Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար: MS EXCEL-ում միջինը (տարբերակը հայտնի է) գնահատելու վստահության միջակայքը

Հաճախ գնահատողը պետք է վերլուծի այն հատվածի անշարժ գույքի շուկան, որտեղ գտնվում է գնահատվող գույքը: Եթե ​​շուկան զարգացած է, ապա կարող է դժվար լինել վերլուծել ներկայացված օբյեկտների ամբողջությունը, ուստի վերլուծության համար օգտագործվում է օբյեկտների նմուշ: Այս նմուշը միշտ չէ, որ միատարր է ստացվում, երբեմն անհրաժեշտ է այն մաքրել ծայրահեղ կետերից՝ շուկայական շատ բարձր կամ շատ ցածր առաջարկներից: Այդ նպատակով այն օգտագործվում է վստահության միջակայքը. Թիրախ այս ուսումնասիրությունը- անցկացնել վստահության միջակայքի հաշվարկման երկու մեթոդների համեմատական ​​վերլուծություն և ընտրել հաշվարկման օպտիմալ տարբերակը estimatica.pro համակարգում տարբեր նմուշների հետ աշխատելիս:

Վստահության միջակայք- նմուշի հիման վրա հաշվարկված հատկանիշի արժեքների ընդմիջում, որը հայտնի հավանականությամբ պարունակում է գնահատված պարամետրը բնակչությունը.

Վստահության միջակայքը հաշվարկելու նպատակը նմուշի տվյալների հիման վրա այնպիսի միջակայք կառուցելն է, որպեսզի տվյալ հավանականությամբ հնարավոր լինի ասել, որ գնահատված պարամետրի արժեքը գտնվում է այս միջակայքում: Այսինքն՝ վստահության միջակայքը պարունակում է որոշակի հավանականությամբ անհայտ արժեքգնահատված արժեքը. Որքան լայն է միջակայքը, այնքան բարձր է անճշտությունը:

Վստահության միջակայքը որոշելու տարբեր մեթոդներ կան: Այս հոդվածում մենք կդիտարկենք 2 մեթոդ.

• միջին և ստանդարտ շեղման միջոցով;
• միջոցով կրիտիկական արժեք t-վիճակագրություն (Ուսանողի գործակից):

Փուլեր համեմատական ​​վերլուծություն տարբեր ճանապարհներ CI հաշվարկ.

1. ձևավորել տվյալների նմուշ;

2. այն մշակում ենք վիճակագրական մեթոդներով. հաշվում ենք միջին արժեքը, մեդիանը, շեղումը և այլն;

3. հաշվարկել վստահության միջակայքը երկու եղանակով.

4. վերլուծել մաքրված նմուշները և ստացված վստահության միջակայքերը:

Փուլ 1. Տվյալների ընտրանք

Նմուշը ձևավորվել է estimatica.pro համակարգի միջոցով: Ընտրանքը ներառում էր 91 առաջարկ 3-րդ գնային գոտում 1 սենյականոց բնակարանների վաճառքի «խրուշչովյան» տիպի հատակագծով։

Աղյուսակ 1. Նախնական նմուշ

	Գինը 1քմ միավոր

Նկ.1. Նախնական նմուշ

Փուլ 2. Նախնական նմուշի մշակում

Վիճակագրական մեթոդներով նմուշի մշակումը պահանջում է հետևյալ արժեքների հաշվարկը.

1. Թվաբանական միջին

2. Միջինը նմուշը բնութագրող թիվ է. նմուշի տարրերի ուղիղ կեսը մեծ են միջինից, մյուս կեսը փոքր են միջինից:

(կենտ թվով արժեքներով նմուշի համար)

3. Շրջանակ - նմուշի առավելագույն և նվազագույն արժեքների տարբերությունը

4. Տարբերություն - օգտագործվում է տվյալների տատանումների ավելի ճշգրիտ գնահատման համար

5. Նմուշի ստանդարտ շեղումը (այսուհետ՝ SD) թվաբանական միջինի շուրջ ճշգրտման արժեքների ցրվածության ամենատարածված ցուցանիշն է:

6. Տատանումների գործակից - արտացոլում է ճշգրտման արժեքների ցրման աստիճանը

7. տատանումների գործակից - արտացոլում է նմուշի ծայրահեղ գնային արժեքների հարաբերական տատանումը միջինի շուրջ

Աղյուսակ 2. Բնօրինակ նմուշի վիճակագրական ցուցանիշները

Տվյալների միատարրությունը բնութագրող տատանումների գործակիցը 12,29% է, սակայն տատանման գործակիցը չափազանց բարձր է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք ասել, որ սկզբնական նմուշը միատարր չէ, ուստի եկեք անցնենք վստահության միջակայքի հաշվարկին:

Փուլ 3. Վստահության միջակայքի հաշվարկ

Մեթոդ 1. Հաշվարկ՝ օգտագործելով միջին և ստանդարտ շեղումը:

Վստահության միջակայքը որոշվում է հետևյալ կերպ. նվազագույն արժեք - ստանդարտ շեղումը հանվում է միջինից. առավելագույն արժեք - ստանդարտ շեղումը ավելացվում է միջինին:

Այսպիսով, վստահության միջակայքը (47179 CU; 60689 CU)

Բրինձ. 2. Վստահության միջակայքում ընկած արժեքներ 1.

Մեթոդ 2. Վստահության միջակայքի կառուցում՝ օգտագործելով t-վիճակագրության կրիտիկական արժեքը (Student գործակից)

Ս.Վ. Գրիբովսկին գրքում « Մաթեմատիկական մեթոդներԳնահատելով գույքի արժեքը» նկարագրում է վստահության միջակայքի հաշվարկման մեթոդ՝ օգտագործելով Student գործակիցը: Այս մեթոդով հաշվարկելիս գնահատողն ինքը պետք է սահմանի նշանակության մակարդակը ∝, որը որոշում է վստահության միջակայքի կառուցման հավանականությունը: Սովորաբար օգտագործվում են նշանակության մակարդակները 0,1; 0,05 և 0,01: Դրանք համապատասխանում են 0,9 վստահության հավանականությանը; 0,95 և 0,99: Այս մեթոդով ենթադրվում են իրական արժեքները մաթեմատիկական ակնկալիքիսկ շեղումները գործնականում անհայտ են (ինչը գրեթե միշտ ճիշտ է գործնական գնահատման խնդիրներ լուծելիս):

Վստահության միջակայքի բանաձև.

n - նմուշի չափը;

t-վիճակագրության կրիտիկական արժեքը (Student բաշխում) նշանակության մակարդակով ∝, ազատության աստիճանների թիվը n-1, որը որոշվում է հատուկ վիճակագրական աղյուսակներից կամ օգտագործելով MS Excel (→ «Վիճակագրական»→ STUDIST);

∝ - նշանակության մակարդակ, վերցրեք ∝=0.01:

Բրինձ. 2. Վստահության միջակայքում ընկած արժեքներ 2.

Փուլ 4. Վստահության միջակայքի հաշվարկման տարբեր մեթոդների վերլուծություն

Վստահության միջակայքի հաշվարկման երկու մեթոդ՝ մեդիանայի և Ուսանողի գործակցի միջոցով, հանգեցրին. տարբեր իմաստներընդմիջումներով. Համապատասխանաբար ստացանք երկու տարբեր մաքրված նմուշներ։

Աղյուսակ 3. Վիճակագրություն երեք նմուշների համար:

Ցուցանիշ	Նախնական նմուշ	1 տարբերակ	Տարբերակ 2
Միջին արժեքը
Ցրվածություն
Գլխ. տատանումները
Գլխ. տատանումներ
Թոշակի անցած օբյեկտների քանակը, հատ.

Կատարված հաշվարկների հիման վրա կարելի է ասել, որ ստացված տարբեր մեթոդներվստահության միջակայքերի արժեքները հատվում են, այնպես որ գնահատողի հայեցողությամբ կարող եք օգտագործել հաշվարկման մեթոդներից որևէ մեկը:

Այնուամենայնիվ, մենք կարծում ենք, որ estimatica.pro համակարգում աշխատելիս նպատակահարմար է ընտրել վստահության միջակայքը հաշվարկելու մեթոդ՝ կախված շուկայի զարգացման աստիճանից.

• եթե շուկան զարգացած չէ, օգտագործեք հաշվարկման մեթոդը, օգտագործելով միջին և ստանդարտ շեղումը, քանի որ այս դեպքում թոշակառու օբյեկտների թիվը փոքր է.
• Եթե ​​շուկան զարգացած է, ապա հաշվարկը կիրառեք t-վիճակագրության կրիտիկական արժեքի միջոցով (Ուսանողի գործակից), քանի որ հնարավոր է մեծ նախնական նմուշ ձևավորել:

Հոդվածը պատրաստելիս օգտագործվել են հետևյալը.

1. Գրիբովսկի Ս.Վ., Սիվեց Ս.Ա., Լևիկինա Ի.Ա. Գույքի արժեքի գնահատման մաթեմատիկական մեթոդներ. Մոսկվա, 2014 թ

2. Համակարգի տվյալները estimatica.pro

Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար - սա տվյալների հիման վրա հաշվարկված միջակայք է, որը հայտնի հավանականությամբ պարունակում է ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքի բնական գնահատականը նրա դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականն է: Ուստի ամբողջ դասի ընթացքում մենք կօգտագործենք «միջին» և «միջին արժեք» տերմինները: Վստահության միջակայքի հաշվարկման խնդիրներում պատասխանն ամենից հաճախ պահանջվում է նման բան. «Միջին թվի [արժեքը որոշակի խնդրի] վստահության միջակայքը [փոքր արժեքից] [ավելի մեծ արժեք] է»: Օգտագործելով վստահության միջակայքը, դուք կարող եք գնահատել ոչ միայն միջին արժեքները, այլև ընդհանուր բնակչության որոշակի բնութագրիչի համամասնությունը: Միջիններ, շեղումներ, ստանդարտ շեղումիսկ այն սխալները, որոնց միջոցով մենք կհասնենք նոր սահմանումների ու բանաձևերի, քննարկվում են դասում Ընտրանքի և բնակչության բնութագրերը .

Միջին կետի և միջակայքի գնահատումները

Եթե ​​բնակչության միջին արժեքը գնահատվում է թվով (կետ), ապա որպես պոպուլյացիայի անհայտ միջին արժեքի գնահատում ընդունվում է կոնկրետ միջին, որը հաշվարկվում է դիտարկումների ընտրանքից։ Այս դեպքում ընտրանքային միջինի արժեքը՝ պատահական փոփոխականը, չի համընկնում ընդհանուր բնակչության միջին արժեքի հետ: Հետևաբար, նմուշի միջինը նշելիս պետք է միաժամանակ նշեք նմուշառման սխալը: Ընտրանքային սխալի չափումը ստանդարտ սխալն է, որն արտահայտվում է նույն միավորներով, ինչ միջինը: Հետևաբար, հաճախ օգտագործվում է հետևյալ նշումը.

Եթե ​​միջինի գնահատումը պետք է կապված լինի որոշակի հավանականության հետ, ապա բնակչության հետաքրքրության պարամետրը պետք է գնահատվի ոչ թե մեկ թվով, այլ ընդմիջումով։ Վստահության միջակայքը այն միջակայքն է, որի դեպքում որոշակի հավանականությամբ ՊԳտնվում է բնակչության գնահատված ցուցանիշի արժեքը. Վստահության միջակայքը, որում դա հավանական է Պ = 1 - α պատահական փոփոխականը գտնվել է՝ հաշվարկված հետևյալ կերպ.

,

α = 1 - Պ, որը կարելի է գտնել վիճակագրության վերաբերյալ գրեթե ցանկացած գրքի հավելվածում։

Գործնականում պոպուլյացիայի միջինը և շեղումը հայտնի չեն, ուստի պոպուլյացիայի շեղումը փոխարինվում է ընտրանքային շեղումով, իսկ պոպուլյացիայի միջինը՝ ընտրանքային միջինով: Այսպիսով, վստահության միջակայքը շատ դեպքերում հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

.

Վստահության միջակայքի բանաձևը կարող է օգտագործվել պոպուլյացիայի միջինը գնահատելու համար, եթե

• հայտնի է բնակչության ստանդարտ շեղումը.
• կամ պոպուլյացիայի ստանդարտ շեղումը անհայտ է, բայց ընտրանքի չափը 30-ից մեծ է:

Ընտրանքի միջինը բնակչության միջինի անաչառ գնահատումն է: Իր հերթին, ընտրանքի շեղումը բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական ​​չէ: Ընտրանքի շեղումների բանաձևում բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական ​​ստանալու համար, ընտրանքի չափը nպետք է փոխարինվի n-1.

Օրինակ 1.Որոշակի քաղաքի պատահականության սկզբունքով ընտրված 100 սրճարաններից հավաքագրվել է տեղեկատվություն, որ դրանցում աշխատողների միջին թիվը 10,5 է` 4,6 ստանդարտ շեղումով: Որոշեք 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների թվի համար:

որտեղ է ստանդարտի կրիտիկական արժեքը նորմալ բաշխումնշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Այսպիսով, 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների միջին թվի համար տատանվել է 9,6-ից 11,4-ի սահմաններում։

Օրինակ 2. 64 դիտարկումների բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկվել են հետևյալ ընդհանուր արժեքները.

դիտարկումների արժեքների գումարը,

արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը միջինից .

Հաշվարկել 95% վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքի համար:

Հաշվարկենք ստանդարտ շեղումը.

,

Եկեք հաշվարկենք միջին արժեքը.

.

Մենք արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի մաթեմատիկական ակնկալիքի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 7,484-ից մինչև 11,266:

Օրինակ 3. 100 դիտարկումներից բաղկացած բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկված միջինը 15.2 է, իսկ ստանդարտ շեղումը 3.2 է: Հաշվարկեք 95% վստահության միջակայքը ակնկալվող արժեքի համար, ապա 99% վստահության միջակայքը: Եթե ​​նմուշի հզորությունը և դրա տատանումները մնան անփոփոխ, և վստահության գործակիցը մեծանա, վստահության միջակայքը կնվազի՞, թե՞ ընդլայնվի:

Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտությամբ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 14,57-ից մինչև 15,82:

Մենք կրկին փոխարինում ենք այս արժեքները վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,01 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 99% վստահության միջակայքը տատանվել է 14,37-ից մինչև 16,02:

Ինչպես տեսնում ենք, քանի որ վստահության գործակիցը մեծանում է, ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նույնպես մեծանում է, և, հետևաբար, միջակայքի մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը գտնվում են միջինից ավելի հեռու, և այդպիսով մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը մեծանում է: .

Հատուկ ծանրության կետային և միջակայքային գնահատումներ

Որոշ նմուշի հատկանիշի մասնաբաժինը կարող է մեկնաբանվել որպես կետային գնահատում տեսակարար կշիռը էջնույն հատկանիշը ընդհանուր բնակչության մեջ: Եթե ​​այս արժեքը պետք է կապված լինի հավանականության հետ, ապա պետք է հաշվարկվի տեսակարար կշռի վստահության միջակայքը: էջբնորոշ է հավանականությամբ բնակչությանը Պ = 1 - α :

.

Օրինակ 4.Որոշ քաղաքում երկու թեկնածու կա ԱԵվ Բհավակնում են քաղաքապետի պաշտոնին. Պատահականության սկզբունքով հարցվել է քաղաքի 200 բնակիչ, որոնցից 46%-ը պատասխանել է, որ կքվեարկի թեկնածուի օգտին։ Ա, 26%՝ թեկնածուի համար Բիսկ 28%-ը չգիտի, թե ում է ձայն տալու։ Որոշեք 95% վստահության միջակայքը՝ թեկնածուին աջակցող քաղաքի բնակիչների համամասնության համար Ա.

Վստահության միջակայք- սահմանային արժեքներ վիճակագրական արժեք, որը տվյալ վստահության հավանականությամբ γ կլինի այս միջակայքում ավելի մեծ ծավալի նմուշառման ժամանակ։ Նշվում է որպես P(θ - ε: Գործնականում γ վստահության հավանականությունը ընտրվում է միասնությանը բավականին մոտ արժեքներից՝ γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99:

Ծառայության նպատակը. Օգտագործելով այս ծառայությունը, դուք կարող եք որոշել.

• վստահության միջակայքը ընդհանուր միջինի համար, վստահության միջակայքը շեղումների համար.
• վստահության միջակայքը ստանդարտ շեղման համար, վստահության միջակայքը ընդհանուր բաժնետոմսի համար.

Ստացված լուծումը պահվում է Word ֆայլում (տես օրինակ): Ստորև բերված է վիդեո հրահանգ, թե ինչպես լրացնել նախնական տվյալները:

Օրինակ թիվ 1. Կոլտնտեսությունում 1000 ոչխարների ընդհանուր հոտից ընտրովի հսկողական խուզում է անցել 100 ոչխար: Արդյունքում սահմանվել է միջինը 4,2 կգ բրդի մեկ ոչխարի կտրատում: 0,99 հավանականությամբ որոշեք նմուշի միջին քառակուսի սխալը մեկ ոչխարի բրդի միջին խուզումը որոշելիս և այն սահմանները, որոնցում պարունակվում է կտրման արժեքը, եթե շեղումը 2,5 է: Նմուշը չկրկնվող է:
Օրինակ թիվ 2. Մոսկվայի հյուսիսային մաքսակետում ներկրված ապրանքների խմբաքանակից պատահական կրկնվող նմուշառմամբ վերցվել է «Ա» ապրանքի 20 նմուշ։ Փորձարկման արդյունքում պարզվել է նմուշում «Ա» արտադրանքի միջին խոնավության պարունակությունը, որը 1 տոկոս ստանդարտ շեղումով հավասար է 6%-ի:
0,683 հավանականությամբ որոշել ապրանքի միջին խոնավության սահմանները ներմուծվող ապրանքների ողջ խմբաքանակում։
Օրինակ թիվ 3. 36 աշակերտի շրջանում անցկացված հարցումը ցույց է տվել, որ դասագրքերի միջին թիվը տարեկան է ուսումնական տարին, պարզվել է, որ հավասար է 6-ի: Ենթադրենք, որ ուսանողի կողմից կարդացած դասագրքերի թիվը մեկ կիսամյակում ունի նորմալ բաշխման օրենք՝ 6-ի հավասար ստանդարտ շեղումով, գտե՛ք. այս պատահական փոփոխականի ակնկալիքը; Բ) ի՞նչ հավանականությամբ կարող ենք ասել, որ այս նմուշից հաշվարկված ուսանողի կողմից մեկ կիսամյակի ընթացքում կարդացած դասագրքերի միջին թիվը բացարձակ արժեքով մաթեմատիկական ակնկալիքից կշեղվի 2-ից ոչ ավելի։

Վստահության միջակայքերի դասակարգում

Ըստ գնահատվող պարամետրի տեսակի.

Ըստ նմուշի տեսակի.

1. Վստահության միջակայքը անսահման նմուշի համար;
2. Վերջնական նմուշի վստահության միջակայքը;

Նմուշը կոչվում է նմուշառում, եթե ընտրված օբյեկտը վերադարձվում է պոպուլյացիաին՝ նախքան հաջորդը ընտրելը։ Նմուշը կոչվում է չկրկնվող, եթե ընտրված օբյեկտը չի վերադարձվում բնակչությանը: Գործնականում մենք սովորաբար գործ ունենք չկրկնվող նմուշների հետ:

Պատահական ընտրանքի միջին ընտրանքի սխալի հաշվարկը

Ընտրանքից ստացված ցուցանիշների արժեքների և ընդհանուր բնակչության համապատասխան պարամետրերի միջև անհամապատասխանությունը կոչվում է. ներկայացուցչական սխալ.
Ընդհանուր և ընտրանքային պոպուլյացիաների հիմնական պարամետրերի նշանակումները:

Միջին նմուշառման սխալի բանաձևեր
վերընտրություն		կրկնել ընտրությունը
միջինի համար	բաժնեմասի համար	միջինի համար	բաժնեմասի համար

Որոշակի հավանականությամբ երաշխավորված ընտրանքային սխալի սահմանի (Δ) միջև կապը Р(t),Եվ միջին սխալնմուշն ունի ձև՝ կամ Δ = t·μ, որտեղ տ– վստահության գործակիցը, որը որոշվում է կախված հավանականության մակարդակից P(t)՝ համաձայն Լապլասի ինտեգրալ ֆունկցիայի աղյուսակի:

Ընտրանքի չափը հաշվարկելու բանաձևեր՝ օգտագործելով զուտ պատահական ընտրանքի մեթոդը

Թող պատահական փոփոխականը (կարող ենք խոսել ընդհանուր պոպուլյացիայի մասին) բաշխված լինի սովորական օրենքի համաձայն, որի համար հայտնի է D = 2 (> 0) շեղումը։ Ընդհանուր բնակչությունից (օբյեկտների բազմության վրա որոշվում է պատահական փոփոխական) կազմվում է n չափի նմուշ։ x 1, x 2,..., x n նմուշը դիտվում է որպես n անկախ պատահական փոփոխականների բազմություն, որոնք բաշխված են նույն ձևով, ինչ (տեքստում վերը նկարագրված մոտեցումը):

Ավելի վաղ քննարկվել և ապացուցվել են նաև հետևյալ հավասարությունները.

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Բավական է պարզապես ապացուցել (մենք բաց ենք թողնում ապացույցը), որ պատահական փոփոխականը մտնում է այս դեպքումբաշխվում է նաև նորմալ օրենքով։

Անհայտ M մեծությունը նշանակենք a-ով և տրված հուսալիության հիման վրա ընտրենք d > 0 թիվը, որպեսզի պայմանը բավարարվի.

P(- a< d) = (1)

Քանի որ պատահական փոփոխականը բաշխված է նորմալ օրենքի համաձայն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներով M = M = a և D = D /n = 2 /n շեղումով, մենք ստանում ենք.

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Մնում է ընտրել դ այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի

Ցանկացած մեկի համար դուք կարող եք օգտագործել աղյուսակը` գտնելու t թիվ, որպեսզի (t)= / 2: Այս թիվը երբեմն կոչվում է t. քվանտիլ.

Հիմա հավասարությունից

որոշենք d-ի արժեքը.

Վերջնական արդյունքը մենք ստանում ենք՝ ներկայացնելով բանաձևը (1) ձևով.

Վերջին բանաձեւի իմաստը հետեւյալն է՝ հուսալիությամբ՝ վստահության միջակայքով

ծածկում է բնակչության a = M անհայտ պարամետրը: Դուք կարող եք դա այլ կերպ ասել. միավորի գնահատումորոշում է M պարամետրի արժեքը d= t / ճշգրտությամբ և հուսալիությամբ:

Առաջադրանք. Թող լինի ընդհանուր պոպուլյացիա որոշակի բնութագրով, որը բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն՝ 6,25-ի շեղումով: Վերցվել է n = 27 ընտրանք և ստացվել է բնութագրի միջին ընտրանքային արժեքը = 12: Գտեք վստահության միջակայք, որը ծածկում է ընդհանուր բնակչության ուսումնասիրված բնութագրի անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը հուսալիությամբ = 0,99:

Լուծում. Նախ, օգտագործելով Laplace ֆունկցիայի աղյուսակը, մենք գտնում ենք t-ի արժեքը (t) = / 2 = 0,495 հավասարությունից: Ելնելով ստացված արժեքից t = 2.58, մենք որոշում ենք գնահատման ճշգրտությունը (կամ վստահության միջակայքի երկարության կեսը) d: d = 2.52.58 / 1.24: Այստեղից մենք ստանում ենք անհրաժեշտ վստահության միջակայքը. (10.76; 13.24):

վիճակագրական վարկած ընդհանուր փոփոխական

Վստահության միջակայքը նորմալ բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքի համար, երբ ոչ հայտնի շեղում

Թող լինի պատահական փոփոխական, որը բաշխված է սովորական օրենքի համաձայն անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքով M, որը մենք նշում ենք a տառով: Կազմենք n ծավալի նմուշ: Եկեք որոշենք միջին նմուշը և շտկված նմուշի շեղումը s 2 օգտագործելով հայտնի բանաձևերը:

Պատահական արժեք

բաշխված ըստ Ուսանողական օրենքի n - 1 աստիճան ազատության.

Խնդիրն է գտնել t թիվը տվյալ հուսալիության համար և ազատության աստիճանների քանակը n - 1 այնպես, որ հավասարությունը

կամ համարժեք հավասարություն

Այստեղ փակագծերում գրված է պայմանը, որ անհայտ a պարամետրի արժեքը պատկանում է որոշակի ինտերվալի, որը վստահության միջակայքն է։ Դրա սահմանները կախված են հուսալիությունից, ինչպես նաև նմուշառման պարամետրերից և ս.

t-ի արժեքը մեծությամբ որոշելու համար մենք հավասարությունը (2) վերածում ենք ձևի.

Այժմ, օգտագործելով աղյուսակը պատահական t փոփոխականի համար, որը բաշխված է ուսանողի օրենքի համաձայն, օգտագործելով հավանականությունը 1 - և ազատության աստիճանների թիվը n - 1, մենք գտնում ենք t. Բանաձև (3) տալիս է առաջադրված խնդրի պատասխանը:

Առաջադրանք. 20 էլեկտրական լամպերի հսկիչ փորձարկումների ժամանակ միջին տևողությունընրանց աշխատանքը հավասար է 2000 ժամի՝ ստանդարտ շեղումով (հաշվարկվում է որպես ուղղված նմուշի շեղման քառակուսի արմատ) հավասար է 11 ժամի: Հայտնի է, որ լամպի աշխատանքի տեւողությունը նորմալ է բաշխվում պատահական փոփոխական. 0,95 հուսալիությամբ որոշեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը:

Լուծում. Արժեք 1 - այս դեպքում հավասար է 0,05: Համաձայն Student բաշխման աղյուսակի, երբ ազատության աստիճանների թիվը հավասար է 19-ի, մենք գտնում ենք՝ t = 2.093: Այժմ հաշվարկենք գնահատման ճշգրտությունը՝ 2.093121/ = 56.6: Այստեղից մենք ստանում ենք անհրաժեշտ վստահության միջակայքը. (1943.4; 2056.6):

Թող պոպուլյացիայի X պատահական փոփոխականը նորմալ բաշխված լինի՝ հաշվի առնելով, որ հայտնի են այս բաշխման շեղումները և ստանդարտ շեղումները։ Անհրաժեշտ է գնահատել անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ օգտագործելով ընտրանքի միջինը: Այս դեպքում խնդիրը հանգում է վստահելիության մաթեմատիկական ակնկալիքի համար վստահության միջակայքի գտնելուն բ. Եթե ​​արժեքը սահմանեք վստահության հավանականությունը(հուսալիություն) b, ապա դուք կարող եք գտնել անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքի միջակայքում ընկնելու հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (6.9a).

որտեղ Ф(t) Լապլասի ֆունկցիան է (5.17a):

Արդյունքում, մենք կարող ենք ձևակերպել մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքի սահմանները գտնելու ալգորիթմ, եթե հայտնի է D = s 2 շեղումը.

1. Սահմանեք հուսալիության արժեքը – b.
2. (6.14)-ից արտահայտեք Ф(t) = 0.5× բ. Լապլասի ֆունկցիայի աղյուսակից ընտրեք t-ի արժեքը Ф(t) արժեքի հիման վրա (տես Հավելված 1):
3. Հաշվեք շեղումը e-ն՝ օգտագործելով բանաձևը (6.10):
4. Գրեք վստահության միջակայքը՝ օգտագործելով (6.12) բանաձևն այնպես, որ b հավանականության դեպքում անհավասարությունը պահպանվի.

.

Օրինակ 5.

X պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում։ Գտեք վստահության միջակայքերը b = 0,96 անհայտ մաթեմատիկական սպասման a-ի հուսալիությամբ գնահատման համար, եթե տրված է.

1) ընդհանուր ստանդարտ շեղում s = 5;

2) նմուշի միջինը.

3) նմուշի չափը n = 49:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի միջակայքի գնահատման բանաձևում (6.15): Ա հուսալիությամբ b բոլոր մեծությունները, բացի t-ից, հայտնի են: t-ի արժեքը կարելի է գտնել օգտագործելով (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96: Ф(t) = 0,48:

Օգտագործելով Հավելված 1-ի աղյուսակը Լապլասի Ф(t) = 0,48 ֆունկցիայի համար՝ գտե՛ք համապատասխան արժեքը t = 2,06: Հետևաբար, . e-ի հաշվարկված արժեքը փոխարինելով բանաձևով (6.12), կարող եք ստանալ վստահության միջակայք՝ 30-1.47< a < 30+1,47.

Անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքի b = 0.96 հուսալիությամբ գնահատման համար պահանջվող վստահության միջակայքը հավասար է՝ 28.53.< a < 31,47.