տուն Բերանի խոռոչ Վստահության միջակայքը նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքի համար՝ հայտնի շեղումով: Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար

Բերանի խոռոչ

Վստահության միջակայքը նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքի համար՝ հայտնի շեղումով: Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար

Եկեք կառուցենք MS EXCEL-ում վստահության միջակայքդեպքում գնահատելու բաշխման միջին արժեքը հայտնի արժեքշեղումներ.

Իհարկե ընտրությունը վստահության մակարդակըամբողջությամբ կախված է լուծվող խնդրից։ Այսպիսով, օդային ուղևորի վստահության աստիճանը ինքնաթիռի հուսալիության նկատմամբ, անկասկած, պետք է ավելի բարձր լինի, քան գնորդի վստահության աստիճանը էլեկտրական լամպի հուսալիության նկատմամբ:

Խնդրի ձևակերպում

Ենթադրենք, որ սկսած բնակչությունըվերցված լինելով նմուշչափը n. Ենթադրվում է, որ ստանդարտ շեղում այս բաշխումը հայտնի է. Դրա հիման վրա անհրաժեշտ է նմուշներգնահատել անհայտը բաշխման միջին(μ, ) և կառուցիր համապատասխանը երկկողմանի վստահության միջակայք.

Միավոր գնահատական

Ինչպես հայտնի է վիճակագրություն(նշենք X միջին) է միջինի անաչառ գնահատումսա բնակչությունըև ունի N(μ;σ 2 /n) բաշխում։

Նշում: Ինչ անել, եթե անհրաժեշտ է կառուցել վստահության միջակայքբաշխման դեպքում, որը չէ նորմալ?Այս դեպքում օգնության է հասնում, որն ասում է, որ բավական է մեծ չափս նմուշներ n բաշխումից չլինելը նորմալ, վիճակագրության ընտրանքային բաշխում X միջինկամք մոտավորապեսհամապատասխանել նորմալ բաշխում N(μ;σ 2 /n) պարամետրերով:

Այսպիսով, միավորի գնահատում միջին բաշխման արժեքներըմենք ունենք - սա նմուշի միջին, այսինքն. X միջին. Հիմա եկեք սկսենք վստահության միջակայք.

Վստահության միջակայքի կառուցում

Սովորաբար, իմանալով բաշխումը և դրա պարամետրերը, մենք կարող ենք հաշվարկել հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը արժեք կվերցնի մեր նշած միջակայքից: Հիմա եկեք հակառակն անենք՝ գտեք այն ինտերվալը, որում պատահական փոփոխականը կընկնի տվյալ հավանականությամբ։ Օրինակ՝ հատկություններից նորմալ բաշխումՀայտնի է, որ 95% հավանականությամբ պատահական փոփոխական է բաշխվել նորմալ օրենք, կընկնի մոտավորապես +/- 2-ից միջին արժեքը(տես հոդվածի մասին): Այս ինտերվալը մեզ համար կծառայի որպես նախատիպ վստահության միջակայք.

Հիմա տեսնենք՝ գիտե՞նք արդյոք բաշխումը , հաշվարկել այս միջակայքը. Հարցին պատասխանելու համար մենք պետք է նշենք բաշխման ձևը և դրա պարամետրերը:

Մենք գիտենք բաշխման ձևը. սա է նորմալ բաշխում (հիշեք, որ մենք խոսում ենք նմուշառման բաշխում վիճակագրություն X միջին).

μ պարամետրը մեզ անհայտ է (այն պարզապես պետք է գնահատել՝ օգտագործելով վստահության միջակայք), բայց մենք դրա գնահատականն ունենք X միջին,հաշվարկված հիման վրա նմուշներ,որը կարող է օգտագործվել.

Երկրորդ պարամետր - նմուշի միջինի ստանդարտ շեղումը մենք դա հայտնի կհամարենք, այն հավասար է σ/√n-ի։

Որովհետեւ մենք չգիտենք μ, ապա մենք կկառուցենք +/- 2 միջակայքը ստանդարտ շեղումներոչ ից միջին արժեքը, և նրա հայտնի գնահատականից X միջին. Նրանք. հաշվարկելիս վստահության միջակայքմենք դա ՉԵՆՔ ենթադրելու X միջինընկնում է +/- 2 միջակայքում ստանդարտ շեղումներμ-ից 95% հավանականությամբ, և մենք կենթադրենք, որ միջակայքը +/- 2 է ստանդարտ շեղումներ-ից X միջին 95% հավանականությամբ կծածկի μ - ընդհանուր բնակչության միջինը,որից վերցված է նմուշ. Այս երկու պնդումները համարժեք են, բայց երկրորդ պնդումը թույլ է տալիս կառուցել վստահության միջակայք.

Բացի այդ, եկեք հստակեցնենք միջակայքը. պատահական փոփոխական է բաշխված նորմալ օրենք, 95% հավանականությամբ ընկնում է +/- 1,960 միջակայքում ստանդարտ շեղումներ,ոչ +/- 2 ստանդարտ շեղումներ. Սա կարելի է հաշվարկել բանաձևով =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), սմ. օրինակ ֆայլի թերթիկի ընդմիջում.

Այժմ մենք կարող ենք ձևակերպել հավանականական հայտարարություն, որը մեզ կծառայի ձևավորելուն վստահության միջակայք:
«Հավանականությունը, որ բնակչության միջին-ից գտնվում է նմուշի միջին 1960»-ի սահմաններում նմուշի միջինի ստանդարտ շեղումներ», հավասար է 95%-ի»։

Հայտարարության մեջ նշված հավանականության արժեքը հատուկ անվանում ունի , որը կապված էնշանակության մակարդակ α (ալֆա) պարզ արտահայտությամբ վստահության մակարդակը =1 -α . Մեր դեպքում նշանակության մակարդակը α =1-0,95=0,05 .

Հիմա, հիմնվելով այս հավանականության վրա, մենք գրում ենք հաշվարկման արտահայտություն վստահության միջակայք:

որտեղ Z α/2 – ստանդարտ նորմալ բաշխում(պատահական փոփոխականի այս արժեքը զ, Ինչ Պ(զ>=Z α/2 )=α/2).

Նշում: Վերին α/2-քվսահմանում է լայնությունը վստահության միջակայքՎ ստանդարտ շեղումներ նմուշի միջին. Վերին α/2-քվ ստանդարտ նորմալ բաշխումմիշտ 0-ից մեծ, ինչը շատ հարմար է:

Մեր դեպքում, α=0,05-ով, վերին α/2-քվ հավասար է 1,960-ի: Այլ նշանակության մակարդակների համար α (10%; 1%) վերին α/2-քվ Z α/2 կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով =NORM.ST.REV(1-α/2) բանաձևը կամ, եթե հայտնի է վստահության մակարդակը, =NORM.ST.OBR((1+վստահության մակարդակ)/2).

Սովորաբար կառուցելիս միջինը գնահատելու վստահության միջակայքերըօգտագործել միայն վերին α/2-քանակականև մի օգտագործիր ցածր α/2-քանակական. Սա հնարավոր է, քանի որ ստանդարտ նորմալ բաշխումսիմետրիկ x առանցքի նկատմամբ ( դրա բաշխման խտությունըսիմետրիկ մոտ միջին, այսինքն. 0). Ուստի հաշվարկելու կարիք չկա ցածր α/2-քվ(այն պարզապես կոչվում է α /2-քվ), որովհետեւ դա հավասար է վերին α/2-քանակականմինուս նշանով.

Հիշենք, որ, չնայած x արժեքի բաշխման ձևին, համապատասխան պատահական փոփոխականը X միջինբաշխված մոտավորապես Լավ N(μ;σ 2 /n) (տես հոդվածի մասին): Հետևաբար, մեջ ընդհանուր դեպք, վերը նշված արտահայտությունը համար վստահության միջակայքընդամենը մոտավորություն է։ Եթե x արժեքը բաշխված է նորմալ օրենք N(μ; σ 2 /n), ապա արտահայտությունը համար վստահության միջակայքճշգրիտ է.

Վստահության միջակայքի հաշվարկ MS EXCEL-ում

Եկեք խնդիրը լուծենք։
Էլեկտրոնային բաղադրիչի արձագանքման ժամանակը մուտքային ազդանշանին է կարևոր հատկանիշսարքեր. Ինժեները ցանկանում է ստեղծել վստահության միջակայք միջին արձագանքման ժամանակի համար 95% վստահության մակարդակով: Նախկին փորձից ինժեները գիտի, որ արձագանքման ժամանակի ստանդարտ շեղումը 8 մվ է: Հայտնի է, որ արձագանքման ժամանակը գնահատելու համար ինժեները կատարել է 25 չափում, միջին արժեքը կազմել է 78 մվ։

ԼուծումԻնժեները ցանկանում է իմանալ պատասխանի ժամանակը էլեկտրոնային սարք, բայց նա հասկանում է, որ արձագանքման ժամանակը ֆիքսված արժեք չէ, այլ պատահական փոփոխական, որն ունի իր բաշխումը։ Այսպիսով, լավագույնը, որի վրա նա կարող է հուսալ, այս բաշխման պարամետրերն ու ձևը որոշելն է:

Ցավոք, խնդրի պայմաններից մենք չգիտենք արձագանքման ժամանակի բաշխման ձևը (պարտադիր չէ, որ դա լինի նորմալ) , այս բաշխումը նույնպես անհայտ է։ Հայտնի է միայն նա ստանդարտ շեղումσ=8. Հետևաբար, մինչդեռ մենք չենք կարող հաշվարկել հավանականությունները և կառուցել վստահության միջակայք.

Սակայն, չնայած այն հանգամանքին, որ մեզ հայտնի չէ բաշխումը ժամանակ առանձին արձագանք, գիտենք, որ ըստ ԽԿԿ, նմուշառման բաշխում արձագանքման միջին ժամանակըմոտավորապես է նորմալ(մենք կենթադրենք, որ պայմանները ԽԿԿիրականացվում են, քանի որ չափը նմուշներբավականին մեծ (n=25)) .

Ավելին, միջինայս բաշխումը հավասար է միջին արժեքըմեկ պատասխանի բաշխում, այսինքն. մ. Ա ստանդարտ շեղումԱյս բաշխման (σ/√n) կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով =8/ROOT(25) բանաձևը:

Հայտնի է նաև, որ ինժեները ստացել է միավորի գնահատումμ պարամետրը հավասար է 78 ms (X միջին): Հետևաբար, այժմ մենք կարող ենք հաշվարկել հավանականությունները, քանի որ մենք գիտենք բաշխման ձևը ( նորմալ) և դրա պարամետրերը (X avg և σ/√n):

Ինժեներն ուզում է իմանալ ակնկալվող արժեքը μ արձագանքման ժամանակի բաշխումներ. Ինչպես նշվեց վերևում, այս μ-ը հավասար է միջին արձագանքման ժամանակի ընտրանքային բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը. Եթե օգտագործենք նորմալ բաշխում N(X միջին; σ/√n), ապա ցանկալի μ-ը կլինի +/-2*σ/√n միջակայքում՝ մոտավորապես 95% հավանականությամբ:

Նշանակության մակարդակհավասար է 1-0,95=0,05։

Վերջապես, եկեք գտնենք ձախ և աջ եզրագիծը վստահության միջակայք.
Ձախ եզրագիծ. =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Աջ եզրագիծ: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

Ձախ եզրագիծ. =NORM.REV (0.05/2; 78; 8/ROOT (25))
Աջ եզրագիծ. =NORM.REV (1-0.05/2; 78; 8/ROOT (25))

Պատասխանել: վստահության միջակայքժամը 95% վստահության մակարդակ և ս=8msecհավասար է 78+/-3,136 ms.

IN օրինակ ֆայլ Sigma թերթիկի վրահայտնի է, ստեղծել է հաշվարկի և կառուցման ձև երկկողմանի վստահության միջակայքկամայականության համար նմուշներտրված ս եւ նշանակության մակարդակը.

CONFIDENCE.NORM() ֆունկցիա

Եթե արժեքները նմուշներտիրույթում են B20:B79 , Ա նշանակության մակարդակըհավասար է 0,05; ապա MS EXCEL բանաձևը.
=ՄԻՋԻՆ (B20:B79)-ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՆՈՐՄ(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
կվերադարձնի ձախ եզրագիծը վստահության միջակայք.

Նույն սահմանաչափը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը.
=ՄԻՋԻՆ (B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

Նշում CONFIDENCE.NORM() ֆունկցիան հայտնվել է MS EXCEL 2010-ում: MS EXCEL-ի ավելի վաղ տարբերակներում օգտագործվել է TRUST() ֆունկցիան:

Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար - սա տվյալների հիման վրա հաշվարկված միջակայք է, որը հայտնի հավանականությամբ պարունակում է ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքի բնական գնահատականը նրա դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականն է: Ուստի ամբողջ դասի ընթացքում մենք կօգտագործենք «միջին» և «միջին արժեք» տերմինները: Վստահության միջակայքի հաշվարկման խնդիրներում պատասխանն ամենից հաճախ պահանջվում է նման բան. «Միջին թվի [արժեքը որոշակի խնդրի] վստահության միջակայքը [փոքր արժեքից] [ավելի մեծ արժեք] է»: Օգտագործելով վստահության միջակայքը, դուք կարող եք գնահատել ոչ միայն միջին արժեքները, այլև ընդհանուր բնակչության որոշակի բնութագրիչի համամասնությունը: Դասում քննարկվում են միջին արժեքները, դիսպերսիան, ստանդարտ շեղումը և սխալը, որոնց միջոցով մենք կհասնենք նոր սահմանումների և բանաձևերի։ Ընտրանքի և բնակչության բնութագրերը .

Միջին կետի և միջակայքի գնահատումները

Եթե բնակչության միջին արժեքը գնահատվում է թվով (կետ), ապա որպես պոպուլյացիայի անհայտ միջին արժեքի գնահատում ընդունվում է կոնկրետ միջին, որը հաշվարկվում է դիտարկումների ընտրանքից։ Այս դեպքում ընտրանքային միջինի արժեքը՝ պատահական փոփոխականը, չի համընկնում ընդհանուր բնակչության միջին արժեքի հետ: Հետևաբար, նմուշի միջինը նշելիս պետք է միաժամանակ նշեք նմուշառման սխալը: Ընտրանքային սխալի չափումը ստանդարտ սխալն է, որն արտահայտվում է նույն միավորներով, ինչ միջինը: Հետևաբար, հաճախ օգտագործվում է հետևյալ նշումը.

Եթե միջինի գնահատումը պետք է կապված լինի որոշակի հավանականության հետ, ապա բնակչության հետաքրքրության պարամետրը պետք է գնահատվի ոչ թե մեկ թվով, այլ ընդմիջումով։ Վստահության միջակայքը այն միջակայքն է, որի դեպքում որոշակի հավանականությամբ ՊԳտնվում է բնակչության գնահատված ցուցանիշի արժեքը. Վստահության միջակայքը, որում դա հավանական է Պ = 1 - α պատահական փոփոխականը գտնվել է՝ հաշվարկված հետևյալ կերպ.

α = 1 - Պ, որը կարելի է գտնել վիճակագրության վերաբերյալ գրեթե ցանկացած գրքի հավելվածում։

Գործնականում պոպուլյացիայի միջինը և շեղումը հայտնի չեն, ուստի պոպուլյացիայի շեղումը փոխարինվում է ընտրանքային շեղումով, իսկ պոպուլյացիայի միջինը՝ ընտրանքային միջինով: Այսպիսով, վստահության միջակայքը շատ դեպքերում հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Վստահության միջակայքի բանաձևը կարող է օգտագործվել պոպուլյացիայի միջինը գնահատելու համար, եթե

հայտնի է բնակչության ստանդարտ շեղումը.
կամ պոպուլյացիայի ստանդարտ շեղումը անհայտ է, բայց ընտրանքի չափը 30-ից մեծ է:

Ընտրանքի միջինը բնակչության միջինի անաչառ գնահատումն է: Իր հերթին, նմուշի շեղումը բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական չէ: Ընտրանքի շեղումների բանաձևում բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական ստանալու համար, ընտրանքի չափը nպետք է փոխարինվի n-1.

Օրինակ 1.Որոշակի քաղաքի պատահականության սկզբունքով ընտրված 100 սրճարաններից հավաքագրվել է տեղեկատվություն, որ դրանցում աշխատողների միջին թիվը 10,5 է` 4,6 ստանդարտ շեղումով: Որոշեք 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների թվի համար:

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Այսպիսով, 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների միջին թվի համար տատանվել է 9,6-ից 11,4-ի սահմաններում։

Օրինակ 2. 64 դիտարկումների բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկվել են հետևյալ ընդհանուր արժեքները.

դիտարկումների արժեքների գումարը,

արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը միջինից .

Հաշվարկել 95% վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքի համար:

Հաշվարկենք ստանդարտ շեղումը.

Հաշվարկենք միջին արժեքը.

Մենք արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի մաթեմատիկական ակնկալիքի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 7,484-ից մինչև 11,266:

Օրինակ 3. 100 դիտարկումներից բաղկացած բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկված միջինը 15.2 է, իսկ ստանդարտ շեղումը 3.2 է: Հաշվարկեք 95% վստահության միջակայքը ակնկալվող արժեքի համար, ապա 99% վստահության միջակայքը: Եթե նմուշի հզորությունը և դրա տատանումները մնան անփոփոխ, և վստահության գործակիցը մեծանա, վստահության միջակայքը կնվազի՞, թե՞ ընդլայնվի:

Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտությամբ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 14,57-ից մինչև 15,82:

Մենք կրկին փոխարինում ենք այս արժեքները վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,01 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 99% վստահության միջակայքը տատանվել է 14,37-ից մինչև 16,02:

Ինչպես տեսնում ենք, քանի որ վստահության գործակիցը մեծանում է, ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նույնպես մեծանում է, և, հետևաբար, միջակայքի մեկնարկային և ավարտական կետերը գտնվում են միջինից ավելի հեռու, և այդպիսով մեծանում է մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը: .

Հատուկ ծանրության կետային և միջակայքային գնահատումներ

Որոշ նմուշի բնութագրերի մասնաբաժինը կարելի է մեկնաբանել այսպես միավորի գնահատում տեսակարար կշիռը էջնույն հատկանիշը ընդհանուր բնակչության մեջ: Եթե այս արժեքը պետք է կապված լինի հավանականության հետ, ապա պետք է հաշվարկվի տեսակարար կշռի վստահության միջակայքը: էջբնորոշ է հավանականությամբ բնակչությանը Պ = 1 - α :

Օրինակ 4.Որոշ քաղաքում երկու թեկնածու կա ԱԵվ Բհավակնում են քաղաքապետի պաշտոնին. Պատահականության սկզբունքով հարցվել է քաղաքի 200 բնակիչ, որոնցից 46%-ը պատասխանել է, որ կքվեարկի թեկնածուի օգտին։ Ա, 26%՝ թեկնածուի համար Բիսկ 28%-ը չգիտի, թե ում է ձայն տալու։ Որոշեք 95% վստահության միջակայքը՝ թեկնածուին աջակցող քաղաքի բնակիչների համամասնության համար Ա.

Սկզբից հիշենք հետևյալ սահմանումը.

Դիտարկենք հետևյալ իրավիճակը. Թող պոպուլյացիայի տարբերակներն ունենան նորմալ բաշխում՝ $a$ մաթեմատիկական ակնկալիքով և $\sigma$ ստանդարտ շեղումով։ Նմուշի միջինը այս դեպքումկդիտարկվի որպես պատահական փոփոխական: Երբ $X$ մեծությունը սովորաբար բաշխվում է, նմուշի միջինը նույնպես սովորաբար կբաշխվի պարամետրերով

Եկեք գտնենք վստահության միջակայք, որը ծածկում է $a$ արժեքը $\gamma $ հուսալիությամբ:

Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է հավասարություն

Դրանից մենք ստանում ենք

Այստեղից մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել $t$ ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակից $Ф\left(t\right)$ և, որպես հետևանք, գտնել $\delta $:

Եկեք հիշենք $Ф\left(t\right)$ ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը.

Նկար 1. Ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ $Ф\left(t\right).$

Վստահության ինտեգրալ՝ անհայտ $(\mathbf \sigma)$-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար

Այս դեպքում մենք կօգտագործենք շտկված շեղման արժեքը $S^2$: Փոխարինելով $\sigma $-ը $S$-ով վերը նշված բանաձևում, մենք ստանում ենք.

Վստահության միջակայք գտնելու խնդիրների օրինակներ

Օրինակ 1

Թող $X$ մեծությունը ունենա նորմալ բաշխում $\sigma =4$ շեղումով։ Թող նմուշի չափը լինի $n=64$, իսկ հուսալիությունը՝ $\գամմա =0,95$: Գտեք վստահության միջակայքը այս բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար:

Մենք պետք է գտնենք միջակայքը ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$:

Ինչպես տեսանք վերեւում

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ պարամետրը կարելի է գտնել բանաձևից

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma)(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

Աղյուսակ 1-ից մենք գտնում ենք, որ $t=1.96$:

Թող CB X-ը կազմի ընդհանուր պոպուլյացիան, իսկ β-ն անհայտ CB X պարամետրը: Եթե *-ի վիճակագրական գնահատականը համահունչ է, ապա որքան մեծ է ընտրանքի չափը, այնքան ավելի ճշգրիտ ենք ստանում β-ի արժեքը: Այնուամենայնիվ, գործնականում մենք չունենք շատ մեծ նմուշներ, ուստի չենք կարող երաշխավորել ավելի մեծ ճշգրտություն:

Հուսալիություն գ կամ վստահության հավանականությունըգնահատումները ըստ ըստ *-ում g հավանականությունն է, որով անհավասարությունը |in * - in|< 8, т. е.

Որպես կանոն, g հուսալիությունը նախապես նշվում է, իսկ g-ն ընդունվում է որպես 1-ին մոտ թիվ (0.9; 0.95; 0.99; ...):

Քանի որ անհավասարությունը |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Ինտերվալը (* - 8-ում, * + 5-ում) կոչվում է վստահության միջակայք, այսինքն՝ վստահության միջակայքը ծածկում է անհայտ պարամետրը y հավանականությամբ։ Նկատի ունեցեք, որ վստահության միջակայքի ծայրերը պատահական են և տարբերվում են նմուշից նմուշ, ուստի ավելի ճիշտ է ասել, որ միջակայքը (* - 8-ում, * + 8-ում) ընդգրկում է անհայտ պարամետրը, այլ ոչ թե պատկանում է դրան: ընդմիջում.

Թող բնակչությունըտրված է X պատահական փոփոխականով, որը բաշխված է նորմալ օրենքի համաձայն, և ստանդարտ շեղումը հայտնի է a. Անհայտը մաթեմատիկական ակնկալիքն է a = M (X): Պահանջվում է գտնել վստահության միջակայքը a-ի համար տվյալ հուսալիության y-ի համար:

Նմուշի միջինը

վիճակագրական գնահատական է xr = a-ի համար:

Թեորեմ. Պատահական արժեք xB-ն ունի նորմալ բաշխում, եթե X-ն ունի նորմալ բաշխում, իսկ M(XB) = a,

A (XB) = a, որտեղ a = y/B (X), a = M (X): l/i

a-ի վստահության միջակայքը ունի հետևյալ ձևը.

Մենք գտնում ենք 8.

Օգտագործելով հարաբերակցությունը

որտեղ Ф(r)-ը Լապլասի ֆունկցիան է, մենք ունենք.

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

Լապլասի ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը գտնում ենք t-ի արժեքը:

Նշանակվելով

T, մենք ստանում ենք F(t) = g Քանի որ g տրված է, ապա ըստ

Հավասարությունից մենք գտնում ենք, որ գնահատումը ճշգրիտ է:

Սա նշանակում է, որ a-ի համար վստահության միջակայքը ունի հետևյալ ձևը.

Հաշվի առնելով X պոպուլյացիայի նմուշը

նգ	դեպի»	X2	Xm
n.	n1	n2	նմ

n = U1 + ... + nm, ապա վստահության միջակայքը կլինի.

Օրինակ 6.35. Գտեք վստահության միջակայքը նորմալ բաշխման a մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար 0,95 հուսալիությամբ՝ իմանալով ընտրանքի միջինը Xb = 10,43, ընտրանքի չափը n = 100 և ստանդարտ շեղումը s = 5:

Եկեք օգտագործենք բանաձևը

Թող պոպուլյացիայի X պատահական փոփոխականը նորմալ բաշխված լինի՝ հաշվի առնելով, որ հայտնի են այս բաշխման շեղումները և ստանդարտ շեղումները։ Անհրաժեշտ է գնահատել անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ օգտագործելով ընտրանքի միջինը: Այս դեպքում խնդիրը հանգում է վստահելիության մաթեմատիկական ակնկալիքի համար վստահության միջակայքի գտնելուն բ. Եթե դուք նշեք վստահության հավանականության (հուսալիության) արժեքը b, ապա կարող եք գտնել անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքի միջակայքում ընկնելու հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (6.9a).

որտեղ Ф(t) Լապլասի ֆունկցիան է (5.17a):

Արդյունքում, մենք կարող ենք ձևակերպել մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքի սահմանները գտնելու ալգորիթմ, եթե հայտնի է D = s 2 շեղումը.

Սահմանեք հուսալիության արժեքը – b.
(6.14)-ից արտահայտեք Ф(t) = 0.5× բ. Լապլասի ֆունկցիայի աղյուսակից ընտրեք t-ի արժեքը Ф(t) արժեքի հիման վրա (տես Հավելված 1):
Հաշվեք շեղումը e-ն՝ օգտագործելով բանաձևը (6.10):
Գրեք վստահության միջակայքը՝ օգտագործելով (6.12) բանաձևն այնպես, որ b հավանականության դեպքում անհավասարությունը պահպանվի.

Օրինակ 5.

X պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում։ Գտեք վստահության միջակայքերը b = 0,96 անհայտ մաթեմատիկական սպասման a-ի հուսալիությամբ գնահատման համար, եթե տրված է.

1) ընդհանուր ստանդարտ շեղում s = 5;

2) նմուշի միջինը.

3) նմուշի չափը n = 49:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի միջակայքի գնահատման բանաձևում (6.15): Ա հուսալիությամբ b բոլոր մեծությունները, բացի t-ից, հայտնի են: t-ի արժեքը կարելի է գտնել օգտագործելով (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96: Ф(t) = 0,48:

Օգտագործելով Հավելված 1-ի աղյուսակը Լապլասի Ф(t) = 0,48 ֆունկցիայի համար՝ գտե՛ք համապատասխան արժեքը t = 2,06: Հետևաբար, . e-ի հաշվարկված արժեքը փոխարինելով բանաձևով (6.12), կարող եք ստանալ վստահության միջակայք՝ 30-1.47< a < 30+1,47.