Ֆունկցիայի ածանցյալ. The Ultimate Guide (2019)
Եկեք պատկերացնենք ուղիղ ճանապարհ, որն անցնում է լեռնոտ տարածքով: Այսինքն՝ բարձրանում-իջնում է, բայց չի շրջվում աջ կամ ձախ։ Եթե առանցքը ուղղվում է ճանապարհի երկայնքով հորիզոնական և ուղղահայաց, ապա ճանապարհի գիծը շատ նման կլինի ինչ-որ շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկին.
Առանցքը զրոյական բարձրության որոշակի մակարդակ է, կյանքում մենք օգտագործում ենք ծովի մակարդակը:
Նման ճանապարհով առաջ շարժվելիս մենք նույնպես շարժվում ենք վեր կամ վար: Կարելի է նաև ասել՝ երբ արգումենտը փոխվում է (շարժում աբսցիսայի առանցքի երկայնքով), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է (շարժում օրդինատների առանցքի երկայնքով)։ Հիմա եկեք մտածենք, թե ինչպես կարելի է որոշել մեր ճանապարհի «զառիթափությունը»: Ինչպիսի՞ արժեք կարող է լինել սա: Դա շատ պարզ է՝ ինչքանով կփոխվի բարձրությունը որոշակի տարածություն առաջ շարժվելիս: Իսկապես, ճանապարհի տարբեր հատվածներում, շարժվելով առաջ (x առանցքի երկայնքով) մեկ կիլոմետրով, մենք կբարձրանանք կամ կիջնենք ծովի մակարդակի համեմատ տարբեր թվով մետրերով (y առանցքի երկայնքով):
Նշենք առաջընթացը (կարդացեք «delta x»):
Հունարեն տառը (դելտա) սովորաբար օգտագործվում է մաթեմատիկայի մեջ որպես նախածանց, որը նշանակում է «փոփոխություն»: Այսինքն - սա քանակի փոփոխություն է, - փոփոխություն; ապա ինչ է դա Ճիշտ է, մեծության փոփոխություն:
Կարևոր է. արտահայտությունը մեկ ամբողջություն է, մեկ փոփոխական: Երբեք մի առանձնացրեք «դելտան» «x»-ից կամ որևէ այլ տառից: Այսինքն, օրինակ, .
Այսպիսով, մենք առաջ ենք շարժվել՝ հորիզոնական ուղղությամբ։ Եթե ճանապարհի գիծը համեմատենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ, ապա ինչպե՞ս ենք նշանակում բարձրացումը։ Անշուշտ,. Այսինքն՝ առաջ գնալով ավելի ենք բարձրանում։
Արժեքը հեշտ է հաշվարկել՝ եթե սկզբում բարձրության վրա ենք եղել, իսկ շարժվելուց հետո հայտնվել ենք բարձրության վրա, ապա. Եթե վերջնակետը մեկնարկային կետից ցածր է, ապա այն բացասական կլինի, սա նշանակում է, որ մենք ոչ թե բարձրանում ենք, այլ իջնում ենք:
Վերադառնանք «կտրուկությանը». սա մի արժեք է, որը ցույց է տալիս, թե որքան (կտրուկ) է բարձրանում բարձրությունը մեկ միավոր հեռավորության վրա առաջ շարժվելիս.
Ենթադրենք ճանապարհի ինչ-որ հատվածում մեկ կիլոմետրով առաջ շարժվելիս ճանապարհը բարձրանում է մեկ կիլոմետրով։ Այնուհետեւ այս վայրում թեքությունը հավասար է: Իսկ եթե ճանապարհը մ-ով առաջ շարժվելիս իջել է կմ-ով. Այնուհետեւ թեքությունը հավասար է:
Հիմա եկեք նայենք բլրի գագաթին: Եթե հատվածի սկիզբը վերցնեք գագաթից կես կիլոմետր առաջ, իսկ վերջը դրանից կես կիլոմետր հետո, կարող եք տեսնել, որ բարձրությունը գրեթե նույնն է։
Այսինքն, ըստ մեր տրամաբանության, ստացվում է, որ այստեղ թեքությունը գրեթե հավասար է զրոյի, ինչն ակնհայտորեն ճիշտ չէ։ Մի փոքր ավելի հեռավորության վրա շատ բան կարող է փոխվել: Զառիթափության ավելի համարժեք և ճշգրիտ գնահատման համար անհրաժեշտ է դիտարկել ավելի փոքր տարածքներ: Օրինակ, եթե մեկ մետր շարժվելիս չափեք բարձրության փոփոխությունը, արդյունքը շատ ավելի ճշգրիտ կլինի: Բայց նույնիսկ այս ճշգրտությունը կարող է մեզ չբավականացնել, չէ՞ որ եթե ճանապարհի մեջտեղում սյուն լինի, մենք կարող ենք պարզապես անցնել այն։ Այդ դեպքում ի՞նչ հեռավորություն պետք է ընտրենք: սանտիմետրը? Միլիմետր? Ավելի քիչ, ավելի լավ!
IN իրական կյանքՄոտակա միլիմետր հեռավորությունների չափումը ավելի քան բավարար է: Սակայն մաթեմատիկոսները միշտ ձգտում են կատարելության։ Հետեւաբար, հայեցակարգը հորինվել է անսահման փոքր, այսինքն՝ բացարձակ արժեքը փոքր է ցանկացած թվից, որը մենք կարող ենք անվանել։ Օրինակ, դուք ասում եք. մեկ տրիլիոներորդ! Որքա՞ն պակաս: Եվ դուք այս թիվը բաժանում եք, և այն էլ ավելի քիչ կլինի: Եվ այսպես շարունակ։ Եթե ուզում ենք գրել, որ մեծությունն անվերջ փոքր է, գրում ենք այսպես (կարդում ենք «x-ը ձգտում է զրոյի»): Շատ կարևոր է հասկանալ որ այս թիվը զրո չէ!Բայց դրան շատ մոտ: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք բաժանել դրա վրա:
Անսահման փոքրին հակառակ հասկացությունը անսահման մեծ է (): Դուք հավանաբար արդեն հանդիպել եք դրան, երբ աշխատում էիք անհավասարությունների վրա. Եթե դուք գտնում եք հնարավոր ամենամեծ թիվը, պարզապես այն բազմապատկեք երկուով և կստանաք ավելի մեծ թիվ: Եվ անսահմանությունը նույնիսկ ավելի մեծ է, քան այն, ինչ տեղի է ունենում: Իրականում անսահման մեծն ու անսահման փոքրը միմյանց հակադարձ են, այսինքն՝ ժամը, և հակառակը՝ ժամը։
Հիմա վերադառնանք մեր ճանապարհին։ Իդեալական հաշվարկված թեքությունը ուղու անվերջ փոքր հատվածի համար հաշվարկված թեքությունն է, այսինքն.
Նշում եմ, որ անվերջ փոքր տեղաշարժի դեպքում բարձրության փոփոխությունը նույնպես անսահման փոքր կլինի։ Բայց հիշեցնեմ, որ անսահման փոքրը չի նշանակում զրոյի հավասար։ Եթե իրար վրա բաժանեք անվերջ փոքր թվեր, կարող եք ստանալ լրիվ սովորական թիվ, օրինակ՝ . Այսինքն, մի փոքր արժեքը կարող է ճշգրիտ անգամ ավելի մեծ լինել, քան մյուսը:
Ինչի՞ համար է այս ամենը։ Ճանապարհ, զառիթափ... Մենք ավտոերթի չենք գնում, այլ դասավանդում ենք մաթեմատիկա։ Իսկ մաթեմատիկայում ամեն ինչ միանգամայն նույնն է, միայն այլ կերպ է կոչվում։
Ածանցյալ հասկացություն
Ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունն է արգումենտի անվերջ փոքր աճի փաստարկի աճի հարաբերակցությունը։
Աստիճանաբարմաթեմատիկայի մեջ անվանում են փոփոխություն։ Այն չափը, որով () արգումենտը փոխվում է առանցքի երկայնքով շարժվելիս կոչվում է փաստարկի ավելացումև նշանակված է:Որքանով է փոխվել ֆունկցիան (բարձրությունը) առանցքի երկարությամբ առաջ շարժվելիս կոչվում է. ֆունկցիայի ավելացումև նշանակված է.
Այսպիսով, ֆունկցիայի ածանցյալը հարաբերակցությունն է երբ: Ածանցյալը նշում ենք ֆունկցիայի հետ նույն տառով, միայն վերևի աջ կողմում պարզ տառով. կամ պարզապես: Այսպիսով, եկեք գրենք ածանցյալ բանաձևը՝ օգտագործելով հետևյալ նշումները.
Ինչպես ճանապարհի անալոգիայում, այստեղ, երբ ֆունկցիան մեծանում է, ածանցյալը դրական է, իսկ երբ նվազում է՝ բացասական։
Կարո՞ղ է ածանցյալը հավասար լինել զրոյի: Անշուշտ։ Օրինակ, եթե մենք վարում ենք հարթ հորիզոնական ճանապարհով, զառիթափությունը զրոյական է: Եվ դա ճիշտ է, բարձրությունը ընդհանրապես չի փոխվում: Այդպես է նաև ածանցյալը. հաստատուն ֆունկցիայի (հաստատուն) ածանցյալը հավասար է զրոյի.
քանի որ նման ֆունկցիայի աճը ցանկացածի համար հավասար է զրոյի։
Հիշենք բլրի գագաթի օրինակը. Պարզվեց, որ հնարավոր է հատվածի ծայրերը դասավորել գագաթի հակառակ կողմերում այնպես, որ ծայրերում բարձրությունը նույնն է, այսինքն՝ հատվածը զուգահեռ է առանցքին.
Բայց մեծ հատվածները ոչ ճշգրիտ չափման նշան են: Մենք կբարձրացնենք մեր հատվածը իրեն զուգահեռ, այնուհետև դրա երկարությունը կնվազի։
Ի վերջո, երբ մենք անսահման մոտ ենք գագաթին, հատվածի երկարությունը կդառնա անսահման փոքր: Բայց միևնույն ժամանակ այն մնաց առանցքին զուգահեռ, այսինքն՝ նրա ծայրերում բարձրությունների տարբերությունը հավասար է զրոյի (այն չի ձգտում, այլ հավասար է): Այսպիսով, ածանցյալը
Սա կարելի է հասկանալ այսպես. երբ մենք կանգնած ենք հենց վերևում, մի փոքր տեղաշարժ դեպի ձախ կամ աջ աննշանորեն փոխում է մեր հասակը:
Կա նաև զուտ հանրահաշվական բացատրություն՝ գագաթից ձախ ֆունկցիան մեծանում է, իսկ աջում՝ նվազում։ Ինչպես ավելի վաղ պարզեցինք, երբ ֆունկցիան մեծանում է, ածանցյալը դրական է, իսկ երբ նվազում է՝ բացասական։ Բայց փոխվում է սահուն, առանց թռիչքների (քանի որ ճանապարհը ոչ մի տեղ կտրուկ չի փոխում թեքությունը)։ Հետեւաբար, պետք է լինի բացասական եւ դրական արժեքների միջեւ։ Դա կլինի այնտեղ, որտեղ ֆունկցիան ոչ մեծանում է, ոչ էլ նվազում է` գագաթային կետում:
Նույնը ճշմարիտ է տախտակի դեպքում (այն տարածքը, որտեղ ձախում ֆունկցիան նվազում է, իսկ աջում՝ մեծանում).
Մի փոքր ավելին ավելացումների մասին:
Այսպիսով, մենք փոխում ենք փաստարկը մեծության: Ի՞նչ արժեքից ենք փոխվում։ Ինչի՞ է դա դարձել (փաստարկը) հիմա: Մենք կարող ենք ընտրել ցանկացած կետ, և հիմա մենք կպարենք դրանից։
Դիտարկենք կոորդինատով կետ: Նրանում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է։ Այնուհետև կատարում ենք նույն աճը. կոորդինատը մեծացնում ենք: Հիմա ինչ? հավասար փաստարկ? Շատ հեշտ: . Հիմա ո՞րն է ֆունկցիայի արժեքը: Այնտեղ, որտեղ արգումենտը գնում է, այնուհետև գործում է նաև գործառույթը՝ . Ինչ վերաբերում է ֆունկցիայի ավելացմանը: Նորություն չկա. սա դեռ այն գումարն է, որով փոխվել է ֆունկցիան.
Սովորեք գտնել ավելացումներ.
- Գտե՛ք ֆունկցիայի աճն այն կետում, երբ փաստարկի աճը հավասար է:
- Նույնը վերաբերում է մի կետի ֆունկցիային:
Լուծումներ:
Նույն արգումենտի աճով տարբեր կետերում ֆունկցիայի աճը տարբեր կլինի: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր կետում ածանցյալը տարբեր է (մենք դա քննարկել ենք հենց սկզբում. տարբեր կետերում ճանապարհի զառիթափությունը տարբեր է): Հետևաբար, երբ մենք գրում ենք ածանցյալ, մենք պետք է նշենք, թե որ կետում.
Հզորության գործառույթ:
Հզորության ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որտեղ փաստարկը որոշ չափով (տրամաբանական, չէ՞):
Ավելին, ցանկացած չափով.
Ամենապարզ դեպքն այն է, երբ ցուցիչը հետևյալն է.
Գտնենք դրա ածանցյալը մի կետում։ Հիշենք ածանցյալի սահմանումը.
Այսպիսով, փաստարկը փոխվում է մինչև: Որքա՞ն է ֆունկցիայի աճը:
Աճը սա է. Բայց ֆունկցիան ցանկացած կետում հավասար է իր փաստարկին: Ահա թե ինչու:
Ածանցյալը հավասար է.
-ի ածանցյալը հավասար է.
բ) Հիմա հաշվի առեք քառակուսի ֆունկցիա (): .
Հիմա հիշենք դա. Սա նշանակում է, որ աճի արժեքը կարող է անտեսվել, քանի որ այն անսահման փոքր է և, հետևաբար, աննշան մյուս տերմինի ֆոնի վրա.
Այսպիսով, մենք եկանք մեկ այլ կանոն.
գ) Շարունակում ենք տրամաբանական շարքը.
Այս արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել տարբեր ձևերով՝ բացել առաջին փակագիծը՝ օգտագործելով գումարի խորանարդի կրճատ բազմապատկման բանաձևը, կամ ֆակտորիզացնել ամբողջ արտահայտությունը՝ օգտագործելով խորանարդների տարբերության բանաձևը։ Փորձեք դա անել ինքներդ՝ օգտագործելով առաջարկվող մեթոդներից որևէ մեկը։
Այսպիսով, ես ստացա հետևյալը.
Եվ նորից հիշենք դա. Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք անտեսել բոլոր տերմինները, որոնք պարունակում են.
Մենք ստանում ենք.
դ) Նմանատիպ կանոններ կարելի է ձեռք բերել մեծ հզորությունների համար.
ե) Ստացվում է, որ այս կանոնը կարող է ընդհանրացվել ուժային ֆունկցիայի համար կամայական ցուցիչով, նույնիսկ ոչ ամբողջ թվով.
| (2) |
Կանոնը կարող է ձևակերպվել հետևյալ բառերով.
Այս կանոնը մենք կապացուցենք ավելի ուշ (գրեթե ամենավերջում): Այժմ նայենք մի քանի օրինակների։ Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալը.
- (երկու եղանակով. բանաձևով և օգտագործելով ածանցյալի սահմանումը - ֆունկցիայի աճի հաշվարկով);
- . Հավատում եք, թե ոչ, սա ուժային ֆունկցիա է: Եթե ունեք հարցեր, ինչպիսիք են «Ինչպե՞ս է սա: Որտե՞ղ է աստիճանը», հիշեք «» թեման:
Այո, այո, արմատը նույնպես աստիճան է, միայն կոտորակային:
Սա նշանակում է, որ մեր քառակուսի արմատը պարզապես հզորություն է, որն ունի ցուցիչ.
.
Մենք փնտրում ենք ածանցյալը՝ օգտագործելով վերջերս սովորած բանաձևը.Եթե այս պահին կրկին անհասկանալի է դառնում, ապա կրկնեք «» թեման!!! (աստիճանի մասին բացասական ցուցանիշ)
- . Այժմ ցուցանիշը.
Եվ հիմա սահմանման միջոցով (դուք դեռ մոռացե՞լ եք):
;
.
Այժմ, ինչպես միշտ, մենք անտեսում ենք տերմինը, որը պարունակում է.
. - . Նախորդ դեպքերի համակցություն.
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.
Այստեղ մենք կօգտագործենք բարձրագույն մաթեմատիկայի մեկ փաստ.
Արտահայտությամբ.
Ապացույցը կիմանաք ինստիտուտի առաջին կուրսում (իսկ այնտեղ հասնելու համար պետք է լավ հանձնել միասնական պետական քննությունը): Այժմ ես պարզապես ցույց կտամ այն գրաֆիկորեն.
Մենք տեսնում ենք, որ երբ ֆունկցիան գոյություն չունի, գրաֆիկի կետը կտրված է: Բայց որքան մոտ է արժեքին, այնքան ավելի մոտ է ֆունկցիան: Ահա թե ինչ է «նպատակում»:
Բացի այդ, դուք կարող եք ստուգել այս կանոնը, օգտագործելով հաշվիչ: Այո, այո, մի ամաչեք, վերցրեք հաշվիչ, մենք դեռ միասնական պետական քննությանը չենք:
Այսպիսով, եկեք փորձենք.
Մի մոռացեք ձեր հաշվիչը միացնել Radians ռեժիմին:
և այլն: Մենք տեսնում ենք, որ որքան քիչ, այնքան ավելի մոտ արժեքհարաբերություններ դեպի
ա) Դիտարկենք ֆունկցիան. Ինչպես միշտ, եկեք գտնենք դրա աճը.
Սինուսների տարբերությունը վերածենք ապրանքի։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (հիշեք «» թեման).
Այժմ ածանցյալը.
Եկեք փոխարինենք. Ապա անվերջ փոքրի համար այն նաև անվերջ փոքր է՝ . For արտահայտությունն ունի հետևյալ ձևը.
Եվ հիմա մենք դա հիշում ենք արտահայտությամբ. Եվ նաև, ինչ կլինի, եթե գումարում (այսինքն, ժամը) կարելի է անտեսել անսահման փոքր մեծությունը:
Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ կանոնը. սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսին:
Սրանք հիմնական («աղյուսակային») ածանցյալներ են: Ահա դրանք մեկ ցուցակում.
Ավելի ուշ դրանց կավելացնենք ևս մի քանիսը, բայց սրանք ամենակարևորներն են, քանի որ դրանք առավել հաճախ են օգտագործվում։
Պրակտիկա:
- Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում;
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը:
Լուծումներ:
- Նախ, եկեք գտնենք ածանցյալը ընդհանուր տեսարան, և այնուհետև փոխարինեք դրա արժեքը.
;
. - Այստեղ մենք ունենք նման բան հզորության գործառույթը. Եկեք փորձենք բերել նրան
նորմալ տեսարան.
.
Հիանալի է, այժմ կարող եք օգտագործել բանաձևը.
.
. - . Էէէէէէ….. էս ինչ է????
Լավ, դու ճիշտ ես, մենք դեռ չգիտենք, թե ինչպես գտնել նման ածանցյալներ: Այստեղ մենք ունենք մի քանի տեսակի գործառույթների համադրություն: Նրանց հետ աշխատելու համար դուք պետք է սովորեք ևս մի քանի կանոն.
Ցուցանիշ և բնական լոգարիթմ:
Մաթեմատիկայում կա մի ֆունկցիա, որի ածանցյալը ցանկացած արժեքի համար միաժամանակ հավասար է բուն ֆունկցիայի արժեքին։ Այն կոչվում է «ցուցանիշ» և էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիա է
Այս ֆունկցիայի հիմքը հաստատուն է՝ այն անսահման է տասնորդական, այսինքն՝ իռացիոնալ թիվ (օրինակ)։ Այն կոչվում է «Էյլերի թիվ», ինչի պատճառով էլ նշվում է տառով։
Այսպիսով, կանոնը.
Շատ հեշտ է հիշել:
Դե, եկեք հեռու չգնանք, անմիջապես դիտարկենք հակադարձ գործառույթը: Ո՞ր ֆունկցիան է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ. Լոգարիթմ:
Մեր դեպքում հիմքը համարն է.
Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։
Ինչի՞ն է դա հավասար։ Իհարկե, .
Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.
Օրինակներ.
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը:
- Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:
Պատասխանները: Ցուցահանդեսի և բնական լոգարիթմ- ֆունկցիաները ածանցյալների առումով եզակի պարզ են: Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը կվերլուծենք ավելի ուշ՝ տարբերակման կանոնները անցնելուց հետո։
Տարբերակման կանոններ
Ինչի կանոններ. Նորից նոր ժամկետ, էլի՞...
Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։
Այսքանը: Ուրիշ ինչ կարող եք անվանել այս գործընթացը մեկ բառով: Ոչ ածանցյալ... Մաթեմատիկոսները դիֆերենցիալն անվանում են ֆունկցիայի նույն աճը: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.
Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու գործառույթ, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.
Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.
Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից։
Եթե - ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.
Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.
Եկեք ապացուցենք դա։ Թող լինի, կամ ավելի պարզ:
Օրինակներ.
Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.
- մի կետում;
- մի կետում;
- մի կետում;
- կետում։
Լուծումներ:
- (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):
Արտադրանքի ածանցյալ
Այստեղ ամեն ինչ նման է. եկեք ներկայացնենք նոր գործառույթ և գտնենք դրա աճը.
Ածանցյալ:
Օրինակներ.
- Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները և.
- Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:
Լուծումներ:
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ
Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչները (դուք դեռ մոռացե՞լ եք, թե դա ինչ է):
Այսպիսով, որտեղ է որոշ թիվ:
Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան իջեցնել նոր հիմքի.
Դրա համար մենք կօգտագործենք պարզ կանոն: Ապա.
Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:
Տեղի է ունեցել?
Ահա, ստուգեք ինքներդ.
Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործակիցը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։
Օրինակներ.
Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.
Պատասխանները:
Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ այն այլևս չի կարող գրվել։ պարզ ձևով. Ուստի պատասխանում թողնում ենք այս տեսքով.
Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
Այստեղ նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.
Հետևաբար, այլ հիմքով կամայական լոգարիթմ գտնելու համար, օրինակ.
Մենք պետք է կրճատենք այս լոգարիթմը մինչև հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.
Միայն հիմա փոխարենը կգրենք.
Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը ստացվում է շատ պարզ.
Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալներ Միասնական պետական քննությունում գրեթե երբեք չեն գտնվում, բայց դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։
Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և արկտանգենս չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ համար դժվար է, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և լավ կլինեք), բայց մաթեմատիկական տեսանկյունից «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»:
Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են անում որոշ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Արդյունքը կոմպոզիտային առարկա է՝ շոկոլադե սալիկ, որը փաթաթված և կապվում է ժապավենով: Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է անել հակառակ քայլերը հակառակ կարգը.
Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը քառակուսի կդնենք։ Այսպիսով, մեզ տրվում է թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), այնուհետև դու քառակուսի ես դնում իմ ստացածը (կապում ես ժապավենով): Ինչ է պատահել? Գործառույթ. Սա օրինակ է բարդ գործառույթԵրբ, դրա արժեքը գտնելու համար, մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո երկրորդ գործողությունը՝ առաջինից ստացվածի հետ:
Մենք կարող ենք հեշտությամբ կատարել նույն քայլերը հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում այն, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը՝ . Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր կլինի։ Կարևոր հատկությունբարդ ֆունկցիաներ. երբ գործողությունների հերթականությունը փոխվում է, ֆունկցիան փոխվում է:
Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .
Առաջին օրինակի համար.
Երկրորդ օրինակ. (նույն բանը): .
Այն գործողությունը, որը մենք վերջին անգամ ենք անում, կկոչվի «արտաքին» գործառույթ, և գործողությունը կատարվեց առաջինը `համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):
Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.
Պատասխանները:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխականների փոփոխմանը. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ
- Ի՞նչ գործողություն ենք մենք առաջինը կատարելու: Նախ, եկեք հաշվարկենք սինուսը, և միայն դրանից հետո խորանարդենք այն: Սա նշանակում է, որ դա ներքին ֆունկցիա է, բայց արտաքին։
Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է. - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն. - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն. - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն. - Ներքին: ; արտաքին:
Փորձաքննություն.
Փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։
Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադե սալիկն ու կփնտրենք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, հետո արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի հետ կապված, այն ունի հետևյալ տեսքը.
Մեկ այլ օրինակ.
Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.
Պարզ է թվում, չէ՞:
Եկեք ստուգենք օրինակներով.
Լուծումներ:
1) Ներքին՝ ;
Արտաքին: ;
2) ներքին՝ ;
(Պարզապես մի փորձեք կտրել այն մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ դուրս չի գալիս, հիշում եք):
3) ներքին՝ ;
Արտաքին: ;
Միանգամից պարզ է դառնում, որ սա եռաստիճան բարդ ֆունկցիա է. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և մենք դրանից հանում ենք նաև արմատը, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթան և պայուսակի մեջ ժապավենով): Բայց վախենալու պատճառ չկա. մենք դեռ «կբացենք» այս գործառույթը սովորական հերթականությամբ՝ վերջից:
Այսինքն՝ սկզբում տարբերակում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:
Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք կատարելու գործողություններ այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.
Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան ավելի «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը նույնն է, ինչ նախկինում.
Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.
1. Արմատական արտահայտություն. .
2. Արմատ. .
3. Սինուս. .
4. Քառակուսի. .
5. Բոլորը միասին դնելով.
ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ
Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի անվերջ փոքր աճի փաստարկի աճին.
Հիմնական ածանցյալներ.
Տարբերակման կանոններ.
Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից.
Գումարի ածանցյալը.
Արտադրանքի ածանցյալը.
Գործակիցի ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.
- Մենք սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
- Մենք սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
- Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները:
Հոդվածի բովանդակությունը
ածանցյալ- ֆունկցիայի ածանցյալ y = զ(x), տրված որոշակի ընդմիջումով ( ա, բ) կետում xԱյս միջակայքը կոչվում է այն սահմանը, որին ձգտում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը զայս պահին արգումենտի համապատասխան աճին, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի:
Ածանցյալը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ.
Լայնորեն օգտագործվում են նաև այլ նշանակումներ.
Ակնթարթային արագություն.
Թող կետը Մշարժվում է ուղիղ գծով. Հեռավորությունը սշարժվող կետ՝ հաշվված ինչ-որ սկզբնական դիրքից Մ 0 , կախված է ժամանակից տ, այսինքն. սժամանակի ֆունկցիա կա տ: ս= զ(տ). Թող ժամանակի ինչ-որ պահի տշարժվող կետ Մհեռավորության վրա էր սմեկնարկային դիրքից Մ 0, իսկ հաջորդ պահին տ+D տհայտնվել է մի դիրքում Մ 1 - հեռավորության վրա ս+D սսկզբնական դիրքից ( տես նկարը.).
Այսպիսով, որոշակի ժամանակահատվածում Դ տհեռավորությունը սչափով փոխվել է Դ ս. Այս դեպքում ասում են, որ ժամանակային միջակայքում Դ տմեծությունը սստացել է հավելավճար Դ ս.
Միջին արագությունը բոլոր դեպքերում չի կարող ճշգրիտ բնութագրել կետի շարժման արագությունը Մժամանակի մի կետում տ. Եթե, օրինակ, մարմինը միջակայքի սկզբում Դ տշարժվել է շատ արագ, իսկ վերջում՝ շատ դանդաղ, ապա միջին արագությունը չի կարողանա արտացոլել կետի շարժման նշված հատկանիշները և պատկերացում տալ տվյալ պահին դրա շարժման իրական արագության մասին։ տ. Միջին արագության միջոցով իրական արագությունն ավելի ճշգրիտ արտահայտելու համար հարկավոր է ավելի կարճ ժամանակ հատկացնել D տ. Առավել լիովին բնութագրում է տվյալ պահին կետի շարժման արագությունը տսահմանը, որին միջին արագությունը ձգտում է D տ® 0. Այս սահմանը կոչվում է շարժման արագություն այս պահին:
Այսպիսով, շարժման արագությունը տվյալ պահին կոչվում է ուղու ավելացման հարաբերակցության սահման D սժամանակի ավելացում Դ տ, երբ ժամանակի աճը ձգտում է զրոյի: Որովհետեւ
Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող:
Շոշափող գծերի կառուցումն այն խնդիրներից է, որը հանգեցրեց դիֆերենցիալ հաշվարկի ծնունդին: Լայբնիցի կողմից գրված դիֆերենցիալ հաշվարկի հետ կապված առաջին հրատարակված աշխատանքը վերնագրված էր Նոր մեթոդառավելագույնը և նվազագույնը, ինչպես նաև շոշափողները, որոնց համար խոչընդոտ չեն ոչ կոտորակային, ոչ իռացիոնալ մեծությունները, և դրա համար հատուկ տիպի հաշվարկ..
Թող կորը լինի ֆունկցիայի գրաֆիկը y =զ(x) ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ( սմ. բրինձ.):
Որոշակի արժեքով xգործառույթը կարևոր է y =զ(x) Այս արժեքները xԵվ yկորի կետը համապատասխանում է Մ 0(x, y) Եթե փաստարկը xտալ ավելացում Դ x, ապա փաստարկի նոր արժեքը x+D xհամապատասխանում է նոր ֆունկցիայի արժեքին y+Դ y = զ(x + Դ x) Կորի համապատասխան կետը կլինի կետը Մ 1(x+D x,y+D y) Եթե սեկանտ եք նկարում Մ 0Մ 1 և նշվում է j-ով առանցքի դրական ուղղությամբ լայնակի ձևավորված անկյունը Եզ, նկարից անմիջապես պարզ է դառնում, որ.
Եթե հիմա Դ xձգտում է զրոյի, ապա կետը Մ 1-ը շարժվում է կորի երկայնքով՝ մոտենալով կետին Մ 0 և անկյուն ժ փոխվում է Դ x. ժամը Dx® 0 j անկյունը ձգտում է որոշակի սահմանի a և կետով անցնող ուղիղ գիծ Մ 0, իսկ x առանցքի դրական ուղղություն ունեցող բաղադրիչը՝ a անկյունը, կլինի ցանկալի շոշափողը։ Նրա թեքությունը հետևյալն է.
Հետևաբար, զ´( x) = տգա
դրանք. ածանցյալ արժեք զ´( x) տրված արգումենտի արժեքի համար xհավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափողին զ(x) համապատասխան կետում Մ 0(x,y) դրական առանցքի ուղղությամբ Եզ.
Գործառույթների տարբերակելիություն.
Սահմանում. Եթե ֆունկցիան y = զ(x) կետում ունի ածանցյալ x = x 0, ապա ֆունկցիան այս պահին տարբերելի է:
Ածանցյալ ունեցող ֆունկցիայի շարունակականությունը: Թեորեմ.
Եթե ֆունկցիան y = զ(x) ինչ-որ պահի տարբերակելի է x = x 0, ապա այս պահին այն շարունակական է:
Այսպիսով, ֆունկցիան չի կարող ածանցյալ ունենալ ընդհատման կետերում։ Հակառակ եզրակացությունը սխալ է, այսինքն. նրանից, որ ինչ-որ պահի x = x 0 ֆունկցիա y = զ(x) շարունակական է, չի նշանակում, որ այն տարբերակելի է այս պահին: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = |x| շարունակական բոլորի համար x(–Ґ x x = 0-ը չունի ածանցյալ: Այս պահին գրաֆիկին շոշափող չկա: Կա աջ և ձախ շոշափող, բայց դրանք չեն համընկնում:
Որոշ թեորեմներ տարբերվող ֆունկցիաների վերաբերյալ. Թեորեմ ածանցյալի արմատների մասին (Ռոլեի թեորեմ).Եթե ֆունկցիան զ(x) հատվածի վրա շարունակական է [ա,բ], տարբերելի է այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում և ծայրերում x = աԵվ x = բգնում է զրոյի ( զ(ա) = զ(բ) = 0), ապա հատվածի ներսում [ ա,բ] կա առնվազն մեկ կետ x= Հետ, ագ բ, որում ածանցյալը զў( x) գնում է զրոյի, այսինքն. զў( գ) = 0.
Վերջավոր աճի թեորեմ (Լագրանժի թեորեմ).Եթե ֆունկցիան զ(x) շարունակական է [ ա, բ] և տարբերակելի է այս հատվածի ներքին բոլոր կետերում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա առնվազն մեկ կետ Հետ, ագ բ որ
զ(բ) – զ(ա) = զў( գ)(բ– ա).
Թեորեմ երկու ֆունկցիաների հավելումների հարաբերակցության մասին (Կոշիի թեորեմ).Եթե զ(x) Եվ է(x) – հատվածի վրա շարունակական երկու ֆունկցիա [ա, բ] և տարբերվող այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում, և էў( x) այս հատվածի ներսում ոչ մի տեղ չի անհետանում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա այդպիսի կետ x = Հետ, ագ բ որ
Տարբեր պատվերների ածանցյալներ:
Թողեք գործառույթը y =զ(x) տարբերվում է որոշակի ընդմիջումով [ ա, բ]։ Ածանցյալ արժեքներ զ ў( x), ընդհանուր առմամբ, կախված է x, այսինքն. ածանցյալ զ ў( x) նույնպես ֆունկցիա է x. Այս ֆունկցիան տարբերակելիս ստանում ենք ֆունկցիայի այսպես կոչված երկրորդ ածանցյալը զ(x), որը նշվում է զ ўў ( x).
Ածանցյալ n-Գործառույթների կարգը զ(x) կոչվում է ածանցյալի (առաջին կարգի) ածանցյալ n- 1- th-ը և նշվում է նշանով y(n) = (y(n– 1))ў.
Տարբեր պատվերների դիֆերենցիալներ:
Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y = զ(x), որտեղ x– անկախ փոփոխական, այո դի = զ ў( x)dx, որոշ գործառույթներ x, բայց սկսած xմիայն առաջին գործոնը կարող է կախված լինել զ ў( x), երկրորդ գործոնը ( dx) անկախ փոփոխականի աճն է xև կախված չէ այս փոփոխականի արժեքից: Որովհետեւ դիկա մի ֆունկցիա ից x, ապա մենք կարող ենք որոշել այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։ Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը կոչվում է այս ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալ կամ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ և նշվում է. դ 2y:
դ(dx) = դ 2y = զ ўў( x)(dx) 2 .
Դիֆերենցիալ n-առաջին կարգի կոչվում է դիֆերենցիալ առաջին դիֆերենցիալ n- 1- րդ կարգը:
d n y = դ(d n–1y) = զ(n)(x)dx(n).
Մասնակի ածանցյալ.
Եթե ֆունկցիան կախված է ոչ թե մեկ, այլ մի քանի արգումենտից x i(եստատանվում է 1-ից մինչև n,ես= 1, 2,… n),զ(x 1,x 2,… x n), այնուհետև դիֆերենցիալ հաշվարկում ներմուծվում է մասնակի ածանցյալ հասկացությունը, որը բնութագրում է մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, երբ փոխվում է միայն մեկ արգումենտ, օրինակ. x i. 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալի նկատմամբ x iսահմանվում է որպես սովորական ածանցյալ, և ենթադրվում է, որ բոլոր արգումենտները բացառությամբ x i, պահպանել մշտական արժեքներ։ Մասնակի ածանցյալների համար նշվում է նշումը
Այս կերպ սահմանված 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալները (որպես նույն արգումենտների ֆունկցիաներ) կարող են իրենց հերթին ունենալ նաև մասնակի ածանցյալներ, դրանք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ են և այլն։ Տարբեր փաստարկներից վերցված նման ածանցյալները կոչվում են խառը: Նույն կարգի շարունակական խառը ածանցյալները կախված չեն տարբերակման կարգից և հավասար են միմյանց։
Աննա Չուգայնովա
Սահմանում.Թող \(y = f(x)\) ֆունկցիան սահմանվի \(x_0\) կետը պարունակող որոշակի միջակայքում: Եկեք արգումենտին տանք \(\Delta x \) այնպիսի աճ, որ այն չհեռանա այս միջակայքից: Գտնենք \(\Delta y \) ֆունկցիայի համապատասխան աճը (\(x_0 \) կետից \(x_0 + \Delta x \) կետը շարժվելիս) և կազմենք \(\frac(\Delta) կապը. y) (\Delta x) \). Եթե այս հարաբերակցության սահմանափակում կա \(\Delta x \աջ սլաքը 0\), ապա նշված սահմանը կոչվում է. ֆունկցիայի ածանցյալ\(y=f(x) \) \(x_0 \) կետում և նշանակում \(f"(x_0) \):
$$ \lim_(\Delta x \մինչև 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y խորհրդանիշը հաճախ օգտագործվում է ածանցյալը նշելու համար: Նկատի ունեցեք, որ y" = f(x)-ը նոր ֆունկցիա է, բայց բնականաբար կապված է y = f(x) ֆունկցիայի հետ, որը սահմանված է բոլոր x կետերում, որտեղ առկա է վերը նշված սահմանը: Այս ֆունկցիան կոչվում է այսպես. y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ.
Երկրաչափական իմաստածանցյալհետեւյալն է. Եթե հնարավոր է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափել x=a աբսցիսայով կետում, որը զուգահեռ չէ y առանցքին, ապա f(a)-ն արտահայտում է շոշափողի թեքությունը. :
\(k = f"(a)\)
Քանի որ \(k = tg(a) \), ապա \(f"(a) = tan(a) \) հավասարությունը ճշմարիտ է:
Հիմա եկեք մեկնաբանենք ածանցյալի սահմանումը մոտավոր հավասարությունների տեսանկյունից: Թող ֆունկցիան \(y = f(x)\) ունենա ածանցյալ որոշակի կետում \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Սա նշանակում է, որ x կետի մոտ մոտավոր հավասարություն է \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x)\), այսինքն \(\Delta y \մոտավորապես f"(x) \cdot\ Դելտա x\): Ստացված մոտավոր հավասարության իմաստալից իմաստը հետևյալն է. ֆունկցիայի աճը «գրեթե համաչափ» է փաստարկի աճին, իսկ համաչափության գործակիցը ածանցյալի արժեքն է. տրված կետ X. Օրինակ, \(y = x^2\) ֆունկցիայի համար վավեր է \(\Delta y \մոտ 2x \cdot \Delta x \) մոտավոր հավասարությունը։ Եթե ուշադիր վերլուծենք ածանցյալի սահմանումը, ապա կտեսնենք, որ այն պարունակում է այն գտնելու ալգորիթմ:
Եկեք այն ձևակերպենք.
Ինչպե՞ս գտնել y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը:
1. Սահմանեք \(x\) արժեքը, գտեք \(f(x)\)
2. \(x\) արգումենտին տվեք հավելում \(\Delta x\), անցեք նոր կետ \(x+ \Delta x \), գտեք \(f(x+ \Delta x) \)
3. Գտե՛ք ֆունկցիայի աճը՝ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Ստեղծեք կապը \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Հաշվեք $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Այս սահմանը x կետի ֆունկցիայի ածանցյալն է:
Եթե y = f(x) ֆունկցիան x կետում ունի ածանցյալ, ապա այն կոչվում է տարբերակելի x կետում: y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու կարգը կոչվում է տարբերակում y = f(x) ֆունկցիաներ:
Քննարկենք հետևյալ հարցը. ինչպե՞ս են միմյանց հետ կապված ֆունկցիայի շարունակականությունն ու տարբերակելիությունը մի կետում:
Թող y = f(x) ֆունկցիան լինի տարբերակելի x կետում: Այնուհետև M(x; f(x) կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է շոշափել, և, հիշենք, շոշափողի անկյունային գործակիցը հավասար է f "(x): Նման գրաֆիկը չի կարող «կոտրել»: M կետում, այսինքն՝ x կետում ֆունկցիան պետք է շարունակական լինի:
Սրանք «գործնական» փաստարկներ էին: Եկեք ավելի խիստ պատճառաբանենք. Եթե y = f(x) ֆունկցիան x կետում տարբերելի է, ապա գործում է \(\Delta y \մոտավորապես f"(x) \cdot \Delta x \) հավասարությունը: Եթե այս հավասարության մեջ \(\Delta x. \) հակված է զրոյի, ապա \(\Delta y\)-ը կձգվի զրոյի, և սա մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության պայմանն է։
Այսպիսով, եթե x կետում ֆունկցիան տարբերելի է, ապա այդ կետում այն շարունակական է.
Հակառակ պնդումը ճիշտ չէ։ Օրինակ՝ ֆունկցիա y = |x| շարունակական է ամենուր, մասնավորապես x = 0 կետում, բայց «միացման կետում» ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող (0; 0) գոյություն չունի: Եթե ինչ-որ պահի չի կարելի շոշափել ֆունկցիայի գրաֆիկին, ապա այդ կետում ածանցյալը գոյություն չունի:
Եվս մեկ օրինակ. \(y=\sqrt(x)\) ֆունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, ներառյալ x = 0 կետում: Իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը գոյություն ունի ցանկացած կետում, ներառյալ x = 0 կետում: Բայց այս պահին շոշափողը համընկնում է y առանցքի հետ, այսինքն՝ այն ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, դրա հավասարումն ունի x = 0 ձև: Նման ուղիղ գիծը չունի անկյան գործակից, ինչը նշանակում է, որ \(f) «(0)\) գոյություն չունի:
Այսպիսով, մենք ծանոթացանք ֆունկցիայի նոր հատկության՝ տարբերակելիության հետ։ Ինչպե՞ս կարելի է ֆունկցիայի գրաֆիկից եզրակացնել, որ այն տարբերելի է:
Պատասխանն իրականում տրված է վերևում։ Եթե ինչ-որ պահի հնարավոր է շոշափել ֆունկցիայի գրաֆիկին, որը ուղղահայաց չէ աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերելի է: Եթե ինչ-որ պահի ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը գոյություն չունի կամ այն ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերելի չէ:
Տարբերակման կանոններ
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում. Այս գործողությունը կատարելիս հաճախ պետք է աշխատել քանորդների, գումարների, ֆունկցիաների արտադրյալների, ինչպես նաև «ֆունկցիայի ֆունկցիաների», այսինքն՝ բարդ ֆունկցիաների հետ։ Ելնելով ածանցյալի սահմանումից՝ մենք կարող ենք բխեցնել տարբերակման կանոններ, որոնք հեշտացնում են այս աշխատանքը: Եթե C-ն հաստատուն թիվ է, իսկ f=f(x), g=g(x) որոշ տարբերվող ֆունկցիաներ են, ապա ճշմարիտ են հետևյալը. տարբերակման կանոններ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Որոշ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ
$$ \left(\frac(1)(x) \աջ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a. $$ $$ \ձախ(e^x \աջ) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n ա) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\տեքստ (tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $(\large\bf ֆունկցիայի ածանցյալ)
Դիտարկենք գործառույթը y=f(x), նշված միջակայքում (ա, բ). Թող x- միջակայքի ցանկացած ֆիքսված կետ (ա, բ), Ա Δx- կամայական այնպիսի թիվ, որ արժեքը x+Δxնույնպես պատկանում է միջակայքին (ա, բ). Այս թիվը Δxկոչվում է արգումենտի ավելացում:
Սահմանում. Ֆունկցիայի ավելացում y=f(x)կետում x, որը համապատասխանում է արգումենտի ավելացմանը Δx, զանգենք համարով
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Մենք հավատում ենք դրան Δx ≠ 0. Դիտարկենք տվյալ ֆիքսված կետում xայս պահին ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը համապատասխան արգումենտի աճին Δx
Մենք այս հարաբերությունը կանվանենք տարբերություն հարաբերություն: Քանի որ արժեքը xմենք համարում ենք ֆիքսված, տարբերությունների հարաբերակցությունը փաստարկի ֆունկցիա է Δx. Այս ֆունկցիան սահմանված է բոլոր արգումենտների արժեքների համար Δx, որը պատկանում է կետի բավական փոքր թաղամասին Δx=0, բացառությամբ բուն կետի Δx=0. Այսպիսով, մենք իրավունք ունենք դիտարկելու սահմանի առկայության հարցը նշված գործառույթըժամը Δx → 0.
Սահմանում. Ֆունկցիայի ածանցյալ y=f(x)տվյալ ֆիքսված կետում xկոչվում է սահմանը ժամը Δx → 0տարբերության հարաբերակցությունը, այսինքն
Պայմանով, որ այս սահմանը գոյություն ունի:
Նշանակում. y'(x)կամ f′(x).
Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի ածանցյալ f(x)այս պահին xհավասար է առանցքի միջև անկյան շոշափմանը Եզև համապատասխան կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող.
f′(x 0) = \tgα.
Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունըՃանապարհի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է արագությանը ուղղագիծ շարժումմիավորներ:
Ուղղի շոշափողի հավասարումը y=f(x)կետում M 0 (x 0 ,y 0)վերցնում է ձևը
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Ինչ-որ կետում կորի նորմալը նույն կետում շոշափողին ուղղահայացն է: Եթե f′(x 0)≠ 0, ապա նորմայի հավասարումը ուղիղին y=f(x)կետում M 0 (x 0 ,y 0)գրված է այսպես.
Ֆունկցիայի տարբերակելիության հայեցակարգը
Թողեք գործառույթը y=f(x)սահմանվում է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ), x- որոշ ֆիքսված արգումենտ արժեք այս միջակայքից, Δx- արգումենտի ցանկացած ավելացում, որը հավասար է փաստարկի արժեքին x+Δx ∈ (a, b).
Սահմանում. Գործառույթ y=f(x)տրված կետում կոչվում է դիֆերենցիալ x, եթե ավելանում է Δyայս գործառույթը կետում x, որը համապատասխանում է արգումենտի ավելացմանը Δx, կարող է ներկայացվել ձևով
Δy = A Δx +αΔx,
Որտեղ Ա- անկախ որոշ թվերից Δx, Ա α - փաստարկի գործառույթ Δx, որը անսահման փոքր է ժամը Δx→ 0.
Քանի որ երկու անվերջ փոքր ֆունկցիաների արտադրյալը αΔxավելի անսահման փոքր է բարձր կարգի, ինչպես Δx(3 անվերջ փոքր ֆունկցիայի հատկություն), ապա կարող ենք գրել.
Δy = A Δx +o(Δx).
Թեորեմ. Գործառույթի համար y=f(x)տարբերվում էր տվյալ կետում x, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն այս կետում ունենա վերջավոր ածանցյալ։ Որտեղ A=f′(x), այն է
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը սովորաբար կոչվում է տարբերակում։
Թեորեմ. Եթե ֆունկցիան y=f(x) x, ապա այս պահին այն շարունակական է։
Մեկնաբանություն. Գործառույթի շարունակականությունից y=f(x)այս պահին x, ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիայի տարբերակելիությունը չի հետևում f(x)այս պահին. Օրինակ՝ ֆունկցիան y=|x|- շարունակական մի կետում x=0, բայց չունի ածանցյալ։
Դիֆերենցիալ ֆունկցիայի հայեցակարգ
Սահմանում. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y=f(x)կոչվում է այս ֆունկցիայի ածանցյալի և անկախ փոփոխականի աճի արտադրյալը x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Գործառույթի համար y=xմենք ստանում ենք dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, այն է dx=Δx- անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը հավասար է այս փոփոխականի աճին:
Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Դիֆերենցիալ դիև ավելացում Δyգործառույթները y=f(x)այս պահին x, երկուսն էլ համապատասխանում են նույն արգումենտի ավելացմանը Δx, ընդհանուր առմամբ, իրար հավասար չեն։
Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի օրդինատի աճին, երբ արգումենտն ավելանում է: Δx.
Տարբերակման կանոններ
Թեորեմ. Եթե ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրը u(x)Եվ v(x)տարբերվող տվյալ կետում x, ապա այս ֆունկցիաների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և քանորդը (քանակը պայմանով v(x)≠ 0) այս պահին նույնպես տարբերելի են, և բանաձևերը գործում են.
Դիտարկենք բարդ ֆունկցիան y=f(φ(x))≡ F(x), Որտեղ y=f(u), u=φ(x). Այս դեպքում uկանչեց միջանկյալ փաստարկ, x - անկախ փոփոխական.
Թեորեմ. Եթե y=f(u)Եվ u=φ(x)իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներն են, ապա բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ y=f(φ(x))գոյություն ունի և հավասար է այս ֆունկցիայի արտադրյալին միջանկյալ արգումենտի և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ, այսինքն.
Մեկնաբանություն. Բարդ ֆունկցիայի համար, որը երեք ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա է y=F(f(φ(x))), տարբերակման կանոնն ունի ձևը
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
որտեղ են գործառույթները v=φ(x), u=f(v)Եվ y=F(u)- նրանց արգումենտների տարբերակելի գործառույթները:
Թեորեմ. Թողեք գործառույթը y=f(x)մեծանում է (կամ նվազում) և շարունակական է կետի որոշ հարևանությամբ x 0. Բացի այդ, թող այս ֆունկցիան դիֆերենցիալ լինի նշված կետում x 0և դրա ածանցյալն այս պահին f′(x 0) ≠ 0. Հետո համապատասխան կետի ինչ-որ հարեւանությամբ y 0 =f(x0)համար սահմանված է հակադարձ y=f(x)ֆունկցիան x=f -1 (y), իսկ նշված հակադարձ ֆունկցիան համապատասխան կետում տարբերելի է y 0 =f(x0)և դրա ածանցյալի համար այս պահին yբանաձևը վավեր է
Ածանցյալների աղյուսակ
Առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխություն
Դիտարկենք բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։ Եթե y=f(x), x=φ(t)- նրանց արգումենտների ֆունկցիաները տարբերելի են, ապա ֆունկցիայի ածանցյալը y=f(φ(t))արտահայտված բանաձևով
y′ t = y′ x x′ t.
A-priory dy=y′ t dt, ապա մենք ստանում ենք
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք
Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության հատկությունըինչպես այն դեպքում, երբ փաստարկը xանկախ փոփոխական է, և այն դեպքում, երբ փաստարկը xինքնին նոր փոփոխականի՝ դիֆերենցիալի դիֆերենցիալ ֆունկցիան է դիգործառույթները y=f(x)հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալին` բազմապատկված փաստարկի դիֆերենցիալով dx.
Դիֆերենցիալի կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում
Մենք ցույց ենք տվել, որ դիֆերենցիալը դիգործառույթները y=f(x), ընդհանուր առմամբ, հավասար չէ աճին Δyայս գործառույթը: Այնուամենայնիվ, մինչև անսահման ճշգրտությամբ փոքր գործառույթփոքրության ավելի բարձր կարգ, քան Δx, մոտավոր հավասարությունը վավեր է
Δy ≈ dy.
Հարաբերակցությունը կոչվում է այս հավասարության հավասարության հարաբերական սխալ։ Որովհետեւ Δy-dy=o(Δx), ապա այս հավասարության հարաբերական սխալը նվազումով դառնում է այնքան փոքր, որքան ցանկալի է |Դհ|.
Հաշվի առնելով դա Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, ստանում ենք f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxկամ
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Այս մոտավոր հավասարությունը թույլ է տալիս սխալմամբ o (Δx)փոխարինել գործառույթը f(x)կետի փոքրիկ թաղամասում x(այսինքն փոքր արժեքների համար Δx) գծային ֆունկցիափաստարկ Δx, կանգնած աջ կողմում։
Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ
Սահմանում. Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալ (կամ երկրորդ կարգի ածանցյալ): y=f(x)կոչվում է նրա առաջին ածանցյալի ածանցյալ։
Նշում ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի համար y=f(x):
Երկրորդ ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը. Եթե ֆունկցիան y=f(x)նկարագրում է նյութական կետի շարժման օրենքը ուղիղ գծով, ապա երկրորդ ածանցյալը f″(x)հավասար է շարժվող կետի արագացմանը ժամանակի պահին x.
Երրորդ և չորրորդ ածանցյալները որոշվում են նույն կերպ:
Սահմանում. nածանցյալ (կամ ածանցյալ n-րդ կարգը) ֆունկցիաները y=f(x)կոչվում է դրա ածանցյալ n-1ածանցյալ:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Նշումներ: y″′, y IV, y Վև այլն:
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։
Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալներ գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Ածանցյալների որոնման ոլորտում առաջինն աշխատել են Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716):
Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալներ և տարբերակման կանոններ. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.
Ածանցյալը գտնելու համար, ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ պարզ նշանի տակ պարզ գործառույթները բաժանել բաղադրիչներիև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Հետագա ածանցյալներ տարրական գործառույթներմենք գտնում ենք ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրյալի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը գտնվում են տարբերակման կանոններում։ Ածանցյալ աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:
Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.
Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «x»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսի։ Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ածանցյալների գումարով և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.
Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Որպես ածանցյալ տարբերակում ենք այն գումարը, որում երկրորդ անդամն ունի հաստատուն գործակից, այն կարելի է հանել ածանցյալի նշանից.
Եթե դեռ հարցեր են ծագում այն մասին, թե որտեղից է գալիս ինչ-որ բան, դրանք սովորաբար պարզվում են ածանցյալների աղյուսակին և տարբերակման ամենապարզ կանոններին ծանոթանալուց հետո: Մենք հենց հիմա անցնում ենք դրանց:
Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ
| 1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ հավասար է զրոյի: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում | |
| 2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «X»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է երկար հիշել | |
| 3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել ուժերի։ | |
| 4. Փոփոխականի ածանցյալը -1 հզորությանը | |
| 5. Ածանցյալ քառակուսի արմատ | |
| 6. Սինուսի ածանցյալ | |
| 7. Կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 8. Շոշափողի ածանցյալ |  |
| 9. Կոտանգենսի ածանցյալ |  |
| 10. Արքսինի ածանցյալ |  |
| 11. Աղեղային կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 12. Արկտանգենսի ածանցյալ |  |
| 13. աղեղային կոտանգենսի ածանցյալ |  |
| 14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ | |
| 15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
| 16. Ցուցանիշի ածանցյալ | |
| 17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ |
Տարբերակման կանոններ
| 1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ |  |
| 2. Արտադրանքի ածանցյալ |  |
| 2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով | |
| 3. ածանցյալի |  |
| 4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
Կանոն 1.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա ֆունկցիաները տարբերվում են նույն կետում
և
դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։
Հետևանք. Եթե երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատուն անդամով, ապա դրանց ածանցյալները հավասար են, այսինքն.
Կանոն 2.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույն կետում տարբերվում է
և
դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։
Եզրակացություն 1. Մշտական գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:
Եզրակացություն 2. Մի քանի դիֆերենցիալ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է յուրաքանչյուր գործոնի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։
Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.
Կանոն 3.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվող Եվ , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի էu/v , և
դրանք. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը՝ քառակուսին։ նախկին համարիչը.
Որտեղ փնտրել բաներ այլ էջերում
Իրական խնդիրներում արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ, ուստի հոդվածում այս ածանցյալների վերաբերյալ ավելի շատ օրինակներ կան.«Արդյունքների արտադրյալի և գործակիցների ածանցյալը».
Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա բնորոշ սխալ, որը տեղի է ունենում ածանցյալների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, բայց քանի որ միջին ուսանողը լուծում է մի քանի մեկ և երկու մասից բաղկացած օրինակներ, նա այլևս չի անում այս սխալը։
Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որի մեջ u- թիվ, օրինակ՝ 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (այս դեպքը քննարկվում է օրինակ 10-ում)։
Այլ ընդհանուր սխալ- բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծում՝ որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ։ Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալհատկացված է առանձին հոդված։ Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել ածանցյալներ պարզ գործառույթներ.
Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպման: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել ձեռնարկը նոր պատուհաններում: Գործողություններ ուժերով և արմատներովԵվ Գործողություններ կոտորակներով .
Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով կոտորակների ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. 
, այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» դասին։
Եթե ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է 
, ապա կանցկացնեք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասը։
Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը
Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մենք սահմանում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալ, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով.
Հաջորդիվ կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամն ունի մինուս նշան։ Յուրաքանչյուր գումարում տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «X»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք հետևյալ ածանցյալ արժեքները.
Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.
Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը: Մենք կիրառում ենք գործակիցը տարբերելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է։ հայտարարը, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.
Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը ներկայիս օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնն է, վերցված է մինուս նշանով.
Եթե փնտրում եք խնդիրների լուծումներ, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և հզորությունների շարունակական կույտ, ինչպիսին, օրինակ, 
, ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» .
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ ածանցյալների մասին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է , ապա դաս ձեզ համար «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .
Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի և աղյուսակի արժեքըքառակուսի արմատի ածանցյալը ստանում ենք.
Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք մի քանորդ, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Օգտագործելով քանորդների տարբերակման կանոնը, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը՝ ստանում ենք.
Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .
