Ռուսերենի ամենաերկար դերանունը. Մոսկվայի տպագրական արվեստի պետական ​​համալսարան

T սկալյար մեծությունը, որը հավասար է համակարգի բոլոր կետերի կինետիկ էներգիաների գումարին, կոչվում է համակարգի կինետիկ էներգիա։

Կինետիկ էներգիան համակարգի թարգմանական և պտտվող շարժման հատկանիշն է։ Դրա փոփոխության վրա ազդում է արտաքին ուժերի ազդեցությունը և քանի որ այն սկալյար է, այն կախված չէ համակարգի մասերի շարժման ուղղությունից։

Եկեք գտնենք շարժման տարբեր դեպքերի կինետիկ էներգիան.

1.Առաջ շարժում

Համակարգի բոլոր կետերի արագությունները հավասար են զանգվածի կենտրոնի արագությանը։ Հետո

Թարգմանական շարժման ժամանակ համակարգի կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի զանգվածի և զանգվածի կենտրոնի արագության քառակուսու արտադրյալի կեսին։

2. Պտտվող շարժում (նկ. 77)

Մարմնի ցանկացած կետի արագություն. Հետո

կամ օգտագործելով բանաձեւը (15.3.1):

Պտտման ընթացքում մարմնի կինետիկ էներգիան հավասար է մարմնի իներցիայի պահի արտադրյալի կեսին՝ պտտման առանցքի և նրա անկյունային արագության քառակուսու նկատմամբ։

3. Հարթ-զուգահեռ շարժում

Տվյալ շարժման համար կինետիկ էներգիան բաղկացած է փոխակերպման և պտտվող շարժումների էներգիայից

Շարժման ընդհանուր դեպքը տալիս է կինետիկ էներգիայի հաշվարկման բանաձև, որը նման է վերջինին:

Աշխատանքի և հզորության սահմանումը մենք արել ենք 14-րդ գլխի 3-րդ պարբերությունում: Այստեղ մենք կանդրադառնանք մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերի աշխատանքի և հզորության հաշվարկման օրինակներին:

1.Ձգողության ուժերի աշխատանքը. Թող , մարմնի k կետի սկզբնական և վերջնական դիրքերի կոորդինատները: Քաշի այս մասնիկի վրա ազդող ծանրության ուժի կատարած աշխատանքը կլինի . Հետո լրիվ դրույքով աշխատանք:

որտեղ P-ը նյութական կետերի համակարգի կշիռն է, C ծանրության կենտրոնի ուղղահայաց տեղաշարժն է:

2. Պտտվող մարմնի վրա կիրառվող ուժերի աշխատանքը.

Համաձայն (14.3.1) հարաբերության, մենք կարող ենք գրել, բայց ds-ն ըստ Նկար 74-ի, իր անսահման փոքրության պատճառով կարող է ներկայացվել ձևով. - մարմնի պտտման անսահման փոքր անկյուն: Հետո

Մեծություն կոչվում է ոլորող մոմենտ:

Մենք վերագրում ենք բանաձևը (19.1.6) որպես

Տարրական աշխատանքը հավասար է ոլորող մոմենտի և տարրական պտույտի արտադրյալին:

Վերջնական անկյան միջով պտտվելիս ունենում ենք.

Եթե ոլորող մոմենտապա հաստատուն է

իսկ հզորությունը որոշում ենք հարաբերությունից (14.3.5)

որպես ոլորող մոմենտների արտադրյալ անկյունային արագությունմարմիններ.

Մի կետի համար ապացուցված կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմը (§ 14.4) վավեր կլինի համակարգի ցանկացած կետի համար.

Համակարգի բոլոր կետերի համար նման հավասարումներ կազմելով և տերմին առ անդամ գումարելով՝ ստանում ենք.

կամ, համաձայն (19.1.1).

որը համակարգի կինետիկ էներգիայի թեորեմի արտահայտությունն է դիֆերենցիալ ձև.

Ինտեգրելով (19.2.2) մենք ստանում ենք.

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմն իր վերջնական ձևով. համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը որոշ վերջնական տեղաշարժի ժամանակ հավասար է համակարգի վրա կիրառվող բոլոր արտաքին և ներքին ուժերի այս տեղաշարժի վրա կատարված աշխատանքի գումարին:

Ընդգծենք դա ներքին ուժերչեն բացառվում։ Անփոփոխ համակարգի համար բոլոր ներքին ուժերի կատարած աշխատանքի գումարը զրո է և

Եթե ​​համակարգի վրա դրված սահմանափակումները ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում, ապա ուժերը, ինչպես արտաքին, այնպես էլ ներքին, կարելի է բաժանել ակտիվ և ռեակցիայի սահմանափակումների, և այժմ (19.2.2) հավասարումը կարելի է գրել.

Դինամիկայի մեջ ներդրվում է «իդեալական» մեխանիկական համակարգի հայեցակարգը: Սա համակարգ է, որում կապերի առկայությունը չի ազդում կինետիկ էներգիայի փոփոխության վրա, այսինքն

Այնպիսի միացումները, որոնք ժամանակի հետ չեն փոխվում, և որոնց աշխատանքի գումարը տարրական տեղաշարժի վրա զրոյական է, կոչվում են իդեալական, և (19.2.5) հավասարումը կգրվի.

Տրված M դիրքում նյութական կետի պոտենցիալ էներգիան P սկալյար մեծությունն է, որը հավասար է այն աշխատանքին, որը դաշտային ուժերը կստեղծեն կետը M դիրքից զրո տեղափոխելիս:

P = A (mo) (19.3.1)

Պոտենցիալ էներգիան կախված է M կետի դիրքից, այսինքն՝ նրա կոորդինատներից

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Այստեղ բացատրենք, որ ուժային դաշտը տարածական ծավալի մի մասն է, որի յուրաքանչյուր կետում որոշակի մեծության և ուղղության ուժ է գործում մասնիկի վրա՝ կախված մասնիկի դիրքից, այսինքն՝ x կոորդինատներից, y, z. Օրինակ՝ Երկրի գրավիտացիոն դաշտը։

Կոորդինատների U ֆունկցիան, որի դիֆերենցիալը հավասար է աշխատանքի, կոչվում է հզորության գործառույթը. Ուժային դաշտը, որի համար կա ուժային ֆունկցիա, կանչեց պոտենցիալ ուժային դաշտ, իսկ այս դաշտում գործող ուժերն են պոտենցիալ ուժեր.

Թող զրո միավորերկու ուժային ֆունկցիաների համար P(x,y,z) և U(x,y,z) համընկնում են:

Օգտագործելով բանաձևը (14.3.5) մենք ստանում ենք, այսինքն. dA = dU(x,y,z) և

որտեղ U-ն ուժի ֆունկցիայի արժեքն է M կետում: Հետևաբար

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Ուժային դաշտի ցանկացած կետում պոտենցիալ էներգիան հավասար է այս կետում ուժի ֆունկցիայի արժեքին՝ վերցված հակառակ նշանով:

Այսինքն՝ ուժային դաշտի հատկությունները դիտարկելիս ուժի ֆունկցիայի փոխարեն կարող ենք դիտարկել պոտենցիալ էներգիա և, մասնավորապես, (19.3.3) հավասարումը կվերագրվի այսպես.

Պոտենցիալ ուժի կողմից կատարված աշխատանքը հավասար է շարժվող կետի պոտենցիալ էներգիայի արժեքների տարբերությանը սկզբնական և վերջնական դիրքերում:

Մասնավորապես, ձգողականության աշխատանքը.

Թող համակարգի վրա գործող բոլոր ուժերը լինեն պոտենցիալ։ Այնուհետեւ համակարգի յուրաքանչյուր կետի համար աշխատանքը հավասար է

Հետո բոլոր ուժերի համար՝ թե՛ արտաքին, թե՛ ներքին, կլինեն

որտեղ է ամբողջ համակարգի պոտենցիալ էներգիան:

Մենք այս գումարները փոխարինում ենք կինետիկ էներգիայի արտահայտությամբ (19.2.3).

կամ վերջապես.

Պոտենցիալ ուժերի ազդեցության տակ շարժվելիս համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիայի գումարը նրա յուրաքանչյուր դիրքում մնում է հաստատուն։ Սա մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքն է։

1 կգ կշռող բեռը ազատորեն տատանվում է օրենքի համաձայն x = 0.1sinl0t: Զսպանակի կոշտության գործակիցը c = 100 Ն/մ: Որոշեք բեռի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան x = 0,05 մ-ում, եթե x = 0-ում պոտենցիալ էներգիան զրո է . (0,5)

m = 4 կգ զանգվածով բեռը, ընկնելով ցած, առաջացնում է թելի օգնությամբ R = 0,4 մ շառավղով գլան պտտել, պտտման առանցքի նկատմամբ գլանի իներցիայի պահը I = 0,2 է։ Որոշեք մարմինների համակարգի կինետիկ էներգիան այն պահին, երբ բեռի արագությունը v = 2մ/վ. . (10,5)

Սահմանեք մարմնի քաշի արժեքները՝ օգտագործելով սահիկներմ, հարթության թեքության անկյունա, արտաքին ուժ F ներք , շփման գործակիցըմև արագացում ԱՁեր թիմի համար նշված է Աղյուսակ 1-ում:

Միևնույն ժամանակ միացրեք վայրկյանաչափը և սեղմեք «Սկսել» կոճակը: Անջատեք վայրկյանաչափը, երբ ձեր մարմինը կանգ է առնում վերջում թեք հարթություն.

Կատարեք այս փորձը 10 անգամ և գրանցեք աղյուսակում մարմնի թեք հարթությունից սահելու ժամանակի չափման արդյունքները: 2.

ԱՂՅՈՒՍԱԿ 1. Փորձի սկզբնական պարամետրերը

Բրիգ Ոչ.
մ, կգ
մ	0,10
ա, աստիճան
Ֆ ին, Ն
ա, մ/վ 2

ԱՂՅՈՒՍԱԿ 2. Չափումների և հաշվարկների արդյունքները

W p = - մարմնի պոտենցիալ էներգիան թեքված հարթության վերին կետում.

Դ) - իջնող հատվածի վրա շփման ուժի աշխատանք.

Ե) - արտաքին ուժի աշխատանքը վայրէջքի հատվածում

և գրեք այս արժեքները աղյուսակի համապատասխան տողերում: 2. Հաշվեք այս պարամետրերի միջին արժեքները և գրեք դրանք Աղյուսակ 2-ի «միջին արժեքներ» սյունակում:

Օգտագործելով բանաձևը (7) ստուգեք մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի կատարումը, երբ մարմինը շարժվում է թեք հարթության երկայնքով: Հաշվեք սխալները և փորձերի արդյունքների հիման վրա եզրակացություններ արեք:

Հարցեր և առաջադրանքներ ինքնատիրապետման համար

1. Ո՞րն է մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը:

2. Ո՞ր համակարգերի համար է գործում մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը:

3. Ո՞րն է տարբերությունը էներգիա և աշխատանք հասկացությունների միջև:

4. Ի՞նչն է առաջացնում պոտենցիալ էներգիայի փոփոխություն:

5. Ի՞նչն է առաջացնում կինետիկ էներգիայի փոփոխություն:

6. Արդյո՞ք անհրաժեշտ է կատարել մարմինների մեխանիկական համակարգի փակության պայմանը մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը կատարելու համար։

7. Ո՞ր ուժերն են կոչվում պահպանողական:

8. Ո՞ր ուժերն են կոչվում ցրող:

9. Մարմինը դանդաղ քարշ է տալիս լեռը: Արդյո՞ք լեռան պրոֆիլի ձևը կախված է՝ ա) ձգողականության աշխատանքից. բ) շփման ուժի կատարած աշխատանքը. Մարմնի շարժման մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը ամրագրված են:

10. Մարմինը սահում է թեք հարթության գագաթից առանց նախնական արագության: Շփման ուժի աշխատանքը մարմնի շարժման ողջ ուղու երկայնքով, մինչև այն կանգ չառնի հորիզոնական հատվածում. ա) հարթության թեքության անկյան վրա. բ) շփման գործակցի վրա.

11. Երկու մարմին նույն բարձրությունից սահում են թեք հարթության վրա. մեկը՝ զանգվածով.մ , մյուսը՝ 2 զանգվածովմ . Ո՞ր մարմինը կանցնի հորիզոնական հատվածի երկայնքով ամենաերկար ճանապարհը կանգ առնելու համար և քանի՞ անգամ: Երկու մարմինների համար շփման գործակիցները նույնն են։

12.Զանգվածի սահնակ մ գլորվել է H բարձրության սարից և կանգնել հորիզոնական հատվածի վրա: Ինչ աշխատանք պետք է կատարվի, որպեսզի դրանք լեռան վրա բարձրացնեն լանջի գծով:

13. Նույն սկզբնական արագությամբ մարմինն անցնում է՝ ա) դեպրեսիա. բ) միանման հետագծի աղեղներով և շփման նույնական գործակիցներով սլայդ: Երկու դեպքում էլ համեմատեք մարմնի արագությունը ուղու վերջում:

գրականություն

1. Տրոֆիմովա Տ.Ի. Ֆիզիկայի դասընթաց. Գլուխ 3, §§12,13.

Ոչ մի փոփոխություն

Միջին իմաստը

Փոգր.

տ, ս

v , մ/վ

Ս, մ

Վկ, Ջ

W p, J

Ա տր, Ջ

Ա ին, Ջ

W լրիվ, Ջ

Դիֆերենցիալ ձևով կետի կինետիկ էներգիայի թեորեմ

Նյութական կետի շարժման հավասարման երկու կողմերը սկալյար կերպով բազմապատկելով կետի տարրական տեղաշարժով մենք ստանում ենք.

կամ, այդ ժամանակից ի վեր

Սկալյար մեծությունը կամ կետի զանգվածի և դրա արագության քառակուսու արտադրյալի կեսը կոչվում է կետի կինետիկ էներգիա կամ կետի կենդանի ուժ։

Վերջին հավասարությունը կազմում է դիֆերենցիալ ձևով կետի կինետիկ էներգիայի թեորեմի բովանդակությունը, որն ասում է. կետի կինետիկ էներգիայի դիֆերենցիալը հավասար է ուժի կետի վրա գործող տարրական աշխատանքին։

Կինետիկ էներգիայի թեորեմի ֆիզիկական իմաստն այն է, որ կետի վրա ազդող ուժի կողմից կատարված աշխատանքը կուտակվում է դրանում՝ որպես շարժման կինետիկ էներգիա։

Ամբողջական ձևով կետի կինետիկ էներգիայի թեորեմ

Թող կետը տեղափոխվի A դիրքից B դիրք՝ իր հետագծով անցնելով AB վերջնական աղեղը (նկ. 113): A-ից B հավասարության ինտեգրում.

որտեղ են կետի արագությունները համապատասխանաբար A և B դիրքերում:

Վերջին հավասարությունը կազմում է ինտեգրալ ձևով կետի կինետիկ էներգիայի թեորեմի բովանդակությունը, որն ասում է. դրա վրա գործող ուժ.

Ստացված թեորեմը վավեր է, երբ կետը շարժվում է ցանկացած ուժի ազդեցությամբ։ Այնուամենայնիվ, ինչպես նշված է, ուժի կողմից կատարված ընդհանուր աշխատանքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ընդհանուր դեպքիմանալ կետի շարժման հավասարումները.

Հետևաբար, կինետիկ էներգիայի թեորեմը, ընդհանուր առմամբ, չի տալիս շարժման հավասարումների առաջին ինտեգրալը։

Էներգետիկ ինտեգրալ

Կինետիկ էներգիայի թեորեմը տալիս է կետի շարժման հավասարումների առաջին ինտեգրալը, եթե ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը կարող է որոշվել առանց շարժման հավասարումների դիմելու։ Վերջինս հնարավոր է, ինչպես նախկինում նշվեց, եթե կետի վրա ազդող ուժը պատկանում է ուժային դաշտին։ Այս դեպքում բավական է իմանալ միայն կետի հետագիծը։ Թող կետի հետագիծը լինի ինչ-որ կորի, ապա դրա կետերի կոորդինատները կարող են արտահայտվել հետագծի աղեղով, և, հետևաբար, կետի կոորդինատներից կախված ուժը կարող է արտահայտվել միջոցով.

իսկ կինետիկ էներգիայի թեորեմը տալիս է ձևի առաջին ինտեգրալը

որտեղ են A կետերին համապատասխանող հետագծի աղեղները և հանդիսանում է հետագծին շոշափող ուժի պրոյեկցիան (նկ. 113):

Պոտենցիալ էներգիա և կետի մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում պոտենցիալ դաշտում կետի շարժումը, քանի որ կինետիկ էներգիայի թեորեմը տալիս է շարժման հավասարումների շատ կարևոր ինտեգրալ։

Պոտենցիալ դաշտում ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը հավասար է ուղու վերջում և սկզբում ուժի ֆունկցիայի արժեքների տարբերությանը.

Հետևաբար, կինետիկ էներգիայի թեորեմն այս դեպքում գրված է հետևյալ կերպ.

Հակառակ նշանով ընդունված ուժային ֆունկցիան կոչվում է կետի պոտենցիալ էներգիա և նշվում է P տառով.

Պոտենցիալ էներգիան, ինչպես նաև ուժի ֆունկցիան, նշվում է մինչև կամայական հաստատուն, որի արժեքը որոշվում է զրոյական մակարդակի մակերեսի ընտրությամբ: Կետի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիայի գումարը կոչվում է կետի ընդհանուր մեխանիկական էներգիա։

Կետի կինետիկ էներգիայի թեորեմը, եթե ուժը պատկանում է պոտենցիալ դաշտին, գրված է հետևյալ կերպ.

որտեղ են պոտենցիալ էներգիայի արժեքները, որոնք համապատասխանում են A և B կետերին: Ստացված հավասարումը կազմում է մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի բովանդակությունը մի կետի համար, որը նշում է. կետի պոտենցիալ էներգիան մնում է անփոփոխ:

Քանի որ մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը գործում է միայն պոտենցիալ դաշտերին պատկանող ուժերի համար, նման դաշտի ուժերը կոչվում են պահպանողական (լատիներեն conservare - պահպանել բայից), որն ընդգծում է այս դեպքում ձևակերպված օրենքի կատարումը։ Նկատի ունեցեք, որ եթե կինետիկ էներգիա հասկացությունն իր սահմանման մեջ հայտնի ֆիզիկական հիմքեր ունի, ապա պոտենցիալ էներգիա հասկացությունը սա չունի: Պոտենցիալ էներգիայի հայեցակարգը որոշակի իմաստովֆիկտիվ մեծություն է, որը սահմանվում է այնպես, որ դրա արժեքի փոփոխությունները ճշգրտորեն համապատասխանում են կինետիկ էներգիայի փոփոխություններին։ Շարժման հետ կապված այս մեծության ներմուծումն օգնում է շարժման նկարագրությանը և դրա շնորհիվ էական դեր է խաղում այսպես կոչված. էներգիայի նկարագրությունշարժում, մշակված անալիտիկ մեխանիկայի կողմից։ Վերջինս այս արժեքի ներդրման իմաստն է։

Մարմնի վրա կիրառվող բոլոր ուժերի արդյունքը հավասար է մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը:

Այս թեորեմը ճշմարիտ է ոչ միայն կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման, այլև նրա կամայական շարժման դեպքում։

Կինետիկ էներգիա ունեն միայն շարժվող մարմինները, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է շարժման էներգիա։

§ 8. Պահպանողական (պոտենցիալ) ուժեր.

Պահպանողական ուժերի դաշտ

Def.

Այն ուժերը, որոնց աշխատանքը կախված չէ այն ճանապարհից, որով շարժվել է մարմինը, այլ որոշվում է միայն մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքերով, կոչվում են պահպանողական (պոտենցիալ) ուժեր։

Def.

Ուժային դաշտը տարածության տարածք է, որի յուրաքանչյուր կետում ուժ է գործադրվում այնտեղ տեղադրված մարմնի վրա՝ բնականաբար փոխվելով տարածության կետից կետ։

Def.

Այն դաշտը, որը ժամանակի ընթացքում չի փոխվում, կոչվում է անշարժ:

Հետևյալ 3 պնդումները կարելի է ապացուցել

1) Ցանկացած փակ ճանապարհով պահպանողական ուժերի կատարած աշխատանքը հավասար է 0-ի:

Ապացույց:

2) Ուժերի միատարր դաշտը պահպանողական է:

Def.

Դաշտը կոչվում է միատարր, եթե դաշտի բոլոր կետերում այնտեղ տեղադրված մարմնի վրա ազդող ուժերը մեծությամբ և ուղղությամբ նույնական են։

Ապացույց:

3) Կենտրոնական ուժերի դաշտը, որտեղ ուժի մեծությունը կախված է միայն դեպի կենտրոն հեռավորությունից, պահպանողական է։

Def.

Կենտրոնական ուժերի դաշտը ուժային դաշտ է, որի յուրաքանչյուր կետում միևնույն ֆիքսված կետով՝ դաշտի կենտրոնով անցնող գծի երկայնքով մի ուժ, գործում է դրանում շարժվող կետային մարմնի վրա։

Ընդհանուր դեպքում կենտրոնական ուժերի նման դաշտը պահպանողական չէ։ Եթե ​​կենտրոնական ուժերի դաշտում ուժի մեծությունը կախված է միայն ուժային դաշտի կենտրոնի հեռավորությունից (O), այսինքն. , ապա այդպիսի դաշտը պահպանողական է (պոտենցիալ)։

Ապացույց:

որտեղ է հակաածանցյալը:

§ 9. Պոտենցիալ էներգիա.

Ուժի և պոտենցիալ էներգիայի փոխհարաբերությունները

պահպանողական ուժերի դաշտում

Եկեք ընտրենք կոորդինատների ծագումը որպես պահպանողական ուժերի դաշտ, այսինքն.

Մարմնի պոտենցիալ էներգիան պահպանողական ուժերի դաշտում: Այս ֆունկցիան որոշվում է եզակիորեն (կախված է միայն կոորդինատներից), քանի որ Պահպանողական ուժերի աշխատանքը կախված չէ ճանապարհի տեսակից։

Գտնենք կապ պահպանողական ուժերի դաշտում՝ մարմինը 1 կետից 2 կետ տեղափոխելիս։

Պահպանողական ուժերի աշխատանքը հավասար է հակառակ նշանով պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությանը։

Պահպանողական ուժերի դաշտի մարմնի պոտենցիալ էներգիան էներգիան է, որը պայմանավորված է որոշակի փոխազդեցության արդյունքում առաջացած ուժային դաշտի առկայությամբ: տրված մարմինըարտաքին մարմնի (մարմինների) հետ, որն ասում են, որ ստեղծում է ուժային դաշտ։

Պահպանողական ուժերի դաշտի պոտենցիալ էներգիան բնութագրում է մարմնի աշխատանքը կատարելու ունակությունը և թվայինորեն հավասար է պահպանողական ուժերի աշխատանքին՝ մարմինը կոորդինատների սկզբնաղբյուր (կամ զրոյական էներգիա ունեցող կետ) տեղափոխելու համար։ Դա կախված է զրոյական մակարդակի ընտրությունից և կարող է բացասական լինել: Ամեն դեպքում, և, հետևաբար, ճիշտ է նաև տարրական աշխատանքի համար, այսինքն. կամ , որտեղ է ուժի պրոյեկցիան շարժման կամ տարրական տեղաշարժի ուղղությամբ: Հետևաբար, . Որովհետեւ մենք կարող ենք մարմինը շարժել ցանկացած ուղղությամբ, ապա ցանկացած ուղղությամբ դա ճիշտ է: Պահպանողական ուժի պրոյեկցիան կամայական ուղղության վրա հավասար է հակառակ նշանով այս ուղղությամբ պոտենցիալ էներգիայի ածանցյալին:

Հաշվի առնելով վեկտորների ընդլայնումը և հիմքում , , մենք ստանում ենք այն

Մյուս կողմից՝ սկսած մաթեմատիկական վերլուծությունհայտնի է, որ լրիվ դիֆերենցիալմի քանի փոփոխականների գործառույթներ գումարին հավասարՄասնակի ածանցյալների արտադրանքները փաստարկների և արգումենտների դիֆերենցիալների նկատմամբ, այսինքն. , ինչը նշանակում է այն հարաբերությունից, որը մենք ստանում ենք

Այս հարաբերություններն ավելի կոմպակտ գրելու համար կարող եք օգտագործել ֆունկցիայի գրադիենտ հասկացությունը:

Def.

Որոշ սկալյար կոորդինատային ֆունկցիայի գրադիենտը վեկտոր է, որի կոորդինատները հավասար են այս ֆունկցիայի համապատասխան մասնակի ածանցյալներին:

Մեր դեպքում

Def.

Պոտենցիալ մակերևույթը պահպանողական ուժերի դաշտի կետերի երկրաչափական տեղն է, որի պոտենցիալ էներգիայի արժեքները նույնն են, այսինքն. .

Որովհետեւ պոտենցիալ հավասարազոր մակերևույթի սահմանումից հետևում է, որ այս մակերևույթի կետերի համար, որպես հաստատունի ածանցյալ, հետևաբար .

Այսպիսով, պահպանողական ուժը միշտ ուղղահայաց է պոտենցիալ մակերևույթին և ուղղված է պոտենցիալ էներգիայի նվազման ուղղությամբ։ (P 1 > P 2 > P 3):

§ 10. Փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիա.

Պահպանողական մեխանիկական համակարգեր

Դիտարկենք երկու փոխազդող մասնիկների համակարգ։ Թող նրանց փոխազդեցության ուժերը լինեն կենտրոնական, իսկ ուժի մեծությունը կախված լինի մասնիկների միջև եղած հեռավորությունից (այդպիսի ուժեր են գրավիտացիոն և էլեկտրական Կուլոնյան ուժերը)։ Պարզ է, որ երկու մասնիկների փոխազդեցության ուժերը ներքին են։

Հաշվի առնելով Նյուտոնի երրորդ օրենքը (), մենք ստանում ենք, այսինքն. Երկու մասնիկների փոխազդեցության ներքին ուժերի աշխատանքը որոշվում է նրանց միջև հեռավորության փոփոխությամբ։

Նույն աշխատանքը կկատարվեր, եթե առաջին մասնիկը սկզբում գտնվեր հանգստի վիճակում, իսկ երկրորդը ստանար տեղաշարժ, որը հավասար է իր շառավիղի վեկտորի աճին, այսինքն՝ ներքին ուժերի կատարած աշխատանքը կարող է հաշվարկվել՝ մեկ մասնիկը համարելով անշարժ, և երկրորդը շարժվում է կենտրոնական ուժերի դաշտում, որի մեծությունը եզակիորեն որոշվում է մասնիկների միջև հեռավորությամբ: §8-ում մենք ապացուցեցինք, որ նման ուժերի դաշտը (այսինքն՝ կենտրոնական ուժերի դաշտը, որում ուժի մեծությունը կախված է միայն կենտրոնի հեռավորությունից) պահպանողական է, ինչը նշանակում է, որ նրանց աշխատանքը կարելի է համարել որպես նվազում։ պոտենցիալ էներգիա (սահմանված է, համաձայն §9, պահպանողական ուժերի դաշտի համար):

Քննարկվող դեպքում այս էներգիան պայմանավորված է փակ համակարգ կազմող երկու մասնիկների փոխազդեցությամբ։ Այն կոչվում է փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիա (կամ փոխադարձ պոտենցիալ էներգիա): Դա կախված է նաև զրոյական մակարդակի ընտրությունից և կարող է բացասական լինել:

Def.

Կոշտ մարմինների մեխանիկական համակարգը, որոնց միջև ներքին ուժերը պահպանողական են, կոչվում է պահպանողական մեխանիկական համակարգ։

Կարելի է ցույց տալ, որ N մասնիկների պահպանողական համակարգի պոտենցիալ փոխազդեցության էներգիան կազմված է զույգերով վերցված մասնիկների փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիաներից, որոնք կարելի է պատկերացնել։

Որտե՞ղ է երկու i-րդ և j-րդ մասնիկների փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան: i և ​​j ինդեքսները գումարով վերցնում են 1,2,3, ..., N անկախ արժեքներ: Հաշվի առնելով, որ i-րդ և j-րդ մասնիկների փոխազդեցության նույն պոտենցիալ էներգիան միմյանց հետ, ապա երբ գումարվում է. , էներգիան կբազմապատկվի 2-ով, ինչի արդյունքում քանակի դիմաց հայտնվում է գործակից։ Ընդհանուր առմամբ, N մասնիկների համակարգի պոտենցիալ փոխազդեցության էներգիան կախված կլինի բոլոր մասնիկների դիրքից կամ կոորդինատներից: Հեշտ է տեսնել, որ պահպանողական ուժերի դաշտում մասնիկի պոտենցիալ էներգիան մասնիկների համակարգի փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիայի տեսակ է, քանի որ. Ուժային դաշտը մարմինների միմյանց հետ փոխազդեցության արդյունք է:

§ 11. Էներգիայի պահպանման օրենքը մեխանիկայում.

Թող ամուրառաջ է շարժվում պահպանողական և ոչ պահպանողական ուժերի ազդեցությամբ, այսինքն. ընդհանուր դեպք. Այնուհետև մարմնի վրա ազդող բոլոր ուժերի արդյունքն է. Բոլոր ուժերի արդյունքի աշխատանքն այս դեպքում։

Կինետիկ էներգիայի թեորեմով և նաև հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք

Մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան

Եթե, ապա. Ահա թե ինչ է դա մաթեմատիկական նշումՄեխանիկայի մեջ էներգիայի պահպանման օրենքը առանձին մարմնի համար:

Էներգիայի պահպանման օրենքի ձևակերպում.

Մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան չի փոխվում ոչ պահպանողական ուժերի աշխատանքի բացակայության դեպքում։

N մասնիկների մեխանիկական համակարգի համար հեշտ է ցույց տալ, որ (*) տեղի է ունենում։

Որտեղ

Այստեղ առաջին գումարը մասնիկների համակարգի ընդհանուր կինետիկ էներգիան է:

Երկրորդը պահպանողական ուժերի արտաքին դաշտում մասնիկների ընդհանուր պոտենցիալ էներգիան է

Երրորդը համակարգի մասնիկների միմյանց հետ փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան է։

Երկրորդ և երրորդ գումարները ներկայացնում են համակարգի ընդհանուր պոտենցիալ էներգիան:

Ոչ պահպանողական ուժերի աշխատանքը բաղկացած է երկու եզրից, որոնք ներկայացնում են ներքին և արտաքին ոչ պահպանողական ուժերի աշխատանքը։

Ինչպես առանձին մարմնի շարժման դեպքում, N մարմինների մեխանիկական համակարգի դեպքում, եթե , ապա , և էներգիայի պահպանման օրենքը մեխանիկական համակարգի ընդհանուր դեպքում ասում է.

Միայն պահպանողական ուժերի ազդեցության տակ գտնվող մասնիկների համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան պահպանվում է:

Այսպիսով, ոչ պահպանողական ուժերի առկայության դեպքում ընդհանուր մեխանիկական էներգիան չի պահպանվում։

Ոչ պահպանողական ուժերն են, օրինակ, շփման ուժը, դիմադրության ուժը և այլ ուժեր, որոնց գործողությունները առաջացնում են էներգիայի դեսինիզացիա (մեխանիկական էներգիայի անցում ջերմության):

Դեսինիզացման տանող ուժերը կոչվում են դեսինատիվ: Որոշ ուժեր անպայմանորեն ճակատագրական չեն:

Էներգիայի պահպանման օրենքը ունիվերսալ է և վերաբերում է ոչ միայն մեխանիկական երևույթներին, այլև բնության բոլոր գործընթացներին։ Մարմինների և դաշտերի մեկուսացված համակարգում էներգիայի ընդհանուր քանակը միշտ մնում է հաստատուն: Էներգիան կարող է տեղափոխվել միայն մի ձևից մյուսը:

Այս հավասարությունը հաշվի առնելով

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լրացուցիչ նյութ այս թեմայի վերաբերյալ, կամ չեք գտել այն, ինչ փնտրում էիք, խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել որոնումը մեր աշխատանքների տվյալների բազայում.

Ի՞նչ ենք անելու ստացված նյութի հետ.

Եթե ​​այս նյութը օգտակար էր ձեզ համար, կարող եք այն պահել ձեր էջում սոցիալական ցանցերում.

մարմնի վրա կիրառվող արդյունքային ուժերի աշխատանքը հավասար է մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը:

Քանի որ կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը հավասար է ուժի աշխատանքին (3), մարմնի կինետիկ էներգիան արտահայտվում է աշխատանքի նույն միավորներով, այսինքն՝ ջոուլներով։

Եթե ​​զանգվածի մարմնի շարժման սկզբնական արագությունը մզրոյական է, և մարմինը մեծացնում է իր արագությունը մինչև արժեքը υ , ապա ուժի կատարած աշխատանքը հավասար է մարմնի կինետիկ էներգիայի վերջնական արժեքին.

Ա=Եկ 2−Եկ 1=մ⋅υ 22−0=մ⋅υ 22 .

42) Պոտենցիալ դաշտեր

Պոտենցիալ դաշտ

պահպանողական դաշտ, վեկտորային դաշտ, որի շրջանառությունը ցանկացած փակ հետագծի երկայնքով զրո է։ Եթե ​​ուժային դաշտը ուժային դաշտ է, ապա դա նշանակում է, որ դաշտային ուժերի աշխատանքը փակ հետագծի երկայնքով հավասար է զրոյի: P.-ի համար p. Ա(Մ) կա այսպիսի յուրահատուկ ֆունկցիա u(Մ)(դաշտային ներուժ) որ Ա= աստիճան u(տես Գրադիենտ): Եթե ​​դաշտի դաշտը տրված է պարզապես միացված Ω տիրույթում, ապա այս դաշտի պոտենցիալը կարելի է գտնել բանաձևով

որտեղ AM-ֆիքսված կետը միացնող ցանկացած հարթ կոր ԱΩ-ից մի կետով M, t -շոշափող կորի միավոր վեկտոր Ա.Մ.և / - աղեղի երկարությունը Ա.Մ.կետի վրա հիմնված Ա.Եթե Ա(Մ) - P. p., ապա փտում ա= 0 (տես Վեկտորային դաշտի հորձանուտ): Ընդհակառակը, եթե փտում է Ա= 0 և դաշտը սահմանվում է պարզապես միացված տիրույթում և տարբերվում է, ապա Ա(Մ) - P.p. Պոտենցիալներն են, օրինակ, էլեկտրաստատիկ դաշտը, գրավիտացիոն դաշտը և արագության դաշտը իռոտացիոն շարժման ժամանակ:

43) Պոտենցիալ էներգիա

Պոտենցիալ էներգիա- սկալյար ֆիզիկական քանակություն, որը բնութագրում է որոշակի մարմնի (կամ նյութական կետի) աշխատանք կատարելու ունակությունը ուժերի գործողության դաշտում գտնվելու պատճառով։ Մեկ այլ սահմանում. պոտենցիալ էներգիան կոորդինատների ֆունկցիա է, որը տերմին է Լագրանժյան համակարգում և նկարագրում է համակարգի տարրերի փոխազդեցությունը։ «Պոտենցիալ էներգիա» տերմինը ստեղծվել է 19-րդ դարում շոտլանդացի ինժեներ և ֆիզիկոս Ուիլյամ Ռանկայնի կողմից։

SI էներգիայի միավորը Ջուլն է։

Պոտենցիալ էներգիան ենթադրվում է զրո տիեզերքում մարմինների որոշակի կոնֆիգուրացիայի համար, որի ընտրությունը որոշվում է հետագա հաշվարկների հարմարությամբ։ Այս կոնֆիգուրացիայի ընտրության գործընթացը կոչվում է պոտենցիալ էներգիայի նորմալացում.

Պոտենցիալ էներգիայի ճիշտ սահմանումը կարող է տրվել միայն ուժերի դաշտում, որի աշխատանքը կախված է միայն մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքից, բայց ոչ նրա շարժման հետագծից: Նման ուժերը կոչվում են պահպանողական:

Նաև պոտենցիալ էներգիան մի քանի մարմինների կամ մարմնի և դաշտի փոխազդեցության հատկանիշ է։

Ցանկացած ֆիզիկական համակարգհակված է ամենացածր պոտենցիալ էներգիա ունեցող պետությանը:

Պոտենցիալ էներգիա առաձգական դեֆորմացիաբնութագրում է մարմնի մասերի փոխազդեցությունը.

Մակերեւույթին մոտ գտնվող Երկրի գրավիտացիոն դաշտում պոտենցիալ էներգիան մոտավորապես արտահայտվում է բանաձևով.

Որտեղ E p- մարմնի պոտենցիալ էներգիա, մ- մարմնի զանգված, է- ձգողության արագացում, հ- մարմնի զանգվածի կենտրոնի բարձրությունը կամայականորեն ընտրված զրոյական մակարդակից բարձր:

44) Ուժի և պոտենցիալ էներգիայի փոխհարաբերությունները

Պոտենցիալ դաշտի յուրաքանչյուր կետ, մի կողմից, համապատասխանում է մարմնի վրա ազդող ուժի վեկտորի որոշակի արժեքին, իսկ մյուս կողմից՝ պոտենցիալ էներգիայի որոշակի արժեքին։ Ուստի ուժի և պոտենցիալ էներգիայի միջև պետք է լինի որոշակի հարաբերություն:

Այս կապը հաստատելու համար եկեք հաշվարկենք դաշտային ուժերի կատարած տարրական աշխատանքը տարածության մեջ կամայականորեն ընտրված ուղղության երկայնքով տեղի ունեցող մարմնի փոքր տեղաշարժի ժամանակ, որը մենք նշում ենք տառով: Այս աշխատանքը հավասար է

որտեղ է ուժի պրոյեկցիան ուղղության վրա:

Քանի որ ներս այս դեպքումաշխատանքը կատարվում է պոտենցիալ էներգիայի պաշարի շնորհիվ, այն հավասար է առանցքի հատվածում պոտենցիալ էներգիայի կորստին.

Վերջին երկու արտահայտություններից մենք ստանում ենք

Վերջին արտահայտությունը տալիս է միջակայքի միջին արժեքը: Դեպի

կետում արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է գնալ սահմանաչափին՝

մաթեմատիկայի վեկտորում,

որտեղ a-ն x, y, z-ի սկալյար ֆունկցիան է, որը կոչվում է այս սկալարի գրադիենտ և նշվում է խորհրդանիշով . Հետևաբար, ուժը հավասար է հակառակ նշանով վերցված պոտենցիալ էներգիայի գրադիենտին

45) Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը