrstom tijelu ili kontinuiranom mediju), a zatim se prelazi na razmatranje kretanja čvrstih tijela i njihovih sistema.

Kinematika 2 tačke

Karakteristike kretanja tačke u bilo kom trenutku su njen položaj, brzina i ubrzanje.

Geometrijski lokus uzastopnih pozicija tačke naziva se trajektorija.

Za određivanje karakteristika kretanja i putanje tačke obično se koriste tri metode za određivanje njenog kretanja - vektorski, koordinatni i prirodni.

Vektorska metoda specificiranja kretanja

Pozicija tačke u bilo kom trenutku je određen radijus vektorom , izvučen iz nekog fiksnog centra.

Jednačina kretanja:
.

Putanja tačke su vektorski hodograf .

Prosječna brzina tačke tokom vremena Δt

, Gdje
.

Brzina tačke u trenutku t

.

IN vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u datoj tački.

Prosječno ubrzanje tačke tokom vremena Δt

, Gdje
.

Ubrzanje tačke u trenutku t

.

Ova metoda se po pravilu koristi u teorijskoj analizi obrazaca kretanja.

dakle,
;
;
.

Koordinatni metod specificiranja kretanja

Za opisivanje kretanja tačke koriste se koordinatni sistemi: kartezijanski, polarni, cilindrični, sferni itd.

Pozicija tačka u Dekartovom koordinatnom sistemu u bilo kom trenutku je određena njenim koordinatama x, y, z.

jednačina kretanja tačke

Ove jednačine definiraju putanju točke u parametarskom obliku.

Jednačine putanje tačke u koordinatnom obliku mogu se dobiti pomoću

isključivanje parametra t iz jednačina kretanja, u obliku sistema jednačina
,
.

Brzina .

dakle,
,
,
.

Modul brzine
.

Smjer kosinus

;
;
.

Ubrzanje ,

Onda
,
,
.

Modul za ubrzanje
.

Smjer kosinus
;
;
.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Država Nižnji Novgorodarhitektonsko-građevinski univerzitet

Institut za otvoreno učenje na daljinu

Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu.

Teorijska mehanika

Dio II. Kinematika i dinamika krutog tijela

Odobreno od strane Uredničkog i izdavačkog vijeća Univerziteta

kao nastavno pomagalo

Nižnji Novgorod – 2004

BBK 22.21 T 11

Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu. Teorijska mehanika. Dio II. Kinematika i dinamika krutog tijela. Tutorial.– N. Novgorod: Nižnji Novgorod. stanje arhitekta-gradi univ., 2004.– 69 str.

ISBN 5-87941-303-9

Udžbenik sadrži osnovne informacije i teorijske principe kinematike i dinamike krutog tijela. Uključuje zadatke za testovi o kinematici i dinamici, kratke informacije iz teorije, preporuke za rješavanje problema, primjeri rješavanja tipičnih problema.

ISBN 5-87941-303-9

ODJELJAK 1. KINEMATIKA

Uvod

Kinematika je grana teorijske mehanike koja proučava mehaničko kretanje, tj. promjena položaja jednog tijela u odnosu na drugo tijelo s kojim je povezan referentni sistem, a koje može biti bilo pokretno ili nepomično, bez uzimanja u obzir sila koje djeluju.

Pripadajući odeljku fundamentalnih nauka, značajne su teorijska mehanika i kinematika komponenta ona je osnova za izučavanje mnogih disciplina koje se izučavaju na višim tehničkim školama.

Pronađeni su zakoni i metode teorijske mehanike široka primena u studiranju najvažniji zadaci tehnike, kao što su projektovanje raznih struktura, mašina i mehanizama, proučavanje kretanja kosmičkih tela, rešavanje problema aerodinamike, balistike i dr.

Teorijska mehanika, zasnovana na djelima Aristotela, Arhimeda, Galilea i Newtona, naziva se klasičnom mehanikom, ona razmatra kretanje tijela pri brzinama mnogo manjim od brzine svjetlosti.

Mehaničko kretanje se dešava u vremenu u prostoru, dok se u klasičnoj mehanici prostor smatra trodimenzionalnim, podložan euklidskoj geometriji; Smatra se da vrijeme teče kontinuirano i identično u svim referentnim sistemima.

1. OSNOVNI POJMOVI KINEMATIKA

Sve kinematičke veličine koje karakteriziraju kretanje tijela ili njegove pojedinačne tačke (udaljenost, brzina, ubrzanje, itd.) smatraju se funkcijama vremena.

Rješavanje kinematičkog problema znači pronalaženje putanje, položaja, brzine i ubrzanja svake tačke tijela.

Putanja tačke- ovo je geometrijski lokus uzastopnih pozicija koje zauzima tačka u prostoru kada se kreće.

Brzina tačke je vektorska veličina koja karakteriše brzinu promene položaja tačke u prostoru.

Ubrzanje tačke je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine.

2. JEDNOSTAVNI KRETANJE KRUGOG TIJELA

2.1. Translacijsko kretanje krutog tijela

Translacijsko kretanje je kretanje krutog tijela u kojem se segment koji povezuje bilo koje dvije točke tijela kreće paralelno sa sobom.

Prilikom translacionog kretanja krutog tijela, brzine i ubrzanja svih tačaka tijela su geometrijski jednake, a putanje svih tačaka identične, tj. kada se preklapaju, poklapaju se, pa je dovoljno da se tačno poznaju karakteristike kretanja jedne tačke tela.

2.2. Rotacijsko kretanje krutog tijela

2.2.1. Kutna brzina i kutno ubrzanje

Rotacijsko kretanje je kretanje krutog tijela pri kojem najmanje dvije tačke tijela ostaju nepomične. Prava linija koja prolazi kroz ove tačke naziva se osa rotacije. Sve tačke tela koje leže na osi ostaju nepomične tokom rotacije. Sve ostale tačke tijela kreću se u ravninama okomitim na os rotacije i opisuju kružnice čiji centri leže na osi, a poluprečnici su jednaki udaljenostima od tačaka do ose (slika 1). Tačke A i B drže se nepomično pomoću potisnog ležaja, odnosno ležaja.

Odaberimo pozitivan smjer ose z i kroz nju povučemo fiksnu ravan I, a kroz osu drugu ravan II i spojimo je sa tijelom. Prilikom rotacije, ravnina II će formirati ugao sa ravninom I. Linearni ugao ϕ ovog pokretnog ugla naziva se ugao rotacije. Ako je funkcija ϕ = f (t) poznata, tada se rotacijsko kretanje smatra zadanim. Količina koja karakterizira brzinu promjene ugla rotacije naziva se ugaona brzina. Ugaona brzina ω je definirana kao vremenski derivat ugla rotacije

ω= d dt ϕ =ϕ& (rad/sec) ili (s-1)

Količina koja karakterizira brzinu promjene ugaone brzine naziva se ugaono ubrzanje, koji je definiran kao drugi izvod kuta rotacije u odnosu na vrijeme ili prvi izvod ugaone brzine

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (rad/sec2) ili (s-2)

Ako prvi i drugi izvod ugla ϕ u odnosu na vrijeme imaju isti predznak, tada se rotacija ubrzava ako drugačiji znak– nešto sporo. Ako je ugaona brzina konstantna, onda je rotacija ujednačena (u ovom slučaju kutno ubrzanje ε = 0).

2.2.2. Brzina i ubrzanje tačke rotirajućeg tela

Brzina kretanja tačke na tijelu u krugu naziva se brzina rotacije, a njegov modul zavisi od udaljenosti od tačke do ose rotacije.

V = ω OM

Vektor brzine je usmjeren okomito na polumjer kružnice opisane tačkom u smjeru rotacije (slika 2).

Ubrzanje tačke na rotirajućem tijelu ima dvije komponente - centripetalno i rotacijsko ubrzanje.

Acs = ω 2 OM avr = ε OM

Vektor a cs je usmjeren od tačke prema osi rotacije, vektor a bp je usmjeren okomito na polumjer prema ε.

Ukupni vektor ubrzanja a jednak je geometrijskom zbiru a cs i a wr

a = a cs + a vr,

a ukupni modul ubrzanja je određen formulom

a = OM ω 4 +ε 2

2.2.3. Vektorski izraz brzine, centripetalnog i rotacionog ubrzanja tačaka rotirajućeg tela

Općenito je prihvaćeno da su kutna brzina i kutno ubrzanje vektori usmjereni duž osi rotacije, a vektor ω usmjeren je duž ose na način da se sa njegovog kraja čini da se rotacija odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a vektor ugaonog ubrzanja ε je također usmjerena duž ose prema istom u istom smjeru kao ω za vrijeme ubrzane rotacije, ili u suprotnom smjeru tijekom spore rotacije.

Brzina rotacije tačke, centripetalno i rotaciono ubrzanje mogu se predstaviti u obliku vektorskih proizvoda (slika 3).

v =ω x r,

a cs = ω x v = ω x ω x r

a vrijeme = ε x r

Teorijska mehanika je dio mehanike koji postavlja osnovne zakone mehaničkog kretanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je nauka koja proučava kretanje tela tokom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, čvrstoće materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i mašina, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehanički pokret- ovo je promena tokom vremena u relativnom položaju materijalnih tela u prostoru.

Mehanička interakcija- ovo je interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika je dio teorijske mehanike koji se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i transformacije jednog sistema sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike
• Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, rastojanje između bilo koje tačke u kojem se ne mijenja.
• Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije, prema uslovima problema, mogu zanemariti.
• Slobodno tijelo- ovo je tijelo na čije kretanje nisu nametnuta ograničenja.
• Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje podložno ograničenjima.
• Veze– to su tijela koja sprečavaju kretanje predmetnog objekta (tijela ili sistema tijela).
• Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na čvrsto tijelo. Ako silu kojom čvrsto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju, sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
• Mehanički sistem je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih tačaka.
• Solid se može posmatrati kao mehanički sistem čiji se položaji i rastojanja između tačaka ne menjaju.
• Snaga je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
  Silu kao vektor karakterizira tačka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica modula sile je Njutn.
• Linija djelovanja sile je prava linija duž koje je usmjeren vektor sile.
• Fokusirana snaga– sila primijenjena u jednoj tački.
• Raspodijeljene sile (distribuirano opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve tačke volumena, površine ili dužine tijela.
  Distribuirano opterećenje je određeno silom koja djeluje po jedinici volumena (površine, dužine).
  Dimenzija raspoređenog opterećenja je N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Spoljna sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada mehaničkom sistemu koji se razmatra.
• Unutrašnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu tačku mehaničkog sistema iz druge materijalne tačke koja pripada sistemu koji se razmatra.
• Sistem sile je skup sila koje djeluju na mehanički sistem.
• Sistem ravni sile je sistem sila čije linije djelovanja leže u istoj ravni.
• Prostorni sistem snaga je sistem sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravni.
• Sistem konvergirajućih sila je sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački.
• Proizvoljni sistem sila je sistem sila čije se linije djelovanja ne seku u jednoj tački.
• Sistemi ekvivalentnih sila- to su sistemi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
  Prihvaćena oznaka: .
• Equilibrium- ovo je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se kreće ravnomjerno pravolinijski.
• Uravnotežen sistem snaga- ovo je sistem sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja njegovo mehaničko stanje (ne izbacuje ga iz ravnoteže).
  .
• Rezultirajuća sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sistema sila.
  .
• moment sile je veličina koja karakteriše rotirajuću sposobnost sile.
• Par sila je sistem dvije paralelne sile jednake veličine i suprotno usmjerene.
  Prihvaćena oznaka: .
  Pod uticajem para sila, telo će izvršiti rotacioni pokret.
• Projekcija sile na osu- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
  Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom ose.
• Projekcija sile na ravan je vektor na ravni, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravan.
• Zakon 1 (zakon inercije). Izolovana materijalna tačka miruje ili se kreće jednoliko i pravolinijski.
  Ujednačeno i pravolinijsko kretanje materijalne tačke je kretanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne tačke i krutog tela ne shvata se samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za čvrsto tijelo postoje razne vrste kretanje po inerciji, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne ose.
• Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž zajedničke linije djelovanja.
  Ove dvije sile se nazivaju balansiranjem.
  Općenito, sile se nazivaju uravnoteženim ako čvrsto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
• Zakon 3. Bez narušavanja stanja (reč „stanje“ ovde označava stanje kretanja ili mirovanja) krutog tela, može se dodati i odbaciti balansne sile.
  Posljedica. Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju tačku tijela.
  Dva sistema sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja čvrstog tijela.
• Zakon 4. Rezultanta dvije sile primijenjene u jednoj tački, primijenjene u istoj tački, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma konstruiranog na tim silama i usmjerena je duž ove
  dijagonale.
  Apsolutna vrijednost rezultante je:
  
• Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž iste prave linije.
  Treba to imati na umu akcija- sila primijenjena na tijelo B, And opozicija- sila primijenjena na tijelo A, nisu izbalansirani, jer se primjenjuju na različita tijela.
• Zakon 6 (zakon očvršćavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se očvrsne.
  Ne treba zaboraviti da su uslovi ravnoteže, koji su neophodni i dovoljni za čvrsto telo, neophodni, ali nedovoljni za odgovarajuće nečvrsto telo.
• Zakon 7 (zakon emancipacije od veza). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije
• Glatka površina ograničava kretanje normalno na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
• Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela normalno na referentnu ravan. Reakcija je usmjerena normalno na površinu potpore.
• Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravni okomitoj na os rotacije.
• Zglobni bestežinski štap sprečava kretanje tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
• Slijepi pečat suprotstavlja se svakom kretanju i rotaciji u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike koji ispituje opća geometrijska svojstva mehaničkog kretanja kao procesa koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti se smatraju geometrijskim tačkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike
• Zakon o kretanju tačke (tela) je zavisnost položaja tačke (tijela) u prostoru od vremena.
• Putanja tačke– ovo je geometrijski položaj tačke u prostoru tokom njenog kretanja.
• Brzina tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja tačke (tijela) u prostoru.
• Ubrzanje tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine tačke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika tačke
• Putanja tačke
  U vektorskom referentnom sistemu, putanja se opisuje izrazom: .
  U koordinatnom referentnom sistemu, putanja je određena zakonom kretanja tačke i opisana je izrazima z = f(x,y)- u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
  U prirodnom referentnom sistemu, putanja je unaprijed određena.
• Određivanje brzine tačke u vektorskom koordinatnom sistemu
  Kada se specificira kretanje tačke u vektorskom koordinatnom sistemu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u ovom vremenskom intervalu: .
  Uzimajući vremenski interval kao beskonačno malu vrijednost, dobijamo vrijednost brzine u datom trenutku (trenutna vrijednost brzine): .
  Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja točke, a vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
  zaključak: brzina tačke je vektorska veličina jednaka vremenskom izvodu zakona kretanja.
  Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
• Određivanje brzine tačke u koordinatnom referentnom sistemu
  Brzina promjene koordinata tačke:
  .
  Modul ukupne brzine tačke sa pravougaonim koordinatnim sistemom biće jednak:
  .
  Smjer vektora brzine određen je kosinusima uglova smjera:
  ,
  gdje su uglovi između vektora brzine i koordinatnih osa.
• Određivanje brzine tačke u prirodnom referentnom sistemu
  Brzina tačke u prirodnom referentnom sistemu definisana je kao derivacija zakona kretanja tačke: .
  Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela
• U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
  1) postavljanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tela u celini;
  2) određivanje kinematičkih karakteristika tačaka tela.
• Translacijsko kretanje krutog tijela
  Translacijsko kretanje je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju.
  Teorema: za vrijeme translacijskog kretanja, sve točke tijela kreću se po identičnim putanjama i u svakom trenutku imaju istu veličinu i smjer brzine i ubrzanja.
  zaključak: translacijsko gibanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.
• Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose
  Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je kretanje krutog tijela u kojem dvije tačke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.
  Položaj tijela je određen uglom rotacije. Mjerna jedinica za ugao je radijan. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku; ukupni ugao kružnice sadrži 2π radijan.)
  Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose.
  Ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tijela određujemo metodom diferencijacije:
  — ugaona brzina, rad/s;
  — ugaono ubrzanje, rad/s².
  Ako secirate tijelo ravninom okomitom na os, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M, zatim pokažite Mće opisati oko tačke WITH radijus kruga R. Tokom vremena dt postoji elementarna rotacija kroz ugao , i tačka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
  Modul linearne brzine:
  .
  Ubrzanje tačke M sa poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
  ,
  Gdje .
  Kao rezultat, dobijamo formule
  tangencijalno ubrzanje: ;
  normalno ubrzanje: .

Dynamics

Dynamics je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike
• Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko kretanje, ćao spoljne sile neće promijeniti ovo stanje.
• Težina je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
• Materijalna tačka- ovo je tijelo sa masom, čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
• Centar mase mehaničkog sistema — geometrijska tačka, čije su koordinate određene formulama:
  
  Gdje m k , x k , y k , z k— masa i koordinate k- ta tačka mehaničkog sistema, m— masa sistema.
  U jednoličnom polju gravitacije, položaj centra mase se poklapa sa položajem težišta.
• Moment inercije materijalnog tijela u odnosu na osu je kvantitativna mjera inercije tokom rotacionog kretanja.
  Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu jednak je umnošku mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke od ose:
  .
  Moment inercije sistema (tijela) u odnosu na osu jednak je aritmetičkom zbiru momenata inercije svih tačaka:
  
• Sila inercije materijalne tačke je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tačke i modula ubrzanja i usmjerena suprotno od vektora ubrzanja:
• Sila inercije materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tijela i modula ubrzanja centra mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja centra mase: ,
  gdje je ubrzanje centra mase tijela.
• Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile i beskonačno malog vremenskog perioda dt:
  .
  Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
  .
• Elementarni rad sile je skalarna veličina dA, jednako skalarnom proi