पोंकारे अनुमान के लिए पेरेलमैन का समाधान। एक डोनट होल के लिए एक मिलियन डॉलर

पोंकारे के प्रमेय का सार क्या है?

1. ई को लाल बालों वाली सोफिया ने साबित किया था, लेकिन वह भी लाल बालों वाली है...
2. लब्बोलुआब यह है कि ब्रह्मांड का आकार एक गोले जैसा नहीं, बल्कि एक डोनट जैसा है।
3. अपने मूल सूत्रीकरण में पोंकारे अनुमान का अर्थ यह है कि बिना छेद वाले किसी भी त्रि-आयामी शरीर के लिए एक परिवर्तन होता है जो इसे काटने और चिपकाने के बिना एक गेंद में बदलने की अनुमति देगा। यदि यह स्पष्ट प्रतीत होता है, तो क्या होगा यदि अंतरिक्ष त्रि-आयामी नहीं है, लेकिन इसमें दस या ग्यारह आयाम शामिल हैं (अर्थात, हम पोंकारे अनुमान के सामान्यीकृत सूत्रीकरण के बारे में बात कर रहे हैं, जिसे पेरेलमैन ने साबित किया)
4. आप इसे 2 शब्दों में नहीं बता सकते
5. 1900 में, पोंकारे ने सुझाव दिया कि एक गोले के सभी समरूप समूहों के साथ एक त्रि-आयामी मैनिफ़ोल्ड एक गोले के लिए समरूप है। 1904 में, उन्होंने एक प्रति-उदाहरण भी पाया, जिसे अब पोंकारे क्षेत्र कहा जाता है, और अपनी परिकल्पना का अंतिम संस्करण तैयार किया। पोंकारे अनुमान को साबित करने के प्रयासों से मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी में कई प्रगति हुई है।

   n #10878 के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान के प्रमाण; 1960 और 1970 के दशक की शुरुआत में 5 को स्मेल द्वारा लगभग एक साथ, स्वतंत्र रूप से और स्टालिंग्स (अंग्रेजी) द्वारा अन्य तरीकों से प्राप्त किया गया था (एन #10878 के लिए; 7, उसका प्रमाण ज़ीमन (अंग्रेजी) द्वारा मामलों एन = 5 और 6 तक बढ़ाया गया था) . अधिक कठिन मामले n = 4 का प्रमाण केवल 1982 में फ्रीडमैन द्वारा प्राप्त किया गया था। पोंट्रीगिन के विशिष्ट वर्गों के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंस पर नोविकोव के प्रमेय से यह पता चलता है कि उच्च आयामों में होमोमोर्फिक नहीं, बल्कि समरूप समतुल्य मौजूद हैं।

   मूल पोंकारे अनुमान (और अधिक सामान्य ट्रस्टन अनुमान) का प्रमाण केवल 2002 में ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा पाया गया था। इसके बाद, पेरेलमैन के प्रमाण को वैज्ञानिकों के कम से कम तीन समूहों द्वारा सत्यापित और विस्तारित रूप में प्रस्तुत किया गया। 1 प्रमाण सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह का उपयोग करता है और काफी हद तक हैमिल्टन द्वारा उल्लिखित योजना का पालन करता है, जो रिक्की प्रवाह का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी थे।

6. यह कौन है
7. पोंकारे का प्रमेय:
   सदिश क्षेत्रों पर पोंकारे का प्रमेय
   बेंडिक्सन का पोंकारे प्रमेय
   वृत्त समरूपता के वर्गीकरण पर पोंकारे का प्रमेय
   समरूपता क्षेत्र पर पोंकारे का अनुमान
   पोंकारे की वापसी प्रमेय

   आप किसके बारे में पूछ रहे हैं?

8. डायनेमिक सिस्टम के सिद्धांत में, सर्कल के होमोमोर्फिज्म के वर्गीकरण पर पोंकारे का प्रमेय, पुनरावृत्त मैपिंग एफ के रोटेशन संख्या पी (एफ) के आधार पर, सर्कल पर संभावित प्रकार की उलटा गतिशीलता का वर्णन करता है। मोटे तौर पर, यह पता चलता है कि मानचित्रण पुनरावृत्तियों की गतिशीलता कुछ हद तक संबंधित कोण द्वारा घूर्णन की गतिशीलता के समान है।
   अर्थात्, एक वृत्त समरूपता f दिया गया है। तब:
   1) घूर्णन संख्या तर्कसंगत है यदि और केवल यदि f में आवधिक बिंदु हैं। इस मामले में, घूर्णन संख्या का हर किसी भी आवधिक बिंदु की अवधि है, और किसी भी आवधिक कक्षा के बिंदुओं के चक्र पर चक्रीय क्रम पी (एफ) पर घूर्णन कक्षा के बिंदुओं के समान है। इसके अलावा, कोई भी प्रक्षेप पथ आगे और पीछे दोनों समय में कुछ आवधिकता की ओर प्रवृत्त होता है (a- और -w सीमा प्रक्षेप पथ भिन्न हो सकते हैं)।
   2) यदि घूर्णन संख्या f अपरिमेय है, तो दो विकल्प संभव हैं:
   i) या तो f की कक्षा सघन है, ऐसी स्थिति में f की समरूपता p(f) द्वारा घूर्णन से संयुग्मित होती है। इस मामले में, f की सभी कक्षाएँ सघन हैं (क्योंकि यह अपरिमेय घूर्णन के लिए सत्य है);
   ii) या तो f में एक कैंटर इनवेरिएंट सेट C है, जो सिस्टम का एकमात्र न्यूनतम सेट है। इस मामले में, सभी प्रक्षेपवक्र आगे और पीछे दोनों समय में C की ओर प्रवृत्त होते हैं। इसके अलावा, मैपिंग एफ पी (एफ) द्वारा घूर्णन के लिए अर्धसंयुग्मित है: डिग्री 1 के कुछ मैपिंग एच के लिए, पी ओ एफ = आर पी (एफ) ओ एच

   इसके अलावा, सेट सी बिल्कुल एच के विकास बिंदुओं का सेट है; दूसरे शब्दों में, टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एच ​​सी के पूरक अंतराल को ध्वस्त कर देता है।

9. मामले की जड़ 1 मिलियन डॉलर है
10. सच तो यह है कि एक व्यक्ति के अलावा उसे कोई नहीं समझता
11. फ्रांस की विदेश नीति में...
12. यहाँ Lka ने सबसे अच्छा उत्तर दिया http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ, पेरिस के प्रोफेसर हेनरी पोंकारे ने इस विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में काम किया। 1905 में आइंस्टीन के कार्य से स्वतंत्र होकर उन्होंने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के मुख्य सिद्धांतों को सामने रखा। और उन्होंने 1904 में अपनी प्रसिद्ध परिकल्पना तैयार की, इसलिए इसे हल करने में लगभग एक शताब्दी लग गई।

    पोंकारे टोपोलॉजी के संस्थापकों में से एक थे, ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का विज्ञान जो बिना टूटने के होने वाली विकृतियों के तहत नहीं बदलते हैं। उदाहरण के लिए, एक गुब्बारे को आसानी से विभिन्न आकारों में विकृत किया जा सकता है, जैसा कि पार्क में बच्चों के लिए किया जाता है। लेकिन आपको गेंद को डोनट (या, ज्यामितीय भाषा में, टोरस) में मोड़ने के लिए काटने की आवश्यकता होगी, इसके अलावा कोई अन्य तरीका नहीं है; और इसके विपरीत: एक रबर डोनट लें और इसे एक गोले में बदलने का प्रयास करें। हालाँकि, यह अभी भी काम नहीं करेगा. उनके टोपोलॉजिकल गुणों के अनुसार, एक गोले और एक टोरस की सतहें असंगत या गैर-होमियोमोर्फिक होती हैं। लेकिन इसके विपरीत, बिना छेद वाली कोई भी सतह (बंद सतह) होमियोमॉर्फिक होती है और विकृत होने और एक गोले में बदलने में सक्षम होती है।

    यदि 19वीं शताब्दी में गोले और टोरस की द्वि-आयामी सतहों के बारे में सब कुछ तय कर लिया गया था, तो अधिक बहुआयामी मामलों के लिए इसमें अधिक समय लगा। यह, वास्तव में, पोंकारे अनुमान का सार है, जो पैटर्न को बहुआयामी मामलों तक विस्तारित करता है। थोड़ा सरल करते हुए, पोंकारे अनुमान कहता है: प्रत्येक बस जुड़ा हुआ बंद एन-आयामी मैनिफोल्ड एक एन-आयामी क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है। यह हास्यास्पद है कि त्रि-आयामी सतहों वाला विकल्प सबसे कठिन निकला। 1960 में, आयाम 5 और उच्चतर के लिए, 1981 में n=4 के लिए परिकल्पना सिद्ध की गई थी। बाधा बिल्कुल त्रि-आयामी थी।

    1980 के दशक में प्रस्तावित विलियम ट्रस्टन और रिचर्ड हैमिल्टन के विचारों को विकसित करते हुए, ग्रिगोरी पेरेलमैन ने त्रि-आयामी सतहों पर सुचारू विकास का एक विशेष समीकरण लागू किया। और वह यह दिखाने में सक्षम था कि मूल त्रि-आयामी सतह (यदि इसमें कोई असंतोष नहीं है) आवश्यक रूप से एक त्रि-आयामी क्षेत्र में विकसित होगी (यह एक चार-आयामी गेंद की सतह है, और यह 4-आयामी में मौजूद है) अंतरिक्ष)। कई विशेषज्ञों के अनुसार, यह एक नई पीढ़ी का विचार था, जिसके समाधान से गणितीय विज्ञान के लिए नए क्षितिज खुलते हैं।

    यह दिलचस्प है कि किसी कारण से पेरेलमैन ने स्वयं अपने निर्णय को अंतिम परिणाम तक लाने की जहमत नहीं उठाई। नवंबर 2002 में रिक्की प्रवाह और उसके ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए प्रीप्रिंट द एन्ट्रापी फॉर्मूला में संपूर्ण समाधान का वर्णन करने के बाद, मार्च 2003 में उन्होंने प्रमाण को पूरक किया और इसे प्रीप्रिंट रिक्की प्रवाह में तीन गुना सर्जरी के साथ प्रस्तुत किया, और रिपोर्ट भी की। श्रृंखलाबद्ध व्याख्यानों की पद्धति पर जो उन्होंने 2003 में कई विश्वविद्यालयों के निमंत्रण पर दिया था। किसी भी समीक्षक को उनके द्वारा प्रस्तावित संस्करण में त्रुटियां नहीं मिलीं, लेकिन पेरेलमैन ने एक सहकर्मी-समीक्षित वैज्ञानिक प्रकाशन में कोई प्रकाशन प्रकाशित नहीं किया (जो, विशेष रूप से, क्ले गणितीय संस्थान पुरस्कार प्राप्त करने के लिए एक आवश्यक शर्त थी)। लेकिन 2006 में, उनकी पद्धति के आधार पर, प्रमाणों का एक पूरा सेट जारी किया गया, जिसमें अमेरिकी और चीनी गणितज्ञों ने समस्या की विस्तार से और पूरी तरह से जांच की, पेरेलमैन द्वारा छोड़े गए बिंदुओं को पूरक किया, और पोंकारे अनुमान का अंतिम प्रमाण दिया।

14. सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान में कहा गया है कि:
    किसी भी n के लिए, आयाम n का कोई भी मैनिफोल्ड, आयाम n के एक गोले के समतुल्य समरूप है यदि और केवल यदि यह उसके लिए समरूप है।
    मूल पोंकारे अनुमान n = 3 के लिए सामान्यीकृत अनुमान का एक विशेष मामला है।
    स्पष्टीकरण के लिए, मशरूम लेने के लिए जंगल में जाएँ, ग्रिगोरी पेरेलमैन वहाँ जाते हैं)
15. पोंकारे का रिटर्न प्रमेय एर्गोडिक सिद्धांत के मूल प्रमेयों में से एक है। इसका सार यह है कि अंतरिक्ष के माप-संरक्षण मानचित्रण के साथ, लगभग हर बिंदु अपने प्रारंभिक पड़ोस में वापस आ जाएगा। प्रमेय का पूर्ण सूत्रीकरण इस प्रकार है: 1:
    परिमित माप के साथ किसी स्थान का माप-संरक्षण परिवर्तन होने दें, और मापने योग्य सेट होने दें। फिर किसी भी प्राकृतिक के लिए
    .
    इस प्रमेय का एक अप्रत्याशित परिणाम है: यह पता चलता है कि यदि एक विभाजन द्वारा दो डिब्बों में विभाजित बर्तन में, जिनमें से एक गैस से भरा है और दूसरा खाली है, विभाजन हटा दिया जाता है, तो कुछ समय बाद सभी गैस अणु निकल जाएंगे फिर से बर्तन के मूल भाग में एकत्रित हो जाएँ। इस विरोधाभास का समाधान यह है कि कुछ समय अरबों वर्षों के क्रम पर होता है।
16. उसके पास कोरिया में मारे गए कुत्तों जैसे प्रमेय हैं...

    ब्रह्माण्ड गोलाकार है... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _हेनरी

    कल वैज्ञानिकों ने घोषणा की कि ब्रह्मांड एक जमे हुए पदार्थ है... और इसे साबित करने के लिए बहुत सारे पैसे मांगे... फिर से मेरिकोज़ प्रिंटिंग प्रेस चालू करेंगे... एगहेड्स के मनोरंजन के लिए...

17. यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि शून्य गुरुत्वाकर्षण में कहाँ ऊपर और नीचे है।
18. कल कल्चर पर एक अद्भुत फिल्म आई थी, जिसमें इस समस्या को विस्तार से बताया गया था। शायद यह अभी भी उनके पास है?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    यांडेक्स में लॉग इन करें और पेरेलमैन के बारे में फिल्म लिखें और फिल्म पर जाएं

ग्रिगोरी पेरेलमैन. रिफ्यूज़निक

वसीली मक्सिमोव

अगस्त 2006 में, ग्रह पर सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों के नामों की घोषणा की गई, जिन्होंने प्रतिष्ठित फील्ड्स मेडल प्राप्त किया - नोबेल पुरस्कार का एक प्रकार, जो अल्फ्रेड नोबेल की इच्छा से गणितज्ञों से वंचित था। फील्ड्स मेडल - सम्मान बैज के अलावा, विजेताओं को पंद्रह हजार कनाडाई डॉलर का चेक दिया जाता है - हर चार साल में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस द्वारा प्रदान किया जाता है। इसकी स्थापना कनाडाई वैज्ञानिक जॉन चार्ल्स फील्ड्स द्वारा की गई थी और इसे पहली बार 1936 में प्रदान किया गया था। 1950 से, गणितीय विज्ञान के विकास में उनके योगदान के लिए फील्ड्स मेडल को स्पेन के राजा द्वारा व्यक्तिगत रूप से नियमित रूप से सम्मानित किया जाता रहा है। पुरस्कार विजेता चालीस वर्ष से कम आयु के एक से चार वैज्ञानिक हो सकते हैं। आठ रूसियों सहित 44 गणितज्ञों को पहले ही पुरस्कार मिल चुका है।

ग्रिगोरी पेरेलमैन. हेनरी पोंकारे.

2006 में, पुरस्कार विजेताओं में फ्रांसीसी वेंडेलिन वर्नर, ऑस्ट्रेलियाई टेरेंस ताओ और दो रूसी - संयुक्त राज्य अमेरिका में कार्यरत एंड्री ओकुनकोव और सेंट पीटर्सबर्ग के एक वैज्ञानिक ग्रिगोरी पेरेलमैन थे। हालाँकि, आखिरी क्षण में यह ज्ञात हो गया कि पेरेलमैन ने इस प्रतिष्ठित पुरस्कार से इनकार कर दिया - जैसा कि आयोजकों ने घोषणा की, "सैद्धांतिक कारणों से।"

रूसी गणितज्ञ का ऐसा असाधारण कृत्य उन लोगों के लिए आश्चर्य की बात नहीं थी जो उसे जानते थे। यह पहली बार नहीं है कि उन्होंने गणितीय पुरस्कारों से इनकार किया है, अपने फैसले को समझाते हुए उन्होंने कहा कि उन्हें औपचारिक कार्यक्रम और अपने नाम के आसपास अनावश्यक प्रचार पसंद नहीं है। दस साल पहले, 1996 में, पेरेलमैन ने यूरोपीय गणितीय कांग्रेस पुरस्कार से इनकार कर दिया था, इस तथ्य का हवाला देते हुए कि उन्होंने पुरस्कार के लिए नामांकित वैज्ञानिक समस्या पर काम पूरा नहीं किया था, और यह आखिरी मामला नहीं था। रूसी गणितज्ञ ने जनता की राय और वैज्ञानिक समुदाय के विरुद्ध जाकर, लोगों को आश्चर्यचकित करना अपने जीवन का लक्ष्य बना लिया था।

ग्रिगोरी याकोवलेविच पेरेलमैन का जन्म 13 जून 1966 को लेनिनग्राद में हुआ था। छोटी उम्र से ही उन्हें सटीक विज्ञान का शौक था, उन्होंने गणित के गहन अध्ययन के साथ प्रसिद्ध 239वें माध्यमिक विद्यालय से शानदार ढंग से स्नातक की उपाधि प्राप्त की, कई गणितीय ओलंपियाड जीते: उदाहरण के लिए, 1982 में, सोवियत स्कूली बच्चों की एक टीम के हिस्से के रूप में, उन्होंने भाग लिया बुडापेस्ट में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में। परीक्षा के बिना, पेरेलमैन को लेनिनग्राद विश्वविद्यालय में यांत्रिकी और गणित संकाय में नामांकित किया गया, जहां उन्होंने उत्कृष्ट अंकों के साथ अध्ययन किया, और सभी स्तरों पर गणितीय प्रतियोगिताएं जीतना जारी रखा। विश्वविद्यालय से सम्मान के साथ स्नातक होने के बाद, उन्होंने स्टेक्लोव गणितीय संस्थान की सेंट पीटर्सबर्ग शाखा में स्नातक विद्यालय में प्रवेश लिया। उनके वैज्ञानिक पर्यवेक्षक प्रसिद्ध गणितज्ञ शिक्षाविद अलेक्जेंड्रोव थे। अपनी पीएचडी थीसिस का बचाव करने के बाद, ग्रिगोरी पेरेलमैन ज्यामिति और टोपोलॉजी की प्रयोगशाला में संस्थान में बने रहे। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के सिद्धांत पर उनका काम ज्ञात है; वह कई महत्वपूर्ण अनुमानों के लिए साक्ष्य खोजने में सक्षम थे। प्रमुख पश्चिमी विश्वविद्यालयों से कई प्रस्तावों के बावजूद, पेरेलमैन रूस में काम करना पसंद करते हैं।

उनकी सबसे उल्लेखनीय सफलता 2002 में प्रसिद्ध पोंकारे अनुमान का समाधान था, जो 1904 में प्रकाशित हुआ था और तब से अप्रमाणित है। पेरेलमैन ने इस पर आठ साल तक काम किया। पोंकारे अनुमान को सबसे महान गणितीय रहस्यों में से एक माना जाता था, और इसके समाधान को गणितीय विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि माना जाता था: यह ब्रह्मांड की भौतिक और गणितीय नींव की समस्याओं में अनुसंधान को तुरंत आगे बढ़ाएगा। ग्रह पर सबसे प्रमुख दिमागों ने केवल कुछ दशकों में इसके समाधान की भविष्यवाणी की थी, और कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स ने, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए, सहस्राब्दी की सात सबसे दिलचस्प अनसुलझी गणितीय समस्याओं में पोंकारे समस्या को शामिल किया था। एक मिलियन डॉलर के पुरस्कार का वादा किया गया था (मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं)।

फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे (1854-1912) का अनुमान (जिसे कभी-कभी समस्या भी कहा जाता है) इस प्रकार तैयार किया गया है: कोई भी बंद बस जुड़ा हुआ त्रि-आयामी स्थान त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है। स्पष्ट करने के लिए, एक स्पष्ट उदाहरण का उपयोग करें: यदि आप एक सेब को रबर बैंड से लपेटते हैं, तो, सिद्धांत रूप में, टेप को कस कर, आप सेब को एक बिंदु में संपीड़ित कर सकते हैं। यदि आप डोनट को उसी टेप से लपेटते हैं, तो आप डोनट या रबर को फाड़े बिना इसे एक बिंदु तक संपीड़ित नहीं कर सकते। इस संदर्भ में, एक सेब को "सिम्पली कनेक्टेड" आकृति कहा जाता है, लेकिन डोनट को केवल कनेक्टेड नहीं कहा जाता है। लगभग सौ साल पहले, पोंकारे ने स्थापित किया कि एक द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है, और सुझाव दिया कि एक त्रि-आयामी क्षेत्र भी बस जुड़ा हुआ है। विश्व के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इस परिकल्पना को सिद्ध नहीं कर सके।

क्ले इंस्टीट्यूट पुरस्कार के लिए अर्हता प्राप्त करने के लिए, पेरेलमैन को केवल वैज्ञानिक पत्रिकाओं में से एक में अपना समाधान प्रकाशित करना था, और यदि दो साल के भीतर कोई भी उसकी गणना में त्रुटि नहीं ढूंढ सका, तो समाधान सही माना जाएगा। हालाँकि, पेरेलमैन ने शुरू से ही नियमों से विचलन किया और लॉस एलामोस वैज्ञानिक प्रयोगशाला की प्रीप्रिंट वेबसाइट पर अपना निर्णय प्रकाशित किया। शायद उसे डर था कि उसकी गणना में कोई त्रुटि आ गई है - ऐसी ही कहानी गणित में पहले भी हो चुकी है। 1994 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने फ़र्मेट के प्रसिद्ध प्रमेय का एक समाधान प्रस्तावित किया, और कुछ महीनों बाद यह पता चला कि उनकी गणना में एक त्रुटि आ गई थी (हालाँकि इसे बाद में ठीक कर लिया गया था, और सनसनी अभी भी बनी हुई थी)। पोंकारे अनुमान के प्रमाण का अभी भी कोई आधिकारिक प्रकाशन नहीं है, लेकिन पेरेलमैन की गणना की शुद्धता की पुष्टि करने वाले ग्रह पर सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों की एक आधिकारिक राय है।

पोंकारे समस्या को हल करने के लिए ग्रिगोरी पेरेलमैन को फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। लेकिन रूसी वैज्ञानिक ने उस पुरस्कार से इनकार कर दिया, जिसके वह निस्संदेह हकदार थे। वर्ल्ड यूनियन ऑफ मैथेमेटिशियंस (डब्ल्यूयूएम) के अध्यक्ष अंग्रेज जॉन बॉल ने एक संवाददाता सम्मेलन में कहा, "ग्रेगरी ने मुझे बताया कि वह इस समुदाय के बाहर, अंतरराष्ट्रीय गणितीय समुदाय से अलग-थलग महसूस करते हैं और इसलिए पुरस्कार प्राप्त नहीं करना चाहते हैं।" मैड्रिड.

ऐसी अफवाहें हैं कि ग्रिगोरी पेरेलमैन पूरी तरह से विज्ञान छोड़ने जा रहे हैं: छह महीने पहले उन्होंने अपने मूल स्टेक्लोव गणितीय संस्थान से इस्तीफा दे दिया था, और वे कहते हैं कि वह अब गणित का अध्ययन नहीं करेंगे। शायद रूसी वैज्ञानिक का मानना ​​है कि प्रसिद्ध परिकल्पना को सिद्ध करके उन्होंने विज्ञान के लिए वह सब कुछ किया है जो वह कर सकते थे। लेकिन ऐसे प्रतिभाशाली वैज्ञानिक और असाधारण व्यक्ति के विचार की प्रक्रिया पर चर्चा कौन करेगा?.. पेरेलमैन ने किसी भी टिप्पणी से इनकार कर दिया, और उन्होंने द डेली टेलीग्राफ अखबार से कहा: "मैं जो कुछ भी कह सकता हूं वह थोड़ा सा भी सार्वजनिक हित का नहीं है।" हालाँकि, प्रमुख वैज्ञानिक प्रकाशन अपने आकलन में एकमत थे जब उन्होंने बताया कि "ग्रिगोरी पेरेलमैन, पोंकारे प्रमेय को हल करने के बाद, अतीत और वर्तमान की महानतम प्रतिभाओं के बराबर खड़े थे।"

मासिक साहित्यिक एवं पत्रकारीय पत्रिका एवं प्रकाशन गृह।

वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि 38 वर्षीय रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन ने पोंकारे समस्या का सही समाधान प्रस्तावित किया था। स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी में गणित के प्रोफेसर कीथ डेवलिन ने एक्सेटर (यूके) में विज्ञान महोत्सव में यह बात कही।

पोंकारे की समस्या (जिसे समस्या या परिकल्पना भी कहा जाता है) सात सबसे महत्वपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक है, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए उन्होंने एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार दिया। गणितीय भौतिकी की प्रयोगशाला के एक कर्मचारी ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा प्राप्त परिणामों पर इतना व्यापक ध्यान आकर्षित किया गया।

दुनिया भर के वैज्ञानिकों ने लॉस एलामोस वैज्ञानिक प्रयोगशाला के प्रारंभिक कार्यों के संग्रह की वेबसाइट पर नवंबर 2002 और मार्च 2003 में लेखक द्वारा पोस्ट किए गए दो प्रीप्रिंट (एक पूर्ण वैज्ञानिक प्रकाशन से पहले के लेख) से पेरेलमैन की उपलब्धियों के बारे में सीखा।

क्ले इंस्टीट्यूट के वैज्ञानिक सलाहकार बोर्ड द्वारा अपनाए गए नियमों के अनुसार, एक नई परिकल्पना को "अंतर्राष्ट्रीय प्रतिष्ठा" की एक विशेष पत्रिका में प्रकाशित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, संस्थान के नियमों के अनुसार, पुरस्कार का भुगतान करने का निर्णय अंततः "गणितीय समुदाय" द्वारा किया जाता है: प्रकाशन के बाद दो साल के भीतर प्रमाण का खंडन नहीं किया जाना चाहिए। प्रत्येक प्रमाण की जाँच विश्व के विभिन्न देशों में गणितज्ञों द्वारा की जाती है।

पोंकारे समस्या

13 जून 1966 को लेनिनग्राद में कर्मचारियों के एक परिवार में जन्म। उन्होंने गणित के गहन अध्ययन के साथ प्रसिद्ध माध्यमिक विद्यालय संख्या 239 से स्नातक की उपाधि प्राप्त की। 1982 में, सोवियत स्कूली बच्चों की एक टीम के हिस्से के रूप में, उन्होंने बुडापेस्ट में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में भाग लिया। उन्हें बिना परीक्षा के लेनिनग्राद स्टेट यूनिवर्सिटी में गणित और यांत्रिकी में नामांकित किया गया था। उन्होंने संकाय, शहर और अखिल-संघ छात्र गणितीय ओलंपियाड जीते। लेनिन छात्रवृत्ति प्राप्त की। विश्वविद्यालय से स्नातक होने के बाद, पेरेलमैन ने स्टेक्लोव गणितीय संस्थान की सेंट पीटर्सबर्ग शाखा में स्नातक विद्यालय में प्रवेश किया। भौतिक एवं गणितीय विज्ञान के अभ्यर्थी। गणितीय भौतिकी की प्रयोगशाला में काम करता है।

पोंकारे की समस्या मैनिफोल्ड्स की तथाकथित टोपोलॉजी के क्षेत्र से संबंधित है - एक विशेष तरीके से व्यवस्थित रिक्त स्थान जिनके विभिन्न आयाम हैं। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी पिंडों की सतह के उदाहरण का उपयोग करके द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स की कल्पना की जा सकती है - एक गोला (एक गेंद की सतह) या एक टोरस (डोनट की सतह)।

यह कल्पना करना आसान है कि यदि कोई गुब्बारा विकृत (मुड़ा हुआ, मुड़ा हुआ, खींचा हुआ, दबा हुआ, पिचका हुआ, फूला हुआ या फूला हुआ) हो तो उसका क्या होगा। यह स्पष्ट है कि उपरोक्त सभी विकृतियों के साथ, गेंद एक विस्तृत श्रृंखला में अपना आकार बदल लेगी। हालाँकि, हम कभी भी किसी गेंद को उसकी सतह की निरंतरता को तोड़े बिना, यानी उसे तोड़े बिना, डोनट (या इसके विपरीत) में नहीं बदल पाएंगे। इस मामले में, टोपोलॉजिस्ट कहते हैं कि गोला (गेंद) टोरस (डोनट) के लिए गैर-होमियोमोर्फिक है। इसका मतलब यह है कि इन सतहों को एक-दूसरे से मैप नहीं किया जा सकता है। सरल शब्दों में, एक गोला और एक टोरस अपने टोपोलॉजिकल गुणों में भिन्न होते हैं। और एक गुब्बारे की सतह, अपनी सभी संभावित विकृतियों के तहत, एक गोले के लिए समरूप होती है, जैसे एक लाइफबॉय की सतह एक टोरस के लिए होती है। दूसरे शब्दों में, कोई भी बंद द्वि-आयामी सतह जिसमें छेद नहीं होता है, उसमें द्वि-आयामी क्षेत्र के समान टोपोलॉजिकल गुण होते हैं।

टोपोलॉजी, गणित की एक शाखा जो आकृतियों (या रिक्त स्थान) के गुणों के अध्ययन से संबंधित है जो निरंतर विकृतियों, जैसे खिंचाव, संपीड़न या झुकने के तहत संरक्षित होती हैं। निरंतर विरूपण एक आकृति का विरूपण है जिसमें कोई टूटना नहीं है (यानी, आकृति की अखंडता का उल्लंघन) या ग्लूइंग (यानी, इसके बिंदुओं की पहचान)।
एक ज्यामितीय आकृति का दूसरे में टोपोलॉजिकल परिवर्तन, पहली आकृति के एक मनमाने बिंदु P से दूसरी आकृति के बिंदु P' का मानचित्रण है, जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: 1) पहली आकृति का प्रत्येक बिंदु P एक और केवल एक के अनुरूप होना चाहिए दूसरी आकृति का बिंदु P', और इसके विपरीत; 2) मानचित्रण परस्पर सतत होना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक ही आकृति से संबंधित दो बिंदु P और N हैं। यदि, जब बिंदु P बिंदु N पर जाता है, तो उनके बीच की दूरी शून्य हो जाती है, तो किसी अन्य आकृति के बिंदु P' और N' के बीच की दूरी भी शून्य होनी चाहिए, और इसके विपरीत।
समरूपता। ज्यामितीय आकृतियाँ जो टोपोलॉजिकल परिवर्तनों के दौरान एक दूसरे में बदल जाती हैं, होमियोमोर्फिक कहलाती हैं। किसी वर्ग का वृत्त और सीमा समरूपी होती है, क्योंकि उन्हें टोपोलॉजिकल परिवर्तन द्वारा एक-दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है (अर्थात, बिना टूटे या चिपके हुए झुकना और खींचना, उदाहरण के लिए, एक वर्ग की सीमा को उसके चारों ओर परिचालित वृत्त तक खींचना) . ऐसा क्षेत्र जिसमें किसी भी बंद सरल (अर्थात, एक वृत्त के समरूपी) वक्र को इस क्षेत्र में हर समय रहते हुए एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है, बस जुड़ा हुआ कहा जाता है, और क्षेत्र की संबंधित संपत्ति बस जुड़ी हुई है। यदि इस क्षेत्र के कुछ बंद सरल वक्र को इस क्षेत्र में हर समय रहते हुए एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है, तो क्षेत्र को गुणा जुड़ा हुआ कहा जाता है, और क्षेत्र की संबंधित संपत्ति को गुणा जुड़ा हुआ कहा जाता है।

पोंकारे की समस्या त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स के लिए भी यही बात बताती है (गोले जैसे द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स के लिए, यह बिंदु 19वीं शताब्दी में सिद्ध हो चुका था)। जैसा कि फ्रांसीसी गणितज्ञ ने उल्लेख किया है, द्वि-आयामी गोले के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक यह है कि उस पर पड़े किसी भी बंद लूप (उदाहरण के लिए, एक लैस्सो) को सतह को छोड़े बिना एक बिंदु पर खींचा जा सकता है। टोरस के लिए, यह हमेशा सत्य नहीं होता है: इसके छेद से गुजरने वाला लूप एक बिंदु तक खींचा जाएगा जब टोरस टूट जाएगा, या जब लूप स्वयं टूट जाएगा। 1904 में, पोंकारे ने प्रस्तावित किया कि यदि एक लूप एक बंद त्रि-आयामी सतह पर एक बिंदु पर सिकुड़ सकता है, तो ऐसी सतह त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है। इस परिकल्पना को सिद्ध करना अत्यंत कठिन कार्य सिद्ध हुआ।

आइए हम तुरंत स्पष्ट करें: जिस पोंकारे समस्या का हमने उल्लेख किया है वह त्रि-आयामी गेंद के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करता है, जिसे हम बिना किसी कठिनाई के कल्पना कर सकते हैं, लेकिन एक त्रि-आयामी क्षेत्र के बारे में, यानी चार की सतह के बारे में -आयामी गेंद, जिसकी कल्पना करना कहीं अधिक कठिन है। लेकिन 1950 के दशक के उत्तरार्ध में, यह अचानक स्पष्ट हो गया कि तीन- और चार-आयामी मैनिफ़ोल्ड की तुलना में उच्च-आयामी मैनिफ़ोल्ड के साथ काम करना बहुत आसान था। जाहिर है, स्पष्टता की कमी उस मुख्य कठिनाई से दूर है जिसका सामना गणितज्ञों को अपने शोध में करना पड़ता है।

5 और उससे अधिक आयामों के लिए पोंकारे के समान एक समस्या को 1960 में स्टीफन स्माले, जॉन स्टालिंग्स और एंड्रयू वालेस द्वारा हल किया गया था। हालाँकि, इन वैज्ञानिकों द्वारा उपयोग किए गए दृष्टिकोण चार-आयामी मैनिफोल्ड्स के लिए अनुपयुक्त साबित हुए। उनके लिए, पोंकारे समस्या केवल 1981 में माइकल फ्रीडमैन द्वारा सिद्ध की गई थी। त्रि-आयामी मामला सबसे कठिन निकला; ग्रिगोरी पेरेलमैन अपना समाधान प्रस्तावित करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पेरेलमैन का एक प्रतिद्वंद्वी है। अप्रैल 2002 में, ब्रिटिश यूनिवर्सिटी ऑफ साउथेम्प्टन में गणित के प्रोफेसर मार्टिन डनवुडी ने पोंकारे समस्या को हल करने के लिए अपनी विधि प्रस्तावित की और अब क्ले इंस्टीट्यूट के फैसले का इंतजार कर रहे हैं।

विशेषज्ञों का मानना ​​है कि पोंकारे समस्या को हल करने से जटिल त्रि-आयामी वस्तुओं में भौतिक प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में एक गंभीर कदम उठाना संभव हो जाएगा और कंप्यूटर टोपोलॉजी के विकास को नई गति मिलेगी। ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा प्रस्तावित विधि से ज्यामिति और टोपोलॉजी में एक नई दिशा खुलेगी। सेंट पीटर्सबर्ग के गणितज्ञ फील्ड्स पुरस्कार (नोबेल पुरस्कार के अनुरूप, जो गणित में नहीं दिया जाता है) के लिए अर्हता प्राप्त कर सकते हैं।

इस बीच, कुछ लोगों को ग्रिगोरी पेरेलमैन का व्यवहार अजीब लगता है। यहाँ ब्रिटिश अखबार द गार्जियन लिखता है: "सबसे अधिक संभावना है, पोंकारे समस्या को हल करने के लिए पेरेलमैन का दृष्टिकोण सही है। लेकिन सब कुछ इतना सरल नहीं है कि पेरेलमैन इस बात का सबूत नहीं देता है कि काम एक पूर्ण वैज्ञानिक प्रकाशन (प्रीप्रिंट) के रूप में प्रकाशित हुआ था ऐसा नहीं माना जाता है) और यह आवश्यक है यदि कोई व्यक्ति क्ले इंस्टीट्यूट से पुरस्कार प्राप्त करना चाहता है, तो उसे पैसे में कोई दिलचस्पी नहीं है।"

जाहिर है, ग्रिगोरी पेरेलमैन के लिए, एक वास्तविक वैज्ञानिक की तरह, पैसा मुख्य चीज नहीं है। तथाकथित "सहस्राब्दी समस्याओं" में से किसी को हल करने के लिए, एक सच्चा गणितज्ञ अपनी आत्मा शैतान को बेच देगा।

सहस्राब्दी सूची

8 अगस्त, 1900 को, पेरिस में गणित की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने उन समस्याओं की एक सूची की रूपरेखा तैयार की, जिनके बारे में उनका मानना ​​था कि उन्हें बीसवीं सदी में हल करना होगा। सूची में 23 आइटम थे। उनमें से अब तक इक्कीस का समाधान किया जा चुका है। हिल्बर्ट की सूची में हल की जाने वाली आखिरी समस्या फ़र्मेट की प्रसिद्ध प्रमेय थी, जिसे वैज्ञानिक 358 वर्षों से हल करने में असमर्थ थे। 1994 में, ब्रिटान एंड्रयू विल्स ने अपना समाधान प्रस्तावित किया। यह सच निकला।

गिल्बर्ट के उदाहरण का अनुसरण करते हुए, पिछली सदी के अंत में, कई गणितज्ञों ने 21वीं सदी के लिए समान रणनीतिक कार्य तैयार करने का प्रयास किया। इनमें से एक सूची बोस्टन के अरबपति लैंडन टी. क्ले की बदौलत व्यापक रूप से प्रसिद्ध हुई। 1998 में, उनके धन से, आधुनिक गणित की कई सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने के लिए कैम्ब्रिज (मैसाचुसेट्स, यूएसए) में पुरस्कारों की स्थापना और स्थापना की गई। 24 मई 2000 को, संस्थान के विशेषज्ञों ने सात समस्याओं का चयन किया - पुरस्कार के लिए आवंटित लाखों डॉलर की संख्या के अनुसार। सूची को मिलेनियम पुरस्कार समस्याएँ कहा जाता है:

1. कुक की समस्या (1971 में तैयार)

मान लीजिए कि आप, एक बड़ी कंपनी में होने के नाते, यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि आपका मित्र भी वहाँ हो। यदि वे आपको बताते हैं कि वह कोने में बैठा है, तो आपके लिए एक नज़र डालने और जानकारी की सच्चाई के बारे में आश्वस्त होने के लिए एक सेकंड का विभाजन पर्याप्त होगा। इस जानकारी के बिना, आप मेहमानों को देखते हुए, पूरे कमरे में घूमने के लिए मजबूर होंगे। इससे पता चलता है कि किसी समस्या को हल करने में अक्सर समाधान की शुद्धता की जांच करने में अधिक समय लगता है।

स्टीफ़न कुक ने समस्या तैयार की: क्या किसी समस्या के समाधान की शुद्धता की जाँच करने में सत्यापन एल्गोरिदम की परवाह किए बिना, स्वयं समाधान प्राप्त करने से अधिक समय लग सकता है। यह समस्या भी तर्क और कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र की अनसुलझी समस्याओं में से एक है। इसका समाधान डेटा ट्रांसमिशन और भंडारण में उपयोग की जाने वाली क्रिप्टोग्राफी के बुनियादी सिद्धांतों में क्रांतिकारी बदलाव ला सकता है।

2. रीमैन परिकल्पना (1859 में तैयार)

कुछ पूर्णांकों को दो छोटे पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जैसे 2, 3, 5, 7, इत्यादि। ऐसी संख्याओं को अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है और ये शुद्ध गणित और उसके अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। सभी प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के बीच अभाज्य संख्याओं का वितरण किसी भी पैटर्न का पालन नहीं करता है। हालाँकि, जर्मन गणितज्ञ रीमैन ने अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम के गुणों के संबंध में एक अनुमान लगाया। यदि रीमैन परिकल्पना सिद्ध हो जाती है, तो इससे एन्क्रिप्शन के बारे में हमारे ज्ञान में क्रांतिकारी बदलाव आएगा और इंटरनेट सुरक्षा में अभूतपूर्व सफलता मिलेगी।

3. बिर्च और स्विनर्टन-डायर परिकल्पना (1960 में तैयार)

पूर्णांक गुणांक वाले कई चरों में कुछ बीजगणितीय समीकरणों के समाधान के सेट के विवरण से संबद्ध। ऐसे समीकरण का एक उदाहरण अभिव्यक्ति x 2 + y 2 = z 2 है। यूक्लिड ने इस समीकरण के समाधानों का पूरा विवरण दिया, लेकिन अधिक जटिल समीकरणों के लिए समाधान ढूंढना बेहद कठिन हो जाता है।

4. हॉज की परिकल्पना (1941 में तैयार)

20वीं सदी में, गणितज्ञों ने जटिल वस्तुओं के आकार का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली विधि की खोज की। मुख्य विचार वस्तु के स्थान पर सरल "ईंटों" का उपयोग करना है, जो एक साथ चिपकी होती हैं और उसकी समानता बनाती हैं। हॉज की परिकल्पना ऐसी "ईंटों" और वस्तुओं के गुणों के संबंध में कुछ धारणाओं से जुड़ी है।

5. नेवियर-स्टोक्स समीकरण (1822 में तैयार)

यदि आप झील में नाव में उड़ते हैं, तो लहरें उठेंगी, और यदि आप हवाई जहाज में उड़ते हैं, तो हवा में अशांत धाराएँ उत्पन्न होंगी। यह माना जाता है कि इन और अन्य घटनाओं का वर्णन नेवियर-स्टोक्स समीकरण नामक समीकरणों द्वारा किया जाता है। इन समीकरणों के समाधान अज्ञात हैं, और यह भी ज्ञात नहीं है कि इन्हें कैसे हल किया जाए। यह दिखाना आवश्यक है कि एक समाधान मौजूद है और यह पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य है। इस समस्या को हल करने से जलविद्युत और वायुगतिकीय गणना करने के तरीकों में महत्वपूर्ण बदलाव आएगा।

6. पोंकारे समस्या (1904 में तैयार)

यदि आप एक सेब के ऊपर रबर बैंड खींचते हैं, तो आप बैंड को सतह से उठाए बिना धीरे-धीरे घुमाकर, इसे एक बिंदु तक संपीड़ित कर सकते हैं। दूसरी ओर, यदि उसी रबर बैंड को डोनट के चारों ओर उपयुक्त रूप से फैलाया जाता है, तो टेप को फाड़े बिना या डोनट को तोड़े बिना बैंड को एक बिंदु तक संपीड़ित करने का कोई तरीका नहीं है। वे कहते हैं कि सेब की सतह बस जुड़ी हुई है, लेकिन डोनट की सतह जुड़ी हुई नहीं है। यह साबित करना इतना कठिन हो गया कि केवल गोला ही जुड़ा हुआ है कि गणितज्ञ अभी भी सही उत्तर की तलाश में हैं।

7. यांग-मिल्स समीकरण (1954 में तैयार)

क्वांटम भौतिकी के समीकरण प्राथमिक कणों की दुनिया का वर्णन करते हैं। भौतिक विज्ञानी यंग और मिल्स ने ज्यामिति और कण भौतिकी के बीच संबंध की खोज की और अपने समीकरण लिखे। इस प्रकार, उन्होंने विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और मजबूत इंटरैक्शन के सिद्धांतों को एकजुट करने का एक तरीका ढूंढ लिया। यांग-मिल्स समीकरण उन कणों के अस्तित्व को दर्शाता है जो वास्तव में दुनिया भर की प्रयोगशालाओं में देखे गए थे, इसलिए यांग-मिल्स सिद्धांत को अधिकांश भौतिकविदों द्वारा इस तथ्य के बावजूद स्वीकार किया जाता है कि इस सिद्धांत के ढांचे के भीतर भविष्यवाणी करना अभी भी संभव नहीं है। प्राथमिक कणों का द्रव्यमान.

मिखाइल विटेब्स्की

"जो समस्या थी उसका समाधान हो गया पेरेलमैन,महान फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा 1904 में सामने रखी गई एक परिकल्पना को सिद्ध करने की आवश्यकता है हेनरी पोंकारे(1854-1912) और उसका नाम धारण किया। गणित में पोंकारे की भूमिका के बारे में विश्वकोश से बेहतर कहना मुश्किल है: "गणित के क्षेत्र में पोंकारे के कार्य, एक ओर, शास्त्रीय दिशा को पूरा करते हैं, और दूसरी ओर, विकास का रास्ता खोलते हैं नए गणित का, जहां, मात्रात्मक संबंधों के साथ-साथ, गुणात्मक चरित्र वाले तथ्य स्थापित किए जाते हैं" (टीएसबी, तीसरा संस्करण, खंड 2)। पोंकारे अनुमान वास्तव में गुणात्मक प्रकृति का है - गणित के पूरे क्षेत्र की तरह (अर्थात् टोपोलॉजी) जिससे यह संबंधित है और जिसके निर्माण में पोंकारे ने निर्णायक भूमिका निभाई थी।

आधुनिक भाषा में, पोंकारे अनुमान इस तरह लगता है: सीमा के बिना प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड एक त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है।

निम्नलिखित पैराग्राफ में हम कम से कम आंशिक रूप से और बहुत मोटे तौर पर इस भयानक मौखिक सूत्र का अर्थ समझाने की कोशिश करेंगे। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि एक साधारण गोला, जो एक साधारण गेंद की सतह है, द्वि-आयामी है (और गेंद स्वयं त्रि-आयामी है)। एक द्वि-आयामी क्षेत्र में त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी बिंदु शामिल होते हैं जो किसी चयनित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, जिसे केंद्र कहा जाता है, जो क्षेत्र से संबंधित नहीं है। एक त्रि-आयामी क्षेत्र में चार-आयामी अंतरिक्ष के सभी बिंदु शामिल होते हैं जो इसके केंद्र से समान दूरी पर होते हैं (जो क्षेत्र से संबंधित नहीं है)। द्वि-आयामी क्षेत्रों के विपरीत, त्रि-आयामी क्षेत्र उपलब्ध नहीं हैहमारा प्रत्यक्ष अवलोकन, और हमारे लिए उनकी कल्पना करना उतना ही कठिन है जितना कि वसीली इवानोविच के लिए प्रसिद्ध चुटकुले से वर्ग त्रिपद की कल्पना करना था। हालाँकि, यह संभव है कि हम सभी त्रि-आयामी क्षेत्र में हैं, अर्थात हमारा ब्रह्मांड एक त्रि-आयामी क्षेत्र है।

परिणाम का यही अर्थ है पेरेलमैनभौतिकी और खगोल विज्ञान के लिए. शब्द "सिंपली कनेक्टेड कॉम्पैक्ट थ्री-डायमेंशनल मैनिफोल्ड विदाउट एज" में हमारे ब्रह्मांड के अनुमानित गुणों के संकेत शामिल हैं। "होमियोमोर्फिक" शब्द का अर्थ एक निश्चित अर्थ में, समानता की एक निश्चित उच्च डिग्री, अविभाज्यता है। संपूर्ण रूप से सूत्रीकरण का अर्थ है, इसलिए, यदि हमारे ब्रह्मांड में बिना किसी किनारे के एक सरल रूप से जुड़े कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड के सभी गुण हैं, तो यह - उसी "ज्ञात अर्थ" में - एक त्रि-आयामी क्षेत्र है।

सरलता से जुड़ाव की अवधारणा काफी सरल अवधारणा है। आइए एक रबर बैंड (अर्थात, चिपके हुए सिरों वाला रबर का धागा) की कल्पना करें जो इतना लोचदार हो कि यदि आप इसे नहीं पकड़ेंगे, तो यह एक बिंदु तक सिकुड़ जाएगा। हमें अपने इलास्टिक बैंड से यह भी आवश्यक होगा कि जब उसे एक बिंदु तक खींचा जाए, तो वह उस सतह से आगे न बढ़े जिस पर हमने उसे रखा है। यदि हम ऐसे इलास्टिक बैंड को समतल पर खींचकर छोड़ दें तो यह तुरंत एक बिंदु तक सिकुड़ जाएगा। यदि हम एक इलास्टिक बैंड को ग्लोब की सतह पर, यानी गोले पर रखें, तो भी यही होगा। लाइफबॉय की सतह के लिए, स्थिति पूरी तरह से अलग होगी: दयालु पाठक को इस सतह पर इलास्टिक की ऐसी व्यवस्था आसानी से मिल जाएगी जिसमें सतह से परे जाए बिना इलास्टिक को एक बिंदु तक खींचना असंभव है। एक ज्यामितीय आकृति को सरलता से जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि इस आकृति की सीमा के भीतर स्थित किसी भी बंद समोच्च को नामित सीमा से परे जाने के बिना एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है। हमने अभी देखा है कि समतल और गोला बस जुड़े हुए हैं, लेकिन लाइफबॉय की सतह बस जुड़ी हुई नहीं है। जिस विमान में छेद किया गया है वह भी आसानी से जुड़ा नहीं है। सरलता से जुड़ाव की अवधारणा त्रि-आयामी आकृतियों पर भी लागू होती है। इस प्रकार, एक घन और एक गेंद बस जुड़े हुए हैं: उनकी मोटाई में स्थित किसी भी बंद समोच्च को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है, और संकुचन प्रक्रिया के दौरान समोच्च हमेशा इस मोटाई में रहेगा। लेकिन बैगेल बस जुड़ा हुआ नहीं है: इसमें आप एक समोच्च पा सकते हैं जिसे एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है ताकि संकुचन की प्रक्रिया के दौरान समोच्च हमेशा बैगेल के आटे में रहे। प्रेट्ज़ेल मोनोकनेक्टेड भी नहीं है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि त्रि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है।

हम आशा करते हैं कि पाठक खंड और अंतराल के बीच के अंतर को नहीं भूले होंगे, जो स्कूल में पढ़ाया जाता है। एक खंड के दो सिरे होते हैं; इसमें ये सिरे और उनके बीच स्थित सभी बिंदु होते हैं। एक अंतराल में केवल उसके सिरों के बीच स्थित सभी बिंदु शामिल होते हैं; अंत स्वयं अंतराल में शामिल नहीं होते हैं: हम कह सकते हैं कि एक अंतराल एक खंड है जिसके सिरे हटा दिए जाते हैं, और एक खंड एक अंतराल है जिसके सिरे जोड़े जाते हैं। यह। एक अंतराल और एक खंड एक-आयामी मैनिफोल्ड के सबसे सरल उदाहरण हैं, जहां एक अंतराल बिना किनारे वाला मैनिफोल्ड है, और एक खंड एक किनारे वाला मैनिफोल्ड है; एक खंड के मामले में एक किनारे के दो सिरे होते हैं। मैनिफोल्ड्स की मुख्य संपत्ति, जो उनकी परिभाषा को रेखांकित करती है, वह यह है कि मैनिफोल्ड में सभी बिंदुओं के पड़ोस, किनारे पर बिंदुओं के अपवाद के साथ (जो मौजूद नहीं हो सकते हैं), बिल्कुल उसी तरह से व्यवस्थित होते हैं।

इस मामले में, एक बिंदु A का पड़ोस इस बिंदु A के करीब स्थित सभी बिंदुओं का संग्रह है। एक सूक्ष्म जीव बिना किसी किनारे के मैनिफोल्ड में रहता है और इस मैनिफोल्ड के केवल अपने निकटतम बिंदुओं को देखने में सक्षम नहीं है निर्धारित करें कि वह किस बिंदु पर है, अस्तित्व में है: अपने चारों ओर वह हमेशा एक ही चीज़ देखता है। बिना किनारे वाले एक-आयामी मैनिफ़ोल्ड के और भी उदाहरण: संपूर्ण सीधी रेखा, एक वृत्त। एक-आयामी आकृति का एक उदाहरण जो कई गुना नहीं है वह अक्षर टी के आकार में एक रेखा है: एक विशेष बिंदु है, जिसका पड़ोस अन्य बिंदुओं के पड़ोस के समान नहीं है - यह वह बिंदु है जहां तीन खंड मिलते हैं. एक-आयामी मैनिफोल्ड का एक अन्य उदाहरण एक आकृति-आठ रेखा है; यहां चार रेखाएं एक विशेष बिंदु पर मिलती हैं। एक समतल, एक गोला और एक लाइफबॉय की सतह बिना किनारे वाले द्वि-आयामी मैनिफ़ोल्ड के उदाहरण हैं। एक छेद वाला विमान भी कई गुना होगा - लेकिन किनारे के साथ या बिना, यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम छेद की रूपरेखा कहाँ रखते हैं। यदि हम इसे एक छेद के रूप में संदर्भित करते हैं, तो हमें बिना किनारे वाला मैनिफोल्ड मिलता है; यदि हम समोच्च को समतल पर छोड़ देते हैं, तो हमें एक किनारे के साथ कई गुना मिलता है, जो कि यह समोच्च के रूप में काम करेगा। बेशक, हमारे मन में यहां एक आदर्श गणितीय कटिंग थी, और कैंची से वास्तविक भौतिक कटिंग में, यह सवाल कि रूपरेखा कहां से संबंधित है, कोई मतलब नहीं है।

त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स के बारे में कुछ शब्द। गोला, उस गोले के साथ जो इसकी सतह के रूप में कार्य करता है, एक किनारे के साथ कई गुना है; संकेतित गोला बिल्कुल यही किनारा है। यदि हम इस गेंद को आस-पास की जगह से हटा दें तो हमें बिना किनारे वाला एक मैनिफोल्ड मिलता है। यदि हम किसी गेंद की सतह को छीलते हैं, तो हमें गणितीय शब्दजाल में "रेतयुक्त गेंद" कहा जाता है, और अधिक वैज्ञानिक भाषा में एक खुली गेंद मिलती है। यदि हम आस-पास की जगह से एक खुली गेंद को हटाते हैं, तो हमें एक किनारे के साथ कई गुना मिलता है, और किनारा वही गोला होगा जिसे हमने गेंद से फाड़ा था। बैगेल, अपनी परत के साथ, एक किनारे वाला त्रि-आयामी मैनिफोल्ड है, और यदि आप परत को फाड़ देते हैं (जिसे हम असीम रूप से पतला मानते हैं, यानी एक सतह के रूप में), तो हमें बिना किनारे वाला एक मैनिफोल्ड मिलता है "रेतयुक्त बैगेल" का रूप। समग्र रूप से संपूर्ण स्थान, यदि हम इसे वैसे समझें जैसे हाई स्कूल में समझा जाता है, तो यह बिना किसी किनारे के एक त्रि-आयामी मैनिफोल्ड है।

कॉम्पैक्टनेस की गणितीय अवधारणा आंशिक रूप से उस अर्थ को दर्शाती है जो "कॉम्पैक्ट" शब्द का रोजमर्रा के रूसी में होता है: "बंद", "संपीड़ित"। एक ज्यामितीय आकृति को संहत कहा जाता है, यदि उसके अनंत बिंदुओं की किसी व्यवस्था के लिए, वे एक ही आकृति के किसी एक बिंदु या कई बिंदुओं पर एकत्रित हो जाते हैं। एक खंड सघन होता है: खंड में इसके बिंदुओं के किसी भी अनंत सेट के लिए कम से कम एक तथाकथित सीमा बिंदु होता है, जिसके किसी भी पड़ोस में विचाराधीन सेट के अनंत रूप से कई तत्व होते हैं। एक अंतराल कॉम्पैक्ट नहीं है: आप इसके बिंदुओं का एक सेट निर्दिष्ट कर सकते हैं जो इसके अंत की ओर और केवल इसकी ओर जमा होता है - लेकिन अंत अंतराल से संबंधित नहीं है!

स्थानाभाव के कारण हम स्वयं को इस टिप्पणी तक ही सीमित रखेंगे। मान लीजिए कि हमने जिन उदाहरणों पर विचार किया है, उनमें से कॉम्पैक्ट एक खंड, एक वृत्त, एक गोला, एक बैगेल और एक प्रेट्ज़ेल की सतह, एक गेंद (इसके गोले के साथ), एक बैगेल और एक प्रेट्ज़ेल (एक साथ) हैं इसकी परतें)। इसके विपरीत, इंटरवल, प्लेन, सैंडेड बॉल, बैगेल और प्रेट्ज़ेल कॉम्पैक्ट नहीं हैं। बिना किनारे वाली त्रि-आयामी कॉम्पैक्ट ज्यामितीय आकृतियों में, सबसे सरल त्रि-आयामी क्षेत्र है, लेकिन ऐसी आकृतियाँ हमारे सामान्य "स्कूल" स्थान में फिट नहीं होती हैं। शायद उन अवधारणाओं में से सबसे गहरा जो परिकल्पना द्वारा आपस में जुड़ी हुई हैं पोंकारे, होमोमॉर्फी की अवधारणा है। होमोमॉर्फी ज्यामितीय समानता का उच्चतम स्तर है . अब हम धीरे-धीरे इस अवधारणा के करीब पहुँचकर इसकी एक अनुमानित व्याख्या देने का प्रयास करेंगे।

स्कूल की ज्यामिति में पहले से ही हम दो प्रकार की समानताओं का सामना करते हैं - आकृतियों की सर्वांगसमता और उनकी समानता। याद रखें कि आकृतियाँ सर्वांगसम कहलाती हैं यदि वे आरोपित होने पर एक-दूसरे से मेल खाती हैं। स्कूल में, सर्वांगसम आकृतियों में अंतर नहीं किया जाता, और इसलिए सर्वांगसमता को समानता कहा जाता है। सर्वांगसम आकृतियों के सभी विवरणों में समान आयाम होते हैं। समान आकार की आवश्यकता के बिना समानता का अर्थ है इन आकारों का समान अनुपात; इसलिए, समानता सर्वांगसमता की तुलना में आंकड़ों की अधिक आवश्यक समानता को दर्शाती है।सामान्य तौर पर ज्यामिति भौतिकी की तुलना में अमूर्तता का उच्च स्तर है, और भौतिकी सामग्री विज्ञान की तुलना में उच्चतर है।

उदाहरण के लिए बॉल बेयरिंग, बिलियर्ड बॉल, क्रोकेट बॉल और बॉल को लें। भौतिक विज्ञान ऐसे विवरणों में नहीं जाता है जैसे कि वे किस सामग्री से बने हैं, बल्कि केवल आयतन, वजन, विद्युत चालकता आदि जैसे गुणों में रुचि रखते हैं। गणित के लिए, वे सभी गेंदें हैं, केवल आकार में भिन्न हैं। यदि गेंदों के अलग-अलग आकार हैं, तो वे मीट्रिक ज्यामिति के लिए भिन्न हैं, लेकिन समानता ज्यामिति के लिए वे सभी समान हैं। ज्यामिति की दृष्टि से, सभी गेंदें और सभी घन समान हैं, लेकिन एक गेंद और एक घन एक समान नहीं हैं।

अब आइए टोरस को देखें। शीर्ष पर ज्यामितीय आकृति है जिसका आकार स्टीयरिंग व्हील और लाइफबॉय जैसा है। एनसाइक्लोपीडिया टोरस को वृत्त के बाहर स्थित एक अक्ष के चारों ओर एक वृत्त को घुमाकर प्राप्त की गई आकृति के रूप में परिभाषित करता है। हम दयालु पाठक से यह महसूस करने का आग्रह करते हैं कि गेंद और घन टोरस वाले प्रत्येक की तुलना में एक दूसरे के साथ "अधिक समान" हैं। निम्नलिखित विचार प्रयोग हमें इस सहज जागरूकता को सटीक अर्थ से भरने की अनुमति देता है। आइए एक ऐसी सामग्री से बनी गेंद की कल्पना करें जो इतनी लचीली हो कि इसे मोड़ा जा सके, खींचा जा सके, दबाया जा सके और सामान्य तौर पर, आपकी इच्छानुसार किसी भी तरह से विकृत किया जा सके - बस इसे फाड़ा या एक साथ चिपकाया नहीं जा सकता। जाहिर है, फिर गेंद को घन में बदला जा सकता है, लेकिन टोरस में बदलना असंभव है। उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोष प्रेट्ज़ेल को अक्षर बी के आकार में पेस्ट्री (शाब्दिक रूप से: मक्खन जैसा मुड़े हुए बन की तरह) के रूप में परिभाषित करता है। इस अद्भुत शब्दकोश के लिए पूरे सम्मान के साथ, "संख्या 8 के आकार में" शब्द मुझे अधिक लगते हैं शुद्ध; हालाँकि, होमोमोर्फी की अवधारणा में व्यक्त दृष्टिकोण से, संख्या 8 के आकार में पकाना, अक्षर बी के आकार में पकाना, और फिटा के आकार में पकाना एक ही आकार है। भले ही हम मान लें कि बेकर्स ऐसा आटा प्राप्त करने में सक्षम थे जिसमें उपर्युक्त लचीलेपन के गुण हैं, एक बन असंभव है - बिना फटे और चिपके हुए! - न तो बैगेल और न ही प्रेट्ज़ेल में बदलें, पिछले दो बेक किए गए सामानों की तरह एक दूसरे में बदल जाएं। लेकिन आप एक गोलाकार जूड़े को घन या पिरामिड में बदल सकते हैं। दयालु पाठक निस्संदेह बेकिंग का एक संभावित रूप ढूंढने में सक्षम होंगे जिसमें न तो बन, न प्रेट्ज़ेल, न ही बैगेल को घुमाया जा सकता है।

इस अवधारणा का नाम लिए बिना, हम पहले ही होमोमॉर्फी से परिचित हो चुके हैं। दो आकृतियों को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि एक को निरंतर (अर्थात, बिना टूटे या चिपके हुए) विरूपण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है; ऐसी विकृतियों को स्वयं होमोमोर्फिज्म कहा जाता है।हमें अभी पता चला है कि गेंद घन और पिरामिड के लिए होमोमोर्फिक है, लेकिन टोरस या प्रेट्ज़ेल के लिए होमोमोर्फिक नहीं है, और अंतिम दो शरीर एक दूसरे के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। हम पाठक से यह समझने के लिए कहते हैं कि हमने यांत्रिक परिवर्तन के संदर्भ में होमोमॉर्फी की अवधारणा का केवल एक अनुमानित विवरण दिया है।

आइए होमोमॉर्फी की अवधारणा के दार्शनिक पहलू पर गौर करें। आइए हम किसी ज्यामितीय आकृति के अंदर रहने वाले एक विचारशील प्राणी की कल्पना करें नहींइस आकृति को बाहर से, "बाहर से" देखने का अवसर मिलना। उसके लिए, वह आकृति जिसमें वह रहती है, ब्रह्मांड का निर्माण करती है। आइए हम यह भी कल्पना करें कि जब संलग्न आकृति निरंतर विरूपण के अधीन होती है, तो अस्तित्व भी उसके साथ विकृत हो जाता है। यदि विचाराधीन आकृति एक गेंद है, तो प्राणी किसी भी तरह से यह अंतर नहीं कर सकता कि वह गेंद में है, घन में है या पिरामिड में है। हालाँकि, उसके लिए यह आश्वस्त होना संभव है कि उसका ब्रह्मांड टोरस या प्रेट्ज़ेल के आकार का नहीं है। सामान्य तौर पर, कोई प्राणी अपने आस-पास के स्थान का आकार केवल होमियोमॉर्फी तक ही स्थापित कर सकता है, अर्थात, वह एक रूप को दूसरे से अलग करने में सक्षम नहीं होता है, जब तक कि ये रूप होमियोमॉर्फिक होते हैं।

गणित के लिए परिकल्पना का अर्थ पोंकारे, जो अब एक परिकल्पना से पोंकारे-पेरेलमैन प्रमेय में बदल गया है, बहुत बड़ा है (यह अकारण नहीं है कि समस्या को हल करने के लिए दस लाख डॉलर की पेशकश की गई थी), ठीक उसी तरह जैसे इसे साबित करने के लिए पेरेलमैन द्वारा खोजी गई विधि का महत्व बहुत बड़ा है, लेकिन इस महत्व को यहां समझाना हमारी क्षमता से परे है। जहाँ तक मामले के ब्रह्माण्ड संबंधी पक्ष का सवाल है, शायद पत्रकारों द्वारा इस पहलू के महत्व को कुछ हद तक बढ़ा-चढ़ाकर पेश किया गया था।

हालाँकि, कुछ आधिकारिक विशेषज्ञों का कहना है कि पेरेलमैन की वैज्ञानिक सफलता ब्लैक होल के निर्माण की प्रक्रियाओं के अध्ययन में मदद कर सकती है। वैसे, ब्लैक होल, दुनिया की जानकारी के बारे में थीसिस के प्रत्यक्ष खंडन के रूप में कार्य करते हैं - उस सबसे उन्नत, एकमात्र सच्चे और सर्वशक्तिमान शिक्षण के केंद्रीय प्रावधानों में से एक, जिसे 70 वर्षों तक जबरन हमारे गरीबों के दिमाग में डाला गया था। आख़िरकार, जैसा कि भौतिकी सिखाती है, सैद्धांतिक रूप से इन छिद्रों से कोई भी संकेत हम तक नहीं पहुंच सकता है, इसलिए यह पता लगाना असंभव है कि वहां क्या हो रहा है। हम आम तौर पर इस बारे में बहुत कम जानते हैं कि हमारा संपूर्ण ब्रह्मांड कैसे काम करता है, और यह संदिग्ध है कि हम कभी इसका पता लगा पाएंगे। और इसकी संरचना के बारे में प्रश्न का अर्थ पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है। यह संभव है कि यह प्रश्न शिक्षण के अनुसार उनमें से एक हो बुद्धा, नहींएक उत्तर है. भौतिकी केवल उपकरणों के मॉडल पेश करती है जो कमोबेश ज्ञात तथ्यों से सहमत होते हैं। इस मामले में, भौतिकी, एक नियम के रूप में, गणित द्वारा प्रदान की गई पहले से ही विकसित तैयारियों का उपयोग करती है।

बेशक, गणित ब्रह्मांड के किसी भी ज्यामितीय गुण को स्थापित करने का दिखावा नहीं करता है। लेकिन यह हमें उन गुणों को समझने की अनुमति देता है जो अन्य विज्ञानों द्वारा खोजे गए हैं। इसके अतिरिक्त। यह हमें कुछ ऐसे गुणों को और अधिक समझने योग्य बनाने की अनुमति देता है जिनकी कल्पना करना कठिन है, यह बताता है कि यह कैसे हो सकता है; ऐसे संभव (हम जोर देते हैं: बस संभव!) गुणों में ब्रह्मांड की सीमितता और इसकी गैर-अभिमुखता शामिल है।

लंबे समय तक, ब्रह्मांड की ज्यामितीय संरचना का एकमात्र बोधगम्य मॉडल त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष था, यानी वह स्थान जो हाई स्कूल से सभी को पता है। यह स्थान अनंत है; ऐसा लग रहा था कि कोई अन्य विचार संभव नहीं था; ब्रह्मांड की अनंतता के बारे में सोचना पागलपन जैसा लगता था। हालाँकि, अब ब्रह्मांड की परिमितता का विचार इसकी अनंतता के विचार से कम वैध नहीं है। विशेष रूप से, त्रि-आयामी क्षेत्र परिमित है। भौतिकविदों के साथ संवाद करने से, मुझे यह आभास हुआ कि कुछ ने उत्तर दिया "सबसे अधिक संभावना है।" ब्रह्मांड अनंत है," जबकि अन्य ने कहा, "सबसे अधिक संभावना है, ब्रह्मांड सीमित है।"

उसपेन्स्की वी.ए. , गणित की माफी, या आध्यात्मिक संस्कृति के हिस्से के रूप में गणित के बारे में, पत्रिका "न्यू वर्ल्ड", 2007, एन 12, पी। 141-145.

लगभग हर व्यक्ति, यहां तक ​​कि जिनका गणित से कोई लेना-देना नहीं है, उन्होंने "पोंकारे अनुमान" शब्द सुना है, लेकिन हर कोई यह नहीं समझा सकता कि इसका सार क्या है। कई लोगों के लिए, उच्च गणित बहुत जटिल और समझने में दुर्गम प्रतीत होता है। इसलिए, आइए यह जानने का प्रयास करें कि सरल शब्दों में पोंकारे परिकल्पना का क्या अर्थ है।

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पोंकारे का अनुमान क्या है?

परिकल्पना का मूल सूत्रीकरण इस प्रकार है: " बिना किसी सीमा के आसानी से जुड़ा हुआ प्रत्येक कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है».

एक गेंद एक ज्यामितीय त्रि-आयामी पिंड है, इसकी सतह को एक गोला कहा जाता है, यह द्वि-आयामी है और इसमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बिंदु होते हैं जो एक बिंदु से समान दूरी पर होते हैं जो इस क्षेत्र से संबंधित नहीं है - गेंद का केंद्र . द्वि-आयामी क्षेत्रों के अलावा, त्रि-आयामी क्षेत्र भी होते हैं, जिसमें चार-आयामी अंतरिक्ष के कई बिंदु शामिल होते हैं, जो एक बिंदु से समान दूरी पर होते हैं जो क्षेत्र से संबंधित नहीं होता है - इसका केंद्र। यदि हम अपनी आँखों से द्वि-आयामी गोले देख सकते हैं, तो त्रि-आयामी गोले हमारी दृश्य धारणा के अधीन नहीं हैं।

चूँकि हमारे पास ब्रह्माण्ड को देखने का अवसर नहीं है, हम यह मान सकते हैं कि यह त्रि-आयामी क्षेत्र है जिसमें पूरी मानवता रहती है। यह पोंकारे अनुमान का सार है। अर्थात्, ब्रह्मांड में निम्नलिखित गुण हैं: त्रि-आयामीता, असीमता, बस जुड़ाव, सघनता। परिकल्पना में "होमियोमॉर्फी" की अवधारणा का अर्थ ब्रह्मांड के मामले में समानता, समानता की उच्चतम डिग्री है - अविभाज्यता।

पोंकारे कौन है?

जूल्स हेनरी पोंकारे- महानतम गणितज्ञ जिनका जन्म 1854 में फ्रांस में हुआ था। उनकी रुचि केवल गणितीय विज्ञान तक ही सीमित नहीं थी, उन्होंने भौतिकी, यांत्रिकी, खगोल विज्ञान और दर्शनशास्त्र का अध्ययन किया। वह सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज सहित दुनिया भर में 30 से अधिक वैज्ञानिक अकादमियों के सदस्य थे। सभी समय और लोगों के इतिहासकार डेविड हिल्बर्ट और हेनरी पोंकारे को दुनिया के महानतम गणितज्ञों में शुमार करते हैं। 1904 में, वैज्ञानिक ने एक प्रसिद्ध पेपर प्रकाशित किया जिसमें एक धारणा शामिल थी जिसे आज "पोंकारे अनुमान" के रूप में जाना जाता है। यह त्रि-आयामी स्थान था जिसका अध्ययन करना गणितज्ञों के लिए बहुत कठिन था; अन्य मामलों के लिए साक्ष्य खोजना मुश्किल नहीं था। लगभग एक शताब्दी के दौरान इस प्रमेय की सत्यता सिद्ध हो गयी।

21वीं सदी की शुरुआत में सहस्राब्दी की समस्याओं की सूची में शामिल इस वैज्ञानिक समस्या को हल करने के लिए कैम्ब्रिज में दस लाख अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार स्थापित किया गया था। केवल सेंट पीटर्सबर्ग के एक रूसी गणितज्ञ, ग्रिगोरी पेरेलमैन, त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए ऐसा करने में सक्षम थे। इस उपलब्धि के लिए 2006 में उन्हें फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया, लेकिन उन्होंने इसे लेने से इनकार कर दिया।

पोंकारे की वैज्ञानिक गतिविधियों की खूबियों के लिएनिम्नलिखित उपलब्धियों को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है:

• टोपोलॉजी की नींव (विभिन्न घटनाओं और प्रक्रियाओं की सैद्धांतिक नींव का विकास);
• विभेदक समीकरणों के गुणात्मक सिद्धांत का निर्माण;
• अनाकार कार्यों के सिद्धांत का विकास, जो सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का आधार बना;
• रिटर्न प्रमेय को आगे बढ़ाना;
• आकाशीय यांत्रिकी के नवीनतम, सबसे प्रभावी तरीकों का विकास।

परिकल्पना का प्रमाण

एक सरल रूप से जुड़े त्रि-आयामी स्थान को ज्यामितीय गुण दिए गए हैं और इसे मीट्रिक तत्वों में विभाजित किया गया है जिनके बीच कोण बनाने के लिए दूरी है। सरल बनाने के लिए, हम एक नमूने के रूप में एक-आयामी मैनिफोल्ड लेते हैं, जिसमें यूक्लिडियन विमान पर, एक चिकनी बंद वक्र के प्रत्येक बिंदु पर 1 के बराबर स्पर्शरेखा वेक्टर खींचे जाते हैं, वक्र को पार करते समय, वेक्टर एक निश्चित कोणीय वेग के साथ घूमता है वक्रता के बराबर. रेखा जितनी अधिक झुकेगी, वक्रता उतनी ही अधिक होगी। यदि वेग वेक्टर को रेखा द्वारा विभाजित विमान के अंदर की ओर घुमाया जाता है, तो वक्रता का ढलान सकारात्मक होता है, और यदि इसे बाहर की ओर घुमाया जाता है, तो वक्रता का ढलान नकारात्मक होता है। विभक्ति के स्थानों में, वक्रता 0 के बराबर है। अब वक्र के प्रत्येक बिंदु को कोणीय वेग वेक्टर के लंबवत एक वेक्टर सौंपा गया है, और लंबाई वक्रता के मूल्य के बराबर है। वक्रता सकारात्मक होने पर यह अंदर की ओर मुड़ जाती है और नकारात्मक होने पर बाहर की ओर मुड़ जाती है। संबंधित वेक्टर उस दिशा और गति को निर्धारित करता है जिस पर विमान का प्रत्येक बिंदु चलता है। यदि आप कहीं भी एक बंद वक्र खींचते हैं, तो इस तरह के विकास के साथ वह एक वृत्त में बदल जाएगा। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए सच है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

उदाहरण:बिना तोड़े विकृत होने पर गुब्बारे को अलग-अलग आकार में बनाया जा सकता है। लेकिन आप बैगेल नहीं बना सकते; ऐसा करने के लिए आपको बस इसे काटने की जरूरत है। और इसके विपरीत, बैगेल होने पर, आप एक ठोस गेंद नहीं बना सकते। यद्यपि किसी भी अन्य सतह से विरूपण के दौरान विच्छेदन के बिना एक गोला प्राप्त करना संभव है। यह इंगित करता है कि यह सतह एक गेंद के समान है। किसी भी गेंद को एक गांठ वाले धागे से बांधा जा सकता है, लेकिन डोनट के साथ ऐसा करना असंभव है।

एक गेंद सबसे सरल त्रि-आयामी विमान है जिसे विकृत किया जा सकता है और एक बिंदु में मोड़ा जा सकता है और इसके विपरीत भी।

महत्वपूर्ण!पोंकारे अनुमान में कहा गया है कि एक बंद एन-आयामी मैनिफोल्ड एक एन-आयामी क्षेत्र के बराबर है यदि यह इसके लिए होमियोमोर्फिक है। यह बहुआयामी विमानों के सिद्धांत के विकास में प्रारंभिक बिंदु बन गया।