Varias maneras prueba del teorema de pitágoras
estudiante de novena clase "A"
Institución educativa municipal escuela secundaria No. 8
Consejero científico:
profesor de matematicas,
Institución educativa municipal escuela secundaria No. 8
Arte. Novorozhdestvenskaya
Región de Krasnodar.
Arte. Novorozhdestvenskaya
ANOTACIÓN.
El teorema de Pitágoras se considera, con razón, el más importante en el curso de la geometría y merece mucha atención. Es la base para resolver muchos problemas geométricos, la base para estudiar cursos de geometría teórica y práctica en el futuro. El teorema está rodeado de una gran cantidad de material histórico relacionado con su aparición y métodos de demostración. El estudio de la historia del desarrollo de la geometría inculca el amor por este tema, promueve el desarrollo del interés cognitivo, la cultura general y la creatividad, y también desarrolla habilidades de investigación.
Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo, que era reponer y generalizar los conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Fue posible encontrar y considerar varios métodos de prueba y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas del libro de texto escolar.
El material recopilado nos convence además de que el teorema de Pitágoras es un gran teorema de la geometría y tiene una enorme importancia teórica y práctica.
Introducción. Referencia histórica 5 Parte principal 8
3. Conclusión 19
4. Literatura utilizada 20
1. INTRODUCCIÓN. REFERENCIA HISTÓRICA.
La esencia de la verdad es que es para nosotros para siempre,
Cuando al menos una vez en su intuición vemos la luz,
Y el teorema de Pitágoras después de tantos años
Para nosotros, como para él, es innegable, impecable.
Para regocijarse, Pitágoras hizo un voto a los dioses:
Por tocar la sabiduría infinita,
Mató cien toros, gracias a los eternos;
Ofreció oraciones y alabanzas por la víctima.
Desde entonces, cuando los toros lo huelen, empujan,
Que el camino vuelva a llevar a la gente a una nueva verdad,
Rugen furiosamente, así que no tiene sentido escuchar,
Tales Pitágoras les infundieron terror para siempre.
Toros, impotentes para resistir la nueva verdad,
¿Lo que queda? - Simplemente cerrando los ojos, rugiendo, temblando.
No se sabe cómo Pitágoras demostró su teorema. Lo cierto es que lo descubrió bajo la fuerte influencia de la ciencia egipcia. Los constructores de las pirámides conocían un caso especial del teorema de Pitágoras, las propiedades de un triángulo con lados 3, 4 y 5, mucho antes del nacimiento de Pitágoras, y él mismo estudió con sacerdotes egipcios durante más de 20 años. Se ha conservado una leyenda que dice que, habiendo demostrado su famoso teorema, Pitágoras sacrificó un toro a los dioses y, según otras fuentes, incluso 100 toros. Esto, sin embargo, contradice la información sobre las opiniones morales y religiosas de Pitágoras. En fuentes literarias se puede leer que “prohibió incluso matar animales, y mucho menos alimentarse de ellos, porque los animales tienen alma, como nosotros”. Pitágoras sólo comía miel, pan, verduras y ocasionalmente pescado. En relación con todo esto, se puede considerar más plausible la siguiente entrada: “... y aun cuando descubrió que en un triángulo rectángulo la hipotenusa corresponde a los catetos, sacrificó un toro hecho de masa de trigo”.
La popularidad del teorema de Pitágoras es tan grande que sus pruebas se encuentran incluso en la ficción, por ejemplo, en el cuento "El joven Arquímedes" del famoso escritor inglés Huxley. La misma prueba, pero para el caso especial de un triángulo rectángulo isósceles, se da en el diálogo “Meno” de Platón.
Cuento de hadas "Hogar".
“Muy, muy lejos, donde ni siquiera vuelan los aviones, está el país de la Geometría. En este país inusual había una ciudad asombrosa: la ciudad de Teorem. Un día vine a esta ciudad hermosa chica denominada hipotenusa. Intentó alquilar una habitación, pero, sin importar dónde la presentara, la rechazaron. Finalmente se acercó a la desvencijada casa y llamó. Un hombre que se hacía llamar Right Angle le abrió la puerta e invitó a Hypotenuse a vivir con él. La hipotenusa permaneció en la casa en la que vivía el Ángulo Recto y sus dos hijos pequeños llamados Katetes. Desde entonces, la vida en la casa de Right Angle ha cambiado de una manera nueva. La hipotenusa plantó flores en la ventana y plantó rosas rojas en el jardín delantero. La casa tomó la forma de un triángulo rectángulo. A ambas piernas les gustó mucho la hipotenusa y le pidieron que se quedara para siempre en su casa. Por las noches, esta amigable familia se reúne a la mesa familiar. A veces, Right Angle juega al escondite con sus hijos. La mayoría de las veces tiene que buscar, y la hipotenusa se esconde con tanta habilidad que puede resultar muy difícil de encontrar. Un día, mientras jugaba, Right Angle notó una propiedad interesante: si logra encontrar los catetos, entonces encontrar la hipotenusa no es difícil. Así que el Ángulo Recto utiliza este patrón, debo decir, con mucho éxito. El teorema de Pitágoras se basa en la propiedad de este triángulo rectángulo”.
(Del libro de A. Okunev “Gracias por la lección, niños”).
Una formulación humorística del teorema:
Si nos dan un triangulo
Y, además, con un ángulo recto,
ese es el cuadrado de la hipotenusa
Siempre podemos encontrar fácilmente:
Cuadramos las piernas,
Encontramos la suma de potencias -
Y de una manera tan sencilla
Llegaremos al resultado.
Mientras estudiaba álgebra y los inicios del análisis y la geometría en el décimo grado, me convencí de que además del método para demostrar el teorema de Pitágoras discutido en el octavo grado, existen otros métodos de demostración. Se los presento para su consideración.
2. PARTE PRINCIPAL.
Teorema. En un triángulo rectángulo hay un cuadrado.
La hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
1 MÉTODO.
Usando las propiedades de las áreas de los polígonos, estableceremos una relación notable entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.
Prueba.
a,c y hipotenusa Con(Figura 1, a).
Probemos que c²=a²+b².
Prueba.
Completemos el triángulo hasta obtener un cuadrado de lado. a+b como se muestra en la Fig. 1, b. El área S de este cuadrado es (a + b)². Por otro lado, este cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales, cada uno de los cuales tiene un área de ½ ay, y un cuadrado con lado Con, por lo tanto S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
De este modo,
(a+b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
El teorema ha sido demostrado.
2 MÉTODO.
Después de estudiar el tema “Triángulos semejantes”, descubrí que se puede aplicar la semejanza de triángulos a la demostración del teorema de Pitágoras. Es decir, utilicé la afirmación de que el cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional a la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura extraída del vértice. ángulo recto.
Considere un triángulo rectángulo con ángulo recto C, CD – altura (Fig. 2). Probemos que C.A.² +NE² = AB²
.
Prueba.
Basado en la afirmación sobre el cateto de un triángulo rectángulo:
CA = , SV = .
Elevamos al cuadrado y sumamos las igualdades resultantes:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), donde AD+DB=AB, entonces
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
La prueba está completa.
3 MÉTODO.
Para demostrar el teorema de Pitágoras, puedes aplicar la definición del coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Veamos la figura. 3.
Prueba:
Sea ABC un triángulo rectángulo dado con ángulo recto C. Dibujemos la altitud CD desde el vértice del ángulo recto C.
Por definición de coseno de un ángulo:
cos A = AD/AC = AC/AB. Por lo tanto AB * AD = AC²
Asimismo,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Por tanto AB * BD = BC².
Sumando las igualdades resultantes término por término y observando que AD + DB = AB, obtenemos:
C.A.² + sol² = AB (AD + DB) = AB²
La prueba está completa.
4 MÉTODO.
Habiendo estudiado el tema “Relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo”, creo que el teorema de Pitágoras se puede demostrar de otra forma.
Considere un triángulo rectángulo con catetos. a,c y hipotenusa Con. (Figura 4).
Probemos que c²=a²+b².
Prueba.
pecado B= alta calidad ; porque B= C.A , luego, elevando al cuadrado las igualdades resultantes, obtenemos:
pecado² B= pulgadas²/s²; cos² EN= a²/c².
Sumándolos obtenemos:
pecado² EN+cos² B=в²/с²+ а²/с², donde sin² EN+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², por lo tanto,
c²= a² + b².
La prueba está completa.
5 MÉTODO.
Esta prueba se basa en cortar cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 5) y colocar las partes resultantes sobre un cuadrado construido sobre la hipotenusa.
6 MÉTODO.
Para prueba al lado Sol estamos construyendo BCD A B C(Figura 6). Sabemos que las áreas de figuras semejantes están relacionadas como los cuadrados de sus dimensiones lineales semejantes:
Restando la segunda igualdad a la primera, obtenemos
c2 = a2 + b2.
La prueba está completa.
7 MÉTODO.
Dado(Figura 7):
A B C,= 90° , sol= a, CA=b, AB = c.
Probar:c2 = a2 +b2.
Prueba.
deja la pierna b A. Continuamos el segmento. nordeste por punto EN y construir un triangulo DMO para que los puntos METRO Y A colocarse a un lado de la línea recta CD y además, BD =b, BDM= 90°, DM= a, entonces DMO= A B C en dos lados y el ángulo entre ellos. Puntos A y METRO conectar con segmentos SOY. Tenemos MARYLAND. CD Y C.A. CD, eso significa que es recto C.A. paralela a la recta MARYLAND. Porque MARYLAND.< АС, luego recto CD Y SOY. no paralelo. Por lo tanto, AMDC- trapezoide rectangular.
En los triángulos rectángulos ABC y DMO 1 + 2 = 90° y 3 + 4 = 90°, pero como = =, entonces 3 + 2 = 90°; Entonces AV M=180° - 90° = 90°. Resultó que el trapecio AMDC se divide en tres triángulos rectángulos que no se superponen, luego por los axiomas del área
(a+b)(a+b)
Dividiendo todos los términos de la desigualdad por , obtenemos
Ab+c2+ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
La prueba está completa.
8 MÉTODO.
Este método se basa en la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. A B C. Construye los cuadrados correspondientes y demuestra que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 8).
Prueba.
1) DBC= Logística de Amazon= 90°;
DBC+ A B C= Logística de Amazon+ A B C, Medio, FBC = DBA.
De este modo, FBC=ABD(en dos lados y el ángulo entre ellos).
2) 
,
donde AL DE, ya que BD es una base común, DL- altura total.
3) 
, ya que FB es una fundación, AB- altura total.
4) 
5) De manera similar, se puede demostrar que 
6) Sumando término por término, obtenemos:
, BC2
= AB2 + AC2
.
La prueba está completa.
9 MÉTODO.
Prueba.
1) dejar ABDE- un cuadrado (Fig.9), cuyo lado es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo A B C= s, antes de Cristo = a, CA =b).
2) dejar NS ANTES DE CRISTO. Y DK = sol, ya que 1 + 2 = 90° (como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo), 3 + 2 = 90° (como el ángulo de un cuadrado), AB= BD(lados del cuadrado).
Medio, A B C= BDK(por hipotenusa y ángulo agudo).
3) dejar EL DK, A.M. EL Se puede demostrar fácilmente que ABC = BDK = DEL = EAM (con catetos A Y b). Entonces Kansas= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Con2 = 2ab+a2-2ab+b2,c2 = a2 + b2.
La prueba está completa.
10 MÉTODO.
La prueba se puede realizar sobre una figura llamada en broma “pantalones pitagóricos” (Fig. 10). Su idea es transformar cuadrados construidos en los lados en triángulos iguales que juntos formen el cuadrado de la hipotenusa.
A B C muévalo como lo muestra la flecha y tomará posición. KDN. El resto de la figura. AKDCBárea igual del cuadrado AKDC este es un paralelogramo AKNB.
Se ha realizado un modelo de paralelogramo. AKNB. Reorganizamos el paralelogramo como se muestra en el contenido del trabajo. Para mostrar la transformación de un paralelogramo en un triángulo de áreas iguales, frente a los estudiantes, cortamos un triángulo en el modelo y lo movemos hacia abajo. Así, el área del cuadrado. AKDC resultó ser igual al área del rectángulo. De manera similar, convertimos el área de un cuadrado en el área de un rectángulo.
Hagamos una transformación para un cuadrado construido sobre un lado. A(Figura 11, a):
a) el cuadrado se transforma en un paralelogramo igual (figura 11.6):
b) el paralelogramo gira un cuarto de vuelta (Fig.12):
c) el paralelogramo se transforma en un rectángulo igual (Fig.13): 11 MÉTODO.
Prueba:
PCL - recto (Fig. 14);
kloa= ACPF= ACED=a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= segundo 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
La prueba ha terminado .
12 MÉTODO.
Arroz. La Figura 15 ilustra otra prueba original del teorema de Pitágoras.
Aquí: triángulo ABC con ángulo recto C; segmento de línea B.F. perpendicular nordeste e igual a él, el segmento SER perpendicular AB e igual a él, el segmento ANUNCIO perpendicular C.A. e igual a él; puntos F, C,D pertenecen a la misma línea; cuadriláteros ADFB Y ASVÉ igual en tamaño, ya que ABF = BCE; triangulos AAD Y AS igual en tamaño; restar de ambos cuadriláteros iguales el triángulo que comparten A B C, obtenemos
, c2 = a2 +
b2.
La prueba está completa.
13 MÉTODO.
El área de un triángulo rectángulo dado, de un lado, es igual a ,
con otro, ,
3. CONCLUSIÓN.
Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo, que era reponer y generalizar los conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Fue posible encontrar y considerar diversas formas de demostrarlo y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas del libro de texto escolar.
El material que he recopilado me convence aún más de que el teorema de Pitágoras es un gran teorema de la geometría y tiene una enorme importancia teórica y práctica. En conclusión, me gustaría decir: ¡la razón de la popularidad del teorema trino de Pitágoras es su belleza, simplicidad y significado!
4. LITERATURA UTILIZADA.
1. Álgebra entretenida. . Moscú "Ciencia", 1978.
2. Suplemento pedagógico y metodológico semanal del diario “Primero de Septiembre”, 24/2001.
3. Geometría 7-9. y etc.
4. Geometría 7-9. y etc.
(según papiro 6619 del Museo de Berlín). Según Cantor, los harpedonaptes, o “tiradores de cuerdas”, construían ángulos rectos utilizando triángulos rectángulos con lados de 3, 4 y 5.
Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tomemos una cuerda de 12 m de largo y le atemos una tira de color a una distancia de 3 m de un extremo y 4 metros del otro. El ángulo recto tendrá entre lados 3 y 4 metros de largo. A los Harpedonaptios se les podría objetar que su método de construcción se vuelve superfluo si se utiliza, por ejemplo, una escuadra de madera, que utilizan todos los carpinteros. De hecho, se conocen dibujos egipcios en los que se encuentra dicha herramienta, por ejemplo, dibujos que representan un taller de carpintería.
Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. En un texto que se remonta a la época de Hammurabi, es decir, al año 2000 a.C. mi. , se da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. De esto podemos concluir que en Mesopotamia se podían realizar cálculos con triángulos rectángulos, al menos en algunos casos. Basándose, por un lado, en el nivel actual de conocimiento sobre las matemáticas egipcias y babilónicas, y por otro, en un estudio crítico de fuentes griegas, Van der Waerden (un matemático holandés) concluyó que existe una alta probabilidad de que El teorema del cuadrado de la hipotenusa ya se conocía en la India alrededor del siglo XVIII a.C. mi.
Alrededor del 400 a.C. Antes de Cristo, según Proclo, Platón dio un método para encontrar tripletes pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a.C. mi. La prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras apareció en los Elementos de Euclides.
Formulaciones
Formulación geométrica:
El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:
Formulación algebraica:
Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por , y las longitudes de los catetos por y :
Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental; no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras inverso:
Prueba
En este momento En la literatura científica se han registrado 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema de Pitágoras sea el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta diversidad sólo puede explicarse por la importancia fundamental del teorema para la geometría.
Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. Las más famosas: pruebas por el método de áreas, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, utilizando ecuaciones diferenciales).
A través de triángulos semejantes
La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas, construida directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.
Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotamos su base por h. Triángulo ACH similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introduciendo la notación
obtenemos
que es equivalente
Sumandolo obtenemos
, que es lo que había que demostrarPruebas utilizando el método del área.
Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos utilizan propiedades del área, cuya demostración es más compleja que la del propio teorema de Pitágoras.
Prueba mediante equicomplementación
- Organicemos cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
- Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
- El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a + b), y por otro lado, a la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el Área de la plaza interior.
Q.E.D.
La prueba de Euclides
La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.
Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes.
Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK, para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.
Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia: los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir, AB=AK, AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: giramos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).
El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar.
Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra con más detalle en la animación anterior.
Prueba de Leonardo da Vinci
Los principales elementos de la prueba son la simetría y el movimiento.
Consideremos el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento corta el cuadrado en dos partes idénticas (ya que los triángulos son iguales en construcción).
Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del punto, vemos la igualdad de las figuras sombreadas y.
Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados pequeños (construidos sobre los catetos) y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado grande (construido sobre la hipotenusa) más el área del triángulo original. Así, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual a la mitad del área del cuadrado grande y, por tanto, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre los hipotenusa.
Prueba por el método infinitesimal
La siguiente demostración mediante ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.
Mirando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado. a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando similitud de triángulos):
Usando el método de separación de variables, encontramos
Más expresión general cambiar la hipotenusa en caso de incrementos de ambos catetos
Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos
Llegamos así a la respuesta deseada.
Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada con contribuciones independientes del incremento de los diferentes catetos.
Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que una de las piernas no experimenta un aumento (en en este caso pierna). Entonces para la constante de integración obtenemos
Variaciones y generalizaciones.
Formas geométricas similares en tres lados.
Generalización para triángulos semejantes, área de las formas verdes A + B = área de la azul C
Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos semejantes
Euclides generalizó el teorema de Pitágoras en su obra. Principios, ampliando las áreas de los cuadrados de los lados a las áreas de figuras geométricas similares:
Si construyes algo similar figuras geometricas(ver geometría euclidiana) en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las dos figuras más pequeñas será igual al área de la figura más grande.
La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A, B Y C construido en lados con longitud a, b Y C, tenemos:
Pero, según el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = C 2 entonces A + B = C.
Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras geométricas similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos demostrar el teorema mismo, moviéndonos en la dirección opuesta. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede reutilizar como triángulo. C en la hipotenusa y dos triángulos rectángulos semejantes ( A Y B), construido sobre los otros dos lados, que se forman dividiendo el triángulo central por su altura. La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es obviamente igual al área del tercero, por lo tanto A + B = C y, cumpliendo la prueba anterior en orden inverso, obtenemos el teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 .
Teorema del coseno
El teorema de Pitágoras es caso especial un teorema más general de los cosenos, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario:
donde θ es el ángulo entre los lados a Y b.
Si θ es de 90 grados entonces cos θ = 0 y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.
Triángulo libre
A cualquier esquina seleccionada de un triángulo arbitrario con lados a B C Inscribamos un triángulo isósceles de tal manera que los ángulos iguales en su base θ sean iguales al ángulo elegido. Supongamos que el ángulo seleccionado θ se encuentra opuesto al lado designado C. Como resultado, obtuvimos el triángulo ABD con un ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado a y fiestas r. El segundo triángulo está formado por el ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado b y fiestas Con longitud s, como se muestra en la imagen. Thabit Ibn Qurra argumentó que los lados de estos tres triángulos están relacionados de la siguiente manera:
A medida que el ángulo θ se acerca a π/2, la base del triángulo isósceles se vuelve más pequeña y los dos lados r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π/2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = C y obtenemos el teorema de Pitágoras inicial.
Consideremos uno de los argumentos. El triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Dos triángulos tienen ángulo común en el vértice B, ambos tienen un ángulo θ y también tienen el mismo tercer ángulo, por la suma de los ángulos del triángulo) En consecuencia, ABC es similar a la reflexión ABD del triángulo DBA, como se muestra en la figura inferior. Anotemos la relación entre los lados opuestos y los adyacentes al ángulo θ,
También un reflejo de otro triángulo,
Multipliquemos las fracciones y sumemos estas dos razones:
Q.E.D.
Generalización para triángulos arbitrarios mediante paralelogramos.
Generalización para triángulos arbitrarios,
Area verde parcela = área azul
Prueba de la tesis de que en la figura anterior
Hagamos una generalización adicional para triángulos no rectángulos usando paralelogramos en tres lados en lugar de cuadrados. (Los cuadrados son un caso especial). La figura superior muestra que para un triángulo agudo, el área del paralelogramo en el lado largo es igual a la suma de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo El lado se construye como se muestra en la figura (las dimensiones indicadas por las flechas son las mismas y determinan los lados del paralelogramo inferior). Esta sustitución de cuadrados por paralelogramos tiene un claro parecido con el teorema inicial de Pitágoras, que se cree que fue formulado por Pappus de Alejandría en el año 4 d.C. mi.
La figura inferior muestra el progreso de la prueba. Miremos el lado izquierdo del triángulo. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que lado izquierdo paralelogramo azul porque tienen la misma base b y altura h. Además, el paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo en la imagen superior porque comparten una base común (arriba lado izquierdo triángulo) y la altura total perpendicular a ese lado del triángulo. Usando un razonamiento similar para el lado derecho del triángulo, demostraremos que el paralelogramo inferior tiene la misma área que los dos paralelogramos verdes.
Números complejos
El teorema de Pitágoras se utiliza para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas cartesiano y este teorema es válido para todas las coordenadas verdaderas: distancia s entre dos puntos ( a, b) Y ( cd) es igual
No hay problemas con la fórmula si los números complejos se tratan como vectores con componentes reales. X + yo y = (X, y). . Por ejemplo, distancia s entre 0 + 1 i y 1 + 0 i calculado como el módulo del vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o
Sin embargo, para operaciones con vectores de coordenadas complejas, es necesario realizar algunas mejoras a la fórmula pitagórica. Distancia entre puntos con números complejos (a, b) Y ( C, d); a, b, C, Y d todo complejo, formulemos usando valores absolutos. Distancia s basado en la diferencia de vectores (a − C, b − d) de la siguiente forma: deja la diferencia a − C = pag+ yo q, Dónde pag- parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria, y i = √(−1). De la misma manera, dejemos b − d = r+ yo s. Entonces:
¿Dónde está el número complejo conjugado de ? Por ejemplo, la distancia entre puntos. (a, b) = (0, 1) Y (C, d) = (i, 0) , calculemos la diferencia (a − C, b − d) = (−i, 1) y el resultado sería 0 si no se utilizaran conjugados complejos. Por lo tanto, usando la fórmula mejorada, obtenemos
El módulo se define de la siguiente manera:
Estereometría
Una generalización significativa del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional es el teorema de De Goy, que lleva el nombre de J.-P. de Gois: si un tetraedro tiene un ángulo recto (como en un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión se puede resumir como " norte-Teorema de Pitágoras dimensional":
Teorema de pitágoras espacio tridimensional conecta la diagonal AD con tres lados.
Otra generalización: el teorema de Pitágoras se puede aplicar a la estereometría de la siguiente forma. Considere un paralelepípedo rectangular como se muestra en la figura. Encontremos la longitud de la diagonal BD usando el teorema de Pitágoras:
donde los tres lados forman un triángulo rectángulo. Usamos la diagonal horizontal BD y el borde vertical AB para encontrar la longitud de la diagonal AD, para esto usamos nuevamente el teorema de Pitágoras:
o, si escribimos todo en una ecuación:
Este resultado es una expresión tridimensional para determinar la magnitud del vector. v(diagonal AD), expresada en términos de sus componentes perpendiculares ( v k ) (tres lados mutuamente perpendiculares):
Esta ecuación puede considerarse como una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio multidimensional. Sin embargo, el resultado en realidad no es más que la aplicación repetida del teorema de Pitágoras a una secuencia de triángulos rectángulos en planos sucesivamente perpendiculares.
Espacio vectorial
En el caso de un sistema ortogonal de vectores, existe una igualdad, que también se llama teorema de Pitágoras:
Si estas son proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
El análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.
Geometría no euclidiana
El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, no es válido para la geometría no euclidiana, en la forma en que está escrito anteriormente. (Es decir, el teorema de Pitágoras resulta ser una especie de equivalente al postulado de paralelismo de Euclides). En otras palabras, en geometría no euclidiana la relación entre los lados de un triángulo necesariamente tendrá una forma diferente a la del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo (digamos a, b Y C), que limitan el octante (octava parte) de la esfera unitaria, tienen una longitud de π/2, lo que contradice el teorema de Pitágoras, porque a 2 + b 2 ≠ C 2 .
Consideremos aquí dos casos de geometría no euclidiana: la geometría esférica y la hiperbólica; en ambos casos, como en el espacio euclidiano para triángulos rectángulos, el resultado, que reemplaza al teorema de Pitágoras, se deriva del teorema del coseno.
Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido para la geometría hiperbólica y elíptica si el requisito de que el triángulo sea rectangular se reemplaza por la condición de que la suma de dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero, digamos A+B = C. Entonces la relación entre los lados se ve así: la suma de las áreas de círculos con diámetros a Y b igual al área de un círculo con diámetro C.
Geometría esférica
Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera con radio R(por ejemplo, si el ángulo γ en un triángulo es recto) con lados a, b, C La relación entre las partes quedará así:
Esta igualdad se puede derivar como un caso especial Teorema del coseno esférico, que es válido para todos los triángulos esféricos:
donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:
donde γ es el ángulo cuyo vértice es opuesto al lado C.
Dónde gramo yo llamado tensor métrico. Puede ser una función de la posición. Dichos espacios curvilíneos incluyen la geometría de Riemann como ejemplo general. Esta formulación también es adecuada para el espacio euclidiano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, para coordenadas polares:
Ilustraciones vectoriales
El teorema de Pitágoras conecta dos expresiones para la magnitud de un producto vectorial. Un enfoque para definir un producto cruzado requiere que satisfaga la ecuación:
Esta fórmula utiliza el producto escalar. Lado derecho La ecuación se llama determinante de Gram para a Y b, que es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores. Basado en este requisito, así como en el requisito de que el producto vectorial sea perpendicular a sus componentes a Y b de ello se deduce que, excepto en casos triviales del espacio de 0 y 1 dimensión, el producto cruzado se define sólo en tres y siete dimensiones. Usamos la definición del ángulo en norte-espacio dimensional:
Esta propiedad de un producto cruzado da su magnitud de la siguiente manera:
Mediante la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras obtenemos otra forma de escribir su valor:
Un enfoque alternativo para definir un producto cruzado es utilizar una expresión para su magnitud. Luego, razonando en orden inverso, obtenemos una conexión con el producto escalar:
ver también
Notas
- Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
- ( , pág. 351) pág. 351
- ( , Tomo I, pág. 144)
- Discusión hechos históricos dado en (, p. 351) p. 351
- Kurt Von Fritz (abril de 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasus de Metapontum". Los Anales de las Matemáticas, Segunda Serie(Anales de las Matemáticas) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, “La historia con nudos”, M., Mir, 1985, p. 7
- Asger Aaboe Episodios de la historia temprana de las matemáticas. - Asociación Matemática de América, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Proposición de Python por Eliseo Scott Loomis
- Euclides Elementos: Libro VI, Proposición VI 31: “En los triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras semejantes y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto”.
- Lawrence Leff trabajo citado. - Serie Educativa de Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Evas§4.8:...generalización del teorema de Pitágoras // Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650). - Asociación Matemática de América, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (nombre completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.C.) fue un médico que vivió en Bagdad y escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
- Aydin Sayili (marzo de 1960). "Generalización del teorema de Pitágoras de Thâbit ibn Qurra". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Ejercicio 2.10 (ii) // Trabajo citado. - Pág. 62. - ISBN 0821844032
- Para conocer los detalles de dicha construcción, consulte George Jennings Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado // Geometría moderna con aplicaciones: con 150 figuras. - 3º. - Springer, 1997. - Pág. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artículo C: Norma para un arbitrario norte-tuple... // Una introducción al análisis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Ver también las páginas 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simón Salamón Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica. - 3º. - Prensa CRC, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Análisis matricial. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking trabajo citado. - 2005. - Pág. 4. - ISBN 0762419229
- Eric Weisstein Enciclopedia concisa de matemáticas CRC. - 2do. - 2003. - Pág. 2147. - ISBN 1584883472
- Alejandro R. Pruss
Cuando empezó a aprender sobre raíces cuadradas y cómo resolver ecuaciones irracionales (ecuaciones que involucran una incógnita bajo el signo de la raíz), probablemente probó por primera vez sus usos prácticos. Capacidad de extraer Raíz cuadrada A partir de números también es necesario resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras. Este teorema relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo rectángulo.
Dejemos que las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo (aquellos dos lados que se encuentran en ángulo recto) se designen con las letras y, y la longitud de la hipotenusa (el lado más largo del triángulo ubicado frente al ángulo recto) se designará con la carta. Entonces las longitudes correspondientes están relacionadas por la siguiente relación:
Esta ecuación te permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conoce la longitud de sus otros dos lados. Además, permite determinar si el triángulo en cuestión es rectángulo, siempre que se conozcan de antemano las longitudes de los tres lados.
Resolver problemas usando el teorema de Pitágoras
Para consolidar el material, resolveremos los siguientes problemas utilizando el teorema de Pitágoras.
Entonces, dado:
- La longitud de uno de los catetos es 48, la hipotenusa es 80.
- La longitud del cateto es 84, la hipotenusa es 91.
Vayamos a la solución:
a) Sustituyendo los datos en la ecuación anterior se obtienen los siguientes resultados:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 o b = -64
Como la longitud de un lado de un triángulo no se puede expresar numero negativo, la segunda opción se descarta automáticamente.
Respuesta a la primera imagen: b = 64.
b) La longitud del cateto del segundo triángulo se encuentra de la misma forma:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 o b = -35
Como en el caso anterior, se descarta una decisión negativa.
Respuesta a la segunda imagen: b = 35
Se nos da:
- Las longitudes de los lados menores del triángulo son 45 y 55, respectivamente, y las longitudes de los lados mayores son 75.
- Las longitudes de los lados menores del triángulo son 28 y 45, respectivamente, y las longitudes de los lados mayores son 53.
Resolvamos el problema:
a) Es necesario comprobar si la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados más cortos de un triángulo dado es igual al cuadrado de la longitud del mayor:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Por tanto, el primer triángulo no es un triángulo rectángulo.
b) Se realiza la misma operación:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Por tanto, el segundo triángulo es un triángulo rectángulo.
Primero, encontremos la longitud del segmento más grande formado por puntos con coordenadas (-2, -3) y (5, -2). Para esto utilizamos fórmula bien conocida para encontrar la distancia entre puntos en un sistema de coordenadas rectangular:
De manera similar, encontramos la longitud del segmento encerrado entre puntos con coordenadas (-2, -3) y (2, 1):
Finalmente, determinamos la longitud del segmento entre puntos de coordenadas (2, 1) y (5, -2):
Dado que la igualdad se cumple:
entonces el triángulo correspondiente es rectángulo.
Así, podemos formular la respuesta al problema: dado que la suma de los cuadrados de los lados de menor longitud es igual al cuadrado del lado de mayor longitud, los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo.
La base (ubicada estrictamente horizontal), la jamba (ubicada estrictamente verticalmente) y el cable (estirado en diagonal) forman un triángulo rectángulo, respectivamente, para encontrar la longitud del cable se puede utilizar el teorema de Pitágoras:
Así, la longitud del cable será de aproximadamente 3,6 metros.
Dado: la distancia del punto R al punto P (el cateto del triángulo) es 24, del punto R al punto Q (hipotenusa) es 26.
Entonces, ayudemos a Vita a resolver el problema. Dado que se supone que los lados del triángulo que se muestra en la figura forman un triángulo rectángulo, puedes usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado:
Entonces, el ancho del estanque es de 10 metros.
Serguéi Valérievich
Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación
entre los lados de un triángulo rectángulo.
Se cree que fue demostrado por el matemático griego Pitágoras, de quien recibió su nombre.
Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.
El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados,
construido sobre piernas.
Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b:
Ambas formulaciones Teorema de pitágoras son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no
Requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y
midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras inverso.
Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces
triángulo rectángulo.
O, en otras palabras:
Por cada triple de números positivos a, b Y C, tal que
hay un triangulo rectángulo con catetos a Y b y hipotenusa C.
Teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles.
Teorema de Pitágoras para un triángulo equilátero.
Pruebas del teorema de Pitágoras.
Actualmente, se han registrado en la literatura científica 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema
Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal diversidad
Sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema para la geometría.
Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos:
prueba método de área, axiomático Y evidencia exótica(Por ejemplo,
mediante el uso ecuaciones diferenciales).
1. Demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes.
La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas construidas.
directamente de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.
Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotar
su fundación a través de h.
Triángulo ACH similar a un triangulo AB C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C.
Introduciendo la notación:
obtenemos:
,
que corresponde a -
Doblada a 2 y b 2, obtenemos:
o , que es lo que había que demostrar.
2. Demostración del teorema de Pitágoras mediante el método del área.
Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos ellos
Utilice propiedades del área, cuyas pruebas son más complejas que la prueba del propio teorema de Pitágoras.
- Prueba por equicomplementariedad.
Organicemos cuatro rectangulares iguales.
triangulo como se muestra en la figura
a la derecha.
Cuadrilátero con lados C- cuadrado,
ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y
ángulo desplegado - 180°.
El área de toda la figura es igual, por un lado,
área de un cuadrado con lado ( a+b), y por otro lado, la suma de las áreas de cuatro triángulos y
Q.E.D.
3. Demostración del teorema de Pitágoras por el método infinitesimal.
Mirando el dibujo que se muestra en la figura y
viendo el cambio de ladoa, podemos
escribe la siguiente relación para infinitamente
pequeño incrementos lateralesCon Y a(usando similitud
triangulos):
Usando el método de separación de variables, encontramos:
Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados:
Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos:
Así llegamos a la respuesta deseada:
Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la relación lineal
proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está relacionada con los independientes
contribuciones del incremento de diferentes tramos.
Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que una de las piernas no experimenta un aumento.
(en este caso la pierna b). Entonces para la constante de integración obtenemos:
Teorema de pitágoras
De manera similar, el triángulo CBH es similar a ABC. Introduciendo la notación 
1. Coloca cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la figura. 
La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales. Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes. Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK, para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK. Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia, los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir - AB=AK,AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: giramos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°). El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar. Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. 
Consideremos el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento CI corta el cuadrado ABHJ en dos partes idénticas (ya que los triángulos ABC y JHI son iguales en construcción). Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario, vemos la igualdad de las figuras sombreadas CAJI y GDAB. Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, más el área del triángulo original. El último paso de la prueba queda en manos del lector.
