x की घातों में फ़ंक्शन का विस्तार करें। पावर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार

"फ़ंक्शन f(x) का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें"- यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा उच्च गणित में कार्य लगता है, जिसे कुछ छात्र कर सकते हैं, जबकि अन्य उदाहरणों का सामना नहीं कर सकते। शक्तियों में एक श्रृंखला का विस्तार करने के कई तरीके हैं; यहां हम मैकलॉरिन श्रृंखला में कार्यों का विस्तार करने की एक तकनीक देंगे। किसी श्रृंखला में कोई फ़ंक्शन विकसित करते समय, आपको डेरिवेटिव की गणना करने में अच्छा होना चाहिए।

उदाहरण 4.7 किसी फ़ंक्शन को x की घातों में विस्तारित करें

गणना: हम फ़ंक्शन का विस्तार मैकलॉरिन सूत्र के अनुसार करते हैं। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन के हर को एक श्रृंखला में विस्तारित करें

अंत में, विस्तार को अंश से गुणा करें।
पहला पद शून्य f (0) = 1/3 पर फ़ंक्शन का मान है।
आइए पहले और उच्च क्रम f (x) के फ़ंक्शन के डेरिवेटिव और बिंदु x=0 पर इन डेरिवेटिव का मान खोजें




इसके बाद, 0 पर डेरिवेटिव के मान में परिवर्तन के पैटर्न के आधार पर, हम nवें डेरिवेटिव के लिए सूत्र लिखते हैं

इसलिए, हम हर को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार के रूप में दर्शाते हैं

हम अंश-गणक से गुणा करते हैं और x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है।
सभी मुख्य बिंदु डेरिवेटिव की गणना करने और शून्य पर उच्च क्रम डेरिवेटिव के मूल्य को तुरंत सामान्यीकृत करने की क्षमता पर आधारित हैं। निम्नलिखित उदाहरण आपको यह सीखने में मदद करेंगे कि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रृंखला में शीघ्रता से कैसे व्यवस्थित किया जाए।

उदाहरण 4.10 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, हम कोसाइन को अंश में एक श्रृंखला में रखेंगे। ऐसा करने के लिए, आप अनंत मात्राओं के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, या डेरिवेटिव के माध्यम से कोसाइन विस्तार प्राप्त कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, हम x की घातों में निम्नलिखित श्रृंखला पर पहुँचते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास न्यूनतम गणनाएं और श्रृंखला विस्तार का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण 4.16 x की घातों में एक फ़ंक्शन का विस्तार करें:
7/(12-x-x^2)
गणना: इस प्रकार के उदाहरणों में, साधारण भिन्नों के योग के माध्यम से भिन्न का विस्तार करना आवश्यक है।
हम आपको अभी यह नहीं दिखाएंगे कि यह कैसे करना है, लेकिन सहायता के साथ अनिश्चित गुणांकआइए भिन्नों के योग पर पहुँचें।
आगे हम हरों को घातांकीय रूप में लिखते हैं

मैकलॉरिन सूत्र का उपयोग करके शर्तों का विस्तार करना बाकी है। "x" की समान घातों पर पदों का योग करके, हम एक श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के सामान्य पद के लिए एक सूत्र बनाते हैं



शुरुआत में श्रृंखला में संक्रमण के अंतिम भाग को लागू करना मुश्किल है, क्योंकि युग्मित और अयुग्मित सूचकांकों (डिग्री) के लिए सूत्रों को संयोजित करना मुश्किल है, लेकिन अभ्यास के साथ आप इसमें बेहतर हो जाएंगे।

उदाहरण 4.18 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए मैकलेरन के सूत्रों में से एक का उपयोग करके फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करें:

हम श्रृंखला का योग प्रत्येक पद के आधार पर इस तथ्य के आधार पर करते हैं कि दोनों बिल्कुल समान हैं। पूरी श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत करने के बाद, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करते हैं

विस्तार की अंतिम दो पंक्तियों के बीच एक संक्रमण होता है जिसमें शुरुआत में आपका काफी समय लगेगा। किसी श्रृंखला सूत्र को सामान्य बनाना हर किसी के लिए आसान नहीं है, इसलिए एक अच्छा, संक्षिप्त सूत्र प्राप्त न कर पाने के बारे में चिंता न करें।

उदाहरण 4.28 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें:

आइए लघुगणक को इस प्रकार लिखें

मैकलॉरिन के सूत्र का उपयोग करके, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में लघुगणक फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं

अंतिम कनवल्शन पहली नज़र में जटिल है, लेकिन संकेतों को बदलने पर आपको हमेशा कुछ समान मिलेगा। एक पंक्ति में कार्यों को शेड्यूल करने के विषय पर इनपुट पाठ पूरा हो गया है। अन्य समान रूप से दिलचस्प अपघटन योजनाओं पर निम्नलिखित सामग्रियों में विस्तार से चर्चा की जाएगी।

यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले एक निश्चित अंतराल पर सभी आदेशों का व्युत्पन्न है, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x, x और a के बीच है।

एफ(एक्स)=

बिंदु x 0 = पर पंक्ति तत्वों की संख्या 3 4 5 6 7

अपघटन का प्रयोग करें प्राथमिक कार्यई एक्स, कॉस(एक्स), सिन(एक्स), एलएन(1+एक्स), (1+एक्स) एम

कार्यों में प्रवेश के नियम:

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन→0 पर एन→∞, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण हो जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) को विचाराधीन बिंदु x पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

जब a = 0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर=∞
त्रिकोणमितीय कार्य
, आर=∞
, आर=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फ़ंक्शन actgx x की शक्तियों में विस्तारित नहीं होता है, क्योंकि ctg0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणकीय कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें एफ(एक्स)= 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0
एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;
च"(x) = 2एक्सएलएन2, एफ"( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;
च""(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;
…
एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ के लिए मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण संख्या 2. टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=इ एक्स.
समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;
च"(x)= ई एक्स, एफ"(-4) = ई -4 ;
च""(x)= ई एक्स, एफ""(-4) = ई -4 ;
…
एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .
इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

यह विस्तार -∞ के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण संख्या 3. किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).
समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरण करती है<1 . Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। जब x=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

उदाहरण संख्या 4. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. विस्तार (1) में हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:
, -∞

उदाहरण क्रमांक 5. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. हमारे पास है
सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

सूत्र में x के स्थान पर -x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

यहां से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें मिलता है
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है, क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करती है।

टिप्पणी .
सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण संख्या 5ए. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें।
समाधान। सबसे पहले हम 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , पाते हैं।
प्रारंभिक करने के लिए:

भिन्न 3/(1-3x) को 3x के हर के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में माना जा सकता है, यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.

उदाहरण संख्या 6. बिंदु x = 3 के आसपास फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):
=
परिणामी श्रृंखला या -3 पर अभिसरित होती है

उदाहरण संख्या 7. फ़ंक्शन ln(x+2) की शक्तियों (x -1) में टेलर श्रृंखला लिखें।
समाधान.


श्रृंखला , या -2 पर एकत्रित होती है< x < 5.

उदाहरण संख्या 8. फ़ंक्शन f(x)=sin(πx/4) को बिंदु x =2 के आसपास टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. आइए प्रतिस्थापन करें t=x-2:

विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के स्थान पर π/4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी श्रृंखला -∞ पर दिए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞इस प्रकार,
, (-∞

पावर श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी सहायता से, आप दी गई सटीकता के साथ मूलों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक और निश्चित अभिन्नों के मूल्यों की गणना कर सकते हैं। विभेदक समीकरणों को एकीकृत करते समय श्रृंखला का भी उपयोग किया जाता है।
आइए घात श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, इसके विस्तार में पहले वाले बचे हैं एनसदस्य ( एन- एक परिमित संख्या), और शेष पद हटा दिए जाते हैं:

प्राप्त अनुमानित मान की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, छोड़े गए शेषफल rn (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करें:

• यदि परिणामी श्रृंखला वैकल्पिक है, तो निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है: लीबनिज शर्तों को पूरा करने वाली एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, निरपेक्ष मूल्य में श्रृंखला का शेष पहले छोड़े गए पद से अधिक नहीं है.
• यदि दी गई श्रृंखला स्थिर चिह्न वाली है, तो छोड़े गए पदों से बनी श्रृंखला की तुलना अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति से की जाती है।
• सामान्य स्थिति में, टेलर श्रृंखला के शेष का अनुमान लगाने के लिए, आप लैग्रेंज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: a एक्स ).

उदाहरण क्रमांक 1. निकटतम 0.01 तक ln(3) की गणना करें।
समाधान. आइए विस्तार का उपयोग करें जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):

आइए जाँच करें कि क्या हम विस्तार के पहले तीन पदों के बाद शेषफल को त्याग सकते हैं, ऐसा करने के लिए, हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करेंगे:

अतः हम इस शेषफल को त्याग कर प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण संख्या 2. निकटतम 0.0001 तक गणना करें।
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 के निकटतम पूर्णांक का घन है, इसलिए संख्या 130 को 130 = 5 3 +5 के रूप में दर्शाने की सलाह दी जाती है।



चूँकि लीबनिज़ मानदंड को संतुष्ट करने वाली परिणामी वैकल्पिक श्रृंखला का चौथा पद पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद के शब्दों को ख़ारिज किया जा सकता है।
कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित अभिन्नों की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग प्रतिअवकलन खोजने से जुड़ा है, जिसकी अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि प्रतिअवकलन खोजना संभव है, लेकिन यह अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य है। हालाँकि, यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, और एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ इंटीग्रल की अनुमानित गणना संभव है।

उदाहरण संख्या 3. 10 -5 के भीतर अभिन्न ∫ 0 1 4 पाप (x) x की गणना करें।
समाधान. संबंधित अनिश्चितकालीन अभिन्न को प्रारंभिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात। एक "अस्थायी अभिन्न" का प्रतिनिधित्व करता है। न्यूटन-लीबनिज फॉर्मूला यहां लागू नहीं किया जा सकता। आइए लगभग अभिन्न की गणना करें।
पाप के लिए श्रृंखला को पद दर पद विभाजित करना एक्सपर एक्स, हम पाते हैं:

इस श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत करना (यह संभव है, क्योंकि एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं), हम प्राप्त करते हैं:

चूँकि परिणामी श्रृंखला लीबनिज़ की शर्तों को पूरा करती है और दी गई सटीकता के साथ वांछित मान प्राप्त करने के लिए पहले दो शब्दों का योग लेना पर्याप्त है।
इस प्रकार, हम पाते हैं
.

उदाहरण संख्या 4. 0.001 की सटीकता के साथ अभिन्न ∫ 0 1 4 e x 2 की गणना करें।
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेषफल को हटा सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, .

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिए कि हमें दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग एक निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित फ़ंक्शन बन जाता है। प्रश्न उठता है: क्या यह कहना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) एक निश्चित घात श्रृंखला का योग है? अर्थात्, किन परिस्थितियों में फ़ंक्शन f(x) को घात श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि किसी घात श्रृंखला, यानी एक बहुपद के पहले कुछ पदों के योग के साथ फ़ंक्शन f(x) को लगभग प्रतिस्थापित करना संभव है। एक फ़ंक्शन का एक सरल अभिव्यक्ति के साथ यह प्रतिस्थापन - एक बहुपद - कुछ समस्याओं को हल करते समय भी सुविधाजनक होता है, अर्थात्: अभिन्न को हल करते समय, गणना करते समय, आदि।

यह सिद्ध हो चुका है कि एक निश्चित फ़ंक्शन f(x) के लिए, जिसमें (α - R; x 0 + R) के पड़ोस में, अंतिम सहित (n+1)वें क्रम तक डेरिवेटिव की गणना करना संभव है ) कुछ बिंदु x = α, यह सत्य है कि सूत्र:

इस फॉर्मूले का नाम मशहूर वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है. पिछली श्रृंखला से जो श्रृंखला प्राप्त होती है उसे मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

वह नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार करना संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे... ऑर्डर के डेरिवेटिव निर्धारित करें।
2. गणना करें कि x=0 पर व्युत्पन्न किसके बराबर हैं।
3. इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला लिखें, और फिर इसके अभिसरण का अंतराल निर्धारित करें।
4. अंतराल (-R;R) निर्धारित करें, जहां मैकलॉरिन सूत्र का शेष है

आर एन (एक्स) -> 0 पर एन -> अनंत। यदि कोई मौजूद है, तो उसमें मौजूद फ़ंक्शन f(x) को मैकलॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

आइए अब हम व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. तो, पहला f(x) = e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, ऐसे फ़ंक्शन में बहुत अलग ऑर्डर के व्युत्पन्न होते हैं, और एफ (के) (एक्स) = ई एक्स, जहां के सभी को प्रतिस्थापित करता है। हमें f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 मिलता है... उपरोक्त के आधार पर, श्रृंखला e x इस तरह दिखेगी:

2. फलन f(x) = पाप x के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला। आइए हम तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में डेरिवेटिव होंगे, इसके अलावा, f "(x) = cos x = पाप (x + n/2), f "" (x) = -sin x = पाप (x + 2*n/2)..., f (k) (x) = syn(x+k*n/2), जहां k किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर है, यानी सरल गणना करने के बाद, हम यहां आ सकते हैं निष्कर्ष यह है कि f(x) = पाप x के लिए श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

3. अब आइए फलन f(x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। सभी अज्ञात के लिए इसमें मनमाने क्रम के व्युत्पन्न हैं, और |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन कुछ कार्यों के लिए उन्हें टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक किया गया है। अब हम उनकी सूची बनाएंगे. यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के व्यावहारिक कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।

1. पहली फ़ंक्शन f(x) = ln(1+x) के लिए श्रृंखला होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, दिए गए f(x) = ln(1+x) के लिए हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हम ऐसे नमूने के f(x) = ln(1+x) के लिए एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f(x) = arctan x के लिए श्रृंखला होगी। अंतराल [-1;1] से संबंधित x के लिए विस्तार मान्य है:

बस इतना ही। इस लेख ने उच्च गणित में, विशेष रूप से अर्थशास्त्र और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला की जांच की।

यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)कुछ अंतराल पर बिंदु युक्त है ए, सभी आदेशों के व्युत्पन्न, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:

कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:

, जहां संख्या x बीच में है एक्सऔर ए.

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन®0 पर एन®¥, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए एक अभिसरण सूत्र में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:

तो समारोह एफ(एक्स)विचाराधीन बिंदु पर इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है एक्स, अगर:

1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;

2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

पर ए=0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:

उदाहरण 1 एफ(एक्स)= 2एक्स.

समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0

एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;

एफ¢(एक्स) = 2एक्सएलएन2, एफ¢( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;

f¢¢(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ¢¢( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;

एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.

डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -¥ के लिए मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 2 एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=इ एक्स.

समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.

एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;

एफ¢(एक्स)= ई एक्स, एफ¢(-4) = ई -4 ;

f¢¢(x)= ई एक्स, एफ¢¢(-4) = ई -4 ;

एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .

इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप है:

यह विस्तार -¥ के लिए भी मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 3 . किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),

(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).

समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला कब अभिसरण करती है

½ एक्स- 1½<1. Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। पर एक्स=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है. इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

आइए हम इस प्रकार प्राप्त विस्तारों को मैकलॉरिन श्रृंखला (अर्थात बिंदु के आसपास) में प्रस्तुत करें एक्स=0) कुछ प्राथमिक कार्यों के लिए:

(2) ,

(3) ,

(अंतिम अपघटन कहलाता है द्विपद श्रृंखला)

उदाहरण 4 . फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें

समाधान. विस्तार में (1) हम प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपर - एक्स 2, हमें मिलता है:

उदाहरण 5 . मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें

समाधान. हमारे पास है

सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करना एक्ससूत्र में -एक्स, हम पाते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं:

कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें प्राप्त होता है

यह शृंखला अंतराल में अभिसरित होती है

(-1;1), चूँकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होता है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करता है।

टिप्पणी .

सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी फ़ंक्शन की शक्ति श्रृंखला विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय को दर्शाती है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण 6 . किसी बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें एक्स=3.

समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):

परिणामी श्रृंखला पर अभिसरित होती है या -3<एक्स- 3<3, 0<एक्स< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

उदाहरण 7 . टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स-1) कार्य .

समाधान.

शृंखला पर एकत्रित होती है , या 2< एक्स£5.