Թվային ինտեգրման բանաձևերի հայեցակարգը. Թվային ինտեգրում

թվային ինտեգրման բանաձևերի ծրագրավորում

Ներածություն

1. Թվային ինտեգրման մեթոդներ

2. Քառակուսային բանաձևեր

3. Ինտեգրման քայլի ավտոմատ ընտրություն

Եզրակացություն

Մատենագիտություն

Ներածություն

Շարադրության նպատակն է ուսումնասիրել և համեմատական ​​վերլուծությունֆունկցիաների թվային ինտեգրման մեթոդներ; այդ մեթոդների իրականացումը լեզվով մեքենայական ծրագրերի տեսքով բարձր մակարդակև թվային ինտեգրման խնդիրների գործնական լուծումը համակարգչում:

Ինժեներական խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել ձևի որոշակի ինտեգրալի արժեքները

. (1)

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է միջակայքում [ ա , բ] և դրա հակաածանցյալը կարող է որոշվել հայտնի ֆունկցիայի միջոցով, ապա այդպիսի ինտեգրալը հաշվարկվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով.

.

Ինժեներական խնդիրներում հազվադեպ է հնարավոր ստանալ ինտեգրալի արժեքը վերլուծական տեսքով: Բացի այդ, գործառույթը զ (x) կարելի է նշել, օրինակ, փորձարարական տվյալների աղյուսակով: Հետևաբար, գործնականում որոշակի ինտեգրալ հաշվարկելու համար նրանք օգտագործում են հատուկ մեթոդներ, որոնք հիմնված են ինտերպոլացիայի ապարատի վրա։

Նման մեթոդների գաղափարը հետևյալն է. Ինտեգրալը (1) բանաձևով հաշվարկելու փոխարեն, նախ հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները զ (x i) = y iորոշ հանգույցներում x i Î[ ա , բ]։ Այնուհետև ընտրվում է ինտերպոլացիոն բազմանդամը Պ (x), անցնելով ստացված կետերով ( x i , y i), որն օգտագործվում է ինտեգրալի (1) մոտավոր արժեքը հաշվարկելիս.

.

Այս մոտեցումն իրականացնելիս թվային ինտեգրման բանաձևերը վերցնում են հետևյալը ընդհանուր տեսարան:

, (2) - ինտերպոլացիոն հանգույցներ, A i- որոշ գործակիցներ, Ռ- բանաձևի սխալը բնութագրող մնացորդային տերմին: Նշենք, որ (2) ձևի բանաձևերը կոչվում են քառակուսային բանաձևեր:

Թվային ինտեգրման երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելն է զ (X), x առանցքը և երկու ուղիղ գծերը x = aԵվ x = b.Տարածքի մոտավոր հաշվարկը հանգեցնում է քառակուսի բանաձևերում մնացած տերմինի մերժմանը Ռ, որը բնութագրում է մեթոդի սխալը, որը լրացուցիչ դրվում է հաշվողական սխալով։

1. Թվային ինտեգրման մեթոդներ

IN կիրառական հետազոտությունՀաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել որոշակի ինտեգրալի արժեքը

Ինչպես գիտեք մաթեմատիկայի դասընթացից, ինտեգրալը չի ​​կարող վերլուծական հաշվարկվել բոլոր դեպքերում: Եվ նույնիսկ այն դեպքում, երբ հնարավոր է գտնել այս ինտեգրալի վերլուծական ձևը, հաշվարկման ընթացակարգը տալիս է մոտավոր արդյունք, ուստի առաջանում է այս ինտեգրալի մոտավոր արժեքի խնդիր։

Մոտավոր հաշվարկի էությունը երկու գործողության մեջ է. 1. n-ի փոխարեն վերջավոր թվի ընտրություն; 2. կետ ընտրելիս

համապատասխան հատվածում։

Կախված ընտրությունից

Մենք ստանում ենք ինտեգրալը հաշվարկելու տարբեր բանաձևեր՝ ձախ և աջ ուղղանկյունների բանաձևեր (5), (6) (5) (6)

Trapezoid բանաձեւը:

Սիմփսոնի բանաձեւը

b, a-ն դիտարկվող հատվածի ծայրերն են:

Հաշվարկի արդյունքները վերը նշված թվային ինտեգրման բանաձևերի հետ համեմատելու համար 3 ​​եղանակով հաշվում ենք հետևյալ ինտեգրալը՝ հատվածը բաժանելով 6 հավասար հատվածի. h=

Ձախ ուղղանկյունների բանաձևի համաձայն.

Ըստ trapezoid բանաձևի.

Սիմփսոնի բանաձևի համաձայն.

Իսկ վերլուծական եղանակով ստացված արդյունքը հավասար է

=1

Հետևաբար, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ թվային ինտեգրման մեթոդը ըստ Simpson բանաձևի ավելի ճշգրիտ է, բայց օգտագործվում է. ընդհանուր դեպքբաժանվող հատվածը զույգ թվով միջակայքերի բաժանելիս:

2. Քառակուսային բանաձևեր

Ուղղանկյունի բանաձևերամենապարզ քառակուսային բանաձևերն են: Եկեք բաժանենք ինտեգրացիոն հատվածը [ ա, բ] վրա nհավասար մասերի երկարությունը

. Նշենք, որ արժեքը հկոչվում է ինտեգրման քայլ: Պառակտված կետերում X 0 = ա ,X 1 =a+h , ..., x n = bնշեք օրդինատները y 0 ,y 1 ,…,y nծուռ զ (x), այսինքն. եկեք հաշվարկենք y i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 +հ (ես =) Երկարության յուրաքանչյուր հատվածում հԿառուցեք կողմերով ուղղանկյուն հԵվ y i, Որտեղ ես =, այսինքն. հատվածների ձախ ծայրերում հաշվարկված օրդինատների արժեքներից: Այնուհետև կորագիծ տրապիզոիդի տարածքը, որը որոշում է (1) ինտեգրալի արժեքը, մոտավորապես կարող է ներկայացվել որպես ուղղանկյունների տարածքների գումար (նկ. 1): Այստեղից մենք ստանում ենք ուղղանկյունների բանաձևը.
. (3)

Եթե ​​ինտեգրալ գումարը հաշվարկելիս վերցնում ենք ֆունկցիայի արժեքները զ (x) երկարության հատվածների ոչ թե ձախ, այլ աջ ծայրերում հ, որը ցույց է տրված Նկ. 1 կետավոր գծով մենք ստանում ենք ուղղանկյուն բանաձևի երկրորդ տարբերակը.

. (4)

Ուղղանկյան բանաձևի երրորդ տարբերակը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով ֆունկցիայի արժեքները զ (x), հաշվարկված յուրաքանչյուր երկարության հատվածի միջնակետում հ(նկ. 2):

. (5)

Բանաձևերը (3), (4) և (4) կոչվում են համապատասխանաբար ձախ, աջ և կենտրոնական ուղղանկյունների բանաձևեր։

Սիմփսոնի բանաձեւը.Եկեք ինտեգրման միջակայքը բաժանենք 2-ի nհավասար մասերի երկարությունը

. Յուրաքանչյուր հատվածում [ x i , x i+2] ինտեգրալ ֆունկցիա զ (X) կփոխարինվի կետերի միջով անցնող պարաբոլայով ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Այնուհետև ինտեգրալի մոտավոր արժեքը որոշվում է Սիմփսոնի բանաձևով. (7)

Համակարգչով հաշվարկելիս առավել հարմար է հետևյալ բանաձևը.

Սիմփսոնի մեթոդը թվային ինտեգրման ամենահայտնի և օգտագործվող մեթոդներից մեկն է, այն տալիս է ճշգրիտ արժեքներինտեգրալ մինչև երրորդ կարգի ներառյալ բազմանդամները ինտեգրելիս:

Նյուտոնի բանաձևը.Նյուտոնի բանաձևով ինտեգրալի մոտավոր արժեքը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ բաժանման բաժինների թիվը երեքի բազմապատիկ է, այսինքն. 3 է n. Համակարգչային ծրագրեր մշակելիս ավելի հարմար է օգտագործել համարժեք բանաձևը.

Նյուտոնի մեթոդը տալիս է ինտեգրալի ճշգրիտ արժեքներ մինչև չորրորդ կարգի ներառյալ բազմանդամները ինտեգրելիս։

3. Ինտեգրման քայլի ավտոմատ ընտրություն

(3) - (8) բանաձևերի միջոցով հաշվարկի արդյունքում ստացվում է ինտեգրալի մոտավոր արժեքը, որը կարող է ճշգրիտ արժեքից տարբերվել որոշակի քանակությամբ, որը կոչվում է ինտեգրման սխալ: Սխալը որոշվում է մնացորդային բանաձևով Ռ, տարբեր ինտեգրման յուրաքանչյուր մեթոդի համար: Եթե ​​անհրաժեշտ է հաշվարկել ինտեգրալի արժեքը e-ից չգերազանցող սխալով, ապա անհրաժեշտ է ընտրել այդպիսի ինտեգրման քայլ. հ, այնպես որ անհավասարությունը պահպանվում է Ռ (հ) £ե. Գործնականում օգտագործվում է արժեքի ավտոմատ ընտրություն հ, ապահովելով տվյալ սխալի ձեռքբերումը։ Նախ, հաշվարկեք ինտեգրալի արժեքը Ի (n), ինտեգրման միջակայքը բաժանելով nբաժինները, ապա հատվածների թիվը կրկնապատկվում է և հաշվարկվում է ինտեգրալը Ի (2n) Հաշվարկի գործընթացը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև պայմանը դառնա իրական:

թվային ինտեգրման բանաձևերի ծրագրավորում

Ներածություն

2. Քառակուսային բանաձևեր

3. Ինտեգրման քայլի ավտոմատ ընտրություն

Եզրակացություն

Մատենագիտություն

Ներածություն

Վերացականի նպատակն է ուսումնասիրել և համեմատական ​​վերլուծել ֆունկցիաների թվային ինտեգրման մեթոդները. այդ մեթոդների իրականացումը մեքենայական ծրագրերի տեսքով բարձր մակարդակի լեզվով և թվային ինտեգրման խնդիրների գործնական լուծում համակարգչի վրա։

Ինժեներական խնդիրներ լուծելիս հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել ձևի որոշակի ինտեգրալի արժեքները

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է միջակայքում [ ա, բ] և դրա հակաածանցյալը կարող է որոշվել հայտնի ֆունկցիայի միջոցով, ապա այդպիսի ինտեգրալը հաշվարկվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով.

.

Ինժեներական խնդիրներում հազվադեպ է հնարավոր ստանալ ինտեգրալի արժեքը վերլուծական տեսքով: Բացի այդ, գործառույթը զ(x) կարելի է նշել, օրինակ, փորձարարական տվյալների աղյուսակով: Հետևաբար, գործնականում որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար օգտագործվում են հատուկ մեթոդներ, որոնք հիմնված են ինտերպոլացիայի ապարատի վրա։

Նման մեթոդների գաղափարը հետևյալն է. Ինտեգրալը (1) բանաձևով հաշվարկելու փոխարեն, նախ հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները զ(x i) = y iորոշ հանգույցներում x i Î[ ա, բ]։ Այնուհետև ընտրվում է ինտերպոլացիոն բազմանդամը Պ(x), անցնելով ստացված կետերով ( x i, y i), որն օգտագործվում է ինտեգրալի (1) մոտավոր արժեքը հաշվարկելիս.

.

Այս մոտեցումն իրականացնելիս թվային ինտեգրման բանաձևերը ստանում են հետևյալ ընդհանուր ձևը.

, (2)

որտեղ են ինտերպոլացիոն հանգույցները, A i- որոշ գործակիցներ, Ռ- բանաձևի սխալը բնութագրող մնացորդային տերմին: Նշենք, որ (2) ձևի բանաձևերը կոչվում են քառակուսային բանաձևեր:

Թվային ինտեգրման երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելն է զ(X), x առանցքը և երկու ուղիղ գծերը x = aԵվ x = b.Տարածքի մոտավոր հաշվարկը հանգեցնում է քառակուսի բանաձևերում մնացած տերմինի մերժմանը Ռ, որը բնութագրում է մեթոդի սխալը, որը լրացուցիչ դրվում է հաշվողական սխալով։

Թվային ինտեգրման մեթոդներ

Կիրառական հետազոտություններում հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում հաշվարկել որոշակի ինտեգրալի արժեքը

Ինչպես գիտեք մաթեմատիկայի դասընթացից, ինտեգրալը չի ​​կարող վերլուծական հաշվարկվել բոլոր դեպքերում: Եվ նույնիսկ այն դեպքում, երբ հնարավոր է գտնել այս ինտեգրալի վերլուծական ձևը, հաշվարկման ընթացակարգը տալիս է մոտավոր արդյունք, ուստի առաջանում է այս ինտեգրալի մոտավոր արժեքի խնդիր։

Մոտավոր հաշվարկի էությունը երկու գործողության մեջ է. 1. n-ի փոխարեն վերջավոր թվի ընտրություն; 2. համապատասխան հատվածում կետ ընտրելիս.

Կախված ընտրությունից՝ ստանում ենք ինտեգրալը հաշվարկելու տարբեր բանաձևեր՝ ձախ և աջ ուղղանկյունների բանաձևեր (5), (6)

(5)

(6)

Trapezoid բանաձեւը:

Սիմփսոնի բանաձեւը

b, a-ն դիտարկվող հատվածի ծայրերն են:

Հաշվարկի արդյունքները վերը նշված թվային ինտեգրման բանաձևերի հետ համեմատելու համար մենք հաշվարկում ենք հետևյալ ինտեգրալը 3 եղանակով՝ հատվածը բաժանելով 6 հավասար հատվածների.

Ձախ ուղղանկյունների բանաձևի համաձայն.

Ըստ trapezoid բանաձևի.

Սիմփսոնի բանաձևի համաձայն.

Իսկ վերլուծական եղանակով ստացված արդյունքը հավասար է

Հետևաբար, կարող ենք եզրակացնել, որ ինտեգրման թվային մեթոդն ըստ Սիմփսոնի բանաձևի ավելի ճշգրիտ է, բայց օգտագործվում է ընդհանուր դեպքում՝ բաժանվող հատվածը զույգ թվով ինտերվալների բաժանելիս։

Քառակուսային բանաձևեր

Ուղղանկյունի բանաձևերամենապարզ քառակուսային բանաձևերն են: Եկեք բաժանենք ինտեգրման հատվածը [ ա, բ] վրա nհավասար մասերի երկարությունը: Նշենք, որ արժեքը հկոչվում է ինտեգրման քայլ: Պառակտված կետերում X 0 = ա,X 1 =a+h, ..., x n = bնշեք օրդինները y 0 ,y 1 ,…,y nծուռ զ(x), այսինքն. եկեք հաշվարկենք y i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 +հ(ես =) Երկարության յուրաքանչյուր հատվածում հԿառուցեք կողմերով ուղղանկյուն հԵվ y i, Որտեղ ես =, այսինքն. հատվածների ձախ ծայրերում հաշվարկված օրդինատների արժեքներից: Այնուհետև կորագիծ տրապիզոիդի տարածքը, որը որոշում է (1) ինտեգրալի արժեքը, մոտավորապես կարող է ներկայացվել որպես ուղղանկյունների տարածքների գումար (նկ. 1): Այստեղից մենք ստանում ենք ուղղանկյունների բանաձևը.

Եթե ​​ինտեգրալ գումարը հաշվարկելիս վերցնում ենք ֆունկցիայի արժեքները զ(x) երկարության հատվածների ոչ թե ձախ, այլ աջ ծայրերում հ, որը ցույց է տրված Նկ. 1 կետավոր գծով մենք ստանում ենք ուղղանկյուն բանաձևի երկրորդ տարբերակը.

Ուղղանկյան բանաձևի երրորդ տարբերակը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով ֆունկցիայի արժեքները զ(x), հաշվարկված յուրաքանչյուր երկարության հատվածի միջնակետում հ(նկ. 2):

. (5)

Բանաձևերը (3), (4) և (4) կոչվում են համապատասխանաբար ձախ, աջ և կենտրոնական ուղղանկյունների բանաձևեր։

Բրինձ. 2

Trapezoid բանաձեւը.Այստեղ, յուրաքանչյուր տարրական միջակայքում [ x i -1 , x i] երկարությունը հկոորդինատներով կետեր ( x i -1 , y i-1) և ( x i, y i) միացված են հատվածով (նկ. 3): Այնուհետև այս միջակայքում կառուցված տրապեզոիդի տարածքը որոշվում է 0.5 արտադրանքով հ(y i -1 + y i) Ամփոփելով տարրական trapezoids-ի տարածքները ես= մենք ստանում ենք ինտեգրալի մոտավոր արժեքը:

Սահմանափակված է x առանցքով, ինտեգրվող ֆունկցիայի և գծի հատվածների գրաֆիկը x=a\,\!Եվ x=b\,\!, Որտեղ ա\,\!Եվ b\,\!- ինտեգրման սահմանները (տես նկարը):

Թվային ինտեգրման օգտագործման անհրաժեշտությունը կարող է ամենից հաճախ պայմանավորված լինել որոշակի ինտեգրալի արժեքի վերլուծական հաշվարկման անհնարինությամբ: Հնարավոր է նաև, որ հակաածանցյալի ձևն այնքան բարդ է, որ թվային մեթոդով ավելի արագ է հաշվարկվում ինտեգրալի արժեքը։

Միաչափ պատյան

Թվային ինտեգրման մեթոդների մեծ մասի հիմնական գաղափարը ինտեգրանդը փոխարինելն է ավելի պարզով, որի ինտեգրալը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել վերլուծական եղանակով: Այս դեպքում ինտեգրալի արժեքը գնահատելու համար ստացվում են ձևի բանաձևեր

I \մոտավորապես \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Որտեղ n\,\!- կետերի քանակը, որոնցում հաշվարկվում է ինտեգրանդի արժեքը: Միավորներ x_i\,\!կոչվում են մեթոդական հանգույցներ, թվեր w_i\,\!- հանգույցների կշիռները. Ինտեգրանդը զրոյական, առաջին և երկրորդ աստիճանի բազմանդամով փոխարինելիս ստացվում են համապատասխանաբար , և (Simpson) մեթոդները։ Հաճախ ինտեգրալի արժեքը գնահատելու բանաձևերը կոչվում են քառակուսային բանաձևեր։

Ուղղանկյունի մեթոդ

Ուղղանկյունի մեթոդստացվում է ինտեգրանդը հաստատունով փոխարինելով։ Որպես հաստատուն, դուք կարող եք վերցնել ֆունկցիայի արժեքը հատվածի ցանկացած կետում \ձախ\,\!. Ամենից հաճախ օգտագործվող ֆունկցիայի արժեքները հատվածի մեջտեղում և դրա ծայրերում են: Համապատասխան փոփոխությունները կոչվում են մեթոդներ միջին ուղղանկյուններ, ձախ ուղղանկյուններԵվ ուղղանկյուն ուղղանկյուններ. Ուղղանկյուն մեթոդով որոշակի ինտեգրալի արժեքի մոտավոր հաշվարկման բանաձևն ունի ձև.

I\մոտ f(x) (b-a),

Որտեղ x=\frac(\ձախ(a+b\աջ))(2), ա\,\!կամ b\,\!, համապատասխանաբար.

Trapezoid մեթոդ

Եթե ​​ինտեգրացիոն հատվածի ծայրերով ուղիղ գիծ գծենք, կստանանք trapezoid մեթոդ. Երկրաչափական նկատառումներից դա հեշտ է ձեռք բերել

I \մոտավորապես \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Պարաբոլայի մեթոդ

Օգտագործելով ինտեգրման հատվածի երեք կետերը, կարող եք ինտեգրանդը փոխարինել պարաբոլայով: Որպես կանոն, հատվածի ծայրերը և դրա միջնակետը օգտագործվում են որպես այդպիսի կետեր: Այս դեպքում բանաձեւը շատ պարզ ձեւ ունի

Ես \մոտավորապես \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\աջ)+f(b)\աջ).

Բարձրացված ճշգրտություն

Գործառույթի մոտարկումը մեկ բազմանդամով ամբողջ ինտեգրման միջակայքում, որպես կանոն, հանգեցնում է ինտեգրալի արժեքը գնահատելու մեծ սխալի։

Սխալը նվազեցնելու համար ինտեգրման հատվածը բաժանվում է մասերի և դրանցից յուրաքանչյուրի ինտեգրալը գնահատելու համար օգտագործվում է թվային մեթոդ:

Քանի որ բաժանումների թիվը ձգտում է անսահմանության, ինտեգրալի գնահատումը ձգտում է դեպի իր իրական արժեքը ցանկացած թվային մեթոդի համար:

Վերոնշյալ մեթոդները թույլ են տալիս քայլը կիսով չափ կրճատելու պարզ ընթացակարգ՝ յուրաքանչյուր քայլից պահանջելով հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքները միայն նոր ավելացված հանգույցներում: Հաշվարկի սխալը գնահատելու համար.

Գաուսի մեթոդ

Վերը նկարագրված մեթոդները օգտագործում են ֆիքսված հատվածային կետեր (վերջներ և միջին) և ունեն ցածր արժեք (համապատասխանաբար 1, 1 և 3): Եթե ​​մենք կարողանանք ընտրել այն կետերը, որոնցում մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի արժեքները f(x)\,\!, ապա ինտեգրանդի նույնքան հաշվարկներով կարելի է ստանալ մեթոդներ, որոնք ավելի շատ են բարձր կարգճշգրտություն. Այսպիսով, ինտեգրացիայի արժեքների երկու (ինչպես տրապեզոիդ մեթոդով) հաշվարկների համար կարող եք ձեռք բերել ոչ թե 1-ին, այլ 3-րդ կարգի ճշգրտության մեթոդ.

Ես \մոտավորապես \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \աջ)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \աջ) \աջ).

Ընդհանուր առմամբ, օգտագործելով n\,\!միավորներ, դուք կարող եք ստանալ մեթոդ ճշգրտության կարգով 2n-1\,\!. Գաուսի մեթոդի հանգույցի արժեքները՝ ըստ n\,\!կետերը Լեժանդրի աստիճանի բազմանդամի արմատներն են n\,\!.

Գաուսի մեթոդի հանգույցների արժեքները և դրանց կշիռները տրված են հատուկ գործառույթների գրացուցակներում: Ամենահայտնին Գաուսի հինգ կետանոց մեթոդն է:

Գաուս-Կրոնրոդ մեթոդ

Գաուսի մեթոդի թերությունն այն է, որ այն չունի ստացված ինտեգրալ արժեքի սխալը գնահատելու հեշտ (հաշվողական տեսանկյունից) միջոց։ Runge-ի կանոնի օգտագործումը պահանջում է ինտեգրանդի հաշվարկը մոտավորապես նույն թվով կետերով, առանց ճշտության գործնականում շահույթ տալու, ի տարբերություն. պարզ մեթոդներ, որտեղ ճշգրտությունը զգալիորեն մեծանում է յուրաքանչյուր նոր բաժանման հետ: Քրոնրոդին առաջարկեցին հաջորդ մեթոդըինտեգրալի արժեքի գնահատականները

Ես \մոտավորապես \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Որտեղ x_i\,\!- Գաուսի մեթոդի հանգույցներ n\,\!միավորներ, և 3n+2\,\!պարամետրեր a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!ընտրված է այնպես, որ մեթոդի ճշգրտության կարգը հավասար լինի 3n+1\,\!.

Այնուհետև սխալը գնահատելու համար կարող եք օգտագործել էմպիրիկ բանաձևը

\Դելտա = \ձախ(200 |I - I_G|\աջ)^(1.5),

Որտեղ I_G\,\!- Գաուսի մեթոդով գնահատված ինտեգրալի արժեքը՝ ըստ n\,\!միավորներ. Գրադարաններ [

Թվային ինտեգրացիայի գաղափարը չափազանց պարզ է և բխում է որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստից. y=f(x), x առանցք և ուղիղ գծեր x=a, x=b.

Մոտավորապես գտնելով կոր trapezoid-ի տարածքը, մենք ստանում ենք ինտեգրալի արժեքը: Ֆորմալ կերպով, թվային ինտեգրման կարգն այն է, որ [a, b] հատվածը բաժանվում է n մասնակի հատվածների, այնուհետև դրա վրա ինտեգրվող ֆունկցիան փոխարինվում է հեշտությամբ ինտեգրվող ֆունկցիայով, որը, ըստ որոշակի կախվածության, ինտերբոլացնում է արժեքները։ ինտեգրման ֆունկցիան բաժանման կետերում: Այժմ դիտարկենք թվային ինտեգրման ամենապարզ մեթոդները:Այսպիսով, գործառույթը y=f(x)ինտեգրելի է հատվածի վրա, և մենք պետք է հաշվարկենք դրա ինտեգրալը: Եկեք կազմենք ինտեգրալ գումարը f(x).

հատվածի վրա։ Դա անելու համար մենք հատվածը բաժանում ենք n հավասար մասերի՝ օգտագործելով կետերը. X x 1, x 2, …, x k, …, x n-1 Եթե ​​յուրաքանչյուր մասի երկարությունը նշանակենք, ուրեմն յուրաքանչյուր կետի համար x k

կունենանք. (k=0, 1, 2, ..., n):Այժմ նշենք y=f(x) y k ինտեգրանդի արժեքը

այսինքն դնենք (k=0, 1, …, n): y=f(x)Հետո գումարները . գործառույթի համար անբաժանելի կլինի y=f(x)հատվածի վրա

(Առաջին գումարը կազմելիս հաշվի ենք առնում ֆունկցիայի արժեքները

Եվ

այն կետերում, որոնք մասնակի հատվածների ձախ ծայրերն են, իսկ երկրորդ գումարը կազմելիս՝ այն կետերում, որոնք այս հատվածների աջ ծայրերն են։) Ինտեգրալի սահմանմամբ մենք ունենք.

Ուստի բնական է ինտեգրալ գումարը ընդունել որպես մոտավոր արժեք (1)

, դրանք. դնել: (1")

դրանք

Եվ Այս մոտավոր հավասարությունները կոչվում են ուղղանկյան բանաձևեր:Այն դեպքում, երբ f(x) 0, բանաձևերը (1) և (1’) հետ երկրաչափական կետտեսլականը նշանակում է, որ կոր trapezoid-ի տարածքը aABb, սահմանափակված կորի աղեղով y=f(x),առանցք Օ՜և ուղիղ x=aԵվ x=b, վերցված է մոտավորապես հավասար տարածքաստիճանավոր գործիչ, որը ձևավորվել է հիմքերով և բարձրություններով n ուղղանկյուններից. y 0, y 1, y 2, …, y n-1– (1) բանաձեւի դեպքում (նկ. 8) եւ

y 1, y 2, y 3, …, y n – (1») բանաձեւի դեպքում (նկ. 9):.

Ցանկացած մոտավոր հաշվարկ ունի որոշակի արժեք միայն այն դեպքում, երբ այն ուղեկցվում է թույլատրելի սխալի գնահատմամբ: Հետևաբար, ուղղանկյուն բանաձևերը գործնականում հարմար կլինեն ինտեգրալների մոտավոր հաշվարկման համար միայն այն դեպքում, եթե կա ստացված սխալը գնահատելու հարմար եղանակ (տվյալ n-ի համար), ինչը նաև թույլ է տալիս գտնել հատվածի բաժանման n մասերի քանակը, ինչը երաշխավորում է. մոտավոր հաշվարկի ճշգրտության պահանջվող աստիճանը.

Մենք կենթադրենք, որ ֆունկցիան y=f(x)հատվածի վրա ունի սահմանափակ ածանցյալ, ուստի կա այդպիսի թիվ M>0, որ x-ի բոլոր արժեքների համար անհավասարությունից |զ»(x)|Մ.

Այս անհավասարության որակական իմաստն այն է, որ ֆունկցիայի արժեքի փոփոխության արագությունը սահմանափակ է։ Իրական բնական համակարգերում այս պահանջը գրեթե միշտ բավարարվում է: Այս պայմաններում Rn սխալի բացարձակ արժեքը, որը մենք թույլ ենք տալիս ուղղանկյուն բանաձևով ինտեգրալը հաշվարկելիս, կարելի է գնահատել՝ օգտագործելով բանաձևը.

|Ռն | M(b-a) 2 /2n (2) Քանի որ n-ն ավելանում է անորոշ ժամանակով, արտահայտությունը M(b-a) 2 /2n , և հետևաբարբացարձակ արժեք սխալներ Rn >0 հակված կլինի զրոյի, այսինքն. Մոտավորության ճշգրտությունն ավելի մեծ կլինի, այնքան ավելի մեծ կլինի հավասար մասերի թիվը, որոնց բաժանված է հատվածը: Արդյունքի բացարձակ սխալն ակնհայտորեն պակաս կլինի նշված թվից

, եթե վերցնես .

n > M(b-a) 2 /2 Հետևաբար, ինտեգրալը նշված ճշգրտության աստիճանով հաշվարկելու համար բավական է հատվածը բաժանել մասերի քանակի, ավելի մեծ թվեր . .

Մ(բ-ա) 2 /2

Ուղղանկյունի մեթոդը մոտավոր ինտեգրման ամենապարզ և միևնույն ժամանակ ամենակոպիտ մեթոդն է։ Մեկ այլ մեթոդ՝ trapezoidal մեթոդը, թույլ է տալիս նկատելիորեն ավելի փոքր սխալ:

Ակնհայտ է, որ որքան մեծ է բաժանման հատվածների թիվը n, այնքան ավելի ճշգրիտ արդյունքը կտրվի (3a) և (3b) բանաձևերով: Այնուամենայնիվ, ինտեգրման միջակայքը բաժանող հատվածների քանակի ավելացումը միշտ չէ, որ հնարավոր է: Հետևաբար, բանաձևերը, որոնք ավելի ճշգրիտ արդյունքներ են տալիս նույն թվով բաժանման կետերով, մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում:

(4)

Նման բանաձևերից ամենապարզը ստացվում է որպես (1) և (1») բանաձևերի աջ կողմերի թվաբանական միջին. Հեշտ է տեսնելերկրաչափական իմաստ և, հետևաբար, բանաձևը (4) ներկայացնում է նման trapezoids-ից բաղկացած գործչի տարածքը (նկ. 10): Երկրաչափական նկատառումներից պարզ է դառնում, որ նման գործչի մակերեսը, ընդհանուր առմամբ, ավելի ճշգրիտ արտահայտելու է կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը, քան ուղղանկյունների մեթոդով դիտարկվող աստիճանավոր գործչի մակերեսը:

Նմանատիպ տերմինները բերելով բանաձևի (4), մենք վերջապես ստանում ենք

Բանաձև (5) կոչվում է trapezoidal բանաձեւը.

Գործնական հաշվարկների համար հաճախ օգտագործվում է trapezoidal բանաձևը: Ինչ վերաբերում է սխալի գնահատմանը սխալներ, առաջանալով (5)-ի ձախ կողմը աջով փոխարինելիս, ապացուցվում է, որ դրա բացարձակ արժեքը բավարարում է անհավասարությունը.

(6)

Որտեղ Մ 2– ինտերվալի վրա ինտեգրալ ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի մոդուլի առավելագույնը, այսինքն.

.

Հետևաբար, սխալներնվազում է առնվազն նույնքան արագ, որքան .

Բացարձակ սխալ սխալներկլինի նախապես որոշված ​​թվից փոքր > 0 , եթե վերցնես .

Մոտավոր բանաձևերի ճշգրտության զգալի աճ կարելի է ձեռք բերել ինտերպոլացիայի կարգի մեծացման միջոցով: Այդպիսի մոտավոր ինտեգրման մեթոդներից է պարաբոլայի մեթոդը։ Մեթոդի գաղափարը հիմնված է այն փաստի վրա, որ մասնակի ընդմիջումով որոշակի պարաբոլայի աղեղը ընդհանուր դեպքում ավելի սերտորեն հարում է կորին: aABbքան այս կորի աղեղի ծայրերը միացնող ակորդը, և, հետևաբար, պարաբոլների աղեղներով «վերևից» սահմանափակված համապատասխան տարրական տրապիզոիդների տարածքների արժեքները ավելի մոտ են համապատասխան տարածքների արժեքներին: մասնակի կորագիծ trapezoids, որոնք սահմանափակված են վերևից կորի աղեղով aABbքան համապատասխան ուղղագիծ trapezoids-ի տարածքները։ Մեթոդի էությունը հետեւյալն է. Հատվածը բաժանված է 2n

հավասար մասեր: Թող բաժանման կետերը լինեն

Թվային ինտեգրման մեթոդներ

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, իսկ պարաբոլայի բանաձևի համար՝ համաչափ արժեքին, այսինքն.

Պարաբոլայի մեթոդը շատ ավելի արագ է զուգակցվում, քան տրապեզոիդը, մինչդեռ հաշվողական տեխնոլոգիայի տեսանկյունից երկու մեթոդներն էլ նույնն են:

ԹՎԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Դասախոսություն-5

Մեկնաբանություն.

Օպերատորներ
օգտագործել linear_operators

նշանակում է միացնել ստանդարտ dfimsl ռեժիմների գրադարանները և

գծային_օպերատորներ, համապատասխանաբար:

Linear_operators գրադարանում հնարավոր է օգտագործել ստանդարտ ռեժիմը eig-ի սեփական արժեքները և վեկտորները որոշելու համար հետևյալ ձևով. lambda=eig(a,v=y),),

ա – աղբյուրի մատրիցա (երկչափ զանգված n),

nxn լամբդա - սեփական արժեքների վեկտոր (երկարության միաչափ զանգված y - մատրիցա lambda=eig(a,v=y),).

սեփական վեկտորներ

, դասավորված սյունակներում (երկչափ զանգված Թվարկված զանգվածները պետք է հայտարարված լինեն ծրագրում:Թող հարկ լինի հաշվարկել

Շատ գործառույթների համար հակաածանցյալները բավականին բարդ համակցություններ են տարրական գործառույթներ, կամ ընդհանրապես չեն արտահայտվում դրանց միջոցով։ Նման դեպքերում Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւի կիրառումը գործնականում հնարավոր չէ։ Շատ գործնական դեպքերում բավական է ստանալ ինտեգրալի արժեքը տվյալ ճշտությամբ։ Ինտեգրալի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար կան թվային ինտեգրման բանաձևեր։ Թվային ինտեգրման բանաձևերի կառուցման էությունը հետևյալն է.

Եկեք բաժանենք հատվածը մասերի: Ներկայացման պարզության համար եկեք դնենք նույն երկարության այս մասերը.

Եկեք համարենք բաժանման կետերը, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 2.5.1. Մենք ունենք.

Բրինձ. 2.5.1.Թվային ինտեգրման հարցի շուրջ.

Բնօրինակ ինտեգրալը (2.5.1) կարող է ներկայացվել որպես ինտեգրալների գումար բաժանման արդյունքում ստացված «փոքր» հատվածների վրա.

. (2.5.2)

Ինտեգրալներ

հաշվարկվում են մոտավոր բանաձևերի միջոցով:

Հատվածի վրա ինտեգրալների մոտավոր հաշվարկման ամենապարզ բանաձևերը կոչվում են քառակուսային բանաձևեր . Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին ստորև, ինչպես նաև ուսումնասիրենք դրանց ճշգրտության հարցերը: Քառակուսային բանաձևի ճշգրտության կարգը որոշվում է այն բազմանդամի (բազմանդամի) աստիճանով, որի համար այս քառակուսային բանաձևը ճշգրիտ է:

2.5.2. Ուղղանկյունների բանաձև («միջինների» բանաձև):

Եկեք փոխարինենք այն եսԻնտեգրելի ֆունկցիայի -րդ բաժինը մշտականարժեք, օրինակ, որը հավասար է իր արժեքին միջին կետում (նկ. 2.5.2).

Բրինձ. 2.5.2.Ինտեգրման մասին՝ օգտագործելով ուղղանկյուն բանաձևը:

, Որտեղ . (2.5.4)

Այնուհետև հատվածի ինտեգրալը փոխարինվում է ուղղանկյունի մակերեսով, այսինքն.

, (2.5.5)

իսկ սկզբնական ինտեգրալի հաշվարկը կրճատվում է գումարի հաշվարկով

. (2.5.6)

Բացի այդ, հաճախ գործնական նկատառումներից ելնելով, (2.5.6) բանաձևի որակը համարվում է , կամ . Արդյունքում մենք ստանում ենք.

(2.5.7)

- «ձախ» ուղղանկյունների քառակուսային բանաձևը.

(2.5.8)

– «ճիշտ» ուղղանկյունների քառակուսային բանաձևը:

Բանաձևերը (2.5.7) և (2.5.8) ավելի քիչ ճշգրիտ են, քան (2.5.6), բայց երբեմն ավելի հարմար են, օրինակ, դիֆերենցիալ հավասարումները թվային լուծումների ժամանակ:

Հաշվարկի ճշգրտություն . Ինչպես հետևում է կառուցվածքից, ուղղանկյունների քառակուսային բանաձևերը տալիս են ֆունկցիաների ինտեգրման ճշգրիտ արդյունք. մշտականվրա ես-րդ բաժինը (). «Միջին» ուղղանկյունների քառակուսային բանաձևը նույնպես ճշգրիտ արդյունք է տալիս գծայինվրա ես- ֆունկցիաների հատվածը: Բավական է ստուգել այս հայտարարությունը ամենապարզին համար գծային ֆունկցիա.

Ճշգրիտ ինտեգրմամբ մենք ստանում ենք.

,

իսկ ինտեգրվելիս օգտագործելով «միջին» ուղղանկյունների բանաձևը

Ինչպես երևում է, ճշգրիտ և թվային ինտեգրման արդյունքները համընկնում են։