Լուծե՛ք Բեռնուլիի հավասարումը. Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ և Բեռնուլիի հավասարումներ

Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի հավասարումն է

որտեղ n≠0,n≠1:

Այս հավասարումը կարող է վերադասավորվել փոխարինման միջոցով

Վ գծային հավասարում

Գործնականում դիֆերենցիալ հավասարումԲեռնուլին սովորաբար չի հանգեցնում գծային հավասարման, այլ անմիջապես լուծվում է նույն մեթոդներով, ինչ գծային հավասարումը` կամ Բեռնուլիի մեթոդը կամ կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդը:

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է լուծել Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումը, օգտագործելով y=uv փոխարինումը (Բեռնուլիի մեթոդ): Լուծման սխեման նույնն է, ինչ .

Օրինակներ. Լուծել հավասարումներ.

1) y’x+y=-xy².

Սա Բերնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումն է։ Եկեք այն հասցնենք ստանդարտ ձևի: Դա անելու համար երկու մասերը բաժանեք x-ի` y’+y/x=-y²: Այստեղ p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2: Բայց մեզ դա պետք չէ լուծելու համար ստանդարտ տեսք. Մենք աշխատելու ենք պայմանում տրված ձայնագրման ձևով։

1) Փոխարինում y=uv, որտեղ u=u(x) և v=v(x) x-ի որոշ նոր ֆունկցիաներ են: Ապա y’=(uv)’=u’v+v’u: Ստացված արտահայտությունները փոխարինում ենք պայմանով՝ (u’v+v’u)x+uv=-xu²v²:

2) Բացենք փակագծերը՝ u’vx+v’ux+uv=-xu²v²: Հիմա եկեք խմբավորենք անդամները v-ով. v+v’ux=-xu²v² (I) (մենք չենք շոշափում տերմինը v աստիճանով, որը գտնվում է հավասարման աջ կողմում): Այժմ մենք պահանջում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունը հավասար լինի զրոյի՝ u’x+u=0: Եվ սա հավասարում է u և x բաժանելի փոփոխականներով։ Լուծելով այն, մենք կգտնենք ձեզ: Փոխարինում ենք u=du/dx և առանձնացնում ենք x·du/dx=-u փոփոխականները։ Մենք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում ենք xu≠0-ով.

(u C-ն գտնելիս այն հավասար է զրոյի):

3) (I) հավասարման մեջ փոխարինում ենք =0, իսկ գտնված ֆունկցիան u=1/x: Մենք ունենք հավասարում` v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v²: Պարզեցումից հետո՝ v’=-(1/x)·v²: Սա հավասարում է v և x բաժանելի փոփոխականներով: Փոխարինում ենք v’=dv/dx և առանձնացնում փոփոխականները՝ dv/dx=-(1/x)·v²: Մենք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում ենք v²≠0-ով.

(վերցրինք -C-ն, որպեսզի երկու կողմերը -1-ով բազմապատկելով՝ ազատվենք մինուսից)։ Այսպիսով, բազմապատկեք (-1):

(կարելի էր վերցնել ոչ թե C, այլ ln│C│, և այս դեպքում այն ​​կլիներ v=1/ln│Cx│):

2) 2y’+2y=xy²:

Եկեք համոզվենք, որ սա Բերնուլիի հավասարումն է։ Երկու մասերը բաժանելով 2-ի, ստանում ենք y’+y=(x/2) y²։ Այստեղ p(x)=1, q(x)=x/2, n=2: Հավասարումը լուծում ենք Բեռնուլիի մեթոդով։

1) Փոխարինում y=uv, y’=u’v+v’u. Մենք այս արտահայտությունները փոխարինում ենք սկզբնական վիճակում՝ 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v²:

2) Բացեք փակագծերը՝ 2u’v+2v’u+2uv=xu²v²: Այժմ խմբավորենք v պարունակող տերմինները՝ +2v’u=xu²v² (II): Մենք պահանջում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունը հավասար լինի զրոյի՝ 2u’+2u=0, հետևաբար u’+u=0: Սա u-ի և x-ի բաժանելի հավասարումն է: Եկեք լուծենք այն և գտնենք ձեզ: Փոխարինում ենք u’=du/dx, որտեղից du/dx=-u։ Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով dx-ով և բաժանելով u≠0-ի, ստանում ենք՝ du/u=-dx: Եկեք ինտեգրենք.

3) փոխարինել (II) =0-ով և

Այժմ մենք փոխարինում ենք v’=dv/dx և առանձնացնում փոփոխականները.

Եկեք ինտեգրենք.

Հավասարության ձախ կողմը աղյուսակի ինտեգրալ է, աջ կողմի ինտեգրալը գտնում ենք՝ օգտագործելով ինտեգրումը ըստ մասերի բանաձևի.

Փոխարինելով գտնված v-ն և du-ն՝ օգտագործելով ինտեգրումը մասերի բանաձևով, մենք ունենք.

Եվ քանի որ

Կազմենք C=-C:

4) Քանի որ y=uv, մենք փոխարինում ենք u և v ֆունկցիաները.

3) Ամբողջացնել x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 հավասարումը:

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք x²(x-1)≠0-ով և y²-ով տերմինը տեղափոխենք աջ կողմ.

Սա Բերնուլիի հավասարումն է

1) Փոխարինում y=uv, y’=u’v+v’u. Ինչպես սովորաբար, մենք փոխարինում ենք այս արտահայտությունները սկզբնական վիճակում՝ x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0:

2) Ուստի x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v²: Մենք խմբավորում ենք v պարունակող տերմինները (v² - մի հպեք).

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III): Այժմ մենք պահանջում ենք, որ փակագծերի արտահայտությունը հավասար լինի զրոյի՝ x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, հետևաբար x²(x-1)u’=x(x-2)u: Հավասարման մեջ առանձնացնում ենք u և x փոփոխականները, u’=du/dx՝ x²(x-1)du/dx=x(x-2)u։ Մենք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք dx-ով և բաժանում x²(x-1)u≠0-ով.

Հավասարման ձախ կողմում աղյուսակային ինտեգրալն է: Ռացիոնալ կոտորակաջ կողմում դուք պետք է տարրալուծեք պարզ կոտորակների.

Երբ x=1՝ 1-2=A·0+B·1, որտեղից B=-1:

x=0-ում՝ 0-2=A(0-1)+B·0, որտեղից A=2:

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Ըստ լոգարիթմների հատկությունների՝ ln│u│=ln│x²/(x-1)│, որտեղից u=x²/(x-1):

3) Հավասարության մեջ (III) փոխարինում ենք =0 և u=x²/(x-1): Մենք ստանում ենք՝ 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, փոխարինող:

C-ի փոխարեն վերցնում ենք - C, որպեսզի երկու կողմերը բազմապատկելով (-1-ով) ազատվենք մինուսներից.

Այժմ եկեք կրճատենք աջ կողմի արտահայտությունները ընդհանուր հայտարարի և գտնենք v.

4) Քանի որ y=uv, փոխարինելով գտնված u և v ֆունկցիաները, ստանում ենք.

Ինքնաթեստի օրինակներ.

1) Եկեք համոզվենք, որ սա Բերնուլիի հավասարումն է: Երկու կողմերը x-ի բաժանելով՝ ունենում ենք.

1) Փոխարինում y=uv, որտեղից y’=u’v+v’u. Մենք այս y-ն և y-ը փոխարինում ենք սկզբնական վիճակում.

2) տերմինները խմբավորել v-ով.

Այժմ մենք պահանջում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունը հավասար լինի զրոյի և գտնել u այս պայմանից.

Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը.

3) (*) հավասարման մեջ մենք փոխարինում ենք =0 և u=1/x²:

Եկեք ինտեգրենք ստացված հավասարման երկու կողմերը:

Y' + P(x)y = Q(x) ձևի հավասարումը, որտեղ P(x) և Q(x) x-ի հայտնի ֆունկցիաները, գծային y ֆունկցիայի և նրա y' ածանցյալի նկատմամբ, կոչվում է. առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում։

Եթե ​​q(x)=0, ապա հավասարումը կոչվում է գծային միատարր հավասարում: q(x)=0 – գծային անհամասեռ հավասարում.

Գծային հավասարումը կրճատվում է բաժանելի փոփոխականներով երկու հավասարումների՝ օգտագործելով y = u*v փոխարինումը, որտեղ u = u(x) և v = v(x) որոշ օժանդակ շարունակական ֆունկցիաներ են:

Այսպիսով, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

այնուհետև մենք վերագրում ենք սկզբնական հավասարումը ձևով՝ u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2):

Քանի որ y անհայտ ֆունկցիան որոնվում է որպես երկու ֆունկցիաների արտադրյալ, դրանցից մեկը կարող է ընտրվել կամայականորեն, մյուսը կարող է որոշվել (2) հավասարմամբ։

Եկեք ընտրենք այնպես, որ v’ + P(x)*v = 0 (3): Դրա համար բավական է, որ v(x)-ը լինի (3) հավասարման մասնակի լուծումը (C = 0-ում): Գտնենք այս լուծումը.

V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)

Ֆունկցիան (4) փոխարինելով (2) հավասարմամբ՝ մենք ստանում ենք երկրորդ հավասարումը բաժանելի փոփոխականներով, որից գտնում ենք u(x) ֆունկցիան.

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u = +C (5)

Վերջապես մենք ստանում ենք.

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Բեռնուլիի հավասարումը.y’ + y = x* y 3

Այս հավասարումն ունի ձև՝ y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), որտեղ P(x) և Q(x) շարունակական ֆունկցիաներ են:

Եթե ​​n = 0, ապա Բեռնուլիի հավասարումը դառնում է գծային դիֆերենցիալ հավասարում։ Եթե ​​n = 1, ապա հավասարումը դառնում է բաժանելի հավասարում:

Ընդհանուր առմամբ, երբ n ≠ 0, 1, հավասար. Բեռնուլին վերածվում է գծային դիֆերենցիալ հավասարման՝ օգտագործելով փոխարինումը. z = y 1-n

z(x) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալ հավասարումն ունի z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) ձևը և կարող է լուծվել նույն ձևերով, ինչ գծային դիֆերենցիալները: 1-ին կարգի հավասարումներ.

20. Բարձրագույն կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիտարկենք ֆունկցիան չպարունակող հավասարումը բացահայտորեն.

Այս հավասարման կարգը կրճատվում է մեկով, օգտագործելով փոխարինումը.

Իսկապես, ուրեմն.

Եվ մենք ստանում ենք հավասարում, որի կարգը իջեցվում է մեկով.

Տարբեր. Երկրորդից բարձր կարգի հավասարումները ունեն ձևը և , որտեղ իրական թվերն են, և ֆունկցիան f(x)շարունակական ինտեգրման միջակայքում X.

Նման հավասարումները միշտ չէ, որ հնարավոր է լուծել վերլուծական եղանակով և սովորաբար օգտագործվում են մոտավոր մեթոդներ: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում հնարավոր է գտնել ընդհանուր որոշում.

Թեորեմ.

Ընդհանուր լուծում y 0 գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում միջակայքի վրա Xշարունակական գործակիցներով միացված Xգծային համակցություն է n LODE-ի գծային անկախ մասնակի լուծումներ կամայականությամբ հաստատուն գործակիցներ , այն է .

Թեորեմ.

Ընդհանուր որոշում yգծային անհամասեռ դիֆերենցիալ

հավասարումներ միջակայքի վրա Xշարունակականների հետ նույնի վրա

միջեւ Xգործակիցները և ֆունկցիան f(x)ներկայացնում է գումարը

Որտեղ y 0 համապատասխան LODE-ի ընդհանուր լուծումն է և սկզբնական LODE-ի որոշ առանձնահատուկ լուծում:

Այսպիսով, հաստատուններով գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

որոնում գործակիցներ ձևով, որտեղ - որոշ

նրա մասնավոր լուծումը, և – համապատասխան համասեռ դիֆերենցիալի ընդհանուր լուծում

հավասարումներ

21. Թեստեր և իրադարձություններ. Միջոցառումների տեսակները. Օրինակներ.

Թեստավորումը իրադարձությունների առաջացման համար որոշակի պայմանների ստեղծումն է: Օրինակ՝ զառ գցել

Իրադարձություն – թեստի այս կամ այն ​​արդյունքի առաջացում/չառաջանալը. թեստի արդյունքը. Օրինակ՝ պտտել 2 համարը

Պատահական իրադարձությունը այն իրադարձությունն է, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել տվյալ թեստի ժամանակ: Օրինակ՝ 5-ից մեծ թվի գլորում

Վստահելի - իրադարձություն, որն անխուսափելիորեն տեղի է ունենում տվյալ թեստի ժամանակ: Օրինակ՝ 1-ից մեծ կամ հավասար թվի գլորում

Հնարավոր - իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ տվյալ թեստի ժամանակ: Օրինակ՝ գլորել 6 թիվը

Անհնար - իրադարձություն, որը չի կարող տեղի ունենալ տվյալ թեստի ժամանակ: Օրինակ՝ պտտելով 7 թիվը

Թող A-ն լինի ինչ-որ իրադարձություն: Դրան հակառակ իրադարձությամբ մենք կհասկանանք մի իրադարձություն, որը բաղկացած է A-ի իրադարձության չկատարումից։ Նշանակում՝ Ᾱ. Օրինակ՝ A – 2 համարը գլորվում է, Ᾱ – ցանկացած այլ թիվ գլորվում է

A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են, եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի հայտնվելը նույն դատավարության ընթացքում: Օրինակ՝ ստանալով 1 և 3 թվերը նույն գլանակի վրա:

A և B իրադարձությունները կոչվում են համատեղ, եթե դրանք կարող են տեղի ունենալ մեկ փորձության ընթացքում: Օրինակ՝ ստանալ 2-ից մեծ թիվ և 4 թիվը նույն գլանակի վրա:

22. Իրադարձությունների ամբողջական խումբ: Օրինակներ.

Իրադարձությունների ամբողջական խումբ՝ իրադարձություններ A, B, C, D, ..., L, որոնք համարվում են միակ հնարավորը, եթե յուրաքանչյուր թեստի արդյունքում դրանցից գոնե մեկը անպայման տեղի կունենա։ Օրինակ՝ զառերի վրա հայտնվում են թիվ 1, համարը 2, 3, 4, 5, 6:

23. Իրադարձությունների հաճախականությունը. Հավանականության վիճակագրական սահմանում.

Թող կատարվեն n թեստեր, և A իրադարձությունը տեղի է ունենում m անգամ: Այս m:n հարաբերակցությունը A իրադարձության առաջացման հաճախականությունն է:

Def. Պատահական իրադարձության հավանականությունը տվյալ իրադարձության հետ կապված հաստատուն թիվ է, որի շուրջ այս իրադարձության առաջացման հաճախականությունը տատանվում է թեստերի երկար շարքերում։

Հավանականությունը հաշվարկվում է փորձից առաջ, իսկ հաճախականությունը դրանից հետո։

24. Հավանականության դասական սահմանում. Իրադարձության հավանականության հատկությունները.

Իրադարձության x հավանականությունը A իրադարձությանը նպաստավոր արդյունքների քանակի հարաբերակցությունն է փորձի բոլոր հավասարապես հնարավոր զույգերով անհամատեղելի և եզակի հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվին: P (A) =

Իրադարձությունների հավանականության հատկություններ.

Ցանկացած իրադարձության համար A 0<=m<=n

Յուրաքանչյուր անդամ բաժանելով n-ի, մենք ստանում ենք ցանկացած իրադարձության հավանականության A: 0<=Р(А) <=1

Եթե ​​m=0, ապա իրադարձությունն անհնար է՝ P(A)=0

Եթե ​​m=n, ապա իրադարձությունը վստահելի է՝ P(A)=1

Եթե ​​մ

25. Հավանականության երկրաչափական սահմանում. Օրինակներ.

Հավանականության դասական սահմանումը պահանջում է տարրական և հավասարապես հնարավոր արդյունքների սահմանափակ քանակի դիտարկում: Բայց գործնականում հաճախ կան թեստեր, որոնցում հնարավոր արդյունքների թիվը անսահման է:

ODA. Եթե ​​կետը պատահականորեն հայտնվում է S չափման միաչափ, երկչափ կամ եռաչափ հատվածում (չափը նրա երկարությունն է, մակերեսը կամ ծավալը), ապա S չափման այս հատվածում դրա հայտնվելու հավանականությունը հավասար է. դեպի

որտեղ S-ը երկրաչափական չափումն է, որն արտահայտում է ընդհանուր թիվը բոլոր հնարավոր և հավասարապես հնարավորայս դատավարության արդյունքները, և Ս ես– միջոց, որն արտահայտում է A-ի իրադարձությանը նպաստավոր արդյունքների քանակը:

Օրինակ 1. R շառավղով շրջանագիծը դրված է r շառավղով փոքր շրջանագծի մեջ Գտեք հավանականությունը, որ մեծ շրջանի մեջ պատահականորեն նետված կետը նույնպես ընկնի փոքր շրջանի մեջ:

Օրինակ 2.Թող l երկարության հատվածը ներառվի L երկարության հատվածի մեջ: Գտե՛ք A իրադարձության հավանականությունը «պատահականորեն նետված կետը ընկնում է l երկարությամբ հատվածի վրա»:

Օրինակ 3. Շրջանակում պատահականորեն ընտրվում է մի կետ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրա հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից կեսից մեծ է:

Օրինակ 4.Երկու անձինք պայմանավորվել են հանդիպել որոշակի վայրում կեսօրից հետո ժամը երկուսից երեքը: Առաջինը, ով գալիս է, սպասում է դիմացինին 10 րոպե, ապա հեռանում: Ո՞րն է այդ անձանց հանդիպման հավանականությունը, եթե նրանցից յուրաքանչյուրը կարող է ցանկացած ժամի ժամանել նշված ժամին՝ անկախ մյուսից:

26. Կոմբինատորիկայի տարրեր՝ տեղաբաշխում, փոխարկում, համակցություններ։

1) փոխակերպումկոչվում է վերջավոր բազմության մեջ հաստատված կարգ։

Բոլոր տարբեր փոխարկումների թիվը հաշվարկվում է բանաձևով

2) տեղաբաշխում-ից nտարրեր ըստ մինչ-որ բան անվանել կարգուկանոն m տարրեր պարունակող հիմնական բազմության ենթաբազմություն։

3) համակցում-ից nտարրեր ըստ մինչ-որ բան անվանել անկարգ տարրեր պարունակող հիմնական հավաքածուի ենթաբազմություն:

y" +a 0 (x)y=b(x)y n դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է Բեռնուլիի հավասարումը.
Քանի որ n=0-ով ստացվում է գծային հավասարում, իսկ n=1-ով՝ բաժանելի փոփոխականներով, ենթադրում ենք, որ n ≠ 0 և n ≠ 1. (1)-ի երկու կողմերը բաժանել y n-ի: Հետո, դնելով, մենք ունենք. Այս արտահայտությունը փոխարինելով՝ ստանում ենք , կամ, որը նույն բանն է, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x): Սա գծային հավասարում է, որը մենք գիտենք, թե ինչպես լուծել:

Ծառայության նպատակը. Լուծումը ստուգելու համար կարելի է օգտագործել առցանց հաշվիչը Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

=

Օրինակ 1. Գտե՛ք y" + 2xy = 2xy 3 հավասարման ընդհանուր լուծումը: Սա Բեռնուլիի հավասարումն է n=3-ի համար: Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով y 3-ի վրա՝ մենք ստանում ենք փոփոխություն: Այնուհետև և, հետևաբար, հավասարումը վերաշարադրվում է որպես -z: « + 4xz = 4x. Լուծելով այս հավասարումը կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդով՝ մենք ստանում ենք որտեղ կամ, ինչ է նույնը, .

Օրինակ 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Բաժանել y-ի 2-ի
y"/y 2 + 1/y = -1

Մենք փոխարինում ենք.
z=1/y n-1, այսինքն. z = 1 / y 2-1 = 1 / y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Մենք ստանում ենք՝ -z" + z = -1 կամ z" - z = 1

Օրինակ 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Լուծում.
ա) Բեռնուլիի հավասարման միջոցով լուծում.
Ներկայացնենք այն ձևով՝ xy’+2y=-x 5 y 3 e x: Սա Բեռնուլիի հավասարումն է n=3-ի համար։ Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով y 3-ի վրա՝ կստանանք՝ xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x: Կատարում ենք փոխարինում. և հետևաբար հավասարումը վերաշարադրվում է ձևով՝ -xz"/2+2z=-x 5 e x: Սա ոչ միատարր հավասարում է: Դիտարկենք համապատասխան միատարր հավասարումը. -xz"/2+2z=0
1. Լուծելով այն՝ ստանում ենք՝ z"=4z/x

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Այժմ մենք փնտրում ենք սկզբնական հավասարման լուծում՝ y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)":
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x կամ C(x)" = 2e x: Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք՝ C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
y(x)=C(x)y պայմանից ստանում ենք՝ y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) կամ y = Cx 4 +2x 4 e x: Քանի որ z=1/y 2, մենք ստանում ենք՝ 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Բեռնուլիի հավասարումըամենահայտնիներից է առաջին կարգի ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Ձևով գրված է

Որտեղ ա(x) Եվ բ(x) շարունակական ֆունկցիաներ են։ Եթե մ= 0, ապա Բեռնուլիի հավասարումը դառնում է գծային դիֆերենցիալ հավասարում: Այն դեպքում, երբ մ= 1, հավասարումը դառնում է բաժանելի հավասարում: Ընդհանուր առմամբ, երբ մ≠ 0.1, Բեռնուլիի հավասարումը վերածվում է գծային դիֆերենցիալ հավասարման՝ օգտագործելով փոխարինումը

Նոր դիֆերենցիալ հավասարում ֆունկցիայի համար զ(x) ունի ձևը

և կարելի է լուծել՝ օգտագործելով էջում նկարագրված մեթոդները Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ։

ԲԵՐՆՈՒԼԻ ՄԵԹՈԴ.

Քննարկվող հավասարումը կարելի է լուծել Բեռնուլիի մեթոդով։ Դա անելու համար մենք փնտրում ենք սկզբնական հավասարման լուծում երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով՝ որտեղ u, v- գործում է x. Տարբերակել՝ փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ (1). (2) Ինչպես vՎերցնենք հավասարման ցանկացած ոչ զրոյական լուծում. (3) (3) հավասարումը բաժանելի փոփոխականներով հավասարում է: Այն բանից հետո, երբ մենք գտանք դրա կոնկրետ լուծումը v = v(x), փոխարինիր այն (2-ով): Քանի որ այն բավարարում է (3) հավասարումը, փակագծերում տրված արտահայտությունը դառնում է զրո: Մենք ստանում ենք. Սա նույնպես բաժանելի հավասարում է։ Մենք գտնում ենք դրա ընդհանուր լուծումը, և դրա հետ միասին սկզբնական հավասարման լուծումը y = uv.

64. Հավասարում ընդհանուր դիֆերենցիալներում. Ինտեգրող գործոն. Լուծման մեթոդներ

Ձևի առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում

կանչեց հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալներում, եթե նրա ձախ կողմը ներկայացնում է ինչ-որ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը, այսինքն.

Թեորեմ.Որպեսզի (1) հավասարումը հավասարություն լինի ընդհանուր դիֆերենցիալների մեջ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ փոփոխականների փոփոխության պարզ միացված տիրույթում պայմանը բավարարվի.

(1) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն ունի կամ

Օրինակ 1. Լուծել դիֆերենցիալ հավասարում.

Լուծում. Եկեք ստուգենք, որ այս հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում է.

այսպես է պայմանը (2) բավարարված է. Այսպիսով, այս հավասարումը հավասարում է ընդհանուր դիֆերենցիալներում և

հետևաբար, որտեղ դեռևս չսահմանված գործառույթ կա:

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք. Գտնված ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը պետք է հավասար լինի, որը տալիս է որտեղից այնպես, որ Այսպիսով,.

Սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ:

Որոշ դիֆերենցիալ հավասարումներ ինտեգրելիս տերմինները կարող են խմբավորվել այնպես, որ ստացվեն հեշտությամբ ինտեգրվող համակցություններ։

65. Ավելի բարձր կարգի սովորական դիֆերենցիալ գծային հավասարումներ՝ միատարր և անհամասեռ: Գծային դիֆերենցիալ օպերատոր, նրա հատկությունները (ապացույցով):

Գծային դիֆերենցիալ օպերատոր և դրա հատկությունները:Ինտերվալի վրա գտնվող ֆունկցիաների հավաքածու ( ա , բ ) ոչ պակաս n ածանցյալներ, կազմում է գծային տարածություն։ Հաշվի առեք օպերատորին Լ n (y ), որը ցուցադրում է գործառույթը y (x ), ունենալով ածանցյալներ, վերածվելով ֆունկցիայի կ - n ածանցյալներ.

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որը գծային է անհայտ ֆունկցիայի և նրա ածանցյալի նկատմամբ: Կարծես թե

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

որտեղ p(x)-ը և q(x)-ը տրվում են x-ի ֆունկցիաները, շարունակական այն տարածաշրջանում, որտեղ (1) հավասարումը պետք է ինտեգրվի:

Եթե ​​q(x)\equiv0 , ապա կոչվում է (1) հավասարումը գծային միատարր. Այն բաժանելի հավասարում է և ունի ընդհանուր լուծում

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\աջ)\!,

Անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը կարելի է գտնել կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ, որը բաղկացած է նրանից, որ (1) հավասարման լուծումը փնտրվում է ձևով

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\աջ), որտեղ C(x) x-ի նոր անհայտ ֆունկցիան է։

Օրինակ 1.Լուծե՛ք y"+2xy=2xe^(-x^2) հավասարումը:

Լուծում.Եկեք օգտագործենք մշտական ​​տատանումների մեթոդը: Դիտարկենք միատարր հավասարումը y"+2xy=0, որը համապատասխանում է այս անհամասեռ հավասարմանը: Սա հավասարում է բաժանելի փոփոխականներով: Դրա ընդհանուր լուծումն ունի y=Ce^(-x^2) ձև:

Մենք փնտրում ենք անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծում y=C(x)e^(-x^2) տեսքով, որտեղ C(x) x-ի անհայտ ֆունկցիան է: Փոխարինելով՝ ստանում ենք C"(x)=2x, որտեղից C(x)=x^2+C: Այսպիսով, անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը կլինի y=(x^2+C)e^(-x^: 2) , որտեղ C - ինտեգրման հաստատուն:

Մեկնաբանություն.Կարող է պարզվել, որ դիֆերենցիալ հավասարումը x-ում գծային է՝ որպես y-ի ֆունկցիա: Նման հավասարման նորմալ ձևն է

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y):

Օրինակ 2.Լուծե՛ք հավասարումը \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Լուծում.Այս հավասարումը գծային է, եթե x-ը դիտարկենք որպես y-ի ֆունկցիա.

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y):

Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը: Նախ լուծում ենք համապատասխան միատարր հավասարումը

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

որը հավասարում է բաժանելի փոփոխականներով։ Դրա ընդհանուր լուծումն ունի ձևը x=Ce^(\sin(y)),~C=\տեքստ (const).

Մենք փնտրում ենք հավասարման ընդհանուր լուծում x=C(y)e^(\sin(y)) տեսքով, որտեղ C(y)-ը y-ի անհայտ ֆունկցիան է: Փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yկամ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Այստեղից, մասերով ինտեգրվելով, ունենք

\սկիզբ(հավասարեցված)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\վերջ(հավասարեցված)

Այսպիսով,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Փոխարինելով այս հավասարումը x=C(y)e^(\sin(y))-ով, մենք ստանում ենք սկզբնական հավասարման, հետևաբար նաև այս հավասարման ընդհանուր լուծումը.

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Բնօրինակ հավասարումը կարող է ինտեգրվել նաև հետևյալ կերպ. Մենք հավատում ենք

Y=u(x)v(x),

որտեղ u(x) և v(x) x-ի անհայտ ֆունկցիաներն են, որոնցից մեկը, օրինակ, v(x), կարելի է կամայականորեն ընտրել:

Փոխարինելով y=u(x)v(x)-ով, փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք

Vu"+(pv+v")u=q(x):

Որոշելով v(x) v"+pv=0 պայմանից, ապա vu"+(pv+v")u=q(x)-ից գտնում ենք u(x) ֆունկցիան և, հետևաբար, y=uv լուծումը. հավասարումը \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Որպես v(x) մենք կարող ենք ընդունել հավասարման ցանկացած հաճախակի լուծում v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Օրինակ 3.Լուծել Քոշիի խնդիրը. x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Լուծում.Մենք փնտրում ենք հավասարման ընդհանուր լուծում y=u(x)v(x) ձևով; ունենք y"=u"v+uv". y և y արտահայտությունը փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ կունենանք.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)կամ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Մենք գտնում ենք v=v(x) ֆունկցիան x(x-1)v"+v=0 պայմանից: Վերցնենք վերջին հավասարման ցանկացած կոնկրետ լուծում, օրինակ v=\frac(x)(x-1) և այն փոխարինելով՝ ստանում ենք u»=2x-1 հավասարումը, որից գտնում ենք u(x)=x^2-x+C ֆունկցիան։ Հետևաբար, հավասարման ընդհանուր լուծումը x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)կամք

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),կամ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Օգտագործելով y|_(x=2)=4 սկզբնական պայմանը, ստանում ենք C-ն գտնելու հավասարումը 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, որտեղից C=0 ; ուստի նշված Քոշիի խնդրի լուծումը կլինի y=x^2 ֆունկցիան։

Օրինակ 4.Հայտնի է, որ կապ կա հոսանքի i-ի և էլեկտրաշարժիչ ուժի E-ի միջև R դիմադրություն և L ինքնաինդուկտիվություն ունեցող շղթայում: E=Ri+L\frac(di)(dt), որտեղ R և L հաստատուններ են: Եթե ​​E-ն համարում ենք t ժամանակի ֆունկցիա, ապա մենք ստանում ենք գծային անհամասեռ հավասարում i ընթացիկ ուժի համար.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L):

Գտե՛ք ընթացիկ ուժը i(t) այն դեպքի համար, երբ E=E_0=\տեքստ (շարունակություն)և i(0)=I_0:

Լուծում.Մենք ունենք \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Օգտագործելով նախնական պայմանը (13), մենք ստանում ենք C=I_0-\frac(E_0)(R), ուրեմն ցանկալի լուծումը կլինի

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t):

Սա ցույց է տալիս, որ t\to+\infty-ում ընթացիկ ուժը i(t) ձգտում է հաստատուն արժեքի \frac(E_0)(R) :

Օրինակ 5.Տրված է y"+p(x)y=q(x) գծային անհամասեռ հավասարման ինտեգրալ կորերի ընտանիք C_\alpha:

Ցույց տվեք, որ գծային հավասարմամբ սահմանված C_\alpha կորերի համապատասխան կետերի շոշափումները հատվում են մեկ կետում (նկ. 13):

Լուծում.Դիտարկենք ցանկացած կորի շոշափում M(x,y) կետում. շոշափողի հավասարումը M(x,y) ունի ձև

\eta-q(x)(\xi-x)=y, որտեղ \xi,\eta շոշափող կետի ընթացիկ կոորդինատներն են։

Ըստ սահմանման՝ համապատասխան կետերում x-ը հաստատուն է, իսկ y-ը՝ փոփոխական։ Համապատասխան կետերում վերցնելով C_\alpha ուղիղների ցանկացած երկու շոշափում, դրանց հատման S կետի կոորդինատների համար մենք ստանում ենք.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)):

Սա ցույց է տալիս, որ C_\alpha կորերի բոլոր շոշափումները համապատասխան կետերում ( x-ը ֆիքսված է) հատվում են նույն կետում

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\աջ):

Համակարգում x արգումենտը վերացնելով՝ ստանում ենք կետերի տեղանքի հավասարումը S\colon f(\xi,\eta)=0.

Օրինակ 6.Գտե՛ք հավասարման լուծումը y"-y=\cos(x)-\sin(x), բավարարելով պայմանը՝ y սահմանափակվում է y\to+\infty ։

Լուծում.Այս հավասարման ընդհանուր լուծումը y=Ce^x+\sin(x) է: C\ne0-ի ընդհանուր լուծումից ստացված հավասարման ցանկացած լուծում կլինի անսահմանափակ, քանի որ x\to+\infty-ի համար \sin(x) ֆունկցիան սահմանափակված է, իսկ e^x\to+\infty: Հետևում է, որ այս հավասարումն ունի y=\sin(x) եզակի լուծում՝ սահմանափակված x\to+\infty-ով, որը ստացվում է ընդհանուր լուծումից C=0-ում։

Բեռնուլիի հավասարումը

Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումընման է

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, որտեղ n\ne0;1 (n=0 և n=1-ի համար այս հավասարումը գծային է):

Օգտագործելով փոփոխական փոխարինում z=\frac(1)(y^(n-1))Բեռնուլիի հավասարումը վերածվում է գծային հավասարման և ինտեգրվում է որպես գծային:

Օրինակ 7.Լուծե՛ք Բեռնուլիի y"-xy=-xy^3 հավասարումը։

Լուծում.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք y^3-ի.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Փոփոխական փոփոխություն կատարելը \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", որտեղ \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Փոխարինումից հետո վերջին հավասարումը վերածվում է գծային հավասարման

-\frac(z")(2)-xz=-xկամ z"+2xz=2x, որի ընդհանուր լուծումն է z=1+Ce^(-x^2):

Այստեղից մենք ստանում ենք այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)կամ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Մեկնաբանություն.Բեռնուլիի հավասարումը կարող է ինտեգրվել նաև հաստատունի փոփոխման մեթոդով, ինչպես գծային հավասարումը, և օգտագործելով y(x)=u(x)v(x) փոխարինումը:

Օրինակ 8.Լուծե՛ք Բեռնուլիի xy"+y=y^2\ln(x) հավասարումը:

Լուծում.Եկեք կիրառենք կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդը: Համապատասխան միատարր հավասարման xy"+y=0 ընդհանուր լուծումն ունի y=\frac(C)(x) հավասարման ընդհանուր լուծումը փնտրում ենք y=\frac(C(x)) ձևով. (x) , որտեղ C(x) - նոր անհայտ ֆունկցիա, փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ, ունենք

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2):

C(x ֆունկցիան գտնելու համար մենք ստանում ենք բաժանելի փոփոխականներով հավասարում, որից, առանձնացնելով փոփոխականները և ինտեգրվելով, գտնում ենք.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Այսպիսով, սկզբնական հավասարման ընդհանուր լուծումը y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Որոշ ոչ գծային առաջին կարգի հավասարումներ կարող են կրճատվել գծային հավասարումների կամ Բեռնուլիի հավասարումների՝ օգտագործելով փոփոխականների հաջողությամբ հայտնաբերված փոփոխությունը:

Օրինակ 9.Լուծե՛ք հավասարումը y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Լուծում.Եկեք այս հավասարումը գրենք ձևով y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0:.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 2\cos^2\frac(y)(2), ստանում ենք \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\օպերատորի անուն(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Փոխարինում \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))նվազեցնում է այս հավասարումը գծային \frac(dz)(dx)+z=-x, որի ընդհանուր լուծումը z=1-x+Ce^(-x) է։

Փոխարինելով z-ն իր արտահայտությամբ y-ով, մենք ստանում ենք այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը \օպերատորի անունը(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Որոշ հավասարումների մեջ ցանկալի y(x) ֆունկցիան կարող է լինել ինտեգրալ նշանի տակ։ Այս դեպքերում երբեմն հնարավոր է լինում այս հավասարումը իջեցնել դիֆերենցիալ հավասարման տարբերակման միջոցով:

Օրինակ 10.Լուծե՛ք հավասարումը x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Լուծում.Տարբերելով այս հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)կամ տեղեկատվության աղբյուր