Կետային գնահատականը և դրա հատկությունները: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում

s x =(1.11)

Մենք հետագայում կքննարկենք կարևոր խնդիր՝ դիտարկելի պատահական փոփոխականի ուսումնասիրության համար: Թող լինի որոշ նմուշ (մենք կնշենք Ս) պատահական փոփոխական X. Պահանջվում է գնահատել առկա նմուշից անհայտ արժեքներ մ xԵվ .

Տարբեր պարամետրերի գնահատումների տեսությունը զբաղեցնում է մաթեմատիկական վիճակագրություննշանակալից տեղ. Հետեւաբար, եկեք նախ դիտարկենք ընդհանուր առաջադրանք. Թող անհրաժեշտ լինի գնահատել որոշ պարամետր անմուշով Ս. Յուրաքանչյուր նման գնահատական ա*ինչ-որ գործառույթ է a*=a*(S)նմուշի արժեքներից: Ընտրանքային արժեքները պատահական են, հետևաբար գնահատականն ինքնին ա*պատահական փոփոխական է: Շատերը կարելի է կառուցել տարբեր գնահատականներ(այսինքն գործառույթներ) ա*, բայց միևնույն ժամանակ ցանկալի է ունենալ «լավ» կամ նույնիսկ «լավագույն», ինչ-որ իմաստով գնահատական։ Գնահատումների վրա սովորաբար դրվում են հետևյալ երեք բնական պահանջները.

1. Չտեղահանված.Գնահատման մաթեմատիկական ակնկալիք ա*պետք է հավասար լինի պարամետրի ճշգրիտ արժեքին. M = a. Այսինքն՝ գնահատականը ա*չպետք է ունենա համակարգված սխալ:

2. Հարստություն.Նմուշի չափի անսահման աճով, գնահատականը ա*պետք է համընկնի ճշգրիտ արժեքի, այսինքն, քանի որ դիտումների թիվը մեծանում է, գնահատման սխալը ձգտում է զրոյի:

3. Արդյունավետություն.Դասարան ա*ասում են, որ արդյունավետ է, եթե այն անաչառ է և ունի ամենափոքր հնարավոր սխալի շեղումը: Այս դեպքում գնահատականների տարածումը նվազագույն է ա*ճշգրիտ արժեքի համեմատ և գնահատականը որոշակի իմաստով «ամենա ճշգրիտ» է:

Ցավոք, միշտ չէ, որ հնարավոր է կառուցել գնահատական, որը կբավարարի երեք պահանջները միաժամանակ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար առավել հաճախ օգտագործվում է գնահատումը:

= , (1.12)

այսինքն՝ նմուշի միջին թվաբանականը։ Եթե ​​պատահական փոփոխականը Xունի վերջավոր մ xԵվ s x, ապա գնահատումը (1.12) կողմնակալ և հետևողական չէ: Այս գնահատումը արդյունավետ է, օրինակ, եթե Xունի նորմալ բաշխում (Նկար 1.4, Հավելված 1): Այլ բաշխումների համար այն կարող է արդյունավետ չլինել: Օրինակ, միատեսակ բաշխման դեպքում (Նկար 1.1, Հավելված 1), կլինի անաչառ, հետևողական գնահատում.

(1.13)

Միևնույն ժամանակ, նորմալ բաշխման գնահատականը (1.13) չի լինի ոչ հետևողական, ոչ արդյունավետ, և նույնիսկ կվատթարանա ընտրանքի չափի մեծացմամբ:

Այսպիսով, պատահական փոփոխականի բաշխման յուրաքանչյուր տեսակի համար Xդուք պետք է օգտագործեք մաթեմատիկական ակնկալիքի ձեր գնահատականը: Սակայն, մեր իրավիճակում, բաշխման տեսակը կարելի է իմանալ միայն նախնական փուլում: Հետևաբար, մենք կօգտագործենք գնահատումը (1.12), որը բավականին պարզ է և ունի առավելագույնը կարևոր հատկություններանաչառություն և հետևողականություն:

Խմբավորված նմուշի մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

= , (1.14)

որը կարելի է ձեռք բերել նախորդից, եթե հաշվի առնենք ամեն ինչ m iնմուշի արժեքները ներառված են ես--րդ միջակայքը հավասար է ներկայացուցչին z iայս միջակայքը: Այս գնահատումը, բնականաբար, ավելի կոպիտ է, բայց պահանջում է զգալիորեն ավելի քիչ հաշվարկ, հատկապես մեծ նմուշի չափով:

Տարբերությունը գնահատելու համար առավել հաճախ օգտագործվող գնահատականը հետևյալն է.

= , (1.15)

Այս գնահատումը կողմնակալ չէ և վավեր է ցանկացած պատահական փոփոխականի համար X, ունենալով վերջավոր մոմենտներ մինչև չորրորդ կարգը ներառյալ։

Խմբավորված նմուշի դեպքում օգտագործվող գնահատականը հետևյալն է.

= (1.16)

Գնահատումները (1.14) և (1.16), որպես կանոն, կողմնակալ և անհիմն են, քանի որ նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքները և սահմանները, որոնցից դրանք համընկնում են, տարբերվում են. մ xև ներառված բոլոր նմուշային արժեքների փոխարինման շնորհիվ ես-րդ ինտերվալը, յուրաքանչյուր ինտերվալի ներկայացուցիչ z i.

Նշենք, որ խոշոր n,գործակիցը n/(n – 1)(1.15) և (1.16) արտահայտություններում մոտ է միասնությանը, ուստի այն կարելի է բաց թողնել:

Ինտերվալային գնահատականներ.

Թող ճշգրիտ արժեքորոշ պարամետր հավասար է աև գտնվել է դրա նախահաշիվը a*(S)նմուշով Ս. Գնահատում ա*համապատասխանում է թվային առանցքի մի կետի (նկ. 1.5), ուստի այս գնահատումը կոչվում է կետ. Նախորդ պարբերությունում քննարկված բոլոր գնահատականները միավորային գնահատականներ են: Գրեթե միշտ, պատահականության պատճառով

ա* ¹ ա, և մենք կարող ենք միայն հուսալ, որ կետը ա*գտնվում է ինչ-որ տեղ մոտակայքում ա. Բայց որքան մոտ: Ցանկացած այլ կետային գնահատում կունենա նույն թերությունը՝ արդյունքի հուսալիության չափման բացակայությունը:

Նկ.1.5. Կետային պարամետրի գնահատում.

Այս առումով ավելի կոնկրետ են ինտերվալային գնահատականներ. Ինտերվալային միավորը ներկայացնում է ընդմիջում I b = (a, b), որում գնահատված պարամետրի ճշգրիտ արժեքը գտնվում է տրված հավանականությամբ բ. Ինտերվալ Ես բկանչեց վստահության միջակայք, և հավանականությունը բկանչեց վստահության հավանականությունը և կարելի է համարել որպես գնահատման հուսալիությունը.

Վստահության միջակայքը հիմնված է առկա նմուշի վրա Ս, այն պատահական է այն առումով, որ նրա սահմանները պատահական են ա(Ս)Եվ b(S), որը մենք հաշվարկելու ենք (պատահական) նմուշից։ Ահա թե ինչու բկա հավանականություն, որ պատահական միջակայքը Ես բկընդգրկի ոչ պատահական կետ ա. Նկ. 1.6. ընդմիջում Ես բծածկեց կետը ա, Ա Իբ*- Ոչ: Ուստի դա ասելն ամբողջությամբ ճիշտ չէ ա"ընկնում» միջակայքում.

Եթե ​​վստահության հավանականությունը բմեծ (օրինակ, b = 0,999), ապա գրեթե միշտ ճշգրիտ արժեքը ագտնվում է կառուցված միջակայքում:

Նկ.1.6. Պարամետրի վստահության միջակայքերը ատարբեր նմուշների համար:

Դիտարկենք շինարարության մեթոդը վստահության միջակայքպատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի համար X,հիմնված կենտրոնական սահմանային թեորեմ.

Թող պատահական փոփոխականը Xանհայտ մաթեմատիկական ակնկալիք ունի մ xԵվ հայտնի շեղում. Այնուհետև, կենտրոնական սահմանային թեորեմի ուժով, թվաբանական միջինը հետևյալն է.

= , (1.17)

արդյունքները n անկախ թեստերքանակները Xպատահական փոփոխական է, որի բաշխումն ընդհանուր առմամբ n, մոտ նորմալ բաշխումմիջինով մ xև ստանդարտ շեղում: Հետևաբար պատահական փոփոխականը

(1.18)

ունի հավանականության բաշխում, որը կարելի է դիտարկել ստանդարտ նորմալբաշխման խտությամբ j(t), որի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 1.7-ում (ինչպես նաև Նկ. 1.4-ում, Հավելված 1-ում):

Նկ.1.7. Պատահական փոփոխականի հավանականության խտության բաշխում տ.

Թող վստահության հավանականությունը տրվի բԵվ տ բ -հավասարումը բավարարող թիվ

b = Ф 0 (տ բ) – Ф 0 (-t բ) = 2 Ф 0 (տ բ),(1.19)

Որտեղ - Լապլասի ֆունկցիան. Հետո ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը (-t b, t b)հավասար կլինի Նկար 1.7-ի ստվերվածին: մակերեսը, և արտահայտման ուժով (1.19) հավասար է բ. Ուստի

b = P(-t b< < t b) = P( - տբ< m x < + տ բ) =

= P( - տբ< m x < + տ բ).(1.20)

Այսպիսով, որպես վստահության միջակայք մենք կարող ենք վերցնել միջակայքը

Ես բ = ( – տ բ; + տբ ) , (1.21)

քանի որ արտահայտությունը (1.20) նշանակում է, որ անհայտ ճշգրիտ արժեքը մ xմեջ է Ես բտրված վստահության հավանականությամբ բ. Շինության համար Ես բանհրաժեշտ է, ինչպես նշված է բգտնել տ բհավասարումից (1.19): Եկեք մի քանի արժեք տանք տ բանհրաժեշտ է ապագայում :

t 0.9 = 1.645; t 0,95 = 1,96; t 0.99 = 2.58; t 0,999 = 3,3:

Արտահայտությունը (1.21) դուրս բերելիս ենթադրվում էր, որ ստանդարտ շեղման ճշգրիտ արժեքը հայտնի է. s x. Այնուամենայնիվ, դա միշտ չէ, որ հայտնի է. Այսպիսով, եկեք օգտագործենք նրա գնահատականը (1.15) և ստանանք.

Ես բ = ( – տ բ; + tb). (1.22)

Համապատասխանաբար, խմբավորված ընտրանքից ստացված գնահատականները տալիս են վստահության միջակայքի հետևյալ բանաձևը.

Ես բ = ( – տ բ; + tb). (1.23)

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅԱՆ ՆՊԱՏԱԿԸ. ներկայացնել բաշխման անհայտ պարամետրի գնահատման հայեցակարգը և տալ այդպիսի գնահատականների դասակարգում; ստանալ մաթեմատիկական ակնկալիքների և ցրվածության կետային և միջակայքային գնահատումներ:

Գործնականում, շատ դեպքերում, պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը անհայտ է, և ըստ դիտարկումների արդյունքների.
անհրաժեշտ է գնահատել թվային բնութագրերը (օրինակ՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա կամ այլ պահեր) կամ անհայտ պարամետր , որը որոշում է բաշխման օրենքը (բաշխման խտությունը)
ուսումնասիրվող պատահական փոփոխական: Այսպիսով, էքսպոնենցիալ բաշխման կամ Պուասոնի բաշխման համար բավական է գնահատել մեկ պարամետր, սակայն նորմալ բաշխման համար պետք է գնահատել երկու պարամետր՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը։

Գնահատման տեսակները

Պատահական արժեք
ունի հավանականության խտություն
, Որտեղ - բաշխման անհայտ պարամետր: Փորձի արդյունքում ստացվել են այս պատահական փոփոխականի արժեքները.
. Գնահատում կատարելը հիմնականում նշանակում է, որ պատահական փոփոխականի նմուշային արժեքները պետք է կապված լինեն որոշակի պարամետրի արժեքի հետ: , այսինքն՝ ստեղծել դիտարկման արդյունքների որոշ գործառույթ
, որի արժեքը վերցված է որպես նախահաշիվ պարամետր . Ցուցանիշ ցույց է տալիս կատարված փորձերի քանակը.

Ցանկացած ֆունկցիա, որը կախված է դիտարկումների արդյունքներից, կոչվում է վիճակագրություն. Քանի որ դիտարկումների արդյունքները պատահական փոփոխականներ են, վիճակագրությունը նույնպես պատահական փոփոխական կլինի: Հետեւաբար, գնահատականը
անհայտ պարամետր պետք է դիտարկել որպես պատահական փոփոխական, իսկ դրա արժեքը՝ հաշվարկված փորձնական տվյալներից ծավալով , – որպես այս պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքներից մեկը:

Բաշխման պարամետրերի գնահատումները (պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը) բաժանվում են կետի և միջակայքի: Միավոր գնահատականպարամետր որոշվում է մեկ թվով , և դրա ճշգրտությունը բնութագրվում է գնահատման շեղումով։ Ինտերվալների գնահատումկոչվում է միավոր, որը որոշվում է երկու թվով, Եվ – գնահատված պարամետրը ծածկող միջակայքի վերջերը տրված վստահության հավանականությամբ։

Կետային գնահատումների դասակարգում

Անհայտ պարամետրի կետային գնահատման համար
լավագույնը ճշգրտության առումով, այն պետք է լինի հետևողական, անաչառ և արդյունավետ:

Հարուստկոչվում է գնահատում
պարամետր , եթե այն հակված է գնահատված պարամետրին, այսինքն.

. (8.8)

Չեբիշևի անհավասարությունից ելնելով կարելի է ցույց տալ, որ բավարար պայման(8.8) հարաբերության կատարումը հավասարությունն է

.

Հետևողականությունը գնահատման ասիմպտոտիկ բնութագիր է
.

Անաչառկոչվում է գնահատում
(գնահատում առանց համակարգված սխալի), որի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է գնահատված պարամետրին, այսինքն.

. (8.9)

Եթե ​​հավասարությունը (8.9) չի բավարարվում, ապա գնահատումը կոչվում է կողմնակալ: Տարբերություն
կոչվում է կողմնակալություն կամ գնահատման համակարգված սխալ: Եթե ​​հավասարությունը (8.9) բավարարվում է միայն
, ապա համապատասխան գնահատականը կոչվում է ասիմպտոտիկորեն անկողմնակալ։

Պետք է նշել, որ եթե հետևողականությունը գրեթե պարտադիր պայման է գործնականում օգտագործվող բոլոր գնահատումների համար (անհամապատասխան գնահատականները օգտագործվում են չափազանց հազվադեպ), ապա անաչառության հատկությունը միայն ցանկալի է: Շատ հաճախ օգտագործվող գնահատականներ չունեն անաչառ հատկություն:

IN ընդհանուր դեպքորոշ պարամետրի գնահատման ճշգրտություն , ստացված փորձարարական տվյալների հիման վրա
, բնութագրվում է միջին քառակուսի սխալով

,

որը կարող է կրճատվել ձևի

,

որտեղ է տարբերությունը,
- քառակուսի գնահատական ​​կողմնակալություն:

Եթե ​​գնահատականը անաչառ է, ապա

Վերջնական պահին գնահատումները կարող են տարբերվել միջին քառակուսի սխալով . Բնականաբար, որքան փոքր է այս սխալը, այնքան ավելի սերտորեն խմբավորվում են գնահատման արժեքները գնահատված պարամետրի շուրջ: Հետևաբար, միշտ ցանկալի է, որ գնահատման սխալը հնարավորինս փոքր լինի, այսինքն՝ պայմանը բավարարված լինի։

. (8.10)

Գնահատում , բավարարող պայման (8.10), կոչվում է գնահատում նվազագույն քառակուսի սխալով։

Արդյունավետկոչվում է գնահատում
, որի համար միջին քառակուսի սխալը մեծ չէ ցանկացած այլ գնահատման միջին քառակուսի սխալից, այսինքն.

Որտեղ - ցանկացած այլ պարամետրի գնահատում .

Հայտնի է, որ մեկ պարամետրի ցանկացած անաչառ գնահատականի շեղումը բավարարում է Կրամեր–Ռաո անհավասարությունը

,

Որտեղ
- պատահական փոփոխականի ստացված արժեքների պայմանական հավանականության խտության բաշխում պարամետրի իրական արժեքով .

Այսպիսով, անաչառ գնահատականը
, որի դեպքում Կրամեր–Ռաո անհավասարությունը դառնում է հավասարություն, արդյունավետ կլինի, այսինքն՝ նման գնահատականն ունի նվազագույն շեղում։

Ակնկալիքների և շեղումների կետային գնահատումներ

Եթե ​​դիտարկվում է պատահական փոփոխական
, որը մաթեմատիկական ակնկալիք ունի և շեղում , ապա այս երկու պարամետրերն էլ համարվում են անհայտ: Հետևաբար, պատահական փոփոխականի վրա
արտադրված անկախ փորձեր, որոնք տալիս են արդյունքներ.
. Անհրաժեշտ է գտնել անհայտ պարամետրերի հետևողական և անաչառ գնահատականներ Եվ .

Ըստ գնահատականների Եվ Սովորաբար համապատասխանաբար ընտրվում են վիճակագրական (ընտրանքային) միջինը և վիճակագրական (ընտրանքային) շեղումը.

; (8.11)

. (8.12)

Մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատումը (8.11) համապատասխանում է մեծ թվերի օրենքին (Չեբիշևի թեորեմ).

.

Պատահական փոփոխականի ակնկալիք

.

Հետեւաբար, նախահաշիվը անաչառ է.

Մաթեմատիկական ակնկալիքների գնահատման դիսպերսիա.

Եթե ​​պատահական փոփոխականը
բաշխվում է ըստ նորմալ օրենքի, ապա նախահաշիվը նույնպես արդյունավետ է.

Տարբերության ակնկալիք

Միևնույն ժամանակ

.

Որովհետեւ
, Ա
, ապա մենք ստանում ենք

. (8.13)

Այսպիսով,
– կողմնակալ գնահատական, թեև այն հետևողական է և արդյունավետ:

Բանաձևից (8.13) հետևում է, որ անաչառ գնահատական ​​ստանալու համար
ընտրանքի շեղումը (8.12) պետք է փոփոխվի հետևյալ կերպ.

որը համարվում է «ավելի լավ» գնահատման համեմատ (8.12), թեև ընդհանուր առմամբ այս գնահատականները գրեթե հավասար են միմյանց:

Բաշխման պարամետրերի գնահատականների ստացման մեթոդներ

Հաճախ պրակտիկայում՝ հիմնված ֆիզիկական մեխանիզմի վերլուծության վրա, որն առաջացնում է պատահական փոփոխական
, մենք կարող ենք եզրակացություն անել այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքի մասին։ Այնուամենայնիվ, այս բաշխման պարամետրերը անհայտ են և պետք է գնահատվեն փորձարարական արդյունքներից, որոնք սովորաբար ներկայացված են վերջավոր նմուշի տեսքով:
. Այս խնդիրը լուծելու համար առավել հաճախ օգտագործվում են երկու մեթոդ՝ պահերի մեթոդը և առավելագույն հավանականության մեթոդը։

Պահերի մեթոդ. Մեթոդը բաղկացած է տեսական պահերը նույն կարգի համապատասխան էմպիրիկ մոմենտների հետ հավասարեցնելուց:

Էմպիրիկ ելակետեր -րդ կարգը որոշվում է բանաձևերով.

,

եւ համապատասխան տեսական սկզբնական պահերը -րդ կարգ - բանաձևեր.

դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար,

շարունակական պատահական փոփոխականների համար,

Որտեղ - գնահատված բաշխման պարամետր:

Երկու անհայտ պարամետր պարունակող բաշխման պարամետրերի գնահատումներ ստանալու համար Եվ , կազմվում է երկու հավասարումների համակարգ

Որտեղ Եվ – երկրորդ կարգի տեսական և էմպիրիկ կենտրոնական պահեր:

Հավասարումների համակարգի լուծումը գնահատականներն են Եվ բաշխման անհայտ պարամետրեր Եվ .

Հավասարեցնելով առաջին կարգի տեսական և էմպիրիկ սկզբնական պահերը՝ մենք ստանում ենք դա՝ գնահատելով պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.
, ունենալով կամայական բաշխում, կլինի ընտրանքի միջինը, այսինքն.
. Այնուհետև, հավասարեցնելով երկրորդ կարգի տեսական և էմպիրիկ կենտրոնական պահերը, մենք ստանում ենք, որ պատահական փոփոխականի շեղման գնահատականը.
, որն ունի կամայական բաշխում, որոշվում է բանաձևով

.

Նմանապես կարելի է գտնել ցանկացած կարգի տեսական պահերի գնահատականներ։

Պահերի մեթոդը պարզ է և չի պահանջում բարդ հաշվարկներ, սակայն այս մեթոդով ստացված գնահատականները հաճախ անարդյունավետ են:

Առավելագույն հավանականության մեթոդ. Անհայտ բաշխման պարամետրերի կետային գնահատման առավելագույն հավանականության մեթոդը հանգում է մեկ կամ մի քանի գնահատված պարամետրերի ֆունկցիայի առավելագույնը գտնելուն:

Թող
շարունակական պատահական փոփոխական է, որը արդյունքում թեստերը վերցրեցին արժեքներ
. Անհայտ պարամետրի գնահատում ստանալու համար անհրաժեշտ է գտնել նման արժեք , որի դեպքում ստացված նմուշի իրականացման հավանականությունը կլինի առավելագույնը։ Որովհետեւ
ներկայացնում են նույն հավանականության խտությամբ փոխադարձ անկախ մեծություններ
, Դա հավանականության ֆունկցիանկանչել արգումենտի ֆունկցիան :

Պարամետրի առավելագույն հավանականության գնահատմամբ այս արժեքը կոչվում է , որի դեպքում հավանականության ֆունկցիան հասնում է առավելագույնի, այսինքն՝ հավասարման լուծում է

,

որը հստակորեն կախված է թեստի արդյունքներից
.

Քանի որ գործառույթները
Եվ
հասնել առավելագույնի նույն արժեքներով
, այնուհետև հաշվարկները պարզեցնելու համար հաճախ օգտագործում են հավանականության լոգարիթմական ֆունկցիան և փնտրում են համապատասխան հավասարման արմատը։

,

որը կոչվում է հավանականության հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գնահատել մի քանի պարամետր
բաշխում
, ապա հավանականության ֆունկցիան կախված կլինի այս պարամետրերից։ Գնահատումներ գտնելու համար
բաշխման պարամետրերը անհրաժեշտ է լուծել համակարգը հավանականության հավասարումներ

.

Առավելագույն հավանականության մեթոդը ապահովում է հետևողական և ասիմպտոտիկ արդյունավետ գնահատումներ: Այնուամենայնիվ, առավելագույն հավանականության մեթոդով ստացված գնահատականները կողմնակալ են, և, ի լրումն, գնահատումներ գտնելու համար, հաճախ անհրաժեշտ է լուծել հավասարումների բավականին բարդ համակարգեր:

Ինտերվալային պարամետրերի գնահատումներ

Կետային գնահատումների ճշգրտությունը բնութագրվում է դրանց շեղումով: Այնուամենայնիվ, տեղեկություններ չկան այն մասին, թե որքանով են ստացված գնահատականները մոտ պարամետրերի իրական արժեքներին: Մի շարք առաջադրանքներում ոչ միայն անհրաժեշտ է գտնել պարամետրը հարմար թվային արժեք, այլև գնահատել դրա ճշգրտությունն ու հուսալիությունը: Դուք պետք է պարզեք, թե ինչ սխալների կարող է հանգեցնել պարամետրը փոխարինելը դրա կետային գնահատականը և վստահության ինչ աստիճանով պետք է ակնկալենք, որ այդ սխալները չեն գերազանցի հայտնի սահմանները:

Նման առաջադրանքները հատկապես արդիական են, երբ կան փոքր թվով փորձեր։ , երբ կետային գնահատականը հիմնականում պատահական և մոտավոր փոխարինում վրա կարող է հանգեցնել զգալի սխալների:

Ավելի ամբողջական և հուսալի միջոցԲաշխման պարամետրերի գնահատումը բաղկացած է ոչ թե մեկ կետային արժեքի, այլ մի միջակայքի որոշման մեջ, որը տվյալ հավանականությամբ ծածկում է գնահատված պարամետրի իրական արժեքը:

Թող ըստ արդյունքների փորձերը, ստացվել է անաչառ գնահատական
պարամետր . Անհրաժեշտ է գնահատել հնարավոր սխալը։ Ընտրված է բավական մեծ հավանականություն
(օրինակ), այնպիսին, որ այս հավանականությամբ իրադարձությունը կարելի է համարել գործնականում որոշակի իրադարձություն, և գտնվել է այդպիսի արժեք , ինչի համար

. (8.15)

Այս դեպքում սխալի գործնականում հնարավոր արժեքների շրջանակը, որը տեղի է ունենում փոխարինման ժամանակ վրա , կամք
, և մեծերը բացարձակ արժեքսխալները կհայտնվեն միայն ցածր հավանականությամբ .

Արտահայտությունը (8.15) նշանակում է, որ հավանականությամբ
պարամետրի անհայտ արժեք ընկնում է միջակայքի մեջ

. (8.16)

Հավանականություն
կանչեց վստահության հավանականությունը, և միջակայքը , ծածկելով հավանականությամբ կոչվում է պարամետրի իրական արժեքը վստահության միջակայք. Նկատի ունեցեք, որ սխալ է ասել, որ պարամետրի արժեքը գտնվում է հավանականության հետ վստահության միջակայքում . Օգտագործված ձևակերպումը (ընդգրկում է) նշանակում է, որ չնայած գնահատվող պարամետրը անհայտ է, այն ունի հաստատուն արժեք և, հետևաբար, չունի տարածում, քանի որ այն պատահական փոփոխական չէ:

Ակնկալիքը պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումն է

Մաթեմատիկական ակնկալիք, սահմանում, դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիք, նմուշ, պայմանական ակնկալիք, հաշվարկ, հատկություններ, խնդիրներ, ակնկալիքի գնահատում, դիսպերսիա, բաշխման ֆունկցիա, բանաձևեր, հաշվարկման օրինակներ

Ընդլայնել բովանդակությունը

Ծալել բովանդակությունը

Մաթեմատիկական ակնկալիքը սահմանումն է

Մաթեմատիկական վիճակագրության և հավանականության տեսության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը, որը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների կամ հավանականությունների բաշխումը: Սովորաբար արտահայտվում է որպես պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր պարամետրերի կշռված միջին: Լայնորեն կիրառվում է տեխնիկական վերլուծության, թվերի շարքերի ուսումնասիրության և շարունակական և ժամանակատար գործընթացների ուսումնասիրության մեջ։ Այն ունի կարևորռիսկերը գնահատելիս, գների ցուցանիշները կանխատեսելիս ֆինանսական շուկաներում առևտուր անելիս այն օգտագործվում է մոլախաղերի տեսության մեջ խաղային մարտավարության ռազմավարությունների և մեթոդների մշակման մեջ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էպատահական փոփոխականի միջին արժեքը, պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը դիտարկվում է հավանականության տեսության մեջ:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էհավանականությունների տեսության մեջ պատահական փոփոխականի միջին արժեքի չափում։ Պատահական փոփոխականի ակնկալիք xնշվում է M(x).

Մաթեմատիկական ակնկալիքն է

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էհավանականությունների տեսության մեջ՝ բոլոր հնարավոր արժեքների կշռված միջինը, որը կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էպատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների գումարը և այդ արժեքների հավանականությունները:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էորոշակի որոշումից ստացված միջին օգուտը, պայմանով, որ նման որոշումը կարող է դիտարկվել մեծ թվերի և հեռավոր հեռավորությունների տեսության շրջանակներում:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էմոլախաղերի տեսության մեջ՝ յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար խաղացողի շահումների չափը, որը միջինը կարող է վաստակել կամ կորցնել: Դրամախաղի լեզվով սա երբեմն կոչվում է «խաղացողի եզր» (եթե դա դրական է խաղացողի համար) կամ «տան եզր» (եթե դա բացասական է խաղացողի համար):

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էշահույթի մեկ շահույթի տոկոսը բազմապատկած միջին շահույթով, հանած կորստի հավանականությունը բազմապատկած միջին կորստի վրա:

Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը մաթեմատիկական տեսություն

Պատահական փոփոխականի կարևոր թվային բնութագրերից մեկը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքն է: Ներկայացնենք պատահական փոփոխականների համակարգի հայեցակարգը: Դիտարկենք պատահական փոփոխականների մի շարք, որոնք նույն պատահական փորձի արդյունքներն են։ Եթե ​​համակարգի հնարավոր արժեքներից մեկն է, ապա իրադարձությունը համապատասխանում է որոշակի հավանականությանը, որը բավարարում է Կոլմոգորովի աքսիոմները: Պատահական փոփոխականների ցանկացած հնարավոր արժեքների համար սահմանված ֆունկցիան կոչվում է համատեղ բաշխման օրենք: Այս ֆունկցիան թույլ է տալիս հաշվարկել ցանկացած իրադարձության հավանականությունը: Մասնավորապես, պատահական փոփոխականների համատեղ բաշխման օրենքը և, որոնք արժեքներ են վերցնում բազմությունից և տրված են հավանականություններով:

«Մաթեմատիկական ակնկալիք» տերմինը ներկայացվել է Պիեռ Սիմոն Մարկիզ դե Լապլասի կողմից (1795) և բխում է «շահումների ակնկալվող արժեքի» հայեցակարգից, որն առաջին անգամ հայտնվեց 17-րդ դարում մոլախաղերի տեսության մեջ Բլեզ Պասկալի և Քրիստիանի աշխատություններում։ Հյուգենս. Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգի առաջին ամբողջական տեսական ըմբռնումն ու գնահատականը տվել է Պաֆնուտի Լվովիչ Չեբիշևը (19-րդ դարի կեսեր):

Պատահական թվային փոփոխականների բաշխման օրենքը (բաշխման ֆունկցիա և բաշխման շարք կամ հավանականության խտություն) ամբողջությամբ նկարագրում է պատահական փոփոխականի վարքը։ Բայց մի շարք խնդիրների դեպքում բավական է իմանալ ուսումնասիրվող մեծության որոշ թվային բնութագրեր (օրինակ՝ դրա միջին արժեքը և հնարավոր շեղումնրանից) առաջադրված հարցին պատասխանելու համար։ Պատահական փոփոխականների հիմնական թվային բնութագրերն են մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը, եղանակը և մեդիանը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը դրա հնարավոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների գումարն է: Երբեմն մաթեմատիկական ակնկալիքը կոչվում է միջին կշռված, քանի որ այն մոտավորապես հավասար է մեծ թվով փորձերի ընթացքում պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների թվաբանական միջինին: Մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումից հետևում է, որ դրա արժեքը ոչ պակաս է պատահական փոփոխականի հնարավոր ամենափոքր արժեքից և ոչ ավելի, քան ամենամեծը: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը ոչ պատահական (հաստատուն) փոփոխական է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքն ունի պարզ ֆիզիկական իմաստԵթե ​​միավոր զանգվածը տեղադրում եք ուղիղ գծի վրա՝ որոշ կետերում որոշ զանգված տեղադրելով (համար դիսկրետ բաշխում), կամ «քսելով» այն որոշակի խտությամբ (բացարձակ շարունակական բաշխման համար), ապա մաթեմատիկական ակնկալիքին համապատասխան կետը կլինի գծի «ծանրության կենտրոնի» կոորդինատը։

Պատահական փոփոխականի միջին արժեքը որոշակի թիվ է, որը, ասես, նրա «ներկայացուցիչն» է և փոխարինում է այն մոտավորապես մոտավոր հաշվարկներով: Երբ ասում ենք. «լամպի գործարկման միջին ժամանակը 100 ժամ է» կամ «հարվածի միջին կետը թիրախի համեմատ 2 մ-ով տեղափոխվում է աջ», մենք նշում ենք պատահական փոփոխականի որոշակի թվային բնութագիր, որը նկարագրում է դրա գտնվելու վայրը։ թվային առանցքի վրա, այսինքն. «դիրքի բնութագրերը».

Հավանականությունների տեսության դիրքի բնութագրերից կենսական դերխաղում է պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որը երբեմն կոչվում է պարզապես պատահական փոփոխականի միջին արժեք:

Դիտարկենք պատահական փոփոխականը X, ունենալով հնարավոր արժեքներ x1, x2, ..., xnհավանականությունների հետ p1, p2, ..., pn. Մենք պետք է որոշ թվով բնութագրենք պատահական փոփոխականի արժեքների դիրքը x առանցքի վրա՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ այդ արժեքներն ունեն տարբեր հավանականություններ։ Այդ նպատակով բնական է օգտագործել արժեքների այսպես կոչված «միջին կշռվածը»: xi, և միջինացման ժամանակ յուրաքանչյուր xi արժեք պետք է հաշվի առնվի այս արժեքի հավանականությանը համամասնական «կշիռով»: Այսպիսով, մենք հաշվարկելու ենք պատահական փոփոխականի միջինը X, որը մենք նշում ենք M |X|:

Այս կշռված միջինը կոչվում է պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք: Այսպիսով, մենք քննարկեցինք հավանականությունների տեսության կարևորագույն հասկացություններից մեկը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք հասկացությունը։ Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այդ արժեքների հավանականությունների գումարն է:

Թող արտադրվի Նանկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում արժեքը Xորոշակի արժեք է ստանում. Ենթադրենք, որ արժեքը x1հայտնվել է մ1անգամ, արժեք x2հայտնվել է մ2ժամանակներ, ընդհանուր իմաստ xiհայտնվել է մի անգամ: Եկեք հաշվարկենք X արժեքի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը, որը, ի տարբերություն մաթեմատիկական ակնկալիքի. M|X|մենք նշում ենք M*|X|:

Փորձերի քանակի աճով Նհաճախականություններ պիկմոտենա (հավանականությամբ կմոտենա) համապատասխան հավանականություններին։ Հետևաբար, պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը M|X|փորձերի քանակի ավելացմամբ այն կմոտենա (հավանականությամբ կմոտենա) իր մաթեմատիկական ակնկալիքին: Վերևում ձևակերպված թվաբանական միջինի և մաթեմատիկական ակնկալիքի միջև կապը կազմում է մեծ թվերի օրենքի ձևերից մեկի բովանդակությունը։

Մենք արդեն գիտենք, որ մեծ թվերի օրենքի բոլոր ձևերը նշում են այն փաստը, որ որոշ միջին ցուցանիշներ կայուն են մեծ թվով փորձերի ժամանակ: Այստեղ խոսքը նույն քանակի մի շարք դիտարկումների թվաբանական միջինի կայունության մասին է։ Փոքր քանակությամբ փորձերի դեպքում դրանց արդյունքների միջին թվաբանականը պատահական է. Փորձերի քանակի բավարար աճով այն դառնում է «գրեթե ոչ պատահական» և կայունանալով մոտենում է հաստատուն արժեքի՝ մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Միջինների կայունությունը մեծ թվով փորձերի ընթացքում կարելի է հեշտությամբ ստուգել փորձարարական եղանակով: Օրինակ՝ լաբորատորիայում մարմինը ճշգրիտ կշեռքներով կշռելիս, կշռման արդյունքում ամեն անգամ նոր արժեք ենք ստանում. Դիտարկման սխալը նվազեցնելու համար մարմինը մի քանի անգամ կշռում ենք և օգտագործում ստացված արժեքների միջին թվաբանականը։ Հեշտ է տեսնել, որ փորձերի (կշռման) քանակի հետագա աճի դեպքում միջին թվաբանականն ավելի ու ավելի քիչ է արձագանքում այդ աճին և բավականաչափ մեծ քանակությամբ փորձերի դեպքում գործնականում դադարում է փոխվել:

Հարկ է նշել, որ ամենակարևոր հատկանիշըՊատահական փոփոխականի դիրքը` մաթեմատիկական ակնկալիքը, գոյություն չունի բոլոր պատահական փոփոխականների համար: Հնարավոր է կազմել այնպիսի պատահական փոփոխականների օրինակներ, որոնց համար մաթեմատիկական ակնկալիք չկա, քանի որ համապատասխան գումարը կամ ինտեգրալը տարբերվում է: Սակայն նման դեպքերը պրակտիկայի համար էական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում։ Սովորաբար, պատահական փոփոխականները, որոնց հետ գործ ունենք, ունեն հնարավոր արժեքների սահմանափակ շրջանակ և, իհարկե, ունեն մաթեմատիկական ակնկալիք:

Ի լրումն պատահական փոփոխականի դիրքի ամենակարևոր բնութագրիչներին` մաթեմատիկական ակնկալիքին, գործնականում երբեմն օգտագործվում են դիրքի այլ բնութագրիչներ, մասնավորապես` պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մեդիանը:

Պատահական փոփոխականի ռեժիմը նրա ամենահավանական արժեքն է: «Ամենահավանական արժեք» տերմինը, խստորեն ասած, վերաբերում է միայն ընդհատվող քանակություններին. Համար շարունակական արժեքՌեժիմը այն արժեքն է, որի դեպքում հավանականության խտությունը առավելագույնն է: Նկարները ցույց են տալիս համապատասխանաբար անդադար և շարունակական պատահական փոփոխականների ռեժիմը:

Եթե ​​բաշխման բազմանկյունը (բաշխման կորը) ունի մեկից ավելի առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է «բազմամոդալ»:

Երբեմն լինում են բաշխումներ, որոնք միջինում ունեն նվազագույնը, քան առավելագույնը: Նման բաշխումները կոչվում են «հակամոդալ»:

Ընդհանուր դեպքում պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մաթեմատիկական ակնկալիքը չեն համընկնում։ Կոնկրետ դեպքում, երբ բաշխումը սիմետրիկ է և մոդալ (այսինքն՝ ունի ռեժիմ) և կա մաթեմատիկական ակնկալիք, ապա այն համընկնում է բաշխման համաչափության ռեժիմի և կենտրոնի հետ։

Հաճախ օգտագործվում է դիրքի մեկ այլ բնութագիր՝ պատահական փոփոխականի այսպես կոչված մեդիան: Այս բնութագիրը սովորաբար օգտագործվում է միայն շարունակական պատահական փոփոխականների համար, թեև այն կարող է պաշտոնապես սահմանվել ընդհատվող փոփոխականի համար։ Երկրաչափորեն, մեդիանն այն կետի աբսցիսա է, որտեղ բաշխման կորով պարփակված տարածքը կիսով չափ բաժանվում է:

Սիմետրիկ մոդալ բաշխման դեպքում մեդիանը համընկնում է մաթեմատիկական ակնկալիքի և ռեժիմի հետ։

Մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի միջին արժեքն է՝ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման թվային բնութագիրը: Ամենաընդհանուր ձևով` պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը X(w)սահմանվում է որպես Լեբեգի ինտեգրալ՝ հավանականության չափման նկատմամբ Ռսկզբնական հավանականության տարածքում.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է նաև հաշվարկվել որպես Լեբեգի ինտեգրալ Xհավանականությունների բաշխմամբ pxքանակները X:

Անսահման մաթեմատիկական ակնկալիքով պատահական փոփոխականի հայեցակարգը կարելի է սահմանել բնական ճանապարհով: Տիպիկ օրինակծառայում են որպես վերադարձի ժամանակներ որոշ պատահական զբոսանքների ժամանակ:

մաթեմատիկական ակնկալիքի օգնությամբ բազմաթիվ թվային և ֆունկցիոնալ բնութագրերըբաշխումներ (որպես պատահական փոփոխականից համապատասխան ֆունկցիաների մաթեմատիկական ակնկալիք), օրինակ՝ գեներացնող ֆունկցիա, բնորոշ ֆունկցիա, ցանկացած կարգի պահեր, մասնավորապես դիսպերսիա, կովարիանս։

Մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի արժեքների գտնվելու վայրի բնութագիրն է (դրա բաշխման միջին արժեքը): Այս հզորությամբ մաթեմատիկական ակնկալիքը ծառայում է որպես բաշխման ինչ-որ «տիպիկ» պարամետր, և դրա դերը նման է ստատիկ պահի դերին՝ զանգվածի բաշխման ծանրության կենտրոնի կոորդինատին, մեխանիկայում: Տեղանքի այլ բնութագրերից, որոնց օգնությամբ բաշխումը նկարագրվում է ընդհանուր տերմիններով՝ մեդիանները, եղանակները, մաթեմատիկական ակնկալիքը տարբերվում է ավելի մեծ արժեքով, որ ունի այն և համապատասխան ցրման բնութագիրը՝ ցրումը, հավանականությունների տեսության սահմանային թեորեմներում։ Մաթեմատիկական ակնկալիքի իմաստը առավելապես բացահայտվում է մեծ թվերի օրենքով (Չեբիշևի անհավասարություն) և մեծ թվերի ուժեղացված օրենքով։

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Թող լինի ինչ-որ պատահական փոփոխական, որը կարող է վերցնել մի քանի թվային արժեքներից մեկը (օրինակ, զառ նետելիս միավորների թիվը կարող է լինել 1, 2, 3, 4, 5 կամ 6): Հաճախ գործնականում նման արժեքի համար հարց է առաջանում՝ ի՞նչ արժեք է այն վերցնում «միջինում» մեծ քանակությամբ թեստերի դեպքում: Որքա՞ն կլինի մեր միջին եկամուտը (կամ կորուստը) ռիսկային գործարքներից յուրաքանչյուրից:

Ասենք մի տեսակ վիճակախաղ կա։ Ուզում ենք հասկանալ՝ ձեռնտու է, թե ոչ դրան մասնակցելը (կամ նույնիսկ բազմիցս, պարբերաբար մասնակցելը)։ Ասենք, որ յուրաքանչյուր չորրորդ տոմսը հաղթող է, մրցանակը կկազմի 300 ռուբլի, իսկ ցանկացած տոմսի արժեքը՝ 100 ռուբլի։ Անսահման մեծ թվով մասնակցության դեպքում այսպես է լինում. Դեպքերի երեք քառորդում մենք կկորցնենք, յուրաքանչյուր երեք կորուստը կարժենա 300 ռուբլի: Ամեն չորրորդ դեպքում մենք կշահենք 200 ռուբլի։ (մրցանակ՝ մինուս ծախս), այսինքն՝ չորս մասնակցության համար մենք կորցնում ենք միջինը 100 ռուբլի, մեկի համար՝ միջինը 25 ռուբլի։ Ընդհանուր առմամբ, մեր կործանման միջին դրույքաչափը կկազմի 25 ռուբլի մեկ տոմսի համար:

Մենք նետում ենք զառախաղ. Եթե ​​դա խաբեություն չէ (առանց ծանրության կենտրոնը տեղափոխելու և այլն), ապա միջինում քանի՞ միավոր կունենանք միանգամից։ Քանի որ յուրաքանչյուր տարբերակ հավասարապես հավանական է, մենք պարզապես վերցնում ենք միջին թվաբանականը և ստանում 3.5: Քանի որ սա ՄԻՋԻՆ է, պետք չէ վրդովվել, որ ոչ մի կոնկրետ գլան 3,5 միավոր չի տա, լավ, այս խորանարդը նման թվով դեմք չունի։

Այժմ ամփոփենք մեր օրինակները.

Եկեք նայենք հենց նոր տրված նկարին։ Ձախ կողմում պատկերված է պատահական փոփոխականի բաշխման աղյուսակը: X արժեքը կարող է վերցնել n հնարավոր արժեքներից մեկը (ցուցադրված է վերևի տողում): Այլ իմաստներ լինել չեն կարող։ Յուրաքանչյուրի տակ հնարավոր իմաստըդրա հավանականությունը գրված է ստորև։ Աջ կողմում բանաձևն է, որտեղ M(X) կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք: Այս արժեքի իմաստն այն է, որ մեծ թվով թեստերի դեպքում (մեծ նմուշով) միջին արժեքը կձգտի նույն մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Եկեք նորից վերադառնանք նույն խաղային խորանարդին: Նետելու ժամանակ միավորների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը 3,5 է (հաշվեք այն ինքներդ բանաձևով, եթե չեք հավատում ինձ): Ասենք մի երկու անգամ գցեցիր։ Արդյունքները եղել են 4 և 6։ Միջինը՝ 5, որը հեռու է 3,5-ից։ Մի անգամ էլ գցեցին, ստացան 3, այսինքն միջինում (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Մաթեմատիկական սպասումից ինչ-որ տեղ հեռու։ Այժմ կատարեք խելահեղ փորձ՝ գլորեք խորանարդը 1000 անգամ: Եվ եթե նույնիսկ միջինը ճիշտ 3,5 չլինի, ապա մոտ կլինի դրան։

Եկեք հաշվարկենք վերը նկարագրված վիճակախաղի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Ափսեը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այնուհետև մաթեմատիկական ակնկալիքը կլինի, ինչպես վերը հաստատեցինք.

Այլ բան է, որ դա անելը «մատների վրա», առանց բանաձեւի, դժվար կլիներ, եթե ավելի շատ տարբերակներ լինեին։ Դե, ենթադրենք, կլինեն 75% կորցրած տոմսեր, 20% շահած տոմսեր և 5% հատկապես շահած տոմսեր:

Այժմ մաթեմատիկական ակնկալիքի որոշ հատկություններ:

Հեշտ է ապացուցել.

Մշտական ​​գործոնը կարելի է հանել որպես մաթեմատիկական ակնկալիքի նշան, այսինքն.

Սա մաթեմատիկական ակնկալիքի գծայինության հատկության հատուկ դեպք է։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի գծայինության մեկ այլ հետևանք.

այսինքն՝ պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։

Թող X, Y լինեն անկախ պատահական փոփոխականներ, Ապա:

Սա նույնպես հեշտ է ապացուցել) Աշխատեք XYինքնին պատահական փոփոխական է, և եթե սկզբնական արժեքները կարող են վերցնել nԵվ մարժեքները համապատասխանաբար, ուրեմն XYկարող է վերցնել nm արժեքներ: Յուրաքանչյուր արժեքի հավանականությունը հաշվարկվում է այն փաստի հիման վրա, որ անկախ իրադարձությունների հավանականությունը բազմապատկվում է: Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալը.

Շարունակական պատահական փոփոխականի ակնկալիք

Շարունակական պատահական փոփոխականներն ունեն այնպիսի հատկանիշ, ինչպիսին է բաշխման խտությունը (հավանականության խտությունը): Այն, ըստ էության, բնութագրում է այն իրավիճակը, որ պատահական փոփոխականը որոշ արժեքներ վերցնում է իրական թվերի շարքից ավելի հաճախ, իսկ որոշները՝ ավելի հաճախ: Օրինակ, հաշվի առեք այս գրաֆիկը.

Այստեղ X- փաստացի պատահական փոփոխական, f(x)- բաշխման խտությունը. Դատելով այս գրաֆիկից՝ փորձերի ժամանակ արժեքը Xհաճախ կլինի զրոյին մոտ թիվ: Շանսերը գերազանցված են 3 կամ լինել ավելի փոքր -3 ավելի շուտ զուտ տեսական:

Թող, օրինակ, լինի միատեսակ բաշխում.

Սա բավականին համահունչ է ինտուիտիվ ըմբռնմանը: Ասենք, եթե հասնենք միասնական բաշխումշատ պատահական իրական թվեր՝ յուրաքանչյուրը մի հատվածից |0; 1| , ապա միջին թվաբանականը պետք է լինի մոտ 0,5։

Այստեղ կիրառելի են նաև մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները՝ գծայինություն և այլն, որոնք կիրառելի են դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի և այլ վիճակագրական ցուցանիշների միջև կապը

Վիճակագրական վերլուծության մեջ մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ մեկտեղ գոյություն ունի փոխկապակցված ցուցիչների համակարգ, որն արտացոլում է երևույթների միատարրությունը և գործընթացների կայունությունը։ Վարիացիոն ցուցիչները հաճախ անկախ նշանակություն չունեն և օգտագործվում են տվյալների հետագա վերլուծության համար: Բացառություն է տատանումների գործակիցը, որը բնութագրում է տվյալների միատարրությունը, որը արժեքավոր վիճակագրական բնութագիր է։

Վիճակագրական գիտության մեջ գործընթացների փոփոխականության կամ կայունության աստիճանը կարելի է չափել մի քանի ցուցանիշների միջոցով։

Մեծ մասը կարևոր ցուցանիշ, որը բնութագրում է պատահական փոփոխականի փոփոխականությունը Ցրվածություն, որն առավել սերտ և անմիջականորեն կապված է մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ։ Այս պարամետրը ակտիվորեն օգտագործվում է վիճակագրական վերլուծության այլ տեսակների մեջ (հիպոթեզի փորձարկում, պատճառահետևանքային կապերի վերլուծություն և այլն): Ինչպես միջին գծային շեղումը, շեղումը նույնպես արտացոլում է տվյալների տարածման չափը միջին արժեքի շուրջ:

Օգտակար է նշանների լեզուն բառերի լեզվով թարգմանել: Ստացվում է, որ դիսպերսիան շեղումների միջին քառակուսին է։ Այսինքն՝ սկզբում հաշվարկվում է միջին արժեքը, այնուհետև վերցվում է յուրաքանչյուր սկզբնական և միջին արժեքի տարբերությունը, քառակուսի, ավելացված, այնուհետև բաժանվում է բնակչության արժեքների քանակի վրա: Անհատական ​​արժեքի և միջինի տարբերությունը արտացոլում է շեղման չափը: Այն քառակուսվում է այնպես, որ բոլոր շեղումները դառնան բացառապես դրական թվեր և դրանք ամփոփելիս խուսափեն դրական և բացասական շեղումների փոխադարձ ոչնչացումից: Այնուհետև, հաշվի առնելով քառակուսի շեղումները, մենք պարզապես հաշվարկում ենք միջին թվաբանականը: Միջին - քառակուսի - շեղումներ: Շեղումները քառակուսի են, և միջինը հաշվարկվում է: «Ցրվածություն» կախարդական բառի պատասխանն ընդամենը երեք բառի մեջ է:

Այնուամենայնիվ, մեջ մաքուր ձև, օրինակ՝ միջին թվաբանականը կամ ինդեքսը, շեղումը չի օգտագործվում։ Այն ավելի շուտ օժանդակ և միջանկյալ ցուցանիշ է, որն օգտագործվում է վիճակագրական վերլուծության այլ տեսակների համար: Նույնիսկ նորմալ չափման միավոր չունի։ Դատելով բանաձևից՝ սա սկզբնական տվյալների չափման միավորի քառակուսին է։

Եկեք չափենք պատահական փոփոխական Նանգամ, օրինակ, քամու արագությունը չափում ենք տասն անգամ և ուզում ենք գտնել միջին արժեքը։ Ինչպե՞ս է միջին արժեքը կապված բաշխման ֆունկցիայի հետ:

Կամ մենք զառերը շատ անգամ ենք գցելու։ Միավորների թիվը, որոնք կհայտնվեն զառերի վրա յուրաքանչյուր նետումով, պատահական փոփոխական է և կարող է վերցնել ցանկացած բնական արժեք՝ 1-ից մինչև 6: Բոլոր զառ նետումների համար հաշվարկված բաց թողնված միավորների միջին թվաբանականը նույնպես պատահական փոփոխական է, բայց մեծերի դեպքում: Նայն հակված է շատ կոնկրետ թվի՝ մաթեմատիկական ակնկալիքի Mx. IN այս դեպքում Mx = 3,5:

Ինչպե՞ս ստացաք այս արժեքը: Ներս թողնել Նթեստեր n1 1 միավորը գլորվում է մեկ անգամ n2մեկ անգամ՝ 2 միավոր և այլն։ Այնուհետև արդյունքների քանակը, որոնցում մեկ միավոր ընկավ.

Նմանապես այն արդյունքների դեպքում, երբ գլորվում են 2, 3, 4, 5 և 6 միավորները:

Եկեք հիմա ենթադրենք, որ մենք գիտենք x պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, այսինքն՝ մենք գիտենք, որ պատահական x փոփոխականը կարող է ընդունել x1, x2, ..., xk արժեքներ p1, p2, ..., հավանականություններով: pk.

X պատահական փոփոխականի Mx մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը միշտ չէ, որ ինչ-որ պատահական փոփոխականի ողջամիտ գնահատական ​​է: Այսպիսով, միջինը գնահատելու համար աշխատավարձերԱվելի խելամիտ է օգտագործել մեդիան հասկացությունը, այսինքն՝ այնպիսի արժեք, որ միջինից ցածր և ավելի մեծ աշխատավարձ ստացողների թիվը համընկնի։

p1 հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականը x1/2-ից փոքր կլինի, իսկ p2 հավանականությունը, որ x պատահական փոփոխականը x1/2-ից մեծ կլինի, նույնն են և հավասար են 1/2-ի: Միջին չափը եզակիորեն որոշված ​​չէ բոլոր բաշխումների համար:

Ստանդարտ կամ ստանդարտ շեղումվիճակագրության մեջ կոչվում է դիտողական տվյալների կամ բազմությունների շեղման աստիճանը միջին արժեքից: Նշվում է s կամ s տառերով: Փոքր ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, որ տվյալների կլաստերները միջինի շուրջ են, մինչդեռ մեծ ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս, որ սկզբնական տվյալները գտնվում են դրանից հեռու: Ստանդարտ շեղումհավասար է քառակուսի արմատքանակություն, որը կոչվում է դիսպերսիա: Դա սկզբնական տվյալների քառակուսի տարբերությունների գումարի միջինն է, որը շեղվում է միջին արժեքից։ Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը տատանումների քառակուսի արմատն է.

Օրինակ. Փորձարկման պայմաններում թիրախի վրա կրակելիս հաշվարկեք պատահական փոփոխականի ցրվածությունը և ստանդարտ շեղումը.

Վարիացիա- տատանում, հատկանիշի արժեքի փոփոխականություն բնակչության միավորների միջև. Առանձին թվային արժեքներՈւսումնասիրվող պոպուլյացիայի մեջ հայտնաբերված բնութագրերը կոչվում են իմաստի տարբերակներ: Անբավարար միջին արժեքը համար ամբողջական բնութագրերըբնակչությունը ստիպում է մեզ լրացնել միջին արժեքները ցուցիչներով, որոնք թույլ են տալիս գնահատել այդ միջինների բնորոշությունը՝ չափելով ուսումնասիրվող բնութագրի փոփոխականությունը (տարբերակումը): Տատանումների գործակիցը հաշվարկվում է բանաձևով.

Տատանումների շրջանակը(R) ներկայացնում է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի մեջ հատկանիշի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունը: Այս ցուցանիշը տալիս է առավելագույնը ընդհանուր գաղափարուսումնասիրված բնութագրի փոփոխականության մասին, քանի որ այն ցույց է տալիս տարբերությունը միայն տարբերակների սահմանափակող արժեքների միջև: Բնութագրի ծայրահեղ արժեքներից կախվածությունը տատանումների շրջանակին տալիս է անկայուն, պատահական բնույթ:

Միջին գծային շեղումներկայացնում է վերլուծված բնակչության բոլոր արժեքների բացարձակ (մոդուլային) շեղումների թվաբանական միջինը դրանց միջին արժեքից.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը մոլախաղերի տեսության մեջ

Մաթեմատիկական ակնկալիքն էՄիջին գումարը, որը խաղամոլը կարող է հաղթել կամ պարտվել տվյալ խաղադրույքում: Սա շատ կարևոր հայեցակարգ է խաղացողի համար, քանի որ այն հիմնարար է խաղային իրավիճակների մեծ մասի գնահատման համար: Մաթեմատիկական ակնկալիքը նաև օպտիմալ գործիք է հիմնական քարտերի դասավորությունը և խաղային իրավիճակները վերլուծելու համար:

Ենթադրենք, դուք խաղում եք մետաղադրամով խաղ ընկերոջ հետ՝ յուրաքանչյուր անգամ հավասարապես 1 դոլարի խաղադրույք կատարելով, անկախ նրանից, թե ինչ է առաջանում: Պոչը նշանակում է, որ դուք հաղթում եք, գլուխները նշանակում են, որ դուք պարտվում եք: Հնարավորությունները մեկ առ մեկ են, որ այն կբարձրանա, այնպես որ դուք խաղադրույք եք կատարում $1-ից $1-ի վրա: Այսպիսով, ձեր մաթեմատիկական ակնկալիքը զրո է, քանի որ Մաթեմատիկական տեսանկյունից չես կարող իմանալ՝ երկու նետումից հետո կառաջնորդե՞ս, թե՞ կպարտվես, թե՞ 200-ից հետո։

Ձեր ժամային շահույթը զրո է: Ժամային շահումները այն գումարն է, որը դուք ակնկալում եք շահել մեկ ժամում: Մեկ ժամում կարելի է մետաղադրամ նետել 500 անգամ, բայց չես շահի կամ չես պարտվի, քանի որ... ձեր շանսերը ոչ դրական են, ոչ բացասական: Եթե ​​նայեք, լուրջ խաղացողի տեսանկյունից խաղադրույքների այս համակարգը վատը չէ։ Բայց սա պարզապես ժամանակի վատնում է։

Բայց ենթադրենք, որ ինչ-որ մեկը ցանկանում է նույն խաղի վրա խաղադրույք կատարել $2-ի դեմ ձեր $1-ի դեմ: Այնուհետև դուք անմիջապես յուրաքանչյուր խաղադրույքից 50 ցենտի դրական ակնկալիք ունեք: Ինչու՞ 50 ցենտ: Միջին հաշվով դուք շահում եք մեկ խաղադրույքը, իսկ երկրորդը կորցնում եք: Խաղադրույք կատարեք առաջին դոլարի վրա և կկորցնեք $1, խաղադրույք կատարեք երկրորդի վրա և կշահեք $2: Դուք երկու անգամ խաղադրույք եք կատարում $1-ով և առաջ եք $1-ով: Այսպիսով, ձեր մեկ դոլարի յուրաքանչյուր խաղադրույքը ձեզ տալիս էր 50 ցենտ:

Եթե ​​մեկ ժամում մետաղադրամը հայտնվի 500 անգամ, ապա ձեր ժամային շահույթն արդեն կկազմի $250, քանի որ... Միջին հաշվով մեկ դոլար ես կորցրել 250 անգամ և երկու դոլար շահել 250 անգամ։ $500 հանած $250-ը հավասար է $250-ի, որը ընդհանուր շահումն է: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ակնկալվող արժեքը, որը յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար շահած միջին գումարն է, 50 ցենտ է: Դուք շահել եք $250՝ 500 անգամ խաղադրույք կատարելով դոլարի վրա, որը հավասար է 50 ցենտի մեկ խաղադրույքի համար:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը ոչ մի կապ չունի կարճաժամկետ արդյունքների հետ։ Ձեր հակառակորդը, ով որոշել է ձեր դեմ $2 խաղադրույք կատարել, կարող է հաղթել ձեզ անընդմեջ առաջին տասը խաղադրույքներում, բայց դուք, ունենալով 2-ից 1 խաղադրույքի առավելություն, մնացած բոլորը հավասար լինեն, կվաստակեք 50 ցենտ յուրաքանչյուր $1 խաղադրույքի համար ցանկացածում։ հանգամանքներ։ Կարևոր չէ, որ դուք կհաղթեք կամ կկորցնեք մեկ խաղադրույք, թե մի քանի խաղադրույք, քանի դեռ ունեք բավականաչափ կանխիկ գումար ծախսերը հարմարավետորեն ծածկելու համար: Եթե ​​դուք շարունակեք նույն կերպ խաղադրույք կատարել, ապա համար երկար ժամանակաշրջանԺամանակի ընթացքում ձեր շահումները կմոտենան առանձին գլանափաթեթների ակնկալվող արժեքների գումարին:

Ամեն անգամ, երբ դուք կատարում եք լավագույն խաղադրույքը (խաղադրույք, որը կարող է շահավետ լինել երկարաժամկետ հեռանկարում), երբ հավանականությունը ձեր օգտին է, դուք անպայման ինչ-որ բան կշահեք դրա վրա, անկախ նրանից՝ կկորցնեք այն, թե ոչ: տրված ձեռքը. Ընդհակառակը, եթե դուք անթերի խաղադրույք եք կատարում (խաղադրույք, որը անշահավետ է երկարաժամկետ հեռանկարում), երբ հավանականությունը ձեր դեմ է, դուք ինչ-որ բան կորցնում եք՝ անկախ նրանից՝ հաղթում եք, թե կորցնում ձեռքը:

Դուք խաղադրույք եք կատարում լավագույն արդյունքով, եթե ձեր ակնկալիքները դրական են, և դա դրական է, եթե հավանականությունը ձեր կողմից է: Երբ դուք խաղադրույք եք կատարում վատագույն արդյունքով, դուք ունենում եք բացասական ակնկալիքներ, ինչը տեղի է ունենում, երբ հավանականությունը ձեր դեմ է: Լուրջ խաղացողները խաղադրույք են կատարում միայն լավագույն արդյունքի վրա, եթե վատթարագույնը պատահի, նրանք ծալում են: Ի՞նչ է նշանակում հավանականությունը ձեր օգտին: Դուք կարող եք հաղթել ավելին, քան իրական հավանականությունը բերում է: Վայրէջքի գլուխների իրական հավանականությունը 1-ից 1-ն է, բայց դուք ստանում եք 2-ից 1 հավանականության հարաբերակցության շնորհիվ: Այս դեպքում հավանականությունը ձեր օգտին է: Դուք, անկասկած, ստանում եք լավագույն արդյունքը մեկ խաղադրույքի համար 50 ցենտի դրական ակնկալիքով:

Ահա մաթեմատիկական ակնկալիքի ավելի բարդ օրինակ: Ընկերը գրում է մեկից հինգ թվերը և խաղադրույք է կատարում 5 դոլար ձեր 1 դոլարի դիմաց, որ դուք չեք գուշակի համարը: Արդյո՞ք պետք է համաձայնել նման խաղադրույքին: Ի՞նչ ակնկալիք կա այստեղ։

Միջին հաշվով չորս անգամ կսխալվեք։ Ելնելով դրանից՝ ձեր թիվը գուշակելու հավանականությունը 4-ը 1-ն է: Մեկ փորձից մեկ դոլար կորցնելու հավանականությունը: Այնուամենայնիվ, դուք հաղթում եք 5: Եթե ​​այս խաղադրույքը կատարեք հինգ անգամ, ապա միջինում չորս անգամ կկորցնեք $1 և մեկ անգամ կշահեք $5: Ելնելով դրանից՝ բոլոր հինգ փորձերի համար դուք կվաստակեք $1՝ դրական մաթեմատիկական ակնկալիքով՝ 20 ցենտ յուրաքանչյուր խաղադրույքի համար:

Խաղացողը, ով պատրաստվում է ավելի շատ շահել, քան խաղադրույք է կատարել, ինչպես վերը նշված օրինակում, ռիսկի է դիմում: Ընդհակառակը, նա փչացնում է իր շանսերը, երբ ակնկալում է ավելի քիչ հաղթել, քան խաղադրույք է կատարում: Խաղադրույք կատարողը կարող է ունենալ կա՛մ դրական, կա՛մ բացասական ակնկալիք, որը կախված է նրանից, թե նա կհաղթի, թե կփչացնի հավանականությունը:

Եթե ​​դուք խաղադրույք եք կատարում $50 շահելու $10-ը շահելու 4-ից 1 հավանականությամբ, ապա կստանաք $2 բացասական ակնկալիք, քանի որ Միջին հաշվով, դուք չորս անգամ կշահեք $10 և մեկ անգամ կկորցնեք $50, ինչը ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր խաղադրույքի կորուստը կկազմի $10։ Բայց եթե դուք խաղադրույք եք կատարում $30 շահելու համար $10, նույն գործակցով հաղթելու 4-ը 1-ով, ապա այս դեպքում դուք ունեք $2-ի դրական ակնկալիք, քանի որ. դուք կրկին շահում եք $10 չորս անգամ և կորցնում $30 մեկ անգամ՝ $10 շահույթ ստանալու համար։ Այս օրինակները ցույց են տալիս, որ առաջին խաղադրույքը վատ է, իսկ երկրորդը լավ է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը ցանկացած խաղային իրավիճակի կենտրոնն է: Երբ բուքմեյքերական գրասենյակը խրախուսում է ֆուտբոլասերներին խաղադրույք կատարել 11 դոլար՝ 10 դոլար շահելու համար, նա դրական ակնկալիք ունի՝ յուրաքանչյուր 10 դոլարից 50 ցենտ: Եթե ​​կազինոն նույնիսկ գումար է վճարում անցումային գծից, ապա կազինոյի դրական ակնկալիքը կկազմի մոտավորապես $1,40 յուրաքանչյուր $100-ի համար, քանի որ Այս խաղը կառուցված է այնպես, որ յուրաքանչյուր ոք, ով խաղադրույք է կատարում այս գծի վրա, կորցնում է միջինում 50,7%-ը և շահում ընդհանուր ժամանակի 49,3%-ը: Անկասկած, այս թվացյալ նվազագույն դրական ակնկալիքն է, որ հսկայական շահույթ է բերում կազինոների սեփականատերերին ամբողջ աշխարհում: Ինչպես նշել է Vegas World կազինո սեփականատեր Բոբ Ստուպակը, «հազարերորդական տոկոսի բացասական հավանականությունը բավական երկար հեռավորության վրա կփչանա ամենահարուստ մարդըաշխարհում".

Ակնկալիք Պոկեր խաղալիս

Պոկերի խաղը մաթեմատիկական ակնկալիքի տեսության և հատկությունների կիրառման տեսանկյունից ամենապատկերավոր և պատկերավոր օրինակն է։

Պոկերում ակնկալվող արժեքը որոշակի որոշումից ստացված միջին օգուտն է, պայմանով, որ նման որոշումը կարող է դիտարկվել մեծ թվերի և հեռավոր հեռավորությունների տեսության շրջանակներում: Հաջող պոկեր խաղը միշտ դրական ակնկալվող արժեքով քայլեր ընդունելն է:

Պոկեր խաղալիս մաթեմատիկական ակնկալիքի մաթեմատիկական իմաստը կայանում է նրանում, որ որոշումներ կայացնելիս մենք հաճախ հանդիպում ենք պատահական փոփոխականների (մենք չգիտենք, թե ինչ քարտեր ունի հակառակորդը իր ձեռքում, ինչ քարտեր կգան խաղադրույքների հաջորդ փուլերում): Լուծումներից յուրաքանչյուրը պետք է դիտարկենք մեծ թվերի տեսության տեսանկյունից, որն ասում է, որ բավականաչափ մեծ նմուշի դեպքում պատահական փոփոխականի միջին արժեքը կձգտի իր մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկման հատուկ բանաձևերից պոկերում առավել կիրառելի է հետևյալը.

Պոկեր խաղալիս ակնկալվող արժեքը կարող է հաշվարկվել ինչպես խաղադրույքների, այնպես էլ զանգերի համար: Առաջին դեպքում պետք է հաշվի առնել fold equity-ը, երկրորդում՝ բանկի սեփական հավանականությունը: Որոշակի քայլի մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելիս պետք է հիշել, որ ծալքը միշտ զրոյական ակնկալիք ունի: Այսպիսով, քարտերը հեռացնելը միշտ ավելի շահավետ որոշում կլինի, քան ցանկացած բացասական քայլ:

Ակնկալիքը ձեզ ասում է, թե ինչ կարող եք ակնկալել (շահույթ կամ վնաս) յուրաքանչյուր դոլարի համար, որը դուք ռիսկի եք ենթարկում: Խաղատները գումար են վաստակում, քանի որ դրանցում խաղացած բոլոր խաղերի մաթեմատիկական ակնկալիքը հօգուտ կազինոյի է: Բավականաչափ երկար խաղերի շարքի դեպքում կարելի է ակնկալել, որ հաճախորդը կկորցնի իր գումարը, քանի որ «շանսերը» կազինոյի օգտին են: Այնուամենայնիվ, կազինոյի պրոֆեսիոնալ խաղացողները սահմանափակում են իրենց խաղերը կարճ ժամանակահատվածներով՝ դրանով իսկ կուտակելով հավանականությունը իրենց օգտին: Նույնը վերաբերում է ներդրումներին: Եթե ​​ձեր ակնկալիքները դրական են, դուք կարող եք ավելի շատ գումար վաստակել՝ կարճ ժամանակահատվածում բազմաթիվ գործարքներ կատարելով: Ակնկալիքը ձեր շահույթի մեկ հաղթանակի տոկոսն է՝ բազմապատկած ձեր միջին շահույթով, հանած ձեր կորստի հավանականությունը՝ բազմապատկած ձեր միջին կորստի վրա:

Պոկերը կարելի է դիտարկել նաև մաթեմատիկական ակնկալիքի տեսանկյունից: Դուք կարող եք ենթադրել, որ որոշակի քայլը շահավետ է, բայց որոշ դեպքերում դա կարող է լավագույնը չլինել, քանի որ մեկ այլ քայլ ավելի շահավետ է: Ենթադրենք, դուք ֆուլ հաուս եք խփել հինգ խաղաթղթերով պոկերում: Ձեր հակառակորդը խաղադրույք է կատարում: Դուք գիտեք, որ եթե բարձրացնեք խաղադրույքը, նա կպատասխանի: Ուստի բարձրացումը լավագույն մարտավարությունն է թվում: Բայց եթե դուք բարձրացնեք խաղադրույքը, մնացած երկու խաղացողները անպայման կկազմեն: Բայց եթե զանգահարեք, դուք լիովին վստահ եք, որ ձեր ետևում գտնվող մյուս երկու խաղացողները նույնը կանեն: Երբ դուք բարձրացնում եք ձեր խաղադրույքը, ստանում եք մեկ միավոր, իսկ երբ պարզապես զանգում եք, ստանում եք երկու: Այսպիսով, զանգահարելը ձեզ տալիս է ավելի բարձր դրական ակնկալվող արժեք և կլինի լավագույն մարտավարությունը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է նաև պատկերացում տալ, թե պոկերային որ մարտավարությունն է ավելի քիչ եկամտաբեր, իսկ որոնք՝ ավելի շահավետ: Օրինակ, եթե խաղում եք որոշակի ձեռքով և կարծում եք, որ ձեր կորուստը միջինը կկազմի 75 ցենտ, ներառյալ անտը, ապա դուք պետք է խաղաք այդ ձեռքը, քանի որ սա ավելի լավ է, քան ծալելը, երբ նախագիծը $1 է:

Մեկ այլ կարևոր պատճառՄաթեմատիկական ակնկալիքի էությունը հասկանալն այն է, որ այն քեզ խաղաղության զգացում է տալիս՝ անկախ նրանից՝ շահում ես խաղադրույքը, թե ոչ. եթե լավ խաղադրույք կատարես կամ ժամանակին կատարես, կիմանաս, որ վաստակել կամ խնայել ես որոշակի գումար, ավելի թույլ խաղացողը չի կարողացել փրկել: Շատ ավելի դժվար է ծալել, եթե դու տխուր ես, քանի որ հակառակորդդ ավելի ուժեղ ձեռք է քաշել: Այս ամենի հետ մեկտեղ, այն գումարը, որը դուք խնայում եք՝ խաղադրույքի փոխարեն չխաղալով, ավելացվում է գիշերվա կամ ամսվա ձեր շահումներին:

Պարզապես հիշեք, որ եթե փոխեիք ձեր ձեռքը, ձեր հակառակորդը կկանչեր ձեզ, և ինչպես կտեսնեք «Պոկերի հիմնարար թեորեմ» հոդվածում, սա ձեր առավելություններից մեկն է միայն: Դուք պետք է երջանիկ լինեք, երբ դա տեղի ունենա: Դուք նույնիսկ կարող եք սովորել հաճույք ստանալ ձեռքը կորցնելուց, քանի որ գիտեք, որ ձեր դիրքի մյուս խաղացողները շատ ավելին կկորցնեին:

Ինչպես սկզբում քննարկվեց մետաղադրամի խաղի օրինակում, ժամային շահույթի հարաբերակցությունը կապված է մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ, և այս հայեցակարգըհատկապես կարևոր է պրոֆեսիոնալ խաղացողների համար: Երբ գնում եք պոկեր խաղալու, պետք է մտովի գնահատեք, թե որքան կարող եք հաղթել մեկ ժամվա ընթացքում: Շատ դեպքերում դուք պետք է ապավինեք ձեր ինտուիցիային և փորձին, բայց կարող եք նաև օգտագործել որոշ մաթեմատիկա: Օրինակ, դուք խաղում եք ոչ-ոքի, և տեսնում եք, որ երեք խաղացողներ խաղադրույք են կատարում $10, իսկ հետո փոխանակում են երկու քարտ, ինչը շատ վատ մարտավարություն է, դուք կարող եք պարզել, որ ամեն անգամ, երբ նրանք խաղադրույք են կատարում $10, նրանք կորցնում են մոտ $2։ Նրանցից յուրաքանչյուրը դա անում է ժամում ութ անգամ, ինչը նշանակում է, որ երեքն էլ ժամում կորցնում են մոտավորապես 48 դոլար։ Դուք մնացած չորս խաղացողներից մեկն եք, որոնք մոտավորապես հավասար են, ուստի այս չորս խաղացողները (և նրանց մեջ դուք) պետք է բաժանեն $48, յուրաքանչյուրը ժամում ստանալով $12 շահույթ: Ձեր ժամային գործակիցներն այս դեպքում պարզապես հավասար են երեք վատ խաղացողների կողմից մեկ ժամում կորցրած գումարի ձեր բաժինին:

Երկար ժամանակահատվածում խաղացողի ընդհանուր շահումները կազմում են նրա մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարը առանձին ձեռքերում: Որքան շատ ձեռքեր խաղաս դրական ակնկալիքներով, այնքան շատ ես հաղթում, և հակառակը, որքան շատ ձեռքեր խաղաս բացասական ակնկալիքներով, այնքան շատ ես պարտվում։ Արդյունքում, դուք պետք է ընտրեք այնպիսի խաղ, որը կարող է առավելագույնի հասցնել ձեր դրական ակնկալիքը կամ ժխտել ձեր բացասական ակնկալիքը, որպեսզի կարողանաք առավելագույնի հասցնել ձեր ամենժամյա շահումները:

Դրական մաթեմատիկական ակնկալիքներ խաղային ռազմավարության մեջ

Եթե ​​դուք գիտեք, թե ինչպես հաշվել քարտերը, կարող եք առավելություն ունենալ կազինոյի նկատմամբ, քանի դեռ նրանք չեն նկատում և դուրս շպրտում ձեզ: Կազինոները սիրում են հարբած խաղացողներին և չեն հանդուրժում քարտերի հաշվարկը: Առավելությունը թույլ կտա հաղթել ժամանակի ընթացքում։ ավելի մեծ թիվանգամ, քան կորցնել: Լավ կառավարումկապիտալը, երբ օգտագործում եք ակնկալվող արժեքի հաշվարկները, կարող է օգնել ձեզ ավելի շատ շահույթ ստանալ ձեր առավելությունից և նվազեցնել ձեր կորուստները: Առանց առավելությունների, ավելի լավ է գումարը տրամադրեք բարեգործությանը: Ֆոնդային բորսայում խաղում առավելությունը տալիս է խաղային համակարգը, որն ավելի մեծ շահույթ է ստեղծում, քան կորուստները, գնային տարբերությունները և միջնորդավճարները։ Ոչ մի գումարի կառավարում չի կարող փրկել վատ խաղային համակարգը:

Դրական ակնկալիքը սահմանվում է որպես զրոյից մեծ արժեք: Որքան մեծ է այս թիվը, այնքան ավելի ուժեղ է վիճակագրական ակնկալիքը: Եթե ​​արժեքը զրոյից փոքր է, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնպես բացասական կլինի։ Որքան մեծ է բացասական արժեքի մոդուլը, այնքան վատ է իրավիճակը: Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա սպասումը հավասար է: Դուք կարող եք հաղթել միայն այն դեպքում, երբ ունեք դրական մաթեմատիկական ակնկալիքներ և խելամիտ խաղային համակարգ: Ինտուիցիայով խաղալը հանգեցնում է աղետի:

Մաթեմատիկական ակնկալիք և ֆոնդային առևտուր

Մաթեմատիկական ակնկալիքը բավականին լայնորեն կիրառվող և տարածված վիճակագրական ցուցանիշ է ֆինանսական շուկաներում բորսայական առևտուր իրականացնելիս: Առաջին հերթին, այս պարամետրը օգտագործվում է առևտրի հաջողությունը վերլուծելու համար: Դժվար չէ կռահել, որ որքան բարձր է այս արժեքը, այնքան ավելի շատ պատճառներ են ուսումնասիրվող առևտուրը հաջողված համարելու։ Իհարկե, վաճառողի աշխատանքի վերլուծությունը չի կարող իրականացվել միայն այս պարամետրով: Այնուամենայնիվ, հաշվարկված արժեքը, աշխատանքի որակի գնահատման այլ մեթոդների հետ համատեղ, կարող է զգալիորեն մեծացնել վերլուծության ճշգրտությունը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը հաճախ հաշվարկվում է առևտրային հաշիվների մոնիտորինգի ծառայություններում, ինչը թույլ է տալիս արագ գնահատել ավանդի վրա կատարված աշխատանքը: Բացառությունները ներառում են ռազմավարություններ, որոնք օգտագործում են «նստած» ոչ եկամտաբեր գործարքներ: Առևտրականի բախտը կարող է բերել որոշ ժամանակով, և, հետևաբար, նրա աշխատանքում կարող է ընդհանրապես կորուստներ չլինել: Այս դեպքում հնարավոր չի լինի առաջնորդվել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքով, քանի որ աշխատանքի մեջ օգտագործվող ռիսկերը հաշվի չեն առնվելու։

Շուկայական առևտրում մաթեմատիկական ակնկալիքն առավել հաճախ օգտագործվում է ցանկացած առևտրային ռազմավարության շահութաբերությունը կանխատեսելիս կամ վաճառողի եկամուտը կանխատեսելիս՝ հիմնվելով նրա նախորդ առևտրի վիճակագրական տվյալների վրա:

Ինչ վերաբերում է փողի կառավարմանը, ապա շատ կարևոր է հասկանալ, որ բացասական ակնկալիքներով գործարքներ կատարելիս չկա փողի կառավարման սխեմա, որը կարող է միանշանակ բարձր շահույթ բերել: Եթե ​​դուք շարունակեք խաղալ ֆոնդային շուկայում այս պայմաններում, ապա անկախ նրանից, թե ինչպես եք տնօրինում ձեր գումարը, դուք կկորցնեք ձեր ամբողջ հաշիվը, անկախ նրանից, թե որքան մեծ էր այն սկզբում:

Այս աքսիոմը ճշմարիտ է ոչ միայն բացասական ակնկալիքներով խաղերի կամ առևտրի դեպքում, այն ճիշտ է նաև հավասար հնարավորություններով խաղերի դեպքում: Հետևաբար, միակ դեպքը, երբ դուք երկարաժամկետ հեռանկարում շահույթ ստանալու հնարավորություն ունեք, այն է, եթե դուք դրական ակնկալվող արժեքով գործարքներ եք կատարում:

Բացասական ակնկալիքների և դրական ակնկալիքների տարբերությունը կյանքի և մահվան տարբերությունն է: Կարևոր չէ, թե որքան դրական կամ բացասական է ակնկալիքը. Կարևոր է միայն դրական, թե բացասական: Հետևաբար, նախքան փողի կառավարումը մտածելը, պետք է դրական ակնկալիքներով խաղ գտնել:

Եթե ​​դուք չունեք այդ խաղը, ապա աշխարհի բոլոր փողերի կառավարումը ձեզ չի փրկի: Մյուս կողմից, եթե դրական ակնկալիք ունես, կարող ես փողի ճիշտ կառավարման միջոցով այն վերածել էքսպոնենցիալ աճի ֆունկցիայի: Կարևոր չէ, թե որքան փոքր է դրական ակնկալիքը։ Այսինքն՝ կարևոր չէ, թե որքանով է շահավետ առևտրային համակարգը հիմնված մեկ պայմանագրի վրա։ Եթե ​​դուք ունեք համակարգ, որը շահում է $10 յուրաքանչյուր պայմանագրով մեկ առևտրի համար (հանձնաժողովներից և սայթաքումից հետո), կարող եք օգտագործել փողի կառավարման տեխնիկան՝ այն ավելի շահավետ դարձնելու համար, քան այն համակարգը, որը միջինը $1000 է մեկ առևտրի համար (հանձնաժողովների և սայթաքումների նվազեցումից հետո):

Կարևորն այն չէ, թե որքանով էր շահութաբեր համակարգը, այլ այն, թե որքանով կարելի է ասել, որ համակարգը ապագայում նվազագույն շահույթ ցույց կտա: Հետևաբար, ամենակարևոր նախապատրաստությունը, որը կարող է թրեյդերը կատարել, այն է, որ համակարգը ապագայում ցույց տա դրական ակնկալվող արժեք:

Ապագայում դրական ակնկալվող արժեք ունենալու համար շատ կարևոր է չսահմանափակել ձեր համակարգի ազատության աստիճանները։ Սա ձեռք է բերվում ոչ միայն օպտիմալացման ենթակա պարամետրերի վերացման կամ կրճատման միջոցով, այլև հնարավորինս շատ համակարգի կանոնների կրճատմամբ: Ձեր ավելացրած յուրաքանչյուր պարամետր, ձեր կատարած յուրաքանչյուր կանոն, համակարգում ձեր կատարած յուրաքանչյուր փոքրիկ փոփոխություն նվազեցնում է ազատության աստիճանների թիվը: Իդեալում, դուք պետք է կառուցեք բավականին պարզունակ և պարզ համակարգ, որը հետևողականորեն փոքր շահույթներ կբերի գրեթե ցանկացած շուկայում: Կրկին, ձեզ համար կարևոր է հասկանալ, որ կարևոր չէ, թե որքանով է շահութաբեր համակարգը, քանի դեռ այն շահութաբեր է: Առևտրից վաստակած գումարը կվաստակվի դրա միջոցով արդյունավետ կառավարումփող.

Առևտրային համակարգը պարզապես գործիք է, որը ձեզ տալիս է դրական ակնկալվող արժեք, որպեսզի կարողանաք օգտագործել փողի կառավարումը: Համակարգերը, որոնք աշխատում են (ցույց են տալիս առնվազն նվազագույն շահույթ) միայն մեկ կամ մի քանի շուկաներում, կամ ունեն տարբեր կանոններ կամ պարամետրեր տարբեր շուկաների համար, ամենայն հավանականությամբ իրական ժամանակում երկար ժամանակ չեն աշխատի: Տեխնիկապես կողմնորոշված ​​թրեյդերների խնդիրն այն է, որ նրանք չափազանց շատ ժամանակ և ջանք են ծախսում օպտիմալացման վրա տարբեր կանոններև առևտրային համակարգի պարամետրերի արժեքները: Սա լրիվ հակառակ արդյունքներ է տալիս։ Առևտրային համակարգի շահույթն ավելացնելու վրա էներգիա և համակարգչային ժամանակ վատնելու փոխարեն, ձեր էներգիան ուղղեք նվազագույն շահույթ ստանալու հուսալիության մակարդակի բարձրացմանը:

Իմանալով, որ փողի կառավարումը պարզապես թվային խաղ է, որը պահանջում է դրական ակնկալիքների օգտագործում, թրեյդերը կարող է դադարեցնել բաժնետոմսերի առևտրի «սուրբ գրալի» որոնումը: Փոխարենը, նա կարող է սկսել փորձարկել իր առևտրային մեթոդը, պարզել, թե որքանով է տրամաբանական այս մեթոդը և արդյոք այն դրական ակնկալիքներ է տալիս: Ճիշտ մեթոդներփողի կառավարումը, որը կիրառվում է ցանկացած, նույնիսկ շատ միջակ առևտրային մեթոդների համար, մնացած գործն իրենք կանի:

Որպեսզի ցանկացած առևտրական հաջողության հասնի իր աշխատանքում, նա պետք է լուծի ամենաշատ երեքը կարևոր առաջադրանքներ: Ապահովել, որ հաջող գործարքների թիվը գերազանցի անխուսափելի սխալներն ու սխալ հաշվարկները. Ստեղծեք ձեր առևտրային համակարգը այնպես, որ հնարավորինս հաճախ գումար վաստակելու հնարավորություն ունենաք. Ձեռք բերեք կայուն դրական արդյունքներ ձեր գործողություններից:

Եվ այստեղ, մեզ՝ աշխատող թրեյդերների համար, մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է մեծ օգնություն լինել։ Այս տերմինը հավանականությունների տեսության առանցքայիններից մեկն է։ Նրա օգնությամբ դուք կարող եք տալ որոշ պատահական արժեքի միջին գնահատական: Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նման է ծանրության կենտրոնին, եթե բոլոր հնարավոր հավանականությունները պատկերացնենք որպես տարբեր զանգվածներով կետեր։

Առևտրային ռազմավարության առնչությամբ շահույթի (կամ վնասի) մաթեմատիկական ակնկալիքն առավել հաճախ օգտագործվում է դրա արդյունավետությունը գնահատելու համար: Այս պարամետրը սահմանվում է որպես շահույթի և վնասի տվյալ մակարդակների արտադրանքների գումար և դրանց առաջացման հավանականություն: Օրինակ՝ մշակված առևտրային ռազմավարությունը ենթադրում է, որ բոլոր գործարքների 37%-ը կբերի շահույթ, իսկ մնացած մասը՝ 63%-ը, անշահավետ կլինի։ Միաժամանակ հաջող գործարքից ստացված միջին եկամուտը կկազմի 7 դոլար, իսկ միջին կորուստը՝ 1,4 դոլար։ Եկեք հաշվարկենք առևտրի մաթեմատիկական ակնկալիքը այս համակարգի միջոցով.

Ի՞նչ է նշանակում այս թիվը: Այն ասում է, որ, հետևելով այս համակարգի կանոններին, յուրաքանչյուր փակ գործարքից մենք կստանանք միջինը 1708 դոլար։ Քանի որ ստացված արդյունավետության վարկանիշը զրոյից մեծ է, նման համակարգը կարող է օգտագործվել իրական աշխատանքի համար: Եթե ​​հաշվարկի արդյունքում մաթեմատիկական ակնկալիքը բացասական է ստացվում, ապա դա արդեն վկայում է միջին կորստի մասին, և նման առևտուրը կբերի կործանման։

Մեկ գործարքի համար շահույթի չափը կարող է արտահայտվել նաև որպես հարաբերական արժեք %-ի տեսքով: Օրինակ:

– եկամտի տոկոսը 1 գործարքից՝ 5%;

– հաջող առևտրային գործառնությունների տոկոսը՝ 62%;

– 1 գործարքի դիմաց կորստի տոկոսը՝ 3%;

– անհաջող գործարքների տոկոսը՝ 38%;

Այսինքն՝ միջին առևտուրը կբերի 1,96 տոկոս։

Կարելի է զարգացնել այնպիսի համակարգ, որը, չնայած անշահավետ գործարքների գերակշռությանը, կտա դրական արդյունք, քանի որ դրա MO>0.

Սակայն միայն սպասելը բավարար չէ։ Դժվար է գումար աշխատել, եթե համակարգը շատ քիչ առեւտրային ազդանշաններ է տալիս: Այս դեպքում նրա շահութաբերությունը համեմատելի կլինի բանկային տոկոսների հետ։ Թող յուրաքանչյուր օպերացիան միջինում արտադրի ընդամենը 0,5 դոլար, բայց ի՞նչ, եթե համակարգը ներառում է տարեկան 1000 գործողություն: Սա շատ զգալի գումար կլինի համեմատաբար կարճ ժամանակում։ Սրանից տրամաբանորեն հետևում է, որ կարելի է դիտարկել լավ առևտրային համակարգի մեկ այլ տարբերակիչ հատկանիշ կարճաժամկետպաշտոններ զբաղեցնելը.

Աղբյուրներ և հղումներ

dic.academic.ru – ակադեմիական առցանց բառարան

mathematics.ru – ուսումնական կայք մաթեմատիկայի ոլորտում

nsu.ru – Նովոսիբիրսկի կրթական կայք պետական ​​համալսարան

webmath.ru – կրթական պորտալուսանողների, դիմորդների և դպրոցականների համար։

exponenta.ru ուսումնական մաթեմատիկական կայք

ru.tradimo.com – անվճար առցանց առևտրի դպրոց

crypto.hut2.ru – բազմամասնագիտական տեղեկատվական ռեսուրս

poker-wiki.ru – պոկերի ազատ հանրագիտարան

sernam.ru – Գիտական ​​գրադարանընտրված բնագիտական ​​հրապարակումներ

reshim.su – կայք ՄԵՆՔ ԿԼՈՒԾԵՆՔ թեստային դասընթացի խնդիրները

unfx.ru – Forex-ը UNFX-ում. ուսուցում, առևտրային ազդանշաններ, վստահության կառավարում

slovopedia.com – Մեծ Հանրագիտարանային բառարանՍլովոպեդիա

pokermansion.3dn.ru – Ձեր ուղեցույցը պոկերի աշխարհում

statanaliz.info – «Վիճակագրական տվյալների վերլուծություն» տեղեկատվական բլոգ

forex-trader.rf – Forex-Trader պորտալ

megafx.ru – ընթացիկ Forex վերլուծություն

fx-by.com – ամեն ինչ վաճառողի համար