5.2. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը: Բաշխման բազմանկյուն
Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ դիսկրետ պատահական փոփոխական սահմանելու համար բավական է թվարկել դրա բոլոր հնարավոր արժեքները։ Իրականում դա այդպես չէ. պատահական փոփոխականները կարող են ունենալ նույն ցուցակները հնարավոր արժեքներ, և դրանց հավանականությունները տարբեր են։ Հետևաբար, դիսկրետ պատահական փոփոխականը նշելու համար բավական չէ թվարկել դրա բոլոր հնարավոր արժեքները, անհրաժեշտ է նաև նշել դրանց հավանականությունները.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքըզանգահարել հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների համապատասխանությունը. այն կարելի է ճշտել աղյուսակային, վերլուծական (բանաձևի տեսքով) և գրաֆիկական եղանակով։
Սահմանում.Ցանկացած կանոն (աղյուսակ, ֆունկցիա, գրաֆիկ), որը թույլ է տալիս գտնել կամայական իրադարձությունների հավանականությունները Ա Ս (Ս– -տարածության իրադարձությունների հանրահաշիվը), մասնավորապես, պատահական փոփոխականի կամ այդ արժեքների բազմության առանձին արժեքների հավանականությունը նշելը կոչվում է. պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքը(կամ պարզապես. բաշխում). Ս.վ. նրանք ասում են, որ «այն ենթարկվում է բաշխման տվյալ օրենքին»։
Թող X– d.s.v., որը արժեքներ է ընդունում X 1 , X 2 , …, x n,… (այս արժեքների բազմությունը վերջավոր է կամ հաշվելի) որոշ հավանականությամբ էջ ես, Որտեղ ես = 1,2,…, n,… Բաշխման օրենք d.s.v. հարմար է սահմանել՝ օգտագործելով բանաձևը էջ ես = Պ{X = x ես) Որտեղ ես = 1,2,…, n,..., որը որոշում է հավանականությունը, որ փորձի արդյունքում ռ.վ. Xկվերցնի արժեքը x ես. Համար d.s.v. Xբաշխման օրենքը կարող է տրվել ձևով բաշխման աղյուսակներ:
|
x n | |||||
|
Ռ n |
Աղյուսակում դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը նշելիս աղյուսակի առաջին շարքը պարունակում է հնարավոր արժեքներ, իսկ երկրորդում՝ դրանց հավանականությունները: այդպիսի աղյուսակը կոչվում է բաշխման մոտ.
Հաշվի առնելով, որ մեկ փորձության ժամանակ պատահական փոփոխականը վերցնում է մեկ և միայն մեկ հնարավոր արժեք, մենք եզրակացնում ենք, որ իրադարձությունները. X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x nկազմել ամբողջական խումբ; հետևաբար, այս իրադարձությունների հավանականությունների հանրագումարը, այսինքն. Աղյուսակի երկրորդ շարքի հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի, այսինքն.
Եթե հնարավոր արժեքների բազմությունը Xանսահմանորեն (հաշվելի), ապա շարքը Ռ 1 + Ռ 2 + ... համընկնում է, և դրա գումարը հավասար է մեկի:
Օրինակ.Կանխիկ վիճակախաղի համար տրված է 100 տոմս։ Խաղարկվում է 50 ռուբլու մեկ հաղթանակ: և տասը շահում 1 ռուբ. Գտեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը X– վիճակախաղի մեկ տոմսի սեփականատիրոջ հնարավոր շահումների արժեքը:
Լուծում.Գրենք հնարավոր արժեքները X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0: Այս հնարավոր արժեքների հավանականություններն են. Ռ 1 = 0,01, Ռ 2 = 0,01, Ռ 3 = 1 – (Ռ 1 + Ռ 2)=0,89.
Եկեք գրենք բաշխման պահանջվող օրենքը.
Վերահսկողություն՝ 0,01 + 0,1 + 0,89 =1:
Օրինակ.Կաթսայի մեջ կա 8 գնդիկ, որոնցից 5-ը սպիտակ են, մնացածը՝ սև։ Դրանից պատահականորեն 3 գնդակ է քաշվում։ Գտե՛ք նմուշում սպիտակ գնդիկների քանակի բաշխման օրենքը:
Լուծում. r.v-ի հնարավոր արժեքները X– նմուշում կան թվով սպիտակ գնդիկներ X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Նրանց հավանականությունները համապատասխանաբար կլինեն
;
;
.
Բաշխման օրենքը գրենք աղյուսակի տեսքով։
|
|
|
|
|
Վերահսկում: 
.
Բաշխման օրենքը d.s.v. կարելի է գրաֆիկորեն նշել, եթե r.v-ի հնարավոր արժեքները գծագրված են աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ այդ արժեքների հավանականությունները՝ օրդինատների առանցքի վրա: իրար հաջորդող կետերը միացնող կոտրված գիծ ( X 1 , Ռ 1), (X 2 , Ռ 2),... կանչեց բազմանկյուն(կամ բազմանկյուն) բաշխում(տես նկ. 5.1):
Բրինձ. 5.1. Բաշխման բազմանկյուն
Այժմ դուք կարող եք ավելին տալ ճշգրիտ սահմանումդ.ս.վ.
Սահմանում.Պատահական արժեք X-ը դիսկրետ է, եթե կա թվերի վերջավոր կամ հաշվելի բազմություն X 1 , X 2, ... այնպիսին, որ Պ{X = x ես } = էջ ես > 0 (ես= 1,2,…) և էջ 1 + էջ 2 + Ռ 3 +… = 1.
Եկեք սահմանենք մաթեմատիկական գործողություններ դիսկրետ r.v.
Սահմանում.Գումարը (տարբերությունը, աշխատանք) դ.ս.վ. X, արժեքներ վերցնելով x եսհավանականությունների հետ էջ ես = Պ{X = x ես }, ես = 1, 2, …, n, իսկ դ.ս.վ. Յ, արժեքներ վերցնելով y ժ հավանականությունների հետ էջ ժ = Պ{Յ = y ժ }, ժ = 1, 2, …, մ, կոչվում է d.s.v. Զ = X + Յ (Զ = X – Յ, Զ = X Յ), արժեքներ վերցնելը զ ij = x ես + y ժ (զ ij = x ես – y ժ , զ ij = x ես y ժ) հավանականություններով էջ ij = Պ{X = x ես , Յ = y ժ) բոլոր նշված արժեքների համար եսԵվ ժ. Եթե որոշ գումարներ համընկնում են x ես + y ժ (տարբերություններ x ես – y ժ, աշխատանքները x ես y ժ) ավելացվում են համապատասխան հավանականությունները.
Սահմանում.Աշխատանքդ.ս.վ. վրա թիվ sկոչված դ.ս.վ. cX, արժեքներ վերցնելով Հետx եսհավանականությունների հետ էջ ես = Պ{X = x ես }.
Սահմանում.Երկու դ.ս.վ. XԵվ Յկոչվում են անկախ, եթե իրադարձություններ ( X = x ես } = Ա եսԵվ ( Յ = y ժ } = Բ ժանկախ ցանկացածի համար ես = 1, 2, …, n, ժ = 1, 2, …, մ, այն է
Հակառակ դեպքում ռ.վ. կանչեց կախյալ. Մի քանի ռ.վ. կոչվում են փոխադարձ անկախ, եթե դրանցից որևէ մեկի բաշխման օրենքը կախված չէ նրանից, թե ինչ հնարավոր արժեքներ են վերցրել մյուս մեծությունները:
Դիտարկենք բաշխման ամենատարածված օրենքներից մի քանիսը:
Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացություններին նվիրված դասընթացի բաժնում մենք արդեն ներկայացրել ենք պատահական փոփոխականի չափազանց կարևոր հասկացությունը։ Այստեղ մենք կտանք հետագա զարգացումայս հայեցակարգը և նշեք պատահական փոփոխականների նկարագրության և բնութագրման եղանակները:
Ինչպես արդեն նշվեց, պատահական փոփոխականը այն մեծությունն է, որը փորձի արդյունքում կարող է վերցնել այս կամ այն արժեքները, սակայն նախապես հայտնի չէ, թե որն է։ Մենք նաև պայմանավորվեցինք տարբերակել շարունակական (դիսկրետ) և շարունակական տեսակ. Անընդհատ քանակությունների հնարավոր արժեքները կարող են նախապես նշվել: Շարունակական քանակությունների հնարավոր արժեքները չեն կարող նախապես թվարկվել և շարունակաբար լրացնել որոշակի բաց:
Անընդհատ պատահական փոփոխականների օրինակներ.
1) զինանշանի տեսքի քանակը երեք մետաղադրամ նետելու ժամանակ (հնարավոր արժեքներ 0, 1, 2, 3).
2) զինանշանի հայտնվելու հաճախականությունը նույն փորձի ժամանակ (հնարավոր արժեքներ).
3) հինգ տարրերից բաղկացած սարքում ձախողված տարրերի քանակը (հնարավոր արժեքներն են 0, 1, 2, 3, 4, 5).
4) օդանավի վրա կատարված հարվածների քանակը, որը բավարար է այն անջատելու համար (հնարավոր արժեքներ 1, 2, 3, ..., n, ...).
5) օդային մարտերում խոցված ինքնաթիռների քանակը (հնարավոր արժեքներ 0, 1, 2, ..., N, որտեղ է ճակատամարտին մասնակցող ինքնաթիռների ընդհանուր թիվը):
Շարունակական պատահական փոփոխականների օրինակներ.
1) կրակելիս հարվածի կետի աբսցիսա (օրդինատ).
2) հարվածի կետից մինչև թիրախի կենտրոն հեռավորությունը.
3) բարձրության հաշվիչի սխալ.
4) ռադիոխողովակի առանց խափանումների շահագործման ժամանակը.
Եկեք պայմանավորվենք հետևյալում, որ պատահական փոփոխականները մեծատառերով նշենք, իսկ դրանց հնարավոր արժեքները համապատասխան փոքր տառերով: Օրինակ, – երեք կրակոցներով հարվածների քանակը. հնարավոր արժեքներ.
Դիտարկենք մի ընդհատվող պատահական փոփոխական՝ հնարավոր արժեքներով: Այս արժեքներից յուրաքանչյուրը հնարավոր է, բայց ոչ որոշակի, և X արժեքը կարող է վերցնել դրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի հավանականությամբ: Փորձի արդյունքում X արժեքը կվերցնի այս արժեքներից մեկը, այսինքն. Անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խմբից մեկը տեղի կունենա.
Այս իրադարձությունների հավանականությունները նշենք p տառերով՝ համապատասխան ինդեքսներով.
Քանի որ անհամատեղելի իրադարձությունները (5.1.1) կազմում են ամբողջական խումբ, ապա
դրանք. Պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի: Այս ընդհանուր հավանականությունը ինչ-որ կերպ բաշխված է առանձին արժեքների միջև: Պատահական փոփոխականն ամբողջությամբ նկարագրվելու է հավանականության տեսանկյունից, եթե նշենք այս բաշխումը, այսինքն. Հստակ նշենք, թե իրադարձություններից յուրաքանչյուրը (5.1.1) ինչ հավանականություն ունի։ Սրանով մենք կհաստատենք, այսպես կոչված, պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը։
Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ցանկացած հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և համապատասխան հավանականությունների միջև: Պատահական փոփոխականի մասին կասենք, որ այն ենթակա է բաշխման տվյալ օրենքին։
Եկեք սահմանենք այն ձևը, որով կարող է սահմանվել ընդհատվող պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը: Ամենապարզ ձևըԱյս օրենքի սահմանումը աղյուսակ է, որը թվարկում է պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները և համապատասխան հավանականությունները.
Նման աղյուսակը մենք կանվանենք պատահական փոփոխականի բաշխման շարք։
Բաշխման շարքին ավելի տեսողական տեսք տալու համար նրանք հաճախ դիմում են դրա գրաֆիկական ներկայացմանը. պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ այդ արժեքների հավանականությունները՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով: Պարզության համար ստացված կետերը միացված են ուղիղ գծերի հատվածներով: Նման պատկերը կոչվում է բաշխման բազմանկյուն (նկ. 5.1.1): Բաշխման բազմանկյունը, ինչպես բաշխման շարքը, ամբողջությամբ բնութագրում է պատահական փոփոխականը. դա բաշխման օրենքի ձևերից մեկն է։
Երբեմն հարմար է բաշխման շարքի այսպես կոչված «մեխանիկական» մեկնաբանությունը: Եկեք պատկերացնենք, որ մեկին հավասար որոշակի զանգված բաշխված է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով այնպես, որ զանգվածները կենտրոնացված են համապատասխանաբար առանձին կետերում։ Այնուհետև բաշխման շարքը մեկնաբանվում է որպես աբսցիսայի առանցքի վրա տեղակայված որոշ զանգվածներով նյութական կետերի համակարգ։
Դիտարկենք ընդհատվող պատահական փոփոխականների մի քանի օրինակներ իրենց բաշխման օրենքներով:
Օրինակ 1. Կատարվում է մեկ փորձ, որի դեպքում իրադարձությունը կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել: Իրադարձության հավանականությունը 0,3 է։ Դիտարկվում է պատահական փոփոխական՝ տվյալ փորձի մեջ իրադարձության դեպքերի թիվը (այսինքն՝ իրադարձության բնորոշ պատահական փոփոխական՝ վերցնելով 1 արժեքը, եթե այն հայտնվում է, և 0, եթե այն չի երևում): Կառուցեք բաշխման շարք և մեծության բաշխման բազմանկյուն:
Լուծում. Արժեքն ունի ընդամենը երկու արժեք՝ 0 և 1:
Բաշխման բազմանկյունը ներկայացված է Նկ. 5.1.2.
Օրինակ 2. Կրակողը երեք կրակոց է արձակում թիրախի վրա: Յուրաքանչյուր կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,4 է։ Յուրաքանչյուր հարվածի համար հրաձիգը ստանում է 5 միավոր: Կառուցեք բաշխման շարք վաստակած միավորների քանակի համար:
Լուծում. Նշենք հավաքած միավորների քանակը։ Հնարավոր արժեքներ.
Մենք գտնում ենք այս արժեքների հավանականությունը՝ օգտագործելով փորձերի կրկնության թեորեմը.
Արժեքի բաշխման շարքը ունի ձև.
Բաշխման բազմանկյունը ներկայացված է Նկ. 5.1.3.
Օրինակ 3. Մեկ փորձի ժամանակ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է . Իրականացվում է մի շարք անկախ փորձեր, որոնք շարունակվում են մինչև իրադարձության առաջին հայտնվելը, որից հետո փորձերը դադարեցվում են։ Պատահական փոփոխական - կատարված փորձերի քանակը: Կառուցեք արժեքի բաշխման մի շարք:
Լուծում. Հնարավոր արժեքներ՝ 1, 2, 3, ... (տեսականորեն դրանք ոչնչով սահմանափակված չեն)։ Որպեսզի մեծությունը ստանա 1 արժեքը, անհրաժեշտ է, որ իրադարձությունը տեղի ունենա առաջին փորձի ժամանակ. դրա հավանականությունը հավասար է։ Որպեսզի մեծությունը ստանա 2 արժեքը, անհրաժեշտ է, որ իրադարձությունը չհայտնվի առաջին փորձի մեջ, այլ հայտնվի երկրորդում. դրա հավանականությունը հավասար է, որտեղ և այլն: Արժեքի բաշխման շարքը ունի ձև.
Գործի համար բաշխման բազմանկյան առաջին հինգ օրդինատները ներկայացված են Նկ. 5.1.4.
Օրինակ 4. Կրակողը կրակում է թիրախի վրա մինչև առաջին հարվածը՝ ունենալով 4 փամփուշտ: Յուրաքանչյուր կրակոցի համար հարվածի հավանականությունը 0,6 է։ Կառուցեք բաշխման շարք՝ չծախսված մնացած զինամթերքի քանակի համար:
Լուծում. Պատահական փոփոխականը՝ չսպառված փամփուշտների քանակը, ունի չորս հնարավոր արժեք՝ 0, 1, 2 և 3: Այս արժեքների հավանականությունը համապատասխանաբար հավասար է.
Արժեքի բաշխման շարքը ունի ձև.
Բաշխման բազմանկյունը ներկայացված է Նկ. 5.1.5.
Օրինակ 5. Տեխնիկական սարքը կարող է օգտագործվել տարբեր պայմաններում և, կախված դրանից, ժամանակ առ ժամանակ պահանջում է ճշգրտում: Սարքը մեկ անգամ օգտագործելիս այն կարող է պատահականորեն ընկնել բարենպաստ կամ անբարենպաստ ռեժիմի մեջ: Բարենպաստ ռեժիմում սարքը կարող է դիմակայել երեք օգտագործման առանց ճշգրտման. չորրորդից առաջ այն պետք է ճշգրտվի: Անբարենպաստ ռեժիմում սարքը պետք է կարգավորվի առաջին անգամ օգտագործելուց հետո: Սարքի բարենպաստ ռեժիմի ընկնելու հավանականությունը 0,7 է, իսկ անբարենպաստ ռեժիմի՝ 0,3։ Դիտարկվում է պատահական փոփոխական՝ սարքի օգտագործման քանակը նախքան ճշգրտումը: Կառուցեք դրա բաշխման շարքը:
Լուծում. Պատահական փոփոխականն ունի երեք հնարավոր արժեք՝ 1, 2 և 3: Հավանականությունը, որ , հավասար է այն հավանականությանը, որ սարքն առաջին անգամ օգտագործելիս այն կանցնի անբարենպաստ ռեժիմի, այսինքն. . Որպեսզի արժեքը ստանա 2 արժեքը, սարքը պետք է առաջին օգտագործման ժամանակ գտնվի բարենպաստ ռեժիմում, իսկ երկրորդ օգտագործման ժամանակ՝ անբարենպաստ ռեժիմում. սրա հավանականությունը 
. Որպեսզի արժեքը վերցնի 3 արժեքը, սարքը պետք է առաջին երկու անգամ գտնվի բարենպաստ ռեժիմում (երրորդ անգամից հետո այն դեռ պետք է կարգավորվի): Սրա հավանականությունը հավասար է 
.
Արժեքի բաշխման շարքը ունի ձև.
Բաշխման բազմանկյունը ներկայացված է Նկ. 5.1.6.
Բաշխման գործառույթ
Նախորդ n°-ում մենք ներկայացրեցինք բաշխման շարքը որպես անդադար պատահական փոփոխականի սպառիչ բնութագիր (բաշխման օրենք): Այնուամենայնիվ, այս հատկանիշը համընդհանուր չէ. այն գոյություն ունի միայն ընդհատվող պատահական փոփոխականների համար: Հեշտ է տեսնել, որ անհնար է նման բնութագիր կառուցել շարունակական պատահական փոփոխականի համար։ Իրոք, շարունակական պատահական փոփոխականն ունի անսահման թվով հնարավոր արժեքներ, որոնք ամբողջությամբ լրացնում են որոշակի ինտերվալ (այսպես կոչված «հաշվելի բազմություն»): Անհնար է ստեղծել աղյուսակ, որտեղ թվարկված են նման պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները: Ավելին, ինչպես կտեսնենք ավելի ուշ, շարունակական պատահական փոփոխականի յուրաքանչյուր առանձին արժեք սովորաբար չունի ոչ զրոյական հավանականություն։ Հետևաբար, շարունակական պատահական փոփոխականի համար չկա բաշխման շարք այն իմաստով, որով այն գոյություն ունի ընդհատվող փոփոխականի համար: Այնուամենայնիվ, պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների տարբեր տարածքները դեռևս հավասարապես հավանական չեն, և շարունակական փոփոխականի համար կա «հավանականության բաշխում», թեև ոչ նույն իմաստով, ինչ ընդհատվողի համար:
Այս հավանականության բաշխումը քանակապես բնութագրելու համար հարմար է օգտագործել իրադարձության անհավանականությունը և իրադարձության հավանականությունը, որտեղ առկա է որոշ ընթացիկ փոփոխական: Այս իրադարձության հավանականությունը ակնհայտորեն կախված է նրանից, որ կա որոշ գործառույթ: Այս ֆունկցիան կոչվում է պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա և նշվում է հետևյալով.
. (5.2.1)
Բաշխման ֆունկցիան երբեմն կոչվում է նաև կուտակային բաշխման ֆունկցիա կամ կուտակային բաշխման օրենք։
Բաշխման ֆունկցիան պատահական փոփոխականի ամենաունիվերսալ բնութագիրն է։ Այն գոյություն ունի բոլոր պատահական փոփոխականների համար՝ և՛ ընդհատվող, և՛ շարունակական: Բաշխման ֆունկցիան լիովին բնութագրում է պատահական փոփոխականը հավանականության տեսանկյունից, այսինքն. բաշխման օրենքի ձևերից մեկն է։
Եկեք ձևակերպենք բաշխման ֆունկցիայի մի քանի ընդհանուր հատկություններ:
1. Բաշխման ֆունկցիան իր արգումենտի չնվազող ֆունկցիան է, այսինքն. ժամը .
2. Մինուս անվերջության դեպքում բաշխման ֆունկցիան հավասար է զրոյի՝ .
3. Գումարած անսահմանության դեպքում բաշխման ֆունկցիան հավասար է մեկի՝ .
Առանց այս հատկությունների խիստ ապացույց տալու, մենք դրանք կպատկերացնենք՝ օգտագործելով տեսողական երկրաչափական մեկնաբանությունը: Դա անելու համար մենք կդիտարկենք պատահական փոփոխականը որպես Ox առանցքի պատահական կետ (նկ. 5.2.1), որը փորձի արդյունքում կարող է այս կամ այն դիրք գրավել։ Այնուհետև բաշխման ֆունկցիան այն հավանականությունն է, որ փորձի արդյունքում պատահական կետը ընկնի կետից ձախ:
Մենք կավելացնենք, այսինքն՝ կետը աբսցիսայի առանցքի երկայնքով տեղափոխենք աջ: Ակնհայտ է, որ այս դեպքում հավանականությունը, որ պատահական կետը կնվազի դեպի ձախ, չի կարող նվազել. հետևաբար, բաշխման ֆունկցիան չի կարող նվազել մեծանալով:
Դրանով համոզվելու համար մենք կետը աբսցիսայի երկայնքով անորոշ ժամանակով կտեղափոխենք ձախ: Այս դեպքում սահմանի ձախ կողմում պատահական կետին հարվածելը դառնում է անհնարին իրադարձություն. Բնական է հավատալ, որ այս իրադարձության հավանականությունը ձգտում է զրոյի, այսինքն. .
Նմանապես, կետը անորոշ ժամանակով դեպի աջ տեղափոխելով, մենք համոզվում ենք, որ իրադարձությունը դառնում է վստահելի:
Բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը մեջ ընդհանուր դեպքչնվազող ֆունկցիայի գրաֆիկ է (նկ. 5.2.2), որի արժեքները սկսվում են 0-ից և հասնում 1-ի, իսկ որոշ կետերում ֆունկցիան կարող է ունենալ թռիչքներ (անջատումներ):
Իմանալով ընդհատվող պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը՝ կարելի է հեշտությամբ կառուցել այս փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան։ Իսկապես,
,
որտեղ գումարի նշանի տակ անհավասարությունը ցույց է տալիս, որ գումարումը վերաբերում է բոլոր այն արժեքներին, որոնք փոքր են:
Երբ ընթացիկ փոփոխականն անցնում է ընդհատվող արժեքի հնարավոր արժեքներից որևէ մեկի միջով, բաշխման ֆունկցիան կտրուկ փոխվում է, և ցատկի մեծությունը հավասար է այս արժեքի հավանականությանը:
Օրինակ 1. Կատարվում է մեկ փորձ, որի դեպքում իրադարձությունը կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել: Իրադարձության հավանականությունը 0,3 է։ Պատահական փոփոխական – փորձի մեջ իրադարձության դեպքերի թիվը (իրադարձության բնորոշ պատահական փոփոխական): Կառուցեք դրա բաշխման գործառույթը:
Փորձը որոշակի պայմանների և գործողությունների ցանկացած իրականացում է, որի ներքո դիտարկվում է ուսումնասիրվող պատահական երևույթը: Փորձերը կարելի է բնութագրել որակապես և քանակապես: Պատահական մեծությունն այն մեծությունն է, որը փորձի արդյունքում կարող է վերցնել այս կամ այն արժեքները, և նախապես հայտնի չէ, թե որն է։
Պատահական փոփոխականները սովորաբար նշվում են (X,Y,Z), իսկ համապատասխան արժեքները (x,y,z)
Դիսկրետ են պատահական փոփոխականներ, որոնք վերցնում են միմյանցից մեկուսացված առանձին արժեքներ, որոնք կարող են գերագնահատվել: Շարունակական քանակություններորոնց հնարավոր արժեքները շարունակաբար լրացնում են որոշակի տիրույթ: Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ցանկացած հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում պատահական փոփոխականների հնարավոր արժեքների և համապատասխան հավանականությունների միջև: Բաշխման տող և բազմանկյուն: Բաշխման օրենքի ամենապարզ ձևը դիսկրետ արժեքբաշխման շարքն է։ Բաշխման շարքի գրաֆիկական մեկնաբանությունը բաշխման բազմանկյունն է։
Ձեզ հետաքրքրող տեղեկատվությունը կարող եք գտնել նաև Otvety.Online գիտական որոնողական համակարգում: Օգտագործեք որոնման ձևը.
Ավելին 13 թեմայի վերաբերյալ. Դիսկրետ պատահական փոփոխական: Բաշխման բազմանկյուն. Գործողություններ պատահական փոփոխականներով, օրինակ.
- 13. Դիսկրետ պատահական փոփոխականը և դրա բաշխման օրենքը: Բաշխման բազմանկյուն. Գործողություններ պատահական փոփոխականներով: Օրինակ.
- «Պատահական փոփոխականի» հայեցակարգը և դրա նկարագրությունը: Դիսկրետ պատահական փոփոխականը և դրա բաշխման օրենքը (շարքը): Անկախ պատահական փոփոխականներ. Օրինակներ.
- 14. Պատահական փոփոխականներ, դրանց տեսակները. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը (DRV): Պատահական փոփոխականների (SV) կառուցման մեթոդներ.
- 16. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա և ստանդարտ շեղում:
- Մաթեմատիկական գործողություններ դիսկրետ պատահական փոփոխականների վրա և KX, X"1, X + K, XV-ի համար բաշխման օրենքների կառուցման օրինակներ՝ հիմնված X և Y անկախ պատահական փոփոխականների տվյալ բաշխումների վրա:
- Պատահական փոփոխականի հայեցակարգը: Դիսկրետ դեպքերի բաշխման օրենքը. քանակները։ Մաթեմատիկական գործողություններ պատահականության վրա: քանակները։
Պատահական փոփոխականներ՝ դիսկրետ և շարունակական:
Ստոխաստիկ փորձարկում կատարելիս ձևավորվում է տարրական իրադարձությունների տարածություն. հնարավոր արդյունքներըայս փորձը. Ենթադրվում է, որ տարրական իրադարձությունների այս տարածության վրա տրված է պատահական արժեք X, եթե տրված է օրենք (կանոն), ըստ որի յուրաքանչյուր տարրական իրադարձություն կապված է թվի հետ։ Այսպիսով, X պատահական փոփոխականը կարելի է դիտարկել որպես տարրական իրադարձությունների տարածության վրա սահմանված ֆունկցիա։
■ Պատահական փոփոխական- քանակություն, որը վերցնում է այս կամ այն թեստի ժամանակ թվային արժեք(նախապես հայտնի չէ, թե որն է), կախված պատահական պատճառներից, որոնք հնարավոր չէ նախապես հաշվի առնել։ Պատահական փոփոխականները նշվում են մեծատառերով Լատինական այբուբեն, իսկ պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները փոքր են: Այսպիսով, մահակը նետելիս տեղի է ունենում իրադարձություն, որը կապված է x թվի հետ, որտեղ x-ը գլորված կետերի թիվն է: Միավորների թիվը պատահական փոփոխական է, իսկ 1, 2, 3, 4, 5, 6 թվերը այս արժեքի հնարավոր արժեքներն են: Հեռավորությունը, որը կանցնի արկը հրացանից կրակելիս, նույնպես պատահական փոփոխական է (կախված տեսադաշտի տեղադրությունից, քամու ուժգնությունից և ուղղությունից, ջերմաստիճանից և այլ գործոններից), և այդ արժեքի հնարավոր արժեքները պատկանում են. որոշակի ընդմիջումով (ա; բ):
■ Դիսկրետ պատահական փոփոխական– պատահական փոփոխական, որն ընդունում է առանձին, մեկուսացված հնարավոր արժեքներ՝ որոշակի հավանականություններով: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների թիվը կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման:
■ Շարունակական պատահական փոփոխական- պատահական փոփոխական, որը կարող է վերցնել բոլոր արժեքները որոշ վերջավոր կամ անսահման միջակայքից: Շարունակական պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների թիվը անսահման է:
Օրինակ՝ զառ նետելիս գլորված միավորների քանակը, թեստի գնահատականները դիսկրետ պատահական փոփոխականներ են. հեռավորությունը, որով թռչում է արկը ատրճանակից կրակելիս, ուսումնական նյութին տիրապետելու ժամանակի ցուցիչի չափման սխալը, մարդու հասակը և քաշը շարունակական պատահական փոփոխականներ են։
Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը- համապատասխանություն պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև, այսինքն. Յուրաքանչյուր հնարավոր արժեք x i կապված է p i հավանականության հետ, որով պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել այս արժեքը: Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել աղյուսակային (աղյուսակի տեսքով), վերլուծական (բանաձևի տեսքով) և գրաֆիկական եղանակով։
Թող դիսկրետ պատահական X փոփոխականը վերցնի x 1 , x 2 , …, x n արժեքները համապատասխանաբար p 1 , p 2 , …, p n, այսինքն. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n: Աղյուսակում այս քանակի բաշխման օրենքը նշելիս աղյուսակի առաջին շարքը պարունակում է հնարավոր արժեքներ x 1, x 2, ..., x n, իսկ երկրորդ շարքը պարունակում է դրանց հավանականությունները:
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| էջ | p 1 | p2 | … | p n |
Փորձարկման արդյունքում դիսկրետ պատահական X փոփոխականը ընդունում է հնարավոր արժեքներից մեկը և միայն մեկը, հետևաբար X=x 1, X=x 2, ..., X=x n իրադարձությունները կազմում են զույգ անհամատեղելիների ամբողջական խումբ։ իրադարձություններ, և, հետևաբար, այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկին, այսինքն. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը: Բաշխման բազմանկյուն (բազմանկյուն):
Ինչպես գիտեք, պատահական փոփոխականը փոփոխական է, որը կարող է որոշակի արժեքներ վերցնել՝ կախված գործից: Պատահական փոփոխականները նշանակում են մեծատառերովԼատինական այբուբենը (X, Y, Z), և դրանց իմաստները՝ համապատասխան փոքրատառերով (x, y, z): Պատահական փոփոխականները բաժանվում են ընդհատվող (դիսկրետ) և շարունակական։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականը պատահական փոփոխական է, որը վերցնում է միայն վերջավոր կամ անսահման (հաշվելի) արժեքների հավաքածու՝ որոշակի ոչ զրոյական հավանականություններով:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքըմի ֆունկցիա է, որը կապում է պատահական փոփոխականի արժեքները դրանց համապատասխան հավանականությունների հետ: Բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել հետևյալ եղանակներից մեկով.
1. Բաշխման օրենքը կարող է տրվել աղյուսակով.
որտեղ λ>0, k = 0, 1, 2, ...:
գ) օգտագործելով F(x) բաշխման ֆունկցիան, որը յուրաքանչյուր x արժեքի համար որոշում է հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը x-ից փոքր արժեք կընդունի, այսինքն. F(x) = P(X< x).
 |
F(x) ֆունկցիայի հատկությունները
3. Բաշխման օրենքը կարելի է ճշտել գրաֆիկորեն՝ բաշխման բազմանկյունով (բազմանկյուն) (տես առաջադրանք 3):
Նշենք, որ որոշ խնդիրներ լուծելու համար պարտադիր չէ իմանալ բաշխման օրենքը։ Որոշ դեպքերում բավական է իմանալ մեկ կամ մի քանի թվեր, որոնք ամենաշատն են արտացոլում կարևոր հատկանիշներբաշխման օրենքը. Սա կարող է լինել մի թիվ, որն ունի պատահական փոփոխականի «միջին» նշանակությունը կամ թվանշան, որը ցույց է տալիս. միջին չափըպատահական փոփոխականի շեղումը միջին արժեքից: Այս տեսակի թվերը կոչվում են պատահական փոփոխականի թվային բնութագրեր:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի հիմնական թվային բնութագրերը.
- Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք (միջին արժեքը) M(X)=Σ x i p i:
Երկանդամ բաշխման համար M(X)=np, Պուասոնի բաշխման համար M(X)=λ - Դիսկրետ պատահական փոփոխականի դիսպերսիա D(X)= M 2 կամ D(X) = M(X 2)− 2: X–M(X) տարբերությունը կոչվում է պատահական փոփոխականի շեղում իրից մաթեմատիկական ակնկալիք.
Երկանդամ բաշխման համար D(X)=npq, Պուասոնի բաշխման համար D(X)=λ - Ստանդարտ շեղում ( ստանդարտ շեղում) σ(X)=√D(X).
· Վարիացիոն շարքի ներկայացման հստակության համար մեծ նշանակությունունենալ դրա գրաֆիկական պատկերները: Գրաֆիկորեն, տատանումների շարքը կարող է պատկերվել որպես բազմանկյուն, հիստոգրամ և կուտակում:
· Բաշխման բազմանկյունը (բառացիորեն բաշխման բազմանկյուն) կոչվում է կոտրված գիծ, որը կառուցված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում։ Հատկանիշի արժեքը գծագրվում է աբսցիսայի վրա, համապատասխան հաճախականությունները (կամ հարաբերական հաճախականությունները)՝ օրդինատի վրա։ Կետերը (կամ) միացվում են ուղիղ հատվածներով և ստացվում է բաշխման բազմանկյուն։ Ամենից հաճախ բազմանկյունները օգտագործվում են դիսկրետ պատկերելու համար տատանումների շարք, բայց դրանք կարող են օգտագործվել նաև դրա համար ինտերվալային շարք. Այս դեպքում աբսցիսային առանցքի վրա գծագրվում են այդ միջակայքերի միջնակետերին համապատասխանող կետերը։
