5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x արտահայտությունները թվերի, փոփոխականների և նրանց հզորությունների արտադրյալներն են: Նման արտահայտությունները կոչվում են միանուններ. Միանդամներ են համարվում նաև թվերը, փոփոխականները և նրանց հզորությունները։

Օրինակ՝ 8, 35,y և y 2 արտահայտությունները միանդամներ են։

Միավորի ստանդարտ ձևկոչվում է միանդամ՝ առաջին տեղում թվային գործոնի և տարբեր փոփոխականների հզորությունների արտադրյալի տեսքով։ Ցանկացած միածին կարող է վերածվել ստանդարտ ձևի՝ բազմապատկելով դրանում ներառված բոլոր փոփոխականներն ու թվերը։ Ահա միօրինակը ստանդարտ ձևի վերածելու օրինակ.

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4 (-5) x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Ստանդարտ ձևով գրված միանդամի թվային գործակիցը կոչվում է գործակիցըմիապաղաղ. Օրինակ՝ -12сx 6 y 5 միանդամի գործակիցը հավասար է -12-ի։ x 3 և -xy միանդամների գործակիցները հավասար են 1-ի և -1-ի, քանի որ x 7 = 1x 7 և -xy = -1xy:

Միավորի ուժովանվանել դրանում ներառված բոլոր փոփոխականների ցուցիչների գումարը: Եթե ​​միանդամը փոփոխականներ չի պարունակում, այսինքն՝ այն թիվ է, ապա նրա աստիճանը համարվում է հավասար զրոյի։

Օրինակ՝ 8x 3 yz 2 միանդամի աստիճանը 6 է, 6x միանդամի աստիճանը՝ 1, -10 միանդամի աստիճանը՝ 0։

Բազմանդամկոչվում է միանդամների գումար:

Բազմանդամը կազմող միանդամները կոչվում են բազմանդամի անդամներ։ Այսպիսով, 4x 2 y - 5xy + 3x -1 բազմանդամի անդամները 4x 2 y, -5xy, 3x և -1 են:

Եթե ​​բազմանդամը բաղկացած է երկու անդամից, ապա այն կոչվում է երկանդամ, եթե բաղկացած է երեքից՝ եռանդամ։ Միանդամը համարվում է մեկ անդամից բաղկացած բազմանդամ:

7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 բազմանդամում 7x 3 y 2 և - 2y 2 x 3 անդամները նման են, քանի որ ունեն նույն տառային մասը: Նման են նաև -12 և 6 տերմինները, որոնք տառային մաս չունեն։ Բազմանդամի նման անդամները կոչվում են բազմանդամի համանման անդամներ, իսկ բազմանդամի համանման անդամների կրճատումը կոչվում է բազմանդամի համանման անդամների կրճատում:

Որպես օրինակ բերենք նմանատիպ տերմիններ 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6 բազմանդամում:

Բազմանդամը կոչվում է ստանդարտ ձևի բազմանդամ, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը ստանդարտ ձևի միանդամ է, և այս բազմանդամը չի պարունակում նմանատիպ անդամներ։

Ցանկացած բազմանդամ կարող է կրճատվել ստանդարտ ձևի: Դա անելու համար հարկավոր է նրա անդամներից յուրաքանչյուրը ներկայացնել ստանդարտ ձևով և բերել նմանատիպ տերմիններ:

Բազմանդամ աստիճանստանդարտ ձևը դրանում ընդգրկված միանունների հզորություններից ամենամեծն է:

Կամայական բազմանդամի աստիճանը ստանդարտ ձևի նույնական հավասար բազմանդամի աստիճանն է։

Օրինակ՝ եկեք գտնենք 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 բազմանդամի աստիճանը:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6:

Նկատի ունեցեք, որ սկզբնական բազմանդամը ներառում է վեցերորդ աստիճանի միանդամներ, բայց երբ նմանատիպ անդամները կրճատվեցին, բոլորը կրճատվեցին, և ստացվեց երրորդ աստիճանի բազմանդամ, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամն ունի 3 աստիճան:

Հարցեր նշումների համար

Տրվում է բազմանդամ P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4. Հաշվե՛ք P(1):

Որոշի՛ր բազմանդամի աստիճանը՝ 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

7-րդ դասարանում աշակերտներին հանրահաշվի դասընթացի շրջանակներում կներկայացվեն նոր հասկացություններ և թեմաներ: Նրանց համար նոր դռներ են բացվում մի հետաքրքրաշարժ լաբիրինթոսում, որը կոչվում է մաթեմատիկա: Սա ներառում է միանդամների և բազմանդամների ուսումնասիրությունը, ինչպես նաև դրանց կիրառումը։

Ի՞նչ է դա։

Նախ, եկեք հասկանանք հասկացությունները: Մաթեմատիկայի մեջ կան շատ կոնկրետ արտահայտություններ, որոնցից շատերն ունեն իրենց ֆիքսված անունները: Այս բառերից մեկը միածին է: Սա մաթեմատիկական տերմին է, որը բաղկացած է թվերի արտադրյալից, փոփոխականներից, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշ չափով կարող է հայտնվել արտադրյալում։ Բազմանդամ,ըստ սահմանման սա է հանրահաշվական արտահայտություն, որը միանդամների գումարն է։ Հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում բերել միապաղաղիր ստանդարտ ձևին: Դա անելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել մոնոմում առկա բոլոր թվային գործոնները և առաջին տեղում դնել ստացված թիվը: Այնուհետև բազմապատկեք բոլոր ուժերը, որոնք ունեն նույն տառերի հիմքը: Բազմանդամը նույնպես ստացվում է ստանդարտ ձևի այն արտադրյալ է, որը բաղկացած է թվային գործակիցից և տարբեր փոփոխականների հզորություններից:

Որոգայթներ

Թվում է, թե առաջին հայացքից ճակատագրականորեն բարդ բան չկա, բայց ժամանակակից դպրոցականների համար կան մի շարք հանգամանքներ, որոնք կարող են մթագնել պատկերը։ Մեծ քանակությամբ իրեր դպրոցական ծրագիր, ուսումնական ժամերի իսպառ բացակայությունը, շատ երեխաների մարդասիրական մտածելակերպը, ինչպես նաև տարրական հոգնածությունը կարող են շատ դժվարացնել նոր նյութ սովորելը: Հաճախ է պատահում, որ երեխան, ինչ-որ բան չհասկանալով, ամաչում է կամ վախենում է ուսուցչին հարցնել, բայց չի կարողանում ինքնուրույն յուրացնել թեման, և դժվարություններ են սկսվում։

Խնդրի լուծում

Այս ծուղակներից խուսափելու մի քանի եղանակ կա: Նախ, դպրոցականների ծնողները պետք է ուշադրություն դարձնեն, թե ինչպես է իրենց երեխան հաղթահարում ծրագիրը ընդհանրապես և քննարկվող թեմաները մասնավորապես: Սա չպետք է լինի երեխայի նկատմամբ խիստ հսկողության կամ վերահսկողության ձև, այլ նպատակը պետք է լինի ուսուցման նկատմամբ պատասխանատու և լուրջ մոտեցում մշակելը: Դրա բանալին վստահելի հարաբերություններն են, բայց ոչ վախը:

Դպրոցում բավականին տարածված իրավիճակ է, երբ երեխան լիովին չի հասկանում նոր թեման, վախենում է դասընկերների ծաղրից և ուսուցչի անհամաձայնությունից և, հետևաբար, նախընտրում է լռել իր տատանումների մասին: Ուսուցիչների հետ հարաբերությունները նույնպես տարբեր են, ցավոք, ոչ բոլոր ուսուցիչներին է հաջողվում մոտեցում գտնել երեխաների նկատմամբ, ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան. Եվ կան մի քանի ելքի տարբերակներ.

• այցելություն լրացուցիչ դասերդպրոցում, եթե այդպիսիք կան;
• դասեր դաստիարակի հետ;
• վերապատրաստում ինտերնետի միջոցով՝ օգտագործելով հատուկ կրթական ռեսուրսներ:

Առաջին երկու դեպքերում կան թերություններ, որոնք կապված են ժամանակի և ֆինանսական միջոցների հետ, հատկապես, երբ խոսքը վերաբերում է կրկնուսուցմանը: Երրորդը հարմար է, քանի որ այս ուսուցման տարբերակը.

• անվճար;
• դուք կարող եք սովորել ցանկացած հարմար ժամանակ;
• աշակերտի համար չկա հոգեբանական անհանգստություն, ծաղրի վախ և այլն։
• Դուք միշտ կարող եք նորից դիտել տեսադասը, եթե առաջին անգամ ինչ-որ բան պարզ չէ:

Անկասկած դրական կողմերայստեղ ավելին կա, ուստի ծնողները պետք է նկատի ունենան, որ իրենց երեխային կարող է առաջարկվել հենց այդպիսի տարբերակ լրացուցիչ գործունեության համար: Միանգամայն հնարավոր է, որ սկզբում ուսանողը ոգևորությամբ չընդունի այս առաջարկը, բայց փորձելուց հետո կգնահատի դրա առավելությունները։ Տարեցտարի դպրոցում առարկաների բեռը մեծանում է, 7-րդ դասարանում դա արդեն բավականին լուրջ է։

Մեր առցանց ռեսուրսում երեխան հեշտությամբ կարող է դաս գտնել մի թեմայի շուրջ, որը կարող է դժվար լինել իր համար, օրինակ՝ «Բազմանդամ. Կրճատում ստանդարտ ձևի»: Հասկանալով այն՝ նա կկարողանա շատ ավելի պարզ և հեշտ հասկանալ և յուրացնել հետագա նյութը։

- բազմանդամներ. Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք բազմանդամների մասին բոլոր նախնական և անհրաժեշտ տեղեկությունները: Դրանք ներառում են, առաջին հերթին, բազմանդամի սահմանումը բազմանդամի տերմինների ուղեկցող սահմանումներով, մասնավորապես՝ ազատ տերմին և նմանատիպ տերմիններ։ Երկրորդ՝ անդրադառնանք ստանդարտ ձևի բազմանդամներին, տանք համապատասխան սահմանումը և բերենք դրանց օրինակներ։ Վերջում կներկայացնենք բազմանդամի աստիճանի սահմանումը, կպարզենք, թե ինչպես գտնել այն և կխոսենք բազմանդամի անդամների գործակիցների մասին։

Էջի նավարկություն.

Բազմանդամը և դրա տերմինները - սահմանումներ և օրինակներ

7-րդ դասարանում բազմանդամներն ուսումնասիրվում են միանդամներից անմիջապես հետո, դա հասկանալի է, քանի որ բազմանդամ սահմանումտրվում է միանունների միջոցով։ Տանք այս սահմանումը բացատրելու համար, թե ինչ է բազմանդամը:

Սահմանում.

Բազմանդամմիանդամների գումարն է; Միանդամը համարվում է բազմանդամի հատուկ դեպք։

Գրավոր սահմանումը թույլ է տալիս տալ բազմանդամների այնքան օրինակներ, որքան ցանկանում եք: 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12 և այլն միանդամներից որևէ մեկը։ բազմանդամ է։ Նաև, ըստ սահմանման, 1+x, a 2 +b 2 և բազմանդամներ են:

Բազմանդամները նկարագրելու հարմարության համար ներկայացվում է բազմանդամ տերմինի սահմանումը։

Սահմանում.

Բազմանդամ տերմիններբազմանդամի բաղկացուցիչ միանուններն են։

Օրինակ՝ 3 x 4 −2 x y+3−y 3 բազմանդամը բաղկացած է չորս անդամից՝ 3 x 4, −2 x y, 3 և −y 3: Միանդամը համարվում է մեկ անդամից բաղկացած բազմանդամ:

Սահմանում.

Երկու և երեք տերմիններից բաղկացած բազմանդամներն ունեն հատուկ անուններ. երկանդամԵվ եռանդամհամապատասխանաբար.

Այսպիսով, x+y-ը երկանդամ է, իսկ 2 x 3 q−q x x x+7 b-ը եռանդամ է:

Դպրոցում մենք ամենից հաճախ ստիպված ենք աշխատել գծային երկանդամ a x+b, որտեղ a-ն և b-ը որոշ թվեր են, իսկ x-ը փոփոխական է, ինչպես նաև c-ն քառակուսի եռանկյուն a·x 2 +b·x+c, որտեղ a, b և c որոշ թվեր են, իսկ x-ը փոփոխական է: Ահա գծային երկանդամների օրինակներ՝ x+1 , x 7,2−4 , և ահա օրինակներ. քառակուսի եռանկյուններ՝ x 2 +3 x−5 և .

Բազմանդամներն իրենց նշումներում կարող են ունենալ նմանատիպ տերմիններ։ Օրինակ՝ 1+5 x−3+y+2 x բազմանդամում նման անդամներն են 1 և −3, ինչպես նաև 5 x և 2 x։ Նրանք ունեն իրենց հատուկ անվանումը՝ բազմանդամի նմանատիպ տերմիններ։

Սահմանում.

Բազմանանդամի նմանատիպ անդամներԲազմանդամների միանման տերմինները կոչվում են.

Նախորդ օրինակում 1-ը և −3-ը, ինչպես նաև 5 x և 2 x զույգը բազմանդամի նման անդամներ են: Բազմանդամների մեջ, որոնք ունեն նմանատիպ անդամներ, դուք կարող եք կատարել նմանատիպ անդամների կրճատում՝ դրանց ձևը պարզեցնելու համար:

Ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Բազմանդամների, ինչպես նաև միանդամների համար գոյություն ունի այսպես կոչված ստանդարտ տեսք. Հնչեցնենք համապատասխան սահմանումը.

հիման վրա այս սահմանումը, կարող ենք բերել ստանդարտ ձևի բազմանդամների օրինակներ։ Այսպիսով, 3 x 2 −x y+1 բազմանդամները և գրված է ստանդարտ ձևով. Իսկ 5+3 x 2 −x 2 +2 x z և x+x y 3 x z 2 +3 z արտահայտությունները ստանդարտ ձևի բազմանդամներ չեն, քանի որ դրանցից առաջինը պարունակում է 3 x 2 և −x 2 համանման տերմիններ. երկրորդը՝ x·y 3 ·x·z 2 միանուն, որի ձևը տարբերվում է ստանդարտից։

Նկատի ունեցեք, որ անհրաժեշտության դեպքում դուք միշտ կարող եք բազմանդամը կրճատել ստանդարտ ձևի:

Ստանդարտ ձևի բազմանդամների հետ կապված մեկ այլ հասկացություն է բազմանդամի ազատ անդամի հասկացությունը:

Սահմանում.

Բազմանդամի ազատ անդամստանդարտ ձևի բազմանդամի անդամ է՝ առանց տառային մասի։

Այլ կերպ ասած, եթե ստանդարտ ձևի բազմանդամը պարունակում է թիվ, ապա այն կոչվում է ազատ անդամ: Օրինակ՝ 5-ը x 2 z+5 բազմանդամի ազատ անդամն է, բայց 7 a+4 a b+b 3 բազմանդամը չունի ազատ անդամ։

Բազմանդամի աստիճանը - ինչպե՞ս գտնել այն:

Մեկ այլ կարևոր ուղեկցող սահմանումբազմանդամի աստիճանը որոշելն է: Նախ, մենք սահմանում ենք ստանդարտ ձևի բազմանդամի աստիճանը:

Սահմանում.

Ստանդարտ ձևի բազմանդամի աստիճանիր նշագրության մեջ ներառված միանդամների հզորություններից ամենամեծն է։

Բերենք օրինակներ. 5 x 3 −4 բազմանդամի աստիճանը հավասար է 3-ի, քանի որ դրանում ներառված 5 x 3 և −4 միանդամներն ունեն համապատասխանաբար 3 և 0 աստիճաններ, այդ թվերից ամենամեծը 3-ն է, որը բազմանդամի աստիճանն է։ ըստ սահմանման. Եվ բազմանդամի աստիճանը 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xհավասար է 2+3=5, 4+1=5 և 1 թվերից ամենամեծին, այսինքն՝ 5։

Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է գտնել ցանկացած ձևի բազմանդամի աստիճանը:

Սահմանում.

Կամայական ձևի բազմանդամի աստիճանըանվանել ստանդարտ ձևի համապատասխան բազմանդամի աստիճանը:

Այսպիսով, եթե բազմանդամը գրված չէ ստանդարտ ձևով, և դուք պետք է գտնեք դրա աստիճանը, ապա դուք պետք է կրճատեք սկզբնական բազմանդամը ստանդարտ ձևի, և գտնեք ստացված բազմանդամի աստիճանը, դա կլինի պահանջվողը: Եկեք նայենք լուծման օրինակին:

Օրինակ.

Գտե՛ք բազմանդամի աստիճանը 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Լուծում.

Նախ անհրաժեշտ է բազմանդամը ներկայացնել ստանդարտ ձևով.
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Ստացված ստանդարտ ձևի բազմանդամը ներառում է երկու միանդամ −2 · a 2 · b 2 · c 2 և y 2 · z 2: Գտնենք նրանց ուժերը՝ 2+2+2=6 և 2+2=4։ Ակնհայտ է, որ այդ հզորություններից ամենամեծը 6-ն է, որն ըստ սահմանման ստանդարտ ձևի բազմանդամի հզորությունն է։ −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, և հետևաբար սկզբնական բազմանդամի աստիճանը։, 2 x−0.5 x y+3 x+7 բազմանդամի 3 x և 7:

Հղումներ.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 7-րդ դասարանի համար հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 7-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսանողների համար ուսումնական հաստատություններ/ Ա.Գ.Մորդկովիչ. - 17-րդ հրտ., ավելացնել. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-02432-3 ։
• Հանրահաշիվև սկսեց մաթեմատիկական վերլուծություն. 10-րդ դասարան՝ դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբ. A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում դիմորդների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

19. Վերցնենք բանաձեւը

մենք այն կարդում ենք այսպես՝ «a և b թվերի տարբերությունը»։ Այս բանաձևում a թիվը կարող ենք փոխարինել զրոյով. ապա նա կդիմի

0 – b կամ պարզապես –b-ում:

b զրոյից հանելը նշանակում է, ըստ մեր իմացածի հարաբերական թվերը հանելու մասին, հակառակ նշանով վերցված b թիվը ավելացնելով զրոյի։ Ուստի –b արտահայտությունը պետք է հասկանալ որպես b թվի հակառակ նշանով թիվ։ Եթե, օրինակ, b = +5, ապա –b = –5; եթե b = –4, ապա –b = +4 և այլն։ Եթե գրենք +a արտահայտությունը, ապա այն պետք է հասկանալ որպես a թվին հավասար թիվ։ Եթե ​​a = +5, ապա +a = +5; եթե a = –4, ապա +a = 4 և այլն:

Հետևաբար բանաձևը

մենք կարող ենք հասկանալ առանց արդյունքի կամ իմաստի տարբերակման

կամ իմաստով

Այսպիսով, մենք միշտ կարող ենք փոխարինել հանումը գումարումով և ցանկացած տարբերություն հասկանալ որպես երկու թվերի գումար.
a – b-ը a և (–b) թվերի գումարն է.
x – y-ը x և (–y) թվերի գումարն է
–a – b-ը (–a) և (–b) թվերի գումարն է և այլն։

Այն բանաձևերը, որտեղ թվաբանության տեսանկյունից տեղի են ունենում մի քանի գումարումներ և հանումներ, օրինակ.

a – b + c + d – e – f,

մենք այժմ հանրահաշվի տեսանկյունից կարող ենք հասկանալ միայն որպես գումար, այն է՝

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Ուստի ընդունված է նման արտահայտություններն անվանել «հանրահաշվական գումար»։

20. Վերցնենք մի քանի հանրահաշվական գումար

a – b – c կամ –3bc² + 2ab – 4a²b և այլն:

Այս արտահայտությունները ընդունված է անվանել բազմանդամ, և այս բառը փոխարինում է «գումար» բառին կամ «հանրահաշվական գումար» անվանմանը։ Մենք դա գիտենք

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) և այլն:

Առանձին-առանձին յուրաքանչյուր անդամ կոչվում է բազմանդամի անդամ։

Առաջին բազմանդամը

բաղկացած է երեք տերմիններից՝ (+a), (–b) և (+c):

Երկրորդ բազմանդամը

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

բաղկացած է չորս տերմիններից՝ (–abc), (–3bc²), (+2ab) և (–4a²b):

Գումարները կարող են վերադասավորվել ցանկացած հերթականությամբ.

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Գումարի այս հատկությունը այժմ կարող է տարբեր կերպ արտահայտվել. բազմանդամի պայմանները կարող են վերադասավորվել ցանկացած կարգով: Դա արվել է վերևում –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b բազմանդամի համար, ընդ որում, այնպես, որ (+2ab) տերմինն այժմ գտնվում է առջևում: Սա թույլ տվեց որոշակիորեն պարզեցնել արտահայտությունը. պետք չէ առջևում գրել + նշանը: Իհարկե, նման վերադասավորումները պետք է կատարվեն անմիջապես, առանց նախապես փակագծերի մեջ ներառելու (ինչպես վերևում) յուրաքանչյուր տերմին:

Մեկ այլ օրինակ.

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1:

Այս բազմանդամի առաջին անդամն ի սկզբանե եղել է (+1) - + նշանը ենթադրվում էր միավորից առաջ. երբ այս անդամին տեղափոխում ենք առաջինից այլ տեղ (վերևում մենք այն տեղափոխել ենք վերջին տեղ), ապա այս + նշանը չի կարելի բաց թողնել:

Կարելի է նկատել, որ նախորդ օրինակում բազմանդամի անդամները վերադասավորելով՝ հասանք որոշակի կարգի՝ առաջին տեղում ա տառով 4-րդ աստիճանի, հաջորդում՝ ա տառով եզրույթն է։ մինչև 3-րդ աստիճան, ապա գալիս է տերմինը a տառով 3-րդ աստիճանի 2-րդ աստիճանի, այնուհետև՝ a-ի 1-ին աստիճանի և, վերջապես, մի ​​տերմին, որտեղ ընդհանրապես a տառ չկա:

Բազմանդամի տերմինների այս դասավորությունն արտահայտվում է «բազմանդամը դասավորված է a տառի նվազման ուժերով» բառերով։

Ահա այս դասավորության այլ օրինակներ.

3x 5 – 2ax 3 + b (x տառի նվազման ուժերով)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (a տառի նվազման ուժերով)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (բ տառի նվազման ուժերով)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (x տառի նվազման ուժերով):

Հաճախ օգտագործվում է հակադարձ «աճող աստիճաններ» դասավորությունը, որի դեպքում ընտրված տառի աստիճանը աստիճանաբար մեծանում է, իսկ 1-ին կիսամյակում կամ ընդհանրապես չկա այս տառը, կամ այստեղ ունի ամենացածր աստիճանը՝ համեմատած այլ տերմինների։ Նախորդ օրինակներից երկրորդում կարելի է ասել, որ այստեղ բազմանդամը դասավորված է b տառի աճման ուժերով։ Ահա օրինակներ.
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (ա տառի աճման ուժերով);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (x տառի աճման ուժերով);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (x տառի աճման ուժերով);
a 3 – 2ab + b 2 (b տառի աճման կամ a տառի նվազման ուժերով);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (x տառի նվազման կամ y տառի աճման ուժերով):

21. Երկու անդամ ունեցող բազմանդամը կոչվում է երկանդամ(օրինակ՝ 3a + 2b), մոտ երեք անդամ՝ եռանկյուն (օրինակ՝ 2a² - 3ab + 4b²) և այլն։ Կարելի է խոսել մեկ անդամի գումարի մասին (մյուս անդամը զրոյական է), կամ՝ բազմանդամ մեկ անդամի մասին: Հետո, իհարկե, «բազմանդամ» անվանումը տեղին չէ, և օգտագործվում է «միանդամ» անվանումը։ Ցանկացած բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ, առանձին վերցված, միանդամ է: Ահա ամենապարզ միանունների օրինակներ.

2; -3 ա; a²; 4x³; - 5x4; ab; ab²; -3abc; և այլն:

Վերևում գրված գրեթե բոլոր միանունները երկու կամ ավելի գործակիցների արտադրյալներ են, և դրանցից շատերն ունեն և՛ թվային, և՛ այբբենական գործակից: Օրինակ, –3abc միանդամն ունի թվային գործակից –3 և տառային a, b և c; 4x³ միանդամում կա թվային գործակից +4 (ենթադրվում է + նշանը) և բառացի գործակից x³ և այլն։ Եթե մենք գրեինք մի քանի թվային գործակից (և նաև այբբենական), ինչպես հետևյալը.

,

ապա ավելի հարմար է գործոնները վերադասավորել այնպես, որ թվային գործոնները մոտ լինեն, այսինքն.

,

բազմապատկեք այս թվային գործոնները և ստացեք

–4a²bc² (կետերը, բազմապատկման նշանները բաց են թողնվում):

Ընդունված է նաև դեպքերի ճնշող մեծամասնության մեջ թվային գործակիցը դիմացից գրել։ Նրանք գրում են.

4 ա, ոչ թե 4
–3a²b, ոչ թե a²(–3)b

Միանդամի թվային գործակիցը կոչվում է գործակից:

Եթե ​​թվային գործակիցը գրված չէ միանունով, օրինակ՝ ab, ապա միշտ կարող եք ակնարկել այն: Իսկապես

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ և այլն:

Այսպիսով, a², ab, ab² միանդամներից յուրաքանչյուրն ունի 1 գործակից (ավելի ճիշտ՝ +1): Եթե ​​գրենք միանդամներ –ab, –a², –ab² և այլն, ապա դրանք պետք է ունենան –1 գործակից:

22. Բազմանդամների և միանդամների ավելի բարդ օրինակներ:

(a + b)² + 3(a – b)² ... այս բանաձևը արտահայտում է երկու անդամի գումարը. առաջինը a և b թվերի գումարի քառակուսին է, իսկ երկրորդը թվի արտադրյալն է: 3 նույն թվերի տարբերության քառակուսու վրա: Հետևաբար, այս բանաձևը պետք է ճանաչվի որպես երկանդամ՝ առաջին անդամը (a + b)² է, իսկ երկրորդը՝ 3(a – b)²: Եթե ​​(a + b)² արտահայտությունն առանձին վերցնենք, ապա նախորդի ուժով այն պետք է համարել միանդամ, և նրա գործակիցը = +1։

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... պետք է ճանաչվի որպես եռանկյուն (երեք անդամի գումար). առաջին անդամը a(b – 1 է). ) և դրա գործակիցը = +1, երկրորդ անդամը –b(a – 1), նրա գործակիցը = –1, երրորդ անդամը –(a – 1)(b – 1), նրա գործակիցը = – 1:

Երբեմն բազմանդամի անդամների թիվը արհեստականորեն կրճատվում է։ Այնքան եռանդամ

կարող է, օրինակ, դիտարկվել որպես երկանդամ, իսկ a + b, օրինակ, համարվում է մեկ անդամ (մեկ անդամ): Սա ավելի պարզ դարձնելու համար օգտագործեք փակագծերը.

Այնուհետև (a + b) տերմինն ունի +1 ենթադրյալ գործակից

[իսկապես (a + b) = (+1) (a + b)]:

Որոնք պահանջում են բազմանդամի գործակցում, որոշե՛ք տվյալ արտահայտության ընդհանուր գործակիցը։ Դա անելու համար նախ փակագծերից հանեք այն փոփոխականները, որոնք ներառված են արտահայտության բոլոր անդամների մեջ։ Ընդ որում, այս փոփոխականները պետք է ունենան ամենացածր ցուցանիշը։ Այնուհետև հաշվարկեք բազմանդամի գործակիցներից յուրաքանչյուրի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Ստացված թվի մոդուլը կլինի ընդհանուր բազմապատկիչի գործակիցը։

Օրինակ. Տարածված է 5m³–10m²n²+5m²: Տեղադրեք m² փակագծերից դուրս, քանի որ m փոփոխականը այս արտահայտության յուրաքանչյուր անդամում և դրա ամենափոքր ցուցանիշը երկու է: Հաշվեք ընդհանուր բազմապատկիչ գործակիցը: Այն հավասար է հինգի։ Այսպիսով, այս արտահայտության ընդհանուր գործակիցը 5 մ² է: Այսպիսով՝ 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1):

Եթե ​​արտահայտությունը չունի ընդհանուր գործոն, փորձեք ընդլայնել այն՝ օգտագործելով խմբավորման մեթոդը: Դա անելու համար խմբերի մեջ միավորեք այն անդամներին, որոնք ունեն ընդհանուր գործոններ: Փակագծերից հանեք յուրաքանչյուր խմբի ընդհանուր գործակիցը: Փակագծերից հանեք բոլոր ձևավորված խմբերի ընդհանուր գործակիցը:

Օրինակ. Գործոնավորեք a³–3a²+4a–12 բազմանդամը։ Խմբավորել հետևյալ կերպ. (a³–3a²)+(4a–12): Առաջին խմբից հանեք a² ընդհանուր գործակիցը, իսկ երկրորդ խմբի ընդհանուր գործակիցը 4: Հետևաբար՝ a²(a–3)+4(a–3): Փակագծերից հանեք a–3 բազմանդամը և ստացեք՝ (a–3)(a²+4): Հետևաբար, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4):

Ոմանք բազմանդամներգործոնացվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևերի միջոցով: Դա անելու համար բազմանդամը բերեք ցանկալի ձևին՝ խմբավորելով կամ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը։ Հաջորդը, կիրառեք համապատասխան կրճատված բազմապատկման բանաձևը:

Օրինակ. 4x²–m²+2mn–n² բազմանդամի գործակիցը: Փակագծերում միացրե՛ք վերջին երեք անդամները, իսկ փակագծերից հանելով –1: Ստացեք՝ 4x²–(m²–2mn+n²): Փակագծերում դրված արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես տարբերության քառակուսի: Հետևաբար՝ (2x)²–(m–n)²։ Սա քառակուսիների տարբերությունն է, կարող ենք գրել՝ (2x–m+n)(2x+m+n): Այսպիսով, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n):

Որոշ բազմանդամներ կարելի է ֆակտորիզացնել՝ օգտագործելով մեթոդը անորոշ գործակիցներ. Այսպիսով, յուրաքանչյուր բազմանդամ կարող է ներկայացվել (y–t) (my²+ny+k) ձևով, որտեղ t, m, n, k թվային գործակիցներ են։ Հետևաբար, խնդիրը հանգում է այդ գործակիցների արժեքների որոշմանը: Սա արվում է այս հավասարության հիման վրա՝ (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk:

Օրինակ. Գործոնավորեք 2a³–a²–7a+2 բազմանդամը: Երկրորդ մասից երրորդ աստիճանի բազմանդամի համար կազմի՛ր հետևյալ հավասարումները՝ m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Գրեք դրանք որպես համակարգ: Լուծիր այն։ Դուք կգտնեք t=2 արժեքները; n=3; k=–1. Հաշվարկված գործակիցները փոխարինեք բանաձևի առաջին մասում և կստանաք՝ 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1):

Աղբյուրներ:

• Ֆակտորինգային բազմանդամներ
• ինչպես գործոնավորել բազմանդամը

Մաթեմատիկական գիտությունուսումնասիրում է տարբեր կառուցվածքներ, թվերի հաջորդականություն, նրանց միջև հարաբերությունները, հավասարումներ կազմելը և դրանք լուծելը։ Սա պաշտոնական լեզու է, որը կարող է հստակ նկարագրել գիտության այլ բնագավառներում ուսումնասիրված իրական առարկաների գրեթե իդեալական հատկությունները: Այդպիսի կառուցվածքներից մեկը բազմանդամն է։

Հրահանգներ

Բազմանդամ կամ (հունարեն «poly» - շատ և լատիներեն «nomen» - անուն) – տարրական գործառույթներդասական հանրահաշիվ և հանրահաշվական երկրաչափություն։ Սա մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է, որն ունի F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n ձևը, որտեղ c_i-ն ֆիքսված գործակիցներ են, x-ը փոփոխական է:

Բազմանդամներն օգտագործվում են բազմաթիվ ոլորտներում՝ ներառյալ զրոյական, բացասական և բարդ թվերի ուսումնասիրությունը, խմբերի, օղակների, հանգույցների, բազմությունների տեսությունը և այլն։ Բազմանդամային հաշվարկների օգտագործումը զգալիորեն հեշտացնում է տարբեր օբյեկտների հատկությունների արտահայտությունը:

Հիմնական սահմանումներ.
Բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ կոչվում է միանդամ:
Երկու միանդամներից բաղկացած բազմանդամը կոչվում է երկանդամ կամ երկանդամ:
Բազմանդամ գործակիցներ – իրական կամ կոմպլեքս թվեր.
Եթե ​​գործակիցը հավասար է 1-ի, ապա այն կոչվում է ունիտար (նվազեցված):
Յուրաքանչյուր միանդամի փոփոխականի աստիճանները ոչ բացասական ամբողջ թվեր են, առավելագույն աստիճանը որոշում է բազմանդամի աստիճանը, իսկ դրա լրիվ աստիճանը ամբողջ թիվ է, գումարին հավասարբոլոր աստիճանները.
Զրո աստիճանին համապատասխան միանդամը կոչվում է ազատ անդամ։
Այն բազմանդամը, որն ունի բոլորի ընդհանուր աստիճանը, կոչվում է միատարր:

Որոշ հաճախ օգտագործվող բազմանդամներ անվանվել են այն գիտնականի անունով, ով սահմանել է դրանք, ինչպես նաև նրանց կողմից սահմանված գործառույթների անուններով: Օրինակ, Նյուտոնի երկանդամը նախատեսված է բազմանդամը առանձին թվերի բաժանելու համար՝ հզորությունները հաշվարկելու համար: Սրանք դպրոցական ծրագրից հայտնի գումարի և տարբերության քառակուսիների նշումներն են (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2. – 2*a*b + b^2 և քառակուսիների տարբերությունը (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b):

Եթե ​​բազմանդամի նշումում թույլ տանք բացասական ուժեր, ապա կստանանք բազմանդամ կամ Լորան շարք; Չեբիշևի բազմանդամը օգտագործվում է մոտավորության տեսության մեջ. հերմիտի բազմանդամ - հավանականության տեսության մեջ; Lagrange - համար թվային ինտեգրումև ինտերպոլացիա; Թեյլոր - ֆունկցիան մոտավորելիս և այլն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Նյուտոնի երկանդամը հաճախ հիշատակվում է գրքերում (Վարպետը և Մարգարիտան) և ֆիլմերում (Stalker), երբ կերպարները լուծում են մաթեմատիկական խնդիրներ։ Այս տերմինը հայտնի է և, հետևաբար, համարվում է ամենահայտնի բազմանդամը:

Հուշում 3. Ինչպես 90-ը դասավորել երկու համապարփակ գործոնի

Փոխադարձ պարզ գործոնները թվեր են, որոնք չունեն մեկից բացի ընդհանուր բաժանարարներ: Ալգորիթմը բավականին պարզ է, փորձեք դիտարկել այն օրինակով. 90 թիվը դասավորեք երկու փոխադարձ պարզ գործոնների: