En esta sección consideraremos las tareas asociadas con varios sistemas coordenadas dividiendo un segmento en una proporción dada.
Las coordenadas de los puntos están dadas: A(4; 3), EN(7; 6), CON(2; 11). Demostremos que el triángulo A B C rectangular.
Encuentra las longitudes de los lados del triángulo. A B C. Para ello utilizamos una fórmula que nos permite encontrar la distancia entre dos puntos de un plano:
Las longitudes de los lados serán iguales:
Considerando que el teorema de Pitágoras se cumple para los lados de este triángulo
luego un triangulo A B C– rectangular.
Se dan puntos A(2; 1) y EN(8; 4). Encuentra las coordenadas del punto. METRO(X; en), que divide el segmento en una proporción de 2:1.
Recuerde que el punto METRO(X; en) divide el segmento AB, Dónde A(X A , y A), B(X B , y B), en relación con λ: μ, si sus coordenadas cumplen las condiciones:
,
.
busquemos un punto METRO para un segmento dado
,
.
Entonces el punto METRO(6; 3) divide el segmento AB en una proporción de 2:1.
Encuentra las coordenadas rectangulares del punto. A(
3π/4), si el polo coincide con el origen de coordenadas y el eje polar se dirige a lo largo del eje de abscisas.
Teniendo en cuenta las fórmulas para la transición de sistemas de coordenadas polares a rectangulares.
X = r cosφ, y = r pecadoφ,
obtenemos
,
.
En un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, las coordenadas de un punto son A(–2; 2).
Encontremos las coordenadas polares de puntos que tienen las siguientes coordenadas rectangulares:
A(
;
2),EN(–4;
4), CON(–7;
0).
Usamos las fórmulas para la transición de coordenadas rectangulares a polares:
,
.
Consigamos las coordenadas del punto. A:
,
.
De este modo A(4; π/6) – coordenadas polares (Fig. 15).
por un punto EN(Figura 16) tenemos
,
.
Por tanto, las coordenadas polares del punto. EN(
, 3π/4).
Considere el punto CON(–7; 0) (Figura 17). En este caso
,
,
.
Puedes escribir las coordenadas polares de un punto. CON(7; π).
Encontremos la longitud del vector. a = 20i + 30j – 60k y sus cosenos directores.
Recuerde que los cosenos directores son los cosenos de ángulos que son vectores. a (a 1 , a 2 , a 3) formas con los ejes de coordenadas:
,
,
,
Dónde 
.
Aplicando estas fórmulas a este vector, obtenemos
,
.
Normalizamos el vector. a = 3i + 4j – 12k .
Normalizar un vector es encontrar un vector de longitud unitaria A
0, dirigido de la misma manera que este vector. Para un vector arbitrario a
(a 1 ,
a 2 ,
a 3) el vector correspondiente de longitud unitaria se puede encontrar multiplicando a
a una fracción 
.
.
En nuestro caso, un vector de longitud unitaria:
.
Encontremos el producto escalar de vectores.
a = 4i + 5j + 6k Y b = 3i – 4j + k .
Para encontrar el producto escalar de vectores, debes multiplicar las coordenadas correspondientes y sumar los productos resultantes. Entonces, para vectores a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k el producto escalar tiene la forma:
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Para estos vectores obtenemos
(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Demostremos que los vectores a = 2i – 3j + 5k Y b = i + 4j + 2k perpendicular.
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.
Encontremos el producto escalar:
(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Así, los vectores A Y b perpendicular.
Averigüemos a qué valor del parámetro. metro vectores a = 2i + 3j + metrok Y b = 3i + metroj – 2k perpendicular.
Encontremos el producto escalar de vectores. A Y b :
(a , b ) = 2∙3 + 3∙metro – 2∙metro = 6 + metro.
Los vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero. Igualamos a cero el producto ( A , b ):
6 + metro = 0.
En metro= – 6 vectores A Y b perpendicular.
Ejemplo 10.
Encontremos el producto escalar (3 A + 4b , 2A – 3b ), si | a | = 2, |b | = 1 y el ángulo φ entre A Y b es igual a π/3.
Usemos las propiedades del producto escalar:
(α a , β b ) = αβ( a , b ),
(a + b , C ) = (a , C ) + (b , C ),
(a , b ) = (b , a )
(a , a ) = |a | 2 ,
así como la definición del producto escalar ( a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. Reescribamos el producto escalar en la forma
(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =
6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Ejemplo 11.
Determinemos el ángulo entre los vectores.
a = i + 2j + 3k Y b = 6i + 4j – 2k .
Para encontrar el ángulo, usamos la definición del producto escalar de dos vectores.
(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,
donde φ es el ángulo entre los vectores A Y b . Expresemos cosφ a partir de esta fórmula.
.
Teniendo en cuenta que ( A
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, obtenemos:
.
Por eso, 
.
Ejemplo 12.
a = 5i – 2j + 3k Y b = i + 2j – 4k .
Se sabe que el producto vectorial de vectores. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k se encuentra mediante la fórmula
.
Por lo tanto, para estos vectores
2i + 23j + 12k .
Consideremos un ejemplo donde, para encontrar el módulo de un producto vectorial, se utilizará la definición de producto vectorial, y no expresarlo a través de las coordenadas de los factores, como era el caso en el ejemplo anterior.
Ejemplo 13.
Encontremos el módulo del producto vectorial de vectores. A + 2b y 2 A – 3b , si | a | = 1, |b | = 2 y el ángulo entre los vectores A Y b igual a 30°.
De la definición de producto vectorial se desprende claramente que para vectores arbitrarios A Y b su módulo es
|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ pecado φ.
Teniendo en cuenta las propiedades del producto vectorial.
[a , b ] = – [b , a ],
[a , a ] = 0,
[α a + β b , C ] = α[ a , C ] + β[ b , C ],
obtenemos
[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].
Esto significa que el módulo del producto vectorial es igual a
|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sen 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.
Ejemplo 14.
Calculemos el área de un paralelogramo construido sobre vectores.
a = 6i + 3j – 2k Y b = 3i – 2j + 6k .
Se sabe que el módulo del producto vectorial de dos vectores. igual al área paralelogramo construido sobre estos vectores. Encontremos el producto vectorial usando la fórmula:
,
Dónde a = a 1 i + a 2 j + a 3 k Y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Luego calculamos su módulo.
Para estos vectores obtenemos
14i – 42j – 21k .
Por tanto, el área del paralelogramo es
S = |[a , b ]| = (unidades cuadradas).
Ejemplo 15.
Calcular el área de un triángulo con vértices A(1;2;1), EN(3;3;4), CON(2;1;3).
Obviamente, el área del triángulo. A B C igual a la mitad del área de un paralelogramo construido sobre vectores 
Y 
.
A su vez, el área de un paralelogramo construida sobre vectores. 
Y 
, es igual al módulo del producto vectorial [ 
]. De este modo
|[
]|.
Encontremos las coordenadas de los vectores. 
Y 
, restando las coordenadas correspondientes del inicio de las coordenadas del final del vector, obtenemos
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
Encontremos el producto vectorial:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Encontremos el módulo del producto vectorial:
|[
]|
=
.
Por tanto, podemos obtener el área del triángulo:
(unidades cuadradas).
Ejemplo 16.
Calculemos el área de un paralelogramo construido sobre vectores. a + 3b y 3 a – b , si | a | = 2, |b | = 1 y el ángulo entre A Y b igual a 30°.
Encontremos el módulo del producto vectorial usando su definición y propiedades especificadas en el ejemplo 13, obtenemos
[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].
Esto significa que el área requerida es igual a
S = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sen 30° =
10∙2∙1∙0.5 = 10 (unidades cuadradas).
Los siguientes ejemplos implicarán el uso de un producto mixto de vectores.
Ejemplo 17.
Muestre que los vectores a = i + 2j – k , b = 3i + k Y Con = 5i + 4j – k coplanar.
Los vectores son coplanares si su producto mixto es cero. Para vectores arbitrarios
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , C = C 1 i + C 2 j + C 3 k
encontramos el producto mixto usando la fórmula:
.
Para estos vectores obtenemos
.
Por tanto, estos vectores son coplanares.
Encuentra el volumen de una pirámide triangular con vértices. A(1;1;1), EN(3;2;1), CON(2;4;3), D(5;2;4).
Encontremos las coordenadas de los vectores. 
,
Y 
, coincidiendo con los bordes de la pirámide. Restando las coordenadas correspondientes del inicio de las coordenadas del final del vector, obtenemos
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Se sabe que el volumen de una pirámide es igual a 1/6 del volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores. 
,
Y 
. De este modo,
.
A su vez, el volumen del paralelepípedo es igual al módulo del producto mezclado.
V paralelo
= |(
,
,
)|.
Busquemos un producto mixto.
(
,
,
)
=
.
Entonces el volumen de la pirámide es
(unidades cúbicas).
En los siguientes ejemplos mostraremos posibles aplicaciones del álgebra vectorial.
Ejemplo 19.
Comprobemos si los vectores 2 son colineales. A + b Y A – 3b , Dónde a = 2i + j – 3k Y b = i + 2j + 4k .
Encontremos las coordenadas de los vectores 2. A + b Y A – 3b :
2A + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
A – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Se sabe que los vectores colineales tienen coordenadas proporcionales. Teniendo en cuenta que
,
encontramos que hay 2 vectores A + b Y A – 3b no colineal.
Este problema podría haberse solucionado de otra manera. El criterio para la colinealidad de los vectores es la igualdad del producto vectorial a cero:
2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].
Encontremos el producto vectorial de vectores. A Y b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
Por eso,
= –7[a , b ] ≠ 0
y vectores 2 A + b Y A – 3b no colineal.
Ejemplo 20.
Encontremos el trabajo de la fuerza. F (3; 2; 1), cuando el punto de su aplicación A(2; 4;–6), moviéndose rectilíneamente, se mueve hasta el punto EN(5; 2; 3).
Se sabe que el trabajo de la fuerza es el producto escalar de la fuerza. F
al vector de desplazamiento 
.
Encontremos las coordenadas del vector. 
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Por tanto, el trabajo de la fuerza F moviendo un punto A exactamente EN será igual al producto escalar
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Ejemplo 21.
Que la fuerza F (2;3;–1) se aplica al punto A(4;2;3). Bajo fuerza F punto A se mueve a un punto EN(3;1;2). Encontremos el módulo del momento de fuerza. F relativo al punto EN.
Se sabe que el momento de la fuerza es igual al producto vectorial de la fuerza y el desplazamiento. Encontremos el vector de desplazamiento. 
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Encontremos el momento de fuerza como producto vectorial:
= – 4i + 3j + k .
Por tanto, el módulo del momento de fuerza es igual al módulo del producto vectorial:
|[F
,
]|
=
.
60) Dado un sistema de vectores un =(1, 2, 5), segundo =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Exploralo en dependencia lineal.
a) El sistema de vectores es linealmente dependiente;
b) El sistema de vectores es linealmente independiente;
c) no hay una respuesta correcta.
61) Explora el sistema vectorial
un =(1, -1, 2, 0), segundo =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) a una relación lineal.
a) el sistema de vectores es linealmente independiente;
b) el sistema de vectores es linealmente dependiente;
c) no hay una respuesta correcta.
62) ¿Es el sistema de vectores? un =(1, 2), segundo =(7, ), c =(0, ), re =(, 1) ¿linealmente dependiente?
a) no, no lo es;
b) sí, lo es.
63) ¿Se expresa un vector? segundo =(2, -1, 3) a través del sistema vectorial = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) no, no expresado;
b) sí, se expresa.
64) Investigar un sistema de vectores para dependencia lineal.
un = , segundo = , c = .
a) linealmente independiente;
b) linealmente dependiente;
c) no hay una respuesta correcta.
65) Investigar un sistema de vectores para dependencia lineal.
un = , segundo = , c =
a) linealmente independiente;
b) linealmente dependiente;
c) no hay una respuesta correcta.
66) ¿El sistema de vectores es linealmente dependiente?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) linealmente dependiente;
b) linealmente independiente;
c) no hay una respuesta correcta.
67) Sea el número de filas de la matriz linealmente independientes igual a my el número de columnas de la matriz linealmente independientes igual a n. Elija la afirmación correcta.
d) la respuesta depende de la matriz.
68) Los vectores base del espacio lineal son
a) linealmente dependiente;
b) linealmente independiente;
c) la respuesta depende de la base específica.
69) ¿qué es un vector?
a) este es un rayo que muestra la dirección del movimiento
b) este es un segmento dirigido con un comienzo en el punto A y un final en el punto B, que se puede mover paralelo a sí mismo
c) esta es una figura que consta de muchos puntos equidistantes entre sí.
d) este es un segmento que comienza en el punto A y termina en el punto B, que no se puede mover paralelo a sí mismo
70) Si una combinación lineal 1 + 2 +….+ƛr puede representar un vector cero cuando está entre los números ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r hay al menos uno distinto de cero, entonces el sistema de vectores un 1, un 2,…., un p llamado:
a) linealmente independiente;
b) linealmente dependiente;
c) trivial;
d) no trivial.
71) Si una combinación lineal 1 + 2 +….+ƛr representa un vector cero sólo cuando todos los números ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r son iguales a cero, entonces el sistema de vectores un 1, un 2,…., un p llamado:
a) linealmente independiente;
b) linealmente dependiente;
c) trivial;
d) no trivial.
72) La base de un espacio vectorial es un sistema de vectores que se especifica en un orden determinado y satisface las condiciones:
a) El sistema es linealmente independiente;
b) Cualquier vector del espacio es una combinación lineal de un sistema dado;
c) Ambas son correctas;
d) Ambas son incorrectas.
73) Un subconjunto del espacio R n que tiene la propiedad de ser cerrado respecto de las operaciones de suma y multiplicación por números se llama:
a) Preespacio lineal del espacio Rn;
b) Proyección del espacio R n ;
c) Subespacio lineal del espacio Rn;
d) no hay una respuesta correcta.
74) Si un sistema finito de vectores contiene un subsistema linealmente dependiente, entonces:
a) Linealmente dependiente;
b) Linealmente independiente;
75) Si el sistema es lineal vector dependiente sumamos uno o más vectores, el sistema resultante será:
a) Linealmente dependiente;
b) Linealmente independiente;
c) Ni linealmente dependiente ni linealmente independiente.
76) Tres vectores se llaman coplanares si:
a) Se encuentran sobre líneas paralelas;
b) Se encuentran en la misma línea recta;
c) Linealmente independiente;
d) Se encuentran en planos paralelos;
77) Dos vectores se llaman colineales si:
a) Se encuentran en el mismo plano;
b) Se encuentran en planos paralelos;
c) Linealmente independiente;
d) Se encuentran sobre líneas paralelas;
78) Para que dos vectores sean linealmente dependientes, es necesario que sean:
a) Garantía;
b) Coplanar;
c) Linealmente independiente;
d) No existe una opción correcta.
79) producto de un vector un =(a 1 ,a 2 ,a 3) un número se llama vector b, igual
A) ( a 1 , a 2 , a 3)
b) (+ a 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /a 1 , /a 2 , /a 3)
80) si dos vectores se encuentran en la misma recta, entonces dichos vectores son
a) igual
b) codirigido
c) colineal
d) dirigido de manera opuesta
81) el producto escalar de vectores es igual a
a) el producto de sus longitudes;
b) el producto de sus longitudes por el coseno del ángulo entre ellas;
c) el producto de sus longitudes por el seno del ángulo entre ellas;
d) el producto de sus longitudes por la tangente del ángulo entre ellas;
82) producto de un vector A se llamó a sí mismo
a) longitud del vector A
b) cuadrado escalar del vector A
c) dirección del vector A
d) no hay una respuesta correcta
83) si el producto de los vectores es igual a 0, entonces dichos vectores se llaman
a) colineal
b) codirigido
c) ortogonal
d) paralelo
84) la longitud del vector es
a) su cuadrado escalar
b) la raíz de su cuadrado escalar
c) la suma de sus coordenadas
d) la diferencia entre las coordenadas del final y el comienzo del vector
85) ¿Cuáles son las reglas para encontrar la suma de vectores (respuestas múltiples)?
a) regla del triángulo
b) la regla del círculo
c) regla del paralelogramo
d) regla de Gauss
e) regla del polígono
f) regla del rectángulo
86) si punto A coincide con el punto EN, entonces el vector se llama
a) vector unitario
c) vector cero
d) vector trivial
87) para que dos vectores sean colineales, es necesario que
a) sus coordenadas eran las mismas
b) sus coordenadas eran proporcionales
c) sus coordenadas eran opuestas
d) sus coordenadas eran iguales a 0
88) se dan dos vectores a=2m+4n y b=m-n, donde myn son vectores unitarios que forman un ángulo de 120 0. Encuentra el ángulo entre los vectores a y b.
89) En el plano se dan dos vectores unitarios myn. Se sabe que el ángulo entre ellos es de 60 grados. Encuentra la longitud del vector a=m+2n (redondea la respuesta a 0,1)
90) Encuentra el ángulo entre las diagonales de un paralelogramo construido sobre los vectores a=-4k y b=2i+j
91) se dan las longitudes de los vectores |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Definir |a+b|
92) Se dan tres vectores: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Encuentra las coordenadas del vector p=2a-b+c.
93) Encuentra la longitud del vector a=2i+3j-6k.
94) ¿a qué valor de λ son perpendiculares los vectores a=λi-3j+2k y b=i+2j-λk?
95) Dados los vectores a=6i-4j+k y b=2i-4j+k. Encuentra el ángulo formado por vector ab con eje Oz.
96) Vectores dados = (4; –2; –6) y = (–3; 4; –12). Encuentra la proyección del vector. a al eje vectorial b.
97) Encuentra el ángulo A triangulo con vértices A (–1; 3; 2), EN(3; 5; –2) y
CON(3; 3; –1). Introduce tu respuesta como 15cos A.
98) Encuentra el módulo cuadrado del vector. 
, donde y son vectores unitarios que forman un ángulo de 60°.
99) Encuentra el producto escalar 
Y 
100) Dados los puntos A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Determina el tipo de cuadrilátero ABCD.
a) Paralelepípedo;
b) Rectángulo;
c) Trapecio;
101) El vector = (3; 4) se descompone en vectores = (3; –1) y = (1; –2). Elija la descomposición correcta.
