¿Cuál es la esencia del teorema de Poincaré?
- E fue probada por la pelirroja Sophia, pero ella también es pelirroja....
- La conclusión es que el Universo no tiene forma de esfera, sino de donut.
- El significado de la conjetura de Poincaré en su formulación original es que para cualquier cuerpo tridimensional sin agujeros existe una transformación que permitirá convertirlo en una bola sin cortar ni pegar. Si esto parece obvio, ¿qué pasa si el espacio no es tridimensional, sino que contiene diez u once dimensiones (es decir, estamos hablando de una formulación generalizada de la conjetura de Poincaré, que Perelman demostró)?
- no puedes decirlo en 2 palabras
- En 1900, Poincaré sugirió que una variedad tridimensional con todos los grupos de homología de una esfera es homeomorfa a una esfera. En 1904, también encontró un contraejemplo, ahora llamado esfera de Poincaré, y formuló la versión final de su hipótesis. Los intentos de probar la conjetura de Poincaré han dado lugar a numerosos avances en la topología de variedades.
Pruebas de la conjetura generalizada de Poincaré para n #10878; 5 fueron obtenidos a principios de los años 1960 y 1970 casi simultáneamente por Smale, de forma independiente y por otros métodos por Stallings (inglés) (para n #10878; 7, su prueba fue extendida a los casos n = 5 y 6 por Zeeman (inglés)) . Friedman no obtuvo hasta 1982 una prueba del caso mucho más difícil n = 4. Del teorema de Novikov sobre la invariancia topológica de las clases características de Pontryagin se deduce que existen variedades homotópicas equivalentes, pero no homeomórficas, en grandes dimensiones.
La prueba de la conjetura original de Poincaré (y de la conjetura más general de Trston) no fue encontrada hasta 2002 por Grigory Perelman. Posteriormente, la prueba de Perelman fue verificada y presentada de forma ampliada por al menos tres grupos de científicos. 1 La prueba utiliza el flujo de Ricci con cirugía y sigue en gran medida el plan descrito por Hamilton, quien también fue el primero en utilizar el flujo de Ricci.
- quién es
- Teorema de Poincaré:
Teorema de Poincaré sobre campos vectoriales
Teorema de Poincaré de Bendixson
Teorema de Poincaré sobre la clasificación de homeomorfismos circulares
La conjetura de Poincaré sobre la esfera de homotopía
Teorema del retorno de Poincaré¿Sobre cuál preguntas?
- En la teoría de sistemas dinámicos, el teorema de Poincaré sobre la clasificación de homeomorfismos del círculo describe posibles tipos de dinámica invertible en el círculo, dependiendo del número de rotación p(f) del mapeo iterado f. En términos generales, resulta que la dinámica de las iteraciones del mapeo es hasta cierto punto similar a la dinámica de rotación en el ángulo correspondiente.
Es decir, dejemos que se dé un homeomorfismo circular f. Entonces:
1) El número de rotación es racional si y sólo si f tiene puntos periódicos. En este caso, el denominador del número de rotación es el período de cualquier punto periódico, y el orden cíclico en el círculo de los puntos de cualquier órbita periódica es el mismo que el de los puntos de la órbita de rotación en p(f). Además, cualquier trayectoria tiende a cierta periodicidad tanto en el tiempo directo como en el inverso (las trayectorias límite a y w pueden ser diferentes).
2) Si el número de rotación f es irracional, entonces son posibles dos opciones:
i) cualquiera de f tiene una órbita densa, en cuyo caso el homeomorfismo de f se conjuga con una rotación por p(f). En este caso, todas las órbitas de f son densas (ya que esto es cierto para la rotación irracional);
ii) cualquiera de f tiene un conjunto invariante de Cantor C, que es el único conjunto mínimo del sistema. En este caso, todas las trayectorias tienden a C tanto en el tiempo hacia adelante como hacia atrás. Además, la aplicación f es semiconjugada a la rotación por p(f): para alguna aplicación h de grado 1, p o f =R p (f) o hAdemás, el conjunto C es exactamente el conjunto de puntos de crecimiento de h; en otras palabras, desde un punto de vista topológico, h colapsa los intervalos del complemento de C;
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- El brillante matemático, el profesor parisino Henri Poincaré, trabajó en diversas áreas de esta ciencia. Independientemente e independientemente del trabajo de Einstein en 1905, propuso los principios fundamentales de la Teoría de la Relatividad Especial. Y formuló su famosa hipótesis allá por 1904, por lo que tomó alrededor de un siglo resolverla.
Poincaré fue uno de los fundadores de la topología, la ciencia de las propiedades de las figuras geométricas que no cambian ante deformaciones que ocurren sin interrupciones. Por ejemplo, un globo se puede deformar fácilmente en una variedad de formas, como lo hacen con los niños en el parque. Pero tendrás que cortar la bola para convertirla en un donut (o, en lenguaje geométrico, en un toro, no hay otra manera); Y viceversa: coge un donut de goma e intenta convertirlo en una esfera. Sin embargo, todavía no funcionará. Según sus propiedades topológicas, las superficies de una esfera y un toro son incompatibles o no homeomórficas. Pero cualquier superficie sin agujeros (superficies cerradas), por el contrario, es homeomorfa y puede deformarse y transformarse en una esfera.
Si en el siglo XIX todo estaba decidido sobre las superficies bidimensionales de la esfera y el toro, para casos más multidimensionales se necesitaba mucho más tiempo. Ésta, de hecho, es la esencia de la conjetura de Poincaré, que extiende el patrón a casos multidimensionales. Simplificando un poco, la conjetura de Poincaré establece: Toda variedad cerrada de n dimensiones simplemente conexa es homeomorfa a una esfera de n dimensiones. Es curioso que la opción con superficies tridimensionales resultó ser la más difícil. En 1960, la hipótesis fue probada para dimensiones 5 y superiores, en 1981 para n=4. El obstáculo fue precisamente la tridimensionalidad.
Desarrollando las ideas de William Trsten y Richard Hamilton, propuestas por ellos en la década de 1980, Grigory Perelman aplicó una ecuación especial de evolución suave a superficies tridimensionales. Y pudo demostrar que la superficie tridimensional original (si no hay discontinuidades en ella) necesariamente evolucionará hacia una esfera tridimensional (esta es la superficie de una bola de cuatro dimensiones y existe en cuatro dimensiones). espacio). Según varios expertos, se trataba de una idea de una nueva generación, cuya solución abre nuevos horizontes a la ciencia matemática.
Es interesante que, por alguna razón, el propio Perelman no se molestó en llevar su decisión a la brillantez definitiva. Habiendo descrito la solución en su conjunto en la preimpresión La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas en noviembre de 2002, en marzo de 2003 complementó la prueba y la presentó en la preimpresión Ricci flujo con cirugía en tres colectores, y también informó sobre el método en el ciclo de conferencias que pronunció en 2003 por invitación de varias universidades. Ninguno de los revisores pudo encontrar errores en la versión que propuso, pero Perelman no publicó una publicación científica revisada por pares (que, en particular, era una condición necesaria para recibir el Premio Clay Mathematical Institute). Pero en 2006, basándose en su método, se publicó toda una serie de pruebas en las que matemáticos estadounidenses y chinos examinaron el problema en detalle y en su totalidad, complementaron los puntos omitidos por Perelman y dieron la prueba final de la conjetura de Poincaré.
- La conjetura generalizada de Poincaré establece que:
Para cualquier n, cualquier variedad de dimensión n es homotópicamente equivalente a una esfera de dimensión n si y sólo si es homeomórfica para ella.
La conjetura de Poincaré original es un caso especial de la conjetura generalizada para n = 3.
Para aclarar, ve al bosque a recoger setas, Grigory Perelman va allí) - El teorema del retorno de Poincaré es uno de los teoremas básicos de la teoría ergódica. Su esencia es que con un mapeo del espacio sobre sí mismo que preserva la medida, casi todos los puntos volverán a su vecindad inicial. La formulación completa del teorema es la siguiente: 1:
Sea una transformación que conserva la medida de un espacio con medida finita y sea un conjunto mensurable. Entonces para cualquier natural
.
Este teorema tiene una consecuencia inesperada: resulta que si en un recipiente dividido por un tabique en dos compartimentos, uno de los cuales está lleno de gas y el otro vacío, se quita el tabique, después de un tiempo todas las moléculas de gas desaparecerán. Recoger nuevamente en la parte original del recipiente. La solución a esta paradoja es que algún tiempo es del orden de miles de millones de años. - tiene teoremas como perros sacrificados en Corea...
el universo es esférico... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Ayer los científicos anunciaron que el universo es una sustancia congelada... y pidieron mucho dinero para demostrarlo... otra vez los Merikos encenderán la imprenta... para diversión de los intelectuales...
- Intenta demostrar dónde está arriba y abajo en gravedad cero.
- Ayer se pasó una maravillosa película sobre CULTURA, en la que se explica detalladamente este problema. ¿Quizás todavía lo tienen?
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Inicie sesión en Yandex, escriba Película sobre Perelman y vaya a la película.
Grigori Perelman. rechazar
Vasili Maksimov
En agosto de 2006, se anunciaron los nombres de los mejores matemáticos del planeta que recibieron la prestigiosa Medalla Fields, una especie de análogo del Premio Nobel, del que los matemáticos, por capricho de Alfred Nobel, fueron privados. La Medalla Fields (además de una insignia de honor, los ganadores reciben un cheque de quince mil dólares canadienses) la otorga el Congreso Internacional de Matemáticos cada cuatro años. Fue establecido por el científico canadiense John Charles Fields y se otorgó por primera vez en 1936. Desde 1950, la Medalla Fields es concedida periódicamente personalmente por el Rey de España por su contribución al desarrollo de la ciencia matemática. Los ganadores del premio pueden ser de uno a cuatro científicos menores de cuarenta años. Ya han recibido el premio 44 matemáticos, entre ellos ocho rusos.
Grigori Perelman. Henri Poincaré.
En 2006, los galardonados fueron el francés Wendelin Werner, el australiano Terence Tao y dos rusos: Andrey Okunkov, que trabaja en Estados Unidos, y Grigory Perelman, un científico de San Petersburgo. Sin embargo, en el último momento se supo que Perelman rechazó este prestigioso premio, como anunciaron los organizadores, "por razones de principio".
Un acto tan extravagante del matemático ruso no sorprendió a quienes lo conocieron. No es la primera vez que rechaza premios de matemáticas y explica su decisión diciendo que no le gustan los eventos ceremoniales y las exageraciones innecesarias en torno a su nombre. Hace diez años, en 1996, Perelman rechazó el premio del Congreso Europeo de Matemáticas, alegando que no había completado el trabajo sobre el problema científico nominado al premio, y este no fue el último caso. El matemático ruso parecía tener como objetivo de su vida sorprender a la gente, yendo en contra de la opinión pública y de la comunidad científica.
Grigory Yakovlevich Perelman nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado. Desde muy joven le gustaron las ciencias exactas, se graduó brillantemente en la famosa escuela secundaria número 239 con un estudio en profundidad de las matemáticas, ganó numerosas Olimpíadas de matemáticas: por ejemplo, en 1982, como parte de un equipo de escolares soviéticos, participó en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebrada en Budapest. Sin exámenes, Perelman se matriculó en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad de Leningrado, donde estudió con excelentes calificaciones y continuó ganando concursos de matemáticas en todos los niveles. Después de graduarse de la universidad con honores, ingresó a la escuela de posgrado en la sucursal de San Petersburgo del Instituto de Matemáticas Steklov. Su supervisor científico fue el famoso académico matemático Aleksandrov. Después de defender su tesis doctoral, Grigory Perelman permaneció en el instituto, en el laboratorio de geometría y topología. Se conoce su trabajo sobre la teoría de los espacios de Alexandrov; pudo encontrar evidencia de una serie de conjeturas importantes. A pesar de las numerosas ofertas de las principales universidades occidentales, Perelman prefiere trabajar en Rusia.
Su éxito más notable fue la solución en 2002 de la famosa conjetura de Poincaré, publicada en 1904 y desde entonces sin demostrarse. Perelman trabajó en ello durante ocho años. La conjetura de Poincaré fue considerada uno de los mayores misterios matemáticos, y su solución fue considerada el logro más importante de la ciencia matemática: haría avanzar inmediatamente la investigación sobre los problemas de los fundamentos físicos y matemáticos del universo. Las mentes más destacadas del planeta predijeron su solución sólo en unas pocas décadas, y el Instituto Clay de Matemáticas de Cambridge, Massachusetts, incluyó el problema de Poincaré entre los siete problemas matemáticos no resueltos más interesantes del milenio, para cuya solución Se prometió un premio de un millón de dólares (Problemas del Premio del Milenio).
La conjetura (a veces llamada problema) del matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) se formula de la siguiente manera: cualquier espacio tridimensional cerrado simplemente conexo es homeomorfo a una esfera tridimensional. Para aclarar, use un ejemplo claro: si envuelve una manzana con una banda elástica, entonces, en principio, apretando la cinta, puede comprimir la manzana en una punta. Si envuelves un donut con la misma cinta, no podrás comprimirlo hasta cierto punto sin romper el donut o la goma. En este contexto, a una manzana se le llama figura “simplemente conexa”, pero un donut no es simplemente conexo. Hace casi cien años, Poincaré estableció que una esfera bidimensional está simplemente conexa y sugirió que una esfera tridimensional también está simplemente conexa. Los mejores matemáticos del mundo no pudieron probar esta hipótesis.
Para optar al Premio del Instituto Clay, Perelman sólo tenía que publicar su solución en una de las revistas científicas, y si en dos años nadie podía encontrar un error en sus cálculos, entonces la solución se consideraría correcta. Sin embargo, Perelman se desvió de las reglas desde el principio y publicó su decisión en el sitio web de preimpresión del Laboratorio Científico de Los Alamos. Tal vez temía que se hubiera introducido un error en sus cálculos; una historia similar ya había sucedido en matemáticas. En 1994, el matemático inglés Andrew Wiles propuso una solución al famoso teorema de Fermat, y unos meses más tarde resultó que se había introducido un error en sus cálculos (aunque luego se corrigió y la sensación aún se produjo). Todavía no hay una publicación oficial de la prueba de la conjetura de Poincaré, pero existe una opinión autorizada de los mejores matemáticos del planeta que confirma la exactitud de los cálculos de Perelman.
La Medalla Fields fue concedida a Grigory Perelman precisamente por resolver el problema de Poincaré. Pero el científico ruso rechazó el premio que sin duda se merece. "Gregory me dijo que se siente aislado de la comunidad matemática internacional, fuera de esta comunidad, y por eso no quiere recibir el premio", dijo el inglés John Ball, presidente de la Unión Mundial de Matemáticos (WUM), en una conferencia de prensa en Madrid.
Hay rumores de que Grigory Perelman va a dejar la ciencia por completo: hace seis meses renunció a su Instituto de Matemáticas Steklov natal y dicen que ya no estudiará matemáticas. Quizás el científico ruso crea que, al demostrar la famosa hipótesis, ha hecho todo lo posible por la ciencia. Pero ¿quién se atreverá a discutir el pensamiento de un científico tan brillante y una persona tan extraordinaria? Perelman rechaza cualquier comentario y declaró al periódico The Daily Telegraph: “Nada de lo que puedo decir tiene el menor interés público”. Sin embargo, las principales publicaciones científicas fueron unánimes en sus valoraciones cuando afirmaron que "Grigory Perelman, habiendo resuelto el teorema de Poincaré, estaba a la altura de los mayores genios del pasado y del presente".
Revista y editorial literaria y periodística mensual.
Los científicos creen que el matemático ruso Grigory Perelman, de 38 años, propuso la solución correcta al problema de Poincaré. Así lo afirmó Keith Devlin, profesor de matemáticas en la Universidad de Stanford, en el festival científico de Exeter (Reino Unido).
El problema de Poincaré (también llamado problema o hipótesis) es uno de los siete problemas matemáticos más importantes, por cuya solución otorgó a cada uno de ellos un premio de un millón de dólares. Esto es lo que atrajo tanta atención a los resultados obtenidos por Grigory Perelman, un empleado del laboratorio de física matemática.
Científicos de todo el mundo conocieron los logros de Perelman a través de dos preprints (artículos que preceden a una publicación científica completa), publicados por el autor en noviembre de 2002 y marzo de 2003 en el sitio web del archivo de trabajos preliminares del Laboratorio Científico de Los Alamos.
Según las normas adoptadas por el Consejo Asesor Científico del Instituto Clay, una nueva hipótesis debe publicarse en una revista especializada de "reputación internacional". Además, según las normas del Instituto, la decisión de pagar el premio la toma en última instancia la "comunidad matemática": la prueba no debe ser refutada dentro de los dos años siguientes a su publicación. Cada prueba es verificada por matemáticos de diferentes países del mundo.
problema de poincaré
Nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, en el seno de una familia de empleados. Se graduó en la famosa escuela secundaria número 239 con un estudio profundo de matemáticas. En 1982, como parte de un equipo de escolares soviéticos, participó en la Olimpiada Internacional de Matemáticas celebrada en Budapest. Se matriculó en matemáticas y mecánica en la Universidad Estatal de Leningrado sin exámenes. Ganó olimpíadas de matemáticas para estudiantes de la facultad, la ciudad y toda la Unión. Recibió una beca Lenin. Después de graduarse de la universidad, Perelman ingresó a la escuela de posgrado en la sucursal de San Petersburgo del Instituto de Matemáticas Steklov. Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas. Trabaja en el laboratorio de física matemática.
El problema de Poincaré se refiere al área de la llamada topología de las variedades: espacios dispuestos de una manera especial que tienen diferentes dimensiones. Las variedades bidimensionales se pueden visualizar, por ejemplo, usando el ejemplo de la superficie de cuerpos tridimensionales: una esfera (la superficie de una bola) o un toro (la superficie de una dona).
Es fácil imaginar lo que le sucederá a un globo si se deforma (dobla, retuerce, tira, comprime, pellizca, desinfla o infla). Está claro que con todas las deformaciones anteriores, la bola cambiará de forma en un amplio rango. Sin embargo, nunca podremos convertir una bola en un donut (o viceversa) sin romper la continuidad de su superficie, es decir, sin destrozarla. En este caso, los topólogos dicen que la esfera (bola) no es homeomórfica con respecto al toro (rosquilla). Esto significa que estas superficies no se pueden asignar entre sí. En términos simples, una esfera y un toro son diferentes en sus propiedades topológicas. Y la superficie de un globo, bajo todas sus posibles deformaciones, es homeomorfa con respecto a una esfera, del mismo modo que la superficie de un aro salvavidas lo es con respecto a un toroide. En otras palabras, cualquier superficie bidimensional cerrada que no tenga agujeros pasantes tiene las mismas propiedades topológicas que una esfera bidimensional.
TOPOLOGÍA, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras (o espacios) que se conservan bajo deformaciones continuas, como estiramiento, compresión o flexión. La deformación continua es una deformación de una figura en la que no hay roturas (es decir, violación de la integridad de la figura) ni pegado (es decir, identificación de sus puntos).
LA TRANSFORMACIÓN TOPOLÓGICA de una figura geométrica a otra es un mapeo de un punto arbitrario P de la primera figura al punto P' de otra figura, que satisface las siguientes condiciones: 1) cada punto P de la primera figura debe corresponder a uno y sólo uno punto P' de la segunda figura, y viceversa; 2) El mapeo debe ser mutuamente continuo. Por ejemplo, hay dos puntos P y N que pertenecen a la misma figura. Si, cuando el punto P se mueve al punto N, la distancia entre ellos tiende a cero, entonces la distancia entre los puntos P' y N' de otra figura también debería tender a cero, y viceversa.
HOMEOMORFISMO. Las figuras geométricas que se transforman unas en otras durante transformaciones topológicas se denominan homeomórficas. El círculo y el límite de un cuadrado son homeomórficos, ya que pueden convertirse entre sí mediante una transformación topológica (es decir, doblar y estirar sin romper ni pegar, por ejemplo, estirar el límite de un cuadrado hasta el círculo circunscrito a su alrededor). . Una región en la que cualquier curva cerrada simple (es decir, homeomórfica a un círculo) puede contraerse hasta un punto mientras permanece en esta región todo el tiempo se llama simplemente conexa, y la propiedad correspondiente de la región es simplemente conexa. Si alguna curva simple cerrada de esta región no se puede reducir a un punto y permanece todo el tiempo en esta región, entonces la región se llama conexa múltiple y la propiedad correspondiente de la región se llama conexa múltiple.
El problema de Poincaré establece lo mismo para variedades tridimensionales (para variedades bidimensionales, como la esfera, este punto se demostró allá por el siglo XIX). Como señaló el matemático francés, una de las propiedades más importantes de una esfera bidimensional es que cualquier bucle cerrado (por ejemplo, un lazo) que se encuentre sobre ella se puede tirar a un punto sin salir de la superficie. Para un toro, esto no siempre es cierto: un bucle que pasa a través de su orificio será arrastrado hasta un punto en el que el toro se rompe o cuando el propio bucle se rompe. En 1904, Poincaré propuso que si un bucle puede contraerse hasta un punto en una superficie tridimensional cerrada, entonces dicha superficie es homeomorfa con respecto a una esfera tridimensional. Demostrar esta hipótesis resultó ser una tarea extremadamente difícil.
Aclaremos de inmediato: la formulación del problema de Poincaré que mencionamos no habla en absoluto de una bola tridimensional, que podemos imaginar sin mucha dificultad, sino de una esfera tridimensional, es decir, de la superficie de una esfera de cuatro dimensiones. -bola dimensional, que es mucho más difícil de imaginar. Pero a finales de la década de 1950, de repente quedó claro que era mucho más fácil trabajar con variedades de alta dimensión que con variedades de tres y cuatro dimensiones. Evidentemente, la falta de claridad está lejos de ser la principal dificultad a la que se enfrentan los matemáticos en sus investigaciones.
En 1960, Stephen Smale, John Stallings y Andrew Wallace resolvieron un problema similar al de Poincaré para dimensiones 5 y superiores. Sin embargo, los métodos utilizados por estos científicos resultaron inaplicables a variedades de cuatro dimensiones. Para ellos, el problema de Poincaré no fue demostrado hasta 1981 por Michael Freedman. El caso tridimensional resultó ser el más difícil; Grigory Perelman propone su solución.
Cabe señalar que Perelman tiene rival. En abril de 2002, Martin Dunwoody, profesor de matemáticas de la Universidad británica de Southampton, propuso su método para resolver el problema de Poincaré y ahora espera un veredicto del Instituto Clay.
Los expertos creen que resolver el problema de Poincaré permitirá dar un paso serio en la descripción matemática de procesos físicos en objetos tridimensionales complejos y dará un nuevo impulso al desarrollo de la topología informática. El método propuesto por Grigory Perelman abrirá una nueva dirección en geometría y topología. El matemático de San Petersburgo bien podría optar al Premio Fields (análogo al Premio Nobel, que no se concede en matemáticas).
Mientras tanto, algunos encuentran extraño el comportamiento de Grigory Perelman. Esto es lo que escribe el periódico británico The Guardian: “Lo más probable es que el enfoque de Perelman para resolver el problema de Poincaré sea correcto, pero no todo es tan simple. Perelman no proporciona evidencia de que el trabajo se publicó como una publicación científica completa (preimpresiones). no se consideran tales). Y esto es necesario si una persona quiere recibir un premio del Instituto Clay. Además, no tiene ningún interés en el dinero."
Al parecer, para Grigory Perelman, como para un verdadero científico, el dinero no es lo principal. Por resolver cualquiera de los llamados “problemas del milenio”, un verdadero matemático venderá su alma al diablo.
Lista del Milenio
El 8 de agosto de 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París, el matemático David Hilbert esbozó una lista de problemas que, en su opinión, tendrían que resolverse en el siglo XX. Había 23 elementos en la lista. Hasta el momento se han resuelto veintiuno de ellos. El último problema de la lista de Hilbert por resolver fue el famoso teorema de Fermat, que los científicos no habían podido resolver durante 358 años. En 1994, el británico Andrew Wiles propuso su solución. Resultó ser cierto.
Siguiendo el ejemplo de Gilbert, a finales del siglo pasado, muchos matemáticos intentaron formular tareas estratégicas similares para el siglo XXI. Una de estas listas se hizo ampliamente conocida gracias al multimillonario de Boston Landon T. Clay. En 1998, con sus fondos se fundaron y establecieron premios en Cambridge (Massachusetts, EE. UU.) para resolver varios de los problemas más importantes de las matemáticas modernas. El 24 de mayo de 2000, los expertos del instituto seleccionaron siete problemas, según la cantidad de millones de dólares asignados para el premio. La lista se llama Problemas del Premio del Milenio:
1. El problema de Cook (formulado en 1971)
Digamos que usted, al estar en una gran empresa, quiere asegurarse de que su amigo también esté allí. Si te dicen que está sentado en un rincón, una fracción de segundo te bastará para echar un vistazo y convencerte de la veracidad de la información. Sin esta información, te verás obligado a caminar por toda la habitación mirando a los invitados. Esto sugiere que resolver un problema suele llevar más tiempo que comprobar la exactitud de la solución.
Stephen Cook formuló el problema: ¿puede llevar más tiempo verificar la exactitud de una solución a un problema que obtener la solución en sí, independientemente del algoritmo de verificación? Este problema es también uno de los problemas no resueltos en el campo de la lógica y la informática. Su solución podría revolucionar los fundamentos de la criptografía utilizada en la transmisión y almacenamiento de datos.
2. Hipótesis de Riemann (formulada en 1859)
Algunos números enteros no se pueden expresar como producto de dos números enteros más pequeños, como 2, 3, 5, 7, etc. Estos números se denominan números primos y desempeñan un papel importante en las matemáticas puras y sus aplicaciones. La distribución de los números primos entre las series de todos los números naturales no sigue ningún patrón. Sin embargo, el matemático alemán Riemann hizo una conjetura sobre las propiedades de una secuencia de números primos. Si se demuestra la hipótesis de Riemann, conducirá a un cambio revolucionario en nuestro conocimiento sobre el cifrado y a un avance sin precedentes en la seguridad de Internet.
3. Hipótesis de Birch y Swinnerton-Dyer (formulada en 1960)
Asociado a la descripción del conjunto de soluciones de algunas ecuaciones algebraicas en varias variables con coeficientes enteros. Un ejemplo de tal ecuación es la expresión x 2 + y 2 = z 2. Euclides dio una descripción completa de las soluciones de esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, encontrar soluciones se vuelve extremadamente difícil.
4. Hipótesis de Hodge (formulada en 1941)
En el siglo XX, los matemáticos descubrieron un poderoso método para estudiar la forma de objetos complejos. La idea principal es utilizar simples “ladrillos” en lugar del objeto en sí, que se pegan entre sí y forman su imagen. La hipótesis de Hodge está asociada con algunas suposiciones sobre las propiedades de dichos "bloques de construcción" y objetos.
5. Ecuaciones de Navier - Stokes (formuladas en 1822)
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Si navegas en un barco en un lago, se levantarán olas, y si vuelas en un avión, surgirán corrientes turbulentas en el aire. Se supone que estos y otros fenómenos se describen mediante ecuaciones conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes. Se desconocen las soluciones de estas ecuaciones y ni siquiera se sabe cómo resolverlas. Es necesario demostrar que existe una solución y que es una función suficientemente fluida. Resolver este problema cambiará significativamente los métodos para realizar cálculos hidrodinámicos y aerodinámicos.
6. Problema de Poincaré (formulado en 1904)
Si pasas una banda elástica sobre una manzana, puedes, moviendo lentamente la banda sin levantarla de la superficie, comprimirla hasta un punto. Por otro lado, si la misma banda elástica se estira adecuadamente alrededor de un donut, no hay manera de comprimir la banda hasta un punto sin romper la cinta o romper el donut. Dicen que la superficie de una manzana simplemente está conectada, pero la superficie de un donut no. Resultó tan difícil demostrar que sólo la esfera está simplemente conexa que los matemáticos todavía están buscando la respuesta correcta.
7. Ecuaciones de Yang-Mills (formuladas en 1954)
Las ecuaciones de la física cuántica describen el mundo de las partículas elementales. Los físicos Young y Mills, después de descubrir la conexión entre la geometría y la física de partículas, escribieron sus ecuaciones. Así, encontraron una manera de unificar las teorías de las interacciones electromagnéticas, débiles y fuertes. Las ecuaciones de Yang-Mills implicaban la existencia de partículas que en realidad se observaron en laboratorios de todo el mundo, por lo que la teoría de Yang-Mills es aceptada por la mayoría de los físicos a pesar de que en el marco de esta teoría todavía no es posible predecir la masas de partículas elementales.
Mijail Vitebsky
"El problema que se resolvió Perelman, es el requisito para demostrar una hipótesis planteada en 1904 por el gran matemático francés Henri Poincaré(1854-1912) y que lleva su nombre. Es difícil decir mejor sobre el papel de Poincaré en las matemáticas de lo que se hace en la enciclopedia: “Las obras de Poincaré en el campo de las matemáticas, por un lado, completan la dirección clásica y, por otro, abren el camino al desarrollo. de las nuevas matemáticas, donde, junto a relaciones cuantitativas, se establecen hechos que tienen carácter cualitativo" (TSB, 3ª ed., vol. 2). La conjetura de Poincaré es precisamente de naturaleza cualitativa, como todo el área de las matemáticas (es decir, la topología) a la que se refiere y en cuya creación Poincaré participó decisivamente.
En lenguaje moderno, la conjetura de Poincaré suena así: toda variedad tridimensional compacta y sin límites simplemente conexa es homeomorfa a una esfera tridimensional.
En los siguientes párrafos intentaremos explicar, al menos parcialmente y de forma muy aproximada, el significado de esta aterradora fórmula verbal. Para empezar, observamos que una esfera ordinaria, que es la superficie de una pelota ordinaria, es bidimensional (y la pelota en sí es tridimensional). Una esfera bidimensional está formada por todos los puntos del espacio tridimensional que equidistan de algún punto seleccionado, llamado centro, que no pertenece a la esfera. Una esfera tridimensional está formada por todos los puntos del espacio cuatridimensional que equidistan de su centro (que no pertenece a la esfera). A diferencia de las esferas bidimensionales, las esferas tridimensionales No disponible nuestra observación directa, y nos resulta tan difícil imaginarlos como a Vasily Ivanovich imaginar el trinomio cuadrado a partir del famoso chiste. Es posible, sin embargo, que todos estemos en la esfera tridimensional, es decir, que nuestro Universo sea una esfera tridimensional.
Este es el significado del resultado. Perelman para física y astronomía. El término “colector tridimensional compacto, simplemente conectado y sin aristas” contiene indicaciones de las supuestas propiedades de nuestro Universo. El término "homeomórfico" significa un alto grado de similitud, en cierto sentido, indistinguibilidad. La formulación en su conjunto significa, por lo tanto, que si nuestro Universo tiene todas las propiedades de una variedad tridimensional compacta simplemente conexa y sin aristas, entonces - en el mismo "sentido conocido" - es una esfera tridimensional.
El concepto de simple conexión es un concepto bastante simple. Imaginemos una banda elástica (es decir, un hilo de goma con los extremos pegados) tan elástica que si no la sujetas se encogerá hasta formar una punta. También exigiremos a nuestra banda elástica que al tirarla hasta un punto no sobresalga de la superficie sobre la que la colocamos. Si estiramos una banda elástica de este tipo en un avión y la soltamos, inmediatamente se encogerá hasta formar una punta. Lo mismo ocurrirá si colocamos una banda elástica sobre la superficie de un globo, es decir, sobre una esfera. Para la superficie de un aro salvavidas, la situación será completamente diferente: el amable lector encontrará fácilmente disposiciones del elástico en esta superficie en las que es imposible tirar del elástico hasta un punto sin sobrepasar la superficie en cuestión. Una figura geométrica se llama simplemente conexa si cualquier contorno cerrado ubicado dentro de los límites de esta figura puede contraerse hasta un punto sin ir más allá de los límites nombrados. Acabamos de ver que el avión y la esfera están simplemente conectados, pero la superficie del aro salvavidas no está simplemente conectada. Un avión con un agujero cortado tampoco está simplemente conectado. El concepto de simple conexión también se aplica a las figuras tridimensionales. Así, un cubo y una bola están simplemente conectados: cualquier contorno cerrado ubicado en su espesor puede contraerse hasta un punto, y durante el proceso de contracción el contorno siempre permanecerá en este espesor. Pero el panecillo no está simplemente conectado: en él se puede encontrar un contorno que no se puede contraer hasta cierto punto, de modo que durante el proceso de contracción el contorno siempre queda en la masa del panecillo. El pretzel tampoco es monoconectado. Se puede demostrar que la esfera tridimensional está simplemente conexa.
Esperamos que el lector no haya olvidado la diferencia entre segmento e intervalo, que se enseña en la escuela. Un segmento tiene dos extremos; está formado por estos extremos y todos los puntos ubicados entre ellos. Un intervalo consta únicamente de todos los puntos ubicados entre sus extremos; los extremos en sí no están incluidos en el intervalo: podemos decir que un intervalo es un segmento al que se le quitan los extremos, y un segmento es un intervalo al que se le suman los extremos. él. Un intervalo y un segmento son los ejemplos más simples de variedades unidimensionales, donde un intervalo es una variedad sin arista y un segmento es una variedad con arista; una arista en el caso de un segmento consta de dos extremos. La propiedad principal de las variedades, que subyace a su definición, es que en la variedad las vecindades de todos los puntos, con excepción de los puntos en el borde (que pueden no existir), están dispuestas exactamente de la misma manera.
En este caso, la vecindad de un punto A es la colección de todos los puntos ubicados cerca de este punto A. Una criatura microscópica que vive en una variedad sin bordes y es capaz de ver solo los puntos de esta variedad más cercanos a sí mismo no es capaz de determinar en qué punto es, es, es: a su alrededor ve siempre lo mismo. Más ejemplos de variedades unidimensionales sin arista: toda la recta, un círculo. Un ejemplo de una figura unidimensional que no es una variedad es una línea recta con la forma de la letra T: hay un punto especial, cuya vecindad no es similar a la de otros puntos: este es el punto donde tres Los segmentos se encuentran. Otro ejemplo de variedad unidimensional es una línea en forma de ocho; Aquí convergen cuatro líneas en un punto especial. Un plano, una esfera y la superficie de un aro salvavidas son ejemplos de variedades bidimensionales sin aristas. Un plano con un agujero cortado también será un colector, pero con o sin borde, depende de dónde coloquemos el contorno del agujero. Si lo referimos a un agujero, obtenemos una variedad sin arista; si dejamos el contorno en el plano, obtenemos una variedad con arista, que es para lo que nos servirá este contorno. Por supuesto, aquí teníamos en mente un corte matemático ideal, pero en el corte físico real con tijeras, la cuestión de dónde pertenece el contorno no tiene ningún sentido.
Algunas palabras sobre variedades tridimensionales. La esfera, junto con la esfera que le sirve de superficie, es una variedad con una arista; la esfera indicada es precisamente este borde. Si retiramos esta bola del espacio circundante, obtenemos una variedad sin arista. Si despegamos la superficie de una bola, obtenemos lo que en la jerga matemática se llama “bola lijada” y, en un lenguaje más científico, una bola abierta. Si sacamos una bola abierta del espacio circundante, obtenemos una variedad con un borde, y el borde será la misma esfera que arrancamos de la bola. El bagel, junto con su corteza, es una variedad tridimensional con un borde, y si arrancamos la corteza (que tratamos como infinitamente delgada, es decir, como una superficie), obtenemos una variedad sin borde en la forma de “rosquilla lijada”. Todo el espacio en su conjunto, si lo entendemos como se entiende en la escuela secundaria, es una variedad tridimensional sin aristas.
El concepto matemático de compacidad refleja en parte el significado que tiene la palabra "compacto" en el ruso cotidiano: "cercano", "comprimido". Una figura geométrica se llama compacta si, para cualquier disposición de un número infinito de sus puntos, se acumulan en uno de los puntos o en muchos puntos de una misma figura. Un segmento es compacto: para cualquier conjunto infinito de sus puntos en el segmento existe al menos un punto límite, cuya vecindad contiene infinitos elementos del conjunto considerado. Un intervalo no es compacto: puedes especificar un conjunto de puntos que se acumulan hacia su final, y sólo hacia él, ¡pero el final no pertenece al intervalo!
Por falta de espacio nos limitaremos a este comentario. Digamos que de los ejemplos que hemos considerado, los compactos son un segmento, un círculo, una esfera, las superficies de un bagel y un pretzel, una bola (junto con su esfera), un bagel y un pretzel (junto con sus cortezas). Por el contrario, el intervalo, el plano, la bola lijada, el bagel y el pretzel no son compactos. Entre las figuras geométricas compactas tridimensionales sin aristas, la más simple es la esfera tridimensional, pero tales figuras no caben en nuestro espacio "escolar" habitual. Quizás el más profundo de los conceptos que están conectados por la hipótesis. Poincaré, es el concepto de homeomorfia. La homeomorfia es el nivel más alto de igualdad geométrica. . Ahora intentaremos dar una explicación aproximada de este concepto acercándonos poco a poco a él.
Ya en la geometría escolar encontramos dos tipos de igualdad: la congruencia de figuras y su similitud. Recordemos que las figuras se llaman congruentes si coinciden entre sí al superponerse. En la escuela no parece que se distingan figuras congruentes, y por eso a la congruencia se le llama igualdad. Las figuras congruentes tienen las mismas dimensiones en todos sus detalles. Semejanza, sin exigir el mismo tamaño, significa las mismas proporciones de estos tamaños; por lo tanto, la similitud refleja una similitud de figuras más esencial que la congruencia. La geometría en general es un nivel de abstracción más alto que la física, y la física es más alta que la ciencia de los materiales.
Tomemos, por ejemplo, el rodamiento de bolas, la bola de billar, la bola de croquet y la pelota. La física no profundiza en detalles como el material del que están hechas, sino que sólo le interesan propiedades como el volumen, el peso, la conductividad eléctrica, etc. Para las matemáticas, todas son bolas, que se diferencian sólo en el tamaño. Si las bolas tienen diferentes tamaños, entonces son diferentes para la geometría métrica, pero todas son iguales para la geometría de similitud. Desde el punto de vista de la geometría, todas las bolas y todos los cubos son similares, pero una bola y un cubo no son iguales.
Ahora miremos el toroide. Arriba está la figura geométrica cuya forma tiene forma de volante y aro salvavidas. La Enciclopedia define un toroide como una figura obtenida al girar un círculo alrededor de un eje ubicado fuera del círculo. Instamos al amable lector a que se dé cuenta de que la bola y el cubo son “más parecidos” entre sí que cada uno de ellos con el toro. El siguiente experimento mental nos permite llenar esta conciencia intuitiva con un significado preciso. Imaginemos una bola hecha de un material tan flexible que se puede doblar, estirar, comprimir y, en general, deformar como se desee, pero no se puede romper ni pegar. Obviamente, la bola se puede convertir en un cubo, pero es imposible convertirla en un toroide. El diccionario explicativo de Ushakov define un pretzel como un pastel (literalmente: como un panecillo retorcido con mantequilla) con la forma de la letra B. Con el debido respeto a este maravilloso diccionario, las palabras "en la forma del número 8" me parecen más preciso; Sin embargo, desde el punto de vista expresado en el concepto de homeomorfia, hornear con la forma del número 8, hornear con la forma de la letra B y hornear con la forma de fita tienen la misma forma. Incluso si asumimos que los panaderos pudieron obtener una masa que tiene las propiedades de flexibilidad antes mencionadas, ¡un bollo es imposible, sin rasgaduras ni pegamento! - no se convierta ni en bagel ni en pretzel, al igual que los dos últimos productos horneados entre sí. Pero puedes convertir un bollo esférico en un cubo o una pirámide. El amable lector sin duda podrá encontrar una posible forma de hornear en la que no se pueda convertir ni un panecillo, ni un pretzel, ni un bagel.
Sin nombrar este concepto, ya nos hemos familiarizado con la homeomorfia. Dos figuras se llaman homeomórficas si una puede transformarse en la otra mediante deformación continua (es decir, sin romperse ni pegarse); Estas deformaciones se denominan homeomorfismos. Acabamos de descubrir que la bola es homeomorfa con respecto al cubo y la pirámide, pero no con respecto al toroide ni al pretzel, y los dos últimos cuerpos no son homeomorfos entre sí. Pedimos al lector que comprenda que hemos dado sólo una descripción aproximada del concepto de homeomorfia, expresado en términos de transformación mecánica.
Toquemos el aspecto filosófico del concepto de homeomorfia. Imaginemos un ser pensante viviendo dentro de alguna figura geométrica y No teniendo la oportunidad de mirar esta figura desde fuera, “desde fuera”. Para él, la figura en la que vive forma el Universo. Imaginemos también que cuando la figura envolvente se somete a una continua deformación, el ser se deforma junto con ella. Si la figura en cuestión es una bola, entonces la criatura no puede distinguir de ninguna manera si está dentro de una bola, un cubo o una pirámide. Sin embargo, es posible que esté convencido de que su Universo no tiene forma de toro o de pretzel. En general, una criatura puede establecer la forma del espacio que la rodea sólo hasta la homeomorfia, es decir, no es capaz de distinguir una forma de otra, siempre que estas formas sean homeomorfas.
Para las matemáticas, el significado de una hipótesis. Poincaré, que ahora ha pasado de una hipótesis al teorema de Poincaré-Perelman, es enorme (no en vano se ofrecieron un millón de dólares para resolver el problema), así como es enorme la importancia del método encontrado por Perelman para demostrarlo, pero explicar este significado aquí está más allá de nuestra capacidad. En cuanto al aspecto cosmológico del asunto, quizás los periodistas exageraron un poco la importancia de este aspecto.
Sin embargo, algunos expertos autorizados afirman que el avance científico de Perelman puede ayudar en el estudio de los procesos de formación de los agujeros negros. Los agujeros negros, por cierto, sirven como una refutación directa de la tesis sobre la cognoscibilidad del mundo, una de las disposiciones centrales de esa enseñanza más avanzada, única verdadera y omnipotente, que durante 70 años fue inculcada a la fuerza en nuestras pobres cabezas. Después de todo, como enseña la física, en principio ninguna señal de estos agujeros puede llegar hasta nosotros, por lo que es imposible saber qué sucede allí. Generalmente sabemos muy poco sobre cómo funciona nuestro Universo en su conjunto, y es dudoso que alguna vez lo descubramos. Y el significado mismo de la pregunta sobre su estructura no está del todo claro. Es posible que esta pregunta sea una de las que, según la enseñanza Buda, No hay una respuesta. La física ofrece sólo modelos de dispositivos que más o menos concuerdan con hechos conocidos. En este caso, la física suele utilizar preparaciones ya desarrolladas que le proporcionan las matemáticas.
Por supuesto, las matemáticas no pretenden establecer ninguna propiedad geométrica del Universo. Pero nos permite comprender aquellas propiedades que han sido descubiertas por otras ciencias. Además. Nos permite hacer más comprensibles algunas propiedades que son difíciles de imaginar; explica cómo puede ser esto. Tales propiedades posibles (enfatizamos: ¡simplemente posibles!) incluyen la finitud del Universo y su no orientabilidad.
Durante mucho tiempo, el único modelo concebible de la estructura geométrica del Universo fue el espacio euclidiano tridimensional, es decir, el espacio que todos conocen desde la escuela secundaria. Este espacio es infinito; parecía que no eran posibles otras ideas; Parecía una locura pensar en la finitud del Universo. Sin embargo, ahora la idea de la finitud del Universo no es menos legítima que la idea de su infinito. En particular, la esfera tridimensional es finita. Al comunicarme con los físicos, me quedó la impresión de que algunos respondieron “muy probablemente”. El Universo es infinito”, mientras que otros decían: “Lo más probable es que el Universo sea finito”.
Uspensky V.A. , Apología de las matemáticas, o sobre las matemáticas como parte de la cultura espiritual, revista “Nuevo Mundo”, 2007, N 12, p. 141-145.
Casi todas las personas, incluso aquellas que no tienen nada que ver con las matemáticas, han escuchado las palabras "conjetura de Poincaré", pero no todos pueden explicar cuál es su esencia. Para muchos, las matemáticas superiores parecen algo muy complejo e inaccesible de comprensión. Por lo tanto, intentemos entender qué significa la hipótesis de Poincaré en palabras simples.
Contenido:
¿Qué es la conjetura de Poincaré?
La formulación original de la hipótesis suena así: “ Toda variedad tridimensional compacta, simplemente conexa y sin límite, es homeomorfa a una esfera tridimensional.».
Una pelota es un cuerpo geométrico tridimensional, su superficie se llama esfera, es bidimensional y consta de puntos del espacio tridimensional que son equidistantes de un punto que no pertenece a esta esfera: el centro de la pelota. . Además de las esferas bidimensionales, también hay esferas tridimensionales, que constan de muchos puntos del espacio de cuatro dimensiones, que también están equidistantes de un punto que no pertenece a la esfera: su centro. Si podemos ver esferas bidimensionales con nuestros propios ojos, las tridimensionales no están sujetas a nuestra percepción visual.
Como no tenemos la oportunidad de ver el Universo, podemos suponer que es la esfera tridimensional en la que vive toda la humanidad. Ésta es la esencia de la conjetura de Poincaré. Es decir, que el Universo tiene las siguientes propiedades: tridimensionalidad, ilimitación, simplemente conectividad, compacidad. El concepto de "homeomorfia" en la hipótesis significa el mayor grado de similitud, similitud, en el caso del Universo, indistinguibilidad.
¿Quién es Poincaré?
Jules Henri Poincaré- el mayor matemático que nació en 1854 en Francia. Sus intereses no se limitaron sólo a las ciencias matemáticas, estudió física, mecánica, astronomía y filosofía. Fue miembro de más de 30 academias científicas de todo el mundo, incluida la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Los historiadores de todos los tiempos y pueblos sitúan a David Hilbert y Henri Poincaré entre los más grandes matemáticos del mundo. En 1904, el científico publicó un famoso artículo que contenía una suposición conocida hoy como la “conjetura de Poincaré”. Era un espacio tridimensional que resultó muy difícil de estudiar para los matemáticos; encontrar evidencia para otros casos no fue difícil. A lo largo de aproximadamente un siglo se demostró la veracidad de este teorema.
A principios del siglo XXI se estableció en Cambridge un premio de un millón de dólares estadounidenses para resolver este problema científico, que fue incluido en la lista de problemas del milenio. Sólo un matemático ruso de San Petersburgo, Grigory Perelman, pudo hacer esto con una esfera tridimensional. En 2006, recibió la Medalla Fields por este logro, pero rechazó recibirla.
A los méritos de las actividades científicas de Poincaré. Se pueden atribuir los siguientes logros:
- fundamento de la topología (desarrollo de fundamentos teóricos de diversos fenómenos y procesos);
- creación de una teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales;
- desarrollo de la teoría de funciones amorfas, que se convirtió en la base de la teoría especial de la relatividad;
- proponer el teorema del retorno;
- desarrollo de los métodos más recientes y eficaces de la mecánica celeste.
Prueba de la hipótesis
A un espacio tridimensional simplemente conexo se le asignan propiedades geométricas y se divide en elementos métricos que tienen distancias entre ellos para formar ángulos. Para simplificar, tomamos como muestra una variedad unidimensional, en la que en el plano euclidiano, se dibujan vectores tangentes iguales a 1 en cada punto a una curva suave y cerrada. Al atravesar la curva, el vector gira con una cierta velocidad angular. igual a la curvatura. Cuanto más se dobla la línea, mayor es la curvatura. La curvatura tiene una pendiente positiva si el vector velocidad se gira hacia el interior del plano que divide la línea, y una pendiente negativa si se gira hacia afuera. En los lugares de inflexión, la curvatura es igual a 0. Ahora, a cada punto de la curva se le asigna un vector perpendicular al vector de velocidad angular, y con una longitud igual al valor de la curvatura. Se gira hacia adentro cuando la curvatura es positiva y hacia afuera cuando es negativa. El vector correspondiente determina la dirección y velocidad con la que se mueve cada punto del avión. Si dibujas una curva cerrada en cualquier lugar, con tal evolución se convertirá en un círculo. Esto es válido para el espacio tridimensional, que era lo que había que demostrar.
Ejemplo: Cuando se deforma sin romperse, un globo puede adoptar diferentes formas. Pero no puedes hacer un bagel; para ello sólo necesitas cortarlo. Y viceversa, teniendo un panecillo, no se puede hacer una bola sólida. Aunque a partir de cualquier otra superficie sin discontinuidades durante la deformación es posible obtener una esfera. Esto indica que esta superficie es homeomorfa a una pelota. Cualquier bola se puede atar con un hilo con un nudo, pero esto es imposible con un donut.
Una bola es el plano tridimensional más simple que se puede deformar y doblar en un punto y viceversa.
¡Importante! La conjetura de Poincaré establece que una variedad cerrada de n dimensiones es equivalente a una esfera de n dimensiones si es homeomorfa para ella. Se convirtió en el punto de partida en el desarrollo de la teoría de los planos multidimensionales.
