Ընդլայնել ֆունկցիան x-ի հզորություններով: Գործառույթների ընդլայնում ուժային շարքերում

«Գտեք f(x) ֆունկցիայի Maclaurin շարքի ընդլայնումը»- սա հենց այն է, ինչ հնչում է բարձրագույն մաթեմատիկայի առաջադրանքը, որը որոշ ուսանողներ կարող են անել, իսկ մյուսները չեն կարող հաղթահարել օրինակները: Գոյություն ունեն հզորությունների շարքը ընդլայնելու մի քանի եղանակ, այստեղ մենք կտանք գործառույթները Maclaurin շարքի ընդլայնման տեխնիկա: Մի շարք գործառույթ մշակելիս դուք պետք է լավ տիրապետեք ածանցյալների հաշվարկմանը:

Օրինակ 4.7 Ընդարձակել ֆունկցիան x-ի հզորություններով

Հաշվարկներ. Ֆունկցիայի ընդլայնումը կատարում ենք Maclaurin բանաձևի համաձայն։ Նախ, եկեք ընդլայնենք ֆունկցիայի հայտարարը մի շարքի

Վերջապես, ընդլայնումը բազմապատկեք համարիչով:
Առաջին անդամը ֆունկցիայի արժեքն է զրո f (0) = 1/3:
Գտնենք f (x) առաջին և բարձր կարգի ֆունկցիայի ածանցյալները և այդ ածանցյալների արժեքը x=0 կետում.




Հաջորդը, հիմնվելով ածանցյալների արժեքի փոփոխության օրինաչափության վրա, մենք գրում ենք n-րդ ածանցյալի բանաձևը.

Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք հայտարարը Maclaurin շարքի ընդլայնման տեսքով

Մենք բազմապատկում ենք համարիչով և ստանում ֆունկցիայի ցանկալի ընդլայնումը x-ի հզորությամբ շարքով

Ինչպես տեսնում եք, այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա:
Բոլոր հիմնական կետերը հիմնված են ածանցյալները հաշվարկելու և ավելի բարձր կարգի ածանցյալի արժեքը զրոյի վրա արագ ընդհանրացնելու ունակության վրա: Հետևյալ օրինակները կօգնեն ձեզ սովորել, թե ինչպես արագ դասավորել գործառույթը շարքով:

Օրինակ 4.10 Գտեք ֆունկցիայի Maclaurin շարքի ընդլայնումը

Հաշվարկներ. Ինչպես կռահեցիք, մենք կոսինուսը համարիչի մեջ կդնենք հաջորդականությամբ: Դա անելու համար դուք կարող եք օգտագործել անվերջ փոքր մեծությունների բանաձևերը կամ ածանցյալների միջոցով ստանալ կոսինուսի ընդլայնումը: Արդյունքում մենք հասնում ենք x-ի հզորությամբ հետևյալ շարքին

Ինչպես տեսնում եք, մենք ունենք նվազագույն հաշվարկներ և շարքի ընդլայնման կոմպակտ ներկայացում:

Օրինակ 4.16 Ընդլայնել ֆունկցիա x-ի հզորություններով.
7/(12-x-x^2)
Հաշվարկներ. Այս տեսակի օրինակներում անհրաժեշտ է ընդլայնել կոտորակը պարզ կոտորակների գումարի միջոցով:
Մենք ձեզ ցույց չենք տա, թե ինչպես դա անել հիմա, այլ օգնությամբ անորոշ գործակիցներԳանք կոտորակների գումարին.
Հաջորդը հայտարարները գրում ենք էքսպոնենցիալ տեսքով

Մնում է ընդլայնել տերմինները՝ օգտագործելով Maclaurin բանաձեւը։ Ամփոփելով «x»-ի նույն հզորությունների տերմինները՝ մենք կազմում ենք մի շարք ֆունկցիայի ընդլայնման ընդհանուր տերմինի բանաձև։



Սկզբում շարքին անցնելու վերջին մասը դժվար է իրականացնել, քանի որ դժվար է համատեղել զուգակցված և չզուգակցված ինդեքսների (աստիճանների) բանաձևերը, բայց պրակտիկայի հետ դուք ավելի լավ կհասկանաք դրան:

Օրինակ 4.18 Գտեք ֆունկցիայի Maclaurin շարքի ընդլայնումը

Հաշվարկներ. Գտնենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.

Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիան մի շարքի՝ օգտագործելով McLaren-ի բանաձևերից մեկը.

Մենք ամփոփում ենք շարքը տերմին առ տերմին՝ հիմնվելով այն փաստի վրա, որ երկուսն էլ բացարձակապես նույնական են: Ամբողջ շարքը տերմին առ տերմին ինտեգրելով՝ մենք ստանում ենք ֆունկցիայի ընդլայնումը x-ի հզորությամբ շարքի:

Ընդլայնման վերջին երկու տողերի միջև կա անցում, որը սկզբում շատ ժամանակ կխլի: Սերիայի բանաձևի ընդհանրացումը հեշտ չէ բոլորի համար, այնպես որ մի անհանգստացեք, որ չկարողանաք ստանալ գեղեցիկ, կոմպակտ բանաձև:

Օրինակ 4.28 Գտեք ֆունկցիայի Maclaurin շարքի ընդլայնումը.

Եկեք լոգարիթմը գրենք հետևյալ կերպ

Օգտագործելով Maclaurin-ի բանաձևը, մենք ընդլայնում ենք լոգարիթմի ֆունկցիան x-ի հզորությունների շարքով

Վերջնական ոլորումը առաջին հայացքից բարդ է, բայց երբ փոխարինող նշանները միշտ նման բան կստանաք: Ավարտված է ներածական դասը անընդմեջ պլանավորման գործառույթների թեմայով: Այլ ոչ պակաս հետաքրքիր տարրալուծման սխեմաները մանրամասն կքննարկվեն հաջորդ նյութերում:

Եթե ​​f(x) ֆունկցիան ունի a կետ պարունակող որոշակի միջակայքի բոլոր կարգերի ածանցյալներ, ապա դրա վրա կարելի է կիրառել Թեյլորի բանաձևը.
,
Որտեղ r n- այսպես կոչված մնացորդային տերմինը կամ շարքի մնացորդը, այն կարելի է գնահատել Լագրանժի բանաձևով.
, որտեղ x թիվը գտնվում է x-ի և a-ի միջև:

f(x)=

կետում x 0 = Շարքի տարրերի քանակը 3 4 5 6 7

Օգտագործեք տարրալուծում տարրական գործառույթներ e x, cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

Եթե ​​ինչ-որ արժեքի համար X r n→ 0 ժամը n→∞, ապա սահմանում Թեյլորի բանաձևը դառնում է կոնվերգենտ այս արժեքի համար Թեյլորի շարք:
,
Այսպիսով, f(x) ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել և վերածվել Թեյլորի շարքի x կետում, եթե.
1) ունի բոլոր պատվերների ածանցյալները.
2) կառուցված շարքը համընկնում է այս կետում:

Երբ a = 0 մենք ստանում ենք մի շարք, որը կոչվում է Մակլաուրինի մոտ:
,
Maclaurin շարքի ամենապարզ (տարրական) ֆունկցիաների ընդլայնում.
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ
, R=∞
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Actgx ֆունկցիան չի ընդլայնվում x-ի հզորություններով, քանի որ ctg0=∞
Հիպերբոլիկ գործառույթներ


Լոգարիթմական ֆունկցիաներ
, -1
Երկանդամ շարք
.

Օրինակ թիվ 1. Ընդլայնել ֆունկցիան ուժային շարքի f(x)= 2x.
Լուծում. Եկեք գտնենք ֆունկցիայի և դրա ածանցյալների արժեքները X=0
f(x) = 2x, զ( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, զ» ( 0) = 2 0 ln2= ln2;
զ""(x) = 2x 2 2 հասցեում, զ""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Ածանցյալների ստացված արժեքները փոխարինելով Թեյլորի շարքի բանաձևով՝ մենք ստանում ենք.

Այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը հավասար է անսահմանության, հետևաբար այս ընդլայնումը վավեր է -∞<x<+∞.

Օրինակ թիվ 2. Գրեք Թեյլորի շարքը հզորությամբ ( X+4) ֆունկցիայի համար f(x)=ե x.
Լուծում. Գտնելով ե ֆունկցիայի ածանցյալները xև դրանց արժեքները տվյալ կետում X=-4.
f(x)= էլ x, զ(-4) = էլ -4 ;
f"(x)= էլ x, զ» (-4) = էլ -4 ;
զ""(x)= էլ x, զ""(-4) = էլ -4 ;
…
f(n)(x)= էլ x, f(n)( -4) = էլ -4 .
Հետևաբար, ֆունկցիայի պահանջվող Թեյլորի շարքն ունի հետևյալ ձևը.

Այս ընդլայնումը գործում է նաև -∞-ի համար<x<+∞.

Օրինակ թիվ 3. Ընդլայնել գործառույթը f(x)=ln xմի շարք լիազորություններով ( X- 1),
(այսինքն՝ Թեյլորի շարքում՝ կետի մոտակայքում X=1).
Լուծում. Գտե՛ք այս ֆունկցիայի ածանցյալները:
f(x)=lnx, , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Փոխարինելով այս արժեքները բանաձևի մեջ, մենք ստանում ենք ցանկալի Taylor շարքը.

Օգտագործելով դ'Ալեմբերի թեստը, դուք կարող եք ստուգել, ​​որ շարքը համընկնում է ½x-1½<1 . Действительно,

Շարքը համընկնում է, եթե ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 մենք ստանում ենք փոփոխական շարք, որը բավարարում է Լայբնիցի չափանիշի պայմանները: Երբ x=0 ֆունկցիան սահմանված չէ: Այսպիսով, Թեյլորի շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը կիսաբաց ինտերվալն է (0;2]։

Օրինակ թիվ 4. Ընդլայնել ֆունկցիան ուժային շարքի:
Լուծում. Ընդլայնման մեջ (1) մենք x-ը փոխարինում ենք -x 2-ով, ստանում ենք.
, -∞

Օրինակ թիվ 5. Ընդարձակեք գործառույթը Maclaurin շարքի մեջ:
Լուծում. Մենք ունենք
Օգտագործելով բանաձևը (4), մենք կարող ենք գրել.

Բանաձևում x-ի փոխարեն փոխարինելով –x, մենք ստանում ենք.

Այստեղից մենք գտնում ենք՝ ln(1+x)-ln(1-x) = -
Բացելով փակագծերը, վերադասավորելով շարքի պայմանները և բերելով նմանատիպ տերմիններ՝ ստանում ենք
. Այս շարքը համընկնում է (-1;1) միջակայքում, քանի որ այն ստացվում է երկու շարքից, որոնցից յուրաքանչյուրը զուգակցվում է այս միջակայքում։

Մեկնաբանություն .
Բանաձևերը (1)-(5) կարող են օգտագործվել նաև համապատասխան գործառույթները Թեյլորի շարքի մեջ ընդլայնելու համար, այսինքն. դրական ամբողջ թվերով ֆունկցիաների ընդլայնման համար ( Հա) Դա անելու համար անհրաժեշտ է տվյալ ֆունկցիայի վրա կատարել այնպիսի նույնական փոխակերպումներ, որպեսզի ստացվի (1)-(5) ֆունկցիաներից մեկը, որի փոխարեն. Xծախսեր k( Հա) m, որտեղ k-ն հաստատուն թիվ է, m-ը դրական ամբողջ թիվ է: Հաճախ հարմար է փոփոխականի փոփոխություն կատարել տ=Հաև ընդլայնել ստացված ֆունկցիան Maclaurin շարքի t-ի նկատմամբ։

Այս մեթոդը հիմնված է ուժային շարքում ֆունկցիայի ընդլայնման եզակիության թեորեմի վրա։ Այս թեորեմի էությունն այն է, որ միևնույն կետի հարևանությամբ հնարավոր չէ ստանալ երկու տարբեր ուժային շարքեր, որոնք կմիանան միևնույն ֆունկցիային, անկախ նրանից, թե ինչպես է կատարվում դրա ընդլայնումը:

Օրինակ թիվ 5 ա. Ընդարձակեք ֆունկցիան Maclaurin շարքում և նշեք կոնվերգենցիայի շրջանը:
Լուծում. Նախ մենք գտնում ենք 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
մինչև տարրական:

3/(1-3x) կոտորակը կարելի է համարել որպես 3x հայտարարով անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար, եթե |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

կոնվերգենցիայի շրջանով |x|< 1/3.

Օրինակ թիվ 6. Գործառույթն ընդարձակեք Թեյլորի շարքի մեջ x = 3 կետի մոտակայքում:
Լուծում. Այս խնդիրը կարող է լուծվել, ինչպես նախկինում, օգտագործելով Taylor շարքի սահմանումը, որի համար մենք պետք է գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալները և դրանց արժեքները. X=3. Այնուամենայնիվ, ավելի հեշտ կլինի օգտագործել առկա ընդլայնումը (5).
=
Ստացված շարքը համընկնում է կամ –3-ի վրա

Օրինակ թիվ 7. Թեյլորի շարքը գրի՛ր ln(x+2) ֆունկցիայի հզորություններով (x -1):
Լուծում.


Շարքը համընկնում է , կամ -2-ում< x < 5.

Օրինակ թիվ 8. Ընդարձակեք f(x)=sin(πx/4) ֆունկցիան՝ վերածելով Թեյլորի շարքի x =2 կետի մոտակայքում:
Լուծում. Կատարենք t=x-2 փոխարինումը.

Օգտագործելով ընդլայնումը (3), որում մենք փոխարինում ենք π / 4 տ x-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք.

Ստացված շարքը համընկնում է տրված ֆունկցիայի հետ -∞-ում< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Այսպիսով,
, (-∞

Մոտավոր հաշվարկներ՝ օգտագործելով հզորության շարքերը

Հզորության շարքերը լայնորեն կիրառվում են մոտավոր հաշվարկներում։ Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել արմատների, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների, թվերի լոգարիթմների և որոշակի ինտեգրալների արժեքները որոշակի ճշգրտությամբ: Շարքերն օգտագործվում են նաև դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման ժամանակ։
Դիտարկենք ուժային շարքի ֆունկցիայի ընդլայնումը.

Տվյալ կետում ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար X, որը պատկանում է նշված շարքի կոնվերգենցիայի շրջանին, առաջինները մնացել են դրա ընդլայնման մեջ. nանդամներ ( n– վերջավոր թիվ), իսկ մնացած պայմանները հանվում են.

Ստացված մոտավոր արժեքի սխալը գնահատելու համար անհրաժեշտ է գնահատել դեն նետված մնացորդը rn (x) ։ Դա անելու համար օգտագործեք հետևյալ տեխնիկան.

• եթե ստացված շարքը փոփոխական է, ապա օգտագործվում է հետևյալ հատկությունը. փոփոխական շարքի համար, որը բավարարում է Լայբնիցի պայմանները, շարքի մնացորդը բացարձակ արժեքով չի գերազանցում առաջին անտեսված անդամը.
• եթե տվյալ շարքը հաստատուն նշան ունի, ապա անտեսված տերմիններից կազմված շարքը համեմատվում է անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի հետ։
• Ընդհանուր դեպքում Թեյլորի շարքի մնացորդը գնահատելու համար կարող եք օգտագործել Լագրանժի բանաձևը՝ ա x ).

Օրինակ թիվ 1. Հաշվեք ln(3) 0,01-ով:
Լուծում. Եկեք օգտագործենք ընդլայնումը, որտեղ x=1/2 (տե՛ս օրինակ 5-ը նախորդ թեմայում).

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք մենք կարող ենք հրաժարվել ընդլայնման առաջին երեք անդամներից հետո: Դա անելու համար մենք կգնահատենք այն՝ օգտագործելով անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը.

Այսպիսով, մենք կարող ենք հրաժարվել այս մնացորդից և ստանալ

Օրինակ թիվ 2. Հաշվեք 0,0001-ով:
Լուծում. Եկեք օգտագործենք երկանդամների շարքը: Քանի որ 5 3-ը 130-ին ամենամոտ թվի խորանարդն է, խորհուրդ է տրվում 130 թիվը ներկայացնել որպես 130 = 5 3 +5:



քանի որ արդյունքում առաջացող փոփոխական շարքի արդեն չորրորդ անդամը, որը բավարարում է Լայբնիցի չափանիշը, պակաս է պահանջվող ճշգրտությունից.
, ուստի այն և դրան հաջորդող տերմինները կարող են անտեսվել:
Գործնականորեն անհրաժեշտ որոշ կամ ոչ պատշաճ ինտեգրալներ չեն կարող հաշվարկվել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, քանի որ դրա կիրառումը կապված է հակաածանցյալի հայտնաբերման հետ, որը հաճախ տարրական ֆունկցիաներում արտահայտություն չունի: Պատահում է նաև, որ հակաածանցյալ գտնելը հնարավոր է, բայց դա անհարկի աշխատատար է։ Այնուամենայնիվ, եթե ինտեգրման ֆունկցիան ընդլայնվում է հզորության շարքի, և ինտեգրման սահմանները պատկանում են այս շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքին, ապա հնարավոր է ինտեգրալի մոտավոր հաշվարկը կանխորոշված ​​ճշգրտությամբ։

Օրինակ թիվ 3. Հաշվե՛ք ∫ 0 1 4 sin (x) x ինտեգրալը 10 -5-ի սահմաններում:
Լուծում. Համապատասխան անորոշ ինտեգրալը չի ​​կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաներով, այսինքն. ներկայացնում է «ոչ մշտական ​​ինտեգրալ»: Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը չի կարող կիրառվել այստեղ։ Հաշվարկենք ինտեգրալը մոտավորապես։
Մեղքի համար տերմինի շարքի բաժանում xվրա x, ստանում ենք.

Այս շարքը տերմին առ տերմին ինտեգրելով (դա հնարավոր է, քանի որ ինտեգրման սահմանները պատկանում են այս շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքին), մենք ստանում ենք.

Քանի որ ստացված շարքը բավարարում է Լայբնիցի պայմանները, և բավական է վերցնել առաջին երկու անդամների գումարը՝ տվյալ ճշտությամբ ցանկալի արժեքը ստանալու համար։
Այսպիսով, մենք գտնում ենք
.

Օրինակ թիվ 4. Հաշվե՛ք ∫ 0 1 4 e x 2 ինտեգրալը 0,001 ճշտությամբ։
Լուծում.
. Եկեք ստուգենք, թե արդյոք մենք կարող ենք հրաժարվել մնացորդից ստացված շարքի երկրորդ անդամից հետո:
0,0001<0.001. Следовательно, .

Բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսանողները պետք է իմանան, որ մեզ տրված շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքին պատկանող որոշակի ուժային շարքի գումարը ստացվում է շարունակական և անսահմանափակ թվով անգամ տարբերակված ֆունկցիա։ Հարց է առաջանում՝ կարելի՞ է ասել, որ տրված կամայական f(x) ֆունկցիան որոշակի ուժային շարքի գումար է։ Այսինքն՝ ի՞նչ պայմաններում f(x) ֆունկցիան կարող է ներկայացվել ուժային շարքով։ Այս հարցի կարևորությունը կայանում է նրանում, որ f(x) ֆունկցիան հնարավոր է մոտավորապես փոխարինել ուժային շարքի առաջին մի քանի անդամների գումարով, այսինքն՝ բազմանդամ։ Ֆունկցիայի այս փոխարինումը բավականին պարզ արտահայտությամբ՝ բազմանդամով, հարմար է նաև որոշակի խնդիրներ լուծելիս, մասնավորապես՝ ինտեգրալներ լուծելիս, հաշվարկելիս և այլն։

Ապացուցված է, որ f(x) որոշակի ֆունկցիայի համար, որում հնարավոր է մինչև (n+1)-րդ կարգի ածանցյալները հաշվարկել, ներառյալ վերջինը, (α - R; x 0 + R) հարևանությամբ։ ) որոշ կետ x = α, ճիշտ է, որ բանաձևը.

Այս բանաձեւը անվանվել է հայտնի գիտնական Բրուկ Թեյլորի պատվին։ Նախորդից ստացված շարքը կոչվում է Maclaurin շարք.

Կանոնը, որը հնարավորություն է տալիս կատարել ընդլայնում Maclaurin շարքում.

1. Որոշի՛ր առաջին, երկրորդ, երրորդ... կարգերի ածանցյալները:
2. Հաշվիր, թե x=0-ում ինչի են հավասար ածանցյալները:
3. Գրեք Maclaurin շարքը այս ֆունկցիայի համար և որոշեք դրա կոնվերգենցիայի միջակայքը:
4. Որոշեք միջակայքը (-R;R), որտեղ մնացորդն է Maclaurin բանաձևը

R n (x) -> 0 ժամը n -> անսահմանություն: Եթե ​​մեկը գոյություն ունի, նրա մեջ f(x) ֆունկցիան պետք է համընկնի Մակլուրինի շարքի գումարի հետ։

Այժմ դիտարկենք Maclaurin շարքը առանձին գործառույթների համար:

1. Այսպիսով, առաջինը կլինի f(x) = e x: Իհարկե, նման ֆունկցիան իր բնութագրերով ունի շատ տարբեր կարգերի ածանցյալներ, և f (k) (x) = e x, որտեղ k-ը հավասար է բոլորին: Փոխարինեք x = 0: Ստանում ենք f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Ելնելով վերը նշվածից e x շարքը կունենա հետևյալ տեսքը.

2. Մակլաուրինի շարք f(x) = sin x ֆունկցիայի համար: Անմիջապես պարզաբանենք, որ բոլոր անհայտների ֆունկցիան կունենա ածանցյալներ, բացի այդ, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), որտեղ k-ը հավասար է ցանկացած բնական թվի:Այսինքն պարզ հաշվարկներ անելուց հետո կարող ենք գալ. եզրակացությունը, որ f(x) = sin x-ի շարքը կունենա հետևյալ տեսքը.

3. Այժմ փորձենք դիտարկել f(x) = cos x ֆունկցիան։ Բոլոր անհայտների համար այն ունի կամայական կարգի ածանցյալներ, և |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Այսպիսով, մենք թվարկել ենք ամենակարևոր գործառույթները, որոնք կարող են ընդլայնվել Maclaurin շարքում, բայց դրանք լրացվում են Taylor շարքով որոշ գործառույթների համար: Այժմ մենք թվարկենք դրանք: Հարկ է նաև նշել, որ Թեյլորի և Մակլուրինի շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի շարքերի լուծման գործնական աշխատանքի կարևոր մասն են: Այսպիսով, Թեյլորի շարքը:

1. Առաջինը կլինի f(x) = ln(1+x) ֆունկցիայի շարքը: Ինչպես նախորդ օրինակներում, տրված f(x) = ln(1+x) համար մենք կարող ենք շարքը ավելացնել՝ օգտագործելով Maclaurin շարքի ընդհանուր ձևը։ սակայն, այս ֆունկցիայի համար Maclaurin շարքը կարելի է ձեռք բերել շատ ավելի պարզ: Ինտեգրելով որոշակի երկրաչափական շարք՝ մենք ստանում ենք մի շարք f(x) = ln(1+x) այսպիսի նմուշի համար.

2. Իսկ երկրորդը, որը վերջնական կլինի մեր հոդվածում, կլինի f(x) = arctan x-ի շարքը։ [-1;1] միջակայքին պատկանող x-ի համար ընդլայնումը վավեր է.

Այսքանը: Այս հոդվածը ուսումնասիրել է ամենաշատ օգտագործվող Թեյլորի և Մակլաուրինի շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի, մասնավորապես տնտեսագիտության և տեխնիկական համալսարաններում:

Եթե ​​ֆունկցիան f(x)ունի կետը պարունակող որոշակի միջակայքում Ա, բոլոր կարգերի ածանցյալները, ապա դրա վրա կարելի է կիրառել Թեյլորի բանաձևը.

Որտեղ r n- այսպես կոչված մնացորդային տերմինը կամ շարքի մնացորդը, այն կարելի է գնահատել Լագրանժի բանաձևով.

, որտեղ x թիվը գտնվում է միջև XԵվ Ա.

Եթե ​​ինչ-որ արժեքի համար x r n®0 ժամը n®¥, այնուհետև սահմանաչափում Թեյլորի բանաձևը վերածվում է այս արժեքի կոնվերգենտ բանաձևի Թեյլորի շարք:

Այսպիսով, գործառույթը f(x)խնդրո առարկա կետում կարելի է ընդլայնել Թեյլորի շարքի մեջ X, Եթե:

1) ունի բոլոր պատվերների ածանցյալները.

2) կառուցված շարքը համընկնում է այս կետում:

ժամը Ա=0 մենք ստանում ենք մի շարք, որը կոչվում է Մակլաուրինի մոտ:

Օրինակ 1 f(x)= 2x.

Լուծում. Եկեք գտնենք ֆունկցիայի և դրա ածանցյալների արժեքները X=0

f(x) = 2x, զ( 0) = 2 0 =1;

f¢ (x) = 2x ln2, զ¢ ( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢ (x) = 2x 2 2 հասցեում, f¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ածանցյալների ստացված արժեքները փոխարինելով Թեյլորի շարքի բանաձևով՝ մենք ստանում ենք.

Այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը հավասար է անսահմանության, հետևաբար այս ընդլայնումը վավեր է -¥-ի համար<x<+¥.

Օրինակ 2 X+4) ֆունկցիայի համար f(x)=ե x.

Լուծում. Գտնելով ե ֆունկցիայի ածանցյալները xև դրանց արժեքները տվյալ կետում X=-4.

f(x)= էլ x, զ(-4) = էլ -4 ;

f¢ (x)= էլ x, զ¢ (-4) = էլ -4 ;

f¢¢ (x)= էլ x, f¢¢ (-4) = էլ -4 ;

f(n)(x)= էլ x, f(n)( -4) = էլ -4 .

Հետևաբար, ֆունկցիայի պահանջվող Թեյլորի շարքն ունի հետևյալ ձևը.

Այս ընդլայնումը գործում է նաև -¥-ի համար<x<+¥.

Օրինակ 3 . Ընդլայնել գործառույթը f(x)=ln xմի շարք լիազորություններով ( X- 1),

(այսինքն՝ Թեյլորի շարքում՝ կետի մոտակայքում X=1).

Լուծում. Գտե՛ք այս ֆունկցիայի ածանցյալները:

Փոխարինելով այս արժեքները բանաձևի մեջ, մենք ստանում ենք ցանկալի Taylor շարքը.

Օգտագործելով դ'Ալեմբերի թեստը, դուք կարող եք ստուգել, ​​որ շարքը համընկնում է, երբ

½ X- 1 ½<1. Действительно,

Շարքը համընկնում է, եթե ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 մենք ստանում ենք փոփոխական շարք, որը բավարարում է Լայբնիցի չափանիշի պայմանները: ժամը X=0 ֆունկցիան սահմանված չէ: Այսպիսով, Թեյլորի շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը կիսաբաց ինտերվալն է (0;2]։

Այս կերպ ստացված ընդարձակումները ներկայացնենք Maclaurin շարքի մեջ (այսինքն՝ կետի մոտակայքում. X=0) որոշ տարրական ֆունկցիաների համար.

(2) ,

(3) ,

(վերջին տարրալուծումը կոչվում է երկանդամ շարք)

Օրինակ 4 . Ընդլայնել գործառույթը հզորության շարքի

Լուծում. Ընդլայնման մեջ (1) մենք փոխարինում ենք Xվրա - X 2, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 5 . Ընդլայնել գործառույթը Maclaurin շարքում

Լուծում. Մենք ունենք

Օգտագործելով բանաձևը (4), մենք կարող ենք գրել.

փոխարենը փոխարինելով Xբանաձեւի մեջ -X, ստանում ենք.

Այստեղից մենք գտնում ենք.

Բացելով փակագծերը, վերադասավորելով շարքի պայմանները և բերելով նմանատիպ տերմիններ՝ ստանում ենք

Այս շարքը համընկնում է միջակայքում

(-1;1), քանի որ այն ստացվում է երկու շարքից, որոնցից յուրաքանչյուրը համընկնում է այս միջակայքում։

Մեկնաբանություն .

Բանաձևերը (1)-(5) կարող են օգտագործվել նաև համապատասխան գործառույթները Թեյլորի շարքի մեջ ընդլայնելու համար, այսինքն. դրական ամբողջ թվերով ֆունկցիաների ընդլայնման համար ( Հա) Դա անելու համար անհրաժեշտ է տվյալ ֆունկցիայի վրա կատարել այնպիսի նույնական փոխակերպումներ, որպեսզի ստացվի (1)-(5) ֆունկցիաներից մեկը, որի փոխարեն. Xծախսեր k( Հա) m, որտեղ k-ն հաստատուն թիվ է, m-ը դրական ամբողջ թիվ է: Հաճախ հարմար է փոփոխականի փոփոխություն կատարել տ=Հաև ընդլայնել ստացված ֆունկցիան Maclaurin շարքի t-ի նկատմամբ։

Այս մեթոդը ցույց է տալիս ֆունկցիայի հզորության շարքի ընդլայնման եզակիության թեորեմը: Այս թեորեմի էությունն այն է, որ միևնույն կետի հարևանությամբ հնարավոր չէ ստանալ երկու տարբեր ուժային շարքեր, որոնք կմիանան միևնույն ֆունկցիային, անկախ նրանից, թե ինչպես է կատարվում դրա ընդլայնումը:

Օրինակ 6 . Ընդարձակեք Թեյլորի շարքի ֆունկցիան կետի հարևանությամբ X=3.

Լուծում. Այս խնդիրը կարող է լուծվել, ինչպես նախկինում, օգտագործելով Taylor շարքի սահմանումը, որի համար մենք պետք է գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալները և դրանց արժեքները. X=3. Այնուամենայնիվ, ավելի հեշտ կլինի օգտագործել առկա ընդլայնումը (5).

Ստացված շարքը համընկնում է կամ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Օրինակ 7 . Գրեք Թեյլորի շարքը հզորությամբ ( X-1) գործառույթներ .

Լուծում.

Շարքը համընկնում է , կամ 2< x£5.