Lección 8. Ángulos verticales. Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son continuación de los lados del otro. TEOREMA. Los ángulos verticales son iguales. Prueba: = = 180 De manera similar = = = 3 2 = 4 Solución de problemas: 64, 66 Tarea: párrafo 11, 66, 67
Dictado matemático. Opción 1. 1. Completa la oración: “Si los ángulos 1 y 2 son adyacentes, entonces su suma…” 2. ¿El ángulo adyacente al ángulo de 30 grados será agudo, obtuso o recto? 3. La suma de dos ángulos es 180 grados. ¿Son estos ángulos necesariamente adyacentes? 4. Las líneas AM y CE se cruzan en el punto O, que se encuentra entre ellas. ¿Obtuviste ángulos verticales? En caso afirmativo, nómbrelos. 5. ¿Cuál es el ángulo si el ángulo vertical con él es de 34 grados? 6. Uno de los cuatro ángulos resultantes de la intersección de dos rectas es igual a 140 grados. ¿Cuáles son los ángulos restantes? 7. Dos esquinas tienen un vértice común, el primer ángulo mide 40 grados y el segundo mide 140 grados. ¿Son estos ángulos verticales? Opcion 2. 1. Completa la frase: “Dos ángulos se llaman adyacentes si un lado es común y el otro…” 2. ¿Un ángulo adyacente a un ángulo de 130 grados será agudo, obtuso o recto? 3. La suma de dos ángulos con un lado común de 180 grados. ¿Son estos ángulos necesariamente adyacentes? 4. El estudiante construyó 2 ángulos verticales. ¿Cuántos pares de líneas resultó esto? 5. Dos ángulos tienen un vértice común, cada uno de estos ángulos mide 60 grados. ¿Estos ángulos tienen que ser verticales? 6. Uno de los cuatro ángulos resultantes de la intersección de dos rectas es igual a 80 grados. ¿Cuáles son los ángulos restantes? 7. ¿Cuál es el ángulo si el ángulo vertical con él es de 120 grados?
Respuestas. 1. Igual a 180 grados 2. Ángulo obtuso 3. No 4. Ángulos AOC y EOM, AOE y COM grados y 40 grados 7. Sí 1. Rayos adicionales 2. Ángulo agudo 3. No 4. Un par 5. No y 100 grados grados
La geometría es una ciencia muy multifacética. Desarrolla la lógica, la imaginación y la inteligencia. Por supuesto, debido a su complejidad y cantidad inmensa teoremas y axiomas, a los escolares no siempre les gusta. Además, existe la necesidad de probar constantemente sus conclusiones utilizando estándares y reglas generalmente aceptados.
Los ángulos adyacentes y verticales son una parte integral de la geometría. Seguramente muchos escolares simplemente los adoran porque sus propiedades son claras y fáciles de demostrar.
formación de esquinas
Cualquier ángulo se forma cortando dos rectas o dibujando dos rayos desde un punto. Se pueden llamar una letra o tres, que designan secuencialmente los puntos en los que se construye el ángulo.
Los ángulos se miden en grados y pueden (según su valor) denominarse de diferentes formas. Entonces, hay un ángulo recto, agudo, obtuso y desplegado. Cada uno de los nombres corresponde a una determinada medida de grado o su intervalo.
Un ángulo agudo es un ángulo cuya medida no supera los 90 grados.
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor a 90 grados.
Un ángulo se dice recto cuando su medida en grados es 90.
En el caso de que esté formada por una recta continua y su medida en grados sea 180, se llama expandida.
Los ángulos que tienen un lado común, cuyo segundo lado continúa entre sí, se llaman adyacentes. Pueden ser afilados o contundentes. La intersección de la línea forma ángulos adyacentes. Sus propiedades son las siguientes:
- La suma de dichos ángulos será igual a 180 grados (hay un teorema que lo demuestra). Por lo tanto, se puede calcular fácilmente uno de ellos si se conoce el otro.
- Del primer punto se deduce que dos ángulos obtusos o dos agudos no pueden formar ángulos adyacentes.
Gracias a estas propiedades, siempre es posible calcular la medida en grados de un ángulo dado el valor de otro ángulo, o al menos la relación entre ellos.
Ángulos verticales
Los ángulos cuyos lados son continuación unos de otros se llaman verticales. Cualquiera de sus variedades puede actuar como tal pareja. Los ángulos verticales siempre son iguales entre sí.
Se forman cuando se cruzan líneas rectas. Junto a ellos, siempre están presentes ángulos adyacentes. Un ángulo puede ser simultáneamente adyacente para uno y vertical para otro.
Al cruzar una línea arbitraria, también se consideran otros tipos de ángulos. Esta línea se llama secante; forma ángulos correspondientes, unilaterales y transversales. Son iguales entre sí. Se pueden ver a la luz de las propiedades que tienen los ángulos verticales y adyacentes.
Por tanto, el tema de los ángulos parece bastante sencillo y comprensible. Todas sus propiedades son fáciles de recordar y probar. Resolver problemas no parece difícil siempre que los ángulos correspondan valor numérico. Más adelante, cuando comience el estudio del pecado y cos, tendrás que memorizar mucho. fórmulas complejas, sus conclusiones y consecuencias. Hasta entonces, podrás disfrutar de acertijos sencillos en los que tendrás que encontrar ángulos adyacentes.
CAPÍTULO I.
CONCEPTOS BÁSICOS.
§once. ESQUINAS ADYACENTES Y VERTICALES.
1. Ángulos adyacentes.
Si extendemos el lado de cualquier ángulo más allá de su vértice, obtenemos dos ángulos (Fig.72): / Y el sol y / SVD, en el que un lado BC es común y los otros dos A y BD forman una línea recta.
Dos ángulos en los que un lado es común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.
Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta forma: si trazamos un rayo desde algún punto de una recta (que no se encuentre en una recta determinada), obtendremos ángulos adyacentes.
Por ejemplo, /
ADF y /
FDВ - ángulos adyacentes (Fig. 73).
Los ángulos adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).
Los ángulos adyacentes suman un ángulo llano, por lo que la umma de dos ángulos adyacentes es igual 2d.
Por tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.
Conociendo el tamaño de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el tamaño del otro ángulo adyacente a él.
Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes es 3/5 d, entonces el segundo ángulo será igual a:
2d- 3 / 5 d=l 2 / 5 d.
2. Ángulos verticales.
Si extendemos los lados del ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En el dibujo 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; Los ángulos AOE y COF también son verticales.
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son continuación de los lados del otro ángulo.
Dejar / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adyacente a él / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, es decir, 1 1/8 d.
De la misma manera puedes calcular a qué son iguales. /
3 y /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Diagrama 77).
Vemos eso / 1 = / 3 y / 2 = / 4.
Puedes resolver varios problemas más iguales y cada vez obtendrás el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.
Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no basta con considerar los ángulos individuales. ejemplos numéricos, ya que las conclusiones extraídas a partir de ejemplos concretos a veces pueden ser erróneas.
Es necesario verificar la validez de las propiedades de los ángulos verticales mediante razonamiento, mediante prueba.
La prueba se puede realizar de la siguiente manera (Fig.78):
/
un+/
C = 2d;
/
b+/
C = 2d;
(dado que la suma de los ángulos adyacentes es 2 d).
/ un+/ C = / b+/ C
(así como lado izquierdo esta igualdad es igual a 2 d, y su lado derecho también es igual a 2 d).
Esta igualdad incluye el mismo ángulo. Con.
Si restamos cantidades iguales de cantidades iguales, quedarán cantidades iguales. El resultado será: / a = / b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.
Al considerar la cuestión de los ángulos verticales, primero explicamos qué ángulos se llaman verticales, es decir, definiciónángulos verticales.
Luego hicimos un juicio (afirmación) sobre la igualdad de los ángulos verticales y nos convencimos de la validez de este juicio mediante la prueba. Tales sentencias, cuya validez debe ser probada, se denominan teoremas. Por lo tanto, en esta sección dimos una definición de ángulos verticales y también enunciamos y demostramos un teorema sobre sus propiedades.
En el futuro, al estudiar geometría, tendremos que encontrarnos constantemente con definiciones y demostraciones de teoremas.
3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.
En el dibujo 79 /
1, /
2, /
3 y /
4 están ubicados a un lado de una línea y tienen un vértice común en esta línea. En resumen, estos ángulos forman un ángulo llano, es decir
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
En el dibujo 80 / 1, / 2, / 3, / 4 y / 5 tienen un vértice común. En suma, estos ángulos forman un ángulo completo, es decir / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Ejercicios.
1. Uno de los ángulos adyacentes mide 0,72. d. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de estos ángulos adyacentes.
2. Demuestre que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.
3. Demuestre que si dos ángulos son iguales, entonces sus ángulos adyacentes también son iguales.
4. ¿Cuántos pares de ángulos adyacentes hay en el dibujo 81?
5. ¿Puede un par de ángulos adyacentes constar de dos ángulos agudos? desde dos ángulos obtusos? desde ángulos rectos y obtusos? desde un ángulo recto y agudo?
6. Si uno de los ángulos adyacentes es recto, ¿qué se puede decir sobre el tamaño del ángulo adyacente?
7. Si en la intersección de dos líneas rectas un ángulo es recto, ¿qué se puede decir sobre el tamaño de los otros tres ángulos?
