Գրի՛ր կոնկրետ լուծում չորոշված ​​գործակիցներով: Երկրորդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարումներերկրորդ պատվերի հետ հաստատուն գործակիցներնման լինել

որտեղ p և q իրական թվեր են: Դիտարկենք օրինակներ, թե ինչպես են լուծվում միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները հաստատուն գործակիցներով:

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կախված է արմատներից բնորոշ հավասարում. Բնութագրական հավասարումը k²+pk+q=0 հավասարումն է։

1) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները տարբեր իրական թվեր են.

ապա հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

2) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները հավասար իրական թվեր են

(օրինակ՝ զրոյի հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը.

3) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են

(օրինակ՝ բացասական թվին հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է ձևով.

Մշտական ​​գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման օրինակներ

Գտե՛ք երկրորդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները.

Կազմում ենք բնորոշ հավասարումը` k²-7k+12=0: Դրա դիսկրիմինանտը D=b²-4ac=1>0 է, ուստի արմատները տարբեր իրական թվեր են:

Այսպիսով, այս միատարր 2-րդ կարգի DE-ի ընդհանուր լուծումն է

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Արմատները իրական են և հստակ: Այսպիսով, մենք ունենք այս միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Այս դեպքում բնորոշ հավասարումը

Արմատները տարբեր են և վավերական։ Հետևաբար, 2-րդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն այստեղ է

Բնութագրական հավասարում

Քանի որ արմատները իրական են և հավասար, այս դիֆերենցիալ հավասարման համար ընդհանուր լուծումը գրում ենք որպես

Բնութագրական հավասարումն այստեղ է

Քանի որ խտրականն է բացասական թիվ, բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են։

Այս միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Բնութագրական հավասարում

Այստեղից մենք գտնում ենք այս դիֆերենցիալի ընդհանուր լուծումը: հավասարումներ:

Ինքնաթեստավորման օրինակներ.

Այս հոդվածը անդրադառնում է հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման խնդրին։ Տեսությունը կքննարկվի տրված խնդիրների օրինակների հետ միասին: Անհասկանալի տերմինները վերծանելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական սահմանումների և հասկացությունների թեմային:

Դիտարկենք երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում (LDE) y "" + p · y " + q · y = f (x) ձևի հաստատուն գործակիցներով, որտեղ p և q կամայական թվեր են, և գոյություն ունեցող f ֆունկցիան: (x) շարունակական է ինտեգրման x միջակայքում:

Անցնենք LNDE-ի ընդհանուր լուծման թեորեմի ձևակերպմանը։

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ի լուծման ընդհանուր թեորեմ

Թեորեմ 1

Ընդհանուր լուծում, որը գտնվում է x միջակայքում, y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ձևի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման: . . + f 0 (x) · y = f (x) շարունակական ինտեգրման գործակիցներով x միջակայքում f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) եւ շարունակական գործառույթ f (x)-ը հավասար է y 0 ընդհանուր լուծման գումարին, որը համապատասխանում է LOD-ին և y ~ որոշակի լուծմանը, որտեղ սկզբնական անհամասեռ հավասարումը y = y 0 + y ~ է:

Սա ցույց է տալիս, որ նման երկրորդ կարգի հավասարման լուծումն ունի y = y 0 + y ~ ձև: y 0 գտնելու ալգորիթմը քննարկվում է հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների մասին հոդվածում։ Որից հետո պետք է անցնենք y ~-ի սահմանմանը։

LPDE-ի որոշակի լուծման ընտրությունը կախված է հավասարման աջ կողմում տեղակայված f (x) հասանելի ֆունկցիայի տեսակից: Դրա համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները։

Երբ f (x) համարվում է n-րդ աստիճանի բազմանդամ f (x) = P n (x), հետևում է, որ LPDE-ի որոշակի լուծումը գտնվել է y ~ = Q n (x) ձևի բանաձևով։ ) x γ, որտեղ Q n ( x) n աստիճանի բազմանդամ է, r-ը բնորոշ հավասարման զրոյական արմատների թիվն է։ y ~ արժեքը որոշակի լուծում է y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ապա հասանելի գործակիցները, որոնք սահմանվում են բազմանդամով
Q n (x), մենք գտնում ենք, օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x):

Օրինակ 1

Հաշվեք՝ օգտագործելով Քոշիի թեորեմը y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 :

Լուծում

Այլ կերպ ասած, անհրաժեշտ է անցնել y "" - 2 y " = x 2 + 1 հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծմանը, որը կբավարարի տրված y պայմանները (0) = 2, y "(0) = 1 4:

Գծայինի ընդհանուր լուծումը միատարր հավասարումընդհանուր լուծման գումարն է, որը համապատասխանում է y 0 հավասարմանը կամ որոշակի լուծմանը անհամասեռ հավասարում y ~ , այսինքն y = y 0 + y ~ .

Նախ ԼԺՄ-ի համար ընդհանուր լուծում կգտնենք, հետո՝ կոնկրետ։

Անցնենք y 0 գտնելուն: Հատկանշական հավասարումը գրելը կօգնի ձեզ գտնել արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները տարբեր են և իրական: Հետեւաբար, եկեք գրենք

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Եկեք գտնենք y ~ . Երևում է, որ տրված հավասարման աջ կողմը երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, ապա արմատներից մեկը հավասար է զրոյի։ Դրանից մենք ստանում ենք, որ y ~-ի համար որոշակի լուծում կլինի

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, որտեղ A, B, C արժեքները վերցնում են չորոշված ​​գործակիցներ:

Գտնենք դրանք y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ձևի հավասարությունից:

Հետո մենք ստանում ենք, որ.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Գործակիցները հավասարեցնելով x-ի նույն ցուցանիշներին՝ ստանում ենք գծային արտահայտությունների համակարգ՝ 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1: Մեթոդներից որևէ մեկով լուծելիս կգտնենք գործակիցները և կգրենք՝ A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 և y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Այս մուտքը կոչվում է հաստատուն գործակիցներով սկզբնական գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում։

Որոշակի լուծում գտնելու համար, որը բավարարում է y (0) = 2, y "(0) = 1 4 պայմանները, անհրաժեշտ է որոշել արժեքները. Գ 1Եվ Գ 2, հիմնվելով y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ձևի հավասարության վրա:

Մենք ստանում ենք, որ.

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Մենք աշխատում ենք C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ձևի հավասարումների համակարգով, որտեղ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2:

Կիրառելով Քոշիի թեորեմը՝ մենք ունենք դա

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Պատասխան. 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Երբ f (x) ֆունկցիան ներկայացված է որպես n աստիճան ունեցող բազմանդամի արտադրյալ և f (x) = P n (x) · e a x, ապա մենք ստանում ենք, որ երկրորդ կարգի LPDE-ի որոշակի լուծումը կլինի y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ ձևի հավասարումը, որտեղ Q n (x)-ը n-րդ աստիճանի բազմանդամ է, իսկ r-ը՝ α-ին հավասար բնորոշ հավասարման արմատների թիվը։

Q n (x)-ին պատկանող գործակիցները գտնում ենք y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարությամբ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք y "" - 2 y " = (x 2 + 1) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը · e x .

Լուծում

Ընդհանուր հավասարումը y = y 0 + y ~ է: Նշված հավասարումը համապատասխանում է LOD y "" - 2 y " = 0: Նախորդ օրինակից երևում է, որ դրա արմատները հավասար են. k 1 = 0և k 2 = 2 և y 0 = C 1 + C 2 e 2 x բնորոշ հավասարմամբ:

Կարելի է տեսնել, որ հավասարման աջ կողմը x 2 + 1 · e x է: Այստեղից LPDE-ն հայտնաբերվում է y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ի միջոցով, որտեղ Q n (x) երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, որտեղ α = 1 և r = 0, քանի որ բնորոշ հավասարումը չի ունեն 1-ի հավասար արմատ: Այստեղից մենք ստանում ենք դա

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C-ն անհայտ գործակիցներ են, որոնք կարելի է գտնել y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x հավասարությամբ:

Դա հասկացա

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Ցուցանիշները հավասարեցնում ենք նույն գործակիցներով ու ստանում համակարգը գծային հավասարումներ. Այստեղից մենք գտնում ենք A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Պատասխան.պարզ է, որ y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE-ի որոշակի լուծում է, և y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ընդհանուր լուծում երկրորդ կարգի անհամասեռ դիֆ հավասարման համար:

Երբ ֆունկցիան գրված է որպես f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, և Ա 1Եվ 1-ումթվեր են, ապա LPDE-ի մասնակի լուծումը համարվում է y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ձևի հավասարում, որտեղ A-ն և B-ն համարվում են չորոշված ​​գործակիցներ, իսկ r-ը բարդ զուգակցված արմատներ՝ կապված բնորոշ հավասարման հետ, հավասար ± i β-ի: Այս դեպքում գործակիցների որոնումն իրականացվում է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության միջոցով:

Օրինակ 3

Գտե՛ք y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում

Նախքան բնորոշ հավասարումը գրելը, մենք գտնում ենք y 0: Հետո

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Մենք ունենք զույգ բարդ զուգակցված արմատներ: Եկեք վերափոխենք և ստանանք.

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Բնութագրական հավասարման արմատները համարվում են ± 2 i խոնարհված զույգը, ապա f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x): Սա ցույց է տալիս, որ y ~-ի որոնումը կկատարվի y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Անհայտներ Մենք կփնտրենք A և B գործակիցները y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի հավասարությունից:

Եկեք փոխակերպենք.

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Հետո պարզ է, որ

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 մեղք (2 x)

Անհրաժեշտ է հավասարեցնել սինուսների և կոսինուսների գործակիցները: Մենք ստանում ենք ձևի համակարգ.

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Հետևում է, որ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Պատասխան.դիտարկվում է սկզբնական երկրորդ կարգի LDDE-ի ընդհանուր լուծումը հաստատուն գործակիցներով

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Երբ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), ապա y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Ունենք, որ r-ը բնութագրական հավասարման հետ կապված արմատների բարդ խոնարհված զույգերի թիվն է, որը հավասար է α ± i β-ին, որտեղ P n (x), Q k (x), Լ մ (x) և Նմ (x) n, k, m, m աստիճանի բազմանդամներ են, որտեղ m = m a x (n, k). Գործակիցների որոնում Lm (x)Եվ Նմ (x)կազմված է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության հիման վրա։

Օրինակ 4

Գտե՛ք y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Ըստ պայմանի պարզ է, որ

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Այնուհետև m = m a x (n, k) = 1: Մենք գտնում ենք y 0՝ նախ գրելով ձևի բնորոշ հավասարումը.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները իրական են և հստակ: Հետևաբար y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x: Հաջորդը, անհրաժեշտ է ընդհանուր լուծում փնտրել՝ հիմնված ձևի y ~ անհամասեռ հավասարման վրա.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))

Հայտնի է, որ A, B, C գործակիցներ են, r = 0, քանի որ չկա զույգ արմատներ, որոնք կապված են α ± i β = 3 ± 5 · i-ով բնորոշ հավասարման հետ: Ստացված հավասարությունից մենք գտնում ենք այս գործակիցները.

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) մեղք (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ածանցյալ և նմանատիպ տերմինները գտնելը տալիս է

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · մեղք (5 x) + 45 · մեղք (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Գործակիցները հավասարեցնելուց հետո ստանում ենք ձևի համակարգ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Ամեն ինչից հետևում է, որ

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

Պատասխան.Այժմ մենք ստացել ենք տրված գծային հավասարման ընդհանուր լուծումը.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

LDNU-ի լուծման ալգորիթմ

Սահմանում 1

Լուծման համար f (x) ֆունկցիայի ցանկացած այլ տեսակ պահանջում է համապատասխանություն լուծման ալգորիթմին.

• գտնելով համապատասխան գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, որտեղ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, որտեղ y 1Եվ y 2 LODE-ի գծային անկախ մասնակի լուծումներ են, Գ 1Եվ Գ 2համարվում են կամայական հաստատուններ.
• ընդունումը որպես LNDE-ի ընդհանուր լուծում y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• ֆունկցիայի ածանցյալների որոշում C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" (x) + y 1» ( x) + C 2 "(x) · y 2" (x) = f (x) , և գտնել գործառույթներ C 1 (x)և C 2 (x) ինտեգրման միջոցով:

Օրինակ 5

Գտե՛ք y «» + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Մենք սկսում ենք գրել բնորոշ հավասարումը, նախապես գրելով y 0, y "" + 36 y = 0: Եկեք գրենք և լուծենք.

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = մեղք (6 x)

Ունենք, որ տրված հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվելու է y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Պետք է անցնել ածանցյալ ֆունկցիաների սահմանմանը C 1 (x)Եվ C2 (x)ըստ հավասարումների համակարգի.

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2" (x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 մեղք (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

վերաբերյալ որոշում պետք է կայացվի C 1" (x)Եվ C 2" (x)օգտագործելով ցանկացած մեթոդ: Այնուհետև գրում ենք.

C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը պետք է ինտեգրված լինի: Այնուհետև մենք գրում ենք ստացված հավասարումները.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 մեղք (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x մեղք (6 x) + C 4

Հետևում է, որ ընդհանուր լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 մեղք (6 x)

Պատասխան. y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin. (6 x)

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Որտեղ էջԵվ ք- կամայական իրական թվեր են, և ֆունկցիան f(x)- շարունակական ինտեգրման միջակայքում X.

Եկեք արտահայտենք թեորեմ, որը ցույց է տալիս այն ձևը, որով անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծումը գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումն է:

Թեորեմ.

Ընդհանուր լուծում ինտերվալի վրա Xգծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում. ինտեգրման միջակայքում շարունակականներով Xգործակիցներ և շարունակական ֆունկցիա f(x)հավասար է ընդհանուր լուծման գումարին y 0համապատասխան գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումև սկզբնական անհամասեռ հավասարման ցանկացած կոնկրետ լուծում, այսինքն.

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը LNDUՄշտական ​​գործակիցներով 2-րդ կարգը հաստատուն գործակիցներով և որոշակի լուծումով 2-րդ կարգի համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծման գումարն է.

Հաշվարկ y 0Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով նկարագրված են հոդվածում, այժմ մենք կքննարկենք գտնելու մեթոդը:

Կան մի քանիսը հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում որոշելու մեթոդներ. Այս մեթոդները սահմանվում են՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի տեսակը f(x), որը հավասարման աջ կողմում է։ Եկեք դրանք անվանենք և հաջորդ հոդվածներում կդիտարկենք յուրաքանչյուր երկրորդ կարգի LDDE-ի լուծումները հաստատուն գործակիցներով.

2. Եթե ֆունկցիան f(x)ներկայացված է աստիճանի բազմանդամի արտադրյալով nև ցուցահանդեսի մասնակիցները , ինչը նշանակում է, որ գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման կոնկրետ լուծումը գտնվել է որպես ,

Որտեղ Qn(x)բազմանդամ է n-րդ աստիճան,

r- բնորոշ հավասարման արմատների թիվը, որոնք հավասար են.

Բազմանդամ գործակիցներ Qn(x)կարելի է որոշել հավասարությունից։

3. Եթե ֆունկցիան f(x)կարծես այսպիսին է՝ որտեղ Ա 1Եվ 1-ումպարզվում է, որ թվեր են, ինչը նշանակում է, որ գծային անորոշ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծումը ներկայացված է հետևյալ կերպ.

Որտեղ ԱԵվ INչորոշված ​​գործակիցներ են,

r- բնորոշ հավասարման արմատների բարդ խոնարհված զույգերի թիվն է, որոնք հավասար են . Բազմանդամ գործակիցներ ԱԵվ INորոշվում են՝ ելնելով հավասարությունից։

4. Եթե, ապա,

Որտեղ rբնորոշ հավասարման արմատների բարդ խոնարհված զույգերի թիվն է, որոնք հավասար են.

Pn(x),Qk(x), Lm (x)Եվ Նմ (x)աստիճանի բազմանդամներ են n, կ, մԵվ մհամապատասխանաբար, m = max(n, k).

Գտե՛ք բազմանդամների գործակիցները Lm (x)Եվ Նմ (x)դուք կարող եք օգտագործել հավասարությունը:

5. Բոլոր այլ տեսակի գործառույթների համար f(x)Օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

• Առաջին քայլը պահանջվող գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը որոշելն է որպես y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, Որտեղ y 1Եվ y 2գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ մասնակի լուծումներ են, և Գ 1Եվ Գ 2կամայական հաստատուններ են;
• Այնուհետև մենք փոփոխում ենք կամայական հաստատունները, այսինքն՝ որպես սկզբնական գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում, որը մենք ընդունում ենք y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• իսկ վերջին քայլը ֆունկցիաների ածանցյալների որոշումն է C 1 (x)Եվ C 2 (x)հավասարումների համակարգից.

,

և գործառույթներ C 1 (x)Եվ C2 (x)որոշվում է հետագա ինտեգրումից:

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

,
որտեղ p և q-ն x փոփոխականի ֆունկցիաներն են:

Առաջին կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

Առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում ձևի հավասարումն է

q տերմին (x)կոչվում է հավասարման անհամասեռ մասը։

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը.
(1) .
Այս հավասարումը լուծելու երեք եղանակ կա.

• ինտեգրող գործոնի մեթոդ;

Գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծում՝ օգտագործելով ինտեգրող գործակից

Դիտարկենք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման մեթոդ՝ օգտագործելով ինտեգրող գործոն.
Եկեք բազմապատկենք երկու կողմերը բնօրինակ հավասարումը (1) ինտեգրող գործոնով
:
(2)
Հաջորդը, մենք նշում ենք, որ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

Ըստ տարբերակման կանոնի բարդ գործառույթ:

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.


Փոխարինել ներս (2) :

Եկեք ինտեգրենք.

Բազմապատկել . Մենք ստանում ենք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում:

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման օրինակ

Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում

Բաժանենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը x-ով.
(i) .
Հետո
;
.
Ինտեգրման գործոն.

Մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել, քանի որ ինտեգրման գործակիցը կարող է բազմապատկվել ցանկացած հաստատունով (ներառյալ ± 1).
Եկեք բազմապատկենք (i) x-ի կողմից 3 :
.
Մենք ընտրում ենք ածանցյալը:
;
.
Մենք ինտեգրվում ենք ինտեգրալների աղյուսակի միջոցով.
.
Բաժանել x-ի 3 :
.

Պատասխանել

Հղումներ:
Ն.Մ. Գյունտեր, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, «Լան», 2003 թ.

Գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների (LNDE-2) լուծման հիմունքները հաստատուն գործակիցներով (PC)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): Այնուհետև LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավորի և ընդհանուր լուծումներ, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե ​​2-րդ կարգի LMDE-ի աջ կողմը ֆունկցիաների գումար է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x): \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$-ները, որոնք համապատասխանում են $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ձևով:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն ​​PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

Աջ մաս LNDU-2-ն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է $ աստիճանի բազմանդամ. n$. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որոնք հավասար են զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ են հայտնի թվեր. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• փոխարինեք PD $U$-ով գրված ընդհանուր տեսարան, Վ ձախ կողմ LNDU-2;
• LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
• Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
• լուծել ստացված գծային հավասարումների համակարգը անհայտ գործակիցների համար.

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$-ի փոխարեն $y""$, $y"$ և $y$ ֆունկցիաները տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x)$ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարելի է բաց թողնել: Ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD որոնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.