Հզորության ֆունկցիան դրա հատկությունները և գրաֆիկական աղյուսակը: Հզորության ֆունկցիան, դրա հատկությունները և գրաֆիկը

«Հզորության ֆունկցիաներ. Հատկություններ. Գրաֆիկներ» թեմայով դաս և շնորհանդես.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 11-րդ դասարանի համար
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 9-11-րդ դասարանների համար «Եռանկյունաչափություն»
Ինտերակտիվ ձեռնարկ 10–11-րդ դասարանների համար «Լոգարիթմներ»

Ուժային ֆունկցիաներ, սահմանման տիրույթ։

Տղերք, վերջին դասին մենք սովորեցինք, թե ինչպես աշխատել թվերի հետ ռացիոնալ ցուցիչներով: Այս դասում մենք կանդրադառնանք ուժային ֆունկցիաներին և կսահմանափակվենք միայն այն դեպքով, երբ ցուցանիշը ռացիոնալ է:
Մենք կդիտարկենք ձևի գործառույթները՝ $y=x^(\frac(m)(n))$:
Եկեք նախ դիտարկենք այն ֆունկցիաները, որոնց չափանիշը $\frac(m)(n)>1$ է:
Եկեք մեզ տրվի հատուկ գործառույթ $y=x^2*5$:
Վերջին դասում մեր տված սահմանման համաձայն՝ եթե $x≥0$, ապա մեր ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը $(x)$ ճառագայթն է։ Եկեք սխեմատիկորեն պատկերենք ֆունկցիայի մեր գրաֆիկը:

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2 ֆունկցիայի հատկությունները ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։
3. Աճում է $$-ով,
բ) $(2,10)$,
գ) $$ ճառագայթի վրա:
Լուծում.
Տղերք, հիշու՞մ եք, թե ինչպես 10-րդ դասարանում գտանք մի հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը:
Ճիշտ է, մենք օգտագործեցինք ածանցյալը: Եկեք լուծենք մեր օրինակը և կրկնենք ամենափոքրը գտնելու ալգորիթմը և ամենաբարձր արժեքը.
1. Գտի՛ր տրված ֆունկցիայի ածանցյալը.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Ածանցյալը գոյություն ունի սկզբնական ֆունկցիայի սահմանման ողջ տիրույթում, ապա չկան կրիտիկական կետեր: Գտնենք անշարժ կետեր.
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$:
$8*\sqrt(x^3)=x^3$։
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$:
$x^3(x^3-64)=0$:
$x_1=0$ և $x_2=\sqrt(64)=4$:
Տրված հատվածը պարունակում է միայն մեկ լուծում $x_2=4$:
Եկեք կառուցենք մեր ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը հատվածի ծայրերում և ծայրամասային կետում.
Պատասխան՝ $y_(name)=-862.65$ at $x=9$; $y_(առավելագույնը)=38,4$ $x=4$-ով:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(4)(3))=24-x$։
Լուծում. $y=x^(\frac(4)(3))$ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է, իսկ $y=24-x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը նվազում է։ Տղերք, ես և դուք գիտենք, եթե մի ֆունկցիան մեծանում է, իսկ մյուսը նվազում է, ապա դրանք հատվում են միայն մի կետում, այսինքն՝ մենք ունենք միայն մեկ լուծում։
Նշում:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$:
$24-8=16$.
Այսինքն՝ $x=8$-ով ստացանք $16=16$ ճիշտ հավասարություն, սա մեր հավասարման լուծումն է։
Պատասխան՝ $x=8$։

Օրինակ.
Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան՝ $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$:
Լուծում.
Մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է $y=x^(\frac(3)(4))$ ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ այն տեղափոխելով 3 միավոր աջ և 2 միավոր վեր։

Օրինակ. $y=x^(-\frac(4)(5))$ $x=1$ կետում գրե՛ք $y=x^(-\frac(4)(5)) $ ուղղի շոշափողի հավասարումը:
Լուծում. Շոշափող հավասարումը որոշվում է մեզ հայտնի բանաձևով.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Մեր դեպքում $a=1$։
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$:
Գտնենք ածանցյալը.
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$:
Եկեք հաշվարկենք.
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$:
Գտնենք շոշափող հավասարումը.
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:
Պատասխան՝ $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը՝ $y=x^\frac(4)(3)$ հատվածում.
ա) $$.
բ) $ (4,50) $.
գ) $$ ճառագայթի վրա:
3. Լուծե՛ք հավասարումը $x^(\frac(1)(4))=18-x$:
4. Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$:
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ ուղիղ գծի շոշափողի համար հավասարություն ստեղծեք $x=1$ կետում:

Գործառույթ որտեղ X- փոփոխական քանակություն, Ա- կոչվում է տրված թիվ Հզորության գործառույթ .

Եթե ​​ապա գծային ֆունկցիա է, ապա դրա գրաֆիկը ուղիղ գիծ է (տես պարագրաֆ 4.3, նկ. 4.7):

Եթե, ապա - քառակուսի ֆունկցիա, նրա գրաֆիկը պարաբոլա է (տե՛ս պարագրաֆ 4.3, նկ. 4.8):

Եթե ​​ուրեմն նրա գրաֆիկը խորանարդ պարաբոլա է (տես պարագրաֆ 4.3, նկ. 4.9):

Հզորության գործառույթ

Սա հակադարձ ֆունկցիա է

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան տարօրինակ է.

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ. X= 0 - միակ զրո:

6. Ֆունկցիան չունի առավելագույն կամ նվազագույն արժեք:

7.

8. Ֆունկցիայի գրաֆիկՀամաչափ է խորանարդ պարաբոլայի գրաֆիկին՝ ուղիղ գծի նկատմամբ Y=Xև ցույց է տրված Նկ. 5.1.

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան հավասար է։

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ.մեկ զրո X = 0.

6. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները.վերցնում է ամենափոքր արժեքը X= 0, այն հավասար է 0-ի:

7. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան նվազում է միջակայքում և մեծանում է ընդմիջումով

8. Ֆունկցիայի գրաֆիկ(յուրաքանչյուրի համար Ն Î Ն) «նման է» քառակուսային պարաբոլայի գրաֆիկին (ֆունկցիայի գրաֆիկները ներկայացված են նկ. 5.2-ում):

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան տարօրինակ է.

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ. X= 0 - միակ զրո:

6. Ամենաբարձր և ամենացածր արժեքները.

7. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

8. Ֆունկցիայի գրաֆիկ(յուրաքանչյուրի համար) «նման» է խորանարդ պարաբոլայի գրաֆիկին (ֆունկցիայի գրաֆիկները ներկայացված են նկ. 5.3-ում):

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան տարօրինակ է.

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ.չունի զրոներ.

6. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները.ֆունկցիան չունի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները որևէ մեկի համար

7. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան նվազում է իր սահմանման տիրույթում:

8. Ասիմպտոտներ:(առանցք OU) – ուղղահայաց ասիմպտոտ;

(առանցք Օ՜) – հորիզոնական ասիմպտոտ:

9. Ֆունկցիայի գրաֆիկ(որևէ մեկի համար Ն) «նման է» հիպերբոլայի գրաֆիկին (ֆունկցիայի գրաֆիկները ներկայացված են նկ. 5.4-ում):

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան հավասար է։

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները.ֆունկցիան չունի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները որևէ մեկի համար

6. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան ավելանում է և նվազում է

7. Ասիմպտոտներ: X= 0 (առանցք OU) – ուղղահայաց ասիմպտոտ;

Յ= 0 (առանցք Օ՜) – հորիզոնական ասիմպտոտ:

8. Ֆունկցիայի գծապատկերներԴրանք քառակուսի հիպերբոլաներ են (նկ. 5.5):

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան չունի զույգի և կենտի հատկություն։

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ. X= 0 - միակ զրո:

6. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները.ֆունկցիան կետում վերցնում է 0-ի ամենափոքր արժեքը X= 0; ամենակարևորը չէ.

7. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

8. Յուրաքանչյուր նման ֆունկցիա որոշակի ցուցիչի համար նախատեսված ֆունկցիայի հակադարձն է

9. Ֆունկցիայի գրաֆիկ«նմանում է» ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկին Նև ցույց է տրված Նկ. 5.6.

Հզորության գործառույթ

1. Դոմեն:

2. Բազմաթիվ իմաստներ.

3. Զույգ և կենտ.ֆունկցիան տարօրինակ է.

4. Գործառույթի հաճախականությունը.ոչ պարբերական.

5. Գործառույթների զրոներ. X= 0 - միակ զրո:

6. Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները.ֆունկցիան չունի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները որևէ մեկի համար

7. Մեծացնել և նվազեցնել միջակայքերը.ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

8. Ֆունկցիայի գրաֆիկՑուցադրված է Նկ. 5.7.

Հիշենք ամբողջ թվով ուժային ֆունկցիաների հատկությունները և գրաֆիկները բացասական ցուցանիշ.

Համար նույնիսկ n, :

Օրինակ գործառույթ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;1): Այս տիպի ֆունկցիաների առանձնահատկությունը դրանց հավասարությունն է, գրաֆիկները սիմետրիկ են op-amp առանցքի նկատմամբ:

Բրինձ. 1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Կենտ n-ի համար՝

Օրինակ գործառույթ.

Նման ֆունկցիաների բոլոր գրաֆիկներն անցնում են երկու ֆիքսված կետերով՝ (1;1), (-1;-1): Այս տեսակի ֆունկցիաների առանձնահատկությունն այն է, որ դրանք կենտ են, գրաֆիկները սիմետրիկ են ծագման նկատմամբ։

Բրինձ. 2. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հիշենք հիմնական սահմանումը.

Ռացիոնալ դրական ցուցիչ ունեցող ոչ բացասական a թվի հզորությունը կոչվում է թիվ։

Ռացիոնալ բացասական ցուցիչ ունեցող a դրական թվի հզորությունը կոչվում է թիվ։

Հավասարության համար.

Օրինակ: ; - արտահայտությունը, ըստ սահմանման, գոյություն չունի բացասական ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի. գոյություն ունի, քանի որ ցուցիչը ամբողջ թիվ է,

Անցնենք ուժային ֆունկցիաները ռացիոնալ բացասական ցուցիչով դիտարկելուն։

Օրինակ:

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար կարող եք աղյուսակ ստեղծել: Մենք դա կանենք այլ կերպ. նախ կկառուցենք և կուսումնասիրենք հայտարարի գրաֆիկը, որը մեզ հայտնի է (Նկար 3):

Բրինձ. 3. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հայտարար ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է ֆիքսված կետով (1;1): Բնօրինակ գործառույթը գծագրելիս տրված կետմնում է, երբ արմատը նույնպես ձգտում է զրոյի, ֆունկցիան ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան ձգտում է զրոյի (Նկար 4):

Բրինձ. 4. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ընտանիքից ևս մեկ ֆունկցիա.

Կարևոր է, որ ըստ սահմանման

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը հայտարարի մեջ՝ , այս ֆունկցիայի գրաֆիկը մեզ հայտնի է, այն մեծանում է իր սահմանման տիրույթում և անցնում (1;1) կետով (Նկար 5):

Բրինձ. 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելիս մնում է (1;1) կետը, մինչդեռ արմատը նույնպես հակված է զրոյի, ֆունկցիան՝ դեպի անսահմանություն։ Եվ, ընդհակառակը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ֆունկցիան հակված է զրոյի (Նկար 6):

Բրինձ. 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկված օրինակները օգնում են հասկանալ, թե ինչպես է հոսում գրաֆիկը և ինչ հատկություններ ունի ուսումնասիրվող ֆունկցիան՝ բացասական ռացիոնալ ցուցիչով ֆունկցիա:

Այս ընտանիքի ֆունկցիաների գրաֆիկներն անցնում են (1;1) կետով, ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում։

Գործառույթի շրջանակը.

Ֆունկցիան չի սահմանափակվում վերևից, այլ սահմանափակված է ներքևից: Ֆունկցիան չունի ոչ մեծագույն, ոչ էլ ամենացածր արժեքը.

Ֆունկցիան շարունակական է և վերցնում է բոլոր դրական արժեքները զրոյից մինչև գումարած անսահմանություն:

Ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև (Նկար 15.7)

A և B կետերը վերցված են կորի վրա, դրանց միջով գծվում է հատված, ամբողջ կորը գտնվում է հատվածից ցածր, այս պայմանըբավարարվում է կորի կամայական երկու կետերով, հետևաբար ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի ներքև: Բրինձ. 7.

Բրինձ. 7. Ֆունկցիայի ուռուցիկություն

Կարևոր է հասկանալ, որ այս ընտանիքի գործառույթները ներքևից սահմանափակված են զրոյով, բայց չունեն ամենափոքր արժեքը։

Օրինակ 1 - գտեք ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] միջակայքում:

Գրաֆիկ (նկ. 2):

Նկար 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Բնական կենտ ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերն են:

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ֆունկցիան կենտ է:

$f(x)$-ը շարունակական է սահմանման ողջ տիրույթում:

Տարածքը բոլոր իրական թվերն են:

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$-ի համար:

$f(""\left(x\աջ))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\աջ))\աջ)"=2 \ձախ(2n-1\աջ)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Ֆունկցիան գոգավոր է $x\in (-\infty ,0)$-ի համար և ուռուցիկ է $x\in (0,+\infty)$-ի համար։

Գրաֆիկ (նկ. 3):

Նկար 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ ֆունկցիայի գրաֆիկ.

Հզորության ֆունկցիա՝ ամբողջ թվի ցուցիչով

Նախ, եկեք ներկայացնենք աստիճան հասկացությունը ամբողջ թվի ցուցիչով:

Սահմանում 3

$a$ իրական թվի հզորությունը $n$ ամբողջ թվային ցուցիչով որոշվում է բանաձևով.

Նկար 4.

Այժմ դիտարկենք ուժային ֆունկցիան ամբողջ թվով ցուցիչով, նրա հատկություններով և գրաֆիկով:

Սահմանում 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$-ը կոչվում է հզորության ֆունկցիա՝ ամբողջ թվի ցուցիչով։

Եթե ​​աստիճանը զրոյից մեծ է, ապա գալիս ենք բնական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի դեպքին։ Մենք արդեն քննարկել ենք այն վերևում: $n=0$-ի դիմաց մենք ստանում ենք գծային ֆունկցիա$y=1$. Դրա նկատառումը կթողնենք ընթերցողին։ Մնում է դիտարկել բացասական ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները

Սահմանման տիրույթն է $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$:

Եթե ​​ցուցանիշը զույգ է, ապա ֆունկցիան զույգ է, եթե կենտ է, ապա ֆունկցիան կենտ է:

$f(x)$-ը շարունակական է սահմանման ողջ տիրույթում:

Շրջանակ:

Եթե ​​ցուցանիշը զույգ է, ապա $(0,+\infty)$, եթե կենտ է, ապա $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$:

Կենտ ցուցիչի համար ֆունկցիան նվազում է որպես $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$: Եթե ​​ցուցիչը զույգ է, ֆունկցիան նվազում է որպես $x\in (0,+\infty)$։ և աճում է որպես $x\in \left(-\infty,0\right)$:

$f(x)\ge 0$ սահմանման ողջ տիրույթում