Ֆունկցիայի ածանցյալը մեկն է դժվար թեմաներՎ դպրոցական ծրագիր. Ամեն շրջանավարտ չէ, որ կպատասխանի այն հարցին, թե ինչ է ածանցյալը:
Այս հոդվածը պարզ և պարզ ձևով բացատրում է, թե ինչ է ածանցյալը և ինչու է այն անհրաժեշտ:. Այժմ մենք չենք ձգտի ներկայացման մեջ մաթեմատիկական խստության: Ամենակարևորը իմաստը հասկանալն է։
Հիշենք սահմանումը.
Ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։
Նկարում ներկայացված են երեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ձեր կարծիքով ո՞ր մեկն է ավելի արագ աճում:
Պատասխանն ակնհայտ է՝ երրորդը. Այն ունի փոփոխության ամենաբարձր ցուցանիշը, այսինքն՝ ամենամեծ ածանցյալը։
Ահա ևս մեկ օրինակ.
Կոստյան, Գրիշան և Մատվեյը միաժամանակ աշխատանք գտան։ Տեսնենք, թե տարվա ընթացքում ինչպես են փոխվել նրանց եկամուտները.
Գրաֆիկը միանգամից ցույց է տալիս ամեն ինչ, այնպես չէ՞: Կոստյայի եկամուտը վեց ամսում ավելի քան կրկնապատկվել է. Եվ Գրիշայի եկամուտը նույնպես ավելացավ, բայց մի փոքր: Իսկ Մատվեյի եկամուտը նվազել է զրոյի։ Մեկնարկային պայմանները նույնն են, բայց ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, այսինքն ածանցյալ, - տարբեր. Ինչ վերաբերում է Մատվեյին, ապա նրա եկամուտների ածանցյալը ընդհանուր առմամբ բացասական է։
Ինտուիտիվ կերպով մենք հեշտությամբ գնահատում ենք ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Բայց ինչպե՞ս ենք մենք դա անում:
Այն, ինչ մենք իրականում նայում ենք, այն է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը որքան կտրուկ է բարձրանում (կամ իջնում): Այլ կերպ ասած, որքան արագ է փոխվում y-ը, երբ x-ը փոխվում է: Ակնհայտ է, որ նույն գործառույթը տարբեր կետերում կարող է ունենալ տարբեր իմաստածանցյալ - այսինքն, այն կարող է փոխվել ավելի արագ կամ դանդաղ:
Նշվում է ֆունկցիայի ածանցյալը:
Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել այն գրաֆիկի միջոցով:
Կազմվել է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ: Վերցնենք մի կետ, որի վրա կա աբսցիսա: Եկեք այս պահին գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Մենք ցանկանում ենք գնահատել, թե որքան կտրուկ է բարձրանում ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դրա համար հարմար արժեք է շոշափող անկյան շոշափող.
Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափող անկյան շոշափմանը:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որպես շոշափողի թեքության անկյուն մենք վերցնում ենք շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը:
Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե ինչ է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ այս հատվածի գրաֆիկի հետ և ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում: Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին:
Եկեք գտնենք այն: Մենք հիշում ենք, որ սուր անկյան շոշափումը in ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությանը: Եռանկյունից.
Մենք գտանք ածանցյալը՝ օգտագործելով գրաֆիկ՝ առանց նույնիսկ ֆունկցիայի բանաձևի իմանալու: Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկայի միասնական պետական քննությանը թվի տակ։
Կա ևս մեկ կարևոր հարաբերություն. Հիշեցնենք, որ ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ
Այս հավասարման մեջ մեծությունը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն. Այն հավասար է առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։
.
Մենք դա հասկանում ենք
Հիշենք այս բանաձեւը. Նա արտահայտում է երկրաչափական իմաստածանցյալ.
Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը:
Այսինքն՝ ածանցյալը հավասար է շոշափողի անկյան շոշափմանը։
Մենք արդեն ասացինք, որ նույն ֆունկցիան կարող է տարբեր կետերում ունենալ տարբեր ածանցյալներ։ Տեսնենք, թե ինչպես է ածանցյալը կապված ֆունկցիայի վարքագծի հետ։
Եկեք գծենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Թող այս ֆունկցիան որոշ ոլորտներում մեծանա, իսկ որոշ հատվածներում՝ նվազի, և տարբեր տեմպերով: Եվ թող այս ֆունկցիան ունենա առավելագույն և նվազագույն միավորներ։
Մի կետում ֆունկցիան մեծանում է: Կետում գծված գրաֆիկին շոշափողը կազմում է սուր անկյուն. դրական առանցքի ուղղությամբ։ Սա նշանակում է, որ կետում ածանցյալը դրական է:
Այդ պահին մեր ֆունկցիան նվազում է։ Այս կետում շոշափողը կազմում է բութ անկյուն; դրական առանցքի ուղղությամբ: Քանի որ բութ անկյան շոշափողը բացասական է, կետի ածանցյալը բացասական է:
Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.
Եթե ֆունկցիան աճում է, ապա դրա ածանցյալը դրական է:
Եթե այն նվազում է, նրա ածանցյալը բացասական է։
Ի՞նչ կլինի առավելագույն և նվազագույն կետերում: Մենք տեսնում ենք, որ կետերում (առավելագույն կետ) և (նվազագույն կետ) շոշափողը հորիզոնական է: Հետեւաբար, այս կետերում շոշափողի շոշափողը զրո է, իսկ ածանցյալը նույնպես զրո է։
Կետ - առավելագույն միավոր: Այս պահին ֆունկցիայի աճը փոխարինվում է նվազմամբ։ Հետևաբար, ածանցյալի նշանը «պլյուս»-ից «մինուս» կետում փոխվում է:
Կետում՝ նվազագույն կետում, ածանցյալը նույնպես զրո է, բայց դրա նշանը «մինուսից» փոխվում է «գումարած»:
Եզրակացություն. օգտագործելով ածանցյալը, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ:
Եթե ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիան մեծանում է։
Եթե ածանցյալը բացասական է, ապա ֆունկցիան նվազում է։
Առավելագույն կետում ածանցյալը զրո է և նշանը փոխում է «գումարածից» «մինուսի»:
Նվազագույն կետում ածանցյալը նույնպես զրոյական է և նշանը «մինուս»-ից փոխում է «գումարած»:
Այս եզրակացությունները գրենք աղյուսակի տեսքով.
| ավելանում է | առավելագույն միավոր | նվազում է | նվազագույն միավոր | ավելանում է | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Երկու փոքր պարզաբանում անենք. Խնդիրը լուծելիս ձեզ հարկավոր կլինի դրանցից մեկը։ Մեկ այլ՝ առաջին տարում՝ ֆունկցիաների և ածանցյալների ավելի լուրջ ուսումնասիրությամբ։
Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, բայց ֆունկցիան այս պահին չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն: Սա այսպես կոչված :
Մի կետում գրաֆիկի շոշափողը հորիզոնական է, իսկ ածանցյալը` զրո: Այնուամենայնիվ, կետից առաջ ֆունկցիան աճել է, իսկ կետից հետո այն շարունակում է աճել: Ածանցյալի նշանը չի փոխվում. այն մնում է դրական, ինչպես եղել է:
Պատահում է նաև, որ առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում ածանցյալը գոյություն չունի։ Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել:
Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով: Այս դեպքում դա վերաբերում է
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։
Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալներ գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Ածանցյալների որոնման ոլորտում առաջինն աշխատել են Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716):
Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալներ և տարբերակման կանոններ. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.
Ածանցյալը գտնելու համար, ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ պարզ նշանի տակ պարզ գործառույթները բաժանել բաղադրիչներիև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Հաջորդը, մենք գտնում ենք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալ աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:
Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.
Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «x»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսի։ Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ածանցյալների գումարով և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.
Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Որպես ածանցյալ տարբերակում ենք այն գումարը, որում երկրորդ անդամն ունի հաստատուն գործակից, այն կարելի է հանել ածանցյալի նշանից.
Եթե դեռ հարցեր են ծագում այն մասին, թե որտեղից է գալիս ինչ-որ բան, դրանք սովորաբար պարզվում են ածանցյալների աղյուսակին և տարբերակման ամենապարզ կանոններին ծանոթանալուց հետո: Մենք հենց հիմա անցնում ենք դրանց:
Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ
| 1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ հավասար է զրոյի: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում | |
| 2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «X»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է երկար հիշել | |
| 3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել ուժերի։ | |
| 4. Փոփոխականի ածանցյալը -1 հզորությանը | |
| 5. Ածանցյալ քառակուսի արմատ | |
| 6. Սինուսի ածանցյալ | |
| 7. Կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 8. Շոշափողի ածանցյալ |  |
| 9. Կոտանգենսի ածանցյալ |  |
| 10. Արքսինի ածանցյալ |  |
| 11. Աղեղային կոսինուսի ածանցյալ |  |
| 12. Արկտանգենսի ածանցյալ |  |
| 13. աղեղային կոտանգենսի ածանցյալ |  |
| 14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ | |
| 15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
| 16. Ցուցանիշի ածանցյալ | |
| 17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ |
Տարբերակման կանոններ
| 1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ |  |
| 2. Արտադրանքի ածանցյալ |  |
| 2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով | |
| 3. ածանցյալի |  |
| 4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ |  |
Կանոն 1.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա ֆունկցիաները տարբերվում են նույն կետում
և
դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։
Հետևանք. Եթե երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատուն անդամով, ապա դրանց ածանցյալները հավասար են, այսինքն.
Կանոն 2.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույն կետում տարբերվում է
և
դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։
Եզրակացություն 1. Մշտական գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:
Եզրակացություն 2. Մի քանի դիֆերենցիալ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է յուրաքանչյուր գործոնի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։
Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.
Կանոն 3.Եթե գործառույթները
ինչ-որ պահի տարբերվող Եվ , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի էu/v , և
դրանք. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը՝ քառակուսին։ նախկին համարիչը.
Որտեղ փնտրել բաներ այլ էջերում
Իրական խնդիրներում արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ, ուստի հոդվածում այս ածանցյալների վերաբերյալ ավելի շատ օրինակներ կան.«Արդյունքների արտադրյալի և գործակիցների ածանցյալը».
Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա բնորոշ սխալ, որը տեղի է ունենում ածանցյալների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, բայց քանի որ միջին ուսանողը լուծում է մի քանի մեկ և երկու մասից բաղկացած օրինակներ, նա այլևս չի անում այս սխալը։
Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որի մեջ u- թիվ, օրինակ՝ 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (այս դեպքը քննարկվում է օրինակ 10-ում)։
Այլ ընդհանուր սխալ- բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծում՝ որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ։ Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալհատկացված է առանձին հոդված։ Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել ածանցյալներ պարզ գործառույթներ.
Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպման: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել ձեռնարկը նոր պատուհաններում: Գործողություններ ուժերով և արմատներովԵվ Գործողություններ կոտորակներով .
Եթե դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով կոտորակների ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. 
, այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» դասին։
Եթե ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է 
, ապա կանցկացնեք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասը։
Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը
Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մենք սահմանում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալ, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով.
Հաջորդիվ կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամն ունի մինուս նշան։ Յուրաքանչյուր գումարում տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «X»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք հետևյալ ածանցյալ արժեքները.
Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.
Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը: Մենք կիրառում ենք գործակիցը տարբերելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է։ հայտարարը, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.
Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը ներկայիս օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնն է, վերցված է մինուս նշանով.
Եթե փնտրում եք խնդիրների լուծումներ, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և հզորությունների շարունակական կույտ, ինչպիսին, օրինակ, 
, ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» .
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ ածանցյալների մասին եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է , ապա դաս ձեզ համար «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .
Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Օգտագործելով արտադրյալը և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը տարբերելու կանոնը՝ ստանում ենք.
Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք մի քանորդ, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Օգտագործելով քանորդների տարբերակման կանոնը, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը՝ ստանում ենք.
Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .
Ամսաթիվ՝ 20.11.2014թ
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Ածանցյալների աղյուսակ.
Ածանցյալը բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է։ Այս դասում մենք կներկայացնենք այս հայեցակարգը: Ճանաչենք իրար՝ առանց խիստ մաթեմատիկական ձեւակերպումների ու ապացույցների։
Այս ծանոթությունը թույլ կտա.
Հասկանալ ածանցյալներով պարզ առաջադրանքների էությունը.
Հաջողությամբ լուծել այս ամենապարզ խնդիրները.
Պատրաստվեք ավելի լուրջ դասերի ածանցյալների վերաբերյալ:
Առաջինը՝ հաճելի անակնկալ։)
Ածանցյալի խիստ սահմանումը հիմնված է սահմանների տեսության վրա, և բանը բավականին բարդ է։ Սա տխրեցնում է: Բայց ածանցյալների գործնական կիրառումը, որպես կանոն, չի պահանջում այդքան ծավալուն և խորը գիտելիքներ։
Դպրոցում և համալսարանում առաջադրանքների մեծ մասը հաջողությամբ ավարտելու համար բավական է իմանալ ընդամենը մի քանի ժամկետ- հասկանալ առաջադրանքը, և ընդամենը մի քանի կանոն- լուծել այն: Այսքանը: Սա ինձ ուրախացնում է։
Սկսենք ծանոթանալ?)
Պայմաններ և նշանակումներ.
Տարրական մաթեմատիկայի մեջ կան շատ տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ: Գումարում, հանում, բազմապատկում, հզորացում, լոգարիթմ և այլն: Եթե այս գործողություններին ավելացնեք ևս մեկ գործողություն, տարրական մաթեմատիկան ավելի բարձր է դառնում: Սա նոր գործողությունկանչեց տարբերակում.Այս գործողության սահմանումն ու իմաստը կքննարկվեն առանձին դասերում:
Այստեղ կարևոր է հասկանալ, որ տարբերակումը պարզապես մաթեմատիկական գործողություն է ֆունկցիայի վրա: Մենք վերցնում ենք ցանկացած ֆունկցիա և, ըստ որոշակի կանոնների, վերափոխում ենք այն։ Արդյունքը կլինի նոր գործառույթ: Այս նոր ֆունկցիան կոչվում է. ածանցյալ.
Տարբերակում- գործողություն գործառույթի վրա:
Ածանցյալ- այս գործողության արդյունքը.
Ճիշտ այնպես, ինչպես, օրինակ, գումար- ավելացման արդյունքը. Կամ մասնավոր- բաժանման արդյունքը.
Տերմիններն իմանալով՝ կարող ես գոնե հասկանալ առաջադրանքները։) Ձևակերպումները հետևյալն են. գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը; վերցնել ածանցյալը; տարբերակել գործառույթը; հաշվարկել ածանցյալըեւ այլն։ Այս ամենը նույնը.Իհարկե, կան նաև ավելի բարդ առաջադրանքներ, որտեղ ածանցյալը (տարբերակումը) գտնելը կլինի միայն խնդրի լուծման քայլերից մեկը։
Ածանցյալը նշվում է ֆունկցիայի վերևի աջ մասում գծիկով: Սրա նման: y"կամ f"(x)կամ S"(t)եւ այլն։
Ընթերցանություն igrek stroke, ef stroke x-ից, es stroke from te,լավ, հասկանում ես...)
Պարզը կարող է նաև ցույց տալ որոշակի ֆունկցիայի ածանցյալ, օրինակ. (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"և այլն: Հաճախ ածանցյալները նշվում են դիֆերենցիալների միջոցով, բայց մենք այս դասում չենք դիտարկի նման նշումը:
Ենթադրենք, որ մենք սովորել ենք հասկանալ առաջադրանքները։ Մնում է սովորել, թե ինչպես լուծել դրանք:) Թույլ տվեք ևս մեկ անգամ հիշեցնել ձեզ. ածանցյալը գտնելը ֆունկցիայի փոխակերպումը որոշակի կանոնների համաձայն.Զարմանալիորեն, այս կանոններից շատ քիչ են:
Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն երեք բան. Երեք սյուներ, որոնց վրա կանգնած է բոլոր տարբերակումները: Ահա դրանք այս երեք սյուները.
1. Ածանցյալների աղյուսակ (տարբերակման բանաձևեր).
3. Ածանցյալ բարդ գործառույթ.
Սկսենք հերթականությամբ։ Այս դասում մենք կանդրադառնանք ածանցյալների աղյուսակին:
Ածանցյալների աղյուսակ.
Աշխարհում կան անսահման թվով ֆունկցիաներ։ Այս հավաքածուի մեջ կան գործառույթներ, որոնք առավել կարևոր են գործնական օգտագործման համար: Այս գործառույթները հանդիպում են բնության բոլոր օրենքներում: Այս գործառույթներից, ինչպես աղյուսներից, կարող եք կառուցել բոլոր մյուսները: Ֆունկցիաների այս դասը կոչվում է տարրական գործառույթներ.Հենց այս ֆունկցիաներն են ուսումնասիրվում դպրոցում՝ գծային, քառակուսային, հիպերբոլային և այլն։
Գործառույթների տարբերակումը «զրոյից», այսինքն. Ելնելով ածանցյալի սահմանումից և սահմանների տեսությունից՝ սա բավականին աշխատատար բան է։ Եվ մաթեմատիկոսները նույնպես մարդիկ են, այո, այո): Այսպիսով նրանք պարզեցրել են իրենց (և մեզ) կյանքը: Նրանք մեզանից առաջ հաշվարկել են տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Արդյունքը ածանցյալների աղյուսակ է, որտեղ ամեն ինչ պատրաստ է։)
Ահա այն, այս ափսեը ամենահայտնի գործառույթների համար: Ձախ - տարրական գործառույթ, աջ կողմում նրա ածանցյալն է։
| Գործառույթ y |
y ֆունկցիայի ածանցյալ y" |
|
| 1 | C (հաստատուն արժեք) | C" = 0 |
| 2 | x | x» = 1 |
| 3 | x n (n - ցանկացած թիվ) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | մեղք x | (մեղք x)» = cosx |
| cos x | (cos x)» = - մեղք x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ա x |  |
| ե x | ||
| 5 | գերան ա x |  |
| ln x ( a = e) |
Ես խորհուրդ եմ տալիս ուշադրություն դարձնել այս ածանցյալների աղյուսակի գործառույթների երրորդ խմբին: Ածանցյալ հզորության գործառույթը- ամենատարածված բանաձեւերից մեկը, եթե ոչ ամենատարածվածը: Հասկանու՞մ եք հուշումը։) Այո, ցանկալի է անգիր իմանալ ածանցյալների աղյուսակը։ Ի դեպ, սա այնքան էլ դժվար չէ, որքան կարող է թվալ։ Փորձեք ավելի շատ օրինակներ լուծել, աղյուսակն ինքնին կհիշվի:)
Գտեք աղյուսակի արժեքըածանցյալ, ինչպես հասկանում եք, խնդիրն ամենադժվարը չէ: Հետեւաբար, շատ հաճախ նման առաջադրանքներում կան լրացուցիչ չիպեր: Կամ առաջադրանքի ձևակերպման մեջ, կամ սկզբնական ֆունկցիայի մեջ, որը կարծես թե չկա աղյուսակում...
Դիտարկենք մի քանի օրինակ.
1. Գտե՛ք y = x ֆունկցիայի ածանցյալը 3
Աղյուսակում նման գործառույթ չկա։ Բայց կա ուժային ֆունկցիայի ածանցյալ ընդհանուր տեսարան(երրորդ խումբ): Մեր դեպքում n=3: Այսպիսով, մենք փոխարինում ենք երեքը n-ի փոխարեն և զգուշորեն գրում արդյունքը.
(x 3) = 3 x 3-1 = 3x 2
վերջ։
Պատասխան. y" = 3x 2
2. Գտե՛ք y = sinx ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x = 0 կետում։
Այս առաջադրանքը նշանակում է, որ նախ պետք է գտնել սինուսի ածանցյալը, այնուհետև փոխարինել արժեքը x = 0հենց այս ածանցյալի մեջ: Հենց այդ կարգով։Հակառակ դեպքում, պատահում է, որ նրանք անմիջապես փոխարինում են զրոյին սկզբնական ֆունկցիայի մեջ... Մեզ խնդրում են գտնել ոչ թե սկզբնական ֆունկցիայի արժեքը, այլ արժեքը։ դրա ածանցյալը.Ածանցյալը, հիշեցնեմ, նոր ֆունկցիա է։
Օգտագործելով պլանշետը, մենք գտնում ենք սինուսը և համապատասխան ածանցյալը.
y" = (sin x)" = cosx
Մենք զրոյին փոխարինում ենք ածանցյալով.
y"(0) = cos 0 = 1
Սա կլինի պատասխանը։
3. Տարբերակել ֆունկցիան.
Ի՞նչ է, ոգեշնչո՞ւմ է) Ածանցյալների աղյուսակում նման ֆունկցիա չկա։
Հիշեցնեմ, որ ֆունկցիան տարբերակելը պարզապես նշանակում է գտնել այս ֆունկցիայի ածանցյալը: Եթե մոռանում եք տարրական եռանկյունաչափությունը, մեր ֆունկցիայի ածանցյալը փնտրելը բավականին անհանգիստ է: Սեղանը չի օգնում...
Բայց եթե տեսնենք, որ մեր գործառույթն է կոսինուս կրկնակի անկյուն , ապա ամեն ինչ անմիջապես լավանում է:
Այո այո! Հիշեք, որ վերափոխելով բնօրինակ գործառույթը նախքան տարբերակումըմիանգամայն ընդունելի! Եվ դա շատ է հեշտացնում կյանքը: Օգտագործելով կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը.
Նրանք. մեր խրթին ֆունկցիան ոչ այլ ինչ է, քան y = cosx. Եվ սա սեղանի գործառույթ է: Մենք անմիջապես ստանում ենք.
Պատասխան. y» = - մեղք x.
Օրինակ առաջադեմ շրջանավարտների և ուսանողների համար.
4. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
Ածանցյալների աղյուսակում, իհարկե, նման ֆունկցիա չկա։ Բայց եթե հիշում եք տարրական մաթեմատիկա, հզորություններով գործողություններ... Ապա միանգամայն հնարավոր է պարզեցնել այս ֆունկցիան։ Սրա նման:
Իսկ x-ը տասներորդական հզորությամբ արդեն աղյուսակային ֆունկցիա է: Երրորդ խումբ, n=1/10. Մենք գրում ենք ուղղակիորեն ըստ բանաձևի.
Այսքանը: Սա կլինի պատասխանը։
Հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է տարբերակման առաջին սյունի՝ ածանցյալների աղյուսակի հետ կապված։ Մնում է զբաղվել երկու մնացած կետերով: Հաջորդ դասին մենք կսովորենք տարբերակման կանոնները:
Ի՞նչ է ածանցյալը:
Ածանցյալ ֆունկցիայի սահմանումը և նշանակությունը
Շատերին կզարմացնի այս հոդվածի անսպասելի տեղադրումը իմ հեղինակային դասընթացում մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալի և դրա կիրառությունների վերաբերյալ: Ի վերջո, ինչպես եղել է դպրոցական տարիներից. ստանդարտ դասագիրքն առաջին հերթին տալիս է ածանցյալի սահմանումը, նրա երկրաչափական, մեխանիկական նշանակությունը։ Այնուհետև ուսանողները ըստ սահմանման գտնում են ֆունկցիաների ածանցյալները և, փաստորեն, միայն դրանից հետո նրանք կատարելագործում են տարբերակման տեխնիկան՝ օգտագործելով ածանցյալ աղյուսակներ.
Բայց իմ տեսանկյունից ավելի պրագմատիկ է հետևյալ մոտեցումը. նախ՝ նպատակահարմար է ԼԱՎ ՀԱՍԿԱՆԵԼ. ֆունկցիայի սահմանըև, մասնավորապես, անսահման փոքր մեծություններ. Փաստն այն է, որ Ածանցյալի սահմանումը հիմնված է սահման հասկացության վրա, որը վատ է դիտարկվում դպրոցական դասընթացում։ Այդ իսկ պատճառով գիտելիքի գրանիտի երիտասարդ սպառողների մի զգալի մասը չի հասկանում ածանցյալի բուն էությունը։ Այսպիսով, եթե դուք քիչ գիտելիքներ ունեք դիֆերենցիալ հաշվարկի կամ իմաստուն ուղեղի համար երկար տարիներհաջողությամբ ազատվեց այս ուղեբեռից, խնդրում ենք սկսել գործառույթի սահմանները. Միաժամանակ տիրապետեք/հիշեք դրանց լուծումը։
Նույն գործնական իմաստը թելադրում է, որ դա առաջին հերթին ձեռնտու է սովորել գտնել ածանցյալներ, այդ թվում բարդ ֆունկցիաների ածանցյալներ. Տեսությունը տեսություն է, բայց, ինչպես ասում են, միշտ ուզում ես տարբերել։ Այս առումով ավելի լավ է աշխատել թվարկված հիմնական դասերի միջոցով, և գուցե տարբերակման վարպետառանց նույնիսկ գիտակցելու իրենց գործողությունների էությունը:
Խորհուրդ եմ տալիս հոդվածը կարդալուց հետո սկսել այս էջի նյութերից: Ածանցյալների հետ կապված ամենապարզ խնդիրները, որտեղ, մասնավորապես, դիտարկվում է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի խնդիրը։ Բայց դուք կարող եք սպասել: Փաստն այն է, որ ածանցյալի շատ կիրառություններ չեն պահանջում այն հասկանալ, և զարմանալի չէ, որ տեսական դասը հայտնվեց բավականին ուշ, երբ ես պետք է բացատրեի. գտնելով աճող/նվազող ինտերվալներ և ծայրահեղություններգործառույթները։ Ավելին, նա բավականին երկար էր թեմայի շուրջ։ Գործառույթներ և գրաֆիկներ», մինչև վերջապես որոշեցի ավելի վաղ դնել:
Ուստի, սիրելի թեյնիկներ, մի շտապեք սոված կենդանիների պես կլանել ածանցյալի էությունը, քանի որ հագեցվածությունն անհամ ու թերի կլինի։
Ֆունկցիայի ավելացման, նվազման, առավելագույնի, նվազագույնի հայեցակարգը
Շատերը ուսումնական նյութերհանգեցնել ածանցյալ հասկացության՝ օգտագործելով մի քանի գործնական խնդիրներ, և ես նաև հետաքրքիր օրինակ բերեցի: Պատկերացրեք, որ մենք պատրաստվում ենք ճանապարհորդել մի քաղաք, որտեղ կարելի է հասնել տարբեր ճանապարհներով։ Եկեք անմիջապես հրաժարվենք կոր ոլորուն ուղիներից և դիտարկենք միայն ուղիղ մայրուղիները: Այնուամենայնիվ, ուղիղ գծի ուղղությունները նույնպես տարբեր են. դուք կարող եք քաղաք հասնել հարթ մայրուղով: Կամ լեռնոտ մայրուղու երկայնքով՝ վեր ու վար, վեր ու վար: Մեկ այլ ճանապարհ միայն վերև է գնում, իսկ մյուսը անընդհատ իջնում է ներքև: Էքստրեմալ էքստրեմալ էնտուզիաստները կընտրեն երթուղին զառիթափ ժայռով կիրճով և կտրուկ մագլցմամբ:
Բայց ինչ էլ որ նախասիրություններ ունենաք, ցանկալի է իմանալ տարածքը կամ գոնե ունենալ դրա տեղագրական քարտեզը: Ինչ անել, եթե այդպիսի տեղեկատվությունը բացակայում է: Ի վերջո, դուք կարող եք ընտրել, օրինակ, հարթ ճանապարհ, բայց արդյունքում սայթաքել լեռնադահուկային լանջին ուրախ ֆինների հետ: Փաստ չէ, որ նավիգատորը կամ նույնիսկ արբանյակային պատկերը հավաստի տվյալներ կտա։ Հետևաբար, հաճելի կլինի մաթեմատիկայի միջոցով ձևակերպել ճանապարհի ռելիեֆը:
Եկեք նայենք որոշ ճանապարհի (կողմնակի տեսք). 
Համենայն դեպս, հիշեցնում եմ տարրական մի փաստ՝ ճամփորդությունը լինում է ձախից աջ. Պարզության համար մենք ենթադրում ենք, որ ֆունկցիան շարունակականդիտարկվող տարածքում։
Որո՞նք են այս գրաֆիկի առանձնահատկությունները:
Ընդմիջումներով 
ֆունկցիան ավելանում է, այսինքն՝ դրա յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը ավելիննախորդը. Կոպիտ ասած՝ գրաֆիկը միացված է ներքև վերև(մենք բարձրանում ենք բլուրը): Իսկ ինտերվալի վրա ֆունկցիան նվազում է- յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը ավելի քիչնախորդ, և մեր ժամանակացույցը միացված է վերևից վար(մենք իջնում ենք լանջով):
Ուշադրություն դարձնենք նաև հատուկ կետերի. Այն կետում, որտեղ մենք հասնում ենք առավելագույնը, այն է գոյություն ունիճանապարհի այնպիսի հատված, որտեղ արժեքը կլինի ամենամեծը (ամենաբարձրը): Նույն կետում դա ձեռք է բերվում նվազագույնը, Եվ գոյություն ունինրա հարևանությունը, որտեղ արժեքը ամենափոքրն է (ամենացածրը):
Մենք դասարանում կդիտարկենք ավելի խիստ տերմինաբանություն և սահմանումներ: ֆունկցիայի ծայրահեղության մասին, բայց առայժմ եկեք ուսումնասիրենք ևս մեկը կարևոր հատկանիշ: ընդմիջումներով 
ֆունկցիան մեծանում է, բայց մեծանում է տարբեր արագություններով. Եվ առաջին բանը, որ գրավում է ձեր ուշադրությունը, այն է, որ գրաֆիկը բարձրանում է ընդմիջման ընթացքում շատ ավելի թույն, քան ընդմիջումով։ Հնարավո՞ր է մաթեմատիկական գործիքների միջոցով չափել ճանապարհի զառիթափությունը:
Ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը
Գաղափարը սա է. եկեք որոշ արժեքներ վերցնենք (կարդացեք «delta x»), որը մենք կկանչենք փաստարկի ավելացում, և եկեք սկսենք «փորձել այն» մեր ճանապարհի տարբեր կետերում. 
1) Դիտարկենք ամենաձախ կետը՝ անցնելով հեռավորությունը, մենք լանջով բարձրանում ենք բարձրություն (կանաչ գիծ): Քանակը կոչվում է ֆունկցիայի ավելացում, և մեջ այս դեպքումայս աճը դրական է (առանցքի երկայնքով արժեքների տարբերությունը զրոյից մեծ է): Եկեք ստեղծենք մի հարաբերակցություն, որը կլինի մեր ճանապարհի զառիթափության չափանիշը: Ակնհայտ է, որ սա շատ կոնկրետ թիվ է, և քանի որ երկու աճերն էլ դրական են, ապա .
Ուշադրություն. Նշանակություններն են ՄԵԿխորհրդանիշ, այսինքն, դուք չեք կարող «պոկել» «դելտան» «X» -ից և այս տառերը առանձին դիտարկել: Իհարկե, մեկնաբանությունը վերաբերում է նաև ֆունկցիայի ավելացման խորհրդանիշին։
Եկեք ավելի իմաստալից ուսումնասիրենք ստացված կոտորակի բնույթը: Եկեք սկզբում լինենք 20 մետր բարձրության վրա (ձախ սև կետում): Անցնելով մետր հեռավորությունը (ձախ կարմիր գիծ) մենք կհայտնվենք 60 մետր բարձրության վրա։ Այնուհետև ֆունկցիայի աճը կլինի 
մետր (կանաչ գիծ) և՝ . Այսպիսով, յուրաքանչյուր մետրի վրաճանապարհի այս հատվածը բարձրությունը մեծանում է միջին 4 մետրովՄոռացե՞լ եք ձեր մագլցման սարքավորումները: =) Այլ կերպ ասած, կառուցված հարաբերությունը բնութագրում է ֆունկցիայի ՓՈՓՈԽՈՒԹՅԱՆ (տվյալ դեպքում՝ աճի) ՄԻՋԻՆ ՏԱՐԱՊԵՏԸ։
Նշում : թվային արժեքներՔննարկվող օրինակը համապատասխանում է գծագրի համամասնություններին միայն մոտավորապես։
2) Այժմ եկեք գնանք նույն հեռավորությունը ամենաաջ սև կետից: Այստեղ բարձրացումն ավելի աստիճանական է, ուստի աճը (կարմիր գիծ) համեմատաբար փոքր է, իսկ նախորդ դեպքի համեմատ հարաբերակցությունը կլինի շատ համեստ։ Համեմատաբար ասած, 
մետր եւ ֆունկցիայի աճի տեմպըէ . Այսինքն՝ այստեղ ճանապարհի յուրաքանչյուր մետրի դիմաց կան միջինկես մետր բարձրություն.
3) Մի փոքր արկած լեռան լանջին: Եկեք նայենք վերևին սև կետ, գտնվում է օրդինատների առանցքի վրա։ Ենթադրենք, սա 50 մետր նիշն է։ Մենք նորից հաղթահարում ենք տարածությունը, ինչի արդյունքում ավելի ցածր ենք հայտնվում՝ 30 մետր մակարդակում։ Քանի որ շարժումն իրականացվում է վերևից վար(առանցքի «հակառակ» ուղղությամբ), ապա վերջնական ֆունկցիայի (բարձրության) աճը բացասական կլինի: 
մետր (գծանկարում շագանակագույն հատված): Եվ այս դեպքում մենք արդեն խոսում ենք նվազման տեմպՀատկություններ: 
, այսինքն՝ այս հատվածի արահետի յուրաքանչյուր մետրի համար բարձրությունը նվազում է միջին 2 մետրով։ Հոգ տանել ձեր հագուստի մասին հինգերորդ կետում:
Հիմա եկեք ինքներս մեզ հարց տանք. «չափիչ ստանդարտի» ո՞ր արժեքն է լավագույնս օգտագործել: Դա լիովին հասկանալի է, 10 մետրը շատ կոպիտ է: Դրանց վրա կարող են հեշտությամբ տեղավորվել մի լավ տասնյակ հումոկ: Անկախ խորդուբորդներից, ներքևում կարող է լինել խորը կիրճ, իսկ մի քանի մետր հետո նրա մյուս կողմը՝ հետագա կտրուկ վերելքով: Այսպիսով, տասը մետրով մենք չենք ստանա ճանապարհի նման հատվածների հասկանալի նկարագրությունը հարաբերակցության միջով:
Վերոնշյալ քննարկումից հետևում է հետևյալ եզրակացությունը. ինչպես ավելի քիչ արժեք , այնքան ավելի ճշգրիտ ենք նկարագրում ճանապարհի տեղագրությունը։ Ավելին, ճշմարիտ են հետևյալ փաստերը.
– Որևէ մեկի համարբարձրացնող կետեր 
դուք կարող եք ընտրել արժեք (նույնիսկ եթե շատ փոքր), որը տեղավորվում է որոշակի բարձրացման սահմաններում: Սա նշանակում է, որ համապատասխան բարձրության աճը երաշխավորված կլինի դրական, և անհավասարությունը ճիշտ ցույց կտա ֆունկցիայի աճը այս միջակայքերի յուրաքանչյուր կետում:
- Նմանապես, ցանկացածի համարթեքության կետը կա մի արժեք, որը լիովին կտեղավորվի այս լանջի վրա: Հետեւաբար, բարձրության համապատասխան աճը հստակ բացասական է, եւ անհավասարությունը ճիշտ ցույց կտա ֆունկցիայի նվազումը տվյալ ինտերվալի յուրաքանչյուր կետում։
– Հատկապես հետաքրքիր դեպք է, երբ ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը զրո է. Նախ, զրոյական բարձրության աճը () հարթ ճանապարհի նշան է: Եվ երկրորդ, կան այլ հետաքրքիր իրավիճակներ, որոնց օրինակները տեսնում եք նկարում։ Պատկերացրեք, որ ճակատագիրը մեզ հասցրել է բլրի հենց գագաթը՝ ճախրող արծիվներով կամ կիրճի հատակը՝ կռկռացող գորտերով։ Եթե որևէ ուղղությամբ փոքր քայլ անեք, ապա բարձրության փոփոխությունը աննշան կլինի, և կարելի է ասել, որ ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը իրականում զրո է։ Հենց այսպիսի պատկեր է նկատվում կետերում։
Այսպիսով, մենք եկել ենք մի զարմանալի հնարավորության՝ կատարելապես ճշգրիտ բնութագրելու ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը։ Ամենից հետո մաթեմատիկական վերլուծությունթույլ է տալիս արգումենտի ավելացումը ուղղել զրոյի՝ , այսինքն՝ դարձնել այն անսահման փոքր.
Արդյունքում առաջանում է մեկ այլ տրամաբանական հարց՝ հնարավո՞ր է գտնել ճանապարհի և դրա ժամանակացույցի համար մեկ այլ գործառույթ, որը մեզ տեղյակ կպահերբոլոր հարթ հատվածների, վերելքների, վայրէջքների, գագաթների, հովիտների, ինչպես նաև ճանապարհի յուրաքանչյուր կետում աճի/նվազման տեմպի մասին:
Ի՞նչ է ածանցյալը: Ածանցյալի սահմանում.
Ածանցյալի և դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունը
Խնդրում ենք կարդալ ուշադիր և ոչ շատ արագ. նյութը պարզ է և հասանելի բոլորին: Լավ է, եթե որոշ տեղերում ինչ-որ բան այնքան էլ պարզ չի թվում, դուք միշտ կարող եք ավելի ուշ վերադառնալ հոդվածին: Ասեմ ավելին, օգտակար է մի քանի անգամ ուսումնասիրել տեսությունը՝ բոլոր կետերը հանգամանորեն հասկանալու համար (խորհուրդը վերաբերում է հատկապես «տեխնիկական» ուսանողներին, որոնց համար բարձրագույն մաթեմատիկան էական դեր է խաղում ուսումնական գործընթացում):
Բնականաբար, ածանցյալի սահմանման մեջ մի կետում մենք այն փոխարինում ենք հետևյալով.
Ինչի՞ ենք հասել։ Եվ եկանք այն եզրակացության, որ օրենքով սահմանված գործառույթի համար 
դրվում է համապատասխան այլ գործառույթ, որը կոչվում է ածանցյալ ֆունկցիա(կամ պարզապես ածանցյալ).
Ածանցյալը բնութագրում է փոփոխության արագությունըգործառույթները Ինչպե՞ս: Գաղափարը կարմիր թելի պես անցնում է հոդվածի հենց սկզբից։ Դիտարկենք մի կետ սահմանման տիրույթգործառույթները Թող ֆունկցիան լինի տարբերվող տվյալ կետում: Ապա.
1) Եթե , ապա ֆունկցիան մեծանում է կետում: Եվ ակնհայտորեն կա ընդմիջում(նույնիսկ շատ փոքր), որը պարունակում է մի կետ, որտեղ ֆունկցիան աճում է, և դրա գրաֆիկը գնում է «ներքևից վեր»:
2) Եթե , ապա ֆունկցիան նվազում է կետում: Եվ կա մի ինտերվալ, որը պարունակում է մի կետ, որտեղ ֆունկցիան նվազում է (գրաֆիկը գնում է «վերևից ներքև»):
3) Եթե, ապա անսահման մոտկետի մոտ ֆունկցիան պահպանում է իր արագությունը հաստատուն: Դա տեղի է ունենում, ինչպես նշվեց, մշտական գործառույթով և ֆունկցիայի կրիտիկական կետերում, մասնավորապես նվազագույն և առավելագույն միավորներով.
Մի քիչ իմաստաբանություն. Ի՞նչ է նշանակում «տարբերել» բայը լայն իմաստով: Տարբերակել նշանակում է առանձնացնել հատկանիշը: Տարբերակելով ֆունկցիան՝ մենք «մեկուսացնում» ենք նրա փոփոխության արագությունը ֆունկցիայի ածանցյալի տեսքով։ Ի դեպ, ի՞նչ է նշանակում «ածանցյալ» բառը։ Գործառույթ տեղի է ունեցելֆունկցիայից։
Տերմինները շատ հաջող են մեկնաբանվում ածանցյալի մեխանիկական իմաստով
:
Դիտարկենք մարմնի կոորդինատների փոփոխության օրենքը՝ կախված ժամանակից և շարժման արագության ֆունկցիայից տրված մարմինը. Ֆունկցիան բնութագրում է մարմնի կոորդինատների փոփոխության արագությունը, հետևաբար այն ֆունկցիայի առաջին ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ. Եթե բնության մեջ չլիներ «մարմնի շարժում» հասկացությունը, ապա չէր լինի ածանցյալ«մարմնի արագություն» հասկացությունը:
Մարմնի արագացումը արագության փոփոխության արագությունն է, հետևաբար. 
. Եթե բնության մեջ չլինեին «մարմնի շարժում» և «մարմնի արագություն» սկզբնական հասկացությունները, ապա չէին լինի ածանցյալ«մարմնի արագացում» հասկացությունը:
Սահմանում.Թող \(y = f(x)\) ֆունկցիան սահմանվի \(x_0\) կետը պարունակող որոշակի միջակայքում: Եկեք արգումենտին տանք \(\Delta x \) այնպիսի աճ, որ այն չհեռանա այս միջակայքից: Գտնենք \(\Delta y \) ֆունկցիայի համապատասխան աճը (\(x_0 \) կետից \(x_0 + \Delta x \) կետը շարժվելիս) և կազմենք \(\frac(\Delta) կապը. y) (\Delta x) \). Եթե այս հարաբերակցության սահմանափակում կա \(\Delta x \աջ սլաքը 0\), ապա նշված սահմանը կոչվում է. ֆունկցիայի ածանցյալ\(y=f(x) \) \(x_0 \) կետում և նշանակում \(f"(x_0) \):
$$ \lim_(\Delta x \մինչև 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y խորհրդանիշը հաճախ օգտագործվում է ածանցյալը նշելու համար: Նկատի ունեցեք, որ y" = f(x)-ը նոր ֆունկցիա է, բայց բնականաբար կապված է y = f(x) ֆունկցիայի հետ, որը սահմանված է բոլոր x կետերում, որտեղ առկա է վերը նշված սահմանը: Այս ֆունկցիան կոչվում է այսպես. y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ.
Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըհետեւյալն է. Եթե հնարավոր է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափել x=a աբսցիսայով կետում, որը զուգահեռ չէ y առանցքին, ապա f(a)-ն արտահայտում է շոշափողի թեքությունը. :
\(k = f"(a)\)
Քանի որ \(k = tg(a) \), ապա \(f"(a) = tan(a) \) հավասարությունը ճշմարիտ է:
Հիմա եկեք մեկնաբանենք ածանցյալի սահմանումը մոտավոր հավասարությունների տեսանկյունից: Թող ֆունկցիան \(y = f(x)\) ունենա ածանցյալ որոշակի կետում \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Սա նշանակում է, որ x կետի մոտ մոտավոր հավասարություն է \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x)\), այսինքն \(\Delta y \մոտավորապես f"(x) \cdot\ Դելտա x\): Ստացված մոտավոր հավասարության իմաստալից իմաստը հետևյալն է. ֆունկցիայի աճը «գրեթե համաչափ» է փաստարկի աճին, իսկ համաչափության գործակիցը ածանցյալի արժեքն է. տրված կետ X. Օրինակ, \(y = x^2\) ֆունկցիայի համար վավեր է \(\Delta y \մոտ 2x \cdot \Delta x \) մոտավոր հավասարությունը։ Եթե ուշադիր վերլուծենք ածանցյալի սահմանումը, ապա կտեսնենք, որ այն պարունակում է այն գտնելու ալգորիթմ:
Եկեք այն ձևակերպենք.
Ինչպե՞ս գտնել y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը:
1. Սահմանեք \(x\) արժեքը, գտեք \(f(x)\)
2. \(x\) արգումենտին տվեք հավելում \(\Delta x\), անցեք նոր կետ \(x+ \Delta x \), գտեք \(f(x+ \Delta x) \)
3. Գտե՛ք ֆունկցիայի աճը՝ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Ստեղծեք կապը \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Հաշվեք $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Այս սահմանը x կետի ֆունկցիայի ածանցյալն է:
Եթե y = f(x) ֆունկցիան x կետում ունի ածանցյալ, ապա այն կոչվում է տարբերակելի x կետում: y = f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու կարգը կոչվում է տարբերակում y = f(x) ֆունկցիաներ:
Քննարկենք հետևյալ հարցը. ինչպե՞ս են միմյանց հետ կապված ֆունկցիայի շարունակականությունն ու տարբերակելիությունը մի կետում:
Թող y = f(x) ֆունկցիան լինի տարբերակելի x կետում: Այնուհետև M(x; f(x) կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է շոշափել, և, հիշենք, շոշափողի անկյունային գործակիցը հավասար է f "(x): Նման գրաֆիկը չի կարող «կոտրել»: M կետում, այսինքն՝ x կետում ֆունկցիան պետք է շարունակական լինի:
Սրանք «գործնական» փաստարկներ էին: Եկեք ավելի խիստ պատճառաբանենք. Եթե y = f(x) ֆունկցիան x կետում տարբերելի է, ապա գործում է \(\Delta y \մոտավորապես f"(x) \cdot \Delta x \) հավասարությունը: Եթե այս հավասարության մեջ \(\Delta x. \) հակված է զրոյի, ապա \(\Delta y\)-ը կձգվի զրոյի, և սա մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության պայմանն է։
Այսպիսով, եթե x կետում ֆունկցիան տարբերելի է, ապա այդ կետում այն շարունակական է.
Հակառակ պնդումը ճիշտ չէ։ Օրինակ՝ ֆունկցիա y = |x| շարունակական է ամենուր, մասնավորապես x = 0 կետում, բայց «միացման կետում» ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող (0; 0) գոյություն չունի: Եթե ինչ-որ պահի չի կարելի շոշափել ֆունկցիայի գրաֆիկին, ապա այդ կետում ածանցյալը գոյություն չունի:
Եվս մեկ օրինակ. \(y=\sqrt(x)\) ֆունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, ներառյալ x = 0 կետում: Իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը գոյություն ունի ցանկացած կետում, ներառյալ x = 0 կետում: Բայց այս պահին շոշափողը համընկնում է y առանցքի հետ, այսինքն՝ այն ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, դրա հավասարումն ունի x = 0 ձև: Նման ուղիղ գիծը չունի անկյան գործակից, ինչը նշանակում է, որ \(f) «(0)\) գոյություն չունի:
Այսպիսով, մենք ծանոթացանք ֆունկցիայի նոր հատկության՝ տարբերակելիության հետ։ Ինչպե՞ս կարելի է ֆունկցիայի գրաֆիկից եզրակացնել, որ այն տարբերելի է:
Պատասխանն իրականում տրված է վերևում։ Եթե ինչ-որ պահի հնարավոր է շոշափել ֆունկցիայի գրաֆիկին, որը ուղղահայաց չէ աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերելի է: Եթե ինչ-որ պահի ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը գոյություն չունի կամ այն ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերելի չէ:
Տարբերակման կանոններ
Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում. Այս գործողությունը կատարելիս հաճախ պետք է աշխատել քանորդների, գումարների, ֆունկցիաների արտադրյալների, ինչպես նաև «ֆունկցիայի ֆունկցիաների», այսինքն՝ բարդ ֆունկցիաների հետ։ Ելնելով ածանցյալի սահմանումից՝ մենք կարող ենք բխեցնել տարբերակման կանոններ, որոնք հեշտացնում են այս աշխատանքը: Եթե C-ն հաստատուն թիվ է, իսկ f=f(x), g=g(x) որոշ տարբերվող ֆունկցիաներ են, ապա ճշմարիտ են հետևյալը. տարբերակման կանոններ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
