ત્રિકોણમિતિ કાર્યો માટે વધારાના સૂત્રોના ઉદાહરણો. ઉમેરણ સૂત્રો: પુરાવા, ઉદાહરણો

હું તમને ચિટ શીટ્સ ન લખવા માટે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ નહીં. લખો! ત્રિકોણમિતિ પર ચીટ શીટ્સ સહિત. પાછળથી હું શા માટે ચીટ શીટ્સની જરૂર છે અને શા માટે ચીટ શીટ્સ ઉપયોગી છે તે સમજાવવાની યોજના ઘડી રહ્યો છું. અને અહીં કેવી રીતે શીખવું નહીં, પરંતુ કેટલાક ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો યાદ રાખવાની માહિતી છે. તેથી - ચીટ શીટ વિના ત્રિકોણમિતિ અમે યાદ રાખવા માટે સંગઠનોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

1. ઉમેરણ સૂત્રો:

કોસાઇન્સ હંમેશા "જોડીમાં આવે છે": કોસાઇન-કોસાઇન, સાઇન-સાઇન. અને એક વધુ વસ્તુ: કોસાઇન્સ "અપૂરતી" છે. તેમના માટે “બધું ખોટું છે”, તેથી તેઓ ચિહ્નો બદલી નાખે છે: “-” થી “+”, અને ઊલટું.

સાઇનસ - "મિશ્રણ": સાઈન-કોસાઈન, કોસાઈન-સાઈન.

2. સરવાળો અને તફાવત સૂત્રો:

કોસાઇન્સ હંમેશા "જોડીમાં આવે છે". બે કોસાઇન્સ ઉમેરીને - "કોલોબોક્સ", આપણને કોસાઇન્સની જોડી મળે છે - "કોલોબોક્સ". અને બાદબાકી કરીને, અમને ચોક્કસપણે કોઈ કોલબોક્સ મળશે નહીં. અમને બે સાઈન મળે છે. આગળ માઈનસ સાથે પણ.

સાઇનસ - "મિશ્રણ" :

3. ઉત્પાદનને સરવાળો અને તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રો.

આપણને કોસાઇન જોડી ક્યારે મળે છે? જ્યારે આપણે કોસાઇન્સ ઉમેરીએ છીએ. એ કારણે

આપણને બે સાઈન ક્યારે મળે છે? કોસાઇન્સ બાદબાકી કરતી વખતે. અહીંથી:

સાઈન ઉમેરતી અને બાદ કરતી વખતે "મિશ્રણ" બંને મેળવવામાં આવે છે. વધુ મજા શું છે: ઉમેરવા અથવા બાદબાકી? તે સાચું છે, ફોલ્ડ. અને સૂત્ર માટે તેઓ ઉમેરણ લે છે:

પ્રથમ અને ત્રીજા સૂત્રમાં, સરવાળો કૌંસમાં છે. શરતોના સ્થાનોને ફરીથી ગોઠવવાથી સરવાળો બદલાતો નથી. ક્રમ માત્ર બીજા સૂત્ર માટે મહત્વપૂર્ણ છે. પરંતુ, મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે, યાદ રાખવાની સરળતા માટે, પ્રથમ કૌંસમાંના ત્રણેય સૂત્રોમાં આપણે તફાવત લઈએ છીએ.

અને બીજું - રકમ

તમારા ખિસ્સામાં ચીટ શીટ્સ તમને માનસિક શાંતિ આપે છે: જો તમે ફોર્મ્યુલા ભૂલી જાઓ છો, તો તમે તેની નકલ કરી શકો છો. અને તેઓ તમને આત્મવિશ્વાસ આપે છે: જો તમે ચીટ શીટનો ઉપયોગ કરવામાં નિષ્ફળ જાઓ છો, તો તમે ફોર્મ્યુલા સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો.

અમે ત્રિકોણમિતિમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો વિશે અમારી વાતચીત ચાલુ રાખીએ છીએ. તેમાંના સૌથી મહત્વપૂર્ણ એ વધારાના સૂત્રો છે.

વ્યાખ્યા 1

એડિશન ફોર્મ્યુલા તમને ઉપયોગ કરીને બે ખૂણાઓના તફાવત અથવા સરવાળાના કાર્યોને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોઆ ખૂણાઓ.

શરૂ કરવા માટે, અમે આપીશું સંપૂર્ણ યાદીવધારાના સૂત્રો, પછી અમે તેમને સાબિત કરીશું અને કેટલાક ઉદાહરણરૂપ ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ત્રિકોણમિતિમાં મૂળભૂત ઉમેરણ સૂત્રો

આઠ મૂળભૂત સૂત્રો છે: સરવાળાની સાઈન અને બે ખૂણાઓના તફાવતની સાઈન, સરવાળો અને તફાવતના કોસાઈન્સ, અનુક્રમે સરવાળો અને તફાવતના સ્પર્શક અને સહસ્પર્શકો. નીચે તેમના પ્રમાણભૂત ફોર્મ્યુલેશન અને ગણતરીઓ છે.

1. બે ખૂણાઓના સરવાળાની સાઈન નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે:

અમે પ્રથમ ખૂણાના સાઈન અને બીજાના કોસાઈનના ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ;

પ્રથમ કોણના કોસાઇનને પ્રથમની સાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરો;

પરિણામી મૂલ્યો ઉમેરો.

સૂત્રનું ગ્રાફિકલ લેખન આના જેવું દેખાય છે: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. તફાવતની સાઈન લગભગ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે, માત્ર પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવામાં આવવી જોઈએ નહીં, પરંતુ એકબીજાથી બાદબાકી કરવી જોઈએ. આમ, આપણે પ્રથમ કોણના સાઈન અને બીજાના કોસાઈન અને પ્રથમ કોણના કોસાઈન અને બીજાના સાઈનના ગુણદોષની ગણતરી કરીએ છીએ અને તેમનો તફાવત શોધીએ છીએ. સૂત્ર આ રીતે લખાયેલું છે: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. રકમનો કોસાઇન. તેના માટે, આપણે અનુક્રમે બીજાના કોસાઇન દ્વારા પ્રથમ કોણના કોસાઇન અને બીજાની સાઇન દ્વારા પ્રથમ કોણની સાઇનના ઉત્પાદનો શોધીએ છીએ, અને તેમનો તફાવત શોધીએ છીએ: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. તફાવતનો કોસાઈન: પહેલાની જેમ આ ખૂણાઓના સાઈન્સ અને કોસાઈન્સના ઉત્પાદનોની ગણતરી કરો અને તેમને ઉમેરો. ફોર્મ્યુલા: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. સરવાળાની સ્પર્શક. આ સૂત્ર અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જેનો અંશ એ જરૂરી ખૂણાઓની સ્પર્શકનો સરવાળો છે, અને છેદ એ એક એકમ છે જેમાંથી ઇચ્છિત ખૂણાઓની સ્પર્શકોનું ઉત્પાદન બાદ કરવામાં આવે છે. તેના ગ્રાફિકલ સંકેતથી બધું સ્પષ્ટ છે: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. તફાવતની સ્પર્શક. અમે આ ખૂણાઓના સ્પર્શકોના તફાવત અને ઉત્પાદનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને તે જ રીતે તેમની સાથે આગળ વધીએ છીએ. છેદમાં આપણે એકમાં ઉમેરીએ છીએ, અને ઊલટું નહીં: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. રકમનો કોટેન્જન્ટ. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવા માટે, આપણને ઉત્પાદન અને આ ખૂણાઓના સહસ્પર્શકોના સરવાળાની જરૂર પડશે, જે આપણે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ છીએ: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. તફાવતનો કોટેન્જેન્ટ . સૂત્ર અગાઉના એક જેવું જ છે, પરંતુ અંશ અને છેદ ઓછા છે, વત્તા c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

તમે કદાચ નોંધ્યું છે કે આ સૂત્રો જોડીમાં સમાન છે. ± (વત્તા-માઈનસ) અને ∓ (માઈનસ-પ્લસ) ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને, અમે રેકોર્ડિંગની સરળતા માટે તેમને જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

તદનુસાર, દરેક મૂલ્યના સરવાળા અને તફાવત માટે અમારી પાસે એક રેકોર્ડિંગ સૂત્ર છે, ફક્ત એક કિસ્સામાં અમે ધ્યાન આપીએ છીએ ટોચનું ચિહ્ન, બીજામાં - નીચલા એકમાં.

વ્યાખ્યા 2

આપણે કોઈપણ ખૂણા α અને β લઈ શકીએ છીએ, અને કોસાઈન અને સાઈન માટેના વધારાના સૂત્રો તેમના માટે કામ કરશે. જો આપણે આ ખૂણાઓના સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે નિર્ધારિત કરી શકીએ, તો પછી સ્પર્શક અને કોટિંજેન્ટ માટેના ઉમેરા સૂત્રો પણ તેમના માટે માન્ય રહેશે.

બીજગણિતની મોટા ભાગની વિભાવનાઓની જેમ, વધારાના સૂત્રો સાબિત થઈ શકે છે. પ્રથમ સૂત્ર જે આપણે સાબિત કરીશું તે તફાવત કોસાઇન સૂત્ર છે. બાકીના પુરાવા પછી તેમાંથી સરળતાથી અનુમાન કરી શકાય છે.

ચાલો મૂળભૂત ખ્યાલોને સ્પષ્ટ કરીએ. અમને એકમ વર્તુળની જરૂર પડશે. જો આપણે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ A લઈએ અને કેન્દ્ર (બિંદુ O) ની આસપાસ ખૂણા α અને β ફેરવીએ તો તે કાર્ય કરશે. પછી O A 1 → અને O A → 2 વેક્ટર્સ વચ્ચેનો કોણ (α - β) + 2 π · z અથવા 2 π - (α - β) + 2 π · z (z કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) ની બરાબર હશે. પરિણામી વેક્ટર્સ એક કોણ બનાવે છે જે α - β અથવા 2 π - (α - β) ની બરાબર હોય છે, અથવા તે સંપૂર્ણ ક્રાંતિની પૂર્ણાંક સંખ્યા દ્વારા આ મૂલ્યોથી અલગ હોઈ શકે છે. ચિત્ર પર એક નજર નાખો:

અમે ઘટાડાનાં સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યો અને નીચેના પરિણામો મળ્યા:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

પરિણામ: વેક્ટર O A 1 → અને O A 2 → વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઈન કોણ α - β ના કોસાઈન સમાન છે, તેથી, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

ચાલો આપણે સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાઓ યાદ કરીએ: સાઈન એ કોણનું કાર્ય છે, જે વિરુદ્ધ કોણના પગના કર્ણોના ગુણોત્તર સમાન છે, કોસાઈન એ પૂરક કોણની સાઈન છે. તેથી, પોઈન્ટ એ 1અને A 2કોઓર્ડિનેટ્સ (cos α, sin α) અને (cos β, sin β) ધરાવે છે.

અમને નીચેના મળે છે:

O A 1 → = (cos α, sin α) અને O A 2 → = (cos β, sin β)

જો તે સ્પષ્ટ ન હોય તો, વેક્ટર્સની શરૂઆતમાં અને અંતમાં સ્થિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જુઓ.

વેક્ટરની લંબાઈ 1 ની બરાબર છે, કારણ કે અમારી પાસે એક એકમ વર્તુળ છે.

ચાલો હવે O A 1 → અને O A 2 → વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનનું વિશ્લેષણ કરીએ. કોઓર્ડિનેટ્સમાં તે આના જેવો દેખાય છે:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

આમાંથી આપણે સમાનતા મેળવી શકીએ છીએ:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

આમ, તફાવત કોસાઇન ફોર્મ્યુલા સાબિત થાય છે.

હવે આપણે નીચેના સૂત્રને સાબિત કરીશું - સરવાળાનો કોસાઇન. આ સરળ છે કારણ કે આપણે અગાઉની ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ચાલો પ્રતિનિધિત્વ α + β = α - (- β) લઈએ. અમારી પાસે:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = cos α cos β + sin α sin β

આ કોસાઇન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો પુરાવો છે. છેલ્લી લીટી વિરોધી ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈનની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરે છે.

રકમની સાઈન માટેનું સૂત્ર તફાવતના કોસાઈન માટેના સૂત્રમાંથી મેળવી શકાય છે. ચાલો આ માટે ઘટાડો સૂત્ર લઈએ:

ઓફ ધ ફોર્મ sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). તેથી
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

અને અહીં તફાવત સાઈન ફોર્મ્યુલાનો પુરાવો છે:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
છેલ્લી ગણતરીમાં વિરોધી ખૂણાના સાઈન અને કોસાઈન ગુણધર્મોના ઉપયોગની નોંધ લો.

આગળ આપણને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે ઉમેરાના સૂત્રોના પુરાવાની જરૂર છે. ચાલો મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખીએ (સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે, અને કોટેન્જેન્ટ એ ઊલટું છે) અને અગાઉથી મેળવેલા સૂત્રો લઈએ. અમે તેને બનાવ્યું:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

અમારી પાસે એક જટિલ અપૂર્ણાંક છે. આગળ, આપણે તેના અંશ અને છેદને cos α · cos β વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, જો કે cos α ≠ 0 અને cos β ≠ 0 હોય, તો આપણને મળે છે:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

હવે આપણે અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીએ છીએ અને નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
અમને t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β મળ્યો. આ સ્પર્શક ઉમેરણ સૂત્રનો પુરાવો છે.

આગળનું સૂત્ર જે આપણે સાબિત કરીશું તે તફાવત સૂત્રની સ્પર્શક છે. ગણતરીમાં બધું સ્પષ્ટ રીતે બતાવવામાં આવ્યું છે:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

કોટેન્જેન્ટ માટેના સૂત્રો સમાન રીતે સાબિત થાય છે:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin β · α + sin cos α · sin β sin α · sin β = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
આગળ:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β